第3章动量与角动量
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第3章_动量与角动量
m a/2
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
第三章 动量与角动量
在光滑桌面上运动，速度分别为
v1
10i ,
v2
3.0i
5.0
j
（SI制）碰撞后合为一体，求碰撞后的速度？
解：方法一，根据动量守恒定律
m1v1 m2v2 (m1 m2 )v
解得：
v
7i
25
j
7
方法二，利用动量守恒分量式：
(m1 m2 )vx m1v1x m2v2x vx 7m / s
例 题 12
12、一子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为 F 400 4105 t
3
（SI），子弹从枪口射出时的速率为300m/s。假设子弹离
开枪口时合力刚好为零，则
（1）子弹走完枪筒全长所用的时间；
（2）子弹在枪筒中所受力的冲量； （3）子弹的质量 m ；
解：（1）根据题意，子弹离开枪口时合力为零，
f mg
f t(N)
30N L L L 0 t 4 30 ft 70 10tL 4 t 7
0
Ft ft f
t(s) 47
当 t 4s 时 Ftt mv4 mv0 v4 8m / s
(2)当 t 6s 时
6
4 Ftdt mv6 mv4 v6 v4 8m / s
人造卫星的角动量守恒。
A1 : L1 mv1(R l1)
l2
l1 m
A2 : L2 mv2 (R l2 )
A2
A1
mv1(R l1) mv2 (R l2 )
v2 6.30km/s
v2
v1
R l1 R l2
o
B
大学物理课件 第3章 动量 角动量
例 如图所示,一个有四分之一圆弧光滑槽的大物体,质量为 M, 置于 光滑的水平面上。另一质量为m的小物体从圆弧顶点由静止开始下滑。 求当小物体m滑到底时，M滑槽在水平上移动的距离。
解 以 M和 m 为研究对象，其在水平方向不受外力（所受外力都 在竖直方向），故水平方向动量守恒。
设在下滑过程中，m相对于M的滑动速度为m ， M 对地速 度为 M ，并以水平方向右为正，则有
t
问题 结果与m与槽M间是否存在摩擦有关系吗？
3. 质心运动定理
C
mii mc m i 1 质点系的动量 p mc
i 1
m
n
rC
mi ri
n i 1
m
n
i i
质点系的动量等于质点系的质量乘以质心的速度。 注 质点系的动量的两种表达式
n p mii , p mc
pA m j ,
pB mi
y
B
I AB pB pA m (i j )
C
pC m j
o
A
x
I AC pC pA 2m j
质点的动量定理
例 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时，物体 位于原点，速度为零。设物体在力(F=3+4t)N作用下运动了3秒， 求此时它的速度和加速度。 解
3.2
角动量定理 角动量守恒定律
3.2.1 质点的角动量定理及守恒定律
1. 力矩
讨论
力F 对定点O 的力矩 Mo F r F
单位：牛 米（N m）
(1)力矩的大小和方向
所组成的平面，指向是由 180 的角转到 F 时的右手螺旋前进的方向
①方向垂直于 r 和 F o
r 经小于
x 方向： m sin m0 sin 0 y 方向： ( f mg )t m cos m0 cos sin 由第一式 0 sin
第3章动量角动量
(3)动量守恒定律只适用于惯性系, 使用时所有速度必须相 对于同一惯性系。
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
第3章 动量与角动量12
动量和力是矢量，使用动量定理可沿坐标轴分解用分量计算。
t1
质点所受合外力的冲 量在某一方向上的分量等 于质点动量在该方向上分 量的增量。
四、质点的动量定理的应用
例 1:质量为 m 的物体,原来向北运动,速率为vo,它突然受到外力的打击, 变为向东运动，速率为 3vo。求打击过程外力的冲量大小和方向。
第3章 动量与角动量
（momentum and angular momentum）
§3.1 冲量与动量定律
一、冲量 I : 描述力的时间累积作用的物理量。
1.定义:
t2 I Fdt
t1
单位:N•∙s
分量式：
注意：冲量是过程矢量，称为一段时 间 的冲量。其方向和大小取决于力的 大小和方向及其作用时间。
Fn
t n
t0
n n ( Fi ) d t mi vi mi vi 0
i 1
i 1
i 1
P
系统所合外力的冲量等于该系统动量的增量 -------质点系动量定理。
§3.2 动量守恒定律
一、质点动量守恒定律:
t2
t1
Fdt P
当
F 0时
y
0
m
0
M x
V
问题延伸： 1.沙箱刚摆动时悬线受到 的拉力有多大？ 2.子弹射入沙箱过程中受 到的冲量有多大？
m 解得： V v0 mM
运用动量守恒定理解题步骤：
1. 选系统，确定研究对象，建立坐标系；
2. 找出研究过程，分析系统受力；
3. 合外力为零时，可用动量守恒定理列方程求解。（一般 在给定坐标系下用分量形式列方程。） 4.若合外力不为零，但某个方向上合外力为零，可运用该 方向上动量守恒列方程求解。 注意 列方程时各物理量均用字母表示，不要代数值， 所有表示未知量的字母前都取“正号”，当最终 解得结果大于0时，说明它的方向与选定的坐标轴 正方向相同，否则相反。
第三章动量和角动量.ppt
力在时间上的积累效应：
平动
冲量
动量的改变
转动
冲量矩
角动量的改变
力在空间上的积累效应 功
改变能量
本章从牛顿力学出发给出动量和角动量的定义，推 导这两个守恒定律，并讨论它们在牛顿力学中的应 用。下一章讨论能量。
2
§3.1 冲量与动量定理
一、冲量
dI Fdt 力的时间积累
t'
I F( t )dt t0
美国科学家一再强调，这次撞击不会摧毁彗星或使彗 星偏离其运行轨道进而撞击地球。
11
§3.2 动量守恒定律
一、质点系的动量定理
1、两个质点的系统 质点系（内力、外力）
内力： f f ' 外力：F1 , F2
m1 : f , F1
F1
f
dp1 dt
f
F1
m2 : f ', F2
第三章 动量与角动量
（Momentum and Angular Momentum）
1
牛顿定律是瞬时的规律。能量、动量和角动量是最基 本的物理量。它们的守恒定律是自然界中的基本规律， 适用范围远远超出了牛顿力学。
在有些问题中，如：碰撞（宏观）、散射（微观）， 我们往往只关心过程中力的效果——力对时间和空间 的积累效应。
or
Pi
mi vi
常矢量
i
i
一个质点系所受的合外力为零时，这一质点 系的总动量就保持不变。
16
2、分量形式 当某个方向系统所受的合外力为零时，则 在该方向上系统的动量守恒，即有
当 Fx=0 时， m1v1x m2v2 x ... mnvnx px =常量 当 Fy=0 时， m1v1 y m2v2 y ... mnvny p y =常量 )
第三章-动量-角动量
对于同一点的角动量对时间的变化率，这一结论称为质点的角
动量定理。
质点的角动量定理可以写为
Mdt dL
其中 Mdt 称为dt 时间内力矩 M对质点的冲量矩。两边
积分有：
t2 t1
Mdt
L2
L1
上式表明：作用于质点的合外力矩M 从 t1 到 t2 时间间隔 内的冲量矩，等于质点在同一时间间隔内角动量的增量。
力心
例4、一质点在x-y平面内运动，已知质点的质量为20 g，在A 、
B 两位置处的速率都是20 m/s ，vA与X轴成45 o角，vB垂 直于y轴。求质点由A点到B点这段时间内，作用在质点
上外力对O点的总冲量矩（已知OA=2m，OB=4m）。
解： 由质点的角动量定理知：
y vB B
由A到B，角动量的方向均垂 直于x-y平面向上
标量式为
(3-5)
对于冲量 I 应注意：
（1）冲量是力对时间的积累作用。
I
t2
Fdt
t1
mv1
mv
mv2
（2）冲量是矢量，其方向与动量增量方向相同。 即 I 的方向与 P 或 mv 的方向相同。
对动量原理应注意：
（1） F 是指物体所受的合外力，I 是合外力的冲量。 （2） 动量原理是矢量式，常用其分量式。 （3） 动量原理用于惯性系。
②已知炮弹对炮车的相对速度为v ，仰角
为时速θ ，度由v速’ 的度水叠平加分原量理为，炮弹对V地的瞬
v’ x = v cosθ – V
系统总动量为 m (v cosθ - V) – MV 系统总动量的水平分量守恒方程：
m (v cos θ - V) – MV = 0
代入数字 解得：
v v
3-动量与角动量.ppt
y
h
o
l
x
dm dS (l x )h d S y d x (l x ) ta n d x dx l M S lh / 2
y
y
h
xc
M l2 hl2 h 2 1 2 3 xc l l l M 3 3
xdm
0
l
v2
v1
60o
因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动 量改变，基本上由打击力的冲量决定。 重力、阻
力的冲量可以忽略。
mv2
60o
mg t
mv1
打击力冲量 F t
F t m v m v 2 1
F t m v m v
2 1
F t
30o 60o m=140g
o
rc
【思考】写出上式的分量形式
x y z
c
N
m m
N
i 1
i
x
i
c
m m
N
i 1
i
y
利用分量形式很容 易求得一些几何形 状对称和结构均匀 物体的质心位矢，
i
m m
c
i 1
i
z
i
例如：均匀直棒、 均匀圆盘、均匀球 体等 其质心就在几何对 称中心上
fi
m
i
由N个质点构成的系统
i ,j 1 , 2 , , N
ri
1、内力和外力
fji 内力： fij 外力：fi , fj
惯性系 o
rj
fij f ji m j
第3章 动量与角动量
1) 人匀速运动，到达车尾时小车的速度为(由上式解得)： u=l/t
v v0
m uv m l 0 M m M mt
2)车的运动路程为： 由于人匀速运动，即u为常量，故小车的运动速度v 也为常量。此时车的运动路程可用 s=vt 进行计算。
m l m s vt (v0 )t v 0 t l Mm t Mm
f AB F f
A
N
mA g
f BA
N AB mB g 外力： 推力F , A的重力mA g , B的重力mB g , 地面对质点系的滑动磨擦力f , 地面对质点质的支持力N . 内力： AB间的静摩擦力f AB和f BA , AB间的正压力N AB和支持力N BA
M 大小：M rF sin 方向：右手螺旋法则
由力矩的定义可知： M r F
2、角动量
O 定义： 一个质点相对于参考点 的角动量等于 质点位置矢量 与其动量mv 的矢量积。 r
o m
L
L r mv mv r
L
L
例：一个物体在空中炸成几块，在忽略空气阻力的情况下， 这些碎块受到的外力只有竖直向下的重力，因此它们的总 动量在水平方向上的分量守恒。（某方向合外力为零，则 该方向动量守恒）
4、动量守恒定律是由牛顿定律导出的，只适用于惯性 系。（更广义的动量守恒定律不依赖于牛顿定律，是 自然界中的基本定律）
例2、 如图,车在光滑水平面上运动,已知人的质量m, 小车的质量M ,车长l ,小车的运动速度v0 人逆车运动,方向从车头经时间t到达车尾. 求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度； 2、车的运动路程； 3、若人以变速率运动，上述结论如何？ m 解：以人和车为研究系统，取 v0 u 地面为参照系。水平方向系统 M 不受外力作用，动量守恒。 x
第三章动量与角动量分解
dP
dt F
dt
dt
dL
v
mv
r F
dt
称：M r F
dL
v mv
rF
dt
为质点所受合外力对同一固定点o的合外力矩
大小：M＝Frsin (为矢径与力之间的夹角)
方向：右手螺旋定则
单位v：mmNv
dL
＝0
M
o
r
F
rF M
dt
M
dL
角动量定理：质点所受的合外力矩
解：卫星在运动中仅受地球的引力（其他引力比此小得多， 可忽略），该引力始终指向地心O，因而对O的外力矩为 零，所以卫星对O的角动量守恒。
卫星在近地点的角动量 L1 mv1 (R l1 )
卫星在远地点的角动量 L2 mv2 (R l2 )
因角动量守恒 mv1 (R l1 ) mv 2 (R l2 )
t
0 (N-mg)dt mvz mv0 m 2gh
Nt mgt m 2gh 6.5
N
1 2h
0.55 56
1
1
mg t g
t
5.5×102
△t为10-1s、10-2s、10-3s、10-4s 5.5×103
计算结果表明，撞击作用持续时间愈短，平均 冲击力N与重力之比就愈大。若作用的持续时间 只有10-4秒时，N比mg要大5500倍，相比之下 重力微不足道。因此，在许多打击和碰撞问题 中，只要持续作用时间足够短，略去诸如重力 这类有限大小的力是合理的。
I
t2
Fdt＝P
mv2
- mv1
t1
质点所受合外力Biblioteka 冲量，等于该质点动量 的增量。这个结论称为质点的动量定理。
3.量和角动量
质点系的动量定理 （微分形式） 质点系的动量定理 （积分形式）
p2 持续一段时间： F外dt dp p2 p1
I 外 p2 p1
质点系受到的合外力的冲量等于质点系动量的增量
例1. 木板B静止置于水平台面上，小木块A放在B板的一端上，小木块 A与木板B之间的摩擦系数为 1 ，木板B与台面间的摩擦系数为 2 ， 现在给小木块A一向右的水平初速度 v0 ，问经过多长时间A，B恰好具 有相同的速度？（B板足够长）
Lx ypz zpy Ly zpx xpz Lz xpy ypx
px
py
pz
（4）相对性 ① 对不同的参考系，矢径不同，动 量不同，角动量也不同。 ② 参考点不同， 矢径不同，动量不同，角动量也不同。
L
2、作圆周运动质点的角动量
L r mv
大小 : L mvr mr
根据动量定理，1秒钟内水受到弯管的冲量: I mv 2 mv1
作矢量关系图，可得：
I mv1 / cos 45 3 103 10 / cos 45 4.24 104 Ns
解：设水流在水管中的速度经弯道后大小未发生变化，方向发生了 变化，如图所示。根据题意，1秒钟内流过的水的质量 m 3 103 kg
x
F Fx
2mv cos Fy t mv2 y mv1 y mv sin α mv sin 0 2mv cos
t 14.1 N
mv1
mv2
y
方向沿
x 轴反向
例2：水管有一段弯成90°，已知管的流量为 3 103 kg / s , 流速为 10m/s, 求水流对此弯管的压力的大小和方向。
p2 持续一段时间： F外dt dp p2 p1
I 外 p2 p1
质点系受到的合外力的冲量等于质点系动量的增量
例1. 木板B静止置于水平台面上，小木块A放在B板的一端上，小木块 A与木板B之间的摩擦系数为 1 ，木板B与台面间的摩擦系数为 2 ， 现在给小木块A一向右的水平初速度 v0 ，问经过多长时间A，B恰好具 有相同的速度？（B板足够长）
Lx ypz zpy Ly zpx xpz Lz xpy ypx
px
py
pz
（4）相对性 ① 对不同的参考系，矢径不同，动 量不同，角动量也不同。 ② 参考点不同， 矢径不同，动量不同，角动量也不同。
L
2、作圆周运动质点的角动量
L r mv
大小 : L mvr mr
根据动量定理，1秒钟内水受到弯管的冲量: I mv 2 mv1
作矢量关系图，可得：
I mv1 / cos 45 3 103 10 / cos 45 4.24 104 Ns
解：设水流在水管中的速度经弯道后大小未发生变化，方向发生了 变化，如图所示。根据题意，1秒钟内流过的水的质量 m 3 103 kg
x
F Fx
2mv cos Fy t mv2 y mv1 y mv sin α mv sin 0 2mv cos
t 14.1 N
mv1
mv2
y
方向沿
x 轴反向
例2：水管有一段弯成90°，已知管的流量为 3 103 kg / s , 流速为 10m/s, 求水流对此弯管的压力的大小和方向。
第3章 动量与角动量
i j
Fj
i j
N
f ji
dp j dt
Fi
pj
fi j
· · · fj i
· j
对所有粒子求和
Fj
i 1
N
Fi
i 1 i j
d f ij dt
i 1
N
pi 内力和
i 1 i j
N
f ij 0
(7)
d N Fi dt pi i 1 i 1 N N 合外力：F Fi 总动量：P pi i 1 i 1 t2 2 dP F t1 Fdt 1 dP P2 P1 dt
(12)
例6: 三只质量均为M的小船鱼贯而行速率均为v,如中 间小船以相对速率u向前后二船同时抛出质量均为m 的物体, 求:二物体落在前后二船上以后三只小船速度 各为多少? v 解: 1) 以小船1及m为研究对象, 运用动量守恒定律 u u
Mv m(v u) ( M m)v1 mu v1 v M m
(5)
§3.2 质点系的动量定理 (Theorem of momentum for system of particles) 一、质点系 把相互作用的若干个质点看作为一个整体, 这组质 点就称为质点系. F1 二、质点系的动量定理 F2 f1 内力: f1 , f 2 m1 m1 , m2 系统 m2 外力: F1 , F2 f
(2)
1)冲量 I 的方向: 是动量增量的方向, 并不是合外力
注意:
的方向, Δt 时间内平均合外力的方向是冲量的方向 2)直角坐标系中: I I x i I y j I z k t2 I x Fx dt P2 x P1 x mv2 x mv1 x 分量式:
动量与角动量
注：质心位矢rc 与坐标系的选择有，
其相对于质点系内各质点的相对位 置是不会随坐标系的选择而变化的， 即质心是相对于质点系本身的一个 特定位置。
i
m
二. 质心的计算
z
C
rC
y x
图3.4 N个质点组成的质点系
质量连续分布的物体 (微元?)
xdm xC m ydm yC m zdm zC m
y
dm
0
x
y
b
xC
xdm
m
O
x dx
动力学30
a
x
例3.9一段均匀铁丝弯成半圆形，其半 径为R，求半圆形铁丝的质心。
作业：3.12
3.5 质心运动定理
一、质心运动定理
rC
mi ri
i
m
dri mi drc dt i vc dt m
mi vi
矢量法
I F t (mv1 ) 2 (mv2 ) 2 2mv1mv2 cos120 3mv
3mv 3 0.14 40 F 8.1103 N t 1.2 103
例3.3一辆装煤车以v=3m/s的速率从煤斗下面通过，每秒 落入车厢的煤为△m=500kg。如果使车厢的速率保持 不变，应用多大的牵引力拉车厢？
以F 表示喷出气体对火箭体推力
根据动量定理： Fdt ( M dm) (v dv) v Mdv
又由 udM Mdv 0 可得Mdv udM udm dm F u dt 上式表明，火箭发动机的推力与燃料燃烧速率
(dm / dt )及喷出气体的相对速度u成正比。
大学物理课件第3章 动量与角动量
§3.3 动量守恒定律 质点系所受合外力为零， Σ 时间改变，即
Fi = 0 总动量不随
N P pi 常矢量
i 1
1. 合外力为零，或外力与内力相比小很多；
2. 合外力沿某一方向为零；
p i
i
const .
3. 只适用于惯性系； 4. 比牛顿定律更普遍的最基本的定律。
M r F
力
M F d F r sin
提问:力矩为0的情况?
力矩
Lrp
动量
N m 矢量性: r F
单位:
三、角动量定理
pr p v pr F Lr 角动量定理： r F M (力矩)
q
v
V
v sinq
v cosq V
解：设车相对地面的反冲速度为V，方向水平向左 炮弹相对地面的速度水平分量为 v cosq V mv cosq 水平方向动量守恒 m(v cosq V ) MV 0 解得V
炮弹相对地面的速度竖直分量为 v sinq
m M
v sinq tg v cosq V
t2
mg
3秒时物是否被拉起？
F cos f 0 N F sin mg 0 f N t1 1.9 s
I x 0.62 Kgm / s
t1
F
x
dt 1.12t (cos sin ) mg dt
3
I x mvx 0 0.62Kgm / s
6
h
v
0
N =
m 2gh
τ
m 工件
mg
大学物理第三章动量与角动量分解
相碰时的相互作用内力为 f 和f
同时受系统外其它物体的作用外力为 F1和F 2
d P1 对质点m1: F1 f dt d P2 对质点m2:F2 f dt
两式相加,得
13
f f
d P1 d P2 F1 F2 f f dt dt
d F1 F2 ( P1 P2 ) dt ( F1 F2 )dt d ( P1 P2 ) ( m1 1 m2 2 ) ( m1 10 m2 20 )
由牛顿第三定律有： f ij 0
i j i
15
d t d pi 所以有： ( Fi） i i 令 Fi F外 ， pi P
则有：
F外 d t d P
F外 dP dt
i
i
或
质点系动量定理 （微分形式）
t2 F t1 外
m’ N
已知μs
解:箱子是否下滑,决定于物体坠入 箱子时,在冲力的作用下箱子的受力 是否
mgsin f s mg cos s tg
当一物体竖直坠入箱中,在冲力作用下,时的瞬间应满足:
s ( mg cos F cos ) ( mg sin F sin ) ma
力在时间上的积累效应：
平动 冲量，改变动量 转动 冲量矩，改变角动量
2
1、冲量（impulse）
定义:力对一段时间的积累
t2 大小： I ＝ Fdt
t1
F F
方向：速度变化的方向 单位：N· s 0 t
量纲：MLT－1
微分形式: d I F d t d p
v 2 gh 2 9.80 2 6.26 m/s
第03章 动量与角动量
px py
px0 py0
pz
pz0
(I x 0) (I y 0) (I z 0)
➢ 若系统在某一方向所受的合力为零，则该方向动量守恒 ➢ 外力<<内力时，动量近似守恒。例如碰撞和爆炸
.
二. 碰撞过程中的动量守恒现象
1、两个或两个以上的物体发生时间极为短暂的 相互作用过程叫碰撞。
2、碰撞的特点：作用时间极为短暂。
普遍成立
dt
.
2.2 动量定理
F d d p tF d td p tt0F d tp p 0d p
Ip p 0
质点动量的增量等于合力对质点作用的冲 量 —— 质点动量定理
I
x
I y
px py
p0x p0y
I
z
pz
p0z
➢ 动量定理反映了力对时间的积累效应
.
2.3 平均冲力
I mg(t2 t1)I反冲0
I反冲mg(t2 t1)
.
例 质量为 m 的匀质链条，全长为 L，
开始时，下端与地面的距离为 h , 当链
条自由下落在地面上时
求 链条下落在地面上的长度为 l ( l<L )时，地面 所受链条的作用力？
解设
ml
l
m L
l
链条在此时的速度 v 2g(lh)
Lm
h
dm
根据动量定理 fdt0(vdt)v
完全弹性对心碰撞过程中的守恒量：
动量守恒 机械能守恒
F内>>F外，且作用时间短， 外力的冲量可以忽略不计。
.
例: 在一个半径为R的固定光滑球面的顶点处有一个质量为 M的静止木块。现有一质量为m的子弹以速度v0水平射入木 块之中，然后与木块一起沿着球面下滑。试求：1、木块飞 离球面时，其连线与竖直方向的夹角；2、子弹的初速度为
第3章：动量与角动量.ppt
解：以竖直悬挂的链条和 桌面上的链条为一系统，
m2
O
建立如图坐标，则：
F ex m1g yg
m1
y
由质点系动量定理得：
F exdt dp
y
F exdt dp
又 dp d(yv)
ygdt d(yv)
则
yg dyv
dt
两边同乘以 yd y 则：
y2gdy ydy dyv yv dyv
dt
g y y 2 d y yv yv dyv
0
0
m2
O
m1
y
y
1 gy3 1 yv2
32
v
2
gy
1 2
3
3.2 动量守恒定理
质点系动量定理：I t t0
Fiexdt
pi
pi0
动量守恒定律
若质点系所受的合外力为零：Fex Fiex 0
速率和角度弹回来。设碰撞时间为 0.05s。求此时间
内钢板所受到的平均F冲力 。
解：建立如图坐标系，由动量定理
Fxt mv2x mv1x
mvcos (mvcos)
x
mv1
2mv cos Fyt mv2y mv1y
m v2
mvsinα mvsin 0
p0 p
0 0
t2
t1
(F1
F12 )dt
m1v1
m1v10
t2
t1
(F2
F21 )dt
m2v2
m2
O
建立如图坐标，则：
F ex m1g yg
m1
y
由质点系动量定理得：
F exdt dp
y
F exdt dp
又 dp d(yv)
ygdt d(yv)
则
yg dyv
dt
两边同乘以 yd y 则：
y2gdy ydy dyv yv dyv
dt
g y y 2 d y yv yv dyv
0
0
m2
O
m1
y
y
1 gy3 1 yv2
32
v
2
gy
1 2
3
3.2 动量守恒定理
质点系动量定理：I t t0
Fiexdt
pi
pi0
动量守恒定律
若质点系所受的合外力为零：Fex Fiex 0
速率和角度弹回来。设碰撞时间为 0.05s。求此时间
内钢板所受到的平均F冲力 。
解：建立如图坐标系，由动量定理
Fxt mv2x mv1x
mvcos (mvcos)
x
mv1
2mv cos Fyt mv2y mv1y
m v2
mvsinα mvsin 0
p0 p
0 0
t2
t1
(F1
F12 )dt
m1v1
m1v10
t2
t1
(F2
F21 )dt
m2v2
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由
称为 冲量矩
角动量的增量
这就是质点的 角动量定理 的积分形式
例1 圆锥摆如图，摆线长l，小球质量m，速率为v, 垂直纸面向外，取悬挂点O为参考点。 求:摆球所受力矩和摆球角动量。 T
l
O
解：摆球受张力和重力
张力对O点力矩为零？
摆球所受重力矩大小
L
M m glsin
方向⊙ 方向如图
v
2
120 0 900
P1 P2 P3 0
m1 , v
水平方向： m1v m2 v cos600 m3v cos300 0 竖直方向： m v sin 600 m v sin 300 0 3 2
联立求解可得三块物体的质量比为：
m3 , v
无外力作用下，两个作惯性运动的质点发生弹性碰撞 碰 撞 前
m1
01
m2
02
图中
1
= 2 = =
1
2
01 02
而且普遍满足：
（ 碰 撞 后
m1
1 ） (积总是大小相等 方向相反。 经典力学中，物体质量保 持恒定，上式可写成
1
02
2
2
（ 2 ） 1） 2 可见，质量与速度乘积的大小和方向 及其变化，是反映物质运动和相互作用普 遍规律的一个重要的物理量。
t2 t1
p x Fx dt p y F y dt
t1 t2
p2
pz Fz dt
t1
t2
随堂练习一
应用动量定理求解平均阻力
例3如图所示，在光滑的平面上，质量为 m 的质点以角 速度 沿半径为 R的圆周匀速运动. 试分别用积分法和 动量定理，求出 从 0 到 / 2的过程中合外力的冲量. v2 解 用积分法求解如下： 加速度a 0, an 2 R m R F (t ) t t 2 I F ( t ) dt mR ( cos i sin j )dt t t o R 2 d
取小于
的转向
大小
方向 垂直于
乘
所决定的
平面， 指向右螺旋
叉
的旋进方向。
角动量 又称 动量矩
例： 水平面上质点做匀速圆周运动 质点对圆心的角动量：
L O
v r a m
L r p r mv L = rmv 方向如图
动量不断改变， 但对圆心角动量大小和方向不变。
注意:
加速飞行中的火箭
火箭速度微分式
多级火箭与质量比
神七 使用了……
随堂练习二
续练习二
随堂练习三
例4 一个原来静止在光滑水平面上的物体，突然列成了三块， 且以相同的速率沿三个方向在水平面上运动，各方向之间的 夹角如图所示.求三块物体的质量比. m ,v
解 设三块物体的速率均为 ，由于原来静止， 而且在列解过程中不受外力的作用，所以它们的 动量守恒. 于是有：
逆风行舟予备简例
动量定理简例
坚壁竖立在水平上。
逆风行舟动量分析
[例2]一装沙车以v =3m/s的速率从沙斗下面通过。每秒钟落入车厢 的沙为 m 500kg ，如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵 引力？(车与轨道的摩擦不计) 解： 设m为t 时刻已落入车厢的沙的质量 以m和dm 为研究系统 t 时刻水平总动量为 mv dm 0 mv
dm dx
m l
l dm o x m dx
x
质元受阻力矩：
m l 1 1 l 2 M阻 dM阻 0 gxdx gl mgl 2 2
细杆受的阻力矩
dM阻 dmgx
质点的角动量
惯性系中某 给定参考点
质点的动量
质点对参考点O 的角动量
生活中的动量与角动量
安全气囊 船行“八面风”
冲击摆
旋 转 的 星 云
跳马腾空
力学(Mechanics)
第三章 动量与角动量
§3.1 冲量与质点的动量定理 §3.2 质点系的动量定理 §3.3 动量守恒定理
§3.4 质点的角动量定理
§3.5 角动量守恒定律
§3.6 质点系角动量定理与守恒
质量与动量概念提出
冲量概念
力在时间上的积累，即冲量impulse ，用 I 表示。 恒力的冲量
(t1 → t2)： F (t t ) F t I 2 1 z
变力的冲量
t2 t
元冲量： dI F dt t (t → t )： I t Fdt
2
1 2
F
F (t ) o R
m v1
课前练习
四
1.质点动量定理的微分形式及其文字表述：
或
质点动量的元增量等于它获得的元冲量。 2.质点动量定理的积分形式及其文字表述：
t t0 p p0
0
质点动量的增量等于它获得的冲量。
第 i 个质点 受系统内其它质点作用的合力：
对各质点应用质点的动量定理
第 i 个质点 受系统外部作用的合力：
应用质点的角动量守恒定律可以证明 开普勒第二定律
开普勒第二定律
行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积
天上的立法者——开普勒 约翰．开普勒（1571-1630），德国近代著名的 天文学家、数学家、物理学家和哲学家。他以数学 的和谐性探索宇宙。继哥白尼之后第一个捍卫太阳 中心说，被后世的科学史家称为“天上的立法者”。 1571年12月27日，出生在德国一个贫民家庭。四 岁时患上了天花和猩红热，视力衰弱，一只手半残。 他用古希腊人已经发现的五个正多面体，跟当时巳知 的六颗行星的轨道套迭，从而解释了太阳系中包括地 球在内恰好有六颗行星以及它们的轨道大小的原因。 他把这些结论整理成书，名为《宇宙的秘密》。该设 想虽带有神秘色彩，但却也是一个大胆的探索。 对火星轨道的研究是开普勒重新研究天体运动的起点。用正圆编制火 星的运行表，发现火星老是出轨。在进行了无数次试验后，他找到了与事 实较符合的方案。可是，依照这个方法来预测卫星的位置，却跟第谷的数
mg
O
摆球角动量大小 选另一参考点
L mvl
O ???
质点的角动量守恒定律
根据质点的 角动量定理
若 即
则
常矢量 当质点 所受的合外力对某参考点 的力矩 为
为零时，质点对该点的角动量的时间变化率 零，即质点对该点的角动量
称为
守恒。
若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕 太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。
F
v 2 gh 2 9.80 2 6.26m/s
2mv 2 0.58 6.26 2 F 3.82 10 N t 0.019
t2
平均冲力
F
F ( t )dt t 2 t1
直 角 坐 标 系 中
t1
p1
p
p2 p1 t 2 t1
大小 例题
张力 通过 点 力矩为零
重力 的力矩 等于合外力矩 大小为 除了在通过平衡位置 的一瞬 间，角动量的时间变化率为零外， 其它位置均不为零。
若忽略其它天体的作用力，太阳 系中某一行星所受的合外力总是指 向太阳。若以太阳为参考点，则
合外力矩大小
角动量的大小不随时间变化
质点角动量定理也可用积分形式表达
质点动量定理 的积分形式为 t t0 p p0
0
质点动量的增量等于它获得的冲量。
平均冲力
F
t
t2
1
F dt
F
t 2 t1
p t
F
o
t
t
[例1]已知：一篮球质量m = 0.58kg，从h=2.0m的高度下落，到 达地面后，以同样速率反弹，接触地面时间 t = 0.019s。 求：篮球对地的平均冲力 解： 篮球到达地面的速率
2
2
1
1
dt I mR ( i j )
0
mR
( cos i sin j )dt
v2
用动量定理求解如下：
t1
t2 I F ( t ) dt P2 P1
m(v2 v1 ) mR ( i j )
思路： 分析 由 则
两平行矢量的叉乘积为零
得
质点 对参考点 的
角动量的时间变化率
位置 等于 矢量
所受的 叉乘 合外力
而
续4
大小
方向
是力矩的矢量表达：
即 力矩
垂直于 所决定 的平面，由右螺旋法 则定指向。
的
得
质点
对给定参考点
角动量的时间变化率 称为质点的
所受的合外力矩
角动量定理
的微分形式
如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正向，用 代数法求合力矩。
F1
F2
O x t 1
y
1
质点的动量定理 theorem of momentum of particle
differential form
由力的定义
得
根据力与作用时间的乘积 称为 力的 冲量
的定义
质点动量定理 的微分形式为
或
质点动量的元增量等于它获得的元冲量。 integral form
由质点系的动量定理
微分形式 积分形式
或
或
若
则
定律说明
火箭飞行原理 ―神州”号飞船升空
变质量系统、火箭飞行原理
低速:（v << c）情况下的两类变质量问题： ▲ 粘附 — 主体的质量增加（如滚雪球） ▲ 抛射 — 主体的质量减少（如火箭发射）
称为 冲量矩
角动量的增量
这就是质点的 角动量定理 的积分形式
例1 圆锥摆如图，摆线长l，小球质量m，速率为v, 垂直纸面向外，取悬挂点O为参考点。 求:摆球所受力矩和摆球角动量。 T
l
O
解：摆球受张力和重力
张力对O点力矩为零？
摆球所受重力矩大小
L
M m glsin
方向⊙ 方向如图
v
2
120 0 900
P1 P2 P3 0
m1 , v
水平方向： m1v m2 v cos600 m3v cos300 0 竖直方向： m v sin 600 m v sin 300 0 3 2
联立求解可得三块物体的质量比为：
m3 , v
无外力作用下，两个作惯性运动的质点发生弹性碰撞 碰 撞 前
m1
01
m2
02
图中
1
= 2 = =
1
2
01 02
而且普遍满足：
（ 碰 撞 后
m1
1 ） (积总是大小相等 方向相反。 经典力学中，物体质量保 持恒定，上式可写成
1
02
2
2
（ 2 ） 1） 2 可见，质量与速度乘积的大小和方向 及其变化，是反映物质运动和相互作用普 遍规律的一个重要的物理量。
t2 t1
p x Fx dt p y F y dt
t1 t2
p2
pz Fz dt
t1
t2
随堂练习一
应用动量定理求解平均阻力
例3如图所示，在光滑的平面上，质量为 m 的质点以角 速度 沿半径为 R的圆周匀速运动. 试分别用积分法和 动量定理，求出 从 0 到 / 2的过程中合外力的冲量. v2 解 用积分法求解如下： 加速度a 0, an 2 R m R F (t ) t t 2 I F ( t ) dt mR ( cos i sin j )dt t t o R 2 d
取小于
的转向
大小
方向 垂直于
乘
所决定的
平面， 指向右螺旋
叉
的旋进方向。
角动量 又称 动量矩
例： 水平面上质点做匀速圆周运动 质点对圆心的角动量：
L O
v r a m
L r p r mv L = rmv 方向如图
动量不断改变， 但对圆心角动量大小和方向不变。
注意:
加速飞行中的火箭
火箭速度微分式
多级火箭与质量比
神七 使用了……
随堂练习二
续练习二
随堂练习三
例4 一个原来静止在光滑水平面上的物体，突然列成了三块， 且以相同的速率沿三个方向在水平面上运动，各方向之间的 夹角如图所示.求三块物体的质量比. m ,v
解 设三块物体的速率均为 ，由于原来静止， 而且在列解过程中不受外力的作用，所以它们的 动量守恒. 于是有：
逆风行舟予备简例
动量定理简例
坚壁竖立在水平上。
逆风行舟动量分析
[例2]一装沙车以v =3m/s的速率从沙斗下面通过。每秒钟落入车厢 的沙为 m 500kg ，如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵 引力？(车与轨道的摩擦不计) 解： 设m为t 时刻已落入车厢的沙的质量 以m和dm 为研究系统 t 时刻水平总动量为 mv dm 0 mv
dm dx
m l
l dm o x m dx
x
质元受阻力矩：
m l 1 1 l 2 M阻 dM阻 0 gxdx gl mgl 2 2
细杆受的阻力矩
dM阻 dmgx
质点的角动量
惯性系中某 给定参考点
质点的动量
质点对参考点O 的角动量
生活中的动量与角动量
安全气囊 船行“八面风”
冲击摆
旋 转 的 星 云
跳马腾空
力学(Mechanics)
第三章 动量与角动量
§3.1 冲量与质点的动量定理 §3.2 质点系的动量定理 §3.3 动量守恒定理
§3.4 质点的角动量定理
§3.5 角动量守恒定律
§3.6 质点系角动量定理与守恒
质量与动量概念提出
冲量概念
力在时间上的积累，即冲量impulse ，用 I 表示。 恒力的冲量
(t1 → t2)： F (t t ) F t I 2 1 z
变力的冲量
t2 t
元冲量： dI F dt t (t → t )： I t Fdt
2
1 2
F
F (t ) o R
m v1
课前练习
四
1.质点动量定理的微分形式及其文字表述：
或
质点动量的元增量等于它获得的元冲量。 2.质点动量定理的积分形式及其文字表述：
t t0 p p0
0
质点动量的增量等于它获得的冲量。
第 i 个质点 受系统内其它质点作用的合力：
对各质点应用质点的动量定理
第 i 个质点 受系统外部作用的合力：
应用质点的角动量守恒定律可以证明 开普勒第二定律
开普勒第二定律
行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积
天上的立法者——开普勒 约翰．开普勒（1571-1630），德国近代著名的 天文学家、数学家、物理学家和哲学家。他以数学 的和谐性探索宇宙。继哥白尼之后第一个捍卫太阳 中心说，被后世的科学史家称为“天上的立法者”。 1571年12月27日，出生在德国一个贫民家庭。四 岁时患上了天花和猩红热，视力衰弱，一只手半残。 他用古希腊人已经发现的五个正多面体，跟当时巳知 的六颗行星的轨道套迭，从而解释了太阳系中包括地 球在内恰好有六颗行星以及它们的轨道大小的原因。 他把这些结论整理成书，名为《宇宙的秘密》。该设 想虽带有神秘色彩，但却也是一个大胆的探索。 对火星轨道的研究是开普勒重新研究天体运动的起点。用正圆编制火 星的运行表，发现火星老是出轨。在进行了无数次试验后，他找到了与事 实较符合的方案。可是，依照这个方法来预测卫星的位置，却跟第谷的数
mg
O
摆球角动量大小 选另一参考点
L mvl
O ???
质点的角动量守恒定律
根据质点的 角动量定理
若 即
则
常矢量 当质点 所受的合外力对某参考点 的力矩 为
为零时，质点对该点的角动量的时间变化率 零，即质点对该点的角动量
称为
守恒。
若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕 太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。
F
v 2 gh 2 9.80 2 6.26m/s
2mv 2 0.58 6.26 2 F 3.82 10 N t 0.019
t2
平均冲力
F
F ( t )dt t 2 t1
直 角 坐 标 系 中
t1
p1
p
p2 p1 t 2 t1
大小 例题
张力 通过 点 力矩为零
重力 的力矩 等于合外力矩 大小为 除了在通过平衡位置 的一瞬 间，角动量的时间变化率为零外， 其它位置均不为零。
若忽略其它天体的作用力，太阳 系中某一行星所受的合外力总是指 向太阳。若以太阳为参考点，则
合外力矩大小
角动量的大小不随时间变化
质点角动量定理也可用积分形式表达
质点动量定理 的积分形式为 t t0 p p0
0
质点动量的增量等于它获得的冲量。
平均冲力
F
t
t2
1
F dt
F
t 2 t1
p t
F
o
t
t
[例1]已知：一篮球质量m = 0.58kg，从h=2.0m的高度下落，到 达地面后，以同样速率反弹，接触地面时间 t = 0.019s。 求：篮球对地的平均冲力 解： 篮球到达地面的速率
2
2
1
1
dt I mR ( i j )
0
mR
( cos i sin j )dt
v2
用动量定理求解如下：
t1
t2 I F ( t ) dt P2 P1
m(v2 v1 ) mR ( i j )
思路： 分析 由 则
两平行矢量的叉乘积为零
得
质点 对参考点 的
角动量的时间变化率
位置 等于 矢量
所受的 叉乘 合外力
而
续4
大小
方向
是力矩的矢量表达：
即 力矩
垂直于 所决定 的平面，由右螺旋法 则定指向。
的
得
质点
对给定参考点
角动量的时间变化率 称为质点的
所受的合外力矩
角动量定理
的微分形式
如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正向，用 代数法求合力矩。
F1
F2
O x t 1
y
1
质点的动量定理 theorem of momentum of particle
differential form
由力的定义
得
根据力与作用时间的乘积 称为 力的 冲量
的定义
质点动量定理 的微分形式为
或
质点动量的元增量等于它获得的元冲量。 integral form
由质点系的动量定理
微分形式 积分形式
或
或
若
则
定律说明
火箭飞行原理 ―神州”号飞船升空
变质量系统、火箭飞行原理
低速:（v << c）情况下的两类变质量问题： ▲ 粘附 — 主体的质量增加（如滚雪球） ▲ 抛射 — 主体的质量减少（如火箭发射）