向量的概念、表示和线性运算

向量的概念、表示和线性运算

1．向量的有关概念

2.向量的线性运算

4.中线定理：在中，已知是中

边的中线，则

5.重心定理：在

中，

是

的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）则

，；

6.三点共线的结论：存在实数,等于已知三点共线；

7..在中，则通过的内心；

练习题

1．下列命题中，正确的是（）

A. 若|a|=|b|，则a=b

B. 若a=b, 则a与b是平行向量

C. 若|a|>|b|, 则a>b

D. 若a与b不相等，则向量a与b是不共线向量

2. 以下四个命题中不正确的是（）

A. 若a为任意非零向量，则a//0

B. | a+b|=|a|+|b|

C. a=b，则|a|=|b|，反之不成立

D. 任一非零向量的方向都是惟一的

3．下列四个命题：

①长度相等的向量是相等向量；②相等向量是共线向量；

③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④在△ABC中，AB BC AC

++≠0.

其中真命题的是()

A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④

4．已知m∈R, 下列说法正确的是（）

A. 若m a =0，则必有m=0

B. 若m≠0,a≠0，则m a的方向与a同向

C. 若m≠0,则|m a|=m| a|

D. 若m≠0,a≠0，则m a与a共线

5.已知正方形的边长为1，=a，=b，=c,则|a+b+c|等于（）

A. 0

B. 3

C. 2

D. 22

6.设（+）+（+）= a, b≠0,则在下列结论中，正确的有（）

①a∥b; ②a + b = a; ③a + b = b; ④｜a + b｜＜｜a｜+｜b｜

A．①②B．③④C．②④D．①③

7. 已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC. 则

①CA CB CA CB

-=-;

-=+;②AB AC BA BC

-=-;③CA BA CB AB

④222

+=-+-. 其中正确命题的个数为（）

CA CB AB AC BA CA

A．1B．2C．3D．4

8. 已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，若点M是ABC

+-为（）

∆的重心,则MA MB MC A．0B．4ME C．4MD D．4MF

A

B

C

D a

b c d

e

f

9. 已知=a +5b ，BC =－2a +8b ，CD =3（a －b ），则（ ）

A. A 、B 、D 三点共线 B . .A 、B 、C 三点共线C. B 、C 、D 三点共线

D. A 、C 、D 三点共线

10. 在△ABC 中，AB ＝a ，AC ＝b ，试用a 和b 来表示三条中线向量AD BE CF 、、的式子依次为( ) A 、12 ( a ＋b )、12 ( b －a )、12 ( a －b ) B 、12 a ＋b 、12 b －a 、1

2

a －b

C 、12 ( a ＋b )、12 b －a 、12 a －b

D 、12 ( a ＋b )、12 b －a 、1

2

( a －b )

11．a 、b 不共线，A 、B 、C 三点共线，且AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb (λ、μ∈R ).则 ( )

A 、λ＝μ＝－1

B 、λ＝μ＝1

C 、λμ＋1≠0

D 、λμ－1＝0 12. 已知P 为△ABO 所在平面内的一点，满足OA OB OP OA

OB

=

+，则P 在( )

A 、∠AO

B 的平分线所在的直线 B 、线段AB 的中垂线上 C

、AB 边所在的直线上 D 、AB 边的中线上

A ．

211 B ． 311 C ．511

D ．

9

11

14. 若|a |＝|b |＝| a ＋b |＝1，则| a －b |＝ .

15. 设|a |=8，|b |=12，则|a+b |的最大值是 ，最小值是 . 16. 在四边形ABCD 中，根据图示用一个向量填空：

a +

b = , b +

c = , c +

d = . 17. 若G 是△ABC 的重心，则GA GB GC ++＝ .

18. 已知e 1和e 2是两个不共线的向量，而a =k 2

e 1+(5

12

-k)e 2与b =2e 1+3e 2是两个共

线向量，则实数k= .

19．(2015·高考全国Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →

，则( )

A.AD →＝－13AB →＋43AC →

B.AD →＝13AB →－43AC →

C.AD →＝43AB →＋13AC →

D..AD →＝43AB →－13AC →

20.设两个非零向量a 与b 不共线，

(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →

＝3(a －b )，

求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向．