数值分析讲义
数值分析讲义
存在正数 ε∗, 使得
|x∗ − x| ≤ ε∗
称 ε∗ 为近似值的绝对误差限，简称误差限。
记作 x = x∗ ± ε.
朱升峰 (ECNU)
x∗ − ε∗ ⩽ x ⩽ x∗ + ε∗,
数值分析
. . . .... .... .... . . . . .
. . . .... .... .... . .
. ..
2021.03 14 / 31
相对误差
定义 3
近似值的误差与准确值的比值 e∗ x∗ − x x= x
称为近似值 x∗ 的相对误差，记作 e∗r 。
定义 4
若存在正数 ε∗r , 使得 |e∗r | ≤ ε∗r , 则称 ε∗r 为相对误差限。
实际计算中，准确值未知，一般取
e∗ x∗ − x x∗ = x∗
理论研究 实验研究 科学计算 科学计算: 现今体现国家科学技术核心竞争力的重要标志 计算数学是各种计算性学科的共性基础。
朱升峰 (ECNU)
数值分析
. . . .... .... .... . . . . .
. . . .... .... .... . .
. ..
2021.03 5 / 31
计算方法与计算机
面向计算机的算法: 串行算法: 只有一个进程的算法适合于串行计算机 并行算法: 有两个以上的算法适合于并行计算机
算法 “好”: 可靠的理论分析且良好的数值表现 (计算复杂性好) 数值分析研究数值问题的算法
1 面向计算机 2 可靠的理论分析: 近似算法的收敛性, 数值稳定性, 误差分析等 3 好的计算复杂性: 时间复杂性, 空间复杂性 4 要有数值实验: 算法的数值验证
作为 x∗ 的相对误差，ε∗r = ε∗/|x∗|.
《数值分析简明教程》讲义
例2：取节点 ， ， 对函数 建立线性插值公式。
3、一般情形
现在考虑一般的插值问题：设函数在区间［a,b］上n+1个互异节点 上的函数值分别为 ，求n次插值多项式 ，满足条件
， j=0，1，…，n
令
——拉格朗日插值公式。
其中 为以 为节点的n次插值基函数，其公式为：
则称 为近似数x的相对误差限。
三、有效数字
1、有效数字
如果近似值 的误差限是某一位的半个单位，该位到 的第一位非零数字共有 位，则我们称 有 位有效数字。
例如， 取 时，
所以， 作为 的近似值时，就有3位有效数字。
2、误差限与有效数字的关系
定理1 设有一数x，其近似值
若 具有 位有效数字，则其相对误差限为
可表示为下列点斜式：
令
则
——线性插值公式
其中：
例1：已知 ， ，求 。（10.714）
例2：取节点 ， 对函数 建立线性插值公式。
2、抛物插值
问题：求作二次式 ，使满足条件：
几何解释就是通过三点 ， ， 的抛物线，因而称为抛物插值。
根据插值基函数所满足的条件，可得抛物插值的基函数为：
最终得： ——抛物插值公式。
运算过程中舍入误差不增长的计算公式——数值稳定的，否则为不稳定的。
2、要避免两个相近数相减。
3、要防止大数“吃掉”小数。（数量级相差很大的数，措施：调整运算次序。）
4、注意简化计算步骤。
第2章插值方法
在生产实践和科学研究所遇到的大量函数中，相当一部分是通过测量或实验得到的，并不知道它的表达式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间［a，b］上一些离散点上的函数值、导数值等。还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论分析和数值计算，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。插值法就是寻求近似函数的方法之一。
《数值分析》完整版讲义
2.1.3 多项式插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.4 基函数插值法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 为什么要插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 什么是插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.1.2 数值分析的研究内容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3 学习建议 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
i
· ii ·
目录
2.2 Lagrange 插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1 Lagrange 基函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2 Lagrange 插值多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.3 插值余项 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.4 Lagrange 基函数性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
数值分析1.1讲义.
方程求根问题
在科学计算中常要遇到求解各种方程， 例如：
高次代数方程
超越方程
x 5－ 3 x ＋ 7 ＝ 0
x e cos 0 3
x
高次线性方程和超越方程看似简 单，但难于求其精确解。对于高次 代数方程，由代数基本定理知多项 式根的数目和方程的阶相同，但对 超越方程就复杂的多，如果有解， 其解可能是一个或几个，也可能是 无穷多个。
用计算机解决科学计算问题通常经历以 下过程
应 用 数 学 计 算 数 学
实际问题
数值计算方法
程序设计
数学模型
上机计算结果
2.数值分析研究的内容 — 函数的数值逼近(插值与拟合)
— 数值积分与数值微分
— 非线性方程数值解 — 数值线性代数
— 常微和偏微数值解，……
数值分析实质上是以数学问题为研 究对象，不像纯数学那样只研究数 学本身的理论，而是把理论与计算 紧密结合，着重研究数学问题的数 值方法及理论。
y ' 1 2 xy y (0) 0
常微分方程的一般解(解析解) 对一些典型的微分方程 ( 可分离变 量方程，一阶线性方程等等 ) ，有可 能找出它们的一般解表达式，然后 用初始条件确定表达式中的任意常 数，这样解即能确定。
y ' 2 x 例如 求解 y (0) 0
数值分析
Numerical Analysis
教
《数值分析》(第2版)
材 朱晓临 主编
中国科学技术大学出版社
《数值分析》（第5版） 李庆阳，王能超，易大义编著 清华大学大学出版社
参 考 书 目
《数值分析》（第3版） 颜庆津著， 北京航空航天大学 出版社 《Numerical Analysis》(Ninth ed.)
南京大学《数值分析》课件-第2章
有限元方法的适用性
有限元方法适用于各种复杂的几何形状和边界 条件，具有较高的灵活性和通用性。
有限元方法的应用
有限元方法广泛应用于各种工程领域，如结构分析、流体动力学、电磁场等。
04
数值分析的应用案例
线性方程组的求解
线性方程组在科学计算、工程 技术和经济领域有广泛的应用 ，如物理、化学、生物、金融
数值分析的发展历程
1
数值分析的发展可以追溯到古代数学的发展，如 古代中国的算术和代数、古希腊的几何学等。
2
17世纪微积分的出现为数值分析的发展奠定了基 础，而计算机的出现则为数值分析的发展提供了 重要的工具和平台。
3
现代数值分析的研究领域不断扩大，涉及的领域 也越来越广泛，如数值优化、数值逼近、数值线 性代数等。
数值分析的重要性
01 数值分析是解决实际问题的重要工具，如科学计 算、工程设计、金融分析等领域都需要使用数值 分析的方法。
02 数值分析提供了许多实用的数值计算方法和算法 ，这些算法可以快速、准确地求解各种数学问题 和实际问题。
02 数值分析的发展推动了计算机科学技术的发展， 为计算机科学技术的广泛应用提供了重要的支撑 。
数值分析与其他学科的交叉研究
数学物理反问题
数值分析与数学物理反问题相结 合，将为解决实际问题提供更精 确、更可靠的数值方法。
数据科学
数值分析将与数据科学相结合， 为大数据分析和机器学习等领域 提供更有效的算法和工具。
工程应用
数值分析将与各种工程领域相结 合，如流体动力学、电磁学、生 物学等，为解决实际问题提供更 精确的数值模型和算法。
05
数值分析的未来展望
数值分析的发展趋势
高效算法
随着计算机技术的进步，数值分析将不断探索更高效、更精确的算 法，以解决大规模、高维度的数值计算问题。
数值分析ppt课件
数值积分与微分
数值积分
通过数值方法近似计算定积 分，如梯形法则、辛普森法 则等。
数值微分
通过数值方法近似计算函数 的导数，如差分法、中心差 分法等。
常微分方程的数值解法
通过数值方法求解常微分方 程，如欧拉方法、龙格-库塔 方法等。
03
数值分析的稳定性与误差分析
误差的来源与分类
模型误差
由于数学模型本身的近 似性和简化，与真实系
非线性代数方法
非线性方程组的求解
通过迭代法、直接法等求解非线性方程组，如牛顿法、拟牛顿法 等。
非线性最小二乘问题
通过迭代法、直接法等求解非线性最小二乘问题，如GaussNewton方法、Levenberg-Marquardt方法等。
多项式插值与逼近
通过多项式插值与逼近方法对函数进行近似，如拉格朗日插值、 样条插值等。
机器学习与数值分析的交叉研究
机器学习算法
利用数值分析方法优化和改进机器学 习模型的训练和预测过程，提高模型 的准确性和效率。
数据驱动的模型
通过数值分析方法处理大规模数据集 ，提取有用的特征和模式，为机器学 习模型提供更好的输入和输出。
大数据与数值分析的结合
大数据处理
利用数值分析方法处理和分析大规模数 据集，挖掘其中的规律、趋势和关联信 息。
数值分析PPT课件
contents
目录
• 引言 • 数值分析的基本方法 • 数值分析的稳定性与误差分析 • 数值分析的优化方法 • 数值分析的未来发展与挑战
01
引言
数值分析的定义
数值分析
数值分析是一门研究数值计算方法及 其应用的学科，旨在解决各种数学问 题，如微积分、线性代数、微分方程 等。
数值分析讲义
第1章数值分析中的误差一、重点内容误差设精确值x* 的近似值x，差e＝x－x* 称为近似值x 的误差(绝对误差)。
误差限近似值x 的误差限 是误差e 的一个上界，即|e|＝|x－x*|≤ε。
相对误差e r是误差e 与精确值x* 的比值，。
常用计算。
相对误差限是相对误差的最大限度，，常用计算相对误差限。
绝对误差的运算：ε(x1±x2)＝ε(x1)＋ε(x2)ε(x1x2)≈|x1|ε(x2)＋|x2|ε(x1)有效数字如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位。
从这一位起到前面第一个非0 数字为止的所有数字称为x 的有效数字。
关于有效数字：(1) 设精确值x* 的近似值x，x＝±0.a1a2…a n×10ma1，a2，…，a n是0～9 之中的自然数，且a1≠0，|x－x*|≤ε＝0.5×10m－l，1≤l≤n则x 有l位有效数字.(2) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m有n 位有效数字，则其相对误差限(3) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m的相对误差限不大于则它至少有n 位有效数字。
(4) 要求精确到10－3，取该数的近似值应保留4 位小数。
一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差e＝0.0926 的数x＝20.7426 只有三位准确数字2，0，7。
一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为10% 的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为1% 的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为0.1% 的量级。
二、实例例1 设x*＝ ＝3.1415926…近似值x＝3.14＝0.314×101，即m＝1，它的误差是0.001526…，有|x－x*|＝0.001526…≤0.5×101－3即l＝3，故x＝3.14 有 3 位有效数字。
数值分析讲义
由于除数很小,将导致商很大,有可能出现“溢出”现 象另外. ,设x* ,y* 的近似值分别为x,y，则z=x÷y是z*=x*÷y*
的近似值.此时，z的绝对误差满足估计式
e(z) z* z (x* x) y x( y y* ) y e(x) x e( y)
yy*
y2
可见,若除数太小,则可能导致商的绝对误差很大。
n k, k 1,...2,1
类似地可得
Ik
I
* k
(1) nk
k!( n!
I
n
I
* n
)
,
k n, n 1,...,1,0
可见，近似误差Ik-I*k是可控制的，算法是数值稳定的。
例如，由于
e 1 10
01 x9e1dx
I9
01 x9dx
1 10
取近似值 I9
1 (e1 1 ) 0.0684 2 10 10
§3 绝对误差、相对误差和有效数字
设x是精确值x*的一个近似值，记 e=x*-x
称e为近似值x的绝对误差，简称误差。如果满足 |e|≤
则称为近似值x的绝对误差限，简称误差限。 精确值x* 、近似值x和误差限之间满足： x-≤x*≤x+
通常记为 x*=x±
绝对误差有时并不能很好地反映近似程度的好坏，如
随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算 物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等 各个领域。本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的数 值分析方法。
§2 误差的来源和分类
误 1.差模是型描误述差数值数计学算模之型中通近常似是值由的实精际确问程题度抽，象在得数到值的， 计一般算带中有十误分差重，要这，种误误差差按称来为源模可型分误为差模。型误差、观测误差、 截断误2.差观和测舍误入差误差数四学种模。型中包含的一些物理参数通常是 通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观 测误差。
《数值分析教程》课件
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
数值分析方法(讲义)
第十章 数值分析方法在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，数值分析中的插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。
插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。
相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍。
§1 数据插值方法及应用在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。
与此有关的一类问题是当原始数据),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高，要求确定一个初等函数)(x P y =（一般用多项式或分段多项式函数）通过已知各数据点（节点），即n i x P y i i ,,1,0,)( ==，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。
1、分段线性插值这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。
如果b x x x a n =<<<= 10那么分段线性插值公式为n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11111 =≤<--+--=-----可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。
其缺点是不能形成一条光滑曲线。
例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm ）。
根据地图的比例，18 mm 相当于40 km 。
根据测量数据，利用MA TLAB 软件对上下边界进行线性多项式插值，分别求出上边界函数)(2x f ，下边界函数)(1x f ，利用求平面图形面积的数值积分方法—将该面积近似分成若干个小长方形，分别求出这些长方形的面积后相加即为该面积的近似解。
数值分析简明教程讲义
第1章 绪论数值计算方法是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程，其特点如下: 第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法，即算法只能包括加、减、 乘、除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的。
第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳 定性，还要对误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。
第三，要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量， 这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。
第四，要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验 证明是行之有效的。
1.1 误差的基本概念除了极个别的情况外，数值计算总是近似计算，实际计算结果与理论结果之间存在着误差。
数值分析的任务之一是将误差控制在一定的容许范围内或者至少对误差有所估计。
一、误差的来源 1、模型误差用计算机解决科学计算问题首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽象，简化而得到的，因而是近似的，数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差。
这种误差可忽略不计，在数值计算方法中不予讨论。
2、观测误差在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度，长度，电压等等，测量的结果不可能绝对正确，由此产生的误差称为观测误差。
观测误差在数值计算方法中也不予讨论。
3、截断误差（方法误差）在数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差。
4、舍入误差在计算过程中，由于计算机的字长有限，采用计算机数系中和实际数据比较接近的数来表示，由此产生的误差以及计算过程又可能产生新的误差，这些误差称为舍入误差。
二、绝对误差和相对误差1、绝对误差秘绝对误差限设数x (精确值)有一个近似值为*x ，记 称e(x)为近似值*x 的绝对误差，简称误差。
当e(x)为正时，近似值*x 偏大，叫做强近似值 ；当它为负时，近似值*x 偏小，叫作弱近似值。
数值分析讲稿
而0 2 1.41 0.004 ，所以计算到 y10 误差大于 4 107 ，这个过程不稳定。
3． 给定 g(x) 10 7 (1 cos x) ，试用四位数学用表求 g(2 ) 的近似值。
甲方法： cos 2 0.9994 ， g(2 ) 10 7 (1 cos 2 ) 6000
{x (k ) }
x(k)
(
x1( k
)
,
x
(k 2
)
,,
xn(k
)
)T
，
若
lim
k
xi(k
)
xi ， (i
1,2,, n)
计算数学教研室：周富照
5
数值分析
长沙理工大学备课纸
则 lim x(k) k
x ： x (x1, x2 ,, xn )T
x(k) x
0(k )
4. 减少运算次数
这样可以减少误差积累. 如计算多项式可用秦九韶算法: p (x) = an x n + an –1 x n –1 + … + a1x + a0 = (…((an x + an –1) x + an –2) x + … +a1) x + a0 例 2 x3 – 3 x2 + 4 x – 5 = ((2 x – 3) x + 4) x – 5. 5. 避免除数绝对值太小 6. 编程时避免用等式条件
xi
i
i 1
问题是：当 e(xi ) ( i 1,2,, n )很小时， e(u ) 是否很小？
当 (xi ) ( i 1,2,, n )很小时， (u ) 是否很小？
数值分析全套课件
Ln n si n
ˆ L2n (4L2n Ln ) / 3
n L error 192 3.1414524 1.4e-004 384 3.1415576 3.5e-005 3.1415926 4.6e-010
3/16
通信卫星覆盖地球面积
将地球考虑成一 个球体, 设R为地 球半径,h为卫星 高度,D为覆盖面 在切痕平面上的 投影(积分区域)
( x1 x2 ) | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 )
15/16
例3.二次方程 x2 – 16 x + 1 = 0, 取
求 x1 8 63 使具有4位有效数
63 7.937
解:直接计算 x1≈8 – 7.937 = 0.063
( x1 ) (8) (7.937) 0.0005
5/16
误差的有关概念
假设某一数据的准确值为 x*,其近似值 为 x，则称
e(x)= x - x*
为 x 的绝对误差 而称
e( x) x x er ( x ) , x x
*
( x 0)
为 x 的相对误差
6/16
如果存在一个适当小的正数ε
，使得
e( x) x x
计算出的x1 具有两位有效数
1 0.062747 修改算法 x1 8 63 15.937 4位有效数 (15.937) 0.0005 ( x1 ) 0.000005 2 2 (15.937) (15.937)
16/16
1
参考文献
[1]李庆扬 关治 白峰杉, 数值计算原理(清华) [2]蔡大用 白峰杉, 现代科学计算 [3]蔡大用, 数值分析与实验学习指导 [4]孙志忠,计算方法典型例题分析 [5]车刚明等, 数值分析典型题解析(西北工大) [6]David Kincaid,数值分析(第三版) [7] John H. Mathews,数值方法(MATLAB版)
数值分析第一章PPT课件
= f ’( )(x* x)
x* 与 x 非常接近时，可认为 f ’( ) f ’(x*) ，则有：
|e*(y)| | f ’(x*)|·|e*(x)|
即：x*产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f ’(x*)| 倍。故称| f ’(x*)|为放大因子 /* amplification factor */ 或 绝对条件数 /* absolute condition number */.
r* (x ) ln x * r* (y )
11 0n1lnx*0.1% 2a1
n4
.
10
1.3 避免误差危害的若干原则
算法的数值稳定性
用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中 传播使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不 稳定的.
.
11
1.3 避免误差危害的若干原则
病态问题与条件数
Cp
x f (x) f (x)
x nxn1 xn
n,
它表示相对误差可能放大 n倍.
如 n10，有 f(1 ) 1 ,f(1 .0)2 1 .2，4 若取 x 1, x*1.02, 自变量相对误差为 2% ，函数值相对误差为 24%， 这时问题可以认为是病态的.
一般情况下,条件数
Cp
10就认为是病态，
εr*21 a11 0n10.0 0% 1
已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n > 6 log6，即
n 6，应取 * = 3.14159。
.
8
1.2 数值计算的误差
问题：对于y = f (x)，若用x* 取代x，将对y 产生什么影响？
分析：e*(y) = f (x*) f (x)
e*(x) = x* x
数值分析讲义第四章数值积分
方法的选取
不同的数值积分方法具有不同 的收敛性和稳定性，应根据具 体问题选择合适的方法。
初值和边界条件
初值和边界条件对数值积分的 收敛性和稳定性也有影响，不 合理的初值和边界条件可能导 致数值积分发散或误差增大。
05
数值积分的应用实例
在物理模拟中的应用
01
流体动力学模拟
数值积分被广泛应用于流体动力 学模拟中，如计算流体速度、压 力、温度等的分布。
02
数值积分方法
矩形法
总结词：简单直观
详细描述：矩形法是一种基本的数值积分方法，它将积分区间划分为若干个小的矩形，然后求和近似计算积分值。由于计算 简单直观，适用于初学者理解数值积分的基本思想。
梯形法
总结词：易于理解
详细描述：梯形法是另一种数值积分方法，它将积分区间划分为若干个小的梯形，然后求和近似计算 积分值。与矩形法相比，梯形法更接近于真实曲线下面积的形状，因此误差相对较小。
衍生品定价
通过数值积分方法，可以 对复杂的衍生品进行定价， 如期权、期货等。
蒙特卡洛模拟
蒙特卡洛模拟是一种基于 随机抽样的数值积分方法， 常用于估计预期收益和风 险。
在图像处理中的应用
图像滤波
通过数值积分方法，可以 对图像进行滤波处理，如 平滑、锐化等。
图像重建
在图像重建中，数值积分 常用于从部分图像数据中 恢复完整的图像。
辛普森法
总结词：精度较高
详细描述：辛普森法是数值积分的一种改进方法，它利用了被积 函数在积分区间的端点和中心点的函数值进行近似计算，因此精 度相对较高。辛普森法是数值积分中常用的方法之一。
高斯法
总结词：高精度
VS
详细描述：高斯法是一种基于高斯积 分的数值积分方法，它利用了被积函 数在积分区间内的高斯点的函数值进 行近似计算，具有很高的精度。高斯 法适用于需要高精度计算的情况，但 计算过程相对复杂。
《数值分析》ppt课件
7.
er
a b
er
(a)
er
(b)
30
例4
ε(p)
设有三个近似数
p ≈ 6.6332
≈0.02585
a=2.31,b=1.93,c=2.24
它们都有三位有效数字，试计算p=a+bc，e ( p)和e r ( p) 并问：p的计算结果能有几位有效数字？
2位
例5
设f (x, y) cos y , x 1.30 0.005, y 0.871 0.0005. x
er
e x
x x x
.
由于精确值 x 未知, 实际上总把
e x
作为x*的
相对误差，并且仍记为er , 即
er
e x
.
❖定义 近似值 x* 的相对误差上限(界) (relative accuracy)
εr
|
ε x
|.
注:相对误差一般用百分比表示.
17
例1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆
注:理论上讲,e 是唯一确定的, 可能取正, 也可能取负.
e > 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值。
15
提问：绝对误差限的大小能否完全地 表示近似值的好坏？ 例如：有两个量
x 10 1 , y 1000 5
思考
问：谁的近似程度要好一些？
16
❖定义 近似值 x* 的相对误差 (relative error)
a 2.18
e r(b) e (b) 0.00005 0.0024%
b 2.1200
19
➢有效数字 ( significant digits)
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第1章数值分析中的误差一、重点内容误差设精确值 x* 的近似值x，差e＝x－x* 称为近似值x 的误差(绝对误差)。
误差限近似值 x 的误差限是误差 e 的一个上界，即 |e|＝|x－x*|≤ε。
相对误差er是误差e 与精确值x* 的比值，。
常用计算。
相对误差限是相对误差的最大限度，，常用计算相对误差限。
绝对误差的运算：ε(x1±x2)＝ε(x1)＋ε(x2)ε(x1x2)≈|x1|ε(x2)＋|x2|ε(x1)有效数字如果近似值 x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位。
从这一位起到前面第一个非 0 数字为止的所有数字称为x 的有效数字。
关于有效数字：(1) 设精确值 x* 的近似值x，x＝±0.a1a2…an×10ma1，a2，…，an是 0～9 之中的自然数，且a1≠0，|x－x*|≤ε＝0.5×10m－l，1≤l≤n则x 有l位有效数字.(2) 设近似值x＝±0.a1a2…an×10m有n 位有效数字，则其相对误差限(3) 设近似值x＝±0.a1a2…an×10m的相对误差限不大于则它至少有n 位有效数字。
(4) 要求精确到10－3，取该数的近似值应保留 4 位小数。
一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差e ＝0.0926 的数x＝20.7426 只有三位准确数字 2，0，7。
一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为 10% 的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为 1% 的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为 0.1% 的量级。
二、实例例1 设 x*＝＝3.1415926…近似值x＝3.14＝0.314×101，即m＝1，它的误差是0.001526…，有|x－x*|＝0.001526…≤0.5×101－3即l＝3，故x＝3.14 有 3 位有效数字。
x＝3.14 准确到小数点后第 2 位。
又近似值x＝3.1416，它的误差是0.0000074…，有|x－x*|＝0.0000074…≤0.5×101－5即m＝1，l＝5，x＝3.1416 有 5 位有效数字。
而近似值x＝3.1415，它的误差是0.0000926…，有|x－x*|＝0.0000926…≤0.5×101－4即m＝1，l＝4，x＝3.1415 有 4 位有效数字。
这就是说某数有 s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有 s 位有效数字；若末位数字不是四舍五入得到的，那么该数有 s 位或 s－1 位有效数字。
例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00解因为x1＝2.000 4＝0.200 04×101，它的误差限 0.000 05＝0.5×10 1―5，即m＝1，l＝5，故x1＝2.000 4 有 5 位有效数字。
相对误差限。
x2＝－0.002 00，误差限 0.000 005，因为 m＝－2，l＝3，x2＝－0.002 00 有 3 位有效数字。
相对误差限r＝0.000 005/0.002 00＝0.25%。
x3＝9 000，绝对误差限为 0.5，因为m＝4，l＝4，x3＝9 000 有 4 位有效数字，相对误差限r＝0.5/9 000＝0.005 6%。
x4＝9 000.00，绝对误差限 0.005，因为m＝4，l＝6，x4＝9 000.00 有 6 位有效数字，相对误差限为r＝0.005/9 000.00＝0.000 056%。
由x3 与x4 可以看到小数点之后的 0，不是可有可无的，它是有实际意义的。
例3 ln2＝0.69314718…，精确到 10－3 的近似值是多少？解精确到 10－3＝0.001，即绝对误差限是＝0.05％，故至少要保留小数点后三位才可以。
ln2≈0.693。
三、练习题1. 设某数x*，它的保留三位有效数字的近似值的绝对误差是。
2. 设某数x*，它的精确到10－4 的近似值应取小数点后位。
3. ( )的 3 位有效数字是0.236×102。
(A) 235.54×10－1 (B) 235.418(C) 2354.82×10－2 (D) 0.0023549×1034. 设a*＝2.718181828…，取a＝2.718，则有( )，称 a 有四位有效数字。
(A) |a－a*|≤0.5×10－4 (B) |a－a*|≤0.5×101－4(C) |a－a*|≤10－4 (D) |a－a*|≤0.00035. 设某数x*，对其进行四舍五入的近似值是( )，则它有 3 位有效数字，绝对误差限是0.5×10－4。
(A) 0.315 (B) 0.03150 (C) 0.0315 (D) 0.003156. 以下近似值中，保留四位有效数字，相对误差限为0.25×10－3。
(A) 0.01234 (B) –12.34 (C) –2.20 (D) 0.22007. 将下列各数舍入成三位有效数字，并确定近似值的绝对误差和相对误差。
(1) 2.1514 (2) －392.85 (3) 0.0039228. 已知各近似值的相对误差，试确定其绝对误差：(1) 13267 e r＝0.1% (2) 0.896 e r＝10%9. 已知各近似值及其绝对误差，试确定各数的有效位数。
(1) 0.3941 e＝0.25×10－2 (2)293.481 e＝0.1(3) 0.00381 e＝0.1×10－410. 已知各近似值及其相对误差，试确定各数的有效位数。
(1) 1.8921 e r＝0.1×10－2 (2) 22.351 e r＝0.15(3) 48361 e r＝1%四、练习题答案1．该数有效数字第四位的一半。
2 . 五 3. (A) 4. (B) 5. (C) 6. (D)7. (1)2.15, e＝－0.14×10－2，e r＝0.65×10－3；(2) －393，e＝－0.15，e r＝0.38×10－3；(3)0.00392，e＝－0.2×10－5，e r＝0.51×10－38. (1) e＝0.13×10 2；(2) 0.9×10－19. (1) 2；(2)3；(3)210.(1) 3；(2)1；(3)2第15章线性方程组的数值解法一、重点内容1. 高斯顺序消去法解线性方程组AX＝b，对增广矩阵顺序作初等行变换，使矩阵A化为上三角形矩阵，再回代，从而得到线性方程组的解。
要求作初等行变换消元过程中，。
注意：本章讨论线性方程组的解的方法，不讨论解的存在性。
2. 高斯列主元消去法在高斯顺序消去法中，每次消元之前，要确定主元，( k＝1，2，3，…，n－1)把第r行作为主方程，做第k次消元。
把系数矩阵化为上三角形矩阵，从而得到线性方程组的解。
3. 雅可比迭代法(简单迭代法)解线性方程组AX＝b的雅可比迭代法公式为( k＝0，1，2，…)4. 高斯――赛德尔迭代法解线性方程组AX＝b的高斯――赛德尔迭代法公式为(i＝1，2，…，n；k＝0，1，2，…)5．解的收敛性定理【定理1】高斯消去法消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为0；AX＝b能用高斯消去法求解的充分必要条件是A的各阶顺序主子式不为0。
【定理4】(迭代法基本定理)设线性方程组X＝BX＋f对于任意初始向量X (0)及任意f，对应此方程组的迭代公式X (k＋1)＝B (k)X＋f收敛的充分必要条件是 ,其中λi ( i＝1，2，…，n)为迭代矩阵B的特征根。
当λi为复数时，|λi|表示λi的模。
【定理6】(迭代法收敛的充分条件)设线性方程组AX＝b，(1) 若A是严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法和高斯――赛德尔迭代法收敛；(2) 若A为对称正定矩阵，则高斯――赛德尔迭代法收敛。
注：设矩阵A＝[ aij ]n，若则称矩阵A是严格对角占优矩阵。
二、实例例1用顺序消去法解线性方程组解顺序消元于是有同解方程组回代得解x3＝－1，x2＝1，x1＝1，原线性方程组的解为X＝(1，1，－1)T。
例2取初始向量X(0)＝(0，0，0)T，用雅可比迭代法求解线性方程组解建立迭代格式(k＝1，2，3，…)第1次迭代，k＝0X(0)＝0，得到X(1)＝(1，3，5)T第2次迭代，k＝1X(2)＝(5，－3，－3)T第3次迭代，k＝2X(3)＝(1，1，1)T第4次迭代，k＝3X(4)＝(1，1，1)T例3 填空选择题：1. 用高斯列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2，3个方程分别为。
解选a21＝2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1＋2x2＋3x3＝3，消元得到是应填写的内容。
2. 用选主元的方法解线性方程组AX＝b，是为了( )(A) 提高计算速度 (B) 减少舍入误差(C) 减少相对误差 (D) 方便计算答案：选择(B)3. 用高斯――赛德尔迭代法解线性方程组的迭代格式中＝ (k＝0，1，2，…)答案：解答：高斯――赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用x1的新值。
4. 当a ( )时，线性方程组的迭代解一定收敛。
(A) ＞6 (B) ＝6 (C) ＜6 (D) ＞6或＜－6答案：(D)解答：当|a|＞6时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由教材第10章定理6，迭代解一定收敛。
三、练习题1. 用高斯列主元消去法解线性方程组2. 用高斯――赛德尔迭代法求解线性方程组取初始值(4.67，7.62，9.05)T，求二次迭代值。
3. 证明线性方程组的迭代解收敛。
4. 用高斯顺序消去法解线性方程组，消元能进行到底的充分必要条件是5. 用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为( )(A) 3 (B) 4 (C) －4 (D)－9四、练习题答案1. X＝(－4，1，2)T2. (4.666 19，7.618 98，9.047 53)T3. 提示：系数矩阵是严格对角占优矩阵。
4. 线性方程组的系数矩阵的各阶顺序主子式均不为0。
5. (C)第2章函数插值与最小二乘拟合一、重点内容1. 函数插值已知函数f(x)的n个函数值yk＝f(xk)，k＝0，1，2，…，n。
构造一个多项式P(x)，使得P(xk)＝yk。
P(x)就是插值多项式，f(x)就是被插函数，xk就是插值节点。