《角的比较与运算》习题1
角的比较与运算
2、证明中的书写：
OC 为 AOB 的角平分线
1 1 2 AOB 2 （或 AOB 21 22 ）
3 练习（1）射线 OC 在 AOB 的内部，下列四个式子中，不能 判断 OC 是 AOB 平分线的是（ ） A AOB 2AOC B AOC BOC C AOC BOC AOB
1 D AOC AOB 2
D C B O A
如图
∠AOB＝∠BOC＝∠COD，
则OB 是
AOC 的平分线， 1 BOC ＝ 2 ∠AOC， 1 BOC ＝ 2 ∠BOD 1 AOD ∠BOC ＝ 3 BOD ＝ 2 ` 3 AOD
此时OB、OC叫∠ AOD的三等分线
A E
AD是 BAD
BAC的平分线 = CAD
已知O为直线AB上一点，OE平分∠AOC，OF平分 ∠COB,求∠EOF的大小？ C 解：∵ OE平分 ∠ AOC，OF平分 ∠COB ∴∠EOC=1／2∠AOC, F ∠COF=1／2∠COB（角平分线的意义）
E
A
O
∵∠AOB=∠AOC+∠COB=180° B （平角的意义）
∴∠EOF=∠EOC+∠COF
A D
B
C
E
F
2、叠合法比较
A
D
B
DE边在∠ABC的外部,则
C
E
F
∠ABC<∠DEF
2、叠合法比较
A D
B
DE与AB边重合,则
C
E
F
∠ABC=∠DEF
2、叠合法比较
A D
B
C
E
F
DE边在∠ABC的内部,则
∠ABC>∠DEF
6.3.2 角的比较与运算 课件-人教版(2024)数学七年级上册 (1)
90
D
180 OB
0
C 180
OE
0 F
∠ABC=60°
∠DEF=30°
∴∠ABC＞∠DEF.
回到开始的问题，张靓和王帅同学的对话中说的折扇的大小和长短 能判断角的大小吗?
结论：角的两边张开越大，角就越大，与所画边的长短无关.
已知两个角∠1和∠2(∠1＞∠2)，把它们的顶点和一边重合.
B
1 O
A
C
O
B
解： ∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝ 34°34′+21°51′＝56°25′.
5.如图，如图，∠AOC和∠BOD都是直角.若∠DOC＝28°，
说出∠AOB的度数.
D
C
A
B O
解：因为∠AOC和∠BOD都是直角，∠DOC＝28°，
所以∠BOC＝∠BOD-∠DOC＝90°-28°＝62°，
所以∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°+62°＝152°.
(4)∠AOD__＜____∠AOC +∠BOD；
O
D
(5)如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC__＝____∠BOD.
2.根据右图，求解下列问题. (1)比较∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE的大 小，并指出其中的锐角、直角、钝角、平角. (2)写出∠AOB、∠AOC、 ∠BOC之间的等量关 系.
C
F
B
AE
D
CF
F C
C (F)
B(E)
A(D) B (E)
A(D) B (E)
A(D)
∠ABC＞∠DEF
∠ABC＜∠DEF
∠ABC＝∠DEF
说明：两角的顶点必须重合；一边必须重合，另一边落在重合的 一边的同侧.
《4.3.2 角的比较与运算》同步练习 2021-2022学年人教版七年级数学上册
4.3.2 角的比较与运算一．填空题1．如图，∠AOB∠AOC，∠AOB∠BOC（填＞，＝，＜）；用量角器度量∠BOC ＝，∠AOC＝，∠AOC∠BOC．2．如图，∠AOC＝+＝﹣；∠BOC＝﹣＝﹣．3．如图，O是直线AB上一点，∠BOD＝90°，∠COE＝90°，那么下列各式中错误的是（）A．∠AOC＝∠DOE B．∠COD＝∠BOE C．∠AOD＝∠BOD D．∠BOE＝∠AOC 4．将一副常规三角板拼成如图所示的图形，则∠ABC＝度．5．如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC＝度．6．OC是从∠AOB的顶点O引出的一条射线，若∠AOB＝90°，∠AOB＝2∠BOC，求∠AOC的度数．7．如图．∠AOB＝∠COD，则（）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．∠1与∠2的大小无法比较8．如图，∠AOB＝∠AOC，∠BOC＝110°，∠AOB＝．9．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOD+∠COB的度数为度．10．如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C、D分别落在C'、D'的位置上，EC'交AD于点G，已知∠FEC＝48°，那么∠BEG＝．11．钟面上8：30这一时刻，钟面上时针与分针所形成的角度是．12．已知∠AOB＝120°，∠BOC＝30°，则∠AOC＝．13．用三角板画15°角，如图所示，使30°角的顶点与45°角的顶点，30°角的相邻直角边与45°角的相邻斜边重合，用铅笔沿AB，ED画线，移开三角板，延长DE 与AB交于点A，∠DAB＝．二．选择题14．下列说法正确的是（）A．不大于90的角是锐角B．一个钝角减去比它小的钝角，差是锐角C．钝角与锐角的差小于直角D．两个锐角的和是钝角15．下列说法错误的是（）A．角的大小与角的边画出部分的长短没有关系B．角的大小与它们的度数大小是一致的C．角的和差倍分的度数等于它们的度数的和差倍分D．若∠A+∠B＞∠C，那么∠A一定大于∠C16．用一副三角板不能画出（）A．75°角B．135°角C．160°角D．105°角17．如果∠1﹣∠2＝∠3，且∠4+∠2＝∠1，那么∠3和∠4间的关系是（）A．∠3＞∠4B．∠3＝∠4C．∠3＜∠4D．不确定18．在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，那么有（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＞∠BOC C．∠BOC＞∠AOB D．∠AOB＞∠AOC三．解答题19．如图，把∠AOB绕着O点按逆时针方向旋转一个角度，得∠A′OB′，指出图中所有相等的角，并简要说明理由．20．如图：∠AOB是哪几个角的和？∠DOC是哪几个角的和？若∠AOB＝∠COD，则还有哪两个角相等？21．下面是小马虎解的一道题题目：在同一平面上，若∠BOA＝70°，∠BOC＝15°，求∠AOC的度数．解：根据题意可画出图∵∠AOC＝∠BOA﹣∠BOC＝70°﹣15°＝55°∴∠AOC＝55°若你是老师，会判小马虎满分吗？若会，说明理由．若不会，请将小马虎的错误指出，并给出你认为正确的解法．22．已知∠AOB＝90°，∠COD＝30°．（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，∠BOD的度数是；（2）将∠COD从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转n°（即∠AOC＝n°），且0＜n＜180．①如果∠COD的一边与∠AOB的一边垂直，则n＝．②当60＜n＜90时（如图2），作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，试求∠MON 的度数．参考答案与试题解析1．如图，∠AOB＞∠AOC，∠AOB＞∠BOC（填＞，＝，＜）；用量角器度量∠BOC ＝30°，∠AOC＝25°，∠AOC＞∠BOC．【分析】根据图形，射线OC在∠AOB的内部，即可判断角之间的大小关系．【解答】解：由图知，射线OC在∠AOB的内部，所以∠AOB＞∠AOC，∠AOB＞∠BOC，用量角器量得∠BOC＝25°，∠AOC＝30°，故∠AOC＞∠BOC．故答案为：＞，＞，25°，30°，＞．2．如图，∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝∠AOD﹣∠COD；∠BOC＝∠BOD ﹣∠COD＝∠AOC﹣∠AOB．【分析】根据图形即可求出∠AOC及∠BOC的不同表示形式．【解答】解：根据图形，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝∠AOD﹣∠COD；∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝∠AOC﹣∠AOB．故答案为：∠AOB+∠BOC，∠AOD﹣∠COD，∠BOD﹣∠COD，∠AOC﹣∠AOB．3．如图，O是直线AB上一点，∠BOD＝90°，∠COE＝90°，那么下列各式中错误的是（）A．∠AOC＝∠DOE B．∠COD＝∠BOE C．∠AOD＝∠BOD D．∠BOE＝∠AOC 【分析】由∠BOD＝90°，∠COE＝90°，得∠AOD＝∠BOD＝90°．根据同角的余角相等，得∠COD＝∠BOE，∠AOC＝∠DOE．那么，∠AOC+∠BOE＝90°．进而推断出A、B、C不合题意，D符合题意．【解答】解：A：∵∠BOD＝90°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝90°．∴∠AOC+∠COD＝90°．又∵∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°，∴∠AOC＝∠DOE．故A不合题意．B：∵∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°，∠BOD＝∠BOE+∠DOE＝90°，∴∠COD＝∠BOE．故B不符合题意．C：∵BOD＝90°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝90°．∴∠AOD＝∠BOD．故C不符合题意．D：由B知：∠BOE＝∠COD．∵∠AOD＝∠AOC+∠DOC＝∠AOC+∠BOE＝90°．∴∠BOE与∠AOC不一定相等．故选：D．4．将一副常规三角板拼成如图所示的图形，则∠ABC＝135度．【分析】根据图形得出∠ABD和∠CBD的度数，即可求出∠ABC的度数．【解答】解：∵∠ABD＝90°，∠DBC＝45°，∴∠ABC＝∠ABD+∠BCD＝90°+45°＝135°．故答案为：135．5．如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC＝180度．【分析】先利用∠AOD+∠COD＝90°，∠COD+∠BOC＝90°，可得∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC＝180°，而∠BOD＝∠COD+∠BOC，∠AOD+∠BOD＝∠AOB，于是有∠AOB+∠COD＝180°．【解答】解：如右图所示，∵∠AOD+∠COD＝90°，∠COD+∠BOC＝90°，∠BOD＝∠COD+∠BOC，∠AOD+∠BOD＝∠AOB，∴∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC＝180°，∴∠AOD+2∠COD+∠BOC＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°．故答案是180．6．OC是从∠AOB的顶点O引出的一条射线，若∠AOB＝90°，∠AOB＝2∠BOC，求∠AOC的度数．【分析】利用角的和差关系计算，注意此题要分两种情况．【解答】解：①如图1所示，OC在∠AOB内部，∵∠AOB＝90°，∠AOB＝2∠BOC，∴∠BOC＝×90°＝45°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣45°＝45°；②如图2所示，OC在∠AOB外部，∵∠AOB＝90°，∠AOB＝2∠BOC，∴∠BOC＝×90°＝45°，又∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∴∠AOC＝90°+45°＝135°．7．如图．∠AOB＝∠COD，则（）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．∠1与∠2的大小无法比较【分析】根据∠AOB＝∠COD，再在等式的两边同时减去∠BOD，即可得出答案．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB﹣∠BOD＝∠COD﹣∠BOD，∴∠1＝∠2；故选：B．8．如图，∠AOB＝∠AOC，∠BOC＝110°，∠AOB＝125°．【分析】本题是角的计算问题，根据周角是360°即可求出∠AOB的度数．【解答】解：设∠AOB＝∠AOC＝x，则2x+110°＝360°，解得x＝125°，∴∠AOB＝125°，故答案为125°．9．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOD+∠COB的度数为180度．【分析】根据角度的关系∠AOD+∠COB＝∠COD+∠AOB，据此即可求解．【解答】解：∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD＝∠COD+∠AOB＝90°+90°＝180°．故答案是：180．10．如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C、D分别落在C'、D'的位置上，EC'交AD于点G，已知∠FEC＝48°，那么∠BEG＝84°．【分析】由折叠的性质可得∠FEG＝∠FEC＝48°，再由点E在BC上，可求得∠BEG 的度数．【解答】解：∵长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠FEC＝48°，∴∠FEG＝∠FEC＝48°，∵点E在BC上，∴∠BEG＝180°﹣∠FEC﹣∠FEG＝180°﹣48°﹣48°＝84°．故答案为：84°．11．钟面上8：30这一时刻，钟面上时针与分针所形成的角度是75°．【分析】根据钟面上圆心角的大小关系进行计算即可．【解答】解：钟面上每相邻两个数字之间所对应的圆心角为360°÷12＝30°，即∠DOC＝∠COB＝30°，而钟面上8：30时，时针指向“8与9中间”，因此∠AOB＝×30°＝15°，所以钟面上8：30这一时刻，钟面上时针与分针所形成的角∠AOD＝30°×2+15°＝75°，故答案为：75°．12．已知∠AOB＝120°，∠BOC＝30°，则∠AOC＝90°或150°．【分析】由于点C的位置不确定，所有此题要分类讨论，利用角之间相加减求出∠AOC 的大小．【解答】解：①当点C在射线OB左侧时，∠AOC1＝∠AOB﹣∠BOC1＝120°﹣30°＝90°，②当点C在射线OB右侧时，∠AOC2＝∠AOB+∠BOC2＝120°+30°＝150°．故答案为90°或150°．13．用三角板画15°角，如图所示，使30°角的顶点与45°角的顶点重合，30°角的相邻直角边与45°角的相邻斜边重合，用铅笔沿AB，ED画线，移开三角板，延长DE 与AB交于点A，∠DAB＝15°．【分析】根据角的和差计算即可．【解答】解：用三角板画15°角，如图所示，使30°角的顶点与45°角的顶点重合，∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝45°﹣30°＝15°．故答案为：重合，15°．14．下列说法正确的是（）A．不大于90的角是锐角B．一个钝角减去比它小的钝角，差是锐角C．钝角与锐角的差小于直角D．两个锐角的和是钝角【分析】不大于90°的角还有直角，故A错误，135°的钝角﹣1°的锐角差还是钝角，故C错误，两个较小的锐角和可能还是锐角也可能是直角，故D错误，因为两个钝角都大于90°且小于180°，故B正确．【解答】解：∵不大于90°的角还有直角，故A错误，举例：135°的钝角﹣1°的锐角差还是钝角，故C错误，∵两个较小的锐角和可能还是锐角也可能是直角，故D错误，∵两个钝角都大于90°且小于180°，故B正确，故选：B．15．下列说法错误的是（）A．角的大小与角的边画出部分的长短没有关系B．角的大小与它们的度数大小是一致的C．角的和差倍分的度数等于它们的度数的和差倍分D．若∠A+∠B＞∠C，那么∠A一定大于∠C【分析】根据角的大小与角的开口大小有关，与角的边的长短无关，角的大小是通过角的度数来体现的，然后对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、角的大小与角的边画出部分的长短没有关系，因为角的大小只与角的开口有关，故本选项正确；B、角的大小与它们的度数大小是一致的，正确；C、角的和差倍分的度数等于它们的度数的和差倍分，正确；D、∠A+∠B＞∠C，∠A与∠C的大小关系无法确定，故本选项错误．故选：D．16．用一副三角板不能画出（）A．75°角B．135°角C．160°角D．105°角【分析】用三角板画出角，无非是用角度加减法．根据选项一一分析，排除错误答案．【解答】A选项：75°的角，45°+30°＝75°；B选项：135°的角，45°+90°＝135°；C选项：160°的角，无法用三角板中角的度数拼出；D选项：105°的角，45°+60°＝105°．故选：C．17．如果∠1﹣∠2＝∠3，且∠4+∠2＝∠1，那么∠3和∠4间的关系是（）A．∠3＞∠4B．∠3＝∠4C．∠3＜∠4D．不确定【分析】由∠1﹣∠2＝∠3，可把∠1等效替换为∠2与∠3的和，进而求解．【解答】解：∵∠1﹣∠2＝∠3，∴∠1＝∠2+∠3，又∠4+∠2＝∠1，即∠4+∠2＝∠2+∠3，∴∠4＝∠3故选：B．18．在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，那么有（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＞∠BOC C．∠BOC＞∠AOB D．∠AOB＞∠AOC 【分析】根据题意画出图，观察图即可得答案．【解答】解：如图：∵C点是∠AOB内部任一点，∴∠AOC与∠BOC的大小无法确定，由图可知∠AOB必大于∠AOC，故选：D．19．如图，把∠AOB绕着O点按逆时针方向旋转一个角度，得∠A′OB′，指出图中所有相等的角，并简要说明理由．【分析】可根据旋转前后，图形的大小形状不变，旋转角相等的性质，寻找相等角．【解答】解：①∠AOB＝∠A′OB′．因∠A′OB′是由∠AOB旋转得到的．②∠AOA′＝∠BOB′．∵∠AOB＝∠A′OB′，∴∠AOB﹣∠A′OB＝∠A′OB′﹣∠A′OB，∴∠AOA′＝∠BOB′．20．如图：∠AOB是哪几个角的和？∠DOC是哪几个角的和？若∠AOB＝∠COD，则还有哪两个角相等？【分析】本题是角的计算问题，利用角的加法定义即可．【解答】解：由图可知，∠AOB＝∠AOD+∠DOB，∠DOC＝∠DOB+∠BOC，∵∠AOB＝∠COD，∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD，∠COB＝∠COD﹣∠BOD，∴∠AOD＝∠COB．21．下面是小马虎解的一道题题目：在同一平面上，若∠BOA＝70°，∠BOC＝15°，求∠AOC的度数．解：根据题意可画出图∵∠AOC＝∠BOA﹣∠BOC＝70°﹣15°＝55°∴∠AOC＝55°若你是老师，会判小马虎满分吗？若会，说明理由．若不会，请将小马虎的错误指出，并给出你认为正确的解法．【分析】在同一平面内，若∠BOA与∠BOC可能存在两种情况，即当OC在∠AOB的内部或OC在∠AOB的外部．【解答】解：如图，当OC在∠AOB的内部时，∠AOC＝∠BOA﹣∠BOC＝55°，当OC在∠AOB的外部时，∠AOC＝∠BOA+∠BOC＝85°，故∠AOC的度数是55°或85°．22．已知∠AOB＝90°，∠COD＝30°．（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，∠BOD的度数是60°；（2）将∠COD从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转n°（即∠AOC＝n°），且0＜n＜180．①如果∠COD的一边与∠AOB的一边垂直，则n＝60、90、150．②当60＜n＜90时（如图2），作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，试求∠MON的度数．【分析】（1）根据∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝90°，而∠AOD＝∠COD＝30°，代入即可求出结论；（2）①在旋转的过程中，能够发现∠COD的一边与∠AOB的一边垂直共有三种情况，分别求出每种情况下旋转的度数即可；②根据角与角之间的关系，将直接求∠MON得度数转换成求∠AOM，∠DON的度数，再依照角的关系即可求得结论．【解答】解：（1）∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝∠AOB﹣∠COD＝90°﹣30°＝60°．故答案为：60°．（2）①∵0＜n＜180，∴分三种情况．a：点D在射线0B上，∠AOC＝∠AOB﹣∠COD＝90°﹣30°＝60°；b：点C在射线OB上，∠AOC＝∠AOB＝90°；c：点D在AO的延长线上，∠AOC＝180°﹣∠COD＝180°﹣30°＝150°．综上得n为60、90、150．故答案为：60、90、150．②∵∠AOC＝n°，OM平分∠AOC，∴∠AOM＝n°，∠AOD＝∠AOC+∠COD＝n°+30°，∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝n°+30°﹣90°＝n°﹣60°，∵ON平分∠BOD，∴∠DON＝∠BOD＝×（n°﹣60°）＝n°﹣30°，∠MON＝∠AOD﹣∠AOM﹣∠DON＝n°+30°﹣n°﹣（n°﹣30°）＝60°。
6.3.2角的比较与运算 课件-人教版数学七年级上册
解：因为∠DOE=∠
COD－ ∠
BOC，
所以∠DOE=90 ° － (180 °－∠ AOC)=
90 ° －90°＋
∠
AOC=
∠
AOC=
α
．
综合应用创新
解决问题：(3)如图6.3－19 ②，O 是直线AB 上的一点，
∠ COD 是直角，OE 平分∠ BOC，探究∠ AOC 和∠
出合适未知数，列方程求解.
综合应用创新
解：设∠AOD=5x°，
则∠BOD=7x°，∠AOB= ∠AOD＋∠ BOD=12x°.
因为∠ AOC ∶ ∠ BOC=1∶3，
所以∠ AOC=3x °，∠ BOC=9x°.
又因为∠COD= ∠AOD－ ∠ AOC=15°，
所以15=5x－3x.解得x= ，所以∠ AOB=12x°=90°．
发生改变．理由如下：
1
1
1
易得∠MON＝∠MOC－∠NOC＝ 2∠BOC－2∠AOC＝ 2
1
(∠BOC－∠AOC)＝2∠AOB.因为∠AOB 是直角，度数不
1
改变，所以∠MON＝2∠AOB＝45°，不发生改变．
∠ AOC 的度数.
错解：∠AOC= ∠AOB＋∠BOC=
70°＋40°=11 0°.
综合应用创新
正解：分两种情况进行讨论：
(1)当∠ BOC 在∠ AOB 的外部时， 如图6.3－20 ①，
∠ AOC= ∠ AOB＋ ∠ BOC=70°＋ 40°=110°；
(2)当∠ BOC 在∠ AOB 的内部时， 如图6.3－20 ②，
七年级数学上册角的比较与运算课时练习题
七年级数学上册角的比较与运算课时练习题一、选择题（每题3分）1.如图，O是直线AB上的一点，过点O任意作射线OC, OD平分ZAOC, OE 平分ZBOC,则ZDOEOA.一定是钝角B. 一定是锐角C. 一定是直角D.都有可能【答案】C【解析】试题分析：直接利用角平分线的性质得出ZAOD=ZDOC, ZBOE=ZCOE,进而得出答案.解：TOD 平分ZAOC, OE 平分ZBOC,Λ ZAOD=ZDOC, ZBOE=ZCOE,ΛZD0E=× 180° =90° ,故选：C.考点：角平分线的定义.2.两个锐角的和不可能是（）A.锐角B.直角C.钝角D.平角【答案】D【解析】试题分析：因为等于0。
小于90°的角是锐角，所以两个锐角的和不可能是180°,所以D正确，故选：D.考点：锐角3.己知ZAOB=50o , ZCOB=30°,则ZAoC 等于（）A. 80oB. 20oC. 80o或20°D.无法确定【答案】C【解析】试题分析：本题需要分两种情况进行讨论：当射线OC在ZAoB 内部时,则ZAoC=50° -30° =20°;当射线OC在ZAOB外部时，则ZAOC=50° +30°=80° .考点：角度的计算4.如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于处(两块三角板可以在同一平面内自由转动)，则下列结论一定成立的是()A.ZBAE>ZDACB.ZBAE-ZDAC=45°C.ZBAE+ZDAC=180oD.ZBAD≠ZEAC【答案】C.【解析】试题解析：因为是直角三角板，所以ZBAC=ZDAE=90° ,所以ZBAD+ ZDAC+ ZCAE+ ZDAC=ISO o ,即ZBAE+ZDAC二180° .故选C.考点：角的计算.5.如图，己知ZAOB= α , ZBOC= β , OM 平分ZAOC, ON 平分ZBOC,则ZMoN的度数是()A. βB. ( a - β )C. aD. a - β【答案】C.试题分析：，平分,，平分,，故选C.考点：1、角平分线的定义;2、角的计算.6.己知，ZAOC=90°,且ZAOB： ZAOC=2： 3,则ZBOC 的度数为()A. 30oB. 150oC. 30°或150°D. 90°【答案】C.【解析】试题分析：当在内部时，当在外部时，故选C.考点：角的计算.7.用一副三角板可以画出一些指定的角，下列各角中，不能用一副三角板画出的是()A、15o B. 75o C. 85o D. 105°【答案】C【解析】试题分析：一副三角板中的度数有：90°、60°、45°、30° ; 用三角板画出角，无非是用角度加减法，根据选项一一分析，排除错误答案.解：A、15。
角的比较与运算(1)
3、用三角板拼角 0 0 探究：借助三角尺画出 15 ，75 的角。
一副三角板的各个角分别是多少度？___________________________________
你还能画出哪些角？有什么规律吗？ 规律是：凡是 的倍数的角都能画出 4、角平分线 在一张纸上画出一个角并剪下，将这个角对折，使其两边重合．想想看，折痕 与角两边所成的两个角的大小有什么关系？ 如图（1）
例 2 把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角(精确到分)
检测·反馈
1、O 是直线 AB 上一点，∠AOC=53°，OD 平分∠BOC,求∠BOD 的度数？
2、如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线。 ⑴如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD 是多少度？ ⑵如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB 是多少度？
角平分线的定义：从一个角的_____出发，把这个角分成_______的两个角的射线，叫做这个 角的平分线。 类似地，还有角的三等分线等。如图（2）中的 OB、OC。
OB 是∠AOC 的一平分线,可以记作:
-1-
∠AOC=2∠AOB=2∠BOC 或∠AOB=∠BOC=
1 2
。
5、例题学习 0 例 1 如图，O 是直线 AB 上一点，∠AOC=53 17′，求∠ BOC 的度数。
增删内容
预习·质疑 1、回顾线段大小的比较方法 2、那么怎样比较角的大小呢?
探究·展示
1、比较角的大小 （1）度量法：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小。 （2）叠合法：把两个角叠合在一起比较大小。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）∠AOB＜∠AOB′； （2）∠AOB=∠AOB′； （3）∠AOB＞∠AOB′ 2、认识角的和差 思考：如图，图中共有几个角？它们之间有什么关系？
人教版初中数学七年级上册《4.3.2 角的比较与运算》同步练习卷(含答案解析
人教新版七年级上学期《4.3.2 角的比较与运算》同步练习卷一．选择题（共9小题）1．如图，点O为直线AB上一点，∠COD=90°，OE平分∠AOD．有下列四种结论，其中一定正确的个数有（）个①∠AOE=∠EOD②∠AOC=∠EOD③∠AOC+∠BOD=90°④∠BOD=2∠COEA．.4B．3C．2D．12．如图，下列条件中不能确定的是OC是∠AOB的平分线的是（）A．∠AOC=∠BOC B．∠AOB=2∠AOCC．∠AOC+∠BOC=∠AOB D．3．如图，O是直线AB上的一点，过点O任意作射线OC，OD平分∠AOC，OE 平分∠BOC，则∠DOE（）A．一定是钝角B．一定是锐角C．一定是直角D．都有可能4．下列说法中正确的是（）A．若∠AOB=2∠AOC，则OC平分∠AOBB．延长∠AOB的平分线OCC．若射线OC、OD三等分∠AOB，则∠AOC=∠DOCD．若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC5．射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是（）A．∠AOC=∠BOC B．∠AOC+∠BOC=∠AOBC．∠AOB=2∠AOC D．∠BOC=∠AOB6．用一个放大镜去观察一个角的大小，正确的说法是（）A．角的度数扩大了B．角的度数缩小了C．角的度数没有变化D．以上都不对7．如图．∠AOB=∠COD，则（）A．∠1＞∠2B．∠1=∠2C．∠1＜∠2D．∠1与∠2的大小无法比较8．已知∠A=60°24′，∠B=60.24°，∠C=60°14′24″，则（）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠A＞∠B=∠C C．∠B＞∠C＞∠A D．∠B=∠C＞∠A 9．已知∠AOB和∠DEF，如果移动∠DEF使得顶点O与顶点E重合，边ED与边OA叠合，边EF在∠AOB内部，那么∠AOB和∠DEF大小关系是（）A．∠AOB＞∠DEF B．∠AOB＜∠DEF C．∠AOB=∠DEF D．不能确定二．填空题（共6小题）10．已知：如图，AOB是直线，∠1：∠2：∠3=1：3：2，则∠DOB=．11．以∠AOB的顶点O为端点引射线OP，使∠AOP：∠BOP=3：2，若∠AOB=17°，∠AOP的度数为．12．已知∠AOB=80°，以O为顶点，OB为一边作∠BOC=20°，OD平分∠AOC，则∠BOD度数为．13．比较大小：52°52′52.52°．（填“＞”、“＜”或“=”）14．比较：28°15′28.15°（填“＞”、“＜”或“=”）．15．若∠A=∠B，∠B=2∠C，则∠A2∠C（填＜，＞或=）．三．解答题（共18小题）16．如图，O为直线AB上一点，∠AOC=60°，OD平分∠OC，∠DOE=90°．（1）求出∠BOD的度数；（2）请通过计算说明OE是否平分∠BOC．17．如图所示，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数？18．已知，O为直线AB上一点，∠DOE=90°．（1）如图1，若∠AOC=130°，OD平分∠AOC．①求∠BOD的度数；②请通过计算说明OE是否平分∠BOC．（2）如图2，若∠BOE：∠AOE=2：7，求∠AOD的度数．19．如图1，点O为直线AB上的一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°．将一直角三角板的直角顶点放在O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针旋转一周，在旋转的过程中，假如第t秒时，OA、OC、ON三条射线构成相等的角，求此时t的值为多少？（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．20．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=135°，将一个含45°角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．（1）将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM=；在图2中，OM是否平分∠CON？请说明理由；（2）紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（直接写出结果）．21．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置，使一边OM在∠BOC 的内部，当OM平分∠BOC时，∠BON=；（直接写出结果）（2）在（1）的条件下，作线段NO的延长线OP（如图③所示），试说明射线OP是∠AOC的平分线；（3）将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC与∠AOM 之间的数量关系．（直接写出结果，不须说明理由）22．已知，∠AOD=160°，OB、OM、ON 是∠AOD内的射线（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，则∠MON=°（2）如图2，OC是∠AOD内的射线，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当射线OB在∠AOC内时，求∠MON的大小；（3）如图2，在（2）的条件下，当∠AOB=2t°时，∠AOM：∠DON=2：3，求t 的值．23．如图，已知∠AOB=108°，OE是∠AOB的平分线，OC在∠AOE内．（1）若∠COE=∠AOE，求∠AOC的度数；（2）若∠BOC﹣∠AOC=72°，则OB与OC有怎样的位置关系？为什么？24．如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB且∠AOC=50°，求∠COD的度数．25．如图，∠AOB等于∠COD，请判断∠AOC和∠BOD的大小关系并说明理由．26．如图，∠BOD=90°，∠COE=90°，解答下列问题：（1）图中有哪些小于平角的角？用适当的方法表示出它们．（2）比较∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOB的大小，并指出其中的锐角、钝角、直角、平角．（3）找出图中所有相等的角．27．如图所示，比较∠α与∠β的大小．28．∠AOB与∠COD有共同的顶点O，其中∠AOB=∠COD=60°．（1）如图①，试判断∠AOC与∠BOD的大小关系，并说明理由；（2）如图①，若∠BOC=10°，求∠AOD的度数；（3）如图①，猜想∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由；（4）若改变∠AOB，∠COD的位置，如图②，则（3）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请直接写出你的猜想．29．已知：∠AOD=160°，OB，OM，ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当射线OB绕点O在∠AOD 内旋转时，∠MON=度．（2）OC也是∠AOD内的射线，如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小．（3）在（2）的条件下，若∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD绕O点以每秒2°的速度逆时针旋转t秒，如图3，若∠AOM：∠DON=2：3，求t的值．30．如图，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC=100°，则∠DOE=；若∠AOC=120°，则∠DOE=；（2）若∠AOC=α，则∠DOE=（用含α的式子表示），请说明理由；（3）在∠AOC的内部有一条射线OF，满足∠AOC﹣2∠BOE=4∠AOF，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由．31．已知∠AOB是一个定角，记为α，在∠AOB的内部作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD，OE．（1）如图①，当α=120°，∠AOC=40°时，求∠DOE的度数；（2）如图①，当射线OC在∠AOB内绕点O旋转时，∠DOE的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，猜想∠DOE与α的关系，并证明；（3）当射线OC在∠AOB外绕点O旋转到图②位置时，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）．32．已知：∠AOD=160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠DOB，求∠MON的大小．（2）如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，求∠MON的大小．33．如图①，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图①，若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；（2）如图①，若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）（3）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，OE平分∠BOC．①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②在∠AOC的内部有一条射线OF，且∠AOC﹣3∠AOF=2∠BOE，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，说明理由．人教新版七年级上学期《4.3.2 角的比较与运算》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，点O为直线AB上一点，∠COD=90°，OE平分∠AOD．有下列四种结论，其中一定正确的个数有（）个①∠AOE=∠EOD②∠AOC=∠EOD③∠AOC+∠BOD=90°④∠BOD=2∠COEA．.4B．3C．2D．1【分析】根据角平分线定义即可判断①②；根据邻补角即可判断③，根据∠COD=90°和∠AOD=2∠AOE求出∠BOD=2∠BOD﹣2∠COE，即可判断④．【解答】解：∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠EOD，故①正确；∵∠AOE=∠EOD，∠AOC＜∠AOE，∴∠AOC＜∠EOD，故②错误；∵∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=180°﹣∠COD=90°，故③正确；∵∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣2∠AOE=180°﹣2（∠AOC+∠COE）=2（90°﹣∠AOC）﹣2∠COE=2∠BOD﹣2∠COE，∴∠BOD=2∠BOD﹣2∠COE，∴∠BOD=2∠COE，故④正确；即正确的有3个，故选：B．【点评】本题考查了角平分线的定义，邻补角等知识点，能根据知识点进行推理是解此题的关键．2．如图，下列条件中不能确定的是OC是∠AOB的平分线的是（）A．∠AOC=∠BOC B．∠AOB=2∠AOCC．∠AOC+∠BOC=∠AOB D．【分析】直接利用角平分线的性质分别分析得出答案．【解答】解：A、∠AOC=∠BOC能确定OC平分∠AOB，故此选项不合题意；B、∠AOB=2∠AOC能确定OC平分∠AOB，故此选项不合题意；C、∠AOC+∠COB=∠AOB不能确定OC平分∠AOB，故此选项符合题意；D、∠BOC=∠AOB，能确定OC平分∠AOB，故此选项不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了角平分线的性质，正确把握角平分线的定义是解题关键．3．如图，O是直线AB上的一点，过点O任意作射线OC，OD平分∠AOC，OE 平分∠BOC，则∠DOE（）A．一定是钝角B．一定是锐角C．一定是直角D．都有可能【分析】直接利用角平分线的性质得出∠AOD=∠DOC，∠BOE=∠COE，进而得出答案．【解答】解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠AOD=∠DOC，∠BOE=∠COE，∴∠DOE=×180°=90°，故选：C．【点评】此题主要考查了角平分线的定义，正确把握角平分线的定义是解题关键．4．下列说法中正确的是（）A．若∠AOB=2∠AOC，则OC平分∠AOBB．延长∠AOB的平分线OCC．若射线OC、OD三等分∠AOB，则∠AOC=∠DOCD．若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC【分析】画出反例图形，即可判断A、C；根据延长线的意义和射线的意义即可判断B；根据角平分线定义即可判断D．【解答】解：A、如图，符合条件，但是OC不是∠AOB平分线，故本选项错误；B、反向延长∠AOB的角平分线OC，故本选项错误；C、如图，∠AOC=2∠DOC，故本选项错误；D、∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了角平分线的定义，射线的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．5．射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是（）A．∠AOC=∠BOC B．∠AOC+∠BOC=∠AOBC．∠AOB=2∠AOC D．∠BOC=∠AOB【分析】利用角平分的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．可知B不一定正确．【解答】解：A、正确；B、不一定正确；C、正确；D、正确；故选：B．【点评】此题主要考查了从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．6．用一个放大镜去观察一个角的大小，正确的说法是（）A．角的度数扩大了B．角的度数缩小了C．角的度数没有变化D．以上都不对【分析】角的大小只与两边叉开的大小有关，放大镜不能改变角的大小．【解答】解：用放大镜看一个角的大小时，角的度数不会发生变化，故选：C．【点评】本题主要考查角的大小，明确角的大小只与两边叉开的大小有关，与其他无关是解决此类问题的关键．7．如图．∠AOB=∠COD，则（）A．∠1＞∠2B．∠1=∠2C．∠1＜∠2D．∠1与∠2的大小无法比较【分析】根据∠AOB=∠COD，再在等式的两边同时减去∠BOD，即可得出答案．【解答】解：∵∠AOB=∠COD，∴∠AOB﹣∠BOD=∠COD﹣∠BOD，∴∠1=∠2；故选：B．【点评】本题考查了角的大小比较，此题较简单，培养了学生的推理能力．8．已知∠A=60°24′，∠B=60.24°，∠C=60°14′24″，则（）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠A＞∠B=∠C C．∠B＞∠C＞∠A D．∠B=∠C＞∠A 【分析】将∠A、∠B、∠C统一单位后比较即可．【解答】解：∵∠A=60°24′=60.4°，∠B=60.24°，∠C=60°14′24″=60.24°，∴∠A＞∠B=∠C．故选：B．【点评】此类题是进行度、分、秒的转化计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．9．已知∠AOB和∠DEF，如果移动∠DEF使得顶点O与顶点E重合，边ED与边OA叠合，边EF在∠AOB内部，那么∠AOB和∠DEF大小关系是（）A．∠AOB＞∠DEF B．∠AOB＜∠DEF C．∠AOB=∠DEF D．不能确定【分析】依据叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．【解答】解：如图，由叠合法可得，∠AOB＞∠DEF，故选：A．【点评】本题主要考查了角的大小的比较，将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置即可．二．填空题（共6小题）10．已知：如图，AOB是直线，∠1：∠2：∠3=1：3：2，则∠DOB=120°．【分析】先设∠1为x°，则∠2=3x°，∠3=2x°，根据∠1+∠2+∠3=180°，列出方程，求出x的值，即可得出答案．【解答】解：设∠1为x°，则∠2=3x°，∠3=2x°，依题意有x+3x+2x=180，解得x=30，则∠DOB=x°+3x°=120°．故答案为：120°．【点评】本题考查了角的计算，关键是根据题意列出方程，求出x的值，用到的知识点是角的和、差．11．以∠AOB的顶点O为端点引射线OP，使∠AOP：∠BOP=3：2，若∠AOB=17°，∠AOP的度数为10.2°或51°．【分析】分射线OP在∠AOB的内部和外部两种情况进行讨论求解即可．【解答】解：如图1，当射线OP在∠AOB的内部时，设∠AOP=3x，则∠BOP=2x，∵∠AOB=∠AOP+∠BOP=5x=17°，解得：x=3.4°，则∠AOP=10.2°，如图2，当射线OP在∠AOB的外部时，设∠AOP=3x，则∠BOP=2x，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP，又∵∠AOB=17°，∴3x=17°+2x，解得：x=17°，则∠AOP=51°．故∠AOP的度数为10.2°或51°．故答案为：10.2°或51°．【点评】本题考查了角的计算，关键是分两种情况进行讨论．12．已知∠AOB=80°，以O为顶点，OB为一边作∠BOC=20°，OD平分∠AOC，则∠BOD度数为30°或50°．【分析】根据∠BOC的位置，先得出∠AOC的大小，当∠BOC的一边OC在∠AOB 外部时，两角相加，当∠BOC的一边OC在∠AOB内部时，两角相减即可，再利用角平分线的定义可得结果．【解答】解：以O为顶点，OB为一边作∠BOC=20°有两种情况：如图1，当∠BOC的一边OC在∠AOB外部时，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=80°+20°=100°，∵OD平分∠AOC，∴∠DOC=∠AOC=50°，则∠BOD=50°﹣20°=30°；如图2，当∠BOC的一边OC在∠AOB内部时，则∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=80°﹣20°=60°，则∠DOC=∠AOC=30°，故∠BOD=∠BOC+∠DOC=50°．故答案是：30°或50°．【点评】本题主要考查学生角的计算及角平分线的定义，采用分类讨论的思想是解答此题的关键．13．比较大小：52°52′＞52.52°．（填“＞”、“＜”或“=”）【分析】将角的度数换算成度分秒的形式，再进行比较即可得出结论、【解答】解：∵0.52×60=31.2，0.2×60=12，∴52.52°=52°31′12″，52°52′＞52°31′12″，故答案为：＞．【点评】本题考查的度分秒的换算以及角的大小比较，解题的关键是将角的度数换算成度分秒的形式，再进行比较．14．比较：28°15′＞28.15°（填“＞”、“＜”或“=”）．【分析】首先利用度分秒换算法则进行转化，再比较大小．【解答】解：∵28°15′=28°+（15÷60）°=28.25°，∴28°15′＞28.15°．故答案为：＞．【点评】此题主要考查了角的比较大小以及度分秒转化，正确掌握度分秒转化是解题关键．15．若∠A=∠B，∠B=2∠C，则∠A=2∠C（填＜，＞或=）．【分析】把∠B=2∠C代入∠A=∠B即可．【解答】解：∵∠A=∠B，∠B=2∠C，∴∠A=2∠C，故答案为：=．【点评】本题考查了角的大小比较的应用，主要考查学生的理解能力．三．解答题（共18小题）16．如图，O为直线AB上一点，∠AOC=60°，OD平分∠OC，∠DOE=90°．（1）求出∠BOD的度数；（2）请通过计算说明OE是否平分∠BOC．【分析】（1）根据∠BOD=∠DOC+∠BOC，首先利用角平分线的定义和邻补角的定义求得∠DOC和∠BOC即可；（2）根据∠DOC与∠COE互余即可得出∠COE的度数，由（1）可知∠BOC=120°，那么∠BOE=∠BOC﹣∠COE=60°，进而可得出结论，从而求解．【解答】解：（1）因为∠AOC=60°，OD平分∠AOC，所以∠DOC=∠AOC=30°，∠BOC=180°﹣∠AOC=120°，所以∠BOD=∠DOC+∠BOC=150°；（2）OE平分∠BOC．理由如下：∵∠DOE=90°，∠DOC=30°，∴∠COE=90°﹣30°=60°，∵∠BOC=120°，∴∠BOE=∠BOC﹣∠COE=120°﹣60°=60°，∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．【点评】本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的关键．17．如图所示，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数？【分析】先根据角平分线定义得：∠AOM=×120°=60°，同理得：∠CON=∠BOC==15°，最后利用角的差可得结论．【解答】解：∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，∴∠AOC=90°+30°=120°，∵OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠AOC=×120°=60°，∵ON平分∠BOC，∴∠CON=∠BOC==15°，∴∠MON=∠AOC﹣∠AOM﹣∠CON=120°﹣60°﹣15°=45°．【点评】本题考查了角平分线的定义和角的和与差，熟练掌握角平分线的定义是关键．18．已知，O为直线AB上一点，∠DOE=90°．（1）如图1，若∠AOC=130°，OD平分∠AOC．①求∠BOD的度数；②请通过计算说明OE是否平分∠BOC．（2）如图2，若∠BOE：∠AOE=2：7，求∠AOD的度数．【分析】（1）①根据角平分线的定义求出∠AOD的度数，再根据平角的定义求出∠BOD的度数；②根据角的和差求出∠COE=∠DOE﹣∠DOC=90°﹣65°=25°，∠BOE=∠BOD﹣∠DOE=115°﹣90°=25°，根据角平分线的定义即可求解；（2）设∠BOE=2x，则∠AOE=7x，根据平角的定义列出方程求出x，进一步求出∠AOD的度数．【解答】解：（1）①∵OD平分∠AOC，∠AOC=130°，∴∠AOD=∠DOC=∠AOC=×130°=65°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣65°=115°；②∵∠DOE=90°，又∵∠DOC=65°，∴∠COE=∠DOE﹣∠DOC=90°﹣65°=25°，∵∠BOD=115°，∠DOE=90°，∴∠BOE=∠BOD﹣∠DOE=115°﹣90°=25°，∴∠COE=∠BOE，即OE平分∠BOC．（2）若∠BOE：∠AOE=2：7，设∠BOE=2x，则∠AOE=7x，又∵∠BOE+∠AOE=180°，∴2x+7x=180°，∴x=20°，∠BOE=2x=40°，∵∠DOE=90°，∴∠AOD=90°﹣40°=50°．【点评】主要考查了角平分线的定义和角的运算．结合图形找到其中的等量关系进一步解决问题．19．如图1，点O为直线AB上的一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°．将一直角三角板的直角顶点放在O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针旋转一周，在旋转的过程中，假如第t秒时，OA、OC、ON三条射线构成相等的角，求此时t的值为多少？（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据已知条件可知，在第t秒时，三角板转过的角度为10°t，然后按照OA、OC、ON三条射线构成相等的角分四种情况讨论，即可求出t的值；（2）根据三角板∠MON=90°可求出∠AOM、∠NOC和∠AON的关系，然后两角相加即可求出二者之间的数量关系．【解答】解：（1）∵三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转，∴第t秒时，三角板转过的角度为10°t，当三角板转到如图①所示时，∠AON=∠CON∵∠AON=90°+10°t，∠CON=∠BOC+∠BON=120°+90°﹣10°t=210°﹣10°t∴90°+10°t=210°﹣10°t即t=6；当三角板转到如图②所示时，∠AOC=∠CON=180°﹣120°=60°∵∠CON=∠BOC﹣∠BON=120°﹣（10°t﹣90°）=210°﹣10°t∴210°﹣10°t=60°即t=15；当三角板转到如图③所示时，∠AON=∠CON=，∵∠CON=∠BON﹣∠BOC=（10°t﹣90°）﹣120°=10°t﹣210°∴10°t﹣210°=30°即t=24；当三角板转到如图④所示时，∠AON=∠AOC=60°∵∠AON=10°t﹣180°﹣90°=10°t﹣270°∴10°t﹣270°=60°即t=33．故t的值为6、15、24、33．（2）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，∴∠AOM=90°﹣∠AON，∠NOC=60°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）=30°．【点评】本题主要考查角的和、差关系，难点是找出变化过程中的不变量，需要结合图形来计算，在计算分析的过程中注意动手操作，在旋转的过程中得到不变的量．20．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=135°，将一个含45°角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．（1）将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM= 90°；在图2中，OM是否平分∠CON？请说明理由；（2）紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 4.5秒或40.5秒（直接写出结果）．【分析】（1）利用旋转的性质可得∠BOM的度数，然后计算∠MOC的度数判断OM是否平分∠CON；（2）利用∠AOM=45°﹣∠AON和∠NOC=45°﹣∠AON可判断∠AOM与∠CON之间的数量关系；（3）ON旋转22.5度和202.5度时，ON平分∠AOC，然后利用速度公式计算t 的值．【解答】解：（1）如图2，∠BOM=90°，OM平分∠CON．理由如下：∵∠BOC=135°，∴∠MOC=135°﹣90°=45°，而∠MON=45°，∴∠MOC=∠MON；故答案为90°；（2）∠AOM=∠CON．理由如下：如图3，∵∠MON=45°，∴∠AOM=45°﹣∠AON，∵∠AOC=45°，∴∠NOC=45°﹣∠AON，∴∠AOM=∠CON；（3）T=×45°÷5°=4.5（秒）或t=（180°+22.5°）÷5°=40.5（秒）．故答案为90°；4.5秒或40.5秒．【点评】本题考查了角的计算：熟练掌握度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．21．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置，使一边OM在∠BOC 的内部，当OM平分∠BOC时，∠BON=60°；（直接写出结果）（2）在（1）的条件下，作线段NO的延长线OP（如图③所示），试说明射线OP是∠AOC的平分线；（3）将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC与∠AOM 之间的数量关系．（直接写出结果，不须说明理由）【分析】（1）依据∠AOC=120°，可得∠BOC=180°﹣120°=60°，再根据OM平分∠BOC，可得∠BOM=30°，最后依据∠NOM=90°，即可得出∠BOM=90°﹣30°=60°；（2）依据∠AOP=∠BOM=60°，∠AOC=120°，即可得到∠AOP=∠AOC，进而得到射线OP是∠AOC的平分线；（3）依据∠AOC=120°，∠MON=90°，即可得到∠AON=120°﹣∠NOC，∠AON=90°﹣∠AOM，进而得到120°﹣∠NOC=90°﹣∠AOM，据此可得∠NOC与∠AOM 之间的数量关系．【解答】解：（1）如图②，∠AOC=120°，∴∠BOC=180°﹣120°=60°，又∵OM平分∠BOC，∴∠BOM=30°，又∵∠NOM=90°，∴∠BOM=90°﹣30°=60°，故答案为：60°；（2）如图③，∵∠AOP=∠BOM=60°，∠AOC=120°，∴∠AOP=∠AOC，∴射线OP是∠AOC的平分线；（3）如图④，∵∠AOC=120°，∴∠AON=120°﹣∠NOC，∵∠MON=90°，∴∠AON=90°﹣∠AOM，∴120°﹣∠NOC=90°﹣∠AOM，即∠NOC﹣∠AOM=30°．【点评】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是利用角的和差关系进行计算．22．已知，∠AOD=160°，OB、OM、ON 是∠AOD内的射线（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，则∠MON=80°（2）如图2，OC是∠AOD内的射线，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当射线OB在∠AOC内时，求∠MON的大小；（3）如图2，在（2）的条件下，当∠AOB=2t°时，∠AOM：∠DON=2：3，求t 的值．【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠BOM和∠BON，然后根据∠MON=∠BOM+∠BON代入数据进行计算即可得解；（2）设∠AOB=x，表示出∠BOD=160°﹣x，根据角平分线的定义表示出∠COM和∠BON，然后根据∠MON=∠COM+∠BON﹣∠BOC列式计算即可得解；（3）由∠AOB=2t°，∠BOC=20°，则∠AOM=∠AOC=t°+10°，∠DON=∠BOD=80°﹣t°，列式计算即可．【解答】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠BOM=∠AOB，∠BON=∠BOD，∴∠MON=∠BOM+∠BON=（∠AOB+∠BOD），∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=160°，∴∠MON=×160°=80°；故答案为：80；（2）设∠AOB=x，则∠BOD=160°﹣x，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠COM=∠AOC=（x+20°），∠BON=∠BOD=（160°﹣x），∴∠MON=∠COM+∠BON﹣∠BOC=（x+20°）+（160°﹣x）﹣20°=70°；（3）由∠AOB=2t°，∠BOC=20°，则∠AOC=2t°+20°，∠BOD=160°﹣2t°，∴∠AOM=∠AOC=t°+10°，∠DON=∠BOD=80°﹣t°，∵∠AOM：∠DON=2：3，∴=，解得：t=26．【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，准确识图是解题的关键，难点在于要注意整体思想的利用．23．如图，已知∠AOB=108°，OE是∠AOB的平分线，OC在∠AOE内．（1）若∠COE=∠AOE，求∠AOC的度数；（2）若∠BOC﹣∠AOC=72°，则OB与OC有怎样的位置关系？为什么？【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；（2）根据角的和差和垂直的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠COE=∠AOE，∴∠AOE=3∠COE，∵OE是∠AOB的平分线，∴∠AOB=2∠AOE=6∠COE，∵∠AOB=180°，∴∠COE=18°，∴∠AOC=2∠COE=2×18°=36°；（2）OB⊥OC，设∠BOC=x°，则∠AOC=108°﹣x°，∵∠BOC﹣∠AOC=72°，∴x﹣（108﹣x）=72，解得x=90，∴∠BOC=90°，∴OB⊥OC．【点评】本题主要考查角的比较与运算，还考查了角平分线的定义等知识点，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．24．如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB且∠AOC=50°，求∠COD的度数．【分析】求出∠BOC，求出∠AOB，根据角平分线求出∠AOD，代入∠COD=∠AOD ﹣∠AOC求出即可．【解答】解：∵∠BOC=2∠AOC，∠AOC=50°，∴∠BOC=2×50°=100°，∴∠AOB=∠BOC+∠AOC=100°+50°=150°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=∠AOB=×150°=75°，∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=75°﹣50°=25°．【点评】本题考查了角的平分线定义和角的计算，关键是求出∠AOD的度数和得出∠COD=∠AOD﹣∠AOC．25．如图，∠AOB等于∠COD，请判断∠AOC和∠BOD的大小关系并说明理由．【分析】∠AOC=∠BOD．根据图形得到：∠AOB﹣∠BOC=∠COD﹣∠BOC，即∠AOC=∠BOD．【解答】解：∠AOC=∠BOD．理由如下：∵∠AOB=∠COD，∴∠AOB﹣∠BOC=∠COD﹣∠BOC，即∠AOC=∠BOD．【点评】本题考查了角的大小比较．注意数形结合数学思想在解题中的应用．26．如图，∠BOD=90°，∠COE=90°，解答下列问题：（1）图中有哪些小于平角的角？用适当的方法表示出它们．（2）比较∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOB的大小，并指出其中的锐角、钝角、直角、平角．（3）找出图中所有相等的角．【分析】根据题中所给条件，结合图形：（1）找出途中锐角、直角、钝角即可；（2）直接比较，并且分类即可；（3）利用直角都相等，等角的余角相等列出即可．【解答】解：（1）图中小于平角的角有∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠DOE、∠DOB、∠EOB；（2）由图可知，∠AOC＜∠AOD＜∠AOE＜∠AOB，其中∠AOC为锐角，∠AOD为直角，∠AOE为钝角，∠AOB为平角；（3）∠AOC=∠DOE，∠COD=∠BOE，∠AOD=∠BOD=∠COE．【点评】此题考查对角的分类以及角的大小比较，注意找角要从一个点出发，按一定的顺序数．27．如图所示，比较∠α与∠β的大小．【分析】根据度量法或叠合法即可得出结论．【解答】解：方法一：∵用量角器∠α=60°，∠β=46°，∴∠α＞∠β．方法二：①作∠AOB=∠α；②用点O作顶点，一边为射线OA，在与OB同侧的方向作∠AOC=∠β，∵射线OC在∠AOB的内部，∴∠α＞∠β．【点评】本题考查的是角的大小比较，熟知比较角的大小的两种方法是解答此题的关键．28．∠AOB与∠COD有共同的顶点O，其中∠AOB=∠COD=60°．（1）如图①，试判断∠AOC与∠BOD的大小关系，并说明理由；（2）如图①，若∠BOC=10°，求∠AOD的度数；（3）如图①，猜想∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由；（4）若改变∠AOB，∠COD的位置，如图②，则（3）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请直接写出你的猜想．【分析】（1）利用角的和差定义证明即可；（2）求出∠AOC即可解决问题；（3）结论：∠AOD+∠COB=120°．利用角的和差定义证明即可；（4）不成立．猜想：∠AOD+∠BOC=240°，根据周角的性质证明即可；【解答】解：（1）结论：∠AOC=∠BOD．理由：∵∠AOB=∠COD=60°，∴∠AOC+∠BOC=∠BOD+∠BOC，∴∠AOC=∠BOD．（2）∵∠BCO=10°，∠AOB=60°，∴∠AOC=50°，∴∠AOD=∠AOC+∠COD=50°+60°=110°．（3）猜想：∠AOD+∠COB=120°．理由：∵∠AOB=∠COD=60°．∴∠AOD=∠AOB+∠COD﹣∠COB=120°﹣∠COB，∴∠AOD+∠COB=120°．（4）不成立．猜想：∠AOD+∠BOC=240°，理由：∵∠AOB=∠COD=60°．∴∠AOD+∠BOC=360°﹣60°﹣60°=240°．【点评】本题考查角的计算，角的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．29．已知：∠AOD=160°，OB，OM，ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当射线OB绕点O在∠AOD 内旋转时，∠MON=80度．（2）OC也是∠AOD内的射线，如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小．（3）在（2）的条件下，若∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD绕O点以每秒2°的速度逆时针旋转t秒，如图3，若∠AOM：∠DON=2：3，求t的值．【分析】（1）依据OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，即可得到∠MON=∠BOM+∠BON=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD；（2）依据OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，即可得到∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，再根据∠MON=∠MOC+∠BON﹣∠BOC进行计算即可；（3）依据∠AOM=（10°+2t+20°），∠DON=（160°﹣10°﹣2t），∠AOM：∠DON=2：3，即可得到3（30°+2t）=2（150°﹣2t），进而得出t的值．【解答】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠BOM=∠AOB，∠BON=∠BOD，∴∠MON=∠BOM+∠BON=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD=80°，故答案为：80；（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，即∠MON=∠MOC+∠BON﹣∠BOC=∠AOC+∠BOD﹣∠BOC=（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC=（∠AOB+∠BOC+∠BOD）﹣∠BOC=（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC=×180°﹣20°=70°；（3）∵∠AOM=（10°+2t+20°），∠DON=（160°﹣10°﹣2t），又∵∠AOM：∠DON=2：3，∴3（30°+2t）=2（150°﹣2t），得t=21．答：t为21秒．【点评】本题考查的是角平分线的定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．30．如图，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC=100°，则∠DOE=50°；若∠AOC=120°，则∠DOE=60°；（2）若∠AOC=α，则∠DOE=α（用含α的式子表示），请说明理由；（3）在∠AOC的内部有一条射线OF，满足∠AOC﹣2∠BOE=4∠AOF，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由．【分析】（1）先根据平角的定义求出∠BOC，再根据角平分线的定义求得∠COE，再根据直角的定义可求∠DOE；（2）先根据平角的定义求出∠BOC，再根据角平分线的定义求得∠COE，再根据直角的定义可求∠DOE；（3）设∠DOE=x，∠AOF=y，根据已知和（2）的结论可得出x﹣y=45°，从而得出结论．【解答】解：（1）∵∠AOC=100°，∴∠BOC=180°﹣100°=80°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=×80°=40°，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣40°=50°；∵∠AOC=120°，∴∠BOC=180°﹣120°=60°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=×60°=30°，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣30°=60°；故答案为：50°；60°；（2）∠DOE=α；∵∠AOC=α，∴∠BOC=180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=90°﹣α，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣（90°﹣α）=α；故答案为：α；（3）∠DOE﹣∠AOF=45°．理由：∵∠AOC﹣2∠BOE=4∠AOF，∴∠AOC﹣3∠AOF=2∠BOE+∠AOF，设∠DOE=x，∠AOF=y，左边=∠AOC﹣3∠AOF=2∠DOE﹣3∠AOF=2x﹣3y，右边=2∠BOE+∠AOF=2（90°﹣x）+y=180°﹣2 x+y，∴2x﹣3y=180﹣2 x+y 即4x﹣4y=180°，∴x﹣y=45°∴∠DOE﹣∠AOF=45°．【点评】此题考查的知识点是角平分线的性质及角的计算，关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差倍分．31．已知∠AOB是一个定角，记为α，在∠AOB的内部作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD，OE．（1）如图①，当α=120°，∠AOC=40°时，求∠DOE的度数；（2）如图①，当射线OC在∠AOB内绕点O旋转时，∠DOE的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，猜想∠DOE与α的关系，并证明；（3）当射线OC在∠AOB外绕点O旋转到图②位置时，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）．【分析】（1）根据角平分线的定义，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE=∠COE+∠COD；（2）结合角的特点∠DOE=∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算；（3）根据周角的定义，结合角的特点∠DOE=∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算．【解答】解：（1）∵α=120°，∠AOC=40°，∴∠BOC=80°，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE=∠BOC=40°，∠COD=∠AOC=20°，∴∠DOE=60°；（2）∵∠BOC=α﹣∠AOC，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE=∠BOC=α﹣∠AOC，∠COD=∠AOC，∴∠DOE=∠COE+∠COD=α；（3）∠DOE=（360°﹣α）=180°﹣α．【点评】考查了角的计算，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键．32．已知：∠AOD=160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠DOB，求∠MON的大小．（2）如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，求∠MON的大小．【分析】（1）根据角平分线的定义、结合图形计算；（2）根据角平分线的定义得到∠MOC=∠AOC，∠NOB=∠DOB，计算即可．【解答】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠DOB，∴∠MOB=∠AOB，∠NOB=∠DOB，∴∠MON=∠MOB+∠BON=（∠AOB+∠DOB）=∠AOD=80°；（2）OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，∴∠MOC=∠AOC，∠NOB=∠DOB，∴∠MON=∠MOC+∠BON﹣∠BOC=（∠AOC+∠DOB）﹣∠BOC=70°．【点评】本题考查的是角的计算、角平分线的定义，正确进行角的计算、掌握角平分线的定义是解题的关键．33．如图①，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图①，若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；（2）如图①，若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）（3）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，OE平分∠BOC．。
角的比较与运算_人教版七年级数学上册
A．∠AOB<∠AOD
9． 已知 ∠AOB＝ 40°， 过 点 O引 射 线OC， 若∠ AOC∶∠COB＝ (1)153°29′42″＋26°40′32″；
1．已知∠ABC与∠MNP，若点B与点N重合，BC与NM重合，且BA在∠MNP的内部，则它们的大小关系是
()
2．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB＝35°，则∠AOD等于
第四章 几何图形初步
4.3 角
第2课时 角的比较与运算
1．比较两个角大小的两种常用方法
度量法和叠合法．
2．角平分线 (1)概念：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个__相__等____
的角的__射__线____，叫做这个角的平分线.
(2)表示：如图，因为 OC 是∠AOB 的平分线，所以
___∠__A__O_C____
()
第1．2课 已时知∠角AB的C比与较∠与MN运P算，若点B与点N重合，BC与NM重合，且BA在∠MNP的内部，则它们的大小关系是
()
与点B，C重合)，使点C落在长方形的内部点E处．若FH平分∠BFE， 3(2．)9借0°助－一7副8°三1角9′4尺0″，；能画出下列各度数的角的是
C8．．把∠一CO副D三<∠角A尺O如D图所示拼在一起．
(3)∠AOC______∠AOD．
4．如图，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点C．若∠ACD＝120°，则∠BCE＝________.
(1)写出图中∠A，∠B，∠BCD，∠D，∠AED的度数；
1．你能借助一副三角板比较60°和45°的大小吗？
(2)90°－78°19′40″；
(2)180°－(35°47′＋56.
(2)若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．
8.2.1角的比较与运算
解： 由图形可以看出， ∠ AOC是
∠AOB与∠BOC的和，即 ∠ AOC= ∠AOB+∠BOC； 同样的，∠ BOD= ∠BOC+∠COD；
当∠ AOB= ∠ COD时，
∠ AOC= ∠ BOD.
通过这堂课的学习，你有什么收获？
1、比较两个角大小的方法
2、角的和、差、倍、分 关系 3、角平分线
A D B （ ） （ ） C
E
F
ED落在∠ABC的内部，则∠DEF ＜ ∠ABC
D A A D A D BE C F
BE
C F B
E
C F
∠DEF >∠ABC
∠DEF ＝∠ABC
∠DEF ＜ ∠ABC
思考：下图中共有几个角？它们 A 有什么关系？
C
O 完成下列问题： ∠ AOB ∠AOC ∠BOC 3 1、图中共有＿＿个角，它们分别是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ∠AOC ∠BOC 2、∠AOB＝＿＿＿＿ +＿＿＿＿＿ ∠AOB ∠BOC 3、∠AOC＝＿＿＿＿－＿＿＿＿＿
利用一副三角板，我们能 画出哪些度数的角？
180 º
150 º
135 º
120 º
105 º
75 º
60 º
15 º
45 º
30 º
角的平分线：
Ａ
Ｃ
Ｏ
Ｂ
从一个角的顶点出发，把这个角分成相 等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
问题：
已知射线OC是∠AOB的角平分线， 你能写出图中各角的关系吗？
黄岗中学数学组
A
读数为45
45°
o
D
B
60°
E
F
所以:∠AOB＜∠DEF
2023-2024学年人教部编版初中数学七年级上册课时练《4.3.2 角的比较与运算》01(含答案)
人教版七年级数学上册《4.3.2 角的比较与运算》课时练1．在∠AOB的内部取一点C，作射线OC，则一定存在（）A．∠AOB＞∠AOC B．∠AOC＞∠BOCC．∠BOC＞∠AOC D．∠AOC＝∠BOC2．如图所示，若∠AOB＝∠COD，则（）第2题图A．∠1>∠2 B．∠1＝∠2C．∠1<∠2 D．∠1与∠2的大小关系不能确定3．如图，OC为∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是（）A．∠AOC＝∠BOCB．∠AOB＝2∠AOCC．∠AOC＋∠COB＝∠AOBD．∠BOC＝12∠AOB 第3题图4．如图，已知O是直线AB上一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．70°第4题图5．借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角？（）A．65°B．75°C．85°D．95°6．已知∠AOB＝30°，∠BOC＝45°，则∠AOC等于（）A．15°B．75°C．15°或75°D．不能确定7．如图所示，（1）∠BAC＝____________＋____________；（2）∠ABE＝____________＋____________；（3）∠2＝________－________－________；（4）∠ADB＝____________－____________．第7题图8．如图所示，已知∠AOD＝120°，∠AOC＝2∠AOB＝60°，那么∠BOD=_______度．第8题图9．计算下列各题．（1）98°45′36″＋71°22′34″＝____________；（2）52°37′－31°45′12″＝____________；（3）13°24′15″×5＝____________；（4）58°34′16″÷4＝____________．10．如图，∠BOA＝90°，OC平分∠BOA，OA平分∠COD，求∠BOD的大小．第10题图11．如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝100°，且∠AOB∶∠AOD＝2∶7，求∠BOC和∠COD的度数．第11题图12．如图，OC，OD是∠AOB内的两条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，∠AOB＝120°，∠MON＝80°，则∠COD＝__________．第12题图13．如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°.（1）请你数一数，图中有________个小于平角的角；（2）若∠AOC＝50°，则∠COE的度数为________，∠BOE的度数为________；（3）猜想：OE是否平分∠BOC？请通过计算说明你猜想的结论的正确性．第13题图14．一题多变：（1）如图1，已知∠AOB＝80°，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE的度数；（2）如图2，在（1）中，把“OC是∠AOB的平分线”改为“OC为∠AOB 内任意一条射线”，其他条件不变，试求∠DOE的度数；（3）如图3，在（1）中，把“OC是∠AOB的平分线”改为“OC是∠AOB 外的一条射线（点A与点C在直线OB同侧）”，其他条件不变，能否求出∠DOE的度数，说明理由；（4）在（3）中，若把“∠AOB＝80°”改为“∠AOB＝α”，其他条件不变，求此时∠DOE的度数，从中你得出什么规律？第14题图参考答案1—5．ABCDB6．C7．（1）∠1∠2（2）∠ABD∠DBE（3）∠BAD∠1∠3（4）∠ADC∠BDC8．1509．（1）170°8′10″（2）20°51′48″（3）67°1′15″（4）14°38′34″10．因为OC平分∠BOA，所以∠AOC＝12∠ABO.因为∠AOB＝90°，所以∠AOC＝12×90°＝45°.因为OA平分∠COD，所以∠AOD＝∠AOC＝45°.所以∠BOD＝∠AOB＋∠AOD＝90°＋45°＝135°.11．设∠AOB和∠AOD分别为2x°、7x°，由题意，得2x＋100＝7x，解得x＝20.则∠AOB＝40°，∠AOD＝140°.所以∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝60°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝40°.12．40°13．（1）9（2）65°65°（3）结论：OE平分∠BOC.设∠AOC＝2α.因为OD平分∠AOC，∠AOC＝2α，所以∠AOD＝∠COD＝12∠AOC＝α.因为∠DOE＝90°，所以∠COE＝∠DOE－∠COD＝90°－α.因为∠BOE＝180°－∠DOE－∠AOD＝180°－90°－α＝90°－α，所以∠COE＝∠BOE，即OE平分∠BOC.14．（1）因为OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，所以∠DOC＝12∠BOC，∠COE＝12∠AOC，又因为∠DOE＝∠DOC＋∠COE，所以∠DOE＝12（∠BOC＋∠AOC）＝12∠AOB＝40°；（2）同（1）的求法可知，∠DOE＝40°；（3）可以．理由如下：因为OE平分∠AOC，OD平分∠BOC，所以∠AOE＝12∠AOC，∠COD＝12∠BOC，所以∠DOE＝∠COD－∠COE＝12（∠BOC－∠AOC）＝12∠AOB＝40°；（4）∠DOE＝12α.规律：不管射线OC在∠AOB的内部还是外部，都有∠DOE＝12α.。
角的比较与运算练习题
角的比较与运算（一）一、选择题1．在∠AOB的内部取一点C，作射线OC，则一定存在 ( )A．∠AOB>∠AOC B.∠AOC>∠BOC C.∠BOC>∠A OC D.∠AOC=∠BOC2．下列说法错误的是 ( )A．角的大小与角的边画出部分的长短没有关系B．角的大小与它们的度数大小是一致的C．角的和差倍分的度数等于它们的度数的和差倍分D．若∠A+ ∠B>∠C，那么∠A 一定大于∠C3．画一个钝角∠AOB，然后以O为顶点，以OA为一边在角的内部画一条射线OC，使∠AOC= 900，下列图形中画得正确的是 ( )A B C D4．如图，A、O、E三点共线，图中小于1800的角的个数有 ( )A．10 B．6 C．8 D．9第4题图第6题图第9题图第10题图5．下列关于角的说法正确的个数是 ( )①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大；③在角一边延长线上取一点D；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．A．1个B．2个 C．3个 D．4个6．如图，OB平分∠AOC，且∠BOC：∠COD：∠DOA =2：5：3，则∠AOB等于 ( )A．300 B．360 C．400 D．6007．如果∠AOB= 820，∠BOC= 360，那么∠AOC的度数是 ( )A．1180 B．460 C．1180或460 D．无法确定8．用一幅三角板不能画出的角的度数是 ( )A．750 B．1350 C．1600 D．10509．如图，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，则下列各式中正确的是 ( )A．∠AOC=∠DOE B. ∠AOE=∠DOB C. ∠AOB =2∠DOE D. ∠BOC=∠DOE条射线，其中正确的个数有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．如图，∠AOB_____∠AOC，∠AOB____∠BOC.（填“>”、“=”或“<”）第11题图第12题图第15题图第16题图12．如图，∠AOC=______+______=______-_____；∠BOC=______-_____=______-______13．OC是∠AOB内部的一条射线，若∠AOC=12______，则OC平分∠AOB；若OC是∠AOB的角平分线，则____=2∠AOC.14．12平角=______直角，14周角=_____平角=______直角，1350角______平角．15．如图，∠AOB = ∠COD =900，∠AOD= 1460，则∠BOC=_______0.16．如图，∠AOB=900，OD平分∠BOC，∠DOE=450，则∠AOE____∠COE.（填“>”、“=”或“<”）17．已知∠AOB =3∠BOC，若∠BOC= 300．则∠AOC等于______度．第18题图第19题图18．如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，则∠EOF=_度19．如图，∠AOB=800，射线OC是∠AOB的角平分线，射线OD是∠COB的平分线，射线OE是∠AOD 的平分线，那么∠COE等于_____度.20．已知∠AOB=1500，∠BOC=300，OD平分∠AOC，OE是∠AOB的一条三等分线，则∠DOE等于______度．三、解答题1．如图，∠BAE =750，∠DAE= 150，AC是∠BAD的平分线，求∠CAD的度数．2．如图，B平分∠ABC，BE分∠ABC为2：5两部分，∠DBE= 240，求∠ABE的度数3．如图，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，∠AOD= 400，∠BOE= 250，求∠AOB的度数．4．已知∠AOB，过O点作射线OC，若∠AOC=12∠AOB，且∠AOC= 220，求∠BOC的度数．5．如图，∠AOC与∠AOB的和为1800，OM、ON分别是∠AOC、∠AOB的平分线，∠MON=400，求∠AOC 和∠AOB的度数．6．已知∠AOB=600，∠BOC=1200，OD平分∠AOB，OE是∠BOC的一条三等分线，求∠DOE的度数，。
《角的比较与运算》习题
角的比较与运算
一、选择题
1．下列语句中，正确的是（）．
A．比直角大的角钝角; B．比平角小的角是钝角
C．钝角的平分线把钝角分为两个锐角; D．钝角与锐角的差是锐角2．两个锐角的和（）．
A．必定是锐角; B．必定是钝角;
C．必定是直角; D．可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角3．两个角的和与这两个角的差互补，则这两个角（）．
A．一个是锐角，一个是钝角; B．都是钝角;
C．都是直角; D．必有一个是直角
4．下列说法错误的是（）．
A．两个互余的角都是锐角; B．一个角的补角大于这个角本身;
C．互为补角的两个角不可能都是锐角;
D．互为补角的两个角不可能都是钝角
二、解答题
5．所示，直线AB上一点O，任意画射线OC，已知OD、OE分别是∠AOC、•∠BOC 的角平分线，求∠DOE的度数．
6．如图所示，已知∠AOB=165°，∠AOC=∠BOD=90°，求∠COD．
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角的比较与运算例题解析
角的比较与运算例题解析1. 引言1.1角的概念与基本属性【角的概念与基本属性】角是平面几何中的重要概念之一，它由两条射线以一个公共端点组成。
在初中数学学习中，我们常常需要比较和运算不同角的大小和性质。
下面我们来详细介绍角的比较与运算的例题解析。
一、角的比较：角的比较是通过比较两个角的大小来确定它们的关系。
通常，我们可以通过以下几种方式进行角的比较：1.估算比较法：对于一些特殊的角，我们可以通过估算它们的大小来比较它们的大小关系。
例如，右角（90度）一定大于锐角，而钝角（大于90度）则一定大于直角。
2.角度运算法：通过将角度转换成度数，我们可以使用数值的大小来比较两个角的关系。
需要注意的是，角度越大，角就越大。
但是当角度相等时，我们无法进一步确定两个角的大小关系。
3.度数与弧度的比较法：角度与弧度是表示角度大小的两种常见方式。
弧度是一个无量纲的物理量，是弧长与半径的比值。
通过将角度转换为弧度，我们可以利用弧度的大小进行角的比较。
二、角的运算：角的运算主要是指角的加法和减法运算。
在角的运算中，我们需要使用以下几个重要的基本概念和公式：1.对内角和对外角：对于一个多边形，每一个内角和对应的外角之和等于180度。
根据这个性质，我们可以利用对内角和对外角之间的关系进行角的运算。
2.余角和补角：余角是指两个角之和等于90度的角，而补角是指两个角之和等于180度的角。
通过这两个概念，我们可以进行角的加法和减法运算。
3.角平分线：角平分线是指从角的顶点出发，将角分成两个相等的角的线。
在角的运算中，我们常常使用角平分线来帮助解题。
通过学习角的比较与运算，我们可以更好地理解角的概念与基本属性，从而应用到更复杂的几何问题中去。
熟练掌握角的比较与运算的方法和技巧，对于解决几何问题具有重要的帮助作用。
以上内容是关于“角的概念与基本属性”中角的比较与运算的例题解析。
通过丰富的例题解析，我们希望能够帮助大家更好地掌握角的比较与运算的方法和技巧。
第四章 第10课 角的比较与运算(1)
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以下度数的角．
(1)75°；
(2)105°.
（1）
（2）
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8．利用三角板画出以下度数的角．
(1)15°；
(2)135°.
（1）
（2）
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二、过关检测
第1关
9．若∠1＝40.4°，∠2＝40°4′，则∠1 与∠2 的关系是( B )
A．∠1＝∠2
4．(1)如图①，∠AOB＝90°，∠1＝63°28′，则∠2＝_2_6__°_3_2__′.
(2)如图②，点 A，O，B 在同一直线上，∠2＝52°41′，则∠1＝ __1_2_7_°_1_9__′.
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5．(例 3)填空： (1)钟表在 3：00 时，分针与时针的夹角是_9_0__度； (2)钟表在 8：00 时，分针与时针的夹角是__1_2_0_度； (3)钟表在 3：30 时，分针与时针的夹角是_7_5__度．
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3．(例 2)如图，
(1)若∠1＝20°，∠2＝40°，则∠AOB 的度数为__6_0_°____. (2)若∠1＝25°48′，∠AOB＝60°15′，求∠2 的度数． (2)∠2＝∠AOB－∠1＝60°15′－25°48′＝34°27′
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B．∠1>∠2
C．∠1<∠2
D．以上都不对,
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10．填空： (1)50.6°＝__5_0_°_3_6__′； (2)28°36′＝_2_8_._6__°； (3)49°38′＋51°22′＝_1_0_1__°； (4)180°－49°19′＝_1_3_0__°__4_1_′； (5)21°6′×5＝_1_0_5__°__3_0_′； (6)180°36′÷4＝_4_5__°_9__′.
七年级数学上册几角的比较与运算练习题
七年级数学上册几角的比较与运算练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．用度、分、秒表示91.34︒为（ ）A ．9120'24''︒B ．9134'︒C ．9120'4''︒D ．913'4''︒2．如图，下列各式中错误的是（ ）A ．∠AOC ＝∠1＋∠2B ．∠AOC ＝∠AOD －∠3 C ．∠1＋∠2＝∠3 D ．∠AOD －∠1－∠3＝∠23．如图所示，//CD AB ，OE 平分∠AOD ，80EOF ∠=︒，60D ∠=︒，则∠BOF 为（ ）A ．35︒B ．40︒C ．25︒D ．20︒4．若110AOC ∠=︒，OB 在AOC ∠内部，OM 、ON 分别平分AOC ∠和AOB ∠，若23MON ∠=︒，则AOB ∠度数为（ ）．A ．43.5︒B ．46︒C ．64︒D ．87︒5．如图，D 、E 分别为ABC 的边AB 、AC 的中点，连接DE ，过点B 作BF 平分ABC ∠，交DE 于点F ，若4EF =，7AD =，则BC 的长为（ ）A ．22B ．20C ．18D ．166．如图，O 是直线AD 上一点，射线,OC OE 分别平分,AOB BOD ∠∠，则COE ∠的大小为（ ）A ．120°B ．60°C ．90°D ．150°7．如图，在22⨯的正方格中，连接AB 、AC 、AD ，则图中1∠、2∠、3∠的和（ ）．A ．必为锐角B ．必为直角C ．必为钝角D ．可能是锐角、直角或钝角 8．已知∠A =20°18′，∠B =20°15′30″，∠C =20.25°，则度数最大的是( )A ．∠AB ．∠BC ．∠CD ．无法确定9．下列说法正确的个数是（ ）（1）连接两点之间的线段叫两点间的距离；（2）木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点之间，线段最短；（3）若AB=2CB ，则点C 是AB 的中点；（4）若∠A=20°18′．∠B=20°28″，∠C=20.25°，则有∠A ＞∠C ＞∠B ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知2,AOB BOC ∠=∠若30,BOC ∠=则AOC ∠等于（ ）A ．90B ．120或60C ．30D ．30或9011．把一副三角板ABC 与BDE 按如图所示的方式拼接在一起，其中A 、D 、B 三点在同一条直线上，BM 为∠ABC 的角平分线，BN 为∠CBE 的角平分线．下列结论∠∠MBN =45o ，∠∠BNE =∠BMC ，∠∠EBN =65o ，∠2∠NBD =∠CBM ，其中结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，已知BM 平分∠ABC ，且BM //AD ，若∠ABC ＝70°，则∠A 的度数是（）A ．30°B ．35°C ．40°D ．70°二、填空题13．3242'︒=______°．14．下图所示的网格是正方形网格，BAC ∠________DAE ∠．（填“>”，“=”或“<”）15．如图，OC 是AOB ∠的平分线，13BOD COD ∠=∠，15BOD ∠=︒，则COD ∠=_____，BOC ∠=______，AOB ∠=______．16．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，正三角形OEF 绕点O 旋转．在旋转过程中，当AE =BF 时，∠AOE 的大小是__________．三、解答题17．如图，O 是直线AB 上一点，OC 是AOB ∠的平分线，3128COD '∠=︒，求AOD ∠的度数．18．如图，直线,EF CD 相交于点,,O OA OB OC ⊥平分AOF ∠．（1）若40AOE ∠=︒，求∠BOD 的度数；（2）若30BOE ∠=︒，求∠DOE 的度数．19．如图1，四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，∠BCE 与∠BEC 互余，过点E 作EF CD ，交AD 于点F ．(1)若EF ∠CE ，求证：∠AEF ＝∠BCE ；(2)如图2，EG 平分∠BEC 交DC 延长线于点G ，∠BCD +∠ECD ＝180°．点H 在FD 上，连接EH ，CH ，∠AHE +∠BCH ＝90°．当∠D +∠AEF ＝2∠G 时，判断线段CH 与CE 的大小关系，并说明理由．20．已知OC 是AOB ∠内部的一条射线，M ，N 分别为OA ，OC 上的点，线段OM ，ON 同时分别以30/s ︒，10/s ︒的速度绕点O 逆时针转动，设转动时间为s t ．（1）如图（1），若120AOB ∠=︒，OM ，ON 逆时针转动到OM '，ON '处．∠若OM ，ON 的转动时间t 为2，则BON COM ''∠+∠=________；∠若OM '平分AOC ∠，ON '平分BOC ∠，求M ON ''∠的值．（2）如图（2），若4AOB BOC ∠=∠，当OM ，ON 分别在AOC ∠，BOC ∠内部转动时，请猜想COM ∠与BON ∠的数量关系，并说明理由．参考答案：1．A【分析】根据度分秒的进率''"160,160︒==把度可化为分和秒的形式即得．【详解】由度分秒的进率可得''"'"91.34910.346091200.460912024︒=︒+⨯=︒+⨯=︒故选：A.【点睛】考查了度分秒的进率关系式，注意相邻两个单位的进率是60，熟记进率关系式是解题的关键． 2．C【分析】结合图形根据角的和差关系逐项作出判断即可求解．【详解】解：A. ∠AOC ＝∠1＋∠2，判断正确，不合题意；B. ∠AOC ＝∠AOD －∠3，判断正确，不合题意；C. ∠1＋∠2＝∠AOC ，∠AOC 与∠3不一定相等，判断错误，符合题意；D. ∠AOD －∠1－∠3＝∠2判断正确，不合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了根据图形确定角的和差关系，理解题意并结合图形作出判断是解题关键．3．B【分析】由平行线的性质和角平分线的定义，求出60BOD D ∠=∠=︒，20DOF ∠=︒，然后即可求出∠BOF 的度数．【详解】解：∠//CD AB ，60D ∠=︒∠60BOD D ∠=∠=︒，18060120AOD ∠=︒-︒=︒，∠OE 平分∠AOD ， ∠1120602DOE ∠=⨯︒=︒， ∠806020DOF EOF DOE ∠=∠-∠=︒-︒=︒；∠602040BOF BOD DOF ∠=∠-∠=︒-︒=︒；故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及角的和差关系，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出角的度数．4．C【分析】首先根据AOC ∠的度数和OM 平分AOC ∠求出AOM ∠的度数，然后可求出AON ∠的度数，最后根据ON 平分AOB ∠即可求出AOB ∠的度数．【详解】如图所示，∠110AOC ∠=︒，OM 平分AOC ∠， ∠1552AOM AOC ∠=∠=︒，∠=552332AON AOM MON ∠∠-∠=︒-︒=︒，∠ON 平分AOB ∠，∠264AOB AON ∠=∠=︒．故选：C ．【点睛】此题考查了角平分线的概念和求角度问题，解题的关键是根据角平分线的概念求出AOM ∠的度数．5．A【分析】根据角平分线，平行线和等腰三角形的性质可求出线段DE 的长度，进一步根据中位线的性质即可求出BC 的长．【详解】解：D ，E 为AB ，AC 中点，AD =7， //DE BC ∴，且12DE BC =，AD =BD=7 DFB FBC ∴∠=∠， 又BF 平分ABC ∠，DBF FBC ∴∠=∠，即DFB DBF ∠=∠，7DF BD ∴==，则7411DE DF FE =+=+=，222BC DE ∴==．故选：A ．【点睛】此题考查了角平分线，平行线，等腰三角形，三角形中位线的性质，熟练运用角平分线，平行线，等腰三角形，三角形中位线的性质是解题的关键．6．C【分析】根据平角的概念结合角平分线的定义列式求解．【详解】解：∠O 是直线AD 上一点∠180AOD ∠=︒∠射线,OC OE 分别平分,AOB BOD ∠∠ ∠12COB AOB ∠=∠，12EOB BOD ∠=∠ ∠1111=()902222COE COB EOB AOB BOD AOB BOD AOD ∠∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ 故选：C ．【点睛】本题考查平角及角平分线的概念，正确理解相关概念列出角的和差关系是解题关键．7．C【分析】标注字母如图所示，正方格，将正方格沿AC 对折，可得∠1=∠HDA ,可求∠3+∠1=90°，可得1∠+2∠+3∠＞90°即可．【详解】解：标注字母如图所示，∠正方格，将正方格沿AC 对折，∠∠1=∠HDA ,∠∠3+∠1=∠3+∠HDA =90°，∠1∠+2∠+3∠＞90°∠图中1∠、2∠、3∠的和是钝角．故选择C ．【点睛】本题考查网格中的角度问题，掌握正方形网格的边有平行，将角转化∠1=∠HDA ，求出∠3+∠1=90°是解题关键．8．A【分析】将∠A 、∠B 、∠C 统一单位后比较即可．【详解】∠∠A =20°18′，∠B =20°15′30″，∠∠A >∠B ，∠∠C =20.25°=20°15′，∠∠A >∠C ，则度数最大的是∠A ．故选A ．【点睛】本题考查了度、分、秒的转化计算，解决这类题目的基本思路是把各个角的度数统一单位后再比较大小．9．A【分析】根据两点之间的距离的定义，线段的中点的定义以及角的比较即可作出判断．【详解】（1）连接两点之间的线段的长度叫两点间的距离，错误；（2）木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点确定一条直线，错误；（3）当C 在线段AB 上，且AB=2CB 时，点C 是AB 的中点，当C 不在线段AB 上时，则不是中点，故命题错误；（4）若∠A=20°18′．∠B=20°28″，∠C=20.25°，则有∠A ＞∠C ＞∠B ，正确；所以有1个正确.故选A ．【点睛】考查了两点之间的距离、线段中点的定义、以及角的大小的比较，正确理解定义是关键． 10．D【分析】可分两种情况讨论：当射线OB 在AOC ∠中时，当射线OC 在AOB ∠中时，分别求出结果即可．【详解】解：如图1，当射线OB 在AOC ∠中时，2AOB BOC ，30BOC ∠=︒，60AOB ∴∠=︒，90AOC AOB BOC ∴∠=∠+∠=︒，如图2，当射线OC 在AOB ∠中时，2AOB BOC ，30BOC ∠=︒，60AOB ∴∠=︒，30AOC AOB BOC ．故选：D ．【点睛】本题是角的加减运算，能分两种情况讨论是解题的关键．11．C【分析】根据三角板中角的度数及角平分线的概念逐个进行分析判断．【详解】解：由题意可得：90EBD ∠=︒，60ABC ∠=︒，∠150EBC EBD ABC ∠=∠+∠=︒，∠BM 为∠ABC 的角平分线，BN 为∠CBE 的角平分线， ∠1302CBM ABC ∠=∠=︒，1752NBC EBN EBC ∠=∠=∠=︒，故∠错误； ∠∠MBN =NBC CBM ∠-∠=45o ，故∠正确；∠BNE =180°-E EBN ∠-∠=60°，∠BMC =90°-CBM ∠=60°，∠∠BNE =∠BMC ，故∠正确；9015NBD EBN ∠=︒-∠=︒，∠2∠NBD =∠CBM ，故∠正确；正确的是∠∠∠，共3个，故选：C ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，利用角平分线的定义计算角的度数是解答此题的关键． 12．B【分析】先根据角平分线的性质，求出∠ABC 的度数，再由平行线的性质得到∠A 的度数．【详解】解：∠BM 平分∠ABC ，∠∠MBA ＝12∠ABC ＝35°．∠BM ∠AD ，∠∠A ＝∠MBA ＝35°．故选：B ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．13．32.7 【分析】根据42324232+()60'︒=︒︒解答． 【详解】解：42324232+()32+0.732.760'︒=︒︒=︒︒=︒ 故答案为：32.7．【点睛】本题考查角、度的换算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．14．>【分析】构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可进行比较大小.【详解】解：如下图所示，AFG 是等腰直角三角形，∠45FAG BAC ∠=∠=︒，∠BAC DAE ∠>∠．故答案为.>另：此题也可直接测量得到结果．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，构造等腰直角三角形是解题的关键.15． 45︒ 30 60︒【分析】根据13BOD COD ∠=∠，15BOD ∠=︒可求出COD ∠的度数，COD BOD ∠-∠即可求BOC ∠的度数，然后根据OC 是AOB ∠的平分线即可求出AOB ∠的度数．【详解】∠13BOD COD ∠=∠，15BOD ∠=︒， ∠345COD BOD ∠=∠=︒；∠451530BOC COD BOD ∠=∠-∠=︒-︒=︒；∠OC 是AOB ∠的平分线，∠260AOB BOC ∠=∠=︒．故答案为：45︒；30；60︒．【点睛】此题考查了角平分线的概念，角度之间的数量关系，解题的关键是熟练掌握角平分线的概念，角度之间的数量关系．16．15°或165°【详解】分情况讨论：（1）如图（1），连接AE 、BF ．∠四边形ABCD 为正方形，∠OA ＝OB ，∠AOB ＝90°． ∠∠OEF 为等边三角形，∠OE ＝OF ，∠EOF ＝60°．∠在∠OAE 和∠OBF 中，,{,,OA OB OE OF AE BF ===∠∠OAE∠∠OBF （SSS ）， ∠1(9060)152AOE BOF ∠=∠=⨯︒-︒=︒． （2）如图（2），连接AE 、BF ．∠在∠AOE 和∠BOF 中，,{,,OA OB OE OF AE BF ===∠∠AOE∠∠BOF （SSS ），∠∠AOE ＝∠BOF ，∠∠DOF ＝∠COE ， ∠1(9060)152COE ∠=⨯︒-︒=︒，∠∠AOE ＝180°－15°＝165°． 综上，∠AOE 的大小为15°或165°．17．5832'︒．【分析】首先根据O 是直线AB 上一点，OC 是AOB ∠的平分线，求出AOC ∠的度数是90°；然后根据AOD AOC COD ∠=∠-∠即可求出AOD ∠的度数．【详解】解：∠O 是直线AB 上一点，OC 是AOB ∠的平分线，∠180290AOC ∠=÷=，∠3128COD '∠=，∠9031285832AOD AOC COD ''∠=∠-∠=-=．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义和角度的计算，要熟练掌握，解答此题的关键是清楚角平分线的定义．18．（1）20°；（2）60°【分析】（1）先求出∠AOF=140°，然后根据角平分线的定义求出∠AOC=70°，再由垂线的定义得到∠AOB=90°，则∠BOD=180°-∠AOB-∠AOC=20°；（2）先求出∠AOE=60°，从而得到∠AOF=120°，根据角平分线的性质得到∠AOC =60°，则∠COE=∠AOE+∠AOC=120°，∠DOE=180°-∠COE=60°．【详解】解：（1）∠∠AOE=40°，∠∠AOF=180°-∠AOE=140°，∠OC平分∠AOF，∠∠AOC=1∠AOF=70°，2∠OA∠OB，∠∠AOB=90°，∠∠BOD=180°-∠AOB-∠AOC=20°；（2）∠∠BOE=30°，OA∠OB，∠∠AOE=60°，∠∠AOF=180°-∠AOE=120°，∠OC 平分∠AOF ，∠∠AOC =12∠AOF =60°，∠∠COE =∠AOE +∠AOC =60°+60°=120°，∠∠DOE =180°-∠COE =60°．【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的定义．19．(1)见解析(2)∠D ＝∠BCG ，理由见解析【分析】（1）根据EF CE ⊥得出90FEC ∠=︒，进而根据已知得出90BCE BEC ∠+∠=︒，从而求解；（2）先证明ECD BCG ∠=∠，然后设ECD BCG x ∠=∠=，表示出1802BCE x ∠=︒-，290BEC x ∠=-︒，进而表示出180180FEC ECD x ∠=︒-∠=︒-，18090AEF FEC BEC x ∠=︒-∠-∠=︒-，求出135FEG ∠=︒，45G ∠=︒，进而求出D x ∠=，得出D BCG ∠=∠． （1）证明：∠EF ∠CE ，∠∠FEC ＝90°，∠∠AEF +∠BEC ＝90°．∠∠BCE 与∠BEC 互余，∠∠BCE +∠BEC ＝90°，∠∠AEF ＝∠BCE ；（2）解：∠∠BCD +∠ECD ＝180°，∠BCD +∠BEG ＝180°，∠∠ECD ＝∠BCG ．设∠ECD ＝∠BCG ＝x ，∠∠BCE ＝180°﹣2x ，∠BEC ＝2x ﹣90°．∠EG 平分∠BEC ，∠∠BEG ＝∠GEC ＝x ﹣45°．∠EF CD ，∠∠FEC ＝180°﹣∠ECD ＝180°﹣x ，∠∠AEF ＝180°﹣∠FEC ﹣∠BEC ＝90°﹣x ，∠FEG ＝∠FEC +∠GEC ＝180°﹣x +x ﹣45°＝135°，∠∠G ＝180°﹣CFEG ＝45°．∠∠D +∠AEF ＝2∠G ，∠∠D ＝2∠G ﹣∠AEF ＝90°﹣（90°﹣x ）＝x ，∠∠D ＝∠BCG ．【点睛】本题考查了多边形的内角和外角以及平行线的性质，解题的关键是熟练运用平行线的性质． 20．（1）∠40゜；∠60゜；（2）3COM BON ∠=∠，理由见解析．【分析】（1）∠先求出∠AOM′、CON′，再表示出∠BON′、∠COM′，然后相加并根据∠AOB=120°计算即可得解；∠先由角平分线求出∠AOM′=∠COM′=12∠AOC ，∠BON′=∠CON′=12∠BOC ，再求出∠COM′+∠CON′=12∠AOB=12×120°=60°，即∠M′ON′=60°； （2）设旋转时间为t ，表示出∠CON 、∠AOM ，然后列方程求解得到∠BON 、∠COM 的关系，再整理即可得解．【详解】（1）∠线段OM 、ON 分别以30°/s 、10°/s 的速度绕点O 逆时针旋转2s ，∠∠AOM′=2×30°=60°，∠CON′=2×10°=20°，∠∠BON′=∠BOC -20°，∠COM′=∠AOC -60°，∠∠BON′+∠COM′=∠BOC -20°+∠AOC -60°=∠AOB -80°，∠∠AOB=120°，∠∠BON′+∠COM′=120°-80°=40°；故答案为：40°；∠∠OM′平分∠AOC ，ON′平分∠BOC ， ∠∠AOM′=∠COM′=12∠AOC ，∠BON′=∠CON′=12∠BOC ， ∠∠COM′+∠CON′=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=12×120°=60°， 即∠MON=60°；（2）∠COM=3∠BON ，理由如下：设∠BOC=x ，则∠AOB=4x ，∠AOC=3x ，∠旋转t 秒后，∠AOM=30t ，∠CON=10t ，∠∠COM=3x-30t=3（x-10t），∠NOB=x-10t，∠∠COM=3∠BON．【点睛】本题考查了角的计算，读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度，然后列出方程是解题的关键．。
初中数学同步训练人教7年级上册：课时10 角的比较与运算(1)
设∠1=2x则∠2=2x、∠3=5x、∠4=3x.
因为∠1+∠2+∠3+∠4=3600，
所以2x+2x+5x+3x=3600.
解得∠1=2x=600.
五、课时作业-必要的再现
6.下列说法错误的是( )
A.角的大小与角的边画出部分的长短没有关系
B.角的大小与它们的度数大小是一致的；
C.角的和差倍分的度数等于它们的度数的和差倍分；
D.若∠A+∠B>∠C,那么∠A一定大于∠C。
7.看图填空：
（1）∠AOC=+；
（2）∠BOD=+；
（3）∠AOD=++.
3.（1）>,<.
（2）由图可知，∠AOC=∠AOB+∠BOC=∠AOD-∠COD．故答案为∠BOC，∠COD.
（3）由图可知，∠BOC=∠BOD-∠COD=∠AOC-∠AOB．
故答案为∠COD，∠AOC．
4.画图：略
5.作图略，∠AOD =117.50.
例4因为OC是∠AOB角平分线，
所以∠BOC= = .
第10课时角的比较与运算（1）
一、课前小测——简约的导入
1.图中有个角，分别是.
2.（1）AB=－，AC=＋.
（2）如1题中的图所示，类比（1），得出：
∠AOB=－，∠AOC=＋.
二、典例探究——核心的知识
例1（1）如图,∠AOB_____∠AOC,
∠AOB______∠BOC(填>,=,<);
（2）∠AOC=____＋____=_____－____.
（2）∠AOC=∠AOB+______=∠AOD-______；
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4.3.2角的比较与运算学案
学习目标：
复习：
1、线段的比较方法有： 和 。
2、如图：图中有几条线段？ 线段AB= + 。
线段AC= — 。
3、如图，若线段AC=BC ，那么点C 叫做线段AB 的 。
问题一：角的比较（类比线段的比较方法）
1、 你有什么方法比较出手中的三个角的大小？并画出图形。
图形1 图形2 图形3
用>=<,,填空
ABC ∠ C B A '''∠, ABC ∠ C B A '''∠, ABC ∠ C B A '''∠
像这种把两个角的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小关系方法叫 。
说一说，用这种方法比较大小的步骤有哪些？
2、 当要比较的角比价多时，可以选择什么方式比较大小。
问题二：角的和差
1、如果把两个角的一边重合，另两边在重合边的两侧，则另外两边所形成的角为两个角的 。
2、如果把两个角的一边重合，另两边在重合边的同侧，则另外两边所形成的角为两个角的 。
A A B
3、如图所示： =∠AOC +
=∠AOB _
=∠BOC _
3、 用一副三角板你可以画出15度角，75度角吗？试一试！你还能画出那些度数的角？
问题三、角平分线，角的等分线。
1、一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做 。
如图，射线OB 把AOC ∠分成相等的两个角，这时有 =∠AOC 2 =2
=∠AOB =2
1
2、类似的，一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成三个相等的角的射线，叫做 。
知识梳理：
1、 你学会了什么方法比较角的大小。
2、 识别图中角的和差。
3、 角平分线的定义是什么，用符号表示出来。
知识运用：
1、将2,1∠∠的顶点和其中一边重合，另一边落在重合边的同侧，且,21∠>∠那么1∠的另一边落在2∠的（ ）
O
A
O A
A 、另一边上
B ，内部
C 、外部
D 无法判断。
2如图，回答下列问题、
（1）AOC ∠是哪两个角的和？
（2）AOB ∠是哪两个角的差？
（3）如果,COD AOB ∠=∠那么AOC ∠与DOB ∠相等吗？
O A
3如图所示， 80=∠AOD ，OB 是AOC ∠的平分线， 30=∠AOB ,求COD ∠的度数。
O A
D。