交直流电力系统电磁暂态仿真

交直流电力系统电磁暂态
仿真理论
内容提要
1 交直流电力系统电磁暂态数字仿真的实现途径
2 用于模型离散化的常用数值积分公式及其特点
3 集中参数元件的离散化伴随模型
4 集中参数多相输电线路的离散化伴随模型
5 分布参数单根无损线的Bergeron模型
6 分布参数单根小损耗线的Dommel模型
7 分布参数多相耦合输电线路的K. C. Lee模型
8 分布参数多相耦合输电线路的扩展Bergeron模型
9 输电线路电磁暂态计算示例
第1章
交直流电力系统电磁暂态数字仿真
的实现途径
电磁暂态数字仿真的实现途径
通常，针对特定的电磁暂态过程，可以将系统元件分为两类，一类为集中参数元件，另一类为分布参数元件。

集中参数元件的数学模型为常微分方程或代数方程，其仿真过程本质上是求常微分方程初值解的问题；分布参数元件的数学模型为偏微分方程，其解可以理解为波的传播过程，即电流或电压从元件的一端传播到另一端需要一定的时间延迟，因此其电磁暂态仿真模型具有天然的时间上的离散性。

换流器的可控硅阀是一种电力电子开关元件，它的伏安特性是非线性的。

为了避免直接求解非线性网络所遇到的困难，在交直流电力系统的电磁暂态仿真中，对可控硅阀的伏安特性都作了一定的简化。

最常用的简化方法是把可控硅阀在断态和通态下的伏安特性曲线分别用一条直线来等效。

通常的做法是用适当的高电阻等效可控硅阀的断态，适当的低电阻等效可控硅阀的通态。

这样可控硅阀在某个确定的状态下就具有线性元件的特性。

对于电力系统中的其它非线性元件，通常也用分段线性化的方法将其线性化。

目前，用于电力系统电磁暂态仿真的程序几乎无一例外地都采用离散化模型法进行求解，离散化模型法的求解过程如下：
(1) 先挑选适当的数值积分公式，把描述单个元件特性的微分方程作离散化处理，形成单个元件的离散化伴随模型；(2) 根据单个元件的离散化伴随模型建立整个系统的离散化伴随网络；(3) 通过对整个系统的离散化伴随网络的求解，得到某个时间离散点上的解；(4) 利用当前时刻已求得的解递推下一个离散时刻的离散化伴随模型；重复(2)、(3)、(4)步骤即可得到系统在一系列时间离散点上的解。

离散化模型法的特点是将网络中的所有分布参数元件和集中参数储能元件等效为一个电导和一个与之并联的电流源的组合，从而把用微分方程描述的网络方程转化为用代数方程描述的网络方程，将复杂的电力网络的暂态分析问题转化为了相对简单的离散化伴随网络的直流分析问题。

而对离散化伴随网络的直流分析通常采用节点电压分析法，可以充分利用节点导纳矩阵的稀疏性，从而大大提高网络的求解效率。

第2章
用于模型离散化的常用数值积分公
式及其特点
式及其特点
选择合适的数值积分公式对保证电磁暂态仿真的精度具有十分重要的意义。

对数值积分公式的选择，一般从如下三个方面加以考虑：第一，选择的数值积分公式必须具有良好的数值稳定性；第二，数值积分公式的局部截断误差必须比较小；第三，数值积分公式必须具有较好的自起动特性。

式及其特点（续1）
根据上述三点，目前电磁暂态仿真常用的数值积分公式有两种，一种是梯形公式，另一种是Gear 公式（变步长下为后退差分公式）。

表2-1列出了梯形公式和Gear公式的形式及其相应的局部截断误差，图2-1给出了这几种公式的数值稳定特性，其中阴影部分为稳定域。

这里考虑的微分方程形式为，h为积分步长。

式及其特点（续2）
可以看出，梯形公式是一种绝对稳定的数值积分公式，局部截断误差是3阶的；一阶和二阶Gear公式也是绝对稳定的，其局部截断误差分别为2阶和3阶。

实际上，一阶Gear公式就是后退Euler公式。

二阶Gear公式是一种多步的数值积分公式，它需要知道当前步和前一步的值才能递推计算下一步的值，因此其起动过程不如梯形公式和后退Euler公式方便。

式及其特点（续3）
如果把电力系统中所有非线性元件都用分段线性化的方法化为分段线性元件，则交直流电力系统的电磁暂态仿真是通过求解各时间分段上的线性网络来实现的。

因此如何精确确定各时间分段的边界点即断点以及断点上的初始值就成为交直流电力系统电磁暂态仿真的一个重要问题。

式及其特点（续4）
根据常微分方程初值问题的Cauchy定理，要使常微分方程在求解的时间段内有解且唯一，一个必不可少的条件是在该时间段内连续。

但当计算时步内有断点时，上述条件通常不能满足。

例如对于电感元件，描述其特性的微分方程为，在断点上，只有状态量是连续的，而可能会发生突变。

式及其特点（续5）
因此，当计算时步内出现断点时，从微分方程解的存在性和唯一性考虑，必须将求解过程以断点时刻作为边界。

因此，如果按照严格的数学理论，在交直流电力系统电磁暂态仿真中，必须以断点时刻作为边界一个时间段接着一个时间段地进行网络求解。

但这种做法在工程实践上相当不方便，特别是当一个时步内出现多个断点时，处理起来效率极低。

因此，目前商业化的电力系统电磁暂态仿真程序在断点的处理上都有自己一些独到的做法。

式及其特点（续7）
现假定Tn时刻为网络断点，则Tn+1=Tn+h点网络的解与Tn+（断点后瞬间）时刻网络中储能元件上的电流和电压有关。

但对于任何一种储能元件，在断点时刻，电流和电压两个量中只能保证一个是连续的，即其中只有一个量（该元件的状态量）可以直接取自断点前一瞬间（Tn-）的值，而另一个量（状态量的导数）必须采用其它方法来求出，否则梯形离散化模型无法起动。

如果仍然使用断点前一瞬间（Tn-）状态量的导数值来计算断点后的网络状态，极有可能引起数值振荡。

式及其特点（续8）
目前，电力系统电磁暂态仿真的一种成功做法是采用后退Euler公式来进行断点后第一步的计算，并且步长减半，从断点后第二步开始再使用梯形公式，这样就避免了梯形公式在断点处理上的困难。

第3章
集中参数元件的离散化伴随模型
第4章
集中参数多相输电线路的离散化伴
随模型
集中参数多相输电线路的离散化伴
随模型
当采用物理模拟时，输电线路的分布参数效应往往用多级集中参数的π型等效电路级联来模拟。

当采用数字仿真时，有时也采用这种方法来模拟输电线路。

其优点为：(1) 它不受线路参数矩阵是否平衡的限制，(2) 对感兴趣的任何一根单导线（包括地线）都可作为多相输电线路中的一相来处理。

缺点是：(1) 计算效率很低，模拟一条输电线路就要耗费很多节点，(2) 容易产生虚假振荡（spurious oscillation）。

第5章
分布参数单根无损线的Bergeron模
型
第6章
分布参数单根小损耗线路的Dommel
模型
第7章
分布参数多相耦合输电线路的K. C. Lee模型
K. C. Lee 模型的推导（续1）
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第8章
分布参数多相耦合输电线路的扩展Bergeron模型
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