人教版高中数学必修4第三章小结
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(1)若a∥b，求tanθ的值； (2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．
【解】 (1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，
于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝14. (2)由|a|＝|b|，知sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－
2sin2θ＋4sin2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，
①“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表 面看较难，但仔细观察这类问题中的角与特殊角都有着一 定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要诱导公 式．解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积 化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三 角函数而得到．
②“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值， 求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合 条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要 注意角范围的变化．
3 10
.
从而cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosα·cos(α－β)＋sinα·sin(α－β)
＝45×
3－ 10
110×35＝9 5010
.
【评析】 变角是给值求值问题最为常见的技巧，因 此对于角的常见变换要熟悉，具体的变角技巧可参见第一 节的相关内容．当然还要熟悉一些互余角的关系．
【例3】 已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝ (1,2)．
由已知f(4π)＝m(1＋sin2π)＋cos2π＝2，得m＝1.
(2)由(1)，得f(x)＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋ 2 sin(2x＋
π 4
)．∴当sin(2x＋
π 4
)＝－1时，f(x)的最小值为1－
2 .得此时来自百度文库
x值的集合为{x|x＝kπ－38π，k∈ Z}．
【评析】 对向量只考查了向量的数量积．本题主要 考查的还是三角函数知识，利用辅助角公式化为一个三角 函数后，再利用y＝Asin(ωx＋φ)的性质．
三、三角函数的应用
【例4】 若将函数y＝cosx－ 3 sinx的图象向左平移
m(m>0)个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的最
小值为( )
π
π
A.6
B.3
2π
5π
C. 3
D. 6
【解析】
y＝cosx－
3
sinx＝2(
1 2
cosx－
3 2
sinx)＝
2cos(x＋π3)，向左平移m(m>0)个单位后得函数y＝2cos(x＋
【例1】 已知sin(π4＋α)sin(4π－α)＝16，α∈(2π，π)，求 1＋sinc4oαs2α的值．
【分析】 先由已知求出cos2α与sin2α的值，再把待 求式化简得到关于cos2α与sin2α的式子，把cos2α与sin2α的 值代入即可．
【解】 ∵sin(π4＋α)sin(4π－α)＝16， ∴sin(π4＋α)·cos(π4＋α)＝16， sin(π2＋2α)＝13，即cos2α＝13. 又α∈(π2，π)，2α∈(π，2π)， ∴sin2α＝－ 1－cos22α＝－ 1－132＝－232，
π 3
＋m)，其图象关于y轴对称，则f(0)＝±2，所以±2＝2cos(
π 3
＋m)，所以
π3 ＋m＝kπ(k∈Z)，所以m＝kπ－
π 3
(k∈Z)，则正
实数m的最小值为23π.
【答案】 C
【例5】 设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(m，cos2x)，
b＝(1＋sin2x,1)，x∈R，且y＝f(x)的图象经过点(
即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋4π)＝－
2 2.
又由0<θ<π，知4π<2θ＋4π<94π，
所以2θ＋4π＝54π，或2θ＋4π＝74π. 因此θ＝2π，或θ＝34π.
【评析】 从题设条件出发，顺着问题的线索，正用 三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条 件和推算手段逐步达到目的．
∴1＋sinc4oαs2α＝12＋sin12＋α·cc2ooss22αα＝2×1－＋213＋2213×13 ＝－4152.
二、三角函数求值的类型 严格来说，三角函数的化简、证明、求值都是三角恒 等变形，在变换技巧上都是相通的，但由于是求值，于是 它就有了特殊性，因此仍然把它单列开来，作为一个专 题．如前面章节中讲到的一样，三角函数求值，主要有三 种类型，即
③“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过 往往求出的值是特殊角的值，再求出角之前还需结合函数 的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．
【例2】
已知α，β为锐角，cosα＝
4 5
，tan(α－β)＝－
13，求cosβ的值．
【解】 注意到所给值的角与要求函数值的角之间的 差异，因此考虑将单角变为复角，于是
π 4
，
2)．
(1)求实数m的值；
(2)求函数f(x)的最小值及此时x值的集合．
【分析】 (1)利用数量积写出函数f(x)的解析式，代
入点(
π 4
，2)的坐标，可求出实数m的值；(2)将两个三角函
数化为一个三角函数，利用弦函数的性质求解．
【解】 (1)f(x)＝a·b＝m(1＋sin2x)＋cos2x.
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第三章
三角恒等变换
本章小结
网络建构 知识整合 单元综合测试
网络建构
知识整合
一、三角公式的灵活运用 三角恒等变换是本章的核心内容，实际上，本章的所 有公式都是在母公式Cα－β的基础上通过恒等变换得到 的．因此熟练掌握每一个公式的来龙去脉，即熟悉各个公 式之间的内在联系，才能记得准，当然用的时候还需要突 出一个“活”字，即掌握公式的正用、逆用、变形使用等 灵活应用公式的技巧．
∵0<α<2π，0<β<2π，∴－π2<α－β<2π， 又tan(α－β)＝－13，∴－2π<α－β<0. 又∵cosα＝45，0<α<2π，∴sinα＝35. 又tan(α－β)＝－13＝csoinsαα－－ββ，
且sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1，
∴sin(α－β)＝－
110，cos(α－β)＝
【解】 (1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，
于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝14. (2)由|a|＝|b|，知sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－
2sin2θ＋4sin2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，
①“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表 面看较难，但仔细观察这类问题中的角与特殊角都有着一 定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要诱导公 式．解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积 化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三 角函数而得到．
②“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值， 求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合 条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要 注意角范围的变化．
3 10
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从而cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosα·cos(α－β)＋sinα·sin(α－β)
＝45×
3－ 10
110×35＝9 5010
.
【评析】 变角是给值求值问题最为常见的技巧，因 此对于角的常见变换要熟悉，具体的变角技巧可参见第一 节的相关内容．当然还要熟悉一些互余角的关系．
【例3】 已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝ (1,2)．
由已知f(4π)＝m(1＋sin2π)＋cos2π＝2，得m＝1.
(2)由(1)，得f(x)＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋ 2 sin(2x＋
π 4
)．∴当sin(2x＋
π 4
)＝－1时，f(x)的最小值为1－
2 .得此时来自百度文库
x值的集合为{x|x＝kπ－38π，k∈ Z}．
【评析】 对向量只考查了向量的数量积．本题主要 考查的还是三角函数知识，利用辅助角公式化为一个三角 函数后，再利用y＝Asin(ωx＋φ)的性质．
三、三角函数的应用
【例4】 若将函数y＝cosx－ 3 sinx的图象向左平移
m(m>0)个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的最
小值为( )
π
π
A.6
B.3
2π
5π
C. 3
D. 6
【解析】
y＝cosx－
3
sinx＝2(
1 2
cosx－
3 2
sinx)＝
2cos(x＋π3)，向左平移m(m>0)个单位后得函数y＝2cos(x＋
【例1】 已知sin(π4＋α)sin(4π－α)＝16，α∈(2π，π)，求 1＋sinc4oαs2α的值．
【分析】 先由已知求出cos2α与sin2α的值，再把待 求式化简得到关于cos2α与sin2α的式子，把cos2α与sin2α的 值代入即可．
【解】 ∵sin(π4＋α)sin(4π－α)＝16， ∴sin(π4＋α)·cos(π4＋α)＝16， sin(π2＋2α)＝13，即cos2α＝13. 又α∈(π2，π)，2α∈(π，2π)， ∴sin2α＝－ 1－cos22α＝－ 1－132＝－232，
π 3
＋m)，其图象关于y轴对称，则f(0)＝±2，所以±2＝2cos(
π 3
＋m)，所以
π3 ＋m＝kπ(k∈Z)，所以m＝kπ－
π 3
(k∈Z)，则正
实数m的最小值为23π.
【答案】 C
【例5】 设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(m，cos2x)，
b＝(1＋sin2x,1)，x∈R，且y＝f(x)的图象经过点(
即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋4π)＝－
2 2.
又由0<θ<π，知4π<2θ＋4π<94π，
所以2θ＋4π＝54π，或2θ＋4π＝74π. 因此θ＝2π，或θ＝34π.
【评析】 从题设条件出发，顺着问题的线索，正用 三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条 件和推算手段逐步达到目的．
∴1＋sinc4oαs2α＝12＋sin12＋α·cc2ooss22αα＝2×1－＋213＋2213×13 ＝－4152.
二、三角函数求值的类型 严格来说，三角函数的化简、证明、求值都是三角恒 等变形，在变换技巧上都是相通的，但由于是求值，于是 它就有了特殊性，因此仍然把它单列开来，作为一个专 题．如前面章节中讲到的一样，三角函数求值，主要有三 种类型，即
③“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过 往往求出的值是特殊角的值，再求出角之前还需结合函数 的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．
【例2】
已知α，β为锐角，cosα＝
4 5
，tan(α－β)＝－
13，求cosβ的值．
【解】 注意到所给值的角与要求函数值的角之间的 差异，因此考虑将单角变为复角，于是
π 4
，
2)．
(1)求实数m的值；
(2)求函数f(x)的最小值及此时x值的集合．
【分析】 (1)利用数量积写出函数f(x)的解析式，代
入点(
π 4
，2)的坐标，可求出实数m的值；(2)将两个三角函
数化为一个三角函数，利用弦函数的性质求解．
【解】 (1)f(x)＝a·b＝m(1＋sin2x)＋cos2x.
温馨 提 示
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第三章
三角恒等变换
本章小结
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网络建构
知识整合
一、三角公式的灵活运用 三角恒等变换是本章的核心内容，实际上，本章的所 有公式都是在母公式Cα－β的基础上通过恒等变换得到 的．因此熟练掌握每一个公式的来龙去脉，即熟悉各个公 式之间的内在联系，才能记得准，当然用的时候还需要突 出一个“活”字，即掌握公式的正用、逆用、变形使用等 灵活应用公式的技巧．
∵0<α<2π，0<β<2π，∴－π2<α－β<2π， 又tan(α－β)＝－13，∴－2π<α－β<0. 又∵cosα＝45，0<α<2π，∴sinα＝35. 又tan(α－β)＝－13＝csoinsαα－－ββ，
且sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1，
∴sin(α－β)＝－
110，cos(α－β)＝