人教版高中数学必修4第三章小结
人教版高中数学必修四课件：3.3三角函数的积化和差与和差化积43
2sin 54 22 cos 54 22
2
2
2sin 38 cos16
（4） sin5x sin3x
2cos 5x 3x sin 5x 3x
2
2
2cos 4xsin x
例3. 已知A+B+C=180°, 求证： sin Asin B sinC 4 cos A cos B cos C
（2） cos 40 cos52
（3） sin 54 sin 22
（4） sin5x sin3x
解：（1）
cos3 cos 2cos 3 cos 3
2
2
2cos 2 cos
（2）cos 40 cos52
2sin 40 52 sin 40 52
2
2
2sin 46 sin 6
（3）sin 54 sin 22
2
从上面四个式子又可以得到
sin( ) sin( ) 2sin cos sin( ) sin( ) 2cos sin cos( ) cos( ) 2cos cos cos( ) cos( ) 2sin sin
积化和差公式
sin cos 1 [sin( ) sin( )]
3．本题若只是简单处理，可能会做不下去．
到此或许许多人就束手无策了，当然，这样做如果 处理得法，还是会最后得到正确结果的，但是计算 太大了． 若注意到10°、50°分别与80°、40°互为余角， 利用诱导公式可得如下解法．
(四)小结 三角函数的恒等变换，由于三角公式较多、用起 来也较活，所以应当掌握变形的一般规律，而一 般规律的获得主要靠自己的实践以及理性上的升 华。通过一个阶段的学习与练习，应是有一定体 会的．一般说三角变换问题，第一要关注问题中 的角，特别是角的和、差、倍、半关系，当然这 些关系也不是一成不变的，如适当时候，我们也 可以把α看作是
高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习题及答案
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有 原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式 辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式 描述： 两角差的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ． 两角和的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ． 两角和的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ． 两角差的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ． 两角和的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α − β) =
最新人教版高中数学必修4第三章《倍角公式》课堂探究
课堂探究关于升降幂公式的解读剖析：口诀如下：(1)1加余弦想余弦；(2)1减余弦想正弦；(3)幂升一次角减半；(4)幂降一次角翻番．图表如下：归纳总结(1)对于公式sin 2α＝2sin αcos α，有①cos α＝sin 2α2sin α，②sin α＝sin 2α2cos α； (2)对于(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α，有(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α，同理有(sin α－cos α)2＝1－sin 2α；(3)对于公式tan 2α＝2tan α1－tan 2α，有1tan α－tan α＝1－tan 2αtan α＝2tan 2α； (4)对于等腰三角形，已知底角的三角函数值求顶角的三角函数值正用倍角公式，已知顶角的三角函数值求底角的三角函数值逆用倍角公式．题型一 化简、求值问题【例题1】求值：sin 50°(1＋3tan 10°)．分析：应通过“切化弦”化为关于弦函数的分式，然后利用“分式通分”技巧求解．解：原式＝sin 50°⎝⎛⎭⎫1＋3sin 10°cos 10° ＝sin 50°×2⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝sin 50°×2sin (30°＋10°)cos 10° ＝2sin 40°sin 50°cos 10°＝2sin 40°cos 40°cos 10° ＝sin 80°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 反思问题中含有正弦、正切，采用“切化弦”，变为仅含有正弦、余弦的三角函数式，然后利用两角和公式、倍角公式等变形，将问题化简到底．题型二 给值求值问题【例题2】若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( ) A ．－79 B ．－13 C ．13 D ．79解析：观察发现2π3＋2α＝2⎝⎛⎭⎫π3＋α，而⎝⎛⎭⎫π3＋α＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－α， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α－1 ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝－79. 答案：A反思通过角的形式的变化，生成所求的角或再变形即得所求角，是三角变换的重要方式．求解时应当对所给角有敏锐的感觉，这种感觉的养成要靠平时经验的积累．题型三 给值求角问题【例题3】已知tan α＝13，tan β＝－17且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 分析：tan α＝13→tan 2α→tan (2α－β)→确定2α－β的范围→在确定范围中找出角 解：∵tan α＝13＞0，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α∈(0，π)，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34＞0， ∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2.又∵tan β＝－17＜0，β∈(0，π)， ∴β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34－⎝⎛⎭⎫－171＋34×⎝⎛⎭⎫－17＝1. 又∵2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－3π4. 反思在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角，确定角的范围是关键的一步．题型四 恒等式的证明【例题4】已知tan(α＋β)＝3tan α.求证：2sin 2β－sin 2α＝sin(2α＋2β)．分析：解答本题可先将条件式切化弦，再设法推出待证式，最后进行解答．证明：tan(α＋β)＝3tan α，可变为sin(α＋β)cos α＝3sin αcos(α＋β)⇒sin(α＋β)cos α－sin αcos(α＋β)＝2sin αcos(α＋β)⇒sin[(α＋β)－α]＝2sin α(cos αcos β－sin αsin β)⇒sin β＝2sin αcos αcos β－2sin 2αsin β⇒(1＋2sin 2α)sin β＝sin 2αcos β.当cos β＝0时，上式中因为1＋2sin 2α≠0，所以sin β＝0，矛盾．所以cos β≠0，上式两边同乘以2cos β，得(1＋2sin 2α)sin 2β＝sin 2α2cos 2β⇒sin 2β＋(1－cos 2α)sin 2β＝sin 2α(1＋cos 2β)⇒2sin 2β－sin 2α＝sin 2αcos 2β＋cos 2αsin 2β＝sin(2α＋2β)，所以等式成立，即得证．反思证明三角恒等式常用的方法是：观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，决定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当差异不易消除时，可采用转换命题法或分析法等方法作进一步的化简．题型五 三角函数的综合问题【例题5】已知函数f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．分析：(1)利用两角的和差公式、三角函数基本关系式、倍角公式，将f (x )化成同角的函数形式，然后变成切的形式代入求解；(2)将(1)中的结论用公式将其变形为正弦函数，再研究其性质．解：(1)f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45，cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以f (α)＝12⎝⎛⎭⎫45－35＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤5π12，5π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 从而f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. 即f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.。
高中数学人教版必修4知识点汇总
1”作巧
妙的变形，
1． 3 诱导公式
1、诱导公式（五）
sin(
ห้องสมุดไป่ตู้) cos
2
cos(
) sin
2
2、诱导公式（六）
sin(
) cos
2
总结为一句话：函数正变余，符号看象限
小结：
①三角函数的简化过程图：
cos(
) sin
2
任意负角的 三角函数
公式一或三 任意正角的 三角函数
公式一或二或四 00~3600 间角 的三角函数
..
..
1.1 ． 1 任意角
1．角的有关概念： ①角的定义：
角可以看成平面一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
②角的名称：
始边 B
终边
③角的分类：
O
A
顶点
正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
④注意： ⑴在不引起混淆的情况下， “角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0 °； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合， 角的始边与 x 轴的非负半轴重合， 那么角的终边 ( 端点除外 ) 在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
tan cot
1(
k ,k
Z) ；
2
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用） ，如：
cos
1 sin2
，
2
sin
2
1 cos
，
cos
sin 等。
高中数学必修4知识点总结归纳(人教版最全)
高中数学必修4知识点汇总第一章：三角函数1、任意角①正角：按逆时针方向旋转形成的角 ②负角：按顺时针方向旋转形成的角 ③零角：不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lr α=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭．8、若扇形的圆心角为α（α为弧度制），半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S则αr l =，l r C +=2，22121r lr S α==9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=;()sin 2tan cos ααα=; 13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．14、要由sin y x =的图像得到sin()y A x φ=+的图像主要有下列两种方法：sin sin()sin()sin()y x y x y x y A x φωφωφ=−−−→=+−−−→=+−−−→=+相位周期振幅变换变换变换sin sin sin()sin()y x y x y x y x ωωφωφ=−−−→=−−−→=+−−−→=+周期相位振幅变换变换变换注：第二种φωω+→x x 的情况需要平移ωφ个单位 函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ； ④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．α) A α)（1）（2）15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴函 数 性质第二章：平面向量1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则),(AB 1212y y x x --=4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．5、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．baC BAa b C C -=A -AB =B设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭． 8、平面向量的数量积：⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③a b a b ⋅≤． ⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+． 若(),a x y =，则222a x y =+，或2a x y =+ 设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=．设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则121cos a b a bx θ⋅==+．第三章：三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=．⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- （2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）． ⑶22tan tan 21tan ααα=-．3、()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A．。
高一数学人教A版必修4第三章3.1.1 两角差的余弦公式 教案
《两角差的余弦公式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修4课题：3.1.1 两角差的余弦公式课时：1课时一、教学内容分析三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇处，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力与运算能力的重要素材.由于和与差内在的联系性与统一性，教材选择两角差的余弦公式作为基础，使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握.教学没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果.这样安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、发展思维.因此，本节课的教学重点是：利用诱导公式发现两角差的余弦公式，并运用向量方法证明公式.二、教学目标1.掌握两角差的余弦公式，并能正确运用公式进行简单的求值运算；2.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；3.在利用诱导公式进行两角差余弦公式的探究过程中，体会“特殊到一般”、“数形结合”、“归纳猜想”等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性.三、学生学情分析学生此前已经掌握了任意角三角函数的概念、诱导公式的推导、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标运算等知识.同时，学生多次经历了由特殊到一般，归纳猜想等数学思维方法，基本具备数形结合的能力，这些都为本节课的学习建立了良好的知识基础.教材根据一个实例提出本章所要研究的主要内容，然后直接提出研究两角差的余弦公式，学生会感到有些突然；教材中用几何方法研究两角差的余弦公式学生不易想到用“割补法”求正弦线、余弦线；用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误.因此，我将本节课的教学难点确定为：发现并证明两角差的余弦公式.四、教学过程设计1.创设情景【情境问题】如图，某城市的电视发射塔CB 建筑市郊的一座小山CD 上,从山脚A 测得AC=50m,塔顶B的仰角(DAB ∠)为60︒，从A 点观测塔顶B 的视角（CAB ∠）约为45︒，求：A,B 两点间的距离.（请学生思考求解过程，某生表述：AB=2AD=2×50×()cos 6045︒-︒=100cos15︒.教师引导说明15︒角的余弦值是未知的，而60︒角、45︒角的三角函数值是已知的，不妨用它们来求差角6045︒-︒的余弦值.）【设计意图】从实际问题出发,有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，使其感受到实际问题中对研究差角公式的需要.【思考1】()cos 6045︒-︒如何求角60︒，45︒的正弦、余弦值来表示呢？ （请学生大胆尝试说明，并根据自己的结论计算验证.在这个过程中，可将问题一般化：两角差αβ-的余弦值与这两个角,αβ的三角函数值之间有怎样的关系呢？引入课题：两角差的余弦公式）【设计意图】让学生体验如何用反例进行反驳，明确常犯的直接性错误为什么是错的，提出本节课的研究内容，统一对探究目标中“恒等”要求的认识.2.新知探究【思考2】在已学过的知识中，有没有类似求两角差余弦的式子呢？（请学生思考说明：诱导公式()cos cos πββ-=-，cos sin 2πββ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.） ()()cos cos cos 2πβαβπβ--−−−→⎛⎫- ⎪⎝⎭特殊化 【说明】观察以上两式就是把角α用特殊角π、2π来替换.由于特殊中往往能反映一般规律，我们不妨从上述公式出发，建立研究思路，寻找两角差的余弦公式的一般性规律.【设计意图】从学生的学习实际出发，回想已有的关于两角差的余弦的式子，寻找新旧知识之间的联系，使两角差的余弦公式的发现与推导是用“随机、自然进入”的方式呈现给学生.【探究1】()cos πβ-如何用角π和β的正弦、余弦值来表示呢？本环节以教师引导探究为主，展现知识的生成过程.【问题1】根据三角函数的定义,你能写出点12,P P 的坐标吗?（请学生说明，点 ()()12cos ,sin ,cos ,sin P P ππββ.）【问题2】根据三角函数的定义，()cos πβ-是角πβ-的终边与单位圆交点的横坐标.那么，你能在图1中画出角πβ-的终边吗？（请学生说明自己画图的过程，可能会有两种做法：方法一：由角β的终边画出角β-的终边，然后将角β-旋转角π，得角πβ-的终边；方法二：以角π的终边为始边旋转角β，得角πβ-的终边.设角πβ-的终边与单位圆交于点3P ，则点3P 的坐标为()()()cos ,sin πβπβ--）【过渡】在已知各点坐标的情况下，我们不妨用向量知识来解决问题.【问题3】观察图1，有几组向量的夹角相等？（请学生说明：0312P OP POP ∠=∠，又向量的模相等，0312OP OP OP OP ∴⋅=⋅，由向量数量积的坐标运算得：()cos cos cos sin sin πβπβπβ-=+.）【活动】根据上述推导过程，请同学们整理研究思路，在学案（附后表1）β的终边y x π-β的终边1,0()π的终边P3P1P2O P0上完成图1对应的表格.【设计意图】根据三角函数的定义及任意角三角函数的定义，建立几何图形与点的坐标之间的联系——向量，加强新旧知识之间的关联性，使向量方法的引入自然、合理.本环节设计为引导探究的学习方式，将探究一拆分为三个问题，帮助学生建立研究思路.【探究2】根据上述做法， cos 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值如何用角,2πβ的正弦、余弦值来表示呢？（请学生根据学案中的图2，四人一组完成探究. 教师引导说明角2πβ-的终边的形成过程，学生类比()cos πβ-的推导过程，以向量为工具，根据向量的夹角相等，得：0312OP OP OP OP ⋅=⋅βπβπβπsin 2sin cos 2cos 2cos +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴【设计意图】再一次经历由图形对称得等量关系，运用向量数量积的坐标运算建立数与形的联系，推导两脚差余弦的一个表达式.使学生从知识、方法、策略上多层次的感受式子的推导过程.【思考3】观察上面两个式子，猜想：若,αβ是任意角，那么()cos αβ-= ？（学生观察上式，归纳说明.）【设计意图】有特殊到一般，猜想任意角两角差的余弦公式，使学生成为数学结论的发现者，这对增强学生学习数学的信心、学会学习数学是有意义的.【探究3】你能否证明自己的猜想？π（请学生类比上面两式的推导过程，在学案中自主探究完成，并与周围同学相互交流，解决自己存在的问题.其中，差角αβ-的形成过程教师可利用几何画板旋转得到，帮助学生认识图形间的内在联系.之后投影展示某生的证明过程，并请该生解说： 0312OP OP OP OP ⋅=⋅()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+）【设计意图】通过对猜想进行证明，体现数学知识的严谨性、合理性，使学生对公式的认识上升到理性高度.同时，体会向量方法的作用.【归纳】两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+【问题4】观察两角差的余弦公式，我们如记忆公式呢？（请学生尝试说明，教师从式子左右两边的三角函数名及符号给予归纳：余余正正异相连.）【设计意图】引导学生总结公式特点，帮助学生记忆公式.3.应用举例例.求cos15︒的值.（本例由情景问题提出，可引导学生采用不同的方法求值，认识到拆分角的多样性.）【设计意图】帮助学生掌握两角差的余弦公式的应用，拓展数学思维，体会拆分的多样性，决定变换的多样性.4.课堂小结【问题5】本节课你学到了哪些知识，有什么样的心得体会？（学生说明，师生共同归纳总结.）（1）两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；（2）向量作为工具性知识的运用；（3）解决数学问题的思路：由已知到未知、由特殊到一般.β的终边α)【设计意图】让学生对探究的过程、思路与方法有一个清晰的认识，获得知识和能力的共同进步.5.作业布置（1）课本127页，练习2,3题；（2）查一查“两角差的余弦公式”还有其他证明方法吗？【设计意图】巩固所学知识，拓展解决数学问题的思路.。
人教B版高中数学必修四《第三章 三角恒等变换 3.1 和角公式 3.1.2 两角和与差的正弦》_4
教 目标 知识与技能： 通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，包括公式的直接运用与公式的逆用，会进行简单的求值、化简；有目的的化简函数。
过程与方法： 在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、正切公式。
情感、态度、价值观： 通过知识的探究过程培养学生认真分析的良好的习惯及勇于探索精神,激发学生的学习兴趣。
重点 两角和与差的正弦和正切公式的推导，及运用公式进行简单的求值。
难点 灵活运用所学公式进行求值、化简。
教学方法探究学习，小组讨论、学案导学教学手段投影仪，多媒体 教 学 过 程设 计 意 图 一、知识回顾学生活动：回顾复习，完成两角差与和的余弦公式的填空。
二、公式推导思考1：上面学生回顾复习了两角和与差的余弦公，两角和与差的正弦公式是怎样的呢？?)(cos =-βα ?)(cos =+βα师生活动: 引导学生回答)(cos βα+是怎样由)(cos βα-推导出来的？思考2：我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？ 学生活动：学生可能有的想到利用诱导公式来化余弦为正弦即引导学生得出：sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］合作探究：（分小组讨论完成下面的推导）cos ［(2π-α)-β］=cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β =sin αcos β+cos αsin β. 思考3：类比cos(α-β)推导出cos(α+β)的方法，我们可以由sin(α+β)的公式推出sin(α-β)的公式吗？β用-β代之，则（下面由学生自己推导，找一个学生回答）学生活动：sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)设计意图：由复习引入新课，激发学生的成功喜悦，同时引起学生对新知识的思考和探索，激发学生的学习兴趣，增强学生的求知欲望．(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化，此法让学生课下进行)设计意图：合作探究，让学生小组讨论，自己推导出两角差的正弦公式，加深学生对知识的理解。
最新高中数学必修4-必修4第三章教材分析优秀名师资料
高中数学必修4-必修4第三章教材分析必修4第三章教材分析(一) 编写特色1( 用向量证明和角公式，引导学生用向量研究和差化积公式。
2( 建立和角公式与旋转变换之间的联系。
3( 融入算法，引导学生找出求正弦函数值的算法。
4( 引导学生独立的由和角公式推导出倍角公式与和差化积、积化和差公式。
5( 和角公式在三角恒等变换及三角计算中的应用。
(二) 内容结构1(内容编排本章的主要内容是和角公式、倍角公式和半角公式、三角函数的积化和差公式与和差化积公式，为了引起学生学习本章的兴趣，同时为了加强三角变换的实际应用，本章的开篇从一个实际问题出发，通过数学化，得到一个必须通过三角变换才能解决的数学问题，从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。
全章共分三大节。
第一大节，首先利用向量的方法证明了两角差的余弦公式，接着导出两角和的余弦公式，再利用诱导公式推出两角和、差的正弦公式，又利用同角三角函数关系式推出两角和、差的正切公式;第二大节，推导出倍角公式和半角公式。
第三大节，推导出积化和差与和差化积公式，并通过例题讲解以上各公式的应用。
2，地位与作用变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一。
代数变换是学生熟悉的，与代数变换一样，三角变换也是只变其形不变其质，它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系。
在本册第一章，学生接触了同角三角函数式的变换。
在本章，学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换，通过本章学习，学生的推理能力和运算能力将得到进一步提高。
三角恒等变换在数学及应用科学中应用广泛，同时有利于发展学生的推理能力和计算能力，本章将通过三角恒等变形揭示一些问题的数学本质。
3(重点与难点本章的重点是掌握和角公式的推导过程;难点是理解和角公式的几何意义。
4(本章知识结构SS2a a-bSTa+bTa-ba+b向量的数量积Ca-b及其坐标运算Ca+b积化和差C2a T2aaT,aa和差化积CS222(三)课时分配本章教学时间约8课时，具体分配如下: 3(1 和角公式3(1(1 两角和与差的余弦 2课时3(1(2 两角和与差的正弦 1课时3(1(3 两角和与差的正切 1课时 3(2 倍角公式和半角公式3(2(1 倍角公式 1课时3(2(2 半角的正弦、余弦和正切 1课时 3(3 三角函数的积化和差与和差化积1课时本章小结 1课时3(1(1两角和与差的余弦(一) 课题(一)教学目标:知识目标:理解并掌握两角和、差的余弦公式及其推导过程，理解公式的使用条件;会用公式求值能力目标:培养学生观察分析、类比、联想能力;推理能力及交流探讨能力。
人教A版高中数学必修四 第三章《简单的三角恒等变换》教案
3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求： 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=．又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=． 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？ 例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用． 小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：157158P P -14T T -。
高中数学必修4-基本初等函数小结
高中数学必修4-基本初等函数小结高中数学必修4-基本初等函数小结基本初等函数是高中数学中最重要的内容之一，它是研究数学的基础，也是理解其他数学分支的重要工具。
基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
幂函数是一种非常基础的函数，它的形式为y=x^n，其中n为任意实数。
它有两个特殊情况：n为正整数时，函数图像是单调递增的，n为负整数时，函数图像是单调递减的。
幂函数有很多重要的性质，比如定义域和值域的确定，奇偶性的判断和函数图像的变化规律。
指数函数是以指数为自变量，以底数为底的函数，它的形式为y=a^x，其中a为一个实数且大于0且不等于1。
指数函数是以底数是常数的变异函数，具有指数函数特有的性质。
指数函数的图像具有一些重要的特点，比如当a>1时，函数图像是上升的；当0<a<1时，函数图像是下降的；在反比例函数中，a=1时，函数图像变为常数。
对数函数是指数函数的逆函数，它的形式为y=loga(x)，其中a 为一个实数且大于0且不等于1。
对数函数有很多重要的性质，比如定义域和值域的确定，奇偶性的判断和函数图像的变化规律。
对数函数和指数函数是基本相关的，可以通过对数函数求解指数函数问题。
三角函数是研究三角关系的基础，它的形式为y=sin(x)，y=cos(x)和y=tan(x)。
三角函数有很多重要的性质，比如定义域和值域的确定，周期性和奇偶性的判断。
在解决三角关系的问题中，三角函数起着重要的作用，可以通过三角函数的计算来求解各种三角关系。
反三角函数是三角函数的逆函数，它的形式为y=arcsin(x)，y=arccos(x)和y=arctan(x)。
反三角函数有很多重要的性质，比如定义域和值域的确定，函数图像的变化规律。
在解决三角关系的问题中，反三角函数起着重要的作用，它可以通过三角函数的计算来求解各种三角关系。
总结而言，基本初等函数在高中数学中起着非常重要的作用，它们是数学学习的基础，也是理解其他数学分支的重要工具。
人教版高中数学必修4课后习题答案详解
5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、（1）略； （2）当a b ⊥时，a b a b +=-9、（1）22a b --； （2）102210a b c -+； （3）132a b +； （4）2()x y b -. 10、14a b e +=，124a b e e -=-+，1232310a b e e -=-+. 11、如图所示，OC a =-，OD b =-，DC b a =-，BC a b =--.12、14AE b =，BC b a =-，1()4DE b a =-，34DB a =， 34EC b =，1()8DN b a =-，11()48AN AM a b ==+. 13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点， 所以EF AC //且12EF AC =， 即12EF AC =； 同理，12HG AC =， 所以EF HG =.习题2.2 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b 不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM =-，而13AN AC =，13AM AB =， 所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=. 4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略（2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =， ∴AD BC //且AD BC ≠∴四边形ABCD 为梯形. （3）四边形ABCD 为菱形. （第11题） （第12题） （第13题） E H GF D CA B 丙甲乙（第1题） （第4题(2)） B A C D证明：∵AB DC =，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形 又AB AD =∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形.证明：因为OA OB BA -=，OD OC CD -=而OA OC OB OD +=+所以OA OB OD OC -=- 所以BA CD =，即AB ∥CD .因此，四边形ABCD 为平行四边形.2．3平面向量的基本定理及坐标表示练习（P100） 1、（1）(3,6)a b +=，(7,2)a b -=-； （2）(1,11)a b +=，(7,5)a b -=-；（3）(0,0)a b +=，(4,6)a b -=； （4）(3,4)a b +=，(3,4)a b -=-.2、24(6,8)a b -+=--，43(12,5)a b +=.3、（1）(3,4)AB =，(3,4)BA =--； （2）(9,1)AB =-，(9,1)BA =-；（3）(0,2)AB =，(0,2)BA =-； （4）(5,0)AB =，(5,0)BA =-4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =.所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)； （2）(1,4)； （3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3- 7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，得32A P P B =- (,)(2,3)(2,A P x y x y =-=--，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩ （第4题(3)） A D C B A D M O B C（第5题）∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题2.3 A 组（P101）1、（1）(2,1)-； （2）(0,8)； （3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题.2、123(8,0)F F F ++=3、解法一：(1,2)OA =--，(53,6(1))(2,7)BC =---=而AD BC =，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=. 所以点D 的坐标为(1,5).解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++，(53,6(1))(2,7)BC =---=由AD BC =可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =，(2,4)AB =-.1(1,2)2A C A B ==-，2(4,8)AD AB ==-，1(1,2)2AE AB =-=-. (0,3)O C O A A C =+=，所以，点C 的坐标为(0,3)； (3,9)O D O A A D =+=-，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)O E O A A E =+=-，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-. 6、(4,4)AB =，(8,8)CD =--，2CD AB =-，所以AB 与CD 共线.7、2(2,4)OA OA '==，所以点A '的坐标为(2,4)；3(3,9)O B O B '==-，所以点B '的坐标为(3,9-；故 (3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=-习题2.3 B 组（P101）1、(1,2)OA =，(3,3)AB =.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==，所以(4,5)P ；当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=，所以57(,)22P ； 当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--，所以(5,4)P --； 当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--，(1,1.5)AC =，所以4AB AC =-，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-，(6,8)PR =-，所以4PR PQ =，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--，(1,0.5)EG =--，所以8EF EG =，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=，得2121e e λλ=-. 所以12,e e 是共线向量，与已知12,e e 是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）19OP =. （2）对于任意向量12OP xe ye =+，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积练习（P106） 1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=. 2、当0a b ⋅<时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为32，0，32-. 图略练习（P107）1、22(3)45a =-+=，225229b =+=，35427a b ⋅=-⨯+⨯=-.2、8a b ⋅=，()()7a b a b +-=-，()0a b c ⋅+=，2()49a b +=.3、1a b ⋅=，13a =，74b =，88θ≈︒.习题2.4 A 组（P108）1、63a b ⋅=-，222()225123a b a a b b +=+⋅+=-，25123a b +=-.2、BC 与CA 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-.3、22223a b a a b b +=+⋅+=，22235a b a a b b -=-⋅+=.4、证法一：设a 与b 的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为θ，所以 ()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅== ()c o s a b a b λλθ⋅= ()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；（3）当0λ<时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=- ()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==- ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=∴AB AC ⊥，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=，于是可得6a b ⋅=-， 1cos 2a b a b θ⋅==-，所以120θ=︒. 8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=，(8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-∴AB DC =，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯=∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =，则2292x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得355655x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或355655x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.于是3565(,)55a =或3565(,)55a =--. 11、解：设与a 垂直的单位向量(,)e x y =，则221420x y x y ⎧+=⎨+=⎩，解得55255x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或55255x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 于是525(,)55e =-或525(,)55e =-. 习题2.4 B 组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥- 证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，33(,)c x y =.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-1212a b x x y y ⋅=+，1313a c x x y y ⋅=+由a b a c ⋅=⋅得12121313x x y y x x y y +=+，即1231()()0x x x y y y -+-= 而2323(,)b c x x y y -=--，所以()0a b c ⋅-=再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅由()0a b c ⋅-=得 123123()()0x x x y y y -+-=，即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅2、cos cos cos sin sin OA OBAOB OA OB αβαβ⋅∠==+.3、证明：构造向量(,)u a b =，(,)v c d =.c o s ,u v u v u v ⋅=<>，所以2222cos ,ac bd a b c d u v +=++<>∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++4、AB AC ⋅的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.C证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB = 又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠，而AM BAC AC ∠=所以212AB AC AB AM AB ⋅== 5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=证明：∵AB CB CA =-∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+.由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅= ∴222CA CB AB +=（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+，,DB AB AD =-∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-.∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -=∴0AC DB ⋅=，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+.∴22()()AB AD AB AD +=-，所以22AC BD =，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可.2．5平面向量应用举例习题2.5 A 组（P113）1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=- 由2RA AP =得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y=-+⎧⎨=-⎩代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =.2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =. 2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+ （2）因为1()2AE a b =+ 所以23AO AE =，因此,,A O E 三点共线，而且2AO OE = 同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO CO OE OF OD=== 3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-；（2）v 在A v 方向上的投影为135AA v v v ⋅=. 4、解：设1F ，2F 的合力为F ，F 与1F 的夹角为θ，则31F =+，30θ=︒； 331F =+，3F 与1F 的夹角为150°. 习题2.5 B 组（P113）1、解：设0v 在水平方向的速度大小为x v ，竖直方向的速度的大小为y v ，则0cos x v v θ=，0sin y v v θ=.设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001s i n ,()2c o s h v t g t g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩为重力加速度 所以，最大高度为220sin 2v g θ，最大投掷距离为20sin 2v g θ.2、解：设1v 与2v 的夹角为θ，合速度为v ，2v 与v 的夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v v v θθα==，0.5sin 20sin v d αθ==. ∴120sin d vθ=. 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.3、（1）(0,1)-O DF E A B C （第2题） （第4题）解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--. (2,22)AB =-.将AB 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP ， 于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444AP ππππ=+-=-- 所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==- （2）32y x=- 解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sin cos 44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()22()2x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩ 又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=- 第二章 复习参考题A 组（P118）1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.2、（1）D ； （2）B ； （3）D ； （4）C ； （5）D ； （6）B .3、1()2AB a b =-，1()2AD a b =+4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+ 2233AD a b =+，1133BC a b =+ 1133EF a b =--，1233FA DC a b ==- 1233CD a b =-+，2133AB a b =- CE a b =-+ 5、（1）(8,8)AB =-，82AB =； （2）(2,16)OC =-，(8,8)OD =-； （3）33OA OB ⋅=.（第4题）6、AB 与CD 共线.证明：因为(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =. 所以AB 与CD 共线. 7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C ===11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=，所以(2)n m m -⊥.12、1λ=-. 13、13a b +=，1a b -=. 14、519cos ,cos 820θβ==第二章 复习参考题B 组（P119）1、（1）A ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）C ； （6）C ； （7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-.222()2a b a b a b a b+=+=++⋅，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅.因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，于是22a b a b a b +=+=-. 再证a b a b a b +=-⇒⊥.由于222a b a a b b +=+⋅+，222a b a a b b -=-⋅+ 由a b a b +=-可得0a b ⋅=，于是a b ⊥所以a b a b a b +=-⇔⊥. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 3、证明：先证a b c d =⇒⊥22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=- 又a b =，所以0c d ⋅=，所以c d ⊥ 再证c d a b ⊥⇒=.由c d ⊥得0c d ⋅=，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=所以a b = 【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所（第3题）NMOABS（第6题）示】4、12AD AB BC CD a b =++=+，1142AE a b =+而34EF a =，14EM a =，所以1111()4242AM AE EM a b a a b =+=++=+5、证明：如图所示，12OD OP OP =+，由于1230OP OP OP ++=，所以3OP OD =-，1OD = 所以11OD OP PD == 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，222MN AB b a ==-. 7、（1）实际前进速度大小为224(43)8+=（千米／时）， 沿与水流方向成60°的方向前进； （2）实际前进速度大小为42千米／时， 沿与水流方向成690arccos3︒+的方向前进. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅，所以()0OB OA OC ⋅-=，所以0OB CA ⋅= 同理，0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=，所以点O 是ABC ∆的垂心. 9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=； （2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦121222221122cos A A B B A BA B θ+=++；（4）0022Ax By Cd A B++=+DOP 3P 1P 2（第5题）第三章 三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习（P127）1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+⨯=.c o s (2)c o s 2c o ss i n 2s i n 1c o s 0παπαπαααα-=+=⨯+⨯=. 2、解：由3cos ,(,)52πααπ=-∈，得2234sin 1cos 1()55αα=-=--=；所以23242cos()cos cos sin sin ()444252510πππααα-=+=⨯-+⨯=.3、解：由15sin 17θ=，θ是第二象限角，得22158cos 1sin 1()1717θθ=--=--=-；所以811538153cos()cos cos sin sin 33317217234πππθθθ-+-=+=-⨯+⨯=.4、解：由23sin ,(,)32πααπ=-∈，得2225cos 1sin 1()33αα=--=---=-；又由33cos ,(,2)42πββπ=∈，得2237sin 1cos 1()44ββ=--=--=-.所以3co4βα-+-=+=⨯-+-⨯-=. 练习（P131） 1、（1）624-； （2）624-； （3）624+； （4）23-. 2、解：由3cos ,(,)52πθθπ=-∈，得2234sin 1cos 1()55θθ=-=--=；所以4133433sin()sin cos cos sin ()333525210πππθθθ-+=+=⨯+-⨯=.3、解：由12sin 13θ=-，θ是第三象限角，得22125cos 1sin 1()1313θθ=--=---=-；所以3c o66ππθθ-++=-=⨯--⨯-=. 4、解：tan tan314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯-⋅.5、（1）1； （2）12； （3）1； （4）32-；（5）原式=1(cos34cos26sin34sin26)cos(3426)cos602-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-；（6）原式=sin 20cos70cos20sin 70(sin 20cos70cos20sin 70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-.6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x x x πππ-=+；（2）原式=312(sin cos )2(sin cos cos sin )2sin()22666x x x x x πππ+=+=+；（3）原式=222(sin cos )2(sin cos cos sin )2sin()22444x x x x x πππ-=-=-； （4）原式=1322(cos sin )22(cos cos sin sin )22cos()22333x x x x x πππ-=-=+. 7、解：由已知得3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，即3sin[()]5αβα--=，3sin()5β-=所以3sin 5β=-. 又β是第三象限角，于是2234cos 1sin 1()55ββ=--=---=-. 因此55s i 44ππββ+=.练习（P135）1、解：因为812παπ<<，所以382αππ<<又由4cos 85α=-，得243sin 1()855α=---=-，3sin385tan 484cos 85ααα-===- 所以3424sinsin(2)2sin cos 2()()48885525αααα=⨯==⨯-⨯-=2222437c o s c o s (2)c o s s i n ()()48885525αααα=⨯=-=---=2232tan23162484tan tan(2)3482771tan 1()84αααα⨯=⨯===⨯=-- 2、解：由3sin()5απ-=，得3sin 5α=-，所以222316cos 1sin 1()525αα=-=--=所以2221637cos2cos sin ()25525ααα=-=--= 3、解：由sin 2sin αα=-且sin 0α≠可得1cos 2α=-，又由(,)2παπ∈，得2213sin 1cos 1()22αα=-=--=，所以s i n3ta n(2)3c o s2ααα==⨯-=-. 4、解：由1t a n 23α=，得22t a n 11t a n 3αα=-. 所以2t a n 6t a n 10αα+-=，所以t a n 310α=-± 5、（1）11sin15cos15sin3024︒︒=︒=； （2）222cos sin cos 8842πππ-==；（3）原式=212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒⋅=︒=-︒； （4）原式=2cos 452︒=. 习题3.1 A 组（P137）1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+-⨯=-；（2）333sin()sin cos cos sin 1cos 0sin cos 222πππαααααα-=-=-⨯-⨯=-；（3）cos()cos cos sin sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=-⨯+⨯=-； （4）sin()sin cos cos sin 0cos (1)sin sin παπαπαααα-=-=⨯--⨯=.2、解：由3cos ,05ααπ=<<，得2234sin 1cos 1()55αα--=-=，所以4331433cos()cos cos sin sin 666525210πππααα+-=+=⨯+⨯=.3、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得2225cos 1sin 1()33αα=--=--=-，又由33cos ,(,)42πββπ=-∈，得2237sin 1cos 1()44ββ=--=---=-，所以5co 3αβ--=. 4、解：由1cos 7α=，α是锐角，得22143sin 1cos 1()77αα=-=-=因为,αβ是锐角，所以(0,)αβπ+∈，又因为11cos()14αβ+=-，所以221153sin()1cos ()1()1414αβαβ+=-+=--= 所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++11153431()1471472=-⨯+⨯= 5、解：由60150α︒<<︒，得9030180α︒<︒+<︒又由3sin(30)5α︒+=，得2234cos(30)1sin (30)1()55αα︒+=--︒+=--=-所以cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=︒+-︒=︒+︒+︒+︒4331433525210-+=-⨯+⨯= 6、（1）624+-； （2）264+-； （3）23-+.7、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得2225cos 1sin 1()33αα=--=--=-.又由3c o s4β=-，β是第三象限角，得2237sin 1cos 1()44ββ=--=---=-.所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-5327()()3434=-⨯--⨯- 352712+=sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-2357()()()3434=⨯---⨯- 63512--=8、解：∵53sin ,cos 135A B ==且,A B 为ABC ∆的内角∴0,02A B ππ<<<<，124cos ,sin 135A B =±=当12cos 13A =-时，sin()sin cos cos sin AB A B A B +=+5312433()013513565=⨯+-⨯=-< A B π+>，不合题意，舍去∴124cos ,sin 135A B ==∴cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=--1235416()13513565-⨯-⨯=- 9、解：由3sin ,(,)52πθθπ=∈，得2234cos 1sin 1()55θθ=--=--=-.∴sin 353tan ()cos 544θθθ==⨯-=-. ∴31tan tan 242tan()311tan tan 111()42θϕθϕθϕ-+++===--⋅--⨯. 31tan tan 42tan()2311tan tan 1()42θϕθϕθϕ----===-+⋅+-⨯. 10、解：∵tan ,tan αβ是22370x x +-=的两个实数根.∴3tan tan 2αβ+=-，7tan tan 2αβ⋅=-.∴3tan tan 12tan()71tan tan 31()2αβαβαβ-++===--⋅--.11、解：∵tan()3,tan()5αβαβ+=-=∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαβααβαβαβαβ++-=++-=-+⋅-3541357+==--⨯tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαββαβαβαβαβ+--=+--=++⋅-3511358-==-+⨯12、解：∵::2:3:6BD DC AD =∴11tan ,tan 32BD DC AD AD αβ====∴tan tan tan tan()1tan tan BAC αβαβαβ+∠=+=-⋅1132111132+==-⨯ 又∵0180BAC ︒<∠<︒，∴45BAC ∠=︒βαDACB（第12题）13、（1）65sin()6x π+； （2）3sin()3x π-； （3）2sin()26x π+；（4）27sin()212x π-； （5）22； （6）12； （7）sin()αγ+； （8）cos()αγ--； （9）3-； （10）tan()βα-.14、解：由sin 0.8,(0,)2παα=∈，得22cos 1sin 10.80.6αα=-=-=∴sin 22sin cos 20.80.60.96ααα==⨯⨯= 2222cos2cos sin 0.60.80.28ααα=-=-=- 15、解：由3cos ,1802703ϕϕ=-︒<<︒，得2236sin 1cos 1()33ϕϕ=--=---=- ∴6322sin 22sin cos 2()()333ϕϕϕ==⨯-⨯-= 2222361cos 2cos sin ()()333ϕϕϕ=-=---=- sin 222tan 2(3)22cos23ϕϕϕ==⨯-=- 16、解：设5sin sin 13B C ==，且090B ︒<<︒，所以12cos 13B =. ∴512120sin sin(1802)sin22sin cos 21313169A B B B B =︒-===⨯⨯=2222125119cos cos(1802)cos2(cos sin )(()())1313169A B B B B =︒-=-=--=--=-sin 120169120tan ()cos 169119119A A A ==⨯-=-17、解：22122tan 33tan 211tan 41()3βββ⨯===--，13tan tan 274tan(2)1131tan tan 2174αβαβαβ+++===-⋅-⨯. 18、解：1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=⇒1cos[()]3αββ+-=，即1cos 3α= 又3(,2)2παπ∈，所以22122sin 1cos 1()33αα=--=--=-∴22142sin 22sin cos 2()339ααα==⨯-⨯=- 22221227cos 2cos sin ()()339ααα=-=--=-∴72422728cos(2)cos2cos sin 2sin ()444929218πππααα-++=-=-⨯--⨯=19、（1）1sin 2α+； （2）cos 2θ； （3）1sin 44x ； （4）tan 2θ.习题3.1 B 组（P138） 1、略.2、解：∵tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x p x +++=，即210x px p +++=的两个实根∴tan tan A B p +=-，tan tan 1A B p ⋅=+ ∴tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+tan tan 11tan tan 1(1)A B pA B p +-=-=-=--⋅-+由于0C π<<，所以34C π=. 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++︒++︒=（证明略） 本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin (30)cos sin(30)cos 4αααα-︒++-︒=223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4αααα-︒++︒+-︒+︒=223sin cos sin cos 4αβαβ++=，其中30βα-=︒，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为12PA PP =，则2222(c o s ()1)s i n ()(c o s c o s )(s i n s i n )αβαβαβαβ+-++=-++即22cos()22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-3．2简单的三角恒等变换练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）1sin 42y x =. 最小正周期为2π，递增区间为[,],8282k k k Z ππππ-++∈，最大值为12；（2）cos 2y x =+. 最小正周期为2π，递增区间为[2,22],k k k Z ππππ++∈，最大值为3；（3）2sin(4)3y x π=+. 最小正周期为2π，递增区间为5[,],242242k k k Z ππππ-++∈，最大值为2.习题3.2 A 组（ P143） 1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略； （4）提示：用22sin cos ϕϕ+代替1，用2sin cos ϕϕ代替sin 2ϕ；（5）略； （6）提示：用22cos θ代替1cos 2θ+；（7）提示：用22sin θ代替1cos 2θ-，用22cos θ代替1cos 2θ+； （8）略.2、由已知可有1sin cos cos sin 2αβαβ+=……①，1sin cos cos sin 3αβαβ-=……②（1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin αβαβ=（2）把（1）所得的两边同除以cos cos αβ得tan 5tan αβ= 注意：这里cos cos 0αβ≠隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan 2θ=-. 于是2212()2tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯-===---- 1tan tan1142tan()1431tan tan 1()142πθπθπθ+-++===-⋅--⨯ ∴tan 24tan()4πθθ=-+4、由已知可解得sin x θ=，cos y θ=，于是2222sin cos 1x y θθ+=+=.5、()2sin(4)3f x x π=+，最小正周期是2π，递减区间为7[,],242242k k k Z ππππ++∈.习题3.2 B 组（P143） 1、略.2、由于762790+⨯=，所以sin 76sin(9014)cos14m ︒=︒-︒=︒= 即22cos 71m ︒-=，得1cos72m +︒= 3、设存在锐角,αβ使223παβ+=，所以23απβ+=，tan()32αβ+=， 又tantan 232αβ=-，又因为tantan 2tan()21tan tan 2αβαβαβ++=-，所以tantan tan()(1tan tan )33222αααβββ+=+-=- 由此可解得tan 1β=， 4πβ=，所以6πα=.经检验6πα=，4πβ=是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22αβαβ++. 过M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，111()()22MOM βαααβ∠=-+=+. 在Rt OMA ∆中，cos cos 22OM OA βααβ--==. 在1Rt OM M ∆中，11cos cos cos22OM OM MOM αβαβ+-=∠=， 11sin sin cos22M M OM MOM αβαβ+-=∠=. 于是有 1(cos cos )cos cos222αβαβαβ+-+=， 1(sin sin )sin cos222αβαβαβ+-+= 5、当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；当4x =时，4422222()sin cos (sin cos )2sin cos f ααααααα=+=+-211sin 22α=-，此时有1()12f α≤≤；当6x =时，66()s inf αααα=+=+ 231sin 24α=-，此时有1()14f α≤≤；由此猜想，当2,x k k N +=∈时，11()12k f α-≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ϕ=+=+，其中34cos ,sin 55ϕϕ==所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5； （2）22sin()y a b x ϕ=++，其中2222cos ,sin a b a ba bϕϕ==++所以，y 的最大值为22a b +，最小值为22a b -+；第三章 复习参考题A 组（P146）xy M 1M C AO B （第4题）1、1665. 提示：()βαβα=+- 2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]44ππαβπαββα+=-++=-+--3、1.4、（1）提示：把公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-变形；（2）3； （3）2； （4）3-. 提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式=cos103sin104sin(3010)4sin10cos10sin 20︒-︒︒-︒==︒︒︒；（2）原式=sin10sin103cos10sin 40(3)sin 40cos10cos10︒︒-︒︒-=︒⋅︒︒=2sin40cos40sin801cos10cos10-︒︒-︒==-︒︒；（3）原式=3sin 203sin 20cos 20tan 70cos10(1)tan 70cos10cos 20cos 20︒︒-︒︒︒-=︒︒⋅︒︒=sin702sin10sin20cos101cos70cos20cos70︒-︒-︒⋅︒⋅==-︒︒︒； （4）原式=3sin10cos103sin10sin50(1)sin50cos10cos10︒︒+︒︒⋅+=︒⋅︒︒2cos50sin100sin501cos10cos10︒︒=︒⋅==︒︒6、（1）95； （2）2425；（3）223±. 提示：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-；（4）1725.7、由已知可求得2cos cos 5αβ=，1sin sin 5αβ=，于是sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos21)αααα-++=++22242(cos21)2(2cos )8cos ααα=+===右边（2）左边=2222sin cos 2sin cos (sin cos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )αααααααααααα+++=++sin cos 11tan 2cos 22αααα+==+=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin 2cos (cos sin )αβαβααβααβααααα+-+++-+=+sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边（第12（2）题）（4）左边=222234cos 22cos 212(cos 22cos 21)34cos 22cos 212(cos 22cos 21)A A A A A A A A -+--+=++-++ 2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A -===+=右边 9、（1）1sin 21cos2sin 2cos222sin(2)24y x x x x x π=+++=++=++递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈（2）最大值为22+，最小值为22-.10、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin22cos(2)4f x x x x x x x x x x π=+--=-=+（1）最小正周期是π；（2）由[0,]2x π∈得52[,]444x πππ+∈，所以当24x ππ+=，即38x π=时，()f x 的最小值为2-. ()f x 取最小值时x 的集合为3{}8π.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin22sin(2)14f x x x x x x x π=+=-+=-+（1）最小正周期是π，最大值为21+；（2）()f x 在[,]22ππ-上的图象如右图：12、()3sin cos 2sin()6f x x x a x a π=++=++.（1）由21a +=得1a =-；（2）2{22,}3x k x k k Z πππ+∈≤≤.13、如图，设ABD α∠=，则CAE α∠=，2s i n h AB α=，1cos hAC α=所以1212sin 2ABC h h S AB AC α∆=⋅⋅=，(0)2πα<<当22πα=，即4πα=时，ABC S ∆的最小值为12h h .第三章 复习参考题B 组（P147）1、解法一：由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，及0απ≤≤，可解得4sin 5α=，αh 1h 2l 2l 1BDE AC（第13题）13cos sin 55αα=-=，所以24sin 225α=，7cos225α=-， 312sin(2)sin 2cos cos 2sin 44450πππααα-=-=.解法二：由1s i n c o s 5αα-= 得21(sin cos )25αα-=，24sin 225α=，所以249cos 2625α=. 又由1sin cos 5αα-=，得2sin()410πα-=.因为[0,]απ∈，所以3[,]444πππα-∈-.而当[,0]44ππα-∈-时，sin()04πα-≤；当3[,]444πππα-∈时，22sin()4210πα->≥.所以(0,)44ππα-∈，即(,)42ππα∈所以2(,)2παπ∈，7cos225α=-.312sin(2)450πα-=2、把1cos cos 2αβ+=两边分别平方得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=把1sin sin 3αβ+=两边分别平方得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=把所得两式相加，得1322(cos cos sin sin )36αβαβ++=，即1322cos()36αβ+-=，所以59cos()72αβ-=-3、由43sin()sin 35παα++=- 可得 3343sin cos 225αα+=-，4sin()65πα+=-.又02πα-<<，所以366πππα-<+<，于是3cos()65πα+=.所以334cos cos[()]6610ππαα-=+-=4、22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (cos sin )sin 1tan cos sin 1cos x x x x x x x x x x x x x x +++==---1tan sin2sin2tan()1tan 4x x x x x π+==+-由177124x ππ<<得5234x πππ<+<，又3cos()45x π+=，所以4sin()45x π+=-，4tan()43x π+=-所以2cos cos[()]cos()cos sin()sin 44444410x x x x ππππππ=+-=+++=-，72sin 10x =-，7sin 22sin cos 25x x x ==, 所以2sin 22sin 281tan 75x x x +=--， 5、把已知代入222s i n c o s (s i n c o s )2s i nθθθθθθ+=+-=，得22(2sin )2sin 1αβ-=.变形得2(1cos2)(1cos2)1αβ---=，2cos 2cos 2αβ=，224cos 24cos 2αβ= 本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含θ的三角函数.考虑sin cos θθ+，sin cos θθ这两者又有什么关系？及得上解法. 5、6两题上述解法称为消去法6、()3sin21cos22sin(2)16f x x x m x m π=+++=+++.由 [0,]2x π∈ 得72[,]666x πππ+∈，于是有216m ++=. 解得3m =.()2s i n (2)4()6f x x x R π=++∈的最小值为242-+=，此时x 的取值集合由322()62x k k Z πππ+=+∈，求得为2()3x k k Z ππ=+∈7、设AP x =，AQ y =，BCP α∠=，DCQ β∠=，则tan 1x α=-，tan 1y β=- 于是2()tan()()x y x y xyαβ-++=+-又APQ ∆的周长为2，即222x y x y +++=，变形可得2()2xy x y =+- 于是2()tan()1()[2()2]x y x y x y αβ-++==+-+-.又02παβ<+<，所以4παβ+=，()24PCQ ππαβ∠=-+=.8、（1）由221sin cos 5sin cos 1ββββ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，可得225sin 5sin 120ββ--=解得4sin 5β=或3sin 5β=-（由(0,)βπ∈，舍去）所以13cos sin 55ββ=-=-，于是4tan 3β=-（2）根据所给条件，可求得仅由sin ,cos ,tan βββ表示的三角函数式的值，例如，sin()3πβ+，cos22β+，sin cos 2tan βββ-，sin cos 3sin 2cos ββββ-+，等等.。
高中数学必修四第三章三角恒等变换
必修四 第三章：三角恒等变换【知识点梳理】：考点一：两角和、差的正、余弦、正切公式两角差的余弦：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 两角和的余弦：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 两角和的正弦：()sin αβ+sin cos cos sin αβαβ=+ 两角差的正弦：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- 两角和的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-两角差的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+注意：对于正切,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．【典型例题讲解】：例题1.已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.例题2.利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值。
例题3.已知()sin αβ+=32，)sin(βα-=51，求βαtan tan 的值。
例题4.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A ．12B ．33C ．22D ．32例题5.已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.例题6.已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____例题7.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 225（1） 求tan()αβ+的值； （2） 求2αβ+的值。
例题8.设ABC ∆中，tan A tan B Atan B +=，sin Acos A =，则此三角形是____三角形【巩固练习】练习1. 求值（1）sin 72cos 42cos72sin 42-； （2）cos 20cos70sin 20sin 70-；练习2.0sin 45cos15cos 225sin15⋅+⋅的值为（A ） -2 1（B ） -2 1（C ）2 （D ）2练习3.若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ） Ａ．3-Ｂ．13-Ｃ．3Ｄ．13练习4. 已知α，β为锐角，1tan 7α=，sin 10β=，求2αβ+.考点二：二倍角公式及其推论：在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,S C T ααα：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，24αα是的二倍，332αα是的二倍等等，要熟悉这多种形 式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键．二倍角公式的推论升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-=降幂公式：ααα2sin 21cos sin =； 22cos 1sin 2αα-=； 22cos 1cos 2αα+=.【典型例题讲解】例题l. ） A ．2sin15cos15 B ．22cos 15sin 15- C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+例题2.．已知1sin cos 5θθ+=，且432πθπ≤≤，则cos 2θ的值是 ．例题3.化简0000cos10cos 20cos30cos 40••• 例题4.23sin 702cos 10-=-（ ）A ．12B ．2C ．2D例题5.已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+.例题6.若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 。
人教A版高中同步学考数学必修4精品课件 第三章 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课堂篇合作学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
1
1
−
.
1+tan
3
2
(2)1+
2
2
课前篇自主预习
自主检测
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打
“×”.
(1)对任意的角,总有sin 2θ=2sin θ. (
)
(2)不存在角α,使得cos 2θ=2cos θ. (
)
2tan
π
(3)公式 tan 2α=
成立的条件是 α≠kπ+ ,k∈Z.
2
1-tan2
S2α
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C2α
正切
tan 2α=
2 α
1- 2
T2α
课前篇自主预习
4.公式S2α,C2α,T2α的适用范围
π
在公式 S2α,C2α 中,角 α 可以为任意角;但公式 T2α 只有当 α≠2+kπ,且
π
4
π
π
平方,求得 sin 2x 的值,再求得 cos
课堂篇合作学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
π
解:(方法一)∵0<x< ,
4
π
π
∴4-x∈ 0, 4 .
π
5
又 sin - = ,
4
13
π
12
∴cos 4 - = 13.
π
π
∵cos 2x=sin 2 -2 =2sin 4 -
高中数学第三章三角恒等变换3.3三角函数的积化和差与和差化积教案新人教B版必修4
（一）课前准备（预计用时：5分钟）
学生预习：
-发放预习材料，引导学生提前了解三角函数积化和差与和差化积的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。
-设计预习问题，如“积化和差与和差化积公式在生活中的应用”，激发学生思考，为课堂学习三角函数的内容做好准备。
教师备课：
-深入研究教材，明确教学目标和教学重难点。
-准备一些典型例题的解析图解，通过图解的方式让学生更清晰地看到解题步骤和思路。
-设计一些互动式电子白板练习，让学生可以在课堂上即时操作，增强互动性和参与感。
3.实验器材：
-虽然本节课不涉及物理实验，但如果条件允许，可以准备一些简单的实验器材，如直角三角形模型、角度测量仪等，用于直观展示三角函数中的角度关系。
- $\sin 30^\circ \cos 45^\circ - \cos 30^\circ \sin 45^\circ = \sin(30^\circ - 45^\circ)$
2.艺术性和趣味性：
回顾旧知：
-简要回顾上节课学习的三角恒等变换内容，帮助学生建立知识之间的联系。
-提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为学习新课打下基础。
（三）新课呈现（预计用时：25分钟）
知识讲解：
-清晰、准确地讲解积化和差与和差化积的知识点，结合实例帮助学生理解。
-突出重点，强调难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。
学生学习效果
1.知识与技能：
-学生能够理解并掌握三角函数积化和差与和差化积的基本概念和公式。
-学生能够运用积化和差与和差化积的公式进行三角函数的表达式转换和简化计算。
-学生通过课堂练习和课后作业，提高了对三角函数运算的熟练性和准确性。
-学生能够将实际问题中的角度关系转化为数学表达式，解决实际问题。
人教版高中数学必修4第三章三角恒等变换-《3.1.1两角差的余弦公式》课件(1)
提示： sin( ) 3
5
cos 2 cos ( ) ( ).
7 25
3 sin( ) 5
3 5 例4、在ABC中， cos A= ， cos B= ， 5 13 则cosC的值等于( )
C=180°－(A+B), 所以cosC= －cos(A+B) = －cosAcosB+sinAsinB
解： | a | cos2 45o sin 2 45o 1
| b | cos2 30o sin 2 30o 1
a b (cos45o , sin 45o ) (cos30o , sin 30o )
6 2 cos 45 cos30 sin 45 sin 30 4
例3：已知锐角α，β满足cosα=
cos(α+β)=
5 ，求cosβ的值 13
3 ， 5
4 ； 5 12 13
解：因为α，β都是锐角，所以sinα= 而cos(α+β)=
5 ，所以sin(α+β)= 13
则cosβ=cos[(α+β) －α]
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα 5 3 12 4 33 ( ) 13 5 13 5 65
3 π 解: ∵ cos = - , π 5 2
4 ∴ sin = 1 cos 5 π π π cos( - ) cos cos + sin sin
2
4
4 4 2 3 2 4 2 2 5 5
2 10
有了公式 C( ) 后,我们只要知道 cos ,cos ,sin ,sin 的值，就可以求得 cos( ) 的值了。
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高中数学必修4知识点⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角,确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=,180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ，弧长为l ，周长为C ,面积为S ，则l r α=，2C r l =+,21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>,则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT 12、同角三角函数的基本关系:()221sin cos 1αα+=，()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13、三角函数的诱导公式：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”诱导公式一:sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=,其中k Z ∈诱导公式二: sin(180)α+=sin α-； cos(180)α+=-cos α 诱导公式三： sin()sin αα-=-； cos()cos αα-=诱导公式四：sin(180)sin αα-=； cos(180)cos αα-=-诱导公式五:sin(360)sin αα-=-； cos(360)cos αα-=－α απ-απ+απ-2()Z k k ∈+απ2απ-2Sin －sin αsin α －sin α －sin αsin α cos α Coscos α －cos α －cos αcos αcos αsin α(1）要化的角的形式为180k α⋅±（k 为常整数）；（2)sin （k π+α）=(－1)k sin α；cos(k π+α）=(－1)k cos α(k ∈Z ）；（3)sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
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【解】 (1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，
于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝14. (2)由|a|＝|b|，知sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－
2sin2θ＋4sin2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，
温馨 提 示
请做：单元综合测试(三)
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【例1】 已知sin(π4＋α)sin(4π－α)＝16，α∈(2π，π)，求 1＋sinc4oαs2α的值．
【分析】 先由已知求出cos2α与sin2α的值，再把待 求式化简得到关于cos2α与sin2α的式子，把cos2α与sin2α的 值代入即可．
【解】 ∵sin(π4＋α)sin(4π－α)＝16， ∴sin(π4＋α)·cos(π4＋α)＝16， sin(π2＋2α)＝13，即cos2α＝13. 又α∈(π2，π)，2α∈(π，2π)， ∴sin2α＝－ 1－cos22α＝－ 1－132＝－232，
3 10
.
cos(α－β)＋sinα·sin(α－β)
＝45×
3－ 10
110×35＝9 5010
.
【评析】 变角是给值求值问题最为常见的技巧，因 此对于角的常见变换要熟悉，具体的变角技巧可参见第一 节的相关内容．当然还要熟悉一些互余角的关系．
【例3】 已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝ (1,2)．
∵0<α<2π，0<β<2π，∴－π2<α－β<2π， 又tan(α－β)＝－13，∴－2π<α－β<0. 又∵cosα＝45，0<α<2π，∴sinα＝35. 又tan(α－β)＝－13＝csoinsαα－－ββ，
且sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1，
∴sin(α－β)＝－
110，cos(α－β)＝
即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋4π)＝－
2 2.
又由0<θ<π，知4π<2θ＋4π<94π，
所以2θ＋4π＝54π，或2θ＋4π＝74π. 因此θ＝2π，或θ＝34π.
【评析】 从题设条件出发，顺着问题的线索，正用 三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条 件和推算手段逐步达到目的．
π 3
＋m)，其图象关于y轴对称，则f(0)＝±2，所以±2＝2cos(
π 3
＋m)，所以
π3 ＋m＝kπ(k∈Z)，所以m＝kπ－
π 3
(k∈Z)，则正
实数m的最小值为23π.
【答案】 C
【例5】 设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(m，cos2x)，
b＝(1＋sin2x,1)，x∈R，且y＝f(x)的图象经过点(
③“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过 往往求出的值是特殊角的值，再求出角之前还需结合函数 的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．
【例2】
已知α，β为锐角，cosα＝
4 5
，tan(α－β)＝－
13，求cosβ的值．
【解】 注意到所给值的角与要求函数值的角之间的 差异，因此考虑将单角变为复角，于是
①“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表 面看较难，但仔细观察这类问题中的角与特殊角都有着一 定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要诱导公 式．解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积 化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三 角函数而得到．
②“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值， 求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合 条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要 注意角范围的变化．
由已知f(4π)＝m(1＋sin2π)＋cos2π＝2，得m＝1.
(2)由(1)，得f(x)＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋ 2 sin(2x＋
π 4
)．∴当sin(2x＋
π 4
)＝－1时，f(x)的最小值为1－
2 .得此时
x值的集合为{x|x＝kπ－38π，k∈ Z}．
【评析】 对向量只考查了向量的数量积．本题主要 考查的还是三角函数知识，利用辅助角公式化为一个三角 函数后，再利用y＝Asin(ωx＋φ)的性质．
第三章
三角恒等变换
本章小结
网络建构 知识整合 单元综合测试
网络建构
知识整合
一、三角公式的灵活运用 三角恒等变换是本章的核心内容，实际上，本章的所 有公式都是在母公式Cα－β的基础上通过恒等变换得到 的．因此熟练掌握每一个公式的来龙去脉，即熟悉各个公 式之间的内在联系，才能记得准，当然用的时候还需要突 出一个“活”字，即掌握公式的正用、逆用、变形使用等 灵活应用公式的技巧．
π 4
，
2)．
(1)求实数m的值；
(2)求函数f(x)的最小值及此时x值的集合．
【分析】 (1)利用数量积写出函数f(x)的解析式，代
入点(
π 4
，2)的坐标，可求出实数m的值；(2)将两个三角函
数化为一个三角函数，利用弦函数的性质求解．
【解】 (1)f(x)＝a·b＝m(1＋sin2x)＋cos2x.
三、三角函数的应用
【例4】 若将函数y＝cosx－ 3 sinx的图象向左平移
m(m>0)个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的最
小值为( )
π
π
A.6
B.3
2π
5π
C. 3
D. 6
【解析】
y＝cosx－
3
sinx＝2(
1 2
cosx－
3 2
sinx)＝
2cos(x＋π3)，向左平移m(m>0)个单位后得函数y＝2cos(x＋
∴1＋sinc4oαs2α＝12＋sin12＋α·cc2ooss22αα＝2×1－＋213＋2213×13 ＝－4152.
二、三角函数求值的类型 严格来说，三角函数的化简、证明、求值都是三角恒 等变形，在变换技巧上都是相通的，但由于是求值，于是 它就有了特殊性，因此仍然把它单列开来，作为一个专 题．如前面章节中讲到的一样，三角函数求值，主要有三 种类型，即