2019年江苏省无锡市宜兴市中考数学一模试卷(解析版)
江苏省无锡市宜兴市周铁中学2019年中考数学一模试卷(含解析)
2019年江苏省无锡市宜兴市中学中考数学一模试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列关系一定成立的是（ ）A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|＝b，则a＝bC．若|a|＝﹣b，则a＝b D．若a＝﹣b，则|a|＝|b|2．函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）A．x≠﹣4 B．x≠4 C．x≤﹣4 D．x≤43．下列运算正确的是（ ）A．2a2+a2＝3a4B．（﹣2a2）3＝8a6C．a3÷a2＝a D．（a﹣b）2＝a2﹣b24．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A．等边三角形B．正六边形C．正方形D．圆5．一组数据：2，﹣1，0，3，﹣3，2．则这组数据的中位数和众数分别是（ ）A．0，2 B．1.5，2 C．1，2 D．1，36．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（ ）A．24cm2B．24πcm2C．48cm2D．48πcm27．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）A．对角线互相垂直B．对边平行C．对边相等D．对角线互相平分8．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ）A．8 B．6 C．12 D．109．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝3：4，连接AE交对角线BD于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）A．3：4：7 B．9：16：49 C．9：21：49 D．3：7：4910．如图，在直角坐标系中，直线AB：y＝﹣2x+b，直线y＝x与OA的垂直平分线交于点C，与AB 交于点D，反比例函数y＝的图象过点C．当S△CDE＝时，k的值是（ ）A．18 B．12 C．9 D．3二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）11．把多项式9x﹣x3分解因式的结果为 ．12．将201800000用科学记数法表示为 ．13．若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为 ．14．如图，在△ABO中，∠ABO＝90°，点A的坐标为（3，4）．写出一个反比例函数y＝（k≠0），使它的图象与△ABO有两个不同的交点，这个函数的表达式为 ．15．如图，在▱ABCD中，E是边BC上的点，分别连结AE、BD相交于点O，若AD＝10，＝，则EC ＝ ．16．如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为 米．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点F在边AC上，并且CF＝1，点E为边BC 上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 ．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为 ．三．解答题（共10小题，满分84分）19．（8分）计算或化简：（1）+（）﹣1﹣4cos45°+（﹣π）0．（2）（x﹣2）2﹣x（x﹣3）．20．（8分）（1）解方程：；（2）求不等式组的解集21．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上，且AE＝CF．求证：DE＝BF．22．（6分）如图，△ABC（∠B＞∠A）．（1）在边AC上用尺规作图作出点D，使∠ADB+2∠A＝180°（保留作图痕迹）；（2）在（1）的情况下，连接BD，若CB＝CD，∠A＝35°，求∠C的度数．23．（8分）学习了统计知识后，某中学小光同学，为了解本校九年级学生晚间睡眠时间，进行了一次抽样调查，设睡眠时间为t小时，所得数据按以下四个时间段进行统计：A．t＜6 B．6≤t＜7 C．7≤t＜8 D．t≥8图1，图2是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答以下问题：（1）这次调查中，共抽查了 名学生；（2）在扇形统计图中，“D时间段”部分所对应的圆心角是 度；（3）补全两幅统计图；（4）本校九年级共有800名学生．若睡眠时间不足8小时均为睡眠不足，估计本校九年级学生睡眠不足的人数？24．（8分）已知一个不透明的袋子中装有7个只有颜色不同的球，其中2个白球，5个红球．（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率．（2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率．（3）若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为，求袋中有几个红球被换成了黄球．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣2，0）的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着O顺时针旋转90°后，分别与x轴y轴交于点D、C．（1）若OB＝4，求直线AB的函数关系式；（2）连接BD，若△ABD的面积是7.5，求点B的运动路径长．26．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．27．（10分）已知如图1，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，A＝30°，BC＝2cm，射线CK平分∠BCA，点O从C出发，以cm/秒的速度沿射线CK运动，在运动过程中，过O作OD⊥AC，交AC边于D，当D到A时，点O停止运动，以O为圆心，OD为半径画圆O．（1）经过 秒，⊙O过点A，经过 秒⊙O与AB边相切；（2）求经过几秒钟，点O运动到AB边上；（3）如图2，当⊙O在Rt△ABC内部时，在O出发的同一时刻，若有一点P从B出发，沿线段BC 以0.5cm/秒的速度向点C运动，过P作PQ∥AB，交CD于Q，问经过几秒时，线段PQ与⊙O相切？28．（10分）如图1，一次函数y＝kx﹣6（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（4，b）．（1）b＝ ；k＝ ；（2）点C是线段AB上一点，过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图象于点D，连接OC，OD，BD，若四边形OCBD的面积S四边形OCBD＝，求点C的坐标；（3）将第（2）小题中的△OCD沿射线AB方向平移一定的距离后，得到△O'C'D'，若点O的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求此时点D的对应点D'的坐标．2019年江苏省无锡市宜兴市zhoutie中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【分析】根据绝对值的定义进行分析即可得出正确结论．【解答】解：选项A、B、C中，a与b的关系还有可能互为相反数．故选D．【点评】绝对值相等的两个数的关系是相等或互为相反数．2．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，4﹣x≠0，解得x≠4．故选：B．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．3．【分析】根据合并同类项，积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法，完全平方公式，可得答案．【解答】解：A、系数相加字母及指数不变，故A不符合题意；B、积的乘方等于乘方的积，故B不符合题意；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C符合题意；D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．4．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可．【解答】解：等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，A正确；正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，B错误；正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，C错误；圆是轴对称图形，也是中心对称图形，D错误；故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第3、4个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是1，得到这组数据的众数．【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列﹣3，﹣1，0，2，2，3，第3、4个两个数的平均数是（0+2）÷2＝1，所以中位数是1；在这组数据中出现次数最多的是2，即众数是2，故选：C．【点评】本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．6．【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝×2π×4×6＝24（cm2）．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．【分析】根据菱形及平行四边形的性质，结合选项即可得出答案．【解答】解；A、对角线互相垂直是菱形具有，平行四边形不具有的性质，故本选项正确；B、对边平行是菱形和平行四边形都具有的性质，故本选项错误；C、对边相等是菱形和平行四边形都具有的性质，故本选项错误；D、对角线互相平分是菱形和平行四边形都具有的性质，故本选项错误．故选：A．【点评】此题考查了平行四边形及菱形的性质，属于基础题，关键是熟练掌握特殊图形的基本性质．8．【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，即△PCD的周长为12，故选：C．【点评】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键．9．【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据已知条件得到DE：CD＝3：7，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵DE：CE＝3：4，∴DE：CD＝3：7，∴DE：AB＝3：7，∵AB∥CD，∴△DEF∽△BAF，∴＝，∴S△DEF：S△ADF：＝3：7，S△DEF：S△ABF＝（）2＝，∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于9：21：49，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．10．【分析】用b分别表示A，F，C，E，D，根据S△CDE＝可得b的值，可得C点坐标，即可求k 的值．【解答】解：∵直线AB：y＝﹣2x+b与x轴，y轴交于A，B∴A（，0）∵EF垂直平分OA∴F（，0）∴当x＝时，y＝．则C（，）当x＝时，y＝﹣2×+b＝，则E（，）∵直线y＝x与直线AB：y＝﹣2x+b交于D∴D（，）∵S△CDE＝∴＝∴b＝12∴C（3，3）∵反比例函数y＝的图象过点C∴k＝3×3＝9故选：C．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用b表示A，F，C，E，D的坐标是解题的关键二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）11．【分析】原式提取﹣x，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝﹣x（x2﹣9）＝﹣x（x+3）（x﹣3），故答案为：﹣x（x+3）（x﹣3）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：201800000用科学记数法表示为：2.018×108，故答案为：2.018×108．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，外角和等于360°列出方程求解即可．【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，（n﹣2）•180°﹣360°＝360°，解得n＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．14．【分析】根据题意可得，点的坐标的乘积大于0小于12，据此即可求解．【解答】解：∵∠ABO＝90°，点A的坐标为（3，4），反比例函数y＝（k≠0），使它的图象与△ABO有两个不同的交点，∴这个函数的表达式为：y＝（答案不唯一）．故答案为：y＝（答案不唯一）．【点评】本题考查了求反比例函数的解析式，理解k的范围是解决本题的关键．15．【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，推出△BEO∽△DAO，根据相似三角形的性质得到，求得BE＝6，即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△BEO∽△DAO，∴，∵AD＝10，∴BE＝6，∴CE＝10﹣6＝4，故答案为：4．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．16．【分析】因为其坡比为1：，则坡角为30度，然后运用正弦函数解答．【解答】解：因为坡度比为1：，即tanα＝，∴α＝30°．则其下降的高度＝72×sin30°＝36（米）．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的理解及运用．17．【分析】延长FP交AB于M，得到FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，根据相似三角形的性质求出FM，根据折叠的性质QCPF，计算即可．【解答】解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵∠A＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°，∴△AFM∽△ABC，∴＝，即＝，解得，FM＝，由折叠的性质可知，FP＝FC＝1，∴PM＝，故答案为：．【点评】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置．18．【分析】连接CN．根据直角三角形斜边中线的性质求出CN＝A′B′＝4，利用三角形的三边关系即可解决问题．【解答】解：连接CN．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝4∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝A′B′＝2BC＝8，∵NB′＝NA′，∴CN＝A′B′＝4，∵CM＝BM＝2，∴MN≤CN+CM＝6，∴MN的最大值为6，故答案为6．【点评】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三．解答题（共10小题，满分84分）19．【分析】（1）先化简二次根式、负整数指数幂、代入三角函数值及零指数幂，再先后计算乘法和加减运算即可；（2）先计算完全平方式和单项式乘多项式的积，再合并同类项即可得．【解答】解：（1）原式＝2+2﹣4×+1＝2+2﹣2+1＝3；（2）原式＝x2﹣4x+4﹣x2+3x＝﹣x+4．【点评】本题主要考查实数和整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握实数和整式的混合运算顺序和运算法则．20．【分析】（1）去分母化为一元一次方程求解，然后检验即可；（2）分别求出两个不等式组的解，然后根据“大小小大取中间”即可求出不等式组的解集．【解答】解：（1）方程两边同时乘以（x﹣1）（x+1），得3（x+1）＝2（x﹣1），去括号，得3x+3＝2x﹣2移项合并同类项，得x＝﹣5检验：将x＝﹣5代入原方程，得左边＝＝右边，∴原分式方程的解为x＝﹣5．（2）由①得x≥﹣1，由②得x＜3，∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜3．【点评】本题考查了分式方程与一元一次不等式组的解法．分式方程特别要注意验根，一元一次不等式组要注意不等号的方向．21．【分析】由“平行四边形ABCD的对边平行且相等”的性质推知AB＝CD，AB∥CD．然后根据图形中相关线段间的和差关系求得BE＝FD，易证四边形EBFD是平行四边形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．∵AE＝CF．∴BE＝FD，BE∥FD，∴四边形EBFD是平行四边形，∴DE＝BF．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．22．【分析】（1）作AB的垂直平分线，交边AC于D即可；（2）依据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．【解答】解：（1）作AB的垂直平分线，交边AC于D，如图所示：∴点D即为所求；（2）∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠CBD，由（1）可得，DA＝DB，∴∠A＝∠ABD＝35°，∴∠CDB＝70°，∴△BCD中，∠C＝40°．【点评】本题主要参考了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．23．【分析】（1）用D级的人数除以它占得百分比即可解答．（2）用“D时间段”部分的百分比乘以360度即可．（3）求出B时间段人数，再求出所占百分比即可解答．（4）根据样本估计总体的方法解答即可．【解答】解：（1）4÷5%＝80人；（2）360×5%＝18°；（3）如图（4）800×（35%+40%+20%）＝760名．答：估计本校九年级学生睡眠不足的人数为760名．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图能够清楚地表示各部分所占的百分比．24．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得；（3）设有x个红球被换成了黄球，根据颜色是一白一黄的概率为列出关于x的方程，解之可得．【解答】解：（1）∵袋中共有7个小球，其中红球有5个，∴从袋中随机摸出一个球是红球的概率为；（2）列表如下：白白红红红红红白（白，白）（白，白）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）白（白，白）（白，白）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）由表知共有49种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有20种结果，∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为；（3）设有x个红球被换成了黄球．根据题意，得：，解得：x＝3，即袋中有3个红球被换成了黄球．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．25．【分析】（1）依题意求出点B坐标，然后用待定系数法求解析式；（2）设OB＝m，则AD＝m+2，根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程求得m的值，然后根据弧长公式即可求得．【解答】解：（1）∵OB＝4，∴B（0，4）∵A（﹣2，0），设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x+4；（2）设OB＝m，则AD＝m+2，∵△ABD的面积是7.5，∴AD•OB＝7.5，∴（m+2）•m＝7.5，即m2+2m﹣15＝0，解得m＝3或m＝﹣5（舍去），∵∠BOD＝90°，∴点B的运动路径长为：×2π×3＝π．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积公式和弧长计算，难度一般．26．【分析】方法一：（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、③AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．方法二：（1）略．（2）找出A点的对称点点B，根据C，P，B三点共线求出BC与对称轴的交点P．（3）用参数表示的点M坐标，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式就可求解．（4）先求出AC的直线方程，利用斜率垂直公式求出OO’斜率及其直线方程，并求出H点坐标，进而求出O’坐标，求出DO’直线方程后再与AC的直线方程联立，求出Q点坐标．【解答】方法一：解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，得：，解得：∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3．（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；∵点A、B关于直线l对称，∴PA＝PB，∴BC＝PC+PB＝PC+PA设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：，解得：∴直线BC的函数关系式y＝﹣x+3；当x＝1时，y＝2，即P的坐标（1，2）．（3）抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），则：MA2＝m2+4，MC2＝（3﹣m）2+1＝m2﹣6m+10，AC2＝10；①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2+4＝m2﹣6m+10，得：m＝1；②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2+4＝10，得：m＝±；③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2﹣6m+10＝10，得：m1＝0，m2＝6；当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为M（1，）（1，﹣）（1，1）（1，0）．方法二：（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3．（2）连接BC，∵l为对称轴，∴PB＝PA，∴C，B，P三点共线时，△PAC周长最小，把x＝1代入l BC：y＝﹣x+3，得P（1，2）．（3）设M（1，t），A（﹣1，0），C（0，3），∵△MAC为等腰三角形，∴MA＝MC，MA＝AC，MC＝AC，（1+1）2+（t﹣0）2＝（1﹣0）2+（t﹣3）2，∴t＝1，（1+1）2+（t﹣0）2＝（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t＝±，（1﹣0）2+（t﹣3）2＝（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t1＝6，t2＝0，经检验，t＝6时，M、A、C三点共线，故舍去，综上可知，符合条件的点有4个，M1（1，），M2（1，﹣），M3（1，1），M4（1，0）．追加第（4）问：若抛物线顶点为D，点Q为直线AC上一动点，当△DOQ的周长最小时，求点Q 的坐标．（4）作点O关于直线AC的对称点O交AC于H，作HG⊥AO，垂足为G，∴∠AHG+∠GHO＝90°，∠AHG+∠GAH＝90°，∴∠GHO＝∠GAH，∴△GHO∽△GAH，∴HG2＝GO•GA，∵A（﹣1，0），C（0，3），∴l AC：y＝3x+3，H（﹣，），∵H为OO′的中点，∴O′（﹣，），∵D（1，4），∴l O′D：y＝x+，l AC：y＝3x+3，∴x＝﹣，y＝，∴Q（﹣，）．【点评】该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．27．【分析】（1）①根据题意画出图形，证明△COD是等腰直角三角形，求出CO的长度，再除以运动速度即可；②根据题意画出图形，证明四边形HCDO是正方形，设⊙O半径为r，根据切线长定理列出关于r的等量关系，即可求出r的值，进一步坟出CO的长度及运动时间；（2）根据题意画出图形，在等腰Rt△OCD及直角三角形ODQ中通过三角函数即可求出OC的长度，然后求出运动时间；（3）设运动时间为t，将线段BP，CP，DQ，QP等线段分别用含t的代数式表示，再通过三角函数及切线长定理构造等量关系，即可求出t的值．【解答】解：（1）①如图1，∵∠BCA＝90°，射线CK平分∠BCA，∴∠OCD＝45°，又∵OD⊥AC，∴△COD是等腰直角三角形，∴OC＝AC，在Rt△ABC中，A＝30°，BC＝2，AB＝4，∴AC＝2，∵＝，∴经过秒，⊙O过点A；②如图2，当⊙O与AB边相切于点N时，过点O作OH⊥BC于点H，∵OK是∠BCA的平分线，OD⊥AC，∴OH＝OD，∴BC，AC均与⊙O相切，∴∠OHC＝∠HCD＝∠CDO＝90°，∴四边形HCDO是矩形，又∵OH＝OD，∴矩形HCDO是正方形，设OH＝HC＝CD＝OD＝r，∴BH＝BN＝2﹣r，AD＝AN＝2﹣r，∴（2﹣r）+（2﹣r）＝4，解得，r＝﹣1，∵OC＝r，∴经过（﹣1）秒⊙O与AB边相切；（2）如图3，当点O运动到AB边上时，由（1）知，△COD是等腰直角三角形，OD＝CD＝r，在Rt△ODA中，∵∠A＝30°，∴AD＝OD＝r，∴r+r＝2，∴r＝3﹣，∵CO＝r，∴经过（3﹣）秒，点O运动到AB边上；（3）如图4，设点O运动时间为t秒时，线段PQ与⊙O相切，则BP＝t，CO＝t，HC＝CD＝t，∵PQ，PC，CQ都是⊙O的切线，∴PH＝PN＝2﹣t，在Rt△PCQ中，∠PQC＝∠A＝30°，∴QC＝PC＝（2﹣t）＝2﹣t，∴QN＝QD＝2﹣t﹣t，∴PQ＝PN+NQ＝2+2﹣t﹣t，∵PQ＝2PC，∴2+2﹣t﹣t＝2（2﹣t）解得，t＝∴经过秒时，线段PQ与⊙O相切．【点评】本题考查了锐角三角函数，切线长定理等，解题的关键是能够根据题意画出图形．28．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）设C（m，2m﹣6）（0＜m＜4），则D（m，），根据四边形的面积构建方程即可解决问题；（3）根据一次函数，利用方程组求出点O的坐标，即可解决问题；【解答】解：（1）把点B（4，b）代入y＝中，得到b＝2，∴B（4，2）代入y＝kx﹣6中，得到k＝2，故答案为2，2；（2）设C（m，2m﹣6）（0＜m＜4），则D（m，），∴CD＝﹣2m+6，∵S四边形OCBD＝，∴•CD•x B＝，即（﹣2m+6）×4＝，∴10m2﹣9m﹣40＝0，∴m1＝，m2＝﹣，经检验：m1＝，m2＝﹣是原方程的解，∵0＜m＜4，∴m＝，∴C（，﹣1）．（3）由平移可知：OO′∥AB，∴直线OO′的解析式为y＝2x，由，解得或（舍弃），∴O′（2，4），∴D′（，）．【点评】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．。
【附五套中考模拟卷】2019年无锡市宜兴市中考数学一模试卷
2019年无锡市宜兴市中考数学一模试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．﹣2的相反数是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．42．科学家在实验中检测出某微生物约为0.0000035米，将0.0000035用科学记数法表示为（）A．3.5×10﹣6B．3.5×106C．3.5×10﹣5D．35×10﹣53．下列运算正确的是（）A．（a﹣3）2=a2﹣9 B．a2•a4=a8C． =±3 D． =﹣24．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（）A．65° B．115°C．125°D．130°7．下列语句正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．矩形的对角线相等D．平行四边形是轴对称图形8．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）A．B．C．D．29．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D 为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．B．C．D．10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2 B．C．D．3二、填空题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）11．若式子有意义，则实数x的取值范围是．12．分解因式：xy2﹣x= ．13．方程=1的根是x= ．14．已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是．15．如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积之比为．16．如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为m（结果保留根号）．17．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0），B在⊙A上，BD是⊙A的一条弦．则sin∠OBD= ．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点F在边AC上，并且CF=1，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．三、解答题（本大题共有10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）19．计算：（1）﹣|﹣1|+•cos30°﹣（﹣）﹣2+（π﹣3.14）0．（2）（x﹣y）2﹣（x﹣2y）（x+y）20．（1）解方程：x2+3x﹣2=0；（2）解不等式组：．21．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．22．某学校为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）求本次测试共调查了多少名学生？（2）求本次测试结果为B等级的学生数，并补全条形统计图；（3）若该中学八年级共有900名学生，请你估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少人？23．在一个不透明的袋子中装有白色、黄色和蓝色三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，蓝球有1个．现从中任意摸出一个小球是白球的概率是．（1）袋子中黄色小球有个；（2）如果第一次任意摸出一个小球（不放回），第二次再摸出一个小球，请用画树状图或列表格的方法求两次都摸出白球的概率．24．某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H 型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？（2）为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置．请问至少需要补充多少名新工人？25．如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上．（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高．（结果保留根号）26．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC 交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．27．爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．【特例探究】（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a= ，b= ；如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a= ，b= ；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE 于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长．28．如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．﹣2的相反数是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4【考点】相反数．【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．【解答】解：﹣2的相反数是2．故选C．2．科学家在实验中检测出某微生物约为0.0000035米，将0.0000035用科学记数法表示为（）A．3.5×10﹣6B．3.5×106C．3.5×10﹣5D．35×10﹣5【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000035=3.5×10﹣6，故选：A．3．下列运算正确的是（）A．（a﹣3）2=a2﹣9 B．a2•a4=a8C． =±3 D． =﹣2【考点】同底数幂的乘法；算术平方根；立方根；完全平方公式．【分析】利用同底数幂的乘法、算术平方根的求法、立方根的求法及完全平方公式分别计算后即可确定正确的选项．【解答】解：A、（a﹣3）2=a2﹣6a+9，故错误；B、a2•a4=a6，故错误；C、=3，故错误；D、=﹣2，故正确，故选D．4．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差；算术平均数．【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．【解答】解：∵=＞=，∴从甲和丙中选择一人参加比赛，∵=＜＜，∴选择甲参赛，故选：A．5．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．6．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（）A．65° B．115°C．125°D．130°【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线性质求出∠CAB的度数，根据角平分线求出∠EAB的度数，根据平行线性质求出∠AED的度数即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠C=50°，∴∠CAB=180°﹣50°=130°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB=65°，∵AB∥CD，∴∠EAB+∠AED=180°，∴∠AED=180°﹣65°=115°，故选B．7．下列语句正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．矩形的对角线相等D．平行四边形是轴对称图形【考点】矩形的性质；全等三角形的判定；菱形的判定；轴对称图形．【分析】由菱形的判定方法得出选项A错误；由全等三角形的判定方法得出选项B错误；由矩形的性质得出选项C正确；由平行四边形的性质得出选项D错误；即可得出结论．【解答】解：∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴选项A错误；∵有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，∴选项B错误；∵矩形的对角线相等，∴选项C正确；∵平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，∴选项D错误；故选：C．8．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）A．B．C．D．2【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．【分析】设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C，根据三角函数的定义即可求解．【解答】解：设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C．则OC=2，BC=1，则tanα==．故选C．9．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D 为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．B．C．D．【考点】解直角三角形．【分析】设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB=BC=x，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AM=AD=x，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果．【解答】解：如图所示：设BC=x，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，在Rt△AEM中，cos∠EAD===；故选：B．10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2 B．C．D．3【考点】三角形的面积．【分析】连接AC，过B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易得△ABC的面积，可得BG和△ADC的面积，三角形ABC与三角形ACD同底，利用面积比可得它们高的比，而GH又是△ACD以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形的面积公式可得结果．【解答】解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC===4，∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，∴AG=BG=2∵S△ABC=•AB•AC=×2×2=4，∴S△ADC=2，∵=2，∴GH=BG=，∴BH=，又∵EF=AC=2，∴S△BEF=•EF•BH=×2×=，故选C．二、填空题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）11．若式子有意义，则实数x的取值范围是x≥1 ．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的性质可以得到x﹣1是非负数，由此即可求解．【解答】解：依题意得x﹣1≥0，∴x≥1．故答案为：x≥1．12．分解因式：xy2﹣x= x（y﹣1）（y+1）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：xy2﹣x，=x（y2﹣1），=x（y﹣1）（y+1）．故答案为：x（y﹣1）（y+1）．13．方程=1的根是x= ﹣2 ．【考点】分式方程的解．【分析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入x﹣3进行检验即可．【解答】解：两边都乘以x﹣3，得：2x﹣1=x﹣3，解得：x=﹣2，检验：当x=﹣2时，x﹣3=﹣5≠0，故方程的解为x=﹣2，故答案为：﹣2．14．已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是8π．【考点】圆锥的计算．【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面半径是2，则底面周长=4π，圆锥的侧面积=×4π×4=8π．15．如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积之比为1：9 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由DE与BC平行，得到两对同位角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形ABC相似，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2=1：9，故答案为：1：9．16．如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为10+1 m（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】首先过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，然后在Rt△BAE中，∠BAE=60°，然后由三角形函数的知识求得BE的长，继而求得答案．【解答】解：如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，∵在Rt△BAE中，∠BAE=60°，∴BE=AE•tan60°=10（m），∴BC=CE+BE=10+1（m）．∴旗杆高BC为10+1m．故答案为：10+1．17．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0），B在⊙A上，BD是⊙A的一条弦．则sin∠OBD= ．【考点】圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD．【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），∴OD=3，OC=4，∴CD=5，连接CD，∵∠OBD=∠OCD，∴sin∠OBD=sin∠OCD==．故答案为：．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点F在边AC上，并且CF=1，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】延长FP交AB于M，得到FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，根据相似三角形的性质求出FM，根据折叠的性质QC PF，计算即可．【解答】解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°，∴△AFM∽△ABC，∴=，即=，解得，FM=，由折叠的性质可知，FP=FC=1，∴PM=，故答案为：．三、解答题（本大题共有10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）19．计算：（1）﹣|﹣1|+•cos30°﹣（﹣）﹣2+（π﹣3.14）0．（2）（x﹣y）2﹣（x﹣2y）（x+y）【考点】多项式乘多项式；完全平方公式；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】（1）先算绝对值，二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，再相加即可求解；（2）先根据完全平方公式，多项式乘多项式的计算法则计算，再合并同类项即可求解．【解答】解：（1）﹣|﹣1|+•cos30°﹣（﹣）﹣2+（π﹣3.14）0=﹣1+2×﹣4+1=﹣1+3﹣4+1=﹣1；（2）（x﹣y）2﹣（x﹣2y）（x+y）=x2﹣2xy+y2﹣x2+xy+2y2=﹣xy+3y2．20．（1）解方程：x2+3x﹣2=0；（2）解不等式组：．【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元一次不等式组．【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可；（2）先求出两个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出即可．【解答】解：（1）x2+3x﹣2=0，∵b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣2）=17，∴x=，x1=，x2=﹣；（2）∵解不等式①得：x≥4，解不等式②得：x＞5，∴不等式组的解集为：x＞5．21．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定．【分析】由菱形的性质得出AD=CD，由中点的定义证出DE=DF，由SAS证明△ADE≌△CDF即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∵点E、F分别为边CD、AD的中点，∴AD=2DF，CD=2DE，∴DE=DF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS）．22．某学校为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）求本次测试共调查了多少名学生？（2）求本次测试结果为B等级的学生数，并补全条形统计图；（3）若该中学八年级共有900名学生，请你估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少人？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）设本次测试共调查了x名学生，根据总体、个体、百分比之间的关系列出方程即可解决．（2）用总数减去A、C、D中的人数，即可解决，画出条形图即可．（3）用样本估计总体的思想解决问题．【解答】解：（1）设本次测试共调查了x名学生．由题意x•20%=10，x=50．∴本次测试共调查了50名学生．（2）测试结果为B等级的学生数=50﹣10﹣16﹣6=18人．条形统计图如图所示，（3）∵本次测试等级为D所占的百分比为=12%，∴该中学八年级共有900名学生中测试结果为D等级的学生有900×12%=108人．23．在一个不透明的袋子中装有白色、黄色和蓝色三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，蓝球有1个．现从中任意摸出一个小球是白球的概率是．（1）袋子中黄色小球有 1 个；（2）如果第一次任意摸出一个小球（不放回），第二次再摸出一个小球，请用画树状图或列表格的方法求两次都摸出白球的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）应先根据白球的个数及概率求得球的总数，减去白球和蓝球的个数即为黄球的个数；（2）用树状图列举出所有情况，看两次都摸出白球的情况占总情况的多少即可．【解答】解：（1）黄球个数=2÷﹣2﹣1=1；（2）共有12种情况，两次都摸出白球的情况有2种，所以概率是．24．某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H 型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？（2）为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置．请问至少需要补充多少名新工人？【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．【分析】（1）设有x名工人加工G型装置，则有（80﹣x）名工人加工H型装置，利用每台GH型产品由4个G 型装置和3个H型装置配套组成得出等式求出答案；（2）设招聘a名新工人加工G型装置，设x名工人加工G型装置，（80﹣x）名工人加工H型装置，进而利用每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品得出等式表示出x的值，进而利用不等式解法得出答案．【解答】解：（1）设有x名工人加工G型装置，则有（80﹣x）名工人加工H型装置，根据题意， =，解得x=32，则80﹣32=48（套），答：每天能组装48套GH型电子产品；（2）设招聘a名新工人加工G型装置仍设x名工人加工G型装置，（80﹣x）名工人加工H型装置，根据题意， =，整理可得，x=，另外，注意到80﹣x≥，即x≤20，于是≤20，解得：a≥30，答：至少应招聘30名新工人，25．如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上．（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】（1）根据坡度定义直接解答即可；（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．证出∠GDH=∠SBH，根据=，得到GH=1m，利用勾股定理求出DH的长，然后求出BH=5m，进而求出HS，然后得到DS．【解答】解：（1）∵坡度为i=1：2，AC=4m，∴BC=4×2=8m．（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．∵∠DGH=∠BSH，∠DHG=∠BHS，∴∠GDH=∠SBH，∴=，∵DG=EF=2m，∴GH=1m，∴DH==m，BH=BF+FH=3.5+（2.5﹣1）=5m，设HS=xm，则BS=2xm，∴x2+（2x）2=52，∴x=m∴DS=+=2m．26．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC 交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；（3）根据cosB=，得出AB的长，即可求出AE的长，再判断△AEG∽△DEA，求出EG•ED的值．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C；（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD=180°﹣∠E，又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，∴∠CFD=∠E=55°，又∵∠E=∠C=55°，∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；（3）解：连接OE，∵∠CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ABD中，cosB=，BD=4，∴AB=6，∵E是的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE=90°，∵AO=OE=3，∴AE=3，∵E是的中点，∴∠ADE=∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴=，即EG•ED=AE2=18．27．爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．【特例探究】（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a= 4，b= 4；如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a= ，b= ；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE 于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）①首先证明△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解决问题．②连接MN，在RT△PAB，RT△PMN中，利用30°性质求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解决问题．（2）结论a2+b2=5c2．设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题．（3）取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，首先证明△ABF是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题．【解答】（1）解：如图1中，∵CN=AN，CM=BM，∴MN∥AB，MN=AB=2，∵tan∠PAB=1，∴∠PAB=∠PBA=∠PNM=∠PMN=45°， ∴PN=PM=2，PB=PA=4，∴AN=BM==2．∴b=AC=2AN=4，a=BC=4．故答案为4，4，如图2中，连接NM ， ，∵CN=AN ，CM=BM ， ∴MN ∥AB ，MN=AB=1， ∵∠PAB=30°， ∴PB=1，PA=，在RT △MNP 中，∵∠NMP=∠PAB=30°， ∴PN=，PM=，∴AN=，BM=，∴a=BC=2BM=，b=AC=2AN=，故答案分别为，．（2）结论a 2+b 2=5c 2． 证明：如图3中，连接MN ． ∵AM 、BN 是中线， ∴MN ∥AB ，MN=AB ， ∴△MPN ∽△APB ， ∴==，设MP=x ，NP=y ，则AP=2x ，BP=2y ， ∴a 2=BC 2=4BM 2=4（MP 2+BP 2）=4x 2+16y 2， b 2=AC 2=4AN 2=4（PN 2+AP 2）=4y 2+16x 2， c 2=AB 2=AP 2+BP 2=4x 2+4y 2，∴a 2+b 2=20x 2+20y 2=5（4x 2+4y 2）=5c 2． （3）解：如图4中，在△AGE 和△FGB 中，，∴△AGE ≌△FGB ，∴BG=FG ，取AB 中点H ，连接FH 并且延长交DA 的延长线于P 点，同理可证△APH≌△BFH，∴AP=BF，PE=CF=2BF，即PE∥CF，PE=CF，∴四边形CEPF是平行四边形，∴FP∥CE，∵BE⊥CE，∴FP⊥BE，即FH⊥BG，∴△ABF是中垂三角形，由（2）可知AB2+AF2=5BF2，∵AB=3，BF=AD=，∴9+AF2=5×（）2，∴AF=4．28．如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，分E点为抛物线上的普通点和顶点2种情况讨论，即可求出平行四边形的面积．（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象①AB为平行四边形的边时，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．②当点E在抛物线顶点时，点E（﹣1，），设对称轴与x轴交点为M，令EM与FM相等，则四边形AEBF是菱形，此时以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=×6×=．（3）如图所示，①当C为等腰三角形的顶角的顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，CN==，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为等腰三角形的顶角的顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+2，∴线段AC的垂直平分线为y=x与对称轴的交点为M3（﹣1．﹣1），∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为等腰三角形的顶角的顶点的三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．中考数学模拟试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．中国海军第一艘国产航母001A 型航母在2017年4月26日下水,该航母的飞行甲板长约300米，宽约70米，总面积约21000平方米.将21000用科学记数法表示应为 A ．42.110⨯ B ．50.2110⨯ C ．32110⨯ D ．52.110⨯2. 实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A ．a<-2B ．b >-1C ．-a<-bD ．a > b3. 如图所示，用量角器度量∠AOB ，可以读出∠AOB 的度数为A ．45°B ．55°C ．135°D ．145°4.内角和与外角和相等的多边形是A B C D5．在一个不透明的袋子里装有2个红球、3个黄球和5个蓝球，这些球除颜色外，没有任何区别． 现从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 A ．110 B ．15 C ．310D ．126. 下列图标中，是轴对称的是A B C D7.中国象棋是中华民族的文化瑰宝,它渊远流长,趣味浓厚．如图，在某平面直角坐标系中，○炮所在位置的坐标为(-3, 1),○相所在位置的坐标为(2,-1), 那么， ○帅所在位置的坐标为A ．（0，1）B ．（4，0）C ．（-1，0）D ．（0，-1）8.抛物线263y x x =-+的顶点坐标为A ．（3，–6）B ．（3，12）C ．（–3，-9）D ．（–3，–6）9.如图，⊙O 的半径OC 垂直于弦AB ，垂足为D ，OA= ∠B=22.5°，AB 的长为A ．2B ．4 C． D．10. 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭8次，三人的测试成绩如下表:s 2甲、s2乙、s 2丙分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的方差，下面各式中正确的是A ．s 2甲＞s 2乙＞s 2丙 B ．s 2乙＞s 2甲＞s 2丙C ．s 2丙＞s2甲＞s2乙D ．s2丙＞s2乙＞s2甲二、填空题（本题共18分，每小题3分）11.在函数y =中，自变量x 的取值范围是 ． 12. 分解因式：ax 2-4ay 2= ．13. 写出一个图象经过点（1，1）的函数的表达式，所写的函数的表达式为 ．14.在某一时刻，测得一根高为1.2m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一栋楼的影长为45m ，那么这栋楼的高度为 m ．15.在一段时间内，小军骑自行车上学和乘坐公共汽车上学的次数基本相同，他随机记录了其中某些天上学所用的时间，整理如下表：下面有四个推断：①平均来说，乘坐公共汽车上学所需的时间较短 ②骑自行车上学所需的时间比较容易预计③如果小军想在上学路上花的时间更少,他应该更多地乘坐公共汽车 ④如果小军一定要在16 min 内到达学校，他应该乘坐公共汽车 其中合理的是 （填序号）．16．阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：小强的作法如下：老师表扬了小强的作法是对的．请回答：小强这样作图的主要依据是 ．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17.计算：201()(4cos 452π--+︒.尺规作图：经过直线外一点作这条直线的平行线． 已知：直线l 和直线l 外一点A ． 求作：直线l 的平行线，使它经过点A ．如图,（1）过点A 作直线m 交直线l 于点B ；（2）以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，交直线m 于点C ； （3）在直线l 上取点D （不与点B 重合）,连接CD ； （4）作线段CD 的垂直平分线n ，交线段CD 于点E ； （5）作直线AE . 所以直线AE 即为所求．。
无锡市宜兴市2019年中考数学一模试卷含答案解析+【精选五套中考模拟卷】
无锡市宜兴市2019年中考数学一模试卷含答案解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．的值为（ ）A ．2B ．﹣2C ．±2D ．2．太阳的半径大约是696 000千米，用科学记数法可表示为（ ）A ．696×103千米B ．6.96×105千米C ．6.96×106千米D ．0.696×106千米3．﹣a 3•（﹣a ）2的运算结果是（ ）A ．a 5B ．﹣a 5C ．a 6D ．﹣a 64．tan30°的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．一次数学测试，某小组五名同学的成绩如下表所示（有两个数据被遮盖）．那么被遮盖的两个数据依次是（ ）A ．80，2B ．80，C ．78，2D ．78， 6．下列四个命题中，真命题是（ ） A ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形C ．对角线垂直相等的四边形是菱形D ．四边都相等的四边形是正方形7．如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：EC=（ ）A ．2：5B ．2：3C ．3：5D ．3：28．如图，△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，AC=2，点D 在AC 上，以CD 为直径作⊙O 与BA 相切于点E ，则BE 的长为（ ）A．B．C．2 D．39．图1是一个正六面体，把它按图2中所示方法切割，可以得到一个正六边形的截面，则下列展开图中正确画出所有的切割线的是（）A．B．C．D．10．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．B．2 C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．分解因式：3x2﹣3y2= ．12．已知方程组，则x+y= ．13．若反比例函数的图象经过第一、三象限，则 k的取值范围是．14．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．15．已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为．16．如图，△ABC中，∠ABC=70°，∠BAC的外角平分线与∠ACB的外角平分线交于点O，则∠ABO= 度．17．一张矩形纸片经过折叠得到一个三角形（如图），则矩形的长与宽的比为．18．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．三、解答题19．（1）2cos30°+（）﹣1+|1﹣|﹣（3﹣π）0；（2）÷﹣1，再选取一个合适的a的值代入求值．20．（1）解方程：x2+4x﹣1=0；（2）解不等式组．21．如图，已知：BC与CD重合，∠ABC=∠CDE=90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是．22．某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．（1）该顾客至少可得到元购物券，至多可得到元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．23．为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师从中随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成尚不完整的扇形图和条形图，根据图形信息回答下列问题：（1）本次抽测的男生有人，抽测成绩的众数是；（2）请将条形图补充完整；（3）若规定引体向上6次以上（含6次）为体能达标，则该校125名九年级男生中估计有多少人体能达标？24．（10分）（2019•宜兴市一模）如图，在平面直角坐标中，点D在y轴上，以D为圆心，作⊙D交x轴于点E、F，交y轴于点B、G，点A在⊙D上，连接AB交x轴于点H，连接AF并延长到点C，使∠FBC=∠A．（1）判断直线BC与⊙D的位置关系，并说明理由；（2）求证：BE2=BH•A B；（3）若点E坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，﹣2），AB=8，求F与A两点的坐标．25．小米手机越来越受到大众的喜爱，各种款式相继投放市场，某店经营的A款手机去年销售总额为50000元，今年每部销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．（1）今年A款手机每部售价多少元？（2）该店计划新进一批A款手机和B款手机共60部，且B款手机的进货数量不超过A款手机数量的两倍，应如何进货才能使这批手机获利最多？A，B两款手机的进货和销售价格如下表：26．（10分）（2019•宜兴市一模）甲乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了450cm．甲比乙先出发，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．两机器人行走的路程y（cm）与时间x（s）之间的函数图象如图所示．根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙比甲晚出发秒，乙提速前的速度是每秒cm，t= ；（2）己知甲匀速走完了全程，请补全甲的图象；（3）当x为何值时，乙追上了甲？27．（10分）（2019•宜兴市一模）如图，在平面直角坐标系中，过A（﹣2，0）， C（0，6）两点的抛物线y=﹣x2+ax+b与x轴交于另一点B，点D是抛物线的顶点．（1）求a、b的值；（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q．随着点P的运动，若以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点Q的坐标；（3）在直线AC上是否存在一点M，使△BDM的周长最小？若存在，请找出点M并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．28．（10分）（2019•宜兴市一模）已知：在直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），点C是线段AB的中点，CD⊥OB交OB于点D，Rt△EFH的斜边EH在射线AB上，顶点F在射线AB的左侧，EF∥OA．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度向点B运动，到点B停止．AE=EF，运动时间为t（秒）．（1）在Rt△EFH中，EF= ，EH= ；F（，）（用含有t的代数式表示）（2）当点H与点C重合时，求t的值．（3）设△EFH与△CDB重叠部分图形的面积为S（S＞0），求S与t的关系式；（4）求在整个运动过程中Rt△EFH扫过的面积．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【考点】算术平方根．【分析】根据算术平方根的定义得出即为4的算术平方根，进而求出即可．【解答】解： =2．故选A【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，熟练利用算术平方根的定义得出是解题关键．2．太阳的半径大约是696 000千米，用科学记数法可表示为（）A．696×103千米 B．6.96×105千米C．6.96×106千米D．0.696×106千米【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：696000=6.96×105；故选A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．﹣a3•（﹣a）2的运算结果是（）A．a5B．﹣a5C．a6D．﹣a6【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．【分析】首先利用积的乘方的性质，然后利用同底数幂的乘法的性质，即可求解．【解答】解：原式=﹣a3•a2=﹣a5．故选B．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．4．tan30°的值为（）A．B．C．D．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据30°角的正切值，可得答案．【解答】解：tan30°=，故选：B．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．5．一次数学测试，某小组五名同学的成绩如下表所示（有两个数据被遮盖）．那么被遮盖的两个数据依次是（）A．80，2 B．80，C．78，2 D．78，【考点】方差；算术平均数．【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答案．【解答】解：根据题意得：80×5﹣（81+79+80+82）=78，方差= [（81﹣80）2+（79﹣80）2+（78﹣80）2+（80﹣80）2+（82﹣80）2]=2．故选C．【点评】本题考查了平均数与方差，掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键，一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．下列四个命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形C．对角线垂直相等的四边形是菱形D．四边都相等的四边形是正方形【考点】命题与定理．【分析】利用正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形，故错误，是假命题；B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确，是真命题；C、对角线垂直平分的四边形是菱形，故错误，是假命题，D、四边都相等的四边形是菱形，故错误，是假命题，故选B．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理，属于基础题，难度不大．7．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：AB的值，由AB=CD即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．故选B．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．8．如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AC=2，点D在AC上，以CD为直径作⊙O与BA相切于点E，则BE的长为（）A．B．C．2 D．3【考点】切线的性质．【分析】由∠C=90°，∠B=60°，AC=2，得到BC===2，由于CD为⊙O直径，得到BC是⊙O 的切线，根据切线长定理即可得到结论．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，AC=2，∴BC===2，∵CD为⊙O直径，∴BC是⊙O的切线，∴BE=BC=2，故选C．【点评】本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，熟记定理是解题的关键．9．图1是一个正六面体，把它按图2中所示方法切割，可以得到一个正六边形的截面，则下列展开图中正确画出所有的切割线的是（）A．B．C．D．【考点】截一个几何体；几何体的展开图．【分析】根据正六面体和截面的特征，可动手操作得到答案．【解答】解：动手操作可知，画出所有的切割线的是图形C．故选C．【点评】考查了截一个几何体和几何体的展开图，观察思考与动手操作结合，得到相应的规律是解决本题的关键．10．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．B．2 C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意有C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，根据勾股定理求得AB，根据三角形面积求得CF，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．【解答】解：过O作OG垂于G，连接OC，∵OC=，只有C、O、G三点在一条直线上OE最小，连接OM，∴OM=，∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，作CF⊥AB于F，∴G和F重合时，MN有最大值，∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB==5，∵AC•BC=AB•CF，∴CF=，∴OG=﹣=，∴MG==，∴MN=2MG=，故选C．【点评】本题考查了垂线段最短，垂径定理，勾股定理，过O作OG垂于E，得出C、O、G三点在一条直线上OE 最小是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．分解因式：3x2﹣3y2= 3（x+y）（x﹣y）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=3（x2﹣y2）=3（x+y）（x﹣y），故答案为：3（x+y）（x﹣y）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．已知方程组，则x+y= 2 ．【考点】解二元一次方程组．【分析】两方程相加，变形即可求出x+y的值．【解答】解：两方程相加得：4（x+y）=8，则x+y=2．故答案为：2．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：加减消元法与代入消元法．13．若反比例函数的图象经过第一、三象限，则 k的取值范围是k＜．【考点】反比例函数的性质．【分析】先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数的图象经过第一、三象限，∴1﹣3k≥0，解得k＜．故答案为：k＜．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限是解答此题的关键．14．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 2 ．【考点】圆锥的计算．【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．【解答】解：扇形的弧长==4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．故答案为：2．【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．15．已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为m＞﹣8且m≠﹣4 ．【考点】分式方程的解．【分析】求出分式方程的解x=﹣，得出﹣＜0，求出m的范围，根据分式方程得出﹣≠﹣2，求出m，即可得出答案．【解答】解：，2x﹣m=4x+8，﹣2x=8+m，x=﹣，∵关于x的方程的解是负数，∴﹣＜0，解得：m＞﹣8，∵方程，∴x+2≠0，即﹣≠﹣2，∴m≠﹣4，故答案为：m＞﹣8且m≠﹣4．【点评】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，关键是得出﹣＜0和﹣≠﹣2，题目具有一定的代表性，但是有一定的难度．16．如图，△ABC中，∠ABC=70°，∠BAC的外角平分线与∠ACB的外角平分线交于点O，则∠ABO= 35 度．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，OG⊥AC于点G，由于点O是∠BAC的外角平分线与∠ACB的外角平分线的交点，故OE=OG=OF，所以OB是∠ABC的平分线，由此即可得出结论．【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，OG⊥AC于点G，∵点O是∠BAC的外角平分线与∠ACB的外角平分线的交点，∴OE=OG，OF=OG，∴OE=OG=OF，∴OB是∠ABC的平分线，∴∠ABO=∠ABC=×70°=35°．故答案为：35．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用角平分线的性质进行解答即可．17．一张矩形纸片经过折叠得到一个三角形（如图），则矩形的长与宽的比为2：．【考点】翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质；矩形的性质．【分析】首先由折叠的性质与矩形的性质求得：∠ABC′=30°，BC′=BC，然后在Rt△ABC′中，利用三角函数的知识即可求得答案．【解答】解：根据折叠的性质得：BC′=BC，∠ABC′=∠C′BE=∠EBC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠A=90°，∴∠ABC′=∠ABC=30°，∴在Rt△ABC′中，cos∠ABC′==cos30°=，∴矩形的长与宽的比为：2：．故答案为：2：．【点评】此题考查了折叠的性质，矩形的性质以及三角函数等知识．解题的关键是找到折叠中的对应关系，还要注意数形结合思想的应用．18．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】过点E作y轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，利用平行线的性质和三角函数的定义得到tan∠HED=tan∠EBA==，设DH=4m，EH=3m，则DE=5m，则可判断蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，于是得到蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，利用两点之间线段最短得到AD+DH的最小值为AQ的长，接着求出A点和B点坐标，再利用待定系数法求出BE的解析式，然后解由直线解析式和抛物线解析式所组成的方程组确定E点坐标，从而得到AQ的长，然后计算爬行的时间．【解答】解：过点E作y轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB=∠ABE，∴tan∠HED=tan∠EBA==，设DH=4m，EH=3m，则DE=5m，∴蚂蚁从D爬到E点的时间==4（s）若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间==4（s），∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，作AG⊥EH于G，则AD+DH≥AH≥AG，∴AD+DH的最小值为AQ的长，当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），直线BE交y轴于C点，如图，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO==，∴OC=4，则C（0，4），设直线BE的解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，∴直线BE的解析式为y=﹣x+4，解方程组得或，则E点坐标为（﹣，），∴AQ=，∴蚂蚁从A爬到G点的时间==（s），即蚂蚁从A到E的最短时间为s．故答案为．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标化为解关于x的一元二次方程．解决本题的关键是确定蚂蚁在DH和DE上爬行的时间相等．三、解答题19．（1）2cos30°+（）﹣1+|1﹣|﹣（3﹣π）0；（2）÷﹣1，再选取一个合适的a的值代入求值．【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】（1）分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值及绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．【解答】解：（1）原式=2×+3+﹣1﹣1=+3+﹣1﹣1=2+1；（2）原式=•﹣1=﹣1=﹣．当a=﹣1时，原式=﹣1．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．（1）解方程：x2+4x﹣1=0；（2）解不等式组．【考点】解一元一次不等式组；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可得解．【解答】解：（1）x2+4x﹣1=0，x2+4x=1，x2+4x+4=1+4，（x+2）2=5，x+2=±，x=﹣2±；（2）解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜3．所以，不等式组的解集是：﹣1≤x＜3．【点评】考查了一元一次不等式组，一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．同时考查了解一元二次方程﹣配方法．21．如图，已知：BC与CD重合，∠ABC=∠CDE=90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是90°．【考点】作图-旋转变换．【分析】分别作出AC，CE的垂直平分线进而得出其交点O，进而得出答案．【解答】解：如图所示：旋转角度是90°．故答案为：90°．【点评】此题主要考查了旋转变换，得出旋转中心的位置是解题关键．22．某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．（1）该顾客至少可得到10 元购物券，至多可得到50 元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）如果摸到0元和10元的时候，得到的购物券是最少，一共10元．如果摸到20元和30元的时候，得到的购物券最多，一共是50元；（2）列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．【解答】解：（1）10，50；（2）解法一（树状图）：从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，因此P（不低于30元）=；解法二（列表法）：（以下过程同“解法一”）【点评】本题主要考查概率知识．解决本题的关键是弄清题意，满200元可以摸两次，但摸出一个后不放回，概率在变化．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师从中随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成尚不完整的扇形图和条形图，根据图形信息回答下列问题：（1）本次抽测的男生有25 人，抽测成绩的众数是6次；（2）请将条形图补充完整；（3）若规定引体向上6次以上（含6次）为体能达标，则该校125名九年级男生中估计有多少人体能达标？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）用7次的人数除以7次所占的百分比即可求得总人数，然后求得6次的人数即可确定众数；（2）补齐6次小组的小长方形即可．（2）用总人数乘以达标率即可．【解答】解：（1）观察统计图知达到7次的有7人，占28%，∴7÷28%=25人，达到6次的有25﹣2﹣5﹣7﹣3=8人，故众数为6次；…（4分）（2）（3）（人）．答：该校125名九年级男生约有90人体能达标．…（3分）【点评】本题考查了条形统计图的知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的有关信息．24．（10分）（2019•宜兴市一模）如图，在平面直角坐标中，点D在y轴上，以D为圆心，作⊙D交x轴于点E、F，交y轴于点B、G，点A在⊙D上，连接AB交x轴于点H，连接AF并延长到点C，使∠FBC=∠A．（1）判断直线BC与⊙D的位置关系，并说明理由；（2）求证：BE2=BH•AB；（3）若点E坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，﹣2），AB=8，求F与A两点的坐标．【考点】圆的综合题．【分析】（1）首先连接GF，由BG是⊙D直径，可得∠GFB=90°，然后由圆周角定理，求得∠FBC+∠GBF=90°，继而证得结论；（2）首先连接AE，由垂径定理可得=，继而证得△BEH∽△BAE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；（3）首先过点A作AQ⊥GB于点Q，由垂径定理即可求得OE与OF的长，然后由勾股定理求得BH的长，再利用△BOH∽△BQA，求得答案．【解答】解：（1）直线BC与⊙D相切．证明：如图，连接GF，∵BG是⊙D直径，∴∠GFB=90°，∴∠BGF+∠GBF=90°，∵∠BAF=∠BGF，∠FBC=∠A，∴∠BGF=∠FBC，∴∠FBC+∠GBF=90°，即∠GBC=90°，∴直线BC与⊙D相切；（2）如图，连接AE，∵BG⊥EF，BG是⊙D直径，∴=，∴∠BEH=∠BAE，∵∠BAE=∠EAH，∴△BEH∽△BAE，∴=，∴BE2=BH•AB；（3）过点A作AQ⊥GB于点Q，∵E（﹣4，0），根据垂径定理得OE=OF=4，∴F（4，0），∵BE2=BH•AB，BE2=OE2+OB2=16+4=20，AB=8，∴BH=2.5，得OH=1.5，由△BOH∽△BQA得：，∴AQ=4.8，BQ=6.4，∴OQ=4.4，∴A（﹣4.8，4.4）．【点评】此题属于圆的综合题．考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．25．小米手机越来越受到大众的喜爱，各种款式相继投放市场，某店经营的A款手机去年销售总额为50000元，今年每部销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．（1）今年A款手机每部售价多少元？（2）该店计划新进一批A款手机和B款手机共60部，且B款手机的进货数量不超过A款手机数量的两倍，应如何进货才能使这批手机获利最多？A，B两款手机的进货和销售价格如下表：【考点】一次函数的应用；分式方程的应用．【分析】（1）设今年A款手机的每部售价x元，则去年售价每部为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；（2）设今年新进A款手机a部，则B款手机（60﹣a）部，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a 的取值范围就可以求出y的最大值【解答】解：（1）设今年A款手机每部售价x元，则去年售价每部为（x+400）元，由题意，得， =解得：x=1600．经检验，x=1600是原方程的根．答：今年A款手机每部售价1600元；（2）设今年新进A款手机a部，则B款手机（60﹣a）部，获利y元，由题意，得y=（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（60﹣a）=﹣100a+36000．∵B款手机的进货数量不超过A款手机数量的两倍，∴60﹣a≤2a，∴a≥20，∵y=﹣100a+36000．∴k=﹣100＜0，∴y随a的增大而减小．∴a=20时，y最大=34000元．∴B款手机的数量为：60﹣20=40部．答：当新进A款手机20部，B款手机40部时，这批手机获利最大．【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关健．26．（10分）（2019•宜兴市一模）甲乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了450cm．甲比乙先出发，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．两机器人行走的路程y（cm）与时间x（s）之间的函数图象如图所示．根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙比甲晚出发15 秒，乙提速前的速度是每秒15 cm，t= 31 ；（2）己知甲匀速走完了全程，请补全甲的图象；（3）当x为何值时，乙追上了甲？【考点】一次函数的应用；解一元一次方程；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式．【分析】（1）根据图象x=15时，y=0知乙比甲晚15s；由x=17时y=30，求得提速前速度；根据时间=路程÷速度可求提速后所用时间，即可得到t值；（2）甲的速度不变，可知只需延长OA到y=450即可；（3）乙追上甲即行走路程y相等，求图象上OA与BC相交时x的值．【解答】解：（1）由题意可知，当x=15时，y=0，故乙比甲晚出发15秒；当x=15时，y=0；当x=17时，y=30；故乙提速前的速度是（cm/s）；∵乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍，∴乙提速后速度为30cm/s，故提速后乙行走所用时间为：（s），∴t=17+14=31（s）；。
江苏省无锡市宜兴市周铁中学2019年中考数学一模试卷(含解析)
2019年江苏省无锡市宜兴市中学中考数学一模试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列关系一定成立的是（）A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|＝b，则a＝bC．若|a|＝﹣b，则a＝b D．若a＝﹣b，则|a|＝|b|2．函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≠﹣4 B．x≠4 C．x≤﹣4 D．x≤43．下列运算正确的是（）A．2a2+a2＝3a4B．（﹣2a2）3＝8a6C．a3÷a2＝a D．（a﹣b）2＝a2﹣b24．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．正六边形C．正方形D．圆5．一组数据：2，﹣1，0，3，﹣3，2．则这组数据的中位数和众数分别是（）A．0，2 B．1.5，2 C．1，2 D．1，36．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（）A．24cm2B．24πcm2C．48cm2D．48πcm27．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对边平行C．对边相等D．对角线互相平分8．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（）A．8 B．6 C．12 D．109．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝3：4，连接AE交对角线BD于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（）A．3：4：7 B．9：16：49 C．9：21：49 D．3：7：4910．如图，在直角坐标系中，直线AB：y＝﹣2x+b，直线y＝x与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y＝的图象过点C．当S△CDE＝时，k的值是（）A．18 B．12 C．9 D．3二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）11．把多项式9x﹣x3分解因式的结果为．12．将201800000用科学记数法表示为．13．若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为．14．如图，在△ABO中，∠ABO＝90°，点A的坐标为（3，4）．写出一个反比例函数y＝（k≠0），使它的图象与△ABO有两个不同的交点，这个函数的表达式为．15．如图，在▱ABCD中，E是边BC上的点，分别连结AE、BD相交于点O，若AD＝10，＝，则EC＝．16．如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为米．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点F在边AC上，并且CF＝1，点E为边BC 上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为．三．解答题（共10小题，满分84分）19．（8分）计算或化简：（1）+（）﹣1﹣4cos45°+（﹣π）0．（2）（x﹣2）2﹣x（x﹣3）．20．（8分）（1）解方程：；（2）求不等式组的解集21．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上，且AE＝CF．求证：DE＝BF．22．（6分）如图，△ABC（∠B＞∠A）．（1）在边AC上用尺规作图作出点D，使∠ADB+2∠A＝180°（保留作图痕迹）；（2）在（1）的情况下，连接BD，若CB＝CD，∠A＝35°，求∠C的度数．23．（8分）学习了统计知识后，某中学小光同学，为了解本校九年级学生晚间睡眠时间，进行了一次抽样调查，设睡眠时间为t小时，所得数据按以下四个时间段进行统计：A．t＜6 B．6≤t＜7 C．7≤t＜8 D．t≥8图1，图2是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答以下问题：（1）这次调查中，共抽查了名学生；（2）在扇形统计图中，“D时间段”部分所对应的圆心角是度；（3）补全两幅统计图；（4）本校九年级共有800名学生．若睡眠时间不足8小时均为睡眠不足，估计本校九年级学生睡眠不足的人数？24．（8分）已知一个不透明的袋子中装有7个只有颜色不同的球，其中2个白球，5个红球．（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率．（2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率．（3）若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为，求袋中有几个红球被换成了黄球．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣2，0）的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着O顺时针旋转90°后，分别与x轴y轴交于点D、C．（1）若OB＝4，求直线AB的函数关系式；（2）连接BD，若△ABD的面积是7.5，求点B的运动路径长．26．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．27．（10分）已知如图1，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，A＝30°，BC＝2cm，射线CK平分∠BCA，点O从C出发，以cm/秒的速度沿射线CK运动，在运动过程中，过O作OD⊥AC，交AC边于D，当D到A时，点O停止运动，以O为圆心，OD为半径画圆O．（1）经过秒，⊙O过点A，经过秒⊙O与AB边相切；（2）求经过几秒钟，点O运动到AB边上；（3）如图2，当⊙O在Rt△ABC内部时，在O出发的同一时刻，若有一点P从B出发，沿线段BC 以0.5cm/秒的速度向点C运动，过P作PQ∥AB，交CD于Q，问经过几秒时，线段PQ与⊙O相切？28．（10分）如图1，一次函数y＝kx﹣6（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x ＞0）的图象交于点B（4，b）．（1）b＝；k＝；（2）点C是线段AB上一点，过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图象于点D，连接OC，OD，BD，若四边形OCBD的面积S四边形OCBD＝，求点C的坐标；（3）将第（2）小题中的△OCD沿射线AB方向平移一定的距离后，得到△O'C'D'，若点O的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求此时点D的对应点D'的坐标．2019年江苏省无锡市宜兴市zhoutie中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【分析】根据绝对值的定义进行分析即可得出正确结论．【解答】解：选项A、B、C中，a与b的关系还有可能互为相反数．故选D．【点评】绝对值相等的两个数的关系是相等或互为相反数．2．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，4﹣x≠0，解得x≠4．故选：B．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．3．【分析】根据合并同类项，积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法，完全平方公式，可得答案．【解答】解：A、系数相加字母及指数不变，故A不符合题意；B、积的乘方等于乘方的积，故B不符合题意；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C符合题意；D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．4．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可．【解答】解：等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，A正确；正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，B错误；正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，C错误；圆是轴对称图形，也是中心对称图形，D错误；故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第3、4个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是1，得到这组数据的众数．【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列﹣3，﹣1，0，2，2，3，第3、4个两个数的平均数是（0+2）÷2＝1，所以中位数是1；在这组数据中出现次数最多的是2，即众数是2，故选：C．【点评】本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．6．【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝×2π×4×6＝24（cm2）．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．【分析】根据菱形及平行四边形的性质，结合选项即可得出答案．【解答】解；A、对角线互相垂直是菱形具有，平行四边形不具有的性质，故本选项正确；B、对边平行是菱形和平行四边形都具有的性质，故本选项错误；C、对边相等是菱形和平行四边形都具有的性质，故本选项错误；D、对角线互相平分是菱形和平行四边形都具有的性质，故本选项错误．故选：A．【点评】此题考查了平行四边形及菱形的性质，属于基础题，关键是熟练掌握特殊图形的基本性质．8．【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，即△PCD的周长为12，故选：C ．【点评】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA ＝PB 、AC ＝CE 和BD ＝ED 是解题的关键．9．【分析】根据平行四边形的性质得到AB ＝CD ，AB ∥CD ，根据已知条件得到DE ：CD ＝3：7，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∵DE ：CE ＝3：4，∴DE ：CD ＝3：7，∴DE ：AB ＝3：7，∵AB ∥CD ，∴△DEF ∽△BAF ，∴＝，∴S △DEF ：S △ADF ：＝3：7，S △DEF ：S △ABF ＝（）2＝，∴S △DEF ：S △ADF ：S △ABF 等于9：21：49，故选：C ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．10．【分析】用b 分别表示A ，F ，C ，E ，D ，根据S △CDE ＝可得b 的值，可得C 点坐标，即可求k 的值．【解答】解：∵直线AB ：y ＝﹣2x +b 与x 轴，y 轴交于A ，B∴A （，0）∵EF 垂直平分OA∴F （，0）∴当x ＝时，y ＝．则C （，）当x ＝时，y ＝﹣2×+b ＝，则E （，）∵直线y ＝x 与直线AB ：y ＝﹣2x +b 交于D∴D（，）∵S△CDE＝∴＝∴b＝12∴C（3，3）∵反比例函数y＝的图象过点C∴k＝3×3＝9故选：C．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用b表示A，F，C，E，D的坐标是解题的关键二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）11．【分析】原式提取﹣x，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝﹣x（x2﹣9）＝﹣x（x+3）（x﹣3），故答案为：﹣x（x+3）（x﹣3）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：201800000用科学记数法表示为：2.018×108，故答案为：2.018×108．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，外角和等于360°列出方程求解即可．【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，（n﹣2）•180°﹣360°＝360°，解得n＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．14．【分析】根据题意可得，点的坐标的乘积大于0小于12，据此即可求解．【解答】解：∵∠ABO＝90°，点A的坐标为（3，4），反比例函数y＝（k≠0），使它的图象与△ABO有两个不同的交点，∴这个函数的表达式为：y＝（答案不唯一）．故答案为：y＝（答案不唯一）．【点评】本题考查了求反比例函数的解析式，理解k的范围是解决本题的关键．15．【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，推出△BEO∽△DAO，根据相似三角形的性质得到，求得BE＝6，即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△BEO∽△DAO，∴，∵AD＝10，∴BE＝6，∴CE＝10﹣6＝4，故答案为：4．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．16．【分析】因为其坡比为1：，则坡角为30度，然后运用正弦函数解答．【解答】解：因为坡度比为1：，即tanα＝，∴α＝30°．则其下降的高度＝72×sin30°＝36（米）．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的理解及运用．17．【分析】延长FP交AB于M，得到FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，根据相似三角形的性质求出FM，根据折叠的性质QCPF，计算即可．【解答】解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵∠A＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°，∴△AFM∽△ABC，∴＝，即＝，解得，FM＝，由折叠的性质可知，FP＝FC＝1，∴PM＝，故答案为：．【点评】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置．18．【分析】连接CN．根据直角三角形斜边中线的性质求出CN＝A′B′＝4，利用三角形的三边关系即可解决问题．【解答】解：连接CN．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝4∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝A′B′＝2BC＝8，∵NB′＝NA′，∴CN＝A′B′＝4，∵CM＝BM＝2，∴MN≤CN+CM＝6，∴MN的最大值为6，故答案为6．【点评】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三．解答题（共10小题，满分84分）19．【分析】（1）先化简二次根式、负整数指数幂、代入三角函数值及零指数幂，再先后计算乘法和加减运算即可；（2）先计算完全平方式和单项式乘多项式的积，再合并同类项即可得．【解答】解：（1）原式＝2+2﹣4×+1＝2+2﹣2+1＝3；（2）原式＝x2﹣4x+4﹣x2+3x＝﹣x+4．【点评】本题主要考查实数和整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握实数和整式的混合运算顺序和运算法则．20．【分析】（1）去分母化为一元一次方程求解，然后检验即可；（2）分别求出两个不等式组的解，然后根据“大小小大取中间”即可求出不等式组的解集．【解答】解：（1）方程两边同时乘以（x﹣1）（x+1），得3（x+1）＝2（x﹣1），去括号，得3x+3＝2x﹣2移项合并同类项，得x＝﹣5检验：将x＝﹣5代入原方程，得左边＝＝右边，∴原分式方程的解为x＝﹣5．（2）由①得x≥﹣1，由②得x＜3，∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜3．【点评】本题考查了分式方程与一元一次不等式组的解法．分式方程特别要注意验根，一元一次不等式组要注意不等号的方向．21．【分析】由“平行四边形ABCD的对边平行且相等”的性质推知AB＝CD，AB∥CD．然后根据图形中相关线段间的和差关系求得BE＝FD，易证四边形EBFD是平行四边形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．∵AE＝CF．∴BE＝FD，BE∥FD，∴四边形EBFD是平行四边形，∴DE＝BF．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．22．【分析】（1）作AB的垂直平分线，交边AC于D即可；（2）依据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．【解答】解：（1）作AB的垂直平分线，交边AC于D，如图所示：∴点D即为所求；（2）∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠CBD，由（1）可得，DA＝DB，∴∠A＝∠ABD＝35°，∴∠CDB＝70°，∴△BCD中，∠C＝40°．【点评】本题主要参考了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．23．【分析】（1）用D级的人数除以它占得百分比即可解答．（2）用“D时间段”部分的百分比乘以360度即可．（3）求出B时间段人数，再求出所占百分比即可解答．（4）根据样本估计总体的方法解答即可．【解答】解：（1）4÷5%＝80人；（2）360×5%＝18°；（3）如图（4）800×（35%+40%+20%）＝760名．答：估计本校九年级学生睡眠不足的人数为760名．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图能够清楚地表示各部分所占的百分比．24．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得；（3）设有x个红球被换成了黄球，根据颜色是一白一黄的概率为列出关于x的方程，解之可得．【解答】解：（1）∵袋中共有7个小球，其中红球有5个，∴从袋中随机摸出一个球是红球的概率为；（2）列表如下：由表知共有49种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有20种结果，∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为；（3）设有x个红球被换成了黄球．根据题意，得：，解得：x＝3，即袋中有3个红球被换成了黄球．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．25．【分析】（1）依题意求出点B坐标，然后用待定系数法求解析式；（2）设OB＝m，则AD＝m+2，根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程求得m的值，然后根据弧长公式即可求得．【解答】解：（1）∵OB＝4，∴B（0，4）∵A（﹣2，0），设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x+4；（2）设OB＝m，则AD＝m+2，∵△ABD的面积是7.5，∴AD•OB＝7.5，∴（m+2）•m＝7.5，即m2+2m﹣15＝0，解得m＝3或m＝﹣5（舍去），∵∠BOD＝90°，∴点B的运动路径长为：×2π×3＝π．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积公式和弧长计算，难度一般．26．【分析】方法一：（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、③AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．方法二：（1）略．（2）找出A点的对称点点B，根据C，P，B三点共线求出BC与对称轴的交点P．（3）用参数表示的点M坐标，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式就可求解．（4）先求出AC的直线方程，利用斜率垂直公式求出OO’斜率及其直线方程，并求出H点坐标，进而求出O’坐标，求出DO’直线方程后再与AC的直线方程联立，求出Q点坐标．【解答】方法一：解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，得：，解得：∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3．（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；∵点A、B关于直线l对称，∴PA＝PB，∴BC＝PC+PB＝PC+PA设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：，解得：∴直线BC的函数关系式y＝﹣x+3；当x＝1时，y＝2，即P的坐标（1，2）．（3）抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），则：MA2＝m2+4，MC2＝（3﹣m）2+1＝m2﹣6m+10，AC2＝10；①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2+4＝m2﹣6m+10，得：m＝1；②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2+4＝10，得：m＝±；③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2﹣6m+10＝10，得：m1＝0，m2＝6；当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为M（1，）（1，﹣）（1，1）（1，0）．方法二：（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3．（2）连接BC，∵l为对称轴，∴PB ＝PA ，∴C ，B ，P 三点共线时，△PAC 周长最小，把x ＝1代入l BC ：y ＝﹣x +3，得P （1，2）．（3）设M （1，t ），A （﹣1，0），C （0，3），∵△MAC 为等腰三角形，∴MA ＝MC ，MA ＝AC ，MC ＝AC ，（1+1）2+（t ﹣0）2＝（1﹣0）2+（t ﹣3）2，∴t ＝1，（1+1）2+（t ﹣0）2＝（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t ＝±， （1﹣0）2+（t ﹣3）2＝（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t 1＝6，t 2＝0，经检验，t ＝6时，M 、A 、C 三点共线，故舍去，综上可知，符合条件的点有4个，M 1（1，），M 2（1，﹣），M 3（1，1），M 4（1，0）．追加第（4）问：若抛物线顶点为D ，点Q 为直线AC 上一动点，当△DOQ 的周长最小时，求点Q 的坐标．（4）作点O 关于直线AC 的对称点O 交AC 于H ，作HG ⊥AO ，垂足为G ，∴∠AHG +∠GHO ＝90°，∠AHG +∠GAH ＝90°，∴∠GHO ＝∠GAH ，∴△GHO ∽△GAH ，∴HG 2＝GO •GA ，∵A （﹣1，0），C （0，3），∴l AC ：y ＝3x +3，H （﹣，）， ∵H 为OO ′的中点，∴O ′（﹣，），∵D （1，4），∴l O ′D ：y ＝x +，l AC ：y ＝3x +3，∴x ＝﹣，y ＝，∴Q （﹣，）．【点评】该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．27．【分析】（1）①根据题意画出图形，证明△COD是等腰直角三角形，求出CO的长度，再除以运动速度即可；②根据题意画出图形，证明四边形HCDO是正方形，设⊙O半径为r，根据切线长定理列出关于r的等量关系，即可求出r的值，进一步坟出CO的长度及运动时间；（2）根据题意画出图形，在等腰Rt△OCD及直角三角形ODQ中通过三角函数即可求出OC的长度，然后求出运动时间；（3）设运动时间为t，将线段BP，CP，DQ，QP等线段分别用含t的代数式表示，再通过三角函数及切线长定理构造等量关系，即可求出t的值．【解答】解：（1）①如图1，∵∠BCA＝90°，射线CK平分∠BCA，∴∠OCD＝45°，又∵OD⊥AC，∴△COD是等腰直角三角形，∴OC＝AC，在Rt△ABC中，A＝30°，BC＝2，AB＝4，∴AC＝2，∵＝，∴经过秒，⊙O过点A；②如图2，当⊙O与AB边相切于点N时，过点O作OH⊥BC于点H，∵OK是∠BCA的平分线，OD⊥AC，∴OH＝OD，∴BC，AC均与⊙O相切，∴∠OHC＝∠HCD＝∠CDO＝90°，∴四边形HCDO是矩形，又∵OH＝OD，∴矩形HCDO是正方形，设OH＝HC＝CD＝OD＝r，∴BH＝BN＝2﹣r，AD＝AN＝2﹣r，∴（2﹣r）+（2﹣r）＝4，解得，r＝﹣1，∵OC＝r，∴经过（﹣1）秒⊙O与AB边相切；（2）如图3，当点O运动到AB边上时，由（1）知，△COD是等腰直角三角形，OD＝CD＝r，在Rt△ODA中，∵∠A＝30°，∴AD＝OD＝r，∴r+r＝2，∴r＝3﹣，∵CO＝r，∴经过（3﹣）秒，点O运动到AB边上；（3）如图4，设点O运动时间为t秒时，线段PQ与⊙O相切，则BP＝t，CO＝t，HC＝CD＝t，∵PQ，PC，CQ都是⊙O的切线，∴PH＝PN＝2﹣t，在Rt△PCQ中，∠PQC＝∠A＝30°，∴QC＝PC＝（2﹣t）＝2﹣t，∴QN＝QD＝2﹣t﹣t，∴PQ＝PN+NQ＝2+2﹣t﹣t，∵PQ＝2PC，∴2+2﹣t﹣t＝2（2﹣t）解得，t＝∴经过秒时，线段PQ与⊙O相切．【点评】本题考查了锐角三角函数，切线长定理等，解题的关键是能够根据题意画出图形．28．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）设C（m，2m﹣6）（0＜m＜4），则D（m，），根据四边形的面积构建方程即可解决问题；（3）根据一次函数，利用方程组求出点O的坐标，即可解决问题；【解答】解：（1）把点B（4，b）代入y＝中，得到b＝2，∴B（4，2）代入y＝kx﹣6中，得到k＝2，故答案为2，2；（2）设C（m，2m﹣6）（0＜m＜4），则D（m，），∴CD＝﹣2m+6，∵S四边形OCBD＝，∴•CD•x B＝，即（﹣2m+6）×4＝，∴10m2﹣9m﹣40＝0，∴m1＝，m2＝﹣，经检验：m1＝，m2＝﹣是原方程的解，∵0＜m＜4，∴m＝，∴C（，﹣1）．（3）由平移可知：OO′∥AB，∴直线OO′的解析式为y＝2x，由，解得或（舍弃），∴O′（2，4），∴D′（，）．【点评】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．。
精品解析：江苏省宜兴市2019届九年级中考适应性测试(一模)数学试题(解析版)
2019年春季初三中考适应性测试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共计30分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上相应的答案涂黑）1.﹣8的立方根是( )A. ±2B. 2C. ﹣2D. 24【答案】C【解析】试题解析：-8的立方根是-2．故选C．考点：立方根．2.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据积的乘方，合并同类项，幂的乘方，同底数幂相除法则计算即可.详解：根据积的乘方等于个个因式分别乘方，可知，故正确；根据合并同类项法则，可知，故不正确；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得，故不正确；根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得，故不正确.故选：A.点睛：此题主要考查了幂的运算性质，正确熟练利用幂的运算性质是关键.幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把各个因式分别乘方；同底数幂相除，底数不变，指数相减.3.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是是中心对称图形，不合题意；B、不是是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4.已知一组数据：6，2，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据平均数为6求出x的值，然后根据中位数的概念求解．【详解】解：由题意得6+2+8+x+7=6×5，解得：x=7，这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，6，7，7，8，则中位数为7．故选：A．【点睛】本题考查了中位数和平均数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．5.在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在第二象限，则m的取值范围是（）A. m＜﹣1B. m＞2C. ﹣1＜m＜2D. m＞﹣1【答案】C【解析】分析：根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可．详解：∵点P（m-2，m+1）在第二象限，∴，解得-1＜m＜2．故选：C．点睛：本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．6.已知反比例函数的图像上有两点，，且，那么下列结论中，正确的是（）A. B.C. D. 与之间的大小关系不能确定【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的增减性解答即可．【详解】解：∵当x1和x2在同一象限时，y随x增大而减小，∴x1＜x2时，y1＞y2；而当两点不在同一象限时，y1＜y2，∴y1与y2之间的大小关系不能确定．故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，需注意应考虑两点在同一象限和不在同一象限时y 的值的大小关系．7.点经过某种图形变换后得到点，这种图形变化可以是（）A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 绕原点逆时针旋转D. 绕原点顺时针旋转【答案】C【解析】【分析】描点作图后，根据旋转的定义得到即可．【详解】解：因为点A（2，1）经过某种图形变化后得到点B（-1，2），所以点A绕原点逆时针旋转90°得到点B，故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．8.如图，已知一次函数的图像与轴分别交于点，与反比例函数的图像交于点，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由一次函数可求AB坐标，根据可知，A是BC的中点，再由坐标中点公式即可求出C点坐标，根据图象上的点满足函数解析式即可得k的值．【详解】解：∵一次函数的图像与轴分别交于点，∴A（1，0），B（0，-2）设C点坐标为（x，y），由得：，解得：，∴C点坐标为（2，2），·∴故选：B.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，图象上的点满足函数解析式，求得C点的坐标是解题的关键．9.如图，中，，,，点在上，延长至点，使，是的中点，连接，则的长是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】延长线段BC至G，使CG=BC，由CE=BD，可得DE=GE，又有F是AD的中点，故EF是三角形的中位线，EF=AG，而△AGC≌△ABC，故AG=AB，用勾股定理在Rt△ABC中可求AB。
江苏省无锡市宜兴市北郊中学2019年中考数学一模试卷及答案【word版】.doc
2019年江苏省无锡市宜兴市北郊中学中考数学一模试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．如果|a|＝a，下列各式成立的是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0D．a≤02．已知函数y＝，则自变量x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜1 B．x≥﹣1且x≠1C．x≥﹣1 D．x≠13．下列运算正确的是（）A．a8÷a4＝a2B．2a3+3a3＝5a6C．（﹣a3）2＝a6D．（a﹣b）2＝a2﹣b24．下图中是中心对称图形而不是轴对称图形的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．在趣味运动会“定点投篮”项目中，我校七年级八个班的投篮成绩（单位：个）分别为：24，20，19，20，22，23，20，22．则这组数据中的众数和中位数分别是（）A．22个、20个B．22个、21个C．20个、21个D．20个、22个6．若一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的全面积为（）A．15πcm2B．24πcm2C．39πcm2D．48πcm27．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别相等B．两条对角线相等C．四个内角都是直角D．每一条对角线平分一组对角8．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°9．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．10．如图，双曲线y＝与直线y＝kx+b交于点M，N，并且点M坐标为（1，3），点N坐标为（﹣3，﹣1），根据图象信息可得关于x的不等式＜kx+b的解为（）A．x＜﹣3 B．﹣3＜x＜0C．﹣3＜x＜1 D．﹣3＜x＜0或x＞1二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）11．分解因式：3x2﹣6x2y+3xy2＝．12．将473000用科学记数法表示为．13．若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是．14．若函数y＝的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围为．15．如图，点E是▱ABCD的边BA延长线上的一点，联结CE交AD于F，交对角线BD 于G，若DF＝2AF，那么EF：FG：GC＝．16．如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是cm．17．直角三角形纸片的两直角边BC，AC的长分别为6，8，现将△ABC如下图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长为．18．如图，线段AB＝4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是．三．解答题（共10小题，满分84分）19．（8分）（1）计算：2﹣1+（2018﹣π）0﹣sin30°（2）化简：（a+1）2﹣a（a+1）﹣1．20．（8分）（1）解方程：＝．（2）解不等式组：21．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．22．（6分）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，求∠A的大小；（2）在图2中分别画出三个顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（3）在△ABC中，∠B＝36°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E 在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，请直接写出∠C所有可能的值．23．（8分）为庆祝建党90周年，某校开展学党史活动，学校决定围绕“你最喜欢的了解党史的途径是什么”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．问卷要求学生从“自己阅读、听讲座、网上查找资料、其他形式”四种途径任选一种，学校将收集的调查问卷适当整理后，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图所给的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请补全下面的条形统计图和扇形统计图；（3）如果全校有1500名学生，请你估计全校最喜欢“网上查找资料”这种途径的学生约有多少名？24．（8分）车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A、B、C、D中，可随机选择其中一个通过．（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是．（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x 轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．（10分）如图①，Rt△ABC中，∠B＝90°∠CAB＝30°，AC⊥x轴．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求∠BAO的度数．（直接写出结果）（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P的运动速度．（3）求题（2）中面积S与时间t之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P的坐标．（4）如果点P，Q保持题（2）中的速度不变，当t取何值时，PO＝PQ，请说明理由．27．（10分）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝m（m为常数），点C为的中点，点D为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E．（1）当DC⊥AB时，则＝；（2）①当点D在上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式；（3）当＝时，求的值．28．（10分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A′．（1）设a＝2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．①分别求函数y1、y2的表达式；②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；（3）设m＝，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．2019年江苏省无锡市宜兴市北郊中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【分析】由条件可知a是绝对值等于本身的数，可知a为0或正数，可得出答案．【解答】解：∵|a|＝a，∴a为绝对值等于本身的数，∴a≥0，故选：C．【点评】本题主要考查绝对值的计算，掌握绝对值等于它本身的数有0和正数（即非负数）是解题的关键．2．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：，解得：x≥﹣1且x≠1．故选：B．【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．3．【分析】根据同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方和完全平方公式解答即可．【解答】解：A、a8÷a4＝a4，错误；B、2a3+3a3＝5a3，错误；C、（﹣a3）2＝a6，正确；D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，错误；故选：C．【点评】此题考查同底数幂的除法，关键是根据同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方和完全平方公式法则解答．4．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：第一个图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形，故错误；第二个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；第三个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；第四、五个是中心对称图形而不是轴对称图形，故正确．故选：B．【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：在这一组数据中20出现了3次，次数最多，故众数是20；把数据按从小到大的顺序排列：19，20，20，20，22，22，23，24，处于这组数据中间位置的数20和22，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是21．故选：C．【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．6．【分析】这个圆锥的全面积为底面积与侧面积的和，底面积为半径为3的圆的面积，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式求测面积．【解答】解：这个圆锥的全面积＝•2π•3•5+π•32＝24π（cm2）．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．【分析】由菱形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分；平行四边形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相平分；即可求得答案．【解答】解：∵菱形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角，；平行四边形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：每一条对角线平分一组对角．故选：D．【点评】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．8．【分析】连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM＝90°，从而得∠ABO＝∠BAO＝50°，由内角和定理知∠AOB＝80°，根据圆周角定理可得答案．【解答】解：如图，连接OA、OB，∵BM是⊙O的切线，∴∠OBM＝90°，∵∠MBA＝140°，∴∠ABO＝50°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝50°，∴∠AOB＝80°，∴∠ACB＝∠AOB＝40°，故选：A．【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．9．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，然后平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，∴，故A正确，，∵AD＝BC，∴，故B正确；∵DE∥BC，∴，∴，故C错误；∵DF∥AB，∴，故D正确．故选：C．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．10．【分析】求关于x的不等式＜kx+b的解，就是看一次函数图象在反比例函数图象上方时点的横坐标的集合．【解答】解：∵点M坐标为（1，3），点N坐标为（﹣3，﹣1），∴关于x不等式＜kx+b的解集为：﹣3＜x＜0或x＞1，故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，利用图象求不等式的解时，关键是利用两函数图象的交点横坐标．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）11．【分析】原式提取公因式分解即可．【解答】解：原式＝3x（x﹣2xy+y2），故答案为：3x（x﹣2xy+y2）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，找出原式的公因式是解本题的关键．12．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将473000用科学记数法表示为4.73×105．故答案为：4.73×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得＝40，解得n＝9．故答案为9．【点评】本题主要考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°，比较简单．14．【分析】先根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵函数y＝的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增大，∴m﹣2＜0，解得m＜2．故答案为m＜2．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝（k≠0）中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解答此题的关键．15．【分析】设AF＝x，则DF＝2x，由四边形ABCD是平行四边形得BC＝AD＝AF+DF ＝3x，AD∥BC，证△DFG∽△GBC、△AEF∽△DFC，从而得出答案．【解答】解：设AF＝x，则DF＝2x，∵▱ABCD，∴EB∥CD，AD∥BC，AD＝BC＝AF+DF＝3x∴△AEF∽DCF，△DFG∽△GBC，∴，＝，∴EF：FG：GC＝5：4：6，故答案为：5：4：6．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．16．【分析】根据题意求出BH，根据坡度的概念求出CH，计算即可．【解答】解：由题意得，BH⊥AC，则BH＝18×4＝72，∵斜坡BC的坡度i＝1：5，∴CH＝72×5＝360，∴AC＝360﹣30×3＝270（cm），故答案为：270．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．17．【分析】根据折叠的性质和勾股定理可知．【解答】解：设CE为x，则BE＝AE＝8﹣x，∵∠C＝90°，∴BE2﹣CE2＝BC2，（8﹣x）2﹣x2＝36，解得x＝．【点评】翻折前后对应边相等，利用勾股定理求解即可．18．【分析】以O为坐标原点建立坐标系，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F，设点P的坐标为（x，y），则x2+y2＝1．然后证明△ECP≌△FPB，由全等三角形的性质得到EC＝PF＝y，FB＝EP＝2﹣x，从而得到点C（x+y，y+2﹣x），最后依据两点间的距离公式可求得AC＝，最后，依据当y＝1时，AC有最大值求解即可．【解答】解：如图所示：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F．∵AB＝4，O为AB的中点，∴A（﹣2，0），B（2，0）．设点P的坐标为（x，y），则x2+y2＝1．∵∠EPC+∠BPF＝90°，∠EPC+∠ECP＝90°，∴∠ECP＝∠FPB．由旋转的性质可知：PC＝PB．在△ECP和△FPB中，，∴△ECP≌△FPB．∴EC＝PF＝y，FB＝EP＝2﹣x．∴C（x+y，y+2﹣x）．∵AB＝4，O为AB的中点，∴AC＝＝．∵x2+y2＝1，∴AC＝．∵﹣1≤y≤1，∴当y＝1时，AC有最大值，AC的最大值为＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的性质和判定，两点间的距离公式的应用，列出AC的长度与点P的坐标之间的关系式是解题的关键．三．解答题（共10小题，满分84分）19．【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂、代入三角函数值，再计算加减可得；（2）先计算乘方和乘法，再合并同类项即可得．【解答】解：（1）原式＝+1﹣＝1；（2）原式＝a2+2a+1﹣a2﹣a﹣1＝a．【点评】本题主要考查整式和实数的运算，解题的关键是掌握整式的运算顺序和运算法则及负整数指数幂、零指数幂、三角函数值．20．【分析】（1）分式方程变形后去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）关键不等式组的解法解答即可．【解答】解：（1）由题意可得：5（x+2）＝3（2x﹣1），解得：x＝13，检验：当x＝13时，（x+2）≠0，2x﹣1≠0，故x＝13是原方程的解；（2）解①得：x＞﹣1，解②得：x≤6，故不等式组的解集为：﹣1＜x≤6．【点评】此题考查了解分式方程，以及不等式组的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．21．【分析】欲证明四边形BFDE是平行四边形，只要证明DE＝BF，DE∥BF即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形．【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型．22．【分析】（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC 与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数；（2）根据（1）的解题过程作出△ABC的三等分线；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；（3）用量角器，直尺标准作36°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C在同一直线上，易得2种三角形ABC；根据图形易得∠C的值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BD＝BC＝AD，∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝（180°﹣x），可得2x＝（180°﹣x），解得：x＝36°，则∠A＝36°；（2）如图所示：（3）分两种情况：①如图所示：当AD＝AE时，∵2x+x＝36°+36°，∴x＝24°；②如图所示：当AD＝DE时，∵36°+36°+2x+x＝180°，∴x＝36°；综上所述，∠C的度数为24°或36°．【点评】本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题．23．【分析】（1）因为最喜欢自己阅读的学生有16人，所占百分比为32%，即可求出调查总人数；（2）用总人数减去A、B、D级的人数，可求出C级的人数，再分别用B、C级的人数除以总人数求出各自所占的百分比，画图即可解答；（3）用全校总人数乘以最喜欢网上查找资料的学生所占百分比即可求得结果．【解答】解：（1）16÷32%＝50（名）．∴在这次调查中，一共抽取了50名学生；（2）50﹣16﹣9﹣7＝18（名），9÷50＝18%，18÷50＝36%．如图；（3）1500×＝540（名）．所以全校最喜欢“网上查找资料”这种途径的学生约有540名．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24．【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；（2）画出树状图即可得到结论．【解答】解：（1）选择A通道通过的概率＝，故答案为：；（2）设两辆车为甲，乙，如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，∴选择不同通道通过的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．25．【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，则可得到OA、OB的长，然后依据勾股定理可求得AB的长，（2）依据翻折的性质可得到AC的长，于是可求得OC的长，从而可得到点C的坐标；设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．，Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D（0，﹣6）．（3）先求得S△PAB的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P 的坐标．【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，∴A（3，0）．∴OA＝3．在Rt△OAB中，AB＝＝5．∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，∴C（8，0）．设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，∴D（0，﹣6）．（3）∵S△PAB＝S△OCD，∴S△PAB＝××6×8＝12．∵点Py轴上，S△PAB＝12，∴BP•OA＝12，即×3BP＝12，解得：BP＝8，∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．26．【分析】（1）利用∠BAO的正切值，求出∠BAO的度数即可；（2）利用图②中的函数图象，求得点P的运动时间与路程解决即可；（3）利用特殊角的三角函数，三角形的面积以及配方法解决问题；（4）分两种情况进行列方程解决问题．【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥OA于E，则OE＝5，BE＝5，OA＝10，∴AE＝5，Rt△ABE中，tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝60°；（2）由图形可知，当点P运动了5秒时，它到达点B，此时AB＝10，因此点P的运动速度为10÷5＝2个单位/秒，点P的运动速度为2个单位/秒；（3）P（10﹣t，t）（0≤t≤5），∵S＝（2t+2）（10﹣t），＝﹣（t﹣）2+，∴当时，S有最大值为，此时；（4）当P在AB上时，根据P点纵坐标得出：，解得：，当P在BC上时，，此方程无解，故t不存在，综上所知当t＝时，PO＝PQ．【点评】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，特殊角的三角函数，以及分类讨论思想的渗透．27．【分析】（1）首先证明当DC⊥AB时，DC也为圆的直径，且△ADB为等腰直角三角形，即可求出结果；（2）①分别过点A，B作CD的垂线，连接AC，BC，分别构造△ADM和△BDN两个等腰直角三形及△NBC和△MCA两个全等的三角形，容易证出线段DA，DB，DC之间的数量关系；②通过完全平方公式（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA•DB的变形及将已知条件AB＝m代入即可求出结果；（3）通过设特殊值法，设出PD的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果．【解答】解：（1）如图1，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵C为的中点，∴，∴∠ADC ＝∠BDC ＝45°，∵DC ⊥AB ，∴∠DEA ＝∠DEB ＝90°，∴∠DAE ＝∠DBE ＝45°，∴AE ＝BE ，∴点E 与点O 重合，∴DC 为⊙O 的直径，∴DC ＝AB ，在等腰直角三角形DAB 中，DA ＝DB ＝AB ， ∴DA +DB＝AB ＝CD ，∴＝；（2）①如图2，过点A 作AM ⊥DC 于M ，过点B 作BN ⊥CD 于N ，连接AC ，BC ， 由（1）知，∴AC ＝BC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠BNC ＝∠CMA ＝90°，∴∠NBC +∠BCN ＝90°，∠BCN +∠MCA ＝90°，∴∠NBC ＝∠MCA ，在△NBC 和△MCA 中，，∴△NBC≌△MCA（AAS），∴CN＝AM，由（1）知∠DAE＝∠DBE＝45°，AM＝DA，DN＝DB，∴DC＝DN+NC＝DB+DA＝（DB+DA），即DA+DB＝DC；②在Rt△DAB中，DA2+DB2＝AB2＝m2，∵（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA•DB，且由①知DA+DB＝DC＝t，∴（t）2＝m2+2DA•DB，∴DA•DB＝t2﹣m2，∴S△ADB＝DA•DB＝t2﹣m2，∴△ADB的面积S与t的函数关系式S＝t2﹣m2；（3）如图3，过点E作EH⊥AD于H，EG⊥DB于G，则NE＝ME，四边形DHEG为正方形，由（1）知，∴AC＝BC，∴△ACB为等腰直角三角形，∴AB ＝AC，∵，设PD＝9，则AC＝20，AB＝20，∵∠DBA＝∠DBA，∠PAB＝∠ADB，∴△ABD∽△PBA，∴，∴，∴DB＝16，∴AD＝＝12，设NE＝ME＝x，∵S△ABD＝AD•BD＝AD•NE+BD•ME，∴×12×16＝×12•x+×16•x，∴x＝，∴DE＝HE＝x＝，又∵AO＝AB＝10，∴＝×＝．【点评】本题考查了圆的相关性质，等腰直三角形的性质，相似的性质等，还考查了面积法及特殊值法的运用，解题的关键是认清图形，抽象出各几何图形的特殊位置关系．28．【分析】（1）由已知代入点坐标即可；（2）面积问题可以转化为△AOB面积，用a、k表示面积问题可解；（3）设出点A、A′坐标，依次表示AD、AF及点P坐标．【解答】解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═（x＞0）的图象上∴k＝8∴y1＝∵a＝2∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2＝mx+n解得∴y2＝x﹣2②当y1＞y2＞0时，y1＝图象在y2＝x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方∴由图象得：2＜x＜4（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO∵O为AA′中点S△AOB＝S△ABA′＝8∵点A、B在双曲线上∴S△AOC＝S△BOD∴S△AOB＝S四边形ACDB＝8由已知点A、B坐标都表示为（a，）（3a，）∴解得k＝6（3）由已知A（a，），则A′为（﹣a，﹣）把A′代入到y＝﹣∴n＝∴A′D解析式为y＝当x＝a时，点D纵坐标为∴AD＝∵AD＝AF，∴点F和点P横坐标为∴点P纵坐标为∴点P在y1═（x＞0）的图象上【点评】本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其性质，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法和数形结合思想．。
2019学年江苏省无锡市九年级中考一模数学试卷【含答案及解析】
2019学年江苏省无锡市九年级中考一模数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. －5的倒数是（）A．5 B．－5 C． D．2. 下列运算正确的是（）A． B． C． D．3. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A． B． C． D．4. 一组数据2，7，6，3，4， 7的众数和中位数分别是（）A．7和4.5 B．4和6 C．7和4 D．7和55. 反比例函数和正比例函数的图象如图所示．由此可以得到方程的实数根为（）A．x﹦1 B．x﹦2 C．， D．，6. 一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的高和底面边长分别为（）A．3， B．2， C．3，2 D．2，37. 如图，在等边△ABC中，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝1，那么△ABC的面积（）A．3 B． C．4 D．8. 如图，直线a、b、c、d互不平行，对它们截出的一些角的数量关系描述错误的是（）A．∠1+∠6﹦∠2 B．∠4+∠5﹦∠2C．∠1+∠3+∠6﹦180° D．∠1+∠5+∠4﹦180°9. 根据下列表格中的对应值，•判断方程（，a，b，c为常数）的根的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．1或210. 如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F，如图2，现将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的值为（）A． B． C． D．二、填空题11. 分解因式：﹦．12. 用科学记数法表示0.000031的结果是．13. 写出的一个同类二次根式．14. 若一个圆锥底面圆的半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为．15. 某小组8位学生一次数学测试的分数为121，123，123，124，126，127，128，128，那么这个小组测试分数的标准差是．16. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝50°，则∠OAB＝．17. 已知A是双曲线在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限，已知点C的位置始终在一函数图像上运动，则这个函数解析式为__________________．18. 如图，抛物线与x轴交于O、A两点．半径为1的动圆⊙P，圆心从O点出发沿抛物线向靠近点A的方向移动；半径为2的动圆⊙Q，圆心从A点出发沿抛物线向靠近点O的方向移动．两圆同时出发，且移动速度相等，当运动到P、Q两点重合时同时停止运动．设点P的横坐标为t．若⊙P与⊙Q相离，则t的取值范围是．三、解答题19. （本题8分）计算：（1）；（2）20. （本题满分8分）（1）解方程：；（2）解不等式组：．21. （本题满分6分）如图，在□ABCD中，E、F为BC上的两点，且 BE=CF，AF=DE．求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）四边形ABCD是矩形．22. （本题8分）某校八年级所有学生参加2013年初中生物竞赛，我们从中随机抽取了部分学生的考试成绩，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A级：25分～30分；B级：20分～24分；C级：15分～19分；D级：15分以下）（1）请把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中D级所占的百分比是 _______ ；（3）扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是 _______ ；（4）若该校九年级有850名学生，请你估计全年级A级和B级的学生人数共约为 ______ 人．23. （本题满分8分）甲、乙两商场同时开业，为了吸引顾客，都举办有奖酬宾活动，凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会．在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外，其他全部相同，摸奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少（如下表）．（1）请你用列表法（或画树状图）求出摸到一红一白的概率；（2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个商场购物？请说明理由．24. （本题满分8分）如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°；在点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝1km．（1）判断线段AB与AE的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到0.1km）．25. （本题满分8分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC 交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC=4，cosC=时，求⊙O的半径．26. （本题满分10分）某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y（个）与甲品牌文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；（2）求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；（3）若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，问该超市有几种进货方案？哪种方案能使获利最大？最大获利为多少元？27. （本题满分8分）动手实验：利用矩形纸片（图1）剪出一个正六边形纸片；利用这个正六边形纸片做一个如图（2）无盖的正六棱柱（棱柱底面为正六边形）；（1）做一个这样的正六棱柱所需最小的矩形纸片的长与宽的比为多少？（2）在（1）的前提下，当矩形的长为2时，要使无盖正六棱柱侧面积最大，正六棱柱的高为多少？并求此时矩形纸片的利用率？（矩形纸片的利用率=无盖正六棱柱的表面积/矩形纸片的面积）28. （本题10分）如图1，矩形ABCD中，点P从A出发，以3cm/s的速度沿边A→B→C→D→A匀速运动；同时点Q从B出发，沿边B→C→D匀速运动，当其中一个点到达终点时两点同时停止运动，设点P运动的时间为t s．△APQ的面积s（cm2）与t（s）之间函数关系的部分图像由图2中的曲线段OE与线段EF给出．（1）点Q运动的速度为 cm/s，a﹦ cm2；（2）若BC﹦3cm，① 求t＞3时S的函数关系式；② 在图（2）中画出①中相应的函数图像．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】第27题【答案】第28题【答案】。
2019年江苏省无锡市宜兴市周铁学区联盟中考数学一模试卷-含详细解析
2019年江苏省无锡市宜兴市周铁学区联盟中考数学一模试卷副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.√4的值是（）A. −4B. −2C. 2D. ±22.改善空气质量的首要任务是控PM2.5．PM2.5指环境空气中空气动力学当量直径小于等于0.00025厘米的颗粒物．这里的0.00025用科学记数法表示为（）A. 2.5×104B. 2.5×10−3C. 2.5×10−3D. 2.5×10−43.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好是9.4环，方差分别是S甲2=0.90，S乙2=1.22，S丙2=0.43，S丁2=1.68，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁4.已知等腰三角形的一边长为3cm，且它的周长为12cm，则它的底边长为（）A. 3cmB. 6cmC. 9cmD. 3cm或6cm5.已知直线y=kx+b经过点A（x1，y1），B（x2，y2），（其中x1≠x2），若k＜0，q=（x1-x2）（y1-y2），则（）A. q>0B. q<0C. q≥0D. q≤06.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（）A. 菱形B. 对角线互相垂直的四边形C. 矩形D. 对角线相等的四边形7.如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A. 2：5B. 2：3C. 3：5D. 3：28.如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AC=2√3，点D在AC上，以CD为直径作⊙O与BA相切于点E，则BE的长为（）A. √2B. √3C. 2D. 39.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中点，过D作DE⊥BC于点E，点P是边BC上的一个动点，AP与CD相交于点Q．当AP+PD的值最小时，AQ与PQ之间的数量关系是（）A. AQ=52PQ B. AQ=3PQ C. AQ=83PQ D. AQ=4PQ10.如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A. 85B. 2C. 125D. 145二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.函数y=√x−3中，自变量x的取值范围是______．12.分解因式：3x2-3y2=______．13.若反比例函数y=1−4kx的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是______．14.用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是______．15.若将反比例函数y=kx的图象向下平移4个单位后经过点A（3，-6），则k=______．16.如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．17.一张矩形纸片经过折叠得到一个三角形（如图），则矩形的长与宽的比为______．18.如图，在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=3，D为BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB边上一动点，将△DBE沿DE折叠到△DB′E的位置，连接AB′，则线段AB′的最小值为：______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.计算：（1）2cos30°+(13)−1+|1−√3|−(3−π)0；（2）(a2a−2+42−a)÷a+22a．四、解答题（本大题共9小题，共76.0分）20.（1）解方程：x2+4x-1=0；（2）解不等式组{1+x≥0x3+1＞x+12．21.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF．求证：AE=CF．22.有A、B两个口袋，A口袋中装有两个分别标有数字2，3的小球；B口袋中装有三个分别标有数字-1，4，-5的小球．小明先从A口袋中随机取出一个小球，用m表示所取球上的数字，再从B口袋中随机取出两个小球，用n表示所取球上的数字之和．（1）用树状图法或列表法表示小明所取出的三个小球的所有可能结果；（2）求nm的值是整数的概率．23.为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师从中随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成尚不完整的扇形图和条形图，根据图形信息回答下列问题：（1）本次抽测的男生有______人，抽测成绩的众数是______；（2）请将条形图补充完整；（3）若规定引体向上6次以上（含6次）为体能达标，则该校125名九年级男生中估计有多少人体能达标？24.无锡某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？25.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若CF=1，DF=√3，求图中阴影部分的面积．26.如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图．已知长方体货厢的，现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C重合高度BC为√5米，tan A=13时，仍可把货物放平装进货厢，求BD的长．（结果保留根号）27.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为（3，0），经过A点的直线交抛物线于点D（2，3）．（1）求抛物线的解析式和直线AD的解析式；（2）过x轴上的点（a，0）作直线EF∥AD，交抛物线于点F，是否存在实数a，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．28.某校机器人兴趣小组在如图①所示的矩形场地上开展训练．机器人从点A出发，在矩形ABCD边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，到达点D时停止移动．已知机器人的速度为1个单位长度/s，移动至拐角处调整方向需要1s（即在B、C处拐弯时分别用时1s）．设机器人所用时间为t（s）时，其所在位置用点P表示，P到对角线BD的距离（即垂线段PQ的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图象如图②所示．（1）求AB、BC的长；（2）如图②，点M、N分别在线段EF、GH上，线段MN平行于横轴，M、N的横坐标分别为t1、t2．设机器人用了t1（s）到达点P1处，用了t2（s）到达点P2处（见图①）．若CP1+CP2=7，求t1、t2的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：=2，故选：C．根据算术平方根解答即可．此题考查算术平方根，关键是根据4的算术平方根是2解答．2.【答案】D【解析】解：0.00025=2.5×10-4，故选：D．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】C【解析】解：∵0.43＜0.90＜1.22＜1.68，∴丙成绩最稳定，故选：C．根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故由甲乙丙丁的方差可直接作出判断．本题主要考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．4.【答案】A【解析】解：当3cm是等腰三角形的腰时，底边长=12-3×2=6cm，∵3+3=6，不能构成三角形，∴此种情况不存在；当3cm是等腰三角形的底边时，腰长==4.5cm．∴底为3cm，故选：A．分3cm是等腰三角形的腰或底边两种情况进行讨论即可．本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，注意三角形三边要满足三边关系定理，属于中考常考题型．5.【答案】B【解析】解：假设x1＜x2，则x1-x2＜0．∵直线y=kx+b中k＜0，∴函数y随x的增大而减小，∴当x1＜x2时，y1＞y2，∴q=（x1-x2）（y1-y2）＜0．故选：B．假设x1＜x2，由直线系数k＜0，可知y随x的增大而减小，x1＜x2时，y1＞y2，再根据有理数乘法符号法则即可求解．本题主要考查的是一次函数的性质．解答此题要熟知一次函数y=kx+b：当k ＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．6.【答案】D【解析】解：∵E，F，G，H分别是边AD，DC，CB，AB的中点，∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD，∴EH∥FG，EF=FG，∴四边形EFGH是平行四边形，假设AC=BD，∵EH=AC，EF=BD，则EF=EH，∴平行四边形EFGH是菱形，即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，故选：D．根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．本题主要考查对菱形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行推理是解此题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．故选：B．先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：AB的值，由AB=CD即可得出结论．本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，∠B=60°，AC=2，∴BC===2，∵CD为⊙O直径，∴BC是⊙O的切线，∴BE=BC=2，故选：C．由∠C=90°，∠B=60°，AC=2，得到BC===2，由于CD为⊙O直径，得到BC是⊙O的切线，根据切线长定理即可得到结论．本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，熟记定理是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，连接A′D交BC于点P，此时PA+PD 最小．作DM∥BC交AC于M，交PA于N．∵∠ACB=∠DEB=90°，∴DE∥AC，∵AD=DB，∴CE=EB，∴DE=AC=CA′，∵DE∥CA′，∴==，∵DM∥BC，AD=DB，∴AM=MC，AN=NP，∴DM=BC=CE=EB，MN=PC，∴MN=PE，ND=PC，在△DNQ和△CPQ中，，∴△DNQ≌△CPQ，∴NQ=PQ，∵AN=NP，∴AQ=3PQ．故选：B．如图，作点A关于BC的对称点A′，连接A′D交BC于点P，此时PA+PD最小．作DM∥BC交AC于M，交PA于N，利用平行线的性质，证明AN=PN，利用全等三角形证明NQ=PQ，即可解决问题．本题考查轴对称最短问题、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是利用对称找到点P位置，熟练掌握平行线的性质，属于中考常考题型．10.【答案】C【解析】解：取DE的中点O，过O作OG⊥AB于G，连接OC，又∵CO=1.5，∴只有C、O、G三点一线时G到圆心O的距离最小，∴此时OG达到最小．∴MN达到最大．作CF⊥AB于F，∴G和F重合时，MN有最大值，∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB==5，∵AC•BC=AB•CF，∴CF=，∴OG=-=，∴MG==，∴MN=2MG=，故选：C．根据题意有C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，根据勾股定理求得AB，根据三角形面积求得CF，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得MN 的最大值．本题考查了垂线段最短，垂径定理，勾股定理，过O作OG⊥AB于G，得出C、O、G三点在一条直线上OG最小是解题的关键．11.【答案】x≥3【解析】解：根据题意得：x-3≥0，解得：x≥3．故答案是：x≥3．根据二次根式有意义的条件是a≥0，即可求解．本题考查了函数自变量的取值范围的求法，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12.【答案】3（x+y）（x-y）【解析】解：原式=3（x2-y2）=3（x+y）（x-y），故答案为：3（x+y）（x-y）原式提取3，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13.【答案】k＜14【解析】解：∵反比例函数的图象经过第一、三象限，∴1-4k＞0，解得k＜．故答案为：k＜．先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限是解答此题的关键．14.【答案】2【解析】解：扇形的弧长==4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．故答案为：2．易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．15.【答案】-6【解析】解：因为将反比例函数y=的图象向下平移4个单位后经过点A（3，-6），所以反比例函数y=的图象经过点（3，-2），所以k=-6；故答案为：-6．首先确定反比例函数经过的点，然后求得k的值即可．本题考查了反比例函数的性质，能够确定反比例函数所经过的点的坐标是解答本题的关键，难度不大．16.【答案】8【解析】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n-2）=3×360°解得n=8．故答案为：8．根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．17.【答案】2：√3【解析】解：根据折叠的性质得：BC′=BC，∠ABC′=∠C′BE=∠EBC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠A=90°，∴∠ABC′=∠ABC=30°，∴在Rt△ABC′中，cos∠ABC′==cos30°=，∴矩形的长与宽的比为：2：．故答案为：2：．首先由折叠的性质与矩形的性质求得：∠ABC′=30°，BC′=BC，然后在Rt△ABC′中，利用三角函数的知识即可求得答案．此题考查了折叠的性质，矩形的性质以及三角函数等知识．解题的关键是找到折叠中的对应关系，还要注意数形结合思想的应用．18.【答案】2√7-2【解析】解：∵△DBE沿DE折叠到△DB′E，∴BD=B′D，∵在△AB′D中，AB′＞AD-B′D，∴AB′＞AD-BD，∴△DBE沿DE折叠B点落在AD上时，AB′=AD-BD，此时A′B最小，∵在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=3，∴AC=BC•tan60°=3，∵BD=2CD，∴CD=1，BD=2，由勾股定理得：AD===2，∴A′B=AD-BD=2-2．故答案为：2-2．由折叠的性质得出BD=B′D，由三角形的三条边的数量关系得AB′＞AD-B′D，即AB′＞AD-BD，推出△DBE沿DE折叠B点落在AD上时，AB′=AD-BD，此时A′B最小，由三角函数求出AC=BC•tan60°=3，由勾股定理求出AD，即可得出结果．本题考查了折叠的性质、三角函数、勾股定理等知识；熟练掌握折叠的性质，确定B′的位置是解决问题的关键．19.【答案】解：（1）原式=2×√3+3+√3-1-12=√3+1+√3=2√3+1；（2）原式=(a+2)(a−2)a−2•2a a+2 =2a ．【解析】（1）根据三角函数值、负整数指数的规定、绝对值性质和零指数幂的规定求解可得；（2）先计算括号内分式的加法、将除法转化为乘法，再约分即可得．本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则，也考查了三角函数值、负整数指数的规定、绝对值性质和零指数幂的规定．20.【答案】解：（1）x 2+4x -1=0，x 2+4x =1，x 2+4x +4=1+4，（x +2）2=5，x +2=±√5，x =-2±√5；（2）{1+x ≥0①x 3+1＞x+12② 解不等式①得：x ≥-1，解不等式②得：x ＜3．所以，不等式组的解集是：-1≤x ＜3．【解析】（1）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． （2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可得解．考查了一元一次不等式组，一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．同时考查了解一元二次方程-配方法．21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴180°-∠ABD=180°-∠CDB，即∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，{AB=CD∠ABE=∠CDF BE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF．【解析】根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ABD=∠CDB，然后求出∠ABE=∠CDF，再利用“边角边”证明△ABE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟记性质与三角形全等的判定方法求出全等的条件是解题的关键．22.【答案】解：（1）用树状图表示取出的三个小球上的数字所有可能结果如下：∴共有12种等可能的情况；（2）由树状图可知，nm 所有可能的值分别为：32，−3，32，−12，−3，−12，1，−2，1，−13，−2，−13，共有12种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中nm的值是整数的情况有6种．所以nm 的值是整数的概率P=612=12（10分）．【解析】此题实际需要三步完成，所以采用树状图法比较简单．要注意不重不漏的表示出所有可能情况．列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23.【答案】25 6次【解析】解：（1）观察统计图知达到7次的有7人，占28%，∴7÷28%=25人，达到6次的有25-2-5-7-3=8人，故众数为6次；…（4分）（2）（3）（人）．答：该校125名九年级男生约有90人体能达标．…（3分）（1）用7次的人数除以7次所占的百分比即可求得总人数，然后求得6次的人数即可确定众数；（2）补齐6次小组的小长方形即可．（2）用总人数乘以达标率即可．本题考查了条形统计图的知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的有关信息．24.【答案】解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，，则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×400−x10化简得：y=-5x+2200；供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，x≥300，则{−5x+2200≥450解得：300≤x≤350．∴y与x之间的函数关系式为：y=-5x+2200（300≤x≤350）；（2）W=（x-200）（-5x+2200），整理得：W=-5（x-320）2+72000．∵x=320在300≤x≤350内，∴当x=320时，最大值为72000，答：售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．【解析】（1）根据：月销售量=原销售量+50×，即可列出函数关系式；根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售，列一元一次不等式组求解即可得x的取值．（3）根据：总利润=每台利润×销售量，列出函数关系式，将函数关系式配方，即可求出最大w．本题主要考查对于二次函数的应用和掌握，而且还应用到将函数变形求函数极值的知识，解题的关键是能够从实际问题中整理出二次函数模型．25.【答案】（1）证明：连接AD、OD，如图所示．∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AC=AB，∴点D为线段BC的中点．∵点O为AB的中点，∴OD为△BAC的中位线，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线．（2）解：在Rt△CFD中，CF=1，DF=√3，∴tan∠C=DF=√3，CD=2，CF∴∠C=60°，∵AC =AB ，∴△ABC 为等边三角形，∴AB =4．∵OD ∥AC ，∴∠DOG =∠BAC =60°， ∴DG =OD •tan ∠DOG =2√3， ∴S 阴影=S △ODG -S 扇形OBD =12DG •OD -60360πOB 2=2√3-23π．【解析】（1）连接AD 、OD ，由AB 为直径可得出点D 为BC 的中点，由此得出OD 为△BAC 的中位线，再根据中位线的性质即可得出OD ⊥DF ，从而证出DF 是⊙O 的切线；（2）CF=1，DF=，通过解直角三角形得出CD=2、∠C=60°，从而得出△ABC 为等边三角形，再利用分割图形求面积法即可得出阴影部分的面积．本题考查了等腰三角形的性质、切线的判定、扇形面积的计算以及三角形面积的计算，解题的关键是：（1）证出OD ⊥DF ；（2）利用分割图形求面积法求出阴影部分的面积．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用分割图形求面积法求面积是解题的难点，在日常练习中应加强训练．26.【答案】解：如图，点D 与点C 重合时，B ′C =BD ，∠B ′CB =∠CBD =∠A ，∵tan A =13，∴tan ∠BCB ′=BB′B′C =13，∴设B ′B =x 米，则B ′C =3x 米，在Rt △B ′CB 中，B ′B 2+B ′C 2=BC 2，即：x 2+（3x ）2=（√5）2，x =√22（负值舍去）， ∴BD =B ′C =3√22米． 故BD 的长为3√22米． 【解析】点D 与点C 重合时，B′C=BD ，∠B′CB=∠CBD=∠A ，利用tanA=得到tan∠BCB′==，然后设B′B=x米，则B′C=3x米，在Rt△B′CB中，利用勾股定理求得答案即可．本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是能够从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．−9+3b+c=0，27.【答案】解：（1）把点B和D的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c得：{−4+2b+c=3解得：b=2，c=3，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；当y=0时，-x2+2x+3=0，解得：x=3，或x=-1，∵B（3，0），∴A（-1，0）；设直线AD的解析式为y=kx+a，−k+a=0，把A和D的坐标代入得：{2k+a=3解得：k=1，a=1，∴直线AD的解析式为y=x+1；（2）分两种情况：如图所示：①当a＜-1时，DF∥AE且DF=AE，则F点即为（0，3），∵AE=-1-a=2，∴a=-3；②当a＞-1时，显然F应在x轴下方，EF∥AD且EF=AD，设F（a-3，-3），由-（a-3）2+2（a-3）+3=-3，解得：a=4±√7；综上所述，满足条件的a的值为-3或4±√7．【解析】（1）把点B和D的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c得出方程组，解方程组即可；由抛物线解析式求出点A的坐标，设直线AD的解析式为y=kx+a，把A和D 的坐标代入得出方程组，解方程组即可；（2）分两种情况：①当a＜-1时，DF∥AE且DF=AE，得出F（0，3），由AE=-1-a=2，求出a的值；②当a＞-1时，显然F应在x轴下方，EF∥AD且EF=AD，设F （a-3，-3），代入抛物线解析式，即可得出结果．本题考查了待定系数法求抛物线和直线的解析式、平行四边形的判定、抛物线与x轴的交点等知识；熟练掌握待定系数法求抛物线和直线的解析式，分两种情况讨论是解决问题（2）的关键．28.【答案】解：（1）作AT⊥BD，垂足为T，由题意得，AB=8，AT=245，在Rt △ABT中，AB2=BT2+AT2，∴BT=325，∵tan∠ABD=ADAB =ATBT，∴AD=6，即BC=6；（2）在图①中，连接P1P2．过P1，P2分别作BD的垂线，垂足为Q1，Q2．则P1Q1∥P2Q 2．∵在图②中，线段MN平行于横轴，∴d1=d2，即P1Q1=P2Q2．∴P1P2∥BD．∴CP1 CB =CP2CD．即CP16=CP28．又∵CP1+CP2=7，∴CP1=3，CP2=4．设M，N的横坐标分别为t1，t2，由题意得，CP1=14+1-t1，CP2=t2-14-2，∴t1=12，t2=20．【解析】（1）作AT⊥BD，垂足为T，由题意得到AB=8，AT=，在Rt△ABT中，根据勾股定理得到BT=，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）如图，连接P1P2．过P1，P2分别作BD的垂线，垂足为Q1，Q2．则P1Q1∥P2Q2．根据平行线的性质得到d1=d2，得到P1Q1=P2Q2．根据平行线分线段成比例定理得到．设M，N的横坐标分别为t1，t2，于是得到结论．本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理矩形的性质，平行线分线段成比例定理，正确的作出辅助线是解题的关键．第21页，共21页。
2019年江苏省无锡市宜兴市北郊中学中考数学一模试卷含答案
2019年江苏省无锡市宜兴市北郊中学中考数学一模试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．如果|a|＝a，下列各式成立的是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤02．已知函数y＝，则自变量x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜1 B．x≥﹣1且x≠1 C．x≥﹣1 D．x≠13．下列运算正确的是（）A．a8÷a4＝a2 B．2a3+3a3＝5a6C．（﹣a3）2＝a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b24．下图中是中心对称图形而不是轴对称图形的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．在趣味运动会“定点投篮”项目中，我校七年级八个班的投篮成绩（单位：个）分别为：24，20，19，20，22，23，20，22．则这组数据中的众数和中位数分别是（）A．22个、20个B．22个、21个C．20个、21个D．20个、22个6．若一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的全面积为（）A．15πcm2B．24πcm2C．39πcm2D．48πcm27．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别相等B．两条对角线相等C．四个内角都是直角D．每一条对角线平分一组对角8．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50° C．60° D．70°9．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．10．如图，双曲线y＝与直线y＝kx+b交于点M，N，并且点M坐标为（1，3），点N坐标为（﹣3，﹣1），根据图象信息可得关于x的不等式＜kx+b的解为（）A．x＜﹣3 B．﹣3＜x＜0 C．﹣3＜x＜1 D．﹣3＜x＜0或x＞1二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）11．分解因式：3x2﹣6x2y+3xy2＝．12．将473000用科学记数法表示为．13．若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是．14．若函数y＝的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围为．15．如图，点E是▱ABCD的边BA延长线上的一点，联结CE交AD于F，交对角线BD于G，若DF＝2AF，那么EF：FG：GC＝．16．如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC 的长度是cm．17．直角三角形纸片的两直角边BC，AC的长分别为6，8，现将△ABC如下图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则CE的长为．18．如图，线段AB＝4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是．三．解答题（共10小题，满分84分）19．（8分）（1）计算：2﹣1+（2018﹣π）0﹣sin30°（2）化简：（a+1）2﹣a（a+1）﹣1．20．（8分）（1）解方程：＝．（2）解不等式组：21．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE＝CF．求证：四边形BFDE 是平行四边形．22．（6分）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，求∠A的大小；（2）在图2中分别画出三个顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（3）在△ABC中，∠B＝36°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，请直接写出∠C所有可能的值．23．（8分）为庆祝建党90周年，某校开展学党史活动，学校决定围绕“你最喜欢的了解党史的途径是什么”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．问卷要求学生从“自己阅读、听讲座、网上查找资料、其他形式”四种途径任选一种，学校将收集的调查问卷适当整理后，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图所给的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请补全下面的条形统计图和扇形统计图；（3）如果全校有1500名学生，请你估计全校最喜欢“网上查找资料”这种途径的学生约有多少名？24．（8分）车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A、B、C、D中，可随机选择其中一个通过．（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是．（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝﹣x +4与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，点D 在y 轴的负半轴上，若将△DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处．（1）求AB 的长；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）y 轴上是否存在一点P ，使得S △PAB ＝S △OCD ？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．26．（10分）如图①，Rt △ABC 中，∠B ＝90°∠CAB ＝30°，AC ⊥x 轴．它的顶点A 的坐标为（10，0），顶点B 的坐标为，点P 从点A 出发，沿A →B →C 的方向匀速运动，同时点Q 从点D （0，2）出发，沿y 轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）求∠BAO 的度数．（直接写出结果）（2）当点P 在AB 上运动时，△OPQ 的面积S 与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P 的运动速度．（3）求题（2）中面积S 与时间t 之间的函数关系式，及面积S 取最大值时，点P 的坐标．（4）如果点P ，Q 保持题（2）中的速度不变，当t 取何值时，PO ＝PQ ，请说明理由．27．（10分）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝m（m为常数），点C为的中点，点D为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E．（1）当DC⊥AB时，则＝；（2）①当点D在上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式；（3）当＝时，求的值．28．（10分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A′．（1）设a＝2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．①分别求函数y1、y2的表达式；②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；（3）设m＝，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．C．2．B．3．C．4．B．5．C．6．B．7．D．8．A．9．C．10．D．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）11．【分析】原式提取公因式分解即可．【解答】解：原式＝3x（x﹣2xy+y2），故答案为：3x（x﹣2xy+y2）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，找出原式的公因式是解本题的关键．12．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将473000用科学记数法表示为4.73×105．故答案为：4.73×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得＝40，解得n＝9．故答案为9．【点评】本题主要考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°，比较简单．14．【分析】先根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵函数y＝的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增大，∴m﹣2＜0，解得m＜2．故答案为m＜2．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝（k≠0）中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解答此题的关键．15．【分析】设AF＝x，则DF＝2x，由四边形ABCD是平行四边形得BC＝AD＝AF+DF＝3x，AD∥BC，证△DFG∽△GBC、△AEF∽△DFC，从而得出答案．【解答】解：设AF＝x，则DF＝2x，∵▱ABCD，∴EB∥CD，AD∥BC，AD＝BC＝AF+DF＝3x∴△AEF∽DCF，△DFG∽△GBC，∴，＝，∴EF：FG：GC＝5：4：6，故答案为：5：4：6．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．16．【分析】根据题意求出BH，根据坡度的概念求出CH，计算即可．【解答】解：由题意得，BH⊥AC，则BH＝18×4＝72，∵斜坡BC的坡度i＝1：5，∴CH＝72×5＝360，∴AC＝360﹣30×3＝270（cm），故答案为：270．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．17．【分析】根据折叠的性质和勾股定理可知．【解答】解：设CE为x，则BE＝AE＝8﹣x，∵∠C＝90°，∴BE2﹣CE2＝BC2，（8﹣x）2﹣x2＝36，解得x＝．【点评】翻折前后对应边相等，利用勾股定理求解即可．18．【分析】以O为坐标原点建立坐标系，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F，设点P的坐标为（x，y），则x2+y2＝1．然后证明△ECP≌△FPB，由全等三角形的性质得到EC＝PF＝y，FB＝EP＝2﹣x，从而得到点C（x+y，y+2﹣x），最后依据两点间的距离公式可求得AC＝，最后，依据当y＝1时，AC有最大值求解即可．【解答】解：如图所示：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x 轴于点F．∵AB＝4，O为AB的中点，∴A（﹣2，0），B（2，0）．设点P的坐标为（x，y），则x2+y2＝1．∵∠EPC+∠BPF＝90°，∠EPC+∠ECP＝90°，∴∠ECP＝∠FPB．由旋转的性质可知：PC＝PB．在△ECP和△FPB中，，∴△ECP≌△FPB．∴EC＝PF＝y，FB＝EP＝2﹣x．∴C（x+y，y+2﹣x）．∵AB＝4，O为AB的中点，∴AC＝＝．∵x2+y2＝1，∴AC＝．∵﹣1≤y≤1，∴当y＝1时，AC有最大值，AC的最大值为＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的性质和判定，两点间的距离公式的应用，列出AC 的长度与点P的坐标之间的关系式是解题的关键．三．解答题（共10小题，满分84分）19．【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂、代入三角函数值，再计算加减可得；（2）先计算乘方和乘法，再合并同类项即可得．【解答】解：（1）原式＝+1﹣＝1；（2）原式＝a2+2a+1﹣a2﹣a﹣1＝a．【点评】本题主要考查整式和实数的运算，解题的关键是掌握整式的运算顺序和运算法则及负整数指数幂、零指数幂、三角函数值．20．【分析】（1）分式方程变形后去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）关键不等式组的解法解答即可．【解答】解：（1）由题意可得：5（x+2）＝3（2x﹣1），解得：x＝13，检验：当x＝13时，（x+2）≠0，2x﹣1≠0，故x＝13是原方程的解；（2）解①得：x＞﹣1，解②得：x≤6，故不等式组的解集为：﹣1＜x≤6．【点评】此题考查了解分式方程，以及不等式组的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．21．【分析】欲证明四边形BFDE是平行四边形，只要证明DE＝BF，DE∥BF即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形．【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型．22．【分析】（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数；（2）根据（1）的解题过程作出△ABC的三等分线；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；（3）用量角器，直尺标准作36°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C在同一直线上，易得2种三角形ABC；根据图形易得∠C的值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BD＝BC＝AD，∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝（180°﹣x），可得2x＝（180°﹣x），解得：x＝36°，则∠A＝36°；（2）如图所示：（3）分两种情况：①如图所示：当AD＝AE时，∵2x+x＝36°+36°，∴x＝24°；②如图所示：当AD＝DE时，∵36°+36°+2x+x＝180°，∴x＝36°；综上所述，∠C的度数为24°或36°．【点评】本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题．23．【分析】（1）因为最喜欢自己阅读的学生有16人，所占百分比为32%，即可求出调查总人数；（2）用总人数减去A、B、D级的人数，可求出C级的人数，再分别用B、C级的人数除以总人数求出各自所占的百分比，画图即可解答；（3）用全校总人数乘以最喜欢网上查找资料的学生所占百分比即可求得结果．【解答】解：（1）16÷32%＝50（名）．∴在这次调查中，一共抽取了50名学生；（2）50﹣16﹣9﹣7＝18（名），9÷50＝18%，18÷50＝36%．如图；（3）1500×＝540（名）．所以全校最喜欢“网上查找资料”这种途径的学生约有540名．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24．【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；（2）画出树状图即可得到结论．【解答】解：（1）选择A通道通过的概率＝，故答案为：；（2）设两辆车为甲，乙，如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，∴选择不同通道通过的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．25．【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，则可得到OA、OB的长，然后依据勾股定理可求得AB 的长，（2）依据翻折的性质可得到AC的长，于是可求得OC的长，从而可得到点C的坐标；设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．，Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D（0，﹣6）．（3）先求得S△PAB的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P的坐标．【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，∴A（3，0）．∴OA＝3．在Rt△OAB中，AB＝＝5．∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，∴C（8，0）．设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，∴D（0，﹣6）．（3）∵S△PAB ＝S△OCD，∴S△PAB＝××6×8＝12．∵点Py轴上，S＝12，△PAB∴BP•OA＝12，即×3BP＝12，解得：BP＝8，∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．26．【分析】（1）利用∠BAO的正切值，求出∠BAO的度数即可；（2）利用图②中的函数图象，求得点P的运动时间与路程解决即可；（3）利用特殊角的三角函数，三角形的面积以及配方法解决问题；（4）分两种情况进行列方程解决问题．【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥OA于E，则OE＝5，BE＝5，OA＝10，∴AE＝5，Rt△ABE中，tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝60°；（2）由图形可知，当点P运动了5秒时，它到达点B，此时AB＝10，因此点P的运动速度为10÷5＝2个单位/秒，点P的运动速度为2个单位/秒；（3）P（10﹣t，t）（0≤t≤5），∵S＝（2t+2）（10﹣t），＝﹣（t﹣）2+，∴当时，S有最大值为，此时；（4）当P在AB上时，根据P点纵坐标得出：，解得：，当P在BC上时，，此方程无解，故t不存在，综上所知当t＝时，PO＝PQ．【点评】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，特殊角的三角函数，以及分类讨论思想的渗透．27．【分析】（1）首先证明当DC⊥AB时，DC也为圆的直径，且△ADB为等腰直角三角形，即可求出结果；（2）①分别过点A，B作CD的垂线，连接AC，BC，分别构造△ADM和△BDN两个等腰直角三形及△NBC和△MCA两个全等的三角形，容易证出线段DA，DB，DC之间的数量关系；②通过完全平方公式（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA•DB的变形及将已知条件AB＝m代入即可求出结果；（3）通过设特殊值法，设出PD的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果．【解答】解：（1）如图1，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵C为的中点，∴，∴∠ADC＝∠BDC＝45°，∵DC⊥AB，∴∠DEA＝∠DEB＝90°，∴∠DAE＝∠DBE＝45°，∴AE＝BE，∴点E与点O重合，∴DC为⊙O的直径，∴DC＝AB，在等腰直角三角形DAB中，DA＝DB＝AB，∴DA+DB＝AB＝CD，∴＝；（2）①如图2，过点A作AM⊥DC于M，过点B作BN⊥CD于N，连接AC，BC，由（1）知，∴AC＝BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BNC＝∠CMA＝90°，∴∠NBC+∠BCN＝90°，∠BCN+∠MCA＝90°，∴∠NBC＝∠MCA，在△NBC和△MCA中，，∴△NBC≌△MCA（AAS），∴CN＝AM，由（1）知∠DAE＝∠DBE＝45°，AM＝DA，DN＝DB，∴DC＝DN+NC＝DB+DA＝（DB+DA），即DA+DB＝DC；②在Rt△DAB中，DA2+DB2＝AB2＝m2，∵（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA•DB，且由①知DA+DB＝DC＝t，∴（t）2＝m2+2DA•DB，∴DA•DB＝t2﹣m2，∴S＝DA•DB＝t2﹣m2，△ADB∴△ADB的面积S与t的函数关系式S＝t2﹣m2；（3）如图3，过点E作EH⊥AD于H，EG⊥DB于G，则NE＝ME，四边形DHEG为正方形，由（1）知，∴AC＝BC，∴△ACB为等腰直角三角形，∴AB＝AC，∵，设PD＝9，则AC＝20，AB＝20，∵∠DBA＝∠DBA，∠PAB＝∠ADB，∴△ABD∽△PBA，∴，∴，∴DB＝16，∴AD＝＝12，设NE＝ME＝x，∵S＝AD•BD＝AD•NE+BD•ME，△ABD∴×12×16＝×12•x+×16•x，∴x＝，∴DE＝HE＝x＝，又∵AO＝AB＝10，∴＝×＝．【点评】本题考查了圆的相关性质，等腰直三角形的性质，相似的性质等，还考查了面积法及特殊值法的运用，解题的关键是认清图形，抽象出各几何图形的特殊位置关系．28．【分析】（1）由已知代入点坐标即可；（2）面积问题可以转化为△AOB面积，用a、k表示面积问题可解；（3）设出点A、A′坐标，依次表示AD、AF及点P坐标．【解答】解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═（x＞0）的图象上∴k＝8∴y1＝∵a＝2∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2＝mx+n解得∴y2＝x﹣2②当y1＞y2＞0时，y1＝图象在y2＝x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方∴由图象得：2＜x＜4（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO∵O为AA′中点S△AOB＝S△ABA′＝8∵点A、B在双曲线上∴S△AOC＝S△BOD∴S△AOB＝S四边形ACDB＝8由已知点A、B坐标都表示为（a，）（3a，）∴解得k＝6（3）由已知A（a，），则A′为（﹣a，﹣）把A′代入到y＝﹣∴n＝∴A′D解析式为y＝当x＝a时，点D纵坐标为∴AD＝∵AD＝AF，∴点F和点P横坐标为∴点P纵坐标为∴点P在y1═（x＞0）的图象上。
2019年江苏省无锡市中考数学一模试卷(含答案)
2019年江苏省无锡市中考数学一模试卷一．选择题（共10小题，满分30分）1．﹣5的绝对值是（）A．B．5 C．﹣5 D．﹣2．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣2且x≠0 B．x≤2且x≠0 C．x≠0 D．x≤﹣23．下列计算正确的是（）A．（a+b）2＝a2+b2B．（﹣2a2）2＝﹣4a4C．a5÷a3＝a2D．a4+a7＝a114．在天气预报图上，有各种各样表示天气的符号，下列表示天气符号的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．晴B．冰雹C．雷阵雨D．大雪5．在趣味运动会“定点投篮”项目中，我校七年级八个班的投篮成绩（单位：个）分别为：24，20，19，20，22，23，20，22．则这组数据中的众数和中位数分别是（）A．22个、20个B．22个、21个C．20个、21个D．20个、22个6．若一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的全面积为（）A．15πcm2B．24πcm2C．39πcm2D．48πcm27．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别相等B．两条对角线相等C．四个内角都是直角D．每一条对角线平分一组对角8．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°9．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．10．如图，双曲线y＝与直线y＝kx+b交于点M，N，并且点M坐标为（1，3），点N 坐标为（﹣3，﹣1），根据图象信息可得关于x的不等式＜kx+b的解为（）A．x＜﹣3 B．﹣3＜x＜0C．﹣3＜x＜1 D．﹣3＜x＜0或x＞1二．填空题（满分16分，每小题2分）11．分解因式：3x2﹣6x2y+3xy2＝．12．将473000用科学记数法表示为．13．若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是．14．若函数y＝的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围为．15．如图，点E是▱ABCD的边BA延长线上的一点，联结CE交AD于F，交对角线BD于G，若DF＝2AF，那么EF：FG：GC＝．16．如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是cm．17．直角三角形纸片的两直角边BC，AC的长分别为6，8，现将△ABC如下图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长为．18．如图，线段AB＝4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是．三．解答题（共10小题，满分84分）19．（8分）（1）计算：2﹣1+（2018﹣π）0﹣sin30°（2）化简：（a+1）2﹣a（a+1）﹣1．20．（8分）（1）解方程：＝．（2）解不等式组：21．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．22．（6分）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，求∠A的大小；（2）在图2中分别画出三个顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（3）在△ABC中，∠B＝36°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E 在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，请直接写出∠C所有可能的值．23．（8分）为庆祝建党90周年，某校开展学党史活动，学校决定围绕“你最喜欢的了解党史的途径是什么”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．问卷要求学生从“自己阅读、听讲座、网上查找资料、其他形式”四种途径任选一种，学校将收集的调查问卷适当整理后，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图所给的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请补全下面的条形统计图和扇形统计图；（3）如果全校有1500名学生，请你估计全校最喜欢“网上查找资料”这种途径的学生约有多少名？24．（8分）车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A、B、C、D中，可随机选择其中一个通过．（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是．（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．（10分）如图①，Rt△ABC中，∠B＝90°∠CAB＝30°，AC⊥x轴．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求∠BAO的度数．（直接写出结果）（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P的运动速度．（3）求题（2）中面积S与时间t之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P的坐标．（4）如果点P，Q保持题（2）中的速度不变，当t取何值时，PO＝PQ，请说明理由．27．（10分）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝m（m为常数），点C为的中点，点D 为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E．（1）当DC⊥AB时，则＝；（2）①当点D在上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式；（3）当＝时，求的值．28．（10分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A′．（1）设a＝2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．①分别求函数y1、y2的表达式；②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；（3）设m＝，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD 为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．参考答案一．选择题1．解：﹣5的绝对值是5，故选：B．2．解：根据题意得：x+2≥0且3x≠0，解得：x≥﹣2且x≠0．故选：A．3．解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，此选项错误；B、（﹣2a2）2＝4a4，此选项计算错误；C、a5÷a3＝a2，此选项计算正确；D、a4，a7不是同类项，此选项计算错误；故选：C．4．解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．5．解：在这一组数据中20出现了3次，次数最多，故众数是20；把数据按从小到大的顺序排列：19，20，20，20，22，22，23，24，处于这组数据中间位置的数20和22，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是21．故选：C．6．解：这个圆锥的全面积＝•2π•3•5+π•32＝24π（cm2）．故选：B．7．解：∵菱形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角，；平行四边形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：每一条对角线平分一组对角．故选：D．8．解：如图，连接OA、OB，∵BM是⊙O的切线，∴∠OBM＝90°，∵∠MBA＝140°，∴∠ABO＝50°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝50°，∴∠AOB＝80°，∴∠ACB＝∠AOB＝40°，故选：A．9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，∴，故A正确，，∵AD＝BC，∴，故B正确；∵DE∥BC，∴，∴，故C错误；∵DF∥AB，∴，故D正确．故选：C．10．解：∵点M坐标为（1，3），点N坐标为（﹣3，﹣1），∴关于x不等式＜kx+b的解集为：﹣3＜x＜0或x＞1，故选：D．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）11．解：原式＝3x（x﹣2xy+y2），故答案为：3x（x﹣2xy+y2）12．解：将473000用科学记数法表示为4.73×105．故答案为：4.73×105．13．解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得＝40，解得n＝9．故答案为9．14．解：∵函数y＝的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增大，∴m﹣2＜0，解得m＜2．故答案为m＜2．15．解：设AF＝x，则DF＝2x，∵▱ABCD，∴EB∥CD，AD∥BC，AD＝BC＝AF+DF＝3x∴△AEF∽DCF，△DFG∽△GBC，∴，＝，∴EF：FG：GC＝5：4：6，故答案为：5：4：6．16．解：由题意得，BH⊥AC，则BH＝18×4＝72，∵斜坡BC的坡度i＝1：5，∴CH＝72×5＝360，∴AC＝360﹣30×3＝270（cm），故答案为：270．17．解：设CE为x，则BE＝AE＝8﹣x，∵∠C＝90°，∴BE2﹣CE2＝BC2，（8﹣x）2﹣x2＝36，解得x＝．18．解：如图所示：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F．∵AB＝4，O为AB的中点，∴A（﹣2，0），B（2，0）．设点P的坐标为（x，y），则x2+y2＝1．∵∠EPC+∠BPF＝90°，∠EPC+∠ECP＝90°，∴∠ECP＝∠FPB．由旋转的性质可知：PC＝PB．在△ECP和△FPB中，，∴△ECP≌△FPB．∴EC＝PF＝y，FB＝EP＝2﹣x．∴C（x+y，y+2﹣x）．∵AB＝4，O为AB的中点，∴AC＝＝．∵x2+y2＝1，∴AC＝．∵﹣1≤y≤1，∴当y＝1时，AC有最大值，AC的最大值为＝3．故答案为：3．三．解答题（共10小题，满分84分）19．解：（1）原式＝+1﹣＝1；（2）原式＝a2+2a+1﹣a2﹣a﹣1＝a．20．解：（1）由题意可得：5（x+2）＝3（2x﹣1），解得：x＝13，检验：当x＝13时，（x+2）≠0，2x﹣1≠0，故x＝13是原方程的解；（2）解①得：x＞﹣1，解②得：x≤6，故不等式组的解集为：﹣1＜x≤6．21．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形．22．解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BD＝BC＝AD，∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝（180°﹣x），可得2x＝（180°﹣x），解得：x＝36°，则∠A＝36°；（2）如图所示：（3）分两种情况：①如图所示：当AD＝AE时，∵2x+x＝36°+36°，∴x＝24°；②如图所示：当AD＝DE时，∵36°+36°+2x+x＝180°，∴x＝36°；综上所述，∠C的度数为24°或36°．23．解：（1）16÷32%＝50（名）．∴在这次调查中，一共抽取了50名学生；（2）50﹣16﹣9﹣7＝18（名），9÷50＝18%，18÷50＝36%．如图；（3）1500×＝540（名）．所以全校最喜欢“网上查找资料”这种途径的学生约有540名．24．解：（1）选择A通道通过的概率＝，故答案为：；（2）设两辆车为甲，乙，如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，∴选择不同通道通过的概率＝＝．25．解：（1）令x＝0得：y＝4，∴B（0，4）．∴O B＝4令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，∴A（3，0）．∴OA＝3．在Rt△OAB中，AB＝＝5．∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，∴C（8，0）．设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，∴D（0，﹣6）．（3）∵S△PAB＝S△OCD，∴S△PAB＝××6×8＝12．∵点Py轴上，S△PAB＝12，∴BP•OA＝12，即×3BP＝12，解得：BP＝8，∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．26．解：（1）如图，过点B作BE⊥OA于E，则OE＝5，BE＝5，OA＝10，∴AE＝5，Rt△ABE中，tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝60°；（2）由图形可知，当点P运动了5秒时，它到达点B，此时AB＝10，因此点P的运动速度为10÷5＝2个单位/秒，点P的运动速度为2个单位/秒；（3）P（10﹣t，t）（0≤t≤5），∵S＝（2t+2）（10﹣t），＝﹣（t﹣）2+，∴当时，S有最大值为，此时；（4）当P在AB上时，根据P点纵坐标得出：，解得：，当P在BC上时，，此方程无解，故t不存在，综上所知当t＝时，PO＝PQ．27．解：（1）如图1，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵C为的中点，∴，∴∠ADC＝∠BDC＝45°，∵DC⊥AB，∴∠DEA＝∠DEB＝90°，∴∠DAE＝∠DBE＝45°，∴AE＝BE，∴点E与点O重合，∴DC为⊙O的直径，∴DC＝AB，在等腰直角三角形DAB中，DA＝DB＝AB，∴DA+DB＝AB＝CD，∴＝；（2）①如图2，过点A作AM⊥DC于M，过点B作BN⊥CD于N，连接AC，BC，由（1）知，∴AC＝BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BNC＝∠CMA＝90°，∴∠NBC+∠BCN＝90°，∠BCN+∠MCA＝90°，∴∠NBC＝∠MCA，在△NBC和△MCA中，，∴△NBC≌△MCA（AAS），∴CN＝AM，由（1）知∠DAE＝∠DBE＝45°，AM＝DA，DN＝DB，∴DC＝DN+NC＝DB+DA＝（DB+DA），即DA+DB＝DC；②在Rt△DAB中，DA2+DB2＝AB2＝m2，∵（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA•DB，且由①知DA+DB＝DC＝t，∴（t）2＝m2+2DA•DB，∴DA•DB＝t2﹣m2，∴S△ADB＝DA•DB＝t2﹣m2，∴△ADB的面积S与t的函数关系式S＝t2﹣m2；（3）如图3，过点E作EH⊥AD于H，EG⊥DB于G，则NE＝ME，四边形DHEG为正方形，由（1）知，∴AC＝BC，∴△ACB为等腰直角三角形，∴AB＝AC，∵，设PD＝9，则AC＝20，AB＝20，∵∠DBA＝∠DBA，∠PAB＝∠ADB，∴△ABD∽△PBA，∴，∴，∴DB＝16，∴AD＝＝12，设NE＝ME＝x，∵S△ABD＝AD•BD＝AD•NE+BD•ME，∴×12×16＝×12•x+×16•x，∴x＝，∴DE＝HE＝x＝，又∵AO＝AB＝10，∴＝×＝．28．解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═（x＞0）的图象上∴k＝8∴y1＝∵a＝2∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2＝mx+n解得∴y2＝x﹣2②当y1＞y2＞0时，y1＝图象在y2＝x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方∴由图象得：2＜x＜4（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO∵O为AA′中点S△AOB＝S△ABA′＝8∵点A、B在双曲线上∴S△AOC＝S△BOD∴S△AOB＝S四边形ACDB＝8由已知点A、B坐标都表示为（a，）（3a，）∴解得k＝6（3）由已知A（a，），则A′为（﹣a，﹣）把A′代入到y＝﹣∴n＝∴A′D解析式为y＝当x＝a时，点D纵坐标为∴AD＝∵AD＝AF，∴点F和点P横坐标为∴点P纵坐标为∴点P在y1═（x＞0）的图象上。
江苏省无锡市宜兴市环科园教学联盟2019年中考数学一模试卷(含解析)
2019年江苏省无锡市宜兴市环科园教学联盟中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．﹣5的绝对值是（ ）A．B．5 C．﹣D．﹣52．函数y＝中自变量x的取值范围为（ ）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤23．下列运算正确的是（ ）A．2a2+a2＝3a4B．（﹣2a2）3＝8a6C．a3÷a2＝a D．（a﹣b）2＝a2﹣b24．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．5．一组数据：2，﹣1，0，3，﹣3，2．则这组数据的中位数和众数分别是（ ）A．0，2 B．1.5，2 C．1，2 D．1，36．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（ ）A．24cm2B．24πcm2C．48cm2D．48πcm27．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角相等8．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝50°，则∠ABC的度数为（ ）A．20° B．25° C．40° D．50°9．如图，▱ABCD对角线AC与BD交于点O，且AD＝3，AB＝5，在AB延长线上取一点E，使BE＝AB，连接OE交BC于F，则BF的长为（ ）A．B．C．D．110．如图，在直角坐标系中，直线AB：y＝﹣2x+b，直线y＝x与OA的垂直平分线交于点C，与AB 交于点D，反比例函数y＝的图象过点C．当S△CDE＝时，k的值是（ ）A．18 B．12 C．9 D．3二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）11．因式分解：2a2﹣8＝ ．12．我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，用科学记数法表示67500，其结果应是 ．13．若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为 ．14．若反比例函数的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是 ．15．如图，在▱ABCD中，E是边BC上的点，分别连结AE、BD相交于点O，若AD＝10，＝，则EC ＝ ．16．某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1：，堤坝高BC＝50m，则AB＝ m．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点F在边AC上，并且CF＝1，点E为边BC 上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 ．18．如图，在矩形ABCD中，将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B'C'交CD 边于点G．连接BB'、CC'．若AD＝7，CG＝4，AB'＝B'G，则＝ （结果保留根号）．三、解答题（共84分）19．（8分）计算：（1）2﹣1﹣（﹣0.5）0﹣﹣sin30°；（2）（x﹣2）2﹣x（x﹣3）．20．（8分）（1）解方程：；（2）求不等式组的解集21．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上，且AE＝CF．求证：DE＝BF．22．（6分）如图，△ABC（∠B＞∠A）．（1）在边AC上用尺规作图作出点D，使∠ADB+2∠A＝180°（保留作图痕迹）；（2）在（1）的情况下，连接BD，若CB＝CD，∠A＝35°，求∠C的度数．23．（8分）学习了统计知识后，某中学小光同学，为了解本校九年级学生晚间睡眠时间，进行了一次抽样调查，设睡眠时间为t小时，所得数据按以下四个时间段进行统计：A．t＜6 B．6≤t＜7 C．7≤t＜8 D．t≥8图1，图2是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答以下问题：（1）这次调查中，共抽查了 名学生；（2）在扇形统计图中，“D时间段”部分所对应的圆心角是 度；（3）补全两幅统计图；（4）本校九年级共有800名学生．若睡眠时间不足8小时均为睡眠不足，估计本校九年级学生睡眠不足的人数？24．（8分）为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A，B，C三类分别装袋、投放，其中A 类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收垃圾．甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类．（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；（2）求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣2，0）的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着O顺时针旋转90°后，分别与x轴y轴交于点D、C．（1）若OB＝4，求直线AB的函数关系式；（2）连接BD，若△ABD的面积是7.5，求点B的运动路径长．26．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．27．已知如图1，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，A＝30°，BC＝2cm，射线CK平分∠BCA，点O从C出发，以cm/秒的速度沿射线CK运动，在运动过程中，过O作OD⊥AC，交AC边于D，当D到A 时，点O停止运动，以O为圆心，OD为半径画圆O．（1）经过 秒，⊙O过点A，经过 秒⊙O与AB边相切；（2）求经过几秒钟，点O运动到AB边上；（3）如图2，当⊙O在Rt△ABC内部时，在O出发的同一时刻，若有一点P从B出发，沿线段BC 以0.5cm/秒的速度向点C运动，过P作PQ∥AB，交CD于Q，问经过几秒时，线段PQ与⊙O相切？28．如图1，一次函数y＝kx﹣6（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（4，b）．（1）b＝ ；k＝ ；（2）点C是线段AB上一点，过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图象于点D，连接OC，OD，BD，若四边形OCBD的面积S四边形OCBD＝，求点C的坐标；（3）将第（2）小题中的△OCD沿射线AB方向平移一定的距离后，得到△O'C'D'，若点O的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求此时点D的对应点D'的坐标．2019年江苏省无锡市宜兴市环科园教学联盟中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|﹣5|＝5．故选：B．【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的性质．2．【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．【解答】解：根据题意，得x﹣2≥0，解得x≥2．故选：B．【点评】考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．3．【分析】根据合并同类项，积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法，完全平方公式，可得答案．【解答】解：A、系数相加字母及指数不变，故A不符合题意；B、积的乘方等于乘方的积，故B不符合题意；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C符合题意；D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．4．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第3、4个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是1，得到这组数据的众数．【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列﹣3，﹣1，0，2，2，3，第3、4个两个数的平均数是（0+2）÷2＝1，所以中位数是1；在这组数据中出现次数最多的是2，即众数是2，故选：C．【点评】本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．6．【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝×2π×4×6＝24（cm2）．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．【分析】由菱形的性质和平行四边形的性质，容易得出结果．【解答】解：∵菱形的性质有：内角和360°，对边平行且相等，对角线互相垂直平分，对角相等；平行四边形的性质有：内角和360°，对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等；∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线互相垂直；故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质；熟记菱形的性质和平行四边形的性质是解决问题的关键．8．【分析】先利用切线的性质得到∠OAP＝90°，则利用互余和计算出∠AOP＝40°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠B的度数．【解答】解：∵直线PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP＝90°，∴∠AOPP＝90°﹣∠P＝40°，∵∠AOP＝∠B+∠OCB，而OB＝OC，∴∠B＝∠AOP＝20°．故选：A．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．9．【分析】首先作辅助线：取AB的中点M，连接OM，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得：△EFB∽△EOM与OM的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得BF的值．【解答】解：取AB的中点M，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴OM∥AD∥BC，OM＝AD＝×3＝，∴△EFB∽△EOM，∴＝，∵AB＝5，BE＝AB，∴BE＝2，BM＝，∴EM＝+2＝，∴，∴BF＝，故选：A．【点评】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．10．【分析】用b分别表示A，F，C，E，D，根据S△CDE＝可得b的值，可得C点坐标，即可求k 的值．【解答】解：∵直线AB：y＝﹣2x+b与x轴，y轴交于A，B∴A（，0）∵EF垂直平分OA∴F（，0）∴当x＝时，y＝．则C（，）当x＝时，y＝﹣2×+b＝，则E（，）∵直线y＝x与直线AB：y＝﹣2x+b交于D∴D（，）∵S△CDE＝∴＝∴b＝12∴C（3，3）∵反比例函数y＝的图象过点C∴k＝3×3＝9故选：C．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用b表示A，F，C，E，D的坐标是解题的关键二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）11．【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）．故答案为：2（a+2）（a﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．12．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：67500＝6.75×104．故答案为：6.75×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，外角和等于360°列出方程求解即可．【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，（n﹣2）•180°﹣360°＝360°，解得n＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．14．【分析】先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数的图象经过第一、三象限，∴1﹣3k≥0，解得k＜．故答案为：k＜．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限是解答此题的关键．15．【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，推出△BEO∽△DAO，根据相似三角形的性质得到，求得BE＝6，即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△BEO∽△DAO，∴，∵AD＝10，∴BE＝6，∴CE＝10﹣6＝4，故答案为：4．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．16．【分析】根据坡比可得：BC：AC＝1：，然后根据BC＝50m，求出AC的长度，最后利用勾股定理求出AB的长度．【解答】解：由图可得，BC：AC＝1：，∵BC＝50m，∴AC＝50m，∴AB＝＝100（m）．故答案为：100．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度构造直角三角形，利用勾股定理求解．17．【分析】延长FP交AB于M，得到FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，根据相似三角形的性质求出FM，根据折叠的性质QCPF，计算即可．【解答】解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵∠A＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°，∴△AFM∽△ABC，∴＝，即＝，解得，FM＝，由折叠的性质可知，FP＝FC＝1，∴PM＝，故答案为：．【点评】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置．18．【分析】先连接AC，AG，AC'，构造直角三角形以及相似三角形，根据△ABB'∽△ACC'，可得到＝，设AB＝AB'＝x，则AG＝x，DG＝x﹣4，Rt△ADG中，根据勾股定理可得方程72+（x ﹣4）2＝（x）2，求得AB的长以及AC的长，即可得到所求的比值．【解答】解：连接AC，AG，AC'，由旋转可得，AB＝AB'，AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，∴＝，∴△ABB'∽△ACC'，∴＝，∵AB'＝B'G，∠AB'G＝∠ABC＝90°，∴△AB'G是等腰直角三角形，∴AG＝AB'，设AB＝AB'＝x，则AG＝x，DG＝x﹣4，∵Rt△ADG中，AD2+DG2＝AG2，∴72+（x﹣4）2＝（x）2，解得x1＝5，x2＝﹣13（舍去），∴AB＝5，∴Rt△ABC中，AC＝＝＝，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例，将转化为，并依据直角三角形的勾股定理列方程求解，从而得出矩形的宽AB，这也是本题的难点所在．三、解答题（共84分）19．【分析】（1）根据负整数指数幂，零指数幂，开平方以及特殊角的三角函数值解答；（2）利用完全平方公式和单项式乘多项式法则进行解答．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣2﹣＝﹣3；（2）原式＝x2﹣4x+4﹣x2+3x＝﹣x+4．【点评】考查了负整数指数幂，零指数幂，开平方以及特殊角的三角函数值，属于基础计算题．20．【分析】（1）去分母化为一元一次方程求解，然后检验即可；（2）分别求出两个不等式组的解，然后根据“大小小大取中间”即可求出不等式组的解集．【解答】解：（1）方程两边同时乘以（x﹣1）（x+1），得3（x+1）＝2（x﹣1），去括号，得3x+3＝2x﹣2移项合并同类项，得x＝﹣5检验：将x＝﹣5代入原方程，得左边＝＝右边，∴原分式方程的解为x＝﹣5．（2）由①得x≥﹣1，由②得x＜3，∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜3．【点评】本题考查了分式方程与一元一次不等式组的解法．分式方程特别要注意验根，一元一次不等式组要注意不等号的方向．21．【分析】由“平行四边形ABCD的对边平行且相等”的性质推知AB＝CD，AB∥CD．然后根据图形中相关线段间的和差关系求得BE＝FD，易证四边形EBFD是平行四边形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．∵AE＝CF．∴BE＝FD，BE∥FD，∴四边形EBFD是平行四边形，∴DE＝BF．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．22．【分析】（1）作AB的垂直平分线，交边AC于D即可；（2）依据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．【解答】解：（1）作AB的垂直平分线，交边AC于D，如图所示：∴点D即为所求；（2）∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠CBD，由（1）可得，DA＝DB，∴∠A＝∠ABD＝35°，∴∠CDB＝70°，∴△BCD中，∠C＝40°．【点评】本题主要参考了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．23．【分析】（1）用D级的人数除以它占得百分比即可解答．（2）用“D时间段”部分的百分比乘以360度即可．（3）求出B时间段人数，再求出所占百分比即可解答．（4）根据样本估计总体的方法解答即可．【解答】解：（1）4÷5%＝80人；（2）360×5%＝18°；（3）如图（4）800×（35%+40%+20%）＝760名．答：估计本校九年级学生睡眠不足的人数为760名．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图能够清楚地表示各部分所占的百分比．24．【分析】（1）直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．【解答】解：（1）∵垃圾要按A，B，C三类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，∴甲投放的垃圾恰好是A类的概率为：；（2）如图所示：，由图可知，共有18种可能结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的结果有12种，所以，P（乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类）＝＝；即，乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同一类的概率是：．【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能是解题关键．25．【分析】（1）依题意求出点B坐标，然后用待定系数法求解析式；（2）设OB＝m，则AD＝m+2，根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程求得m的值，然后根据弧长公式即可求得．【解答】解：（1）∵OB＝4，∴B（0，4）∵A（﹣2，0），设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x+4；（2）设OB＝m，则AD＝m+2，∵△ABD的面积是7.5，∴AD•OB＝7.5，∴（m+2）•m＝7.5，即m2+2m﹣15＝0，解得m＝3或m＝﹣5（舍去），∵∠BOD＝90°，∴点B的运动路径长为：×2π×3＝π．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积公式和弧长计算，难度一般．26．【分析】方法一：（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、③AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．方法二：（1）略．（2）找出A点的对称点点B，根据C，P，B三点共线求出BC与对称轴的交点P．（3）用参数表示的点M坐标，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式就可求解．（4）先求出AC的直线方程，利用斜率垂直公式求出OO’斜率及其直线方程，并求出H点坐标，进而求出O’坐标，求出DO’直线方程后再与AC的直线方程联立，求出Q点坐标．【解答】方法一：解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，得：，解得：∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3．（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；∵点A、B关于直线l对称，∴PA＝PB，∴BC＝PC+PB＝PC+PA设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：，解得：∴直线BC的函数关系式y＝﹣x+3；当x＝1时，y＝2，即P的坐标（1，2）．（3）抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），则：MA2＝m2+4，MC2＝（3﹣m）2+1＝m2﹣6m+10，AC2＝10；①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2+4＝m2﹣6m+10，得：m＝1；②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2+4＝10，得：m＝±；③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2﹣6m+10＝10，得：m1＝0，m2＝6；当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为M（1，）（1，﹣）（1，1）（1，0）．方法二：（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3．（2）连接BC，∵l为对称轴，∴PB＝PA，∴C，B，P三点共线时，△PAC周长最小，把x＝1代入l BC：y＝﹣x+3，得P（1，2）．（3）设M（1，t），A（﹣1，0），C（0，3），∵△MAC为等腰三角形，∴MA＝MC，MA＝AC，MC＝AC，（1+1）2+（t﹣0）2＝（1﹣0）2+（t﹣3）2，∴t＝1，（1+1）2+（t﹣0）2＝（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t＝±，（1﹣0）2+（t﹣3）2＝（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t1＝6，t2＝0，经检验，t＝6时，M、A、C三点共线，故舍去，综上可知，符合条件的点有4个，M1（1，），M2（1，﹣），M3（1，1），M4（1，0）．追加第（4）问：若抛物线顶点为D，点Q为直线AC上一动点，当△DOQ的周长最小时，求点Q 的坐标．（4）作点O关于直线AC的对称点O交AC于H，作HG⊥AO，垂足为G，∴∠AHG+∠GHO＝90°，∠AHG+∠GAH＝90°，∴∠GHO＝∠GAH，∴△GHO∽△GAH，∴HG2＝GO•GA，∵A（﹣1，0），C（0，3），∴l AC：y＝3x+3，H（﹣，），∵H为OO′的中点，∴O′（﹣，），∵D（1，4），∴l O′D：y＝x+，l AC：y＝3x+3，∴x＝﹣，y＝，∴Q（﹣，）．【点评】该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．27．【分析】（1）①根据题意画出图形，证明△COD是等腰直角三角形，求出CO的长度，再除以运动速度即可；②根据题意画出图形，证明四边形HCDO是正方形，设⊙O半径为r，根据切线长定理列出关于r的等量关系，即可求出r的值，进一步坟出CO的长度及运动时间；（2）根据题意画出图形，在等腰Rt△OCD及直角三角形ODQ中通过三角函数即可求出OC的长度，然后求出运动时间；（3）设运动时间为t，将线段BP，CP，DQ，QP等线段分别用含t的代数式表示，再通过三角函数及切线长定理构造等量关系，即可求出t的值．【解答】解：（1）①如图1，∵∠BCA＝90°，射线CK平分∠BCA，∴∠OCD＝45°，又∵OD⊥AC，∴△COD是等腰直角三角形，∴OC＝AC，在Rt△ABC中，A＝30°，BC＝2，AB＝4，∴AC＝2，∵＝，∴经过秒，⊙O过点A；②如图2，当⊙O与AB边相切于点N时，过点O作OH⊥BC于点H，∵OK是∠BCA的平分线，OD⊥AC，∴OH＝OD，∴BC，AC均与⊙O相切，∴∠OHC＝∠HCD＝∠CDO＝90°，∴四边形HCDO是矩形，又∵OH＝OD，∴矩形HCDO是正方形，设OH＝HC＝CD＝OD＝r，∴BH＝BN＝2﹣r，AD＝AN＝2﹣r，∴（2﹣r）+（2﹣r）＝4，解得，r＝﹣1，∵OC＝r，∴经过（﹣1）秒⊙O与AB边相切；（2）如图3，当点O运动到AB边上时，由（1）知，△COD是等腰直角三角形，OD＝CD＝r，在Rt△ODA中，∵∠A＝30°，∴AD＝OD＝r，∴r+r＝2，∴r＝3﹣，∵CO＝r，∴经过（3﹣）秒，点O运动到AB边上；（3）如图4，设点O运动时间为t秒时，线段PQ与⊙O相切，则BP＝t，CO＝t，HC＝CD＝t，∵PQ，PC，CQ都是⊙O的切线，∴PH＝PN＝2﹣t，在Rt△PCQ中，∠PQC＝∠A＝30°，∴QC＝PC＝（2﹣t）＝2﹣t，∴QN＝QD＝2﹣t﹣t，∴PQ＝PN+NQ＝2+2﹣t﹣t，∵PQ＝2PC，∴2+2﹣t﹣t＝2（2﹣t）解得，t＝∴经过秒时，线段PQ与⊙O相切．【点评】本题考查了锐角三角函数，切线长定理等，解题的关键是能够根据题意画出图形．28．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）设C（m，2m﹣6）（0＜m＜4），则D（m，），根据四边形的面积构建方程即可解决问题；（3）根据一次函数，利用方程组求出点O的坐标，即可解决问题；【解答】解：（1）把点B（4，b）代入y＝中，得到b＝2，∴B（4，2）代入y＝kx﹣6中，得到k＝2，故答案为2，2；（2）设C（m，2m﹣6）（0＜m＜4），则D（m，），∴CD＝﹣2m+6，∵S四边形OCBD＝，∴•CD•x B＝，即（﹣2m+6）×4＝，∴10m2﹣9m﹣40＝0，∴m1＝，m2＝﹣，经检验：m1＝，m2＝﹣是原方程的解，∵0＜m＜4，∴m＝，∴C（，﹣1）．（3）由平移可知：OO′∥AB，∴直线OO′的解析式为y＝2x，由，解得或（舍弃），∴O′（2，4），∴D′（，）．【点评】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．。
2019年无锡市宜兴市丁蜀学区中考数学一模试卷含答案解析
2019年江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．4的倒数是（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣2．下列各式运算中，正确的是（）A．（a+b）2=a2+b2B．C．a3•a4=a12D．3．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≤1 C．x＞0 D．x＞14．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65πcm2，扇形的弧长为10πcm，则圆锥母线长是（）A．5cm B．10cm C．12cm D．13cm6．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得图形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形7．下列说法中，你认为正确的是（）A．四边形具有稳定性B．等边三角形是中心对称图形C．等腰梯形的对角线一定互相垂直D．任意多边形的外角和是360°8．有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（）A．众数B．中位数C．平均数D．极差9．数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（）A．B．C．D．10．如图，A、B、C是反比例函数y=（x＜0）图象上三点，作直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程．）11．3月无锡市商品房平均每平方价格为7500元，7500元用科学记数法表示为元．12．命题“对顶角相等”的逆命题是命题（填“真”或“假”）．13．分解因式：a3﹣4a=．14．一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是．15．如图，点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=38°，则∠OAC的度数是度．16．如图，在△ABC和△BAD中，BC=AD，请你再补充一个条件，使△ABC≌△BAD．你补充的条件是（只填一个）．17．如图，在平面直角坐标系中，点A（a，b）为第一象限内一点，且a＜b．连结OA，并以点A为旋转中心把OA逆时针转90°后得线段BA．若点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上，则的值等于．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．三、解答题：（本大题共10小题，共84分．）19．计算：（1）|﹣2|﹣（1+）0+；（2）（a﹣）÷．20．（1）解方程： +=4．（2）解不等式组：．21．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：AE=CF．22．小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是．（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）23．学校为了解学生参加体育活动的情况，对学生“平均每天参加体育活动的时间”进行了随机抽样调查，下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：（1）“平均每天参加体育活动的时间”“为0.5～1小时”部分的扇形统计图的圆心角为度；（2）本次一共调查了名学生；（3）将条形统计图补充完整；（4）若该校有2000名学生，你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下．24．小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．25．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B 型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？26．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．27．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．（1）已知点A的坐标为（1，0），①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．28．问题背景：如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD 之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=CD，从而得出结论：AC+BC=CD．简单应用：（1）在图①中，若AC=，BC=2，则CD=．（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上，=，若AB=13，BC=12，求CD的长．拓展规律：（3）如图④，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）（4）如图⑤，∠ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，若点E满足AE=AC，CE=CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是．2019年江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．4的倒数是（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣【考点】倒数．【分析】乘积是1的两数互为倒数，据此进行计算即可．【解答】解：由题可得，4的倒数是．故选：C．2．下列各式运算中，正确的是（）A．（a+b）2=a2+b2B．C．a3•a4=a12D．【考点】二次根式的性质与化简．【分析】根据完全平方公式，二次根式的化简、同底数幂的乘法法则，平方等概念分别判断．【解答】解：A、（a+b）2=a2+2ab+b2，错误；B、==3，正确；C、a3•a4=a12，错误；D、=，错误．故选B．3．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≤1 C．x＞0 D．x＞1【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，解不等式即可．【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，即x≥1时，二次根式有意义．故选：A．4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．进行分析即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．5．如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65πcm2，扇形的弧长为10πcm，则圆锥母线长是（）A．5cm B．10cm C．12cm D．13cm【考点】圆锥的计算．【分析】圆锥的侧面积=，把相应数值代入即可求解．【解答】解：设母线长为R，由题意得：65π=，解得R=13cm．故选D．6．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得图形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【考点】中点四边形．【分析】因为四边形的两条对角线相等，根据三角形的中位线定理，可得所得的四边形的四边相等，则所得的四边形是菱形．【解答】解：如图，AC=BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，根据三角形的中位线的性质知，EH=FG=BD，EF=HG=AC，∵AC=BD，∴EH=FG=FG=EF，∴四边形EFGH是菱形．故选：C．7．下列说法中，你认为正确的是（）A．四边形具有稳定性B．等边三角形是中心对称图形C．等腰梯形的对角线一定互相垂直D．任意多边形的外角和是360°【考点】多边形内角与外角；等边三角形的性质；多边形；等腰梯形的性质．【分析】根据四边形、等边三角形，等腰梯形的性质，结合各选项进行判断即可．【解答】解：A、四边形不具有稳定性，原说法错误，故本选项错误；B、等边三角形不是中心对称图形，说法错误，故本选项错误；C、等腰梯形的对角线不一定互相垂直，说法错误，故本选项错误；D、任意多边形的外角和是360°，说法正确，故本选项正确；故选D．8．有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（）A．众数B．中位数C．平均数D．极差【考点】统计量的选择．【分析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．故选B．9．数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（）A．B．C．D．【考点】作图—基本作图．【分析】A、根据作法无法判定PQ⊥l；B、以P为圆心大于P到直线l的距离为半径画弧，交直线l，于两点，再以两点为圆心，大于它们的长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断；C、根据直径所对的圆周角等于90°作出判断；D、根据全等三角形的判定和性质即可作出判断．【解答】解：根据分析可知，选项B、C、D都能够得到PQ⊥l于点Q；选项A不能够得到PQ⊥l于点Q．故选：A．10．如图，A、B、C是反比例函数y=（x＜0）图象上三点，作直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条【考点】反比例函数的性质．【分析】如解答图所示，满足条件的直线有两种可能：一种是与直线BC平行，符合条件的有两条，如图中的直线a、b；还有一种是过线段BC的中点，符合条件的有两条，如图中的直线c、d．【解答】解：如解答图所示，满足条件的直线有4条，故选A．二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程．）11．3月无锡市商品房平均每平方价格为7500元，7500元用科学记数法表示为7.5×103元．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于7500有4位，所以可以确定n=4﹣1=3．【解答】解：7500=7.5×103．故答案为：7.5×103．12．命题“对顶角相等”的逆命题是假命题（填“真”或“假”）．【考点】命题与定理．【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．故答案为假．13．分解因式：a3﹣4a=a（a+2）（a﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=a（a2﹣4）=a（a+2）（a﹣2）．故答案为：a（a+2）（a﹣2）14．一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是﹣2．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系，即可求得答案．【解答】解：设一元二次方程x2+x﹣2=0的两根分别为α，β，∴αβ=﹣2．∴一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是﹣2．故答案为：﹣2．15．如图，点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=38°，则∠OAC的度数是19度．【考点】圆周角定理．【分析】先根据圆周角定理，求出∠C的度数，再根据两条直线平行，内错角相等，得∠OAC=∠C．【解答】解：∵∠AOB=38°∴∠C=38°÷2=19°∵AO∥BC∴∠OAC=∠C=19°．16．如图，在△ABC和△BAD中，BC=AD，请你再补充一个条件，使△ABC≌△BAD．你补充的条件是AC=BD（或∠CBA=∠DAB）（只填一个）．【考点】全等三角形的判定．【分析】根据已知条件在三角形中位置结合三角形全等的判定方法寻找条件．已知给出了一边对应相等，由一条公共边，还缺少角或边，于是答案可得．【解答】解：欲证两三角形全等，已有条件：BC=AD，AB=AB，所以补充两边夹角∠CBA=∠DAB便可以根据SAS证明；补充AC=BD便可以根据SSS证明．故补充的条件是AC=BD（或∠CBA=∠DAB）．故答案是：AC=BD（或∠CBA=∠DAB）．17．如图，在平面直角坐标系中，点A（a，b）为第一象限内一点，且a＜b．连结OA，并以点A为旋转中心把OA逆时针转90°后得线段BA．若点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上，则的值等于．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转．【分析】过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AO=AB，利用AAS得出三角形AOE与三角形ABD全等，由确定三角形的对应边相等得到BD=AE=b，AD=OE=a，进而表示出ED及OE+BD 的长，即可表示出B坐标；由A与B都在反比例图象上，得到A与B横纵坐标乘积相等，列出关系式，变形后即可求出的值．【解答】解：过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，∵∠OAB=90°，∴∠OAE+∠BAD=90°，∵∠AOE+∠OAE=90°，∴∠BAD=∠AOE，在△AOE和△BAD中，，∴△AOE≌△BAD（AAS），∴AE=BD=b，OE=AD=a，∴DE=AE﹣AD=b﹣a，OE+BD=a+b，则B（a+b，b﹣a）；∵A与B都在反比例图象上，得到ab=（a+b）（b﹣a），整理得：b2﹣a2=ab，即（）2﹣﹣1=0，∵△=1+4=5，∴=，∵点A（a，b）为第一象限内一点，∴a＞0，b＞0，则=．故答案为．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 1.2．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，利用△AFM∽△ABC，得到=求出FM即可解决问题．【解答】解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°，∴△AFM∽△ABC，∴=，∵CF=2，AC=6，BC=8，∴AF=4，AB==10，∴=，∴FM=3.2，∵PF=CF=2，∴PM=1.2∴点P到边AB距离的最小值是1.2．故答案为1.2．三、解答题：（本大题共10小题，共84分．）19．计算：（1）|﹣2|﹣（1+）0+；（2）（a﹣）÷．【考点】分式的混合运算；绝对值；算术平方根；零指数幂．【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．【解答】解：（1）原式=2﹣1+2=3．（2）原式=．20．（1）解方程： +=4．（2）解不等式组：．【考点】解分式方程；解一元一次不等式组．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）首先解每个不等式，两个不等式组的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：（1）去分母得：x﹣5x=4（2x﹣3），解得：x=1，经检验x=1是分式方程无解；（2），∵由①得，x＜2，由②得，x≥﹣1，∴不等式组的解集是：﹣1≤x＜2．21．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：AE=CF．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，OA=OC，继而证得△AOE ≌△COF，则可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OA=OC，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF．22．小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是．（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，然后画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求得答案；（3）由如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；即可求得答案．【解答】解：（1）∵第一道单选题有3个选项，∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：；故答案为：；（2）分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，∴小明顺利通关的概率为：；（3）∵如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；∴建议小明在第一题使用“求助”．23．学校为了解学生参加体育活动的情况，对学生“平均每天参加体育活动的时间”进行了随机抽样调查，下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：（1）“平均每天参加体育活动的时间”“为0.5～1小时”部分的扇形统计图的圆心角为54度；（2）本次一共调查了200名学生；（3）将条形统计图补充完整；（4）若该校有2000名学生，你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下．【考点】扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图．【分析】（1）圆心角的度数=360°×该部分所占总体的百分比；（2）0.5小时以下的有10人，所占百分比为5%，则可求得其调查总人数；（3）0.5﹣1小时人数为总人数乘以其所占百分比，1﹣1.5小时人数为总人数乘以其所占百分比；（4）用全校学生数×每天参加体育活动的时间在0.5小时以下所占百分比即可．【解答】解：（1）360°×（1﹣50%﹣30%﹣5%）=54°；（2）10÷5%=200人；（3）200×15%=30人，200×30%=60人；（4）平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下人数为2000×5%=100（人）．24．小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．【考点】解直角三角形的应用．【分析】根据题意作出合适的辅助线，画出相应的图形，可以分别求得CM、DN 的长，由于AB=CN﹣CM，从而可以求得AB的长．【解答】解：作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如右图所示，由题意可得，AM=BN=60米，CD=100米，∠ACF=45°，∠BDF=60°，∴CM=米，DN=米，∴AB=CD+DN﹣CM=100+20﹣60=（40+20）米，即A、B两点的距离是（40+20）米．25．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B 型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；（2）根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可．【解答】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，由题意得，=，解得：x=1200，经检验x=1200是原方程的根，则x+300=1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+）=3200，解得：x=1600，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．26．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．【考点】二次函数综合题．【分析】方法一：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得．（2）通过△AOC∽△CFB求得OC的值，通过△OCD≌△FCB得出DC=CB，∠OCD=∠FCB，然后得出结论．（3）设直线AB的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求得结果．方法二：（1）略．（2）利用垂直公式及中点公式求出点B关于直线AC的对称点B’坐标，并得出B’与点D重合．（3）分别求出点A，C，E，D坐标，并证明直线ED与AC斜率相等．【解答】方法一：解：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式，得=a×22﹣2a﹣a，解得a=，∴抛物线的表达式为y=x2﹣x﹣．（2）连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BCF+∠CBF=90°∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCF=90°，∴∠ACO=∠CBF，∵∠AOC=∠CFB=90°，∴△AOC∽△CFB，∴=，设OC=m，则CF=2﹣m，则有=，解得m1=m2=1，∴OC=CF=1，当x=0时，y=﹣，∴OD=，∴BF=OD，∵∠DOC=∠BFC=90°，∴△OCD≌△FCB，∴DC=CB，∠OCD=∠FCB，∴点B、C、D在同一直线上，∴点B与点D关于直线AC对称，∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．（3）过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则，解得k=﹣，∴y=﹣x+，代入抛物线的表达式﹣x+=x2﹣x﹣．解得x=2或x=﹣2，当x=﹣2时y=﹣x+=﹣×（﹣2）+=，∴点E的坐标为（﹣2，），∵tan∠EDG===，∴∠EDG=30°∵tan∠OAC===，∴∠OAC=30°，∴∠OAC=∠EDG，∴ED∥AC．方法二：（1）略．（2）设C点坐标为（t，0），B点关于直线AC的对称点为B′，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∴K AC×K BC=﹣1，∵OA=，∴A（0，），B（2，），C（t，0），∴=﹣1，∴t（t﹣2）=﹣1，∴t=1，C（1，0），∴，，∴B′x=0，B′Y=﹣，∴B关于直线AC的对称点即为点D．（3）∵A（0，），B（2，），∴，解得：x1=2（舍），x2=﹣2，∴E（﹣2，），D（0，﹣），A（0，），C（1，0），∴K ED=，K AC=，∴K ED=K AC，∴ED∥AC．27．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．（1）已知点A的坐标为（1，0），①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）①由相关矩形的定义可知：要求A与B的相关矩形面积，则AB必为对角线，利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积；②由定义可知，AC必为正方形的对角线，所以AC与x轴的夹角必为45，设直线AC的解析式为；y=kx+b，由此可知k=±1，再（1，0）代入y=kx+b，即可求出b的值；（2）由定义可知，MN必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为正方形，即直线MN与x轴的夹角为45°，由因为点N在圆O上，所以该直线MN与圆O一定要有交点，由此可以求出m的范围．【解答】解：（1）①∵A（1，0），B（3，1）由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1，∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1=2；②由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，又∵点A，C的“相关矩形”为正方形∴直线AC与x轴的夹角为45°，设直线AC的解析为：y=x+m或y=﹣x+n把（1，0）分别y=x+m，∴m=﹣1，∴直线AC的解析为：y=x﹣1，把（1，0）代入y=﹣x+n，∴n=1，∴y=﹣x+1，综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y=x﹣1或y=﹣x+1；（2）设直线MN的解析式为y=kx+b，∵点M，N的“相关矩形”为正方形，∴由定义可知：直线MN与x轴的夹角为45°，∴k=±1，∵点N在⊙O上，∴当直线MN与⊙O有交点时，点M，N的“相关矩形”为正方形，当k=1时，作⊙O的切线AD和BC，且与直线MN平行，其中A、C为⊙O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B，连接OA，OC，把M（m，3）代入y=x+b，∴b=3﹣m，∴直线MN的解析式为：y=x+3﹣m∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，∴OD=OA=2，∴D（0，2）同理可得：B（0，﹣2），∴令x=0代入y=x+3﹣m，∴y=3﹣m，∴﹣2≤3﹣m≤2，∴1≤m≤5，当k=﹣1时，把M（m，3）代入y=﹣x+b，∴b=3+m，∴直线MN的解析式为：y=﹣x+3+m，同理可得：﹣2≤3+m≤2，∴﹣5≤m≤﹣1；综上所述，当点M，N的“相关矩形”为正方形时，m的取值范围是：1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣128．问题背景：如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD 之间的数量关系．。
江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区2019年中考数学一模试卷(含解析)
2019年江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共有10小题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母代号写在答题卷的相应位置上．）1．﹣2的倒数是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣2．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a3÷a3＝a C．4a3﹣2a2＝2a D．（a3）2＝a63．下面几何体的主视图是（）A．B．C．D．4．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．正六边形C．正方形D．圆5．为参加2016年“常州市初中毕业生升学体育考试”，小芳同学刻苦训练，在跳绳练习中，测得5次跳绳的成绩（单位：个/分钟）为150，158，162，158，166，这组数据的众数，中位数依次是（）A．158，158 B．158，162 C．162，160 D．160，1606．在平面几何中，下列命题为真命题的是（）A．四边相等的四边形是正方形B．四个角相等的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形7．将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是（）A．43°B．47°C．30°D．60°8．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝4，∠AEO＝120°，则FC的长度为（）A．1 B．2 C．D．9．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则cos∠BED的值是（）A．B．C．D．10．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，﹣1）、A（﹣1，﹣3），点A关于点P的对称点为B，在坐标轴上找一点C，使得△ABC为直角三角形，这样的点C共有（）个．A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．据统计，2019年2月4日﹣10日无锡春节黄金周期间，共接待游客约996000人次，这个数据用科学记数法可表示为人次．12．点M（3，﹣4）关于x轴的对称点的坐标是．13．分解因式：3x2﹣6xy+3y2＝．14．将二次函数y＝x2+1图象向右平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为．15．已知圆锥的底面圆半径为3cm、高为4cm，则圆锥的侧面积是cm2．16．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为．17．在直角坐标系中，点A（a，），B（2，﹣3），则线段AB的长度的最小值为．18．已知抛物线y＝4x2+2x+c，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，则c的取值范围是．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：（1）﹣tan45°+（6﹣π）0；（2）（x+2）2﹣4（x﹣3）．20．（8分）（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．（2）解不等式组：．21．（6分）如图，在▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAE＝∠DCF，求证：BE＝DF．22．（8分）有A、B两个口袋，A口袋中装有两个分别标有数字2，3的小球；B口袋中装有三个分别标有数字﹣1，4，﹣5的小球．小明先从A口袋中随机取出一个小球，用m表示所取球上的数字，再从B口袋中随机取出两个小球，用n表示所取球上的数字之和．（1）用树状图法或列表法表示小明所取出的三个小球的所有可能结果；（2）求的值是整数的概率．23．（8分）某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图（如图），请你结合图中的信息解答下列问题：（1）求被调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？24．（8分）如图，已知在△ABC中，∠A＝90°．（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）在（1）的条件下，若∠B＝45°，AB＝1，⊙P切BC于点D，求劣弧的长．25．（8分）周六上午，小红到少年宫参加9点整开始的舞蹈表演，小红8点整从家步行出发，计划提前20min到达，小红步行了900m后发现一件道具忘在家里桌上，她立刻以原来速度的1.5倍沿原路返回，8点25分到达家中．（1）求小红原来的步行速度．（2）小红为确保不迟于8点40分到达少年官，她拿到道具后．以12km/h的速度匀速骑自行车立即按原线路赶往少年宫，问小红在家最多只能耽搁多少时间？26．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90，BC∥x轴，抛物线y＝ax2﹣2ax+3经过△ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D、E，点A为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．27．（10分）如图1，B、D分别是x轴和y轴的正半轴上的点，AD∥x轴，AB∥y轴（AD＞AB），点P从C点出发，以3cm/s的速度沿C﹣D﹣A﹣B匀速运动，运动到B点时终止；点Q从B点出发，以2cm/s的速度，沿B﹣C﹣D匀速运动，运动到D点时终止．P、Q两点同时出发，设运动的时间为t（s），△PCQ的面积为S（cm2），S与t之间的函数关系由图2中的曲线段OE，线段EF、FG表示．（1）求A、D点的坐标；（2）求图2中线段FG的函数关系式；（3）是否存在这样的时间t，使得△PCQ为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．28．（12分）如图，矩形ABCD，AB＝2，BC＝10，点E为AD上一点，且AE＝AB，点F从点E出发，向终点D运动，速度为1cm/s，以BF为斜边在BF上方作等腰直角△BFG，以BG，BF为邻边作▱BFHG，连接AG．设点F的运动时间为t秒．（1）试说明：△ABG∽△EBF；（2）当点H落在直线CD上时，求t的值；（3）点F从E运动到D的过程中，直接写出HC的最小值．2019年江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10小题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母代号写在答题卷的相应位置上．）1．【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．【解答】解：∵﹣2×（）＝1，∴﹣2的倒数是﹣．故选：D．【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．2．【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则以及合并同类项法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；B、a3÷a3＝1，故此选项错误；C、4a3﹣2a2，无法计算，故此选项错误；D、（a3）2＝a6，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算以及合并同类项法则、幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．3．【分析】根据主视图就是从物体的正面进行观察，得出主视图有3列，小正方形数目分别为2，1，1．【解答】解：如图所示：．故选：C．【点评】此题主要考查了三视图的画法中主视图画法，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．4．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可．【解答】解：等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，A正确；正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，B错误；正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，C错误；圆是轴对称图形，也是中心对称图形，D错误；故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．【分析】将这5个数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，数据个数是5为奇数个，则中间那个数据就是这组数据的中位数；这5个数据中出现次数最多的数是37，则37就是这组数据的众数．据此进行解答．【解答】解：将数据按照从小到大的顺序排列为：150，158，158，160，162，这5个数据中位于中间的数据是158，所以中位数为：158；数据中出现次数最多的数是158，158就是这组数据的众数；故选：A．【点评】此题考查一组数据的中位数和众数的意义和求解方法，中位数：将数据按照大小顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数；众数：一组数据中出现次数最多的那个数．6．【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定分别对每一项进行分析判断即可．【解答】解：A、四边相等的四边形是菱形，故本选项错误；B、四个角相等的四边形是矩形，正确；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；故选：B．【点评】此题考查了命题与定理，用到的知识点是平行四边形、矩形、菱形的判定，关键是熟练掌握每种四边形的判定方法．7．【分析】如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，利用平行线的性质，对顶角的性质，将已知角与所求角转化到Rt△CDE中，利用内角和定理求解．【解答】解：如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，∵AB∥DE，∴∠β＝∠EDC，又∠CED＝∠α＝43°，∠ECD＝90°，∴∠β＝∠EDC＝90°﹣∠CED＝90°﹣43°＝47°，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质．关键是延长BC，构造两条平行线之间的截线，将问题转化到直角三角形中求解．8．【分析】先根据矩形的性质，推理得到OF＝CF，再根据Rt△BOF求得OF的长，即可得到CF的长．【解答】解：∵EF⊥BD，∠AEO＝120°，∴∠EDO＝30°，∠DEO＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OBF＝∠OCF＝30°，∠BFO＝60°，∴∠FOC＝60°﹣30°＝30°，∴OF＝CF，又∵Rt△BOF中，BO＝BD＝AC＝2，∴OF＝tan30°×BO＝2，∴CF＝2，故选：B．【点评】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．9．【分析】先证明∠BED＝∠CDF，设AC＝BC＝1，在Rt△CFD中，利用勾股定理知识求出FD长度，则计算cos∠CDF即可．【解答】解：根据折叠性质可知∠FDE＝∠A＝45°，∴∠CDF+∠EDB＝135°．又∵∠BED+∠EDB＝180°﹣∠B＝135°，∴∠BED＝∠CDF．设AC＝BC＝1，CF＝x，FD＝1﹣x，在Rt△CFD中，利用勾股定理可得x2+＝（1﹣x）2，解得x＝．则FD＝1﹣x＝．∴cos∠BED＝cos∠CDF＝．故选：B．【点评】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理、解直角三角形．10．【分析】首先画出坐标系，然后再确定A、B、P的位置，以P为圆心，AB为直径画圆，与坐标轴有3个交点，再以B为直角顶点AB为直角边，可确定2个C点位置，再以A为直角顶点，AB 为直角边，可确定2个C点位置，共确定7个C的位置．【解答】解：如图所示：，故选：C．【点评】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是要分情况讨论，分别以A、B为直角顶点，再以AB为直径画圆可得C的位置．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：996000＝9.96×105，故答案为：9.96×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．【解答】解：点M（3，﹣4）关于x轴的对称点M′的坐标是（3，4）．故答案为：（3，4）．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．13．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：3x2﹣6xy+3y2，＝3（x2﹣2xy+y2），＝3（x﹣y）2．故答案为：3（x﹣y）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．14．【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．【解答】解：将二次函数y＝x2+1图象向右平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为：y ＝（x﹣1）2+1．故答案为：y＝（x﹣1）2+1．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．15．【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长＝5（cm），然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．【解答】解：圆锥的母线长＝＝5（cm），所以圆锥的侧面积＝•2π•3•5＝15π（cm2）．故答案为15π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16．【分析】连接BD、CD，由勾股定理先求出BD的长，再利用△ABD∽△BED，得出＝，可解得DE的长，由AE＝AD﹣DE求解即可得出答案．【解答】解：如图，连接BD、CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝，∵弦AD平分∠BAC，∴CD＝BD＝，∴∠CBD＝∠DAB，在△ABD和△BED中，，∴△ABD∽△BED，∴＝，即＝，解得DE＝，∴AE＝AD﹣DE＝．故答案为：．【点评】此题考查了三角形相似的判定和性质，及圆周角定理，解答此题的关键是得出△ABD∽△BED，进一步利用性质解决问题．17．【分析】利用两点间距离公式，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【解答】解：∵A（a，），B（2，﹣3），∴AB2＝（a﹣2）2+（a+3+3）2＝a2+5a+40＝（a+）2+36，∵＞0，∴a＝﹣时，AB2有最小值，最小值为36，∴AB的最小值为6，故答案为6．【点评】本题考查两点间距离公式，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．18．【分析】根据已知条件“当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点”来求方程4x2+2x+c ＝0 判别式△＝4﹣16c＝0，由此求得c的取值范围；然后结合一元二次方程根的分布进一步求得c的取值范围．【解答】解：抛物线为y＝4x2+2x+c，与x轴有且只有一个公共点．对于方程4x2+2x+c＝0，判别式△＝4﹣16c＝0，有c＝．①当c＝时，由方程4x2+2x+＝0，解得x1＝x2＝﹣．此时抛物线为y＝4x2+2x+与x轴只有一个公共点（﹣，0）．②当c＜时，x1＝﹣1时，y1＝4﹣2+c＝2+c，x2＝1时，y2＝4+2+c＝6+c．由已知﹣1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为x＝﹣，应有即．解得6＜c＜﹣1．综上，c＝或6＜c＜﹣1．故答案是：c＝或6＜c＜﹣1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．注意抛物线y＝4x2+2x+c与关于x的一元二次方程4x2+2x+c＝0 间的关系．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．【分析】（1）先根据数的开方法则、特殊角的三角函数值及0指数幂的运算法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）将（x+2）2根据完全平方公式展开，将4（x﹣3）利用乘法分配律展开，合并同类项即可．【解答】解：（1）＝＝．（2）（x+2）2﹣4（x﹣3）＝x2+4x+4﹣4x+12＝x2+16．【点评】本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质及数的开方法则是解答此题的关键．20．【分析】（1）确定a、b、c的值，判断△的值，最后根据求根公式求解；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：（1）a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1．b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8∴x＝∴．（2）解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜2，所以不等式组的解集为﹣1≤x＜2．【点评】本题考查的是解一元二次方程和解一元一次不等式组得基本能力，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．【分析】先由平行四边形的性质得出AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，再加上已知∠BAE＝∠DCF可推出△ABE≌△DCF，得证．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，又已知∠BAE＝∠DCF，∴△ABE≌△DCF，∴BE＝DF．【点评】此题考查的知识点是平行四边形的性质与全等三角形的判定和性质，关键是证明BE和DF所在的三角形全等．22．【分析】此题实际需要三步完成，所以采用树状图法比较简单．要注意不重不漏的表示出所有可能情况．列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：（1）用树状图表示取出的三个小球上的数字所有可能结果如下：∴共有12种等可能的情况；（2）由树状图可知，所有可能的值分别为：，共有12种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中的值是整数的情况有6种．所以的值是整数的概率P＝（10分）．【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．【分析】（1）根据科普类的人数和所占的百分比求出被调查的总人数；（2）用总人数减去文学类、科普类和其他的人数，求出艺体的人数，从而补全统计图；（3）用该校的总人数乘以喜爱文学类图书的学生所占的百分比即可．【解答】解：（1）被调查的学生人数为：12÷20%＝60（人）；（2）喜欢艺体类的学生数为：60﹣24﹣12﹣16＝8（人），如图所示：（3）全校最喜爱文学类图书的学生约有：1200×＝480（人）．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用到的知识点是频数、频率与总数之间的关系和用样本估计总体，关键是根据科普类的人数和所占的百分比求出被调查的总人数．24．【分析】（1）作∠ABC的平分线，与AC的交点就是圆心P，此时⊙P与AB，BC两边都相切；如图，作BC的垂线PD，证明PD和半径相等即可，根据角平分线的性质可得：PA＝PD．（2）要想求劣弧的长，根据弧长公式需求圆心角∠APD的半径AP的长，利用四边形的内角和求∠APD＝135°，再利用勾股定理和等腰三角形的性质求出AP＝PD＝DC＝﹣1，代入公式可求弧长．【解答】解：（1）作法：作∠ABC的角平分线交AC于点P，以点P为圆心，AP为半径作圆．证明：过P作PD⊥BC于D，∵∠BAC＝90°，∴⊙P与AB相切，∵BP平分∠ABC，∴AP＝PD，∵⊙P的半径是PA，∴PD也是⊙P的半径，即⊙P与BC也相切；（2）如图，∵⊙P与AB，BC两边都相切，∴∠BAP＝∠BDP＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠APD＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°，∴∠DPC＝45°，∴△DPC是等腰直角三角形，∴DP＝DC，在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，∴CB＝，∵BP＝BP，AP＝PD，∴Rt△ABP≌Rt△DBP，∴BD＝AB＝1，∴CD＝PD＝AP＝﹣1，∴劣弧的长＝＝π．【点评】本题考查了切线的判定、圆的作图以及弧长的计算，首先掌握切线的判定方法：①无交点，作垂线段，证半径；②有交点，作半径，证垂直；本题利用了第①种判定方法；并熟练掌握弧长计算公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．25．【分析】（1）设小红原来的步行速度为xm/min，则提速后的速度为1.5xm/min，根据时间＝路程÷速度结合往返共用25min，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；（2）根据路程＝速度×时间求出小红家到少年宫的距离，由时间＝路程÷速度可求出小红骑车赶到少年宫所需时间，再结合不迟于8点40分到达少年官，即可求出小红在家最多耽搁的时间．【解答】解：（1）设小红原来的步行速度为xm/min，则提速后的速度为1.5xm/min，根据题意得： +＝25，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的根．答：小红原来的步行速度为60m/min．（2）小红家到少年宫的距离为60×40＝2400（m），小红骑车到达少年宫所需时间为2400÷12000＝12（min），小红在家最多能耽搁的时间为40﹣25﹣12＝3（min）．答：小红在家最多只能耽搁3min．【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据时间＝路程÷速度结合往返共用25min，列出关于x的分式方程；（2）根据数量关系列式计算．26．【分析】（1）BC与抛物线的对称轴于F点，先根据抛物线的性质得到对称轴为直线x＝1，由于BC∥x轴，根据抛物线的对称性得到B点和C点关于直线x＝1对称轴，则AB＝AC，于是可判断△ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得AF＝BF＝1，所以可确定A点坐标为（1，4），然后把A点坐标代入y＝ax2﹣2ax+3求出a即可得到抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）先根据抛物线与x轴的交点问题得到D点坐标为（﹣1，0），设P点坐标为（1，t），利用两点之间的距离公式得到CD2＝32+（2+1）2＝18，PC2＝12+（t﹣3）2，PD2＝22+t2，然后分类讨论：当CD2＝PC2+PD2，即18＝12+（t﹣3）2+22+t2，解得t1＝，t2＝，此时P点坐标为（1，），（1，）；当PD2＝CD2+PC2，即22+t2＝18+12+（t﹣3）2，解得t＝4，此时P点坐标为（1，4），；当PC2＝CD2+PD2，即12+（t﹣3）2＝18+22+t2，解得t＝﹣2，此时P 点坐标为（1，﹣2）．【解答】解：（1）BC与抛物线的对称轴于F点，如图，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∵BC∥x轴，∴B点和C点关于直线x＝1对称轴，∴AB＝AC，而∠BAC＝90，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AF＝BF＝1，∴A点坐标为（1，4），把A（1，4）代入y＝ax2﹣2ax+3得a﹣2a+3＝4，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴D点坐标为（﹣1，0），设P点坐标为（1，t），∴CD2＝32+（2+1）2＝18，PC2＝12+（t﹣3）2，PD2＝22+t2，当CD2＝PC2+PD2，即18＝12+（t﹣3）2+22+t2，解得t1＝，t2＝，此时P点坐标为（1，），（1，）；当PD2＝CD2+PC2，即22+t2＝18+12+（t﹣3）2，解得t＝4，此时P点坐标为（1，4），；当PC2＝CD2+PD2，即12+（t﹣3）2＝18+22+t2，解得t＝﹣2，此时P点坐标为（1，﹣2）；∴符合条件的点P的坐标为（1，）或（1，）或（1，4）或（1，﹣2）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了分类讨论的思想和两点之间的距离公式．27．【分析】（1）由图象可知CD＝3×1＝3，设AD＝BC＝a，根据点Q到达点C时，点P到达点A，列出方程即可求出a．（2）当点Q在CD上，点P在AB上时，对应的函数图象是线段FG，由此即可解决问题．（3）分三种情形讨论：①Q在BC上，P在CD上时，列出方程即可，②Q在BC上，P在AD上时，由CP＝CQ得6﹣2t＝，整理得5t2+6t﹣18＝0解方程即可；由PQ＝CQ得＝6﹣2t，整理得7t2﹣22t+18＝0，△＜0，无解．当PC＝PQ得6﹣2t＝2（3t﹣3），解得t＝，③Q在CD上，P在AB上时，由CP＝PQ列出方程即可．【解答】解：（1）设AD＝BC＝a，由图象可知CD＝AB＝3，点Q到达点C时，点P到达点A，∴＝，∴a＝6，∴点A坐标（6，3），点D坐标（0，3）．（2）当点Q在CD上，点P在AB上时，对应的函数图象是线段FG，∴S＝•PQ•6＝3PQ＝3（2t﹣6）＝6t﹣18（3≤t≤4）．（3）①Q在BC上，P在CD上时，由CP＝CQ得6﹣2t＝3t，解得t＝（不合题意舍弃，＞1），②Q在BC上，P在AD上时，由CP＝CQ得6﹣2t＝，整理得5t2+6t﹣18＝0，t＝或（舍弃）．由PQ＝CQ，如图1中，作PK⊥OB于K，则DP＝OK＝3t﹣3，KQ＝6﹣2t﹣（3t﹣3）＝9﹣5t，∴PQ＝＝∴＝6﹣2t，整理得7t2﹣22t+18＝0，△＜0，无解．当PC＝PQ．如图2中，作PK⊥OB于K，则OK＝KQ＝DP，∴OQ＝2DP，∴6﹣2t＝2（3t﹣3），解得t＝，③Q在CD上，P在AB上时，由CP＝PQ，如图3中，作PK⊥OD于K，则KQ＝OK＝PB，∴2PB＝OQ，∴2（12﹣3t）＝2t﹣6，解得t＝，综上所述t＝s或s或s时，△PCQ为等腰三角形是等腰三角形．【点评】本题考查三角形综合题、勾股定理、等腰三角形的大盘会选择等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．28．【分析】（1）根据两边成比例夹角相等即可证明两三角形相似；（2）如图构建如图平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．首先证明△GFN≌△FHM，想办法求出点H的坐标，构建方程即可解决问题；（3）由（2）可知H（2+t，4+t），令x＝2+t，y＝4+t，消去t得到y＝x+．推出点H在直线y＝x+上运动，根据垂线段最短即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABE，△BGF都是等腰直角三角形，∴＝＝，∵∠ABE＝∠GBF＝45°，∴∠ABG＝∠EBF，∴△ABG∽△EBF．（2）解：如图构建如图平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．∵△GFH是等腰直角三角形，∴FG＝FH，∠GNF＝∠GFH＝∠HMF＝90°，∴∠GFN+∠HFM＝90°，∠HFM+∠FHM＝90°，∴∠GFN＝∠FHM，∴△GFN≌△FHM，∴GN＝FM，FN＝HM，∵△ABG∽△EBF，∴＝＝，∠AGB＝∠EFB，∵∠AKG＝∠BKF，∴∠GAN＝∠KBF＝45°，∵EF＝t，∴AG＝t，∴AN＝GN＝FM＝t，∴AM＝2+t，HM＝FN＝2+t，∴H（2+t，4+t），当点H在直线CD上时，2+t＝10，解得t＝．（3）由（2）可知H（2+t，4+t），令x＝2+t，y＝4+t，消去t得到y＝x+．∴点H在直线y＝x+上运动，如图，作CH垂直直线y＝x+垂足为H．根据垂线段最短可知，此时CH的长最小，易知直线CH的解析式为y＝﹣3x+30，由，解得，∴H（8，6），∵C（10，0），∴CH＝＝2，∴HC最小值是2．【点评】本题考查相似三角形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的性质、新三角形的判定和性质、一次函数的应用，垂线段最短等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．。
江苏省无锡市宜兴市2019年中考数学一模试卷
江苏省无锡市宜兴市2019年中考数学一模试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．－2的倒数是………………………………………………………（ ▲ ） A ．2B ．－2C ．12D ．－122．下列计算正确的是……………………………………………（ ▲ ）A ．3a 2－a 2＝3B ．a 2·a 4＝a 8C ．(a 3)2＝a 6D ．a 6÷a 2＝a 3 3．一组数据：2，－1，0，3，－3，2．则这组数据的中位数和众数分别是…………（ ▲ ） A ．0，2B ．1.5，2C ．1，2D ．1，34．不等式组⎩⎨⎧x ≤1，x ＞－1的解集是…………………………………………………（ ▲ ）A ．x ＞－1B ．x ≤1C ．x ＜－1D ．－1＜x ≤1 5．将抛物线y ＝x 2平移得到抛物线y ＝(x ＋3)2，则这个平移过程正确的是…………（ ▲ ）A ．向左平移3个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移3个单位6．在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是………………（ ▲ ） A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°7．一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为……………………（ ▲ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 8．如图，AB 是⊙O 直径，若∠AOC ＝140°，则∠D 的度数是……………………………（ ▲ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．70°D BOAC（第8题）二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请将答案直接写在答题卡相应位置上）9．2016年江苏东台半程马拉松比赛于5月27日上午7：00开跑，比赛设半程马拉松、欢乐跑6.6千米，6.6千米用科学记数法表示为______米．10．六边形的内角和是______°．11．函数中，自变量x的取值范围是______．12．写出一个大于﹣1而小于3的无理数______．13．如图，将△ABC平移到△A′B′C′的位置（点B′在AC边上），若∠B=55°，∠C=100°，则∠AB′A′的度数为______°．14．若a﹣2b=2，则6﹣3a+6b的值为______．15．在“荷兰花海”郁金香展吸引了大量游客，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：红：54、44、37、36、35、34；黄：48、35、38、36、43、40；已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？______．（填“红”或“黄”）16．图1中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，图2是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图2中的数据，可知的长是______m．17．为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见是______（填“一类、二类、三类”中的一个）．18．已知点D与点A（0，7），B（0，﹣1），C（m，n）是平行四边形的四个顶点，其中m，n满足4m﹣3n+12=0，则CD长的最小值为______．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）19．（1）计算：（﹣2）2﹣|﹣3|+0﹣（）﹣1；（2）化简：1﹣÷．20．解不等式组：，并写出所有整数解．21．初三年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：（1）在这次评价中，一共抽查了______名学生；（2）在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为______度；（3）请将频数分布直方图补充完整；（4）如果全市有6000名初三学生，那么在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有多少人？22．佳佳收集了附近地区几张旅游景点卡片，A．安丰古镇（东台）B．西溪景区（东台）C．黄海森林公园（东台）D．荷兰花海（大丰）E．溱湖风光（姜堰），他决定从中随机抽取两张作为明年清明节旅游目的地请你用列表或画树状图的方法求出所选景区均在东台境内的概率．23．如图，等腰三角形ABC中，BA=BC，以AB为直径作圆，交BC于点E，圆心为O．在EB上截取ED=EC，连接AD并延长，交⊙O于点F，连接OE、EF．（1）试判断△ACD的形状，并说明理由；（2）求证：∠ADE=∠OEF．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．25．东台成功举办国际自行车公路赛后，许多市民都选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图．车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，AC⊥CD，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2．（1）求车架档AD的长；（2）求车座点E到车架档AB的距离．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.7321）26．某物流公司派送人员甲、乙分别从B地派送货物到A、C两地，如图，A在B的北偏东45°方向，C在B的正东方向且BC=120km．乙的速度是60km/h，甲的速度是乙速度的倍，甲把货物送到A地后又接到A地一批货物要送到C地，结果两人同时到达C地．（1）∠BAC=______°；（2）若甲乙两人间的距离为s，请写出s（km）与乙出发时间t（h）的函数表达式；并写出当t为何值时，两人间的距离最大？（注：货物交接时间忽略不计）27．阅读理解：如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，有下面的不等式：，当且仅当a=b时取到等号我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．初步探究：（1）已知x＞0，求函数y=x+的最小值．问题迁移：（2）学校准备以围墙一面为斜边，用栅栏为成一个面积为100m2的直角三角形，作为英语角，直角三角形的两直角边各为多少时，所用栅栏最短？创新应用：（3）如图，在直角坐标系中，直线AB经点P（3，4），与坐标轴正半轴相交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求△AOB的内切圆的半径．28．如图，抛物线y=a（x﹣2）2﹣1过点C（4，3），交x轴于A，B两点（点A 在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；（2）连接OC，CM，求tan∠OCM的值；（3）若点P在抛物线的对称轴上，连接BP，CP，BM，当∠CPB=∠PMB时，求点P的坐标．江苏省无锡市宜兴市2019年中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．D 2．C3．C4．D 5．A 6．B7．B8．A二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请将答案直接写在答题卡相应位置上）9．2016年江苏东台半程马拉松比赛于5月27日上午7：00开跑，比赛设半程马拉松、欢乐跑6.6千米，6.6千米用科学记数法表示为 6.6×103米．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：6.6千米=6600米，用科学记数法表示为：6.6×103．故答案为：6.6×103．10．六边形的内角和是1080°．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式计算即可得解．【解答】解：（6﹣2）•180°=1080°．故答案为：1080．11．函数中，自变量x的取值范围是x≠﹣5．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x+5≠0，解得x≠﹣5．故答案为x≠﹣5．12．写出一个大于﹣1而小于3的无理数．【考点】无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：写出一个大于﹣1而小于3的无理数，故答案为：．13．如图，将△ABC平移到△A′B′C′的位置（点B′在AC边上），若∠B=55°，∠C=100°，则∠AB′A′的度数为25°．【考点】平移的性质．【分析】根据三角形的内角和定理求出∠A，再根据平移的性质可得AB∥A′B′，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠AB′A′=∠A．【解答】解：∵∠B=55°，∠C=100°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣55°﹣100°=25°，∵△ABC平移得到△A′B′C′，∴AB∥A′B′，∴∠AB′A′=∠A=25°．故答案为：25．14．若a﹣2b=2，则6﹣3a+6b的值为0．【考点】代数式求值．【分析】等式a﹣2b=2两边同时乘﹣3得；﹣3a+6b=﹣6，然后代入计算即可．【解答】解：∵a﹣2b=2，∴﹣3a+6b=﹣6．∴原式=6﹣6=0．故答案为：0．15．在“荷兰花海”郁金香展吸引了大量游客，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：红：54、44、37、36、35、34；黄：48、35、38、36、43、40；已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？黄．（填“红”或“黄”）【考点】方差．【分析】根据方差的计算公式分别求出红、黄两种郁金香离地面的高度的方差，比较即可．【解答】解：红色的方差为： [（54﹣40）2+（44﹣40）2+（37﹣40）2+（36﹣40）2+（35﹣40）2+（34﹣40）2]=，黄色的方差为： [（48﹣40）2+（35﹣40）2+（38﹣40）2+（36﹣40）2+（43﹣40）2+（40﹣40）2]=，则黄色的郁金香样本长得整齐，故答案为：黄．16．图1中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，图2是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图2中的数据，可知的长是m．【考点】弧长的计算．【分析】首先根据题意，可得，然后根据圆的周长公式，求出直径是2m的圆的周长是多少；最后用直径是2m的圆的周长除以3，求出的长是多少即可．【解答】解：根据题意，可得，∴（m），即的长是m．故答案为：．17．为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见是二类（填“一类、二类、三类”中的一个）．【考点】有理数的混合运算．【分析】根据公共停车场的收费标准，分别求出三个类别停车所在地区的收费，进而求解即可．【解答】解：如果停车所在地区的类别是一类，应该收费：2.5×4+3.75×8=40（元），如果停车所在地区的类别是二类，应该收费：1.5×4+2.25×8=24（元），如果停车所在地区的类别是三类，应该收费：0.5×4+0.75×8=8（元），故答案为二类．18．已知点D与点A（0，7），B（0，﹣1），C（m，n）是平行四边形的四个顶点，其中m，n满足4m﹣3n+12=0，则CD长的最小值为8．【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【分析】分两种情形讨论即可①CD为边，②CD为对角线．【解答】解：①当CD为边时，CD=AB=8．②当CD为对角线时，CD=2•=2=2•，∴当n=时，CD最小值=2×=，∵8＜∴CD的最小值为8．故答案为8．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）19．（1）计算：（﹣2）2﹣|﹣3|+0﹣（）﹣1；（2）化简：1﹣÷．【考点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】（1）根据幂的乘方、绝对值、零指数幂、负整数指数幂可以解答本题；（2）根据分式的除法和减法可以解答本题．【解答】解：（1）（﹣2）2﹣|﹣3|+0﹣（）﹣1=4﹣3+1﹣2=0；（2）1﹣÷=1﹣×=1﹣=﹣=．20．解不等式组：，并写出所有整数解．【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集，在解集内找到整数即可．【解答】解：不等式组，∵解不等式①得：x＞，解不等式②得：x≤4，∴此不等式组的解集为：＜x≤4，∴此不等式组的整数解为3和4．21．初三年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：（1）在这次评价中，一共抽查了560名学生；（2）在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为54度；（3）请将频数分布直方图补充完整；（4）如果全市有6000名初三学生，那么在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有多少人？【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据专注听讲的人数是224人，所占的比例是40%，即可求得抽查的总人数；（2）利用360乘以对应的百分比即可求解；（3）利用总人数减去其他各组的人数，即可求得讲解题目的人数，从而作出频数分布直方图；（4）利用6000乘以对应的比例即可．【解答】解：（1）调查的总人数是：224÷40%=560（人），故答案是：560；（2）“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数是：360×=54°，故答案是：54；（3）“讲解题目”的人数是：560﹣84﹣168﹣224=84（人）．；（4）在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有：6000×=1800（人）．22．佳佳收集了附近地区几张旅游景点卡片，A．安丰古镇（东台）B．西溪景区（东台）C．黄海森林公园（东台）D．荷兰花海（大丰）E．溱湖风光（姜堰），他决定从中随机抽取两张作为明年清明节旅游目的地请你用列表或画树状图的方法求出所选景区均在东台境内的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出所选景区均在东台境内的情况，即可求出所求概率．（A，B），（A，C），（B，A），（C，B），（C，A），（B，C）共6种，则P（所选景区均在东台境内）==．23．如图，等腰三角形ABC中，BA=BC，以AB为直径作圆，交BC于点E，圆心为O．在EB上截取ED=EC，连接AD并延长，交⊙O于点F，连接OE、EF．（1）试判断△ACD的形状，并说明理由；（2）求证：∠ADE=∠OEF．【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质．（1）由AB是⊙O的直径，利用圆周角定理易得AE⊥CD，又因为ED=EC，【分析】利用垂直平分线的性质可得AC=AD，得出结论；（2）首先由外角的性质易得∠ADE=∠DEF+∠F，∠OEF=∠OED+∠DEF，由圆周角定理易得∠B=∠F，等量代换得出结论．【解答】解：（1）△ACD是等腰三角形．连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AED=90°，∴AE⊥CD，∵CE=ED，∴AC=AD，∴△ACD是等腰三角形；（2）∵∠ADE=∠DEF+∠F，∠OEF=∠OED+∠DEF，而∠OED=∠B，∠B=∠F，∴∠ADE=∠OEF．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．【分析】（1）利用旋转的性质得出AC=CD，进而得出△ADC是等边三角形，即可得出∠ACD的度数；（2）利用直角三角形的性质得出FC=DF，进而得出AD=AC=FC=DF，即可得出答案．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C 按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，∴AC=DC，∠A=60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴n的值是60；（2）四边形ACFD是菱形；理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点，∴FC=DF=FE，∵∠CDF=∠A=60°，∴△DFC是等边三角形，∴DF=DC=FC，∵△ADC是等边三角形，∴AD=AC=DC，∴AD=AC=FC=DF，∴四边形ACFD是菱形．25．东台成功举办国际自行车公路赛后，许多市民都选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图．车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，AC⊥CD，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2．（1）求车架档AD的长；（2）求车座点E到车架档AB的距离．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.7321）【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）根据AC、CD和AC⊥CD可以求得AD的长；（2）根据AC、CE和∠EAF的度数可以求得EF的长．【解答】解：（1）∵AC⊥CD，AC=45cm，CD=60cm，∴AD==cm，即车架档AD的长是75cm；（2）作EF⊥AB于点F，如右图所示，∵AC=45cm，EC=20cm，∠EAB=75°，∴EF=AE•sin75°=（45+20）×0.9659≈63cm，即车座点E到车架档AB的距离是63cm．26．某物流公司派送人员甲、乙分别从B地派送货物到A、C两地，如图，A在B的北偏东45°方向，C在B的正东方向且BC=120km．乙的速度是60km/h，甲的速度是乙速度的倍，甲把货物送到A地后又接到A地一批货物要送到C地，结果两人同时到达C地．（1）∠BAC=90°；（2）若甲乙两人间的距离为s，请写出s（km）与乙出发时间t（h）的函数表达式；并写出当t为何值时，两人间的距离最大？（注：货物交接时间忽略不计）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】（1）作AD⊥BC于D，由题意求出∠ABC=45°，△ABD是等腰直角三角形，得出AB=BD，由甲的速度是乙速度的倍，得出△ACD是等腰直角三角形，∠DAC=45°，求出∠BAC=90即可；（2）由（1）得出△ABC是等腰直角三角形，AD=BD=CD，由乙的速度求出乙到C地的时间，得出当0＜t≤1时，s=60t；当1＜t≤2时，s=120﹣60t；即可得出结论．【解答】解：（1）作AD⊥BC于D，如图所示：由题意得：∠ABC=90°﹣45°=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB=BD，∵甲的速度是乙速度的倍，∴AC=CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠DAC=45°，∴∠BAC=45°+45°=90°；故答案为：90；（2）由（1）得：△ABC是等腰直角三角形，AD=BD=CD，∵乙的速度是60km/h，BC=120km，∴120÷60=2（h），∴当0＜t≤1时，s=60t；当1＜t≤2时，s=120﹣60t；当t=1时，s=AD=BC=60，即当t为何值时，两人间的距离最大，最大值是60km．27．阅读理解：如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，有下面的不等式：，当且仅当a=b时取到等号我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．初步探究：（1）已知x＞0，求函数y=x+的最小值．问题迁移：（2）学校准备以围墙一面为斜边，用栅栏为成一个面积为100m2的直角三角形，作为英语角，直角三角形的两直角边各为多少时，所用栅栏最短？创新应用：（3）如图，在直角坐标系中，直线AB经点P（3，4），与坐标轴正半轴相交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求△AOB的内切圆的半径．【考点】圆的综合题．【分析】（1）根据x＞0，令a=x，b=，利用题中的新定义求出函数的最小值即可；（2）设一直角边为xm，则另一直角边为m，栅栏总长为ym，根据题意表示出y与x的函数关系式，利用题中的新定义求出y取得最小值时x的值即可；（3）设直线AB解析式为y=kx+b，把P坐标代入用k表示出b，进而表示出A 与B坐标，确定出OA与OB的长，得出三角形AOB面积，利用题中的新定义求出三角形AOB面积最小时k的值，确定出直角三角形三边，即可求出三角形AOB内切圆半径．【解答】解：（1）令a=x，b=（x＞0），由a+b≥2，得y=x+≥2=4，当且仅当x=时，即x=2时，函数有最小值，最小值为2；（2）设一直角边为xm，则另一直角边为m，栅栏总长为ym，y=x+≥2=20，当且仅当x=时，即x=10m时，y有最小值，即所用栅栏最短；（3）设直线AB的解析式是y=kx+b，把P（3，4）代入得：4=3k+b，整理得：b=4﹣3k，∴直线AB的解析式是y=kx+4﹣3k，当x=0时，y=4﹣3k；当y=0时，x=，即A（0，4﹣3k），B（，0），∴S△AOB=OB•OA=（4﹣3k）•=12﹣（k+），∵要使△AOB的面积最小，∴k+必须最大，∵k＜0，∴﹣k＞0，∵﹣k﹣≥2=2×6=12，当且仅当﹣k=﹣时，取等号，解得：k=±，∵k＜0，∴k=﹣，即OA=4﹣3k=8，OB=6，根据勾股定理得：AB=10，设三角形AOB的内切圆的半径是R，由三角形面积公式得：×6×8=×6R+×8R+×10R，解得：R=2．28．如图，抛物线y=a（x﹣2）2﹣1过点C（4，3），交x轴于A，B两点（点A 在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；（2）连接OC，CM，求tan∠OCM的值；（3）若点P在抛物线的对称轴上，连接BP，CP，BM，当∠CPB=∠PMB时，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；根据顶点式解析式，可得顶点坐标；（2）根据勾股定理及逆定理，可得∠OMC=90°，根据正切函数，可得答案；（3）根据相似三角形的判定与性质，可得PM的值，可得M点坐标．【解答】解：（1）由抛物线y=a（x﹣2）2﹣1过点C（4，3），得3=a（4﹣2）2﹣1，解得a=1，抛物线的解析式为y=（x﹣2）2﹣1，顶点M的坐标为（2，﹣1）；（2）如图1，连接OM，OC2=32+42=25，OM2=22+12=5，CM2=22+42=20，∴CM2+OM2=OC2，∴∠OMC=90°，OM=，CM=2，tan∠OCM===；（3）如图2，过C作CN⊥对称轴，垂足N在对称轴上，取一点E，使EN=CN=2，连接CE，EM=6．当y=0时，（x﹣2）2﹣1=0，解得的x1=1，x2=3，A（1，0），B（3，0）．∵CN=EN，∴∠CEP=∠PMB=∠CPB=45°，∵∠EPB=∠EPC+∠CPB=∠PMB+∠PBM，∴∠EPC=∠PBM∴△CEP∽△PMB，∴=，解得MB=，CE=2，∴=，解得PM=3，P点坐标为（2，2+）或（2，2﹣）．。
江苏省无锡市宜兴市北郊中学2019年中考数学一模试卷(含解析)
2019年江苏省无锡市宜兴市北郊中学中考数学一模试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．如果|a|＝a，下列各式成立的是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤02．已知函数y＝，则自变量x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜1 B．x≥﹣1且x≠1 C．x≥﹣1 D．x≠13．下列运算正确的是（）A．a8÷a4＝a2B．2a3+3a3＝5a6C．（﹣a3）2＝a6D．（a﹣b）2＝a2﹣b24．下图中是中心对称图形而不是轴对称图形的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．在趣味运动会“定点投篮”项目中，我校七年级八个班的投篮成绩（单位：个）分别为：24，20，19，20，22，23，20，22．则这组数据中的众数和中位数分别是（）A．22个、20个B．22个、21个C．20个、21个D．20个、22个6．若一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的全面积为（）A．15πcm2B．24πcm2C．39πcm2D．48πcm27．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别相等B．两条对角线相等C．四个内角都是直角D．每一条对角线平分一组对角8．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°9．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．10．如图，双曲线y＝与直线y＝kx+b交于点M，N，并且点M坐标为（1，3），点N坐标为（﹣3，﹣1），根据图象信息可得关于x的不等式＜kx+b的解为（）A．x＜﹣3 B．﹣3＜x＜0C．﹣3＜x＜1 D．﹣3＜x＜0或x＞1二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）11．分解因式：3x2﹣6x2y+3xy2＝．12．将473000用科学记数法表示为．13．若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是．14．若函数y＝的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围为．15．如图，点E是▱ABCD的边BA延长线上的一点，联结CE交AD于F，交对角线BD于G，若DF＝2AF，那么EF：FG：GC＝．16．如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是cm．17．直角三角形纸片的两直角边BC，AC的长分别为6，8，现将△ABC如下图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长为．18．如图，线段AB＝4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是．三．解答题（共10小题，满分84分）19．（8分）（1）计算：2﹣1+（2018﹣π）0﹣sin30°（2）化简：（a+1）2﹣a（a+1）﹣1．20．（8分）（1）解方程：＝．（2）解不等式组：21．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE＝CF．求证：四边形BFDE 是平行四边形．22．（6分）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，求∠A的大小；（2）在图2中分别画出三个顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（3）在△ABC中，∠B＝36°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，请直接写出∠C所有可能的值．23．（8分）为庆祝建党90周年，某校开展学党史活动，学校决定围绕“你最喜欢的了解党史的途径是什么”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．问卷要求学生从“自己阅读、听讲座、网上查找资料、其他形式”四种途径任选一种，学校将收集的调查问卷适当整理后，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图所给的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请补全下面的条形统计图和扇形统计图；（3）如果全校有1500名学生，请你估计全校最喜欢“网上查找资料”这种途径的学生约有多少名？24．（8分）车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A、B、C、D中，可随机选择其中一个通过．（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是．（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．（10分）如图①，Rt△ABC中，∠B＝90°∠CAB＝30°，AC⊥x轴．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求∠BAO的度数．（直接写出结果）（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P的运动速度．（3）求题（2）中面积S与时间t之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P的坐标．（4）如果点P，Q保持题（2）中的速度不变，当t取何值时，PO＝PQ，请说明理由．27．（10分）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝m（m为常数），点C为的中点，点D为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E．（1）当DC⊥AB时，则＝；（2）①当点D在上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式；（3）当＝时，求的值．28．（10分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A′．（1）设a＝2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．①分别求函数y1、y2的表达式；②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k 的值；（3）设m＝，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．2019年江苏省无锡市宜兴市北郊中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【分析】由条件可知a是绝对值等于本身的数，可知a为0或正数，可得出答案．【解答】解：∵|a|＝a，∴a为绝对值等于本身的数，∴a≥0，故选：C．【点评】本题主要考查绝对值的计算，掌握绝对值等于它本身的数有0和正数（即非负数）是解题的关键．2．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：，解得：x≥﹣1且x≠1．故选：B．【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．3．【分析】根据同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方和完全平方公式解答即可．【解答】解：A、a8÷a4＝a4，错误；B、2a3+3a3＝5a3，错误；C、（﹣a3）2＝a6，正确；D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，错误；故选：C．【点评】此题考查同底数幂的除法，关键是根据同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方和完全平方公式法则解答．4．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：第一个图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形，故错误；第二个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；第三个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；第四、五个是中心对称图形而不是轴对称图形，故正确．故选：B．【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：在这一组数据中20出现了3次，次数最多，故众数是20；把数据按从小到大的顺序排列：19，20，20，20，22，22，23，24，处于这组数据中间位置的数20和22，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是21．故选：C．【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．6．【分析】这个圆锥的全面积为底面积与侧面积的和，底面积为半径为3的圆的面积，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式求测面积．【解答】解：这个圆锥的全面积＝•2π•3•5+π•32＝24π（cm2）．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．【分析】由菱形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分；平行四边形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相平分；即可求得答案．【解答】解：∵菱形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角，；平行四边形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：每一条对角线平分一组对角．故选：D．【点评】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．8．【分析】连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM＝90°，从而得∠ABO＝∠BAO＝50°，由内角和定理知∠AOB＝80°，根据圆周角定理可得答案．【解答】解：如图，连接OA、OB，∵BM是⊙O的切线，∴∠OBM＝90°，∵∠MBA＝140°，∴∠ABO＝50°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝50°，∴∠AOB＝80°，∴∠ACB＝∠AOB＝40°，故选：A．【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．9．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，然后平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，∴，故A正确，，∵AD＝BC，∴，故B正确；∵DE∥BC，∴，∴，故C错误；∵DF∥AB，∴，故D正确．故选：C．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．10．【分析】求关于x的不等式＜kx+b的解，就是看一次函数图象在反比例函数图象上方时点的横坐标的集合．【解答】解：∵点M坐标为（1，3），点N坐标为（﹣3，﹣1），∴关于x不等式＜kx+b的解集为：﹣3＜x＜0或x＞1，故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，利用图象求不等式的解时，关键是利用两函数图象的交点横坐标．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）11．【分析】原式提取公因式分解即可．【解答】解：原式＝3x（x﹣2xy+y2），故答案为：3x（x﹣2xy+y2）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，找出原式的公因式是解本题的关键．12．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将473000用科学记数法表示为4.73×105．故答案为：4.73×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得＝40，解得n＝9．故答案为9．【点评】本题主要考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°，比较简单．14．【分析】先根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵函数y＝的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增大，∴m﹣2＜0，解得m＜2．故答案为m＜2．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝（k≠0）中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解答此题的关键．15．【分析】设AF＝x，则DF＝2x，由四边形ABCD是平行四边形得BC＝AD＝AF+DF＝3x，AD∥BC，证△DFG∽△GBC、△AEF∽△DFC，从而得出答案．【解答】解：设AF＝x，则DF＝2x，∵▱ABCD，∴EB∥CD，AD∥BC，AD＝BC＝AF+DF＝3x∴△AEF∽DCF，△DFG∽△GBC，∴，＝，∴EF：FG：GC＝5：4：6，故答案为：5：4：6．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．16．【分析】根据题意求出BH，根据坡度的概念求出CH，计算即可．【解答】解：由题意得，BH⊥AC，则BH＝18×4＝72，∵斜坡BC的坡度i＝1：5，∴CH＝72×5＝360，∴AC＝360﹣30×3＝270（cm），故答案为：270．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．17．【分析】根据折叠的性质和勾股定理可知．【解答】解：设CE为x，则BE＝AE＝8﹣x，∵∠C＝90°，∴BE2﹣CE2＝BC2，（8﹣x）2﹣x2＝36，解得x＝．【点评】翻折前后对应边相等，利用勾股定理求解即可．18．【分析】以O为坐标原点建立坐标系，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F，设点P的坐标为（x，y），则x2+y2＝1．然后证明△ECP≌△FPB，由全等三角形的性质得到EC＝PF＝y，FB＝EP＝2﹣x，从而得到点C（x+y，y+2﹣x），最后依据两点间的距离公式可求得AC＝，最后，依据当y＝1时，AC有最大值求解即可．【解答】解：如图所示：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F．∵AB＝4，O为AB的中点，∴A（﹣2，0），B（2，0）．设点P的坐标为（x，y），则x2+y2＝1．∵∠EPC+∠BPF＝90°，∠EPC+∠ECP＝90°，∴∠ECP＝∠FPB．由旋转的性质可知：PC＝PB．在△ECP和△FPB中，，∴△ECP≌△FPB．∴EC＝PF＝y，FB＝EP＝2﹣x．∴C（x+y，y+2﹣x）．∵AB＝4，O为AB的中点，∴AC＝＝．∵x2+y2＝1，∴AC＝．∵﹣1≤y≤1，∴当y＝1时，AC有最大值，AC的最大值为＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的性质和判定，两点间的距离公式的应用，列出AC的长度与点P的坐标之间的关系式是解题的关键．三．解答题（共10小题，满分84分）19．【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂、代入三角函数值，再计算加减可得；（2）先计算乘方和乘法，再合并同类项即可得．【解答】解：（1）原式＝+1﹣＝1；（2）原式＝a2+2a+1﹣a2﹣a﹣1＝a．【点评】本题主要考查整式和实数的运算，解题的关键是掌握整式的运算顺序和运算法则及负整数指数幂、零指数幂、三角函数值．20．【分析】（1）分式方程变形后去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）关键不等式组的解法解答即可．【解答】解：（1）由题意可得：5（x+2）＝3（2x﹣1），解得：x＝13，检验：当x＝13时，（x+2）≠0，2x﹣1≠0，故x＝13是原方程的解；（2）解①得：x＞﹣1，解②得：x≤6，故不等式组的解集为：﹣1＜x≤6．【点评】此题考查了解分式方程，以及不等式组的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．21．【分析】欲证明四边形BFDE是平行四边形，只要证明DE＝BF，DE∥BF即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形．【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型．22．【分析】（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数；（2）根据（1）的解题过程作出△ABC的三等分线；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；（3）用量角器，直尺标准作36°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA 的长，而后可确定D点，再分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C在同一直线上，易得2种三角形ABC；根据图形易得∠C的值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BD＝BC＝AD，∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝（180°﹣x），可得2x＝（180°﹣x），解得：x＝36°，则∠A＝36°；（2）如图所示：（3）分两种情况：①如图所示：当AD＝AE时，∵2x+x＝36°+36°，∴x＝24°；②如图所示：当AD＝DE时，∵36°+36°+2x+x＝180°，∴x＝36°；综上所述，∠C的度数为24°或36°．【点评】本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题．23．【分析】（1）因为最喜欢自己阅读的学生有16人，所占百分比为32%，即可求出调查总人数；（2）用总人数减去A、B、D级的人数，可求出C级的人数，再分别用B、C级的人数除以总人数求出各自所占的百分比，画图即可解答；（3）用全校总人数乘以最喜欢网上查找资料的学生所占百分比即可求得结果．【解答】解：（1）16÷32%＝50（名）．∴在这次调查中，一共抽取了50名学生；（2）50﹣16﹣9﹣7＝18（名），9÷50＝18%，18÷50＝36%．如图；（3）1500×＝540（名）．所以全校最喜欢“网上查找资料”这种途径的学生约有540名．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24．【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；（2）画出树状图即可得到结论．【解答】解：（1）选择A通道通过的概率＝，故答案为：；（2）设两辆车为甲，乙，如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，∴选择不同通道通过的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．25．【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，则可得到OA、OB的长，然后依据勾股定理可求得AB 的长，（2）依据翻折的性质可得到AC的长，于是可求得OC的长，从而可得到点C的坐标；设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．，Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D（0，﹣6）．（3）先求得S△PAB的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P的坐标．【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，∴A（3，0）．∴OA＝3．在Rt△OAB中，AB＝＝5．∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，∴C（8，0）．设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，∴D（0，﹣6）．（3）∵S△PAB＝S△OCD，∴S△PAB＝××6×8＝12．∵点Py轴上，S△PAB＝12，∴BP•OA＝12，即×3BP＝12，解得：BP＝8，∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．26．【分析】（1）利用∠BAO的正切值，求出∠BAO的度数即可；（2）利用图②中的函数图象，求得点P的运动时间与路程解决即可；（3）利用特殊角的三角函数，三角形的面积以及配方法解决问题；（4）分两种情况进行列方程解决问题．【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥OA于E，则OE＝5，BE＝5，OA＝10，∴AE＝5，Rt△ABE中，tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝60°；（2）由图形可知，当点P运动了5秒时，它到达点B，此时AB＝10，因此点P的运动速度为10÷5＝2个单位/秒，点P的运动速度为2个单位/秒；（3）P（10﹣t， t）（0≤t≤5），∵S＝（2t+2）（10﹣t），＝﹣（t﹣）2+，∴当时，S有最大值为，此时；（4）当P在AB上时，根据P点纵坐标得出：，解得：，当P在BC上时，，此方程无解，故t不存在，综上所知当t＝时，PO＝PQ．【点评】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，特殊角的三角函数，以及分类讨论思想的渗透．27．【分析】（1）首先证明当DC⊥AB时，DC也为圆的直径，且△ADB为等腰直角三角形，即可求出结果；（2）①分别过点A，B作CD的垂线，连接AC，BC，分别构造△ADM和△BDN两个等腰直角三形及△NBC和△MCA两个全等的三角形，容易证出线段DA，DB，DC之间的数量关系；②通过完全平方公式（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA•DB的变形及将已知条件AB＝m代入即可求出结果；（3）通过设特殊值法，设出PD的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果．【解答】解：（1）如图1，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵C为的中点，∴，∴∠ADC＝∠BDC＝45°，∵DC⊥AB，∴∠DEA＝∠DEB＝90°，∴∠DAE＝∠DBE＝45°，∴AE＝BE，∴点E与点O重合，∴DC为⊙O的直径，∴DC＝AB，在等腰直角三角形DAB中，DA＝DB＝AB，∴DA+DB＝AB＝CD，∴＝；（2）①如图2，过点A作AM⊥DC于M，过点B作BN⊥CD于N，连接AC，BC，由（1）知，∴AC＝BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BNC＝∠CMA＝90°，∴∠NBC+∠BCN＝90°，∠BCN+∠MCA＝90°，∴∠NBC＝∠MCA，在△NBC和△MCA中，，∴△NBC≌△MCA（AAS），∴CN＝AM，由（1）知∠DAE＝∠DBE＝45°，AM＝DA，DN＝DB，∴DC＝DN+NC＝DB+DA＝（DB+DA），即DA+DB＝DC；②在Rt△DAB中，DA2+DB2＝AB2＝m2，∵（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA•DB，且由①知DA+DB＝DC＝t，∴（t）2＝m2+2DA•DB，∴DA•DB＝t2﹣m2，∴S△ADB＝DA•DB＝t2﹣m2，∴△ADB的面积S与t的函数关系式S＝t2﹣m2；（3）如图3，过点E作EH⊥AD于H，EG⊥DB于G，则NE＝ME，四边形DHEG为正方形，由（1）知，∴AC＝BC，∴△ACB为等腰直角三角形，∴AB＝AC，∵，设PD＝9，则AC＝20，AB＝20，∵∠DBA＝∠DBA，∠PAB＝∠ADB，∴△ABD∽△PBA，∴，∴，∴DB＝16，∴AD＝＝12，设NE＝ME＝x，∵S△ABD＝AD•BD＝AD•NE+BD•ME，∴×12×16＝×12•x+×16•x，∴x＝，∴DE＝HE＝x＝，又∵AO＝AB＝10，∴＝×＝．【点评】本题考查了圆的相关性质，等腰直三角形的性质，相似的性质等，还考查了面积法及特殊值法的运用，解题的关键是认清图形，抽象出各几何图形的特殊位置关系．28．【分析】（1）由已知代入点坐标即可；（2）面积问题可以转化为△AOB面积，用a、k表示面积问题可解；（3）设出点A、A′坐标，依次表示AD、AF及点P坐标．【解答】解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═（x＞0）的图象上∴k＝8∴y1＝∵a＝2∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2＝mx+n解得∴y2＝x﹣2②当y1＞y2＞0时，y1＝图象在y2＝x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方∴由图象得：2＜x＜4（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO∵O为AA′中点S△AOB＝S△ABA′＝8∵点A、B在双曲线上∴S△AOC＝S△BOD∴S△AOB＝S四边形ACDB＝8由已知点A、B坐标都表示为（a，）（3a，）∴解得k＝6（3）由已知A（a，），则A′为（﹣a，﹣）把A′代入到y＝﹣∴n＝∴A′D解析式为y＝当x＝a时，点D纵坐标为∴AD＝∵AD＝AF，∴点F和点P横坐标为∴点P纵坐标为∴点P在y1═（x＞0）的图象上【点评】本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其性质，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法和数形结合思想．。
＜合集试卷3套＞2019届宜兴市某知名实验中学中考一模数学试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A．10 B．14 C．10或14 D．8或10【答案】B【解析】试题分析：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，∴22﹣4m+3m=0，m=4，∴x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=1．①当1是腰时，2是底边，此时周长=1+1+2=2；②当1是底边时，2是腰，2+2＜1，不能构成三角形．所以它的周长是2．考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．2．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为()A．4 B．.5 C．6 D．8【答案】C【解析】解:∵AD∥BE∥CF，根据平行线分线段成比例定理可得AB DEBC EF=,即123EF =，解得EF=6，故选C.3．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCAC．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°【答案】B【解析】由图形可知AC＝AC，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可.【详解】解：在△ABC和△ADC中∵AB＝AD，AC＝AC，∴当CB＝CD时，满足SSS，可证明△ABC≌△ACD，故A可以；当∠BCA＝∠DCA时，满足SSA，不能证明△ABC≌△ACD，故B不可以；当∠BAC＝∠DAC时，满足SAS，可证明△ABC≌△ACD，故C可以；当∠B＝∠D＝90°时，满足HL，可证明△ABC≌△ACD，故D可以；故选：B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握判定定理是解题关键.4．如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么∠AOB的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【答案】B【解析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数．【详解】连接AB，根据题意得：OB=OA=AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°.故答案选：B.【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握等边三角形的判定与性质.5．如图是一个由正方体和一个正四棱锥组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对一个物体，在正面进行正投影得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图.【详解】解：由主视图的定义可知A选项中的图形为该立体图形的主视图，故选择A.【点睛】本题考查了三视图的概念.6．学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（）A．10000x﹣90005x-=100 B．90005x-﹣10000x=100C．100005x-﹣9000x=100 D．9000x﹣100005x-=100【答案】B【解析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．【详解】科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：9000 x5 -﹣10000x=100，故选B．【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.7．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=1．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM 的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】根据三角形中位线定理求出DE ，得到DF ∥BM ，再证明EC=EF=12AC ，由此即可解决问题． 【详解】在RT △ABC 中，∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1， ∴AC=22AB BC +=2286+=10，∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DF ∥BM ，DE=12BC=3， ∴∠EFC=∠FCM ， ∵∠FCE=∠FCM ， ∴∠EFC=∠ECF ， ∴EC=EF=12AC=5， ∴DF=DE+EF=3+5=2． 故选B ．8．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G ，若AE=3ED ，DF=CF ，则AGGF的值是( )A ．43B ．54C ．65D ．76【答案】C【解析】如图作，FN ∥AD ，交AB 于N ，交BE 于M ．设DE=a ，则AE=3a ，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.【详解】如图作，FN ∥AD ，交AB 于N ，交BE 于M ．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是矩形，∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=32a，∴FM=52a，∵AE∥FM，∴36552AG AE aGF FM a===，故选C．【点睛】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．9．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE 的度数为（）A．31°B．28°C．62°D．56°【答案】D【解析】先利用互余计算出∠FDB=28°，再根据平行线的性质得∠CBD=∠FDB=28°，接着根据折叠的性质得∠FBD=∠CBD=28°，然后利用三角形外角性质计算∠DFE的度数．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠ADC=90°，∵∠FDB=90°-∠BDC=90°-62°=28°，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠FDB=28°，∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，∴∠FBD=∠CBD=28°，∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28°+28°=56°．故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．10．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为（）A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm【答案】A【解析】试题分析：利用轴对称图形的性质得出PM=MQ，PN=NR，进而利用PM=2．5cm，PN=3cm，MN=3cm，得出NQ=MN-MQ=3-2．5=2．5（cm），即可得出QR的长RN+NQ=3+2．5=3．5（cm）．故选A．考点：轴对称图形的性质二、填空题（本题包括8个小题）1112+3．【答案】31223.【详解】原式3+3=33故答案为33【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行然后合并同类二次根式．12．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007mm用科学记数法表示为_______mm．【答案】7×10-1．【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.0007=7×10-1．故答案为：7×10-1．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．13．“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快50千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟．已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为__．【答案】132013201 502 x x-= -【解析】设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为（x-50）千米/时，根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可．【详解】设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为（x-50）千米/时，根据题意得132013201502x x-=-．故答案为132013201502x x-=-．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．14．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE 的度数为（）A．144°B．84°C．74°D．54°【答案】B【解析】正五边形的内角是∠ABC=()521805-⨯=108°，∵AB=BC，∴∠CAB=36°，正六边形的内角是∠ABE=∠E=()621806-⨯=120°，∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，∴∠ADE=360°–120°–120°–36°=84°，故选B．15．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（用n表示）【答案】（2n，1）【解析】试题分析：根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点A4n+1的坐标，然后根据变化规律写出即可：由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A5（2，1），n=2时，4×2+1=9，点A9（4，1），n=3时，4×3+1=13，点A13（6，1），∴点A4n+1（2n，1）．16．如图，在△PAB中，PA＝PB，M、N、K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK．若∠MKN ＝40°，则∠P的度数为___【答案】100°【解析】由条件可证明△AMK≌△BKN，再结合外角的性质可求得∠A＝∠MKN，再利用三角形内角和可求得∠P．【详解】解：∵PA＝PB，∴∠A＝∠B，在△AMK和△BKN中，AM BKA BAK BN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMK≌△BKN（SAS），∴∠AMK ＝∠BKN ，∵∠A+∠AMK ＝∠MKN+∠BKN ， ∴∠A ＝∠MKN ＝40°，∴∠P ＝180°﹣∠A ﹣∠B ＝180°﹣40°﹣40°＝100°， 故答案为100° 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理，利用条件证得△AMK ≌△BKN 是解题的关键．17．已知二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与x 的部分对应值如下： ... -1 0 1 2 3 ......105212...则当5y <时，x 的取值范围是_________. 【答案】0<x<4【解析】根据二次函数的对称性及已知数据可知该二次函数的对称轴为x=2，结合表格中所给数据可得出答案．【详解】由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2， 所以，x=4时，y=5，所以，y<5时，x 的取值范围为0<x<4. 故答案为0<x<4. 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，利用图表得出二次函数的图象即可得出函数值得取值范围，同学们应熟练掌握．18．如图，正方形ABCD 边长为3，连接AC ，AE 平分∠CAD ，交BC 的延长线于点E ，FA ⊥AE ，交CB 延长线于点F ，则EF 的长为__________．【答案】6【解析】利用正方形的性质和勾股定理可得AC 的长，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠CAE=∠E ，易得CE=CA ，由FA ⊥AE ，可得∠FAC=∠F ，易得CF=AC ，可得EF 的长． 【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，且边长为3，∴AC=32，∵AE 平分∠CAD ， ∴∠CAE=∠DAE ，∵AD ∥CE ， ∴∠DAE=∠E ， ∴∠CAE=∠E ， ∴CE=CA=32， ∵FA ⊥AE ，∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°， ∴∠FAC=∠F ， ∴CF=AC=32， ∴EF=CF+CE=32+32=62 三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，E 是弧BD 的中点，AE 与BC 交于点F ，∠C=2∠EAB ．求证：AC 是⊙O 的切线；已知CD=4，CA=6，求AF 的长．【答案】（1）证明见解析（2）26【解析】（1）连结AD ，如图，根据圆周角定理，由E 是BD 的中点得到2DAB EAB ∠=∠，由于2ACB EAB ∠=∠，则ACB DAB ∠=∠，，再利用圆周角定理得到90ADB ，∠=︒则90DAC ACB ∠+∠=︒，所以90DAC DAB ∠+∠=︒，于是根据切线的判定定理得到AC 是⊙O 的切线；()2先求出DF 的长，用勾股定理即可求出.【详解】解：（1）证明：连结AD ，如图， ∵E 是BD 的中点，∴2DAB EAB ∠=∠， ∵2ACB EAB ∠=∠， ∴ACB DAB ∠=∠，∵AB 是⊙O 的直径，∴90ADB ，∠=︒ ∴90DAC ACB ∠+∠=︒，∴90DAC DAB ∠+∠=︒， 即90BAC ∠=︒， ∴AC 是⊙O 的切线；（2）∵9090EAC EAB DAE AFD EAD EAB ∠+∠=︒∠+∠=︒∠=∠，，，∴62EAC AFD CF AC DF ，，．∠=∠∴==∴= ∵222226420AD AC CD =-=-=， ∴22220226AF AD DF =+=+= 【点睛】 本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，属于圆的综合题，注意切线的证明方法，是高频考点. 20．在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀．“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是 事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是 事件；从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是 ；学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．【答案】（1）必然，不可能；（2）35；（3）此游戏不公平． 【解析】（1）直接利用必然事件以及怒不可能事件的定义分别分析得出答案；（2）直接利用概率公式求出答案；（3）首先画出树状图，进而利用概率公式求出答案．【详解】（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是必然事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是不可能事件；故答案为必然，不可能；（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是：35； 故答案为35； （3）如图所示：，由树状图可得：一共有20种可能，两球同色的有8种情况，故选择甲的概率为：82205=； 则选择乙的概率为：35， 故此游戏不公平．【点睛】此题主要考查了游戏公平性，正确列出树状图是解题关键． 21．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”其大意为：现有一根竿和一根绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．求绳索长和竿长．【答案】绳索长为20尺，竿长为15尺.【解析】设索长为x 尺，竿子长为y 尺，根据“索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】设绳索长、竿长分别为x 尺，y 尺， 依题意得：552x y x y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 解得：20x =，15y =.答：绳索长为20尺，竿长为15尺.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 22．某数学兴趣小组为测量如图（①所示的一段古城墙的高度，设计用平面镜测量的示意图如图②所示，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处． 已知AB ⊥BD 、CD ⊥BD ，且测得AB=1.2m ，BP=1.8m.PD=12m ，求该城墙的高度（平面镜的原度忽略不计）： 请你设计一个测量这段古城墙高度的方案．要求：①面出示意图（不要求写画法）；②写出方案，给出简要的计算过程：③给出的方案不能用到图②的方法．【答案】（1）8m ；（2）答案不唯一【解析】（1）根据入射角等于反射角可得 ∠APB=∠CPD ，由 AB ⊥BD 、CD ⊥BD 可得到 ∠ABP=∠CDP=90°，从而可证得三角形相似，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求出CD 的长.（2）设计成视角问题求古城墙的高度.【详解】（1）解：由题意，得∠APB=∠CPD ，∠ABP=∠CDP=90°，∴Rt △ABP ∽Rt △CDP ，∴AB CD BP BP=， ∴CD=1.2121.8⨯=8. 答：该古城墙的高度为8m（2）解：答案不唯一，如：如图，在距这段古城墙底部am 的E 处，用高h （m ）的测角仪DE 测得这段古城墙顶端A 的仰角为α.即可测量这段古城墙AB 的高度，过点D 作DC ⊥AB 于点C.在Rt △ACD 中，∠ACD=90°，tanα=AC CD， ∴AC=α tanα，∴AB=AC+BC=αtanα+h【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．23．为了解朝阳社区20~60岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： 求参与问卷调查的总人数．补全条形统计图．该社区中20~60岁的居民约8000人，估算这些人中最喜欢微信支付方式的人数．【答案】（1）参与问卷调查的总人数为500人；（2）补全条形统计图见解析；（3）这些人中最喜欢微信支付方式的人数约为2800人．【解析】（1）根据喜欢支付宝支付的人数÷其所占各种支付方式的比例=参与问卷调查的总人数，即可求出结论；（2）根据喜欢现金支付的人数（41～60岁）=参与问卷调查的总人数×现金支付所占各种支付方式的比例-15，即可求出喜欢现金支付的人数（41～60岁），再将条形统计图补充完整即可得出结论；（3）根据喜欢微信支付方式的人数=社区居民人数×微信支付所占各种支付方式的比例，即可求出结论．【详解】（1）()1208040%500+÷=（人)．答：参与问卷调查的总人数为500人．（2）50015%1560⨯-=（人)．补全条形统计图，如图所示．（3）()8000140%10%15%2800⨯---=（人)．答：这些人中最喜欢微信支付方式的人数约为2800人．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，解题的关键是：（1）观察统计图找出数据，再列式计算；（2）通过计算求出喜欢现金支付的人数（41～60岁）；（3）根据样本的比例×总人数，估算出喜欢微信支付方式的人数．24．全面两孩政策实施后，甲，乙两个家庭有了各自的规划.假定生男生女的概率相同，回答下列问题：甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是 ；乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率.【答案】（1）12；（2）34【解析】（1）根据可能性只有男孩或女孩，直接得到其概率；（2）列出所有的可能性，然后确定至少有一个女孩的可能性，然后可求概率.【详解】解：（1）（1）第二个孩子是女孩的概率=12； 故答案为12； （2）画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，所以至少有一个孩子是女孩的概率=34. 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．25．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B求证：△ADF ∽△DEC ；若AB=8，33AE 的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF ∽△DEC.（2）利用△ADF ∽△DEC ，可以求出线段DE 的长度；然后在在Rt △ADE 中，利用勾股定理求出线段AE 的长度.【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC∴∠C+∠B=110°，∠ADF=∠DEC∵∠AFD+∠AFE=110°，∠AFE=∠B ，∴∠AFD=∠C在△ADF 与△DEC 中，∵∠AFD=∠C ，∠ADF=∠DEC ，∴△ADF ∽△DEC（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD=AB=1．由（1）知△ADF ∽△DEC ， ∴AD AF DE CD=， ∴AD CD 638DE 12AF 43⋅⨯=== 在Rt △ADE 中，由勾股定理得：()2222AE DE AD 12636=-=-=26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)k y x x=>的图象与直线2y x =-交于点A(3,m).求k 、m 的值；已知点P(n ，n)(n>0)，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线y=x-2于点M ，过点P 作平行于y 轴的直线，交函数(0)k y x x=> 的图象于点N. ①当n=1时，判断线段PM 与PN 的数量关系，并说明理由；②若PN≥PM ，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围.【答案】(1) k的值为3，m的值为1；（2）0<n≤1或n≥3.【解析】分析：（1）将A点代入y=x-2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k 的值．（2）①当n=1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围．详解：（1）将A（3，m）代入y=x-2，∴m=3-2=1，∴A（3，1），将A（3，1）代入y=kx，∴k=3×1=3，m的值为1.（2）①当n=1时，P（1，1），令y=1，代入y=x-2，x-2=1，∴x=3，∴M（3，1），∴PM=2，令x=1代入y=3x，∴y=3，∴N（1，3），∴PN=2∴PM=PN，②P（n，n），点P在直线y=x上，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M，M（n+2，n），∴PM=2，∵PN≥PM，即PN≥2，∴0＜n≤1或n≥3点睛：本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm【答案】B【解析】根据作法可知MN是AC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质进行求解即可得答案.【详解】解：根据作法可知MN是AC的垂直平分线，∴DE垂直平分线段AC，∴DA=DC，AE=EC=6cm，∵AB+AD+BD=13cm，∴AB+BD+DC=13cm，∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，故选B．【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．2．点A（m﹣4，1﹣2m）在第四象限，则m的取值范围是（）A．m＞12B．m＞4C．m＜4 D．12＜m＜4【答案】B【解析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，然后求解即可．【详解】解：∵点A（m-1，1-2m）在第四象限，∴40120mm-⎧⎨-⎩＞①，＜②解不等式①得，m＞1，解不等式②得，m＞1 2所以，不等式组的解集是m＞1，即m的取值范围是m＞1．故选B．【点睛】本题考查各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．3．2-的相反数是A．2-B．2 C．12D．12-【答案】B【解析】根据相反数的性质可得结果.【详解】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，故选B．【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键.4．如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其主视图是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：长方体的主视图为矩形，圆柱的主视图为矩形，根据立体图形可得：主视图的上面和下面各为一个矩形，且下面矩形的长比上面矩形的长要长一点，两个矩形的宽一样大小．考点：三视图．5．有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的（）A．方差B．中位数C．众数D．平均数【答案】A【解析】试题分析：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，体现数据的稳定性，集中程度；方差越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，数据越稳定．故教练要分析射击运动员成绩的波动程度，只需要知道训练成绩的方差即可．故选A.考点：1、计算器-平均数，2、中位数，3、众数，4、方差6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( )A．30°B．45°C．50°D．75°【答案】B【解析】试题解析：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有()A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】C【解析】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴△ABC∽△ACD，△ACD∽CBD，△ABC∽CBD，所以有三对相似三角形．故选C．8．已知关于x的一元二次方程mx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）. A．m＞－1且m≠0B．m＜1且m≠0C．m＜－1 D．m＞1【答案】A【解析】∵一元二次方程mx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，∴m≠0，且22－4×m×(﹣1)＞0，解得：m＞﹣1且m≠0.故选A.【点睛】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式：（1）当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△=b2﹣4ac=0时，方程有有两个相等的实数根；（3）当△=b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根.9．一、单选题点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）【答案】A【解析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答．【详解】解：点P（2，-1）关于原点对称的点的坐标是（-2，1）．故选A．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．10．如图1，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，Ð1=30°，Ð2=50°，则Ð3的度数为A．80°B．50°C．30°D．20°【答案】D【解析】试题分析：根据平行线的性质，得∠4=∠2=50°，再根据三角形的外角的性质∠3=∠4-∠1=50°-30°=20°．故答案选D．考点：平行线的性质;三角形的外角的性质．二、填空题（本题包括8个小题）11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：x …－5 －4 －3 －2 －1 …y … 3 －2 －5 －6 －5 …则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－2的根是______．【答案】x1=-4，x1=2【解析】解：∵x=﹣3，x=﹣1的函数值都是﹣5，相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣1．∵x=﹣4时，y=﹣1，∴x=2时，y=﹣1，∴方程ax1+bx+c=3的解是x1=﹣4，x1=2．故答案为x1=﹣4，x1=2．点睛：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图表信息，求出对称轴解析式是解题的关键．12．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P= 40°，则∠BAC= .【答案】20°【解析】根据切线的性质可知∠PAC ＝90°，由切线长定理得PA ＝PB ，∠P ＝40°，求出∠PAB 的度数，用∠PAC ﹣∠PAB 得到∠BAC 的度数．【详解】解：∵PA 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的直径， ∴∠PAC ＝90°．∵PA ，PB 是⊙O 的切线， ∴PA ＝PB ． ∵∠P ＝40°，∴∠PAB ＝（180°﹣∠P ）÷2＝（180°﹣40°）÷2＝70°， ∴∠BAC ＝∠PAC ﹣∠PAB ＝90°﹣70°＝20°． 故答案为20°． 【点睛】本题考查了切线的性质，根据切线的性质和切线长定理进行计算求出角的度数． 13．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，y 与x 的部分对应值如下表所示：x… -1 0 1 2 3 4 … y…61-2-3-2m…下面有四个论断：①抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(23)-，； ②240b ac -=；③关于x 的方程2=2ax bx c ++-的解为12=13x x =，； ④=3m -．其中，正确的有___________________． 【答案】①③．【解析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可. 【详解】由二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0），y 与x 的部分对应值可知：该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-3）；与x 轴有两个交点，一个在0与1之间，另一个在3与4之间；当y=-2时，x=1或x=3；由抛物线的对称性可知，m=1；∴①抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的顶点为（2，-3），结论正确；②b 2﹣4ac ＝0，结论错误，应该是b 2﹣4ac>0；③关于x 的方程ax 2+bx+c ＝﹣2的解为x 1＝1，x 2＝3，结论正确； ④m ＝﹣3，结论错误，∴其中，正确的有. ①③故答案为：①③ 【点睛】本题考查了二次函数的图像，结合图表信息是解题的关键.14．甲乙两种水稻试验品中连续5年的平均单位面积产量如下（单位：吨/公顷） 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 品种 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 甲 乙9.410.310.89.79.8乙经计算，x 10 x 10==甲乙，，试根据这组数据估计_____中水稻品种的产量比较稳定． 【答案】甲【解析】根据方差公式分别求出两种水稻的产量的方差，再进行比较即可. 【详解】甲种水稻产量的方差是：()()()()()2222219.8109.91010.110101010.2100.025⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦， 乙种水稻产量的方差是：()()()()()2222219.41010.31010.8109.7109.8100.045⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦， ∴0.02＜0.124.∴产量比较稳定的小麦品种是甲.15．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在格点上，则∠OAB 的正弦值是_____．【答案】55【解析】如图，过点O 作OC ⊥AB 的延长线于点C ，则AC=4，OC=2， 在Rt △ACO 中，AO=22224225AC OC +=+=，∴sin ∠OAB=525OC OA ==． 故答案为5． 16．如图，已知m n ∕∕，1105∠=︒，2140∠=︒则a ∠=________.【答案】65°【解析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠3，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.【详解】∵m ∥n,∠1=105°，∴∠3=180°−∠1=180°−105°=75° ∴∠α=∠2−∠3=140°−75°=65° 故答案为：65°. 【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键在于利用同旁内角互补求出∠3.17．如图，将周长为8的△ABC 沿BC 方向向右平移1个单位得到△DEF ，则四边形ABFD 的周长为 ．【答案】1．【解析】试题解析：根据题意，将周长为8的△ABC 沿边BC 向右平移1个单位得到△DEF ， 则AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC ， 又∵AB+BC+AC=1，∴四边形ABFD 的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=1． 考点：平移的性质．18．一个圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为120°的扇形，那么这个圆锥的底面圆的半径为____． 【答案】2【解析】试题分析：设此圆锥的底面半径为r ，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得， 2πr=208161π⨯，解得r=2cm ．考点：圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系． 三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，矩形ABCD 中，CE ⊥BD 于E ，CF 平分∠DCE 与DB 交于点F ．求证：BF ＝BC ；若AB ＝4cm ，AD ＝3cm ，求CF 的长．【答案】（1）见解析，（2）CF ＝65cm. 【解析】（1）要求证：BF=BC 只要证明∠CFB=∠FCB 就可以，从而转化为证明∠BCE=∠BDC 就可以； （2）已知AB=4cm ，AD=3cm ，就是已知BC=BF=3cm ，CD=4cm ，在直角△BCD 中，根据三角形的面积等于12BD•CE=12BC•DC ，就可以求出CE 的长．要求CF 的长，可以在直角△CEF 中用勾股定理求得．其中EF=BF-BE ，BE 在直角△BCE 中根据勾股定理就可以求出，由此解决问题． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BCD ＝90°， ∴∠CDB+∠DBC ＝90°．∵CE ⊥BD ，∴∠DBC+∠ECB ＝90°． ∴∠ECB ＝∠CDB ．∵∠CFB ＝∠CDB+∠DCF ，∠BCF ＝∠ECB+∠ECF ，∠DCF ＝∠ECF ，。
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2019年江苏省无锡市宜兴市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共计30分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上相应的答案涂黑）1．﹣8的立方根是（）A．±2B．2C．﹣2D．242．下列计算正确的是（）A．（ab）2＝a2b2B．a5+a5＝a10C．（a2）5＝a7D．a10÷a5＝a23．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．已知一组数据：6，2，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（）A．7B．6C．5D．45．在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在第二象限，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1B．m＞2C．﹣1＜m＜2D．m＞﹣16．已知反比例函数y＝的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，那么下列结论中，正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．y1与y2之间的大小关系不能确定7．点A（2，1）经过某种图形变换后得到点B（﹣1，2），这种图形变化可以是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．绕原点逆时针旋转90°D．绕原点顺时针旋转90°8．如图，已知一次函数y＝2x﹣2的图象与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C，且AB＝AC，则k的值为（）A．5B．4C．3D．29．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D在BC上，延长BC至点E，使，F是AD的中点，连接EF，则EF的长是（）A．B．C．3D．410．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG＝∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，请把最后结果填写在答题卡对应的位置上）11．当x时，在实数范围内有意义．12．方程（x+3）（x+2）＝x+3的解是．13．若一个棱柱有7个面，则它是棱柱．14．如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于度．15．如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，则∠BAD＝度．16．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为20m，在A点测得D点的仰角∠EAD 为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，则乙建筑物的高度为m．17．如图，D是等边三角形ABC中AC延长线上一点，连接BD，E是AB上一点，且DE＝DB，若AD+AE＝5，BE＝，则BC＝．18．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝6cm，AC＝8cm．若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B →A的方向运动，点Q以1cm/s的速度从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t（s），当△APQ是直角三角形时，t的值为．三.解答题（本大题共10小题，共84分.解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上）19．（8分）计算或化简；（1）（2）20．（8分）（1）解方程：（2）解不等式组并写出它的所有整数解．21．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB、CD交于点G、H．求证：AG＝CH．22．（6分）为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“戒毒宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”等五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查．结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．（1）被随机抽取的学生共有多少名？（2）在扇形统计图中，求活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角的度数，并补全折线统计图；（3）该校共有学生2000人，估计其中参与了4项或5项活动的学生共有多少人？23．（8分）有甲、乙两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出两把钥匙开这两把锁，求恰好都能打开的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程）24．（8分）如图，平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的B，C两点在第一象限，点A在x 轴正半轴上．（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一个圆，使其圆心D在对角线OB上，DO为半径，该圆和BC所在直线相切于点E；（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）（2）在（1）中，若点B 坐标为（4，3），求点E 的坐标．25．（8分）某制衣企业直销部直销某类服装，价格m （元）与服装数量n （件）之间的关系如图所示，现有甲乙两个服装店，计划在“五一”前到该直销部购买此类服装，两服装店所需服装总数为120件，乙服装店所需数量不超过50件，设甲服装店购买x 件，如果甲、乙两服装店分别到该直销部购买服装，两服装店需付款总和为y 元．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．（2）若甲服装店购买不超过100件，请说明甲、乙两服装店联合购买比分别购买最多可节约多少钱？26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A （4，0），B （0，﹣2），C （﹣1，0），P （0，m ）为y 轴正半轴上的动点，连接CP ，过P 作CP 的垂线，交直线AB 于点M ，交x 轴于E ，过点M 作MN ⊥y 轴，垂足为N ．（1）求直线AB 对应的函数表达式；（2）随着m 取不同值，线段PN 的长度是否发生改变？若不变，求出PN 的长，若改变，求出PN 的取值范围．（3）作B 关于x 轴的对称点D ，设S △CME ＝S 1，S △CDP ＝S 2，求的取值范围．27．（10分）如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线交y轴于C，且过点D（6，m），左右平移抛物线y＝x2﹣4x+3，记平移后的点A对应点为A'，点B的对应点为B'．（1）求线段AB，CD的长；（2）当抛物线平移到某个位置时，A'D+B'D最小，试确定此时抛物线的解析式；（3）平移抛物线是否存在某个位置，使四边形周长最小？若存在，求出此时抛物线的解析式和四边形A'B'DC周长最小值；若不存在，请说明理由．28．（10分）如图①，在平面直角坐标中，点A是第一象限内一点，过A点的直线分别与x轴，y 轴的正半轴交于M，N两点，且A是MN的中点，以OA为直径的⊙D交直线MN于点B（位于点A右下方），交y轴于点C，连接BC交OA于点E．（1）若点A的坐标为（1，2），请直接写出M，N两点的坐标和AB的长．（2）若，求∠AON的度数；＝3，PC＝a，PB＝b （3）如图②，在（2）的条件下，P是上一点，若S四边形ABPC①求a+b的值；②求当S+PC取最大值时，⊙D的半径．△PBC2019年江苏省无锡市宜兴市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共计30分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上相应的答案涂黑）1．﹣8的立方根是（）A．±2B．2C．﹣2D．24【分析】根据立方根的定义求出即可．【解答】解：﹣8的立方根是﹣2．故选：C．【点评】本题考查了对平方根和立方根的定义的应用，注意：一个负数有一个负的立方根．2．下列计算正确的是（）A．（ab）2＝a2b2B．a5+a5＝a10C．（a2）5＝a7D．a10÷a5＝a2【分析】分别根据幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项的法则及同底数幂的除法法则对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、（ab）2＝a2b2，故本选项正确；B、a5+a5＝2a5≠a10，故本选项错误；C、（a2）5＝a10≠a7，故本选项错误；D、a10÷a5＝a5≠a2，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查的是同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法法则是解答此题的关键．3．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．已知一组数据：6，2，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（）A．7B．6C．5D．4【分析】首先根据平均数为6求出x的值，然后根据中位数的概念求解．【解答】解：由题意得6+2+8+x+7＝6×5，解得：x＝7，这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，6，7，7，8，则中位数为7．故选：A．【点评】本题考查了中位数和平均数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．5．在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在第二象限，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1B．m＞2C．﹣1＜m＜2D．m＞﹣1【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可．【解答】解：∵点P（m﹣2，m+1）在第二象限，∴，解得﹣1＜m＜2．故选：C．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．6．已知反比例函数y＝的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，那么下列结论中，正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．y1与y2之间的大小关系不能确定【分析】根据反比例函数y＝中k的符号判断该函数所在的象限及其单调性，然后分类讨论x1与x2所在的象限，从而根据该函数在该象限内的单调性来判断y1与y2的大小关系．【解答】解：∵k＝6，∴反比例函数y＝的图象经过第一三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；①当x1＜x2＜0时，y1＞y2；②当0＜x1＜x2时，y1＞y2；③当x1＜0＜x2时，y1＜y2；综合①②③，y1与y2的大小关系不能确定．故选：D．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．反比例函数图象上的点的坐标都能满足该函数的解析式．7．点A（2，1）经过某种图形变换后得到点B（﹣1，2），这种图形变化可以是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．绕原点逆时针旋转90°D．绕原点顺时针旋转90°【分析】画出图形即可判断．【解答】解：观察图象可知：点A（2，1）绕原点逆时针旋转90°得到点B（﹣1，2），故选：C．【点评】本题考查旋转变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．如图，已知一次函数y＝2x﹣2的图象与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C，且AB＝AC，则k的值为（）A．5B．4C．3D．2【分析】作CD⊥x轴于D，易得△AOB≌△ADC，根据全等三角形的性质得出OB＝CD＝2，OA ＝AD＝1，那么点C的坐标为（2，2），再根据图象上的点满足函数解析式即可得k的值．【解答】解：作CD⊥x轴于D，则OB∥CD，在△AOB和△ADC中，，∴△AOB≌△ADC（AAS），∴OB＝CD，OA＝AD，∵一次函数y＝2x﹣2的图象与x，y轴分别交于点A，B，∴A（1，0）、B（0，﹣2），∴OA＝1，OB＝2，则AD＝1，CD＝2，∴OD＝2，∴点C的坐标为（2，2），则k＝2×2＝4，故选：B．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，难度适中．求得C点的坐标是解题的关键．9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D在BC上，延长BC至点E，使，F是AD的中点，连接EF，则EF的长是（）A．B．C．3D．4【分析】图，取BD中点G，使DG＝GB，连接FG，FC，易证△FDG≌△FCE（SAS），即可得出FG＝EF，因为在△ADB中，FG为中位线，即FG＝AB．再利用勾股定理求得AB即可．【解答】解：如图，取BD中点G，使DG＝GB，连接FG，FC，得∵点F为AD中点∴在Rt△ACD中，CF＝DF＝AF∴∠FCD＝∠FDC∴∠ECF＝∠FDG∵，∴DG＝CE∴△FDG≌△FCE（SAS）∴EF＝FG∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6∴由勾股定理得AB＝＝＝2又∵在△ADB中，FG为中位线∴FG＝AB＝∴EF＝故选：A．【点评】此题主要考查直角三角形的性质，运用三角形的中线定义以及综合分析、解答问题的能力．关键要懂得：在一个直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG＝∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG最小值为（）A．B．C．D．【分析】如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于H．证明△ADP ∽△DHG，推出∠DHG＝∠DAP＝定值，推出点G在射线HF上运动，推出当CG⊥HE时，CG 的值最小，想办法求出CG即可．【解答】解：如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于H．∵DG⊥PG，DH⊥AC，∴∠DGP＝∠DHA，∵∠DPG＝∠DAH，∴△ADH∽△PDG，∴＝，∠ADH＝∠PDG，∴∠ADP＝∠HDG，∴△ADP∽△DHG，∴∠DHG＝∠DAP＝定值，∴点G在射线HF上运动，∴当CG⊥HE时，CG的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADH+∠HDF＝90°，∵∠DAH+∠ADH＝90°，∴∠HDF＝∠DAH＝∠DHF，∴FD＝FH，∵∠FCH+∠CDH＝90°，∠FHC+∠FHD＝90°，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC＝DF＝3，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，∴AC＝＝5，DH＝＝，∴CH＝＝，∴EH＝＝，∵∠CFG＝∠HFE，∠CGF＝∠HEF＝90°，CF＝HF，∴△CGF≌△HEF（AAS），∴CG＝HE＝，∴CG的最小值为，故选：D．【点评】本题考查旋转变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形核或全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，请把最后结果填写在答题卡对应的位置上）11．当x≥4时，在实数范围内有意义．【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴x﹣4≥0，解得x≥4．故当x≥4时，在实数范围内有意义．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．12．方程（x+3）（x+2）＝x+3的解是x1＝﹣3，x2＝﹣1．【分析】先移项得到（x+3）（x+2）﹣（x+3）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（x+3）（x+2）﹣（x+3）＝0，（x+3）（x+2﹣1）＝0，x+3＝0或x+2﹣1＝0，所以x1＝﹣3，x2＝﹣1．故答案为x1＝﹣3，x2＝﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．13．若一个棱柱有7个面，则它是5棱柱．【分析】根据棱柱有两个底面求出侧面的面数，然后解答解答．【解答】解：∵棱柱有七个面，∴它有5个侧面，∴它是5棱柱，故答案为：5【点评】本题考查了认识立体图形，关键在于根据棱柱有两个底面确定出侧面的面数．14．如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于60度．【分析】根据正多边形的内角和定义（n﹣2）×180°列方程求出多边形的边数，再根据正多边形内角和为360°、且每个外角相等求解可得．【解答】解：多边形内角和（n﹣2）×180°＝720°，∴n＝6．则正多边形的一个外角＝＝＝60°，故答案为：60．【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°，外角和等于360°．15．如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，则∠BAD＝15度．【分析】根据平行四边形的性质和OC＝OA得出OA＝AB，根据垂径定理求出OA＝2AE，求出∠AOD度数，即可求出答案．【解答】解：∵四边形OABC是平行四边形，OC＝OA，∴OA＝AB，∵OD⊥AB，OD过O，∴AE＝BE，＝，即OA＝2AE，∴∠AOD＝30°，∴和的度数是30°∴∠BAD＝15°，故答案为：15．【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定义、平行四边形的性质和判定，能求出∠AOD＝30°是解此题的关键．16．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为20m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，则乙建筑物的高度为20﹣20m．【分析】作AF⊥CD于F，根据等腰直角三角形的性质求出DF，根据正切的概念求出CD，计算即可．【解答】解：作AF⊥CD于F，则四边形ABCF为矩形，∴AF＝BC＝20，AB＝CF，∵∠AFD＝90°，∠DAF＝45°，∴DF＝AF＝20，在Rt△DBC中，tan∠DBC＝，则CD＝BC•tan∠DBC＝20，∴BA＝CF＝CD﹣DF＝20﹣20（m）故答案为：20﹣20．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．17．如图，D是等边三角形ABC中AC延长线上一点，连接BD，E是AB上一点，且DE＝DB，若AD+AE＝5，BE＝，则BC＝．【分析】过D作DF⊥AB于F，交BC于G，设AE＝x，求得AD＝5﹣x，AF＝AE+EF＝x+，根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，求得∠ADF＝30°，得到AD＝2AF，于是得到结论．【解答】解：过D作DF⊥AB于F，交BC于G，∵DE＝DB，∴EF＝BF＝，设AE＝x，∴AD＝5﹣x，AF＝AE+EF＝x+，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠ADF＝30°，∴AD＝2AF，即5﹣x＝2（x+），∴x＝，∴BC＝AB＝+＝，故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的应用，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．18．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝6cm，AC＝8cm．若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B →A的方向运动，点Q以1cm/s的速度从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t（s），当△APQ是直角三角形时，t的值为s或s．【分析】应分两种情况进行讨论：①当PQ⊥AC时，△APQ为直角三角形，根据△APQ∽△ABC，可将时间t求出；当PQ⊥AB时，△APQ为直角三角形，根据△APQ∽△ACB，可将时间t求出．【解答】解：如图，∵AB是直径，∴∠C＝90°．又∵BC＝6cm，AC＝8cm，∴根据勾股定理得到AB＝＝10cm．则AP＝（10﹣2t）cm，AQ＝t．∵当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，∴0＜t≤2.5．①如图1，当PQ⊥AC时，PQ∥BC，则△APQ∽△ABC．故＝，即＝，解得t＝．②如图2，当PQ⊥AB时，△APQ∽△ACB，则＝，即＝，解得t＝．综上所述，当t＝s或t＝时，△APQ为直角三角形．故答案是：s或s．【点评】本题考查圆周角定理、相似三角形的性质、直角三角形的性质等知识的综合应用能力．在求时间t时应分情况进行讨论，防止漏解．三.解答题（本大题共10小题，共84分.解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上）19．（8分）计算或化简；（1）（2）【分析】（1）依次计算三角函数、零指数幂、负指数幂、绝对值，然后计算加减法；（2）先算括号里的，然后算除法．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝＝＝【点评】本题考查了实数的运算与分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．20．（8分）（1）解方程：（2）解不等式组并写出它的所有整数解．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分确定出不等式组的解集，进而求出所有整数解即可．【解答】解：（1）去分母得：x﹣4﹣x﹣2＝﹣4，解得：x＝1，经检验x＝1是原方程的根；（2），由①得，x＞﹣2，由②得，x≤1，∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1，则所有整数解为﹣1，0，1．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB、CD交于点G、H．求证：AG＝CH．【分析】利用平行四边形的性质得出AF＝EC，再利用全等三角形的判定与性质得出答案．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，AD∥BC，∴∠E＝∠F，∵BE＝DF，∴AF＝EC，在△AGF和△CHE中，∴△AGF≌△CHE（ASA），∴AG＝CH．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握平行线的性质是解题关键．22．（6分）为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“戒毒宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”等五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查．结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．（1）被随机抽取的学生共有多少名？（2）在扇形统计图中，求活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角的度数，并补全折线统计图；（3）该校共有学生2000人，估计其中参与了4项或5项活动的学生共有多少人？【分析】（1）利用活动数为2项的学生的数量以及百分比，即可得到被随机抽取的学生数；（2）利用活动数为3项的学生数，即可得到对应的扇形圆心角的度数，利用活动数为5项的学生数，即可补全折线统计图；（3）利用参与了4项或5项活动的学生所占的百分比，即可得到全校参与了4项或5项活动的学生总数．【解答】解：（1）被随机抽取的学生共有14÷28%＝50（人）；（2）活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角＝×360°＝72°，活动数为5项的学生为：50﹣8﹣14﹣10﹣12＝6，如图所示：（3）参与了4项或5项活动的学生共有×2000＝720（人）．【点评】本题主要考查折线统计图与扇形统计图及概率公式，根据折线统计图和扇形统计图得出解题所需的数据是解题的关键．23．（8分）有甲、乙两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出两把钥匙开这两把锁，求恰好都能打开的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程）【分析】首先根据题意列表，得所有等可能的结果，可求得打开一把锁的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图：可能出现的等可能性结果有6种，分别是（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，A），（C，B），只有2种情况恰好打开这两把锁P（恰好打开这两把锁）＝．【点评】此题主要考查了利用树状图法求概率，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．24．（8分）如图，平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的B，C两点在第一象限，点A在x 轴正半轴上．（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一个圆，使其圆心D在对角线OB上，DO为半径，该圆和BC所在直线相切于点E；（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）（2）在（1）中，若点B坐标为（4，3），求点E的坐标．【分析】（1）延长BC交y轴于G，作∠BOG的平分线交BG于E．再作OE的中垂线交OB于D，以D为圆心，DO为半径作圆．（2）利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）延长BC交y轴于G，作∠BOG的平分线交BG于E．再作OE的中垂线交OB于D，以D为圆心，DO为半径作圆．（2）∵⊙D切GB于E，平行四边形OABC，B坐标为（4，3），∴∠DEB＝90°＝∠BGO，BO＝5，∵∠EBD＝∠GBO，∴△BDE～△BOG，∴，设⊙D半径为r，则，得，∴，点E坐标为．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，坐标与图形的性质，平行四边形的性质，切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25．（8分）某制衣企业直销部直销某类服装，价格m（元）与服装数量n（件）之间的关系如图所示，现有甲乙两个服装店，计划在“五一”前到该直销部购买此类服装，两服装店所需服装总数为120件，乙服装店所需数量不超过50件，设甲服装店购买x件，如果甲、乙两服装店分别到该直销部购买服装，两服装店需付款总和为y元．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．（2）若甲服装店购买不超过100件，请说明甲、乙两服装店联合购买比分别购买最多可节约多少钱？【分析】（1）根据题意：乙商店所需数量不超过50个，所以120﹣x≤50，求出x的取值范围，根据图象求出单价与数量的关系，注意这里是分段函数，付款总和y ＝甲商店的费用+乙商店费用＝甲的单价×甲的数量+乙的单价×乙的数量．（2）找出y 关于x 的函数关系式，在50≤x ≤100，y 的最大值，再减去甲、乙两商店联合购买的费用120×120就可得．【解答】解：（1）设m ＝kn +b （50≤n ≤100）把（50，160），（100，120）代入可求得由题意得0≤120﹣x ≤50，解得70≤x ≤120，①当70≤x ≤100时，＝②当100≤x ≤120时，y ＝120x +160（120﹣x ）＝﹣40x +19200； （2）∵甲服装店数量不超过100件， ∴x ≤100，∴．∵∴x ＝70时，y 最大值＝18080，两服装店联合购买需120×120＝14400（元） ∴最多可节约18080﹣14400＝3680（元）．【点评】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A （4，0），B （0，﹣2），C （﹣1，0），P （0，m ）为y 轴正半轴上的动点，连接CP ，过P 作CP 的垂线，交直线AB 于点M ，交x 轴于E ，过点M 作MN ⊥y 轴，垂足为N ．（1）求直线AB 对应的函数表达式；（2）随着m 取不同值，线段PN 的长度是否发生改变？若不变，求出PN 的长，若改变，求出PN 的取值范围．（3）作B 关于x 轴的对称点D ，设S △CME ＝S 1，S △CDP ＝S 2，求的取值范围．【分析】（1）直接利用待定系数法即可得出结论；（2）先表示出PN＝m﹣n，进而表示出MN＝2n+4，再判断出△COP～△PNM，得出，即，即可得出结论；（3）先表示出PD，进而表示出s2＝|m﹣2|×1，再判断出△COP～△POE，得出，即，进而得出OE＝m2，CE＝m2+1，即可得出s1，即可得出结论．【解答】解：（1）设直线AB对应的函数表达式为为y＝kx+b，将点A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝kx+b中，得，∴，∴直线AB对应的函数表达式为y＝x﹣2；（2）PN不变，PN＝2理由：设点M的纵坐标为n，则PN＝m﹣n，∵点M在直线AB上，∴，∴x＝NM＝2n+4，∵∠CPM＝∠COP＝∠PNM＝90°，∴∠CPO+∠NPM＝∠CPO+∠PCO＝90°，∴∠NPM＝∠PCO，∴△COP～△PNM，∴，即，化简为m2﹣4＝mn+2n，即（m+2）（m﹣2）＝n（m+2）又m+2≠0，∴m﹣2＝n，∴PN＝m﹣n＝2；（3）∵D（0，2），∴PD＝|m﹣2|，∴s2＝|m﹣2|×1＝|m﹣2|，∵∠CPM＝∠COP＝∠POE＝90°，∴∠CPO+∠EPO＝∠CPO+∠PCO＝90°，∴∠EPO＝∠PCO，∴△COP～△POE，∴，即，∴OE＝m2，∴CE＝m2+1，∴，∴，∵m＞0且m≠2，∴且≠5．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出△COP～△PNM和△COP～△POE是解本题的关键．27．（10分）如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线交y轴于C，且过点D（6，m），左右平移抛物线y＝x2﹣4x+3，记平移后的点A对应点为A'，点B的对应点为B'．（1）求线段AB，CD的长；（2）当抛物线平移到某个位置时，A'D+B'D最小，试确定此时抛物线的解析式；（3）平移抛物线是否存在某个位置，使四边形周长最小？若存在，求出此时抛物线的解析式和四边形A'B'DC周长最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出A（1，0）、B（3，0）、点C（0，1）、D（6，4），即可求解；（2）如图1，作D关于x轴对称点E，EG∥x轴，且EG＝AB＝A'B'＝2，连接DG交x轴于B'，连接A'E，当D，B'，G三点共线时，A′D+B′D＝B′D+B′G最小，即可求解；（3）如图2，作D关于x轴对称点E，作EF∥x轴，且EF＝AB＝A'B'＝2，连接CF交x轴于A'，连接B'E，B'D，当C，A'，F三点共线时，A'C+B'D＝A'C+A'F最小，即可求解．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝1或3，∵A（1，0）、B（3，0），∴AB＝2，直线，则点C（0，1）、D（6，4），∴CD＝3；（2）如图1，作D关于x轴对称点E，EG∥x轴，且EG＝AB＝A'B'＝2，连接DG交x轴于B'，连接A'E，∵A'B'CE是平行四边形，∴A'E＝A'D＝B'G，∴当D，B'，G三点共线时，A′D+B′D＝B′D+B′G最小，此时B'（7，0），A'（5，0），则抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）（x﹣7）＝x2﹣12x+35；（3）如图2，作D关于x轴对称点E，作EF∥x轴，且EF＝AB＝A'B'＝2，。