第三章-第五节-演化博弈模型
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设：群体比例的动态变化速度为
dx x U Y U dt
dx 则： x 2 x3 dt
当x=0时，稳定；
6 当x>0时，最终稳定于x*=1
复制动态方程
dx/dt
dx x 2 x3 dt
乙 Y 甲 Y N 1，1 0， 0 N 0 ，0 0，0
0
1
图1 签协议博弈的复制动态相位图 x*=0，x*=1为稳定状态，此时，dx/dt=0 但x*=1为ESS，即最终所有人都将选择“Y”
5
二、复制动态中的对称博弈
乙 Y N 0 ，0 0，0
Y：同意 N：不同意
（一）签协议博弈
甲
Y N
1，1 0， 0
假设：群体中“Y”的比例为x，“N”的比例为1-x,对于 甲
UY x 1 1 x 0 x
U N x 0 1 x 0 0
U x UY 1 x U N x2
F x
dx x 1 x x a c 1 x b d dt x 1 x 61x 11
当F(x) =0时，x*=0，x*=1， x*=11/61为稳定状态
dx/dt
可知，当F '(0) <0, F'(1)<0， 而F'(11/61)>0，则
在方法论上，它不同于博弈论将重点放在静态均衡
和比较静态均衡上，强调的是一种动态的均衡。演 化博弈理论源于生物进化论。
2
为什么将演化思想引入到博弈论中？
（1）博弈论对生物学的影响。博弈论的策略对应生
物学中的基因 ，博弈论的收益对应生物学中的 适应度。在生物学中应用的博弈论与经济学中的 传统博弈论最大区别就是非完全理性的选择。 （2）演化化思想对社会科学的影响。例如，在市场 竞争中，我们不必要去理性的想那个策略才是最 优的，最后能够在市场存活下来的企业，一定是
适应能力最强的公司。
3
在演化博弈理论中，演化稳定策略 (Evolutionary Stable
Strategy, ESS)和复制动态(Replication Dynamics)是两个核
心概念。演化稳定策略是指在博弈的过程中，博弈双方由于有 限理性，博弈方不可能一开始就找到最优策略以及最优均衡点。
于是，博弈方在博弈的过程中需要不断进行学习，有过策略失
若x<x*，为使x→x*，应满足F(x)>0;
若x>x*，为使x→x*，应满足F(x)<0.
F(x)=dx/dt，t↑，则x↓
F(x)
这意味着：
x* 0 x
当F'(x*)<0，x*为ESS
9
（三）协调博弈的复制动态和ESS
复制动态方程F(x)：
甲 A B
乙 A 50，50 0，49 B 49，0 60，60
当时间趋于无穷大时，博弈参与方策略选择行为是怎样的？ 这就是演化博弈稳定性问题,一个稳定状态必须对微小扰 动具有稳健性才能称为演化稳定策略。也就是说，如果我 们假定为演化稳定策略的稳定点，则该点除了本身必须是 均衡状态以外，还必须具有这样的性质：如果某些博弈方 由于偶然的错误偏离了它们，复制动态仍然会使x回复到 x*。在数学上，这相当于要求：当干扰使x低于时x* ， dx/dt必须大于0；当干扰使得x出现高于时x*， dx/dt必 须小于0，这就要求这些稳定状态处于的导数必须小于0。 演化稳定策略的影响因素分析
第五节 演化博弈模型
1
一、演化博弈思想
传统博弈理论的两个苛刻假设： （1）完全理性（2）完全信息 与传统博弈理论不同，演化博弈理论并不要求参与 人是完全理性的，也不要求完全信息的条件。 演化博弈论（Evolutionary Game Theory）把博弈 理论分析和动态演化过程分析结合起来的一种理论。
令x为采用“鹰”策略的群体比例，1-x为采用“鸽”策略的群体比 例 则复制动态方程F(x)：
F x
dx x 1 x x a c 1 x b d dt v vc x 1 x x 1 x 2 2
x
7
（二）一般两人对称博弈
甲 S1 S2
乙 S1 a，a c， b S2 b ，c d，d
群体中采用S1的比例为x，S2的比例为1-x，对于甲
U1 x a 1 x b
U2 x c 1 x d
U x U1 1 x U2
则复制动态方程F(x)：
dx/dt
1/6 0 1
F ‘(0) >0, F’(1)>0，而 F‘(1/6)<0，
F x
dx x a c 1 x b d x U1 U x 1 x dt
8
当F(x) =0时，
复制动态稳定状态为：x*=0，x*=1，x*=(d-b)/(a-b-c+d)
稳定性定理
F(x)=dx/dt，t↑，则x↑
x*=0和x*=1为ESS
0 11wk.baidu.com61 1
x
这意味着： 当初始x<11/61时，ESS为x*=0;
10 当初始x>11/61时，ESS 为 x*=1.
图2 协调博弈的复制动态相位图
（四）鹰鸽博弈的复制动态和ESS
鹰 甲
乙 鸽 v ，0 v/2 ，v/2
(v-c)/2 鹰 (v-c)/2，
鸽
0 ，v
11
当F(x) =0时，x*=0，x*=1，x*=v/c为稳定状态
乙 鹰 甲
(v-c)/2 鹰 (v-c)/2，
鸽 v ，0 v/2 ，v/2
鸽
0 ，v
F x
dx v vc x 1 x x 1 x dt 2 2
① 假设v=2，c=12（表示种群间发生冲突导致的损失很大，大于和平共处所得到的收益）
误会逐渐改正，并不断模仿和改进过去自己和别人的最有利策 略。经过一段时间的模仿和改错，所有的博弈方都会趋于某个
稳定的策略。
复制动态实际上是描述某一特定策略在一个种群中被采用 的频数或频度的动态微分方程，可以用下式表示：
d xi dt xi [(usi , x) u ( x, x)]
4
演化博弈关注的问题
dx x U Y U dt
dx 则： x 2 x3 dt
当x=0时，稳定；
6 当x>0时，最终稳定于x*=1
复制动态方程
dx/dt
dx x 2 x3 dt
乙 Y 甲 Y N 1，1 0， 0 N 0 ，0 0，0
0
1
图1 签协议博弈的复制动态相位图 x*=0，x*=1为稳定状态，此时，dx/dt=0 但x*=1为ESS，即最终所有人都将选择“Y”
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二、复制动态中的对称博弈
乙 Y N 0 ，0 0，0
Y：同意 N：不同意
（一）签协议博弈
甲
Y N
1，1 0， 0
假设：群体中“Y”的比例为x，“N”的比例为1-x,对于 甲
UY x 1 1 x 0 x
U N x 0 1 x 0 0
U x UY 1 x U N x2
F x
dx x 1 x x a c 1 x b d dt x 1 x 61x 11
当F(x) =0时，x*=0，x*=1， x*=11/61为稳定状态
dx/dt
可知，当F '(0) <0, F'(1)<0， 而F'(11/61)>0，则
在方法论上，它不同于博弈论将重点放在静态均衡
和比较静态均衡上，强调的是一种动态的均衡。演 化博弈理论源于生物进化论。
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为什么将演化思想引入到博弈论中？
（1）博弈论对生物学的影响。博弈论的策略对应生
物学中的基因 ，博弈论的收益对应生物学中的 适应度。在生物学中应用的博弈论与经济学中的 传统博弈论最大区别就是非完全理性的选择。 （2）演化化思想对社会科学的影响。例如，在市场 竞争中，我们不必要去理性的想那个策略才是最 优的，最后能够在市场存活下来的企业，一定是
适应能力最强的公司。
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在演化博弈理论中，演化稳定策略 (Evolutionary Stable
Strategy, ESS)和复制动态(Replication Dynamics)是两个核
心概念。演化稳定策略是指在博弈的过程中，博弈双方由于有 限理性，博弈方不可能一开始就找到最优策略以及最优均衡点。
于是，博弈方在博弈的过程中需要不断进行学习，有过策略失
若x<x*，为使x→x*，应满足F(x)>0;
若x>x*，为使x→x*，应满足F(x)<0.
F(x)=dx/dt，t↑，则x↓
F(x)
这意味着：
x* 0 x
当F'(x*)<0，x*为ESS
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（三）协调博弈的复制动态和ESS
复制动态方程F(x)：
甲 A B
乙 A 50，50 0，49 B 49，0 60，60
当时间趋于无穷大时，博弈参与方策略选择行为是怎样的？ 这就是演化博弈稳定性问题,一个稳定状态必须对微小扰 动具有稳健性才能称为演化稳定策略。也就是说，如果我 们假定为演化稳定策略的稳定点，则该点除了本身必须是 均衡状态以外，还必须具有这样的性质：如果某些博弈方 由于偶然的错误偏离了它们，复制动态仍然会使x回复到 x*。在数学上，这相当于要求：当干扰使x低于时x* ， dx/dt必须大于0；当干扰使得x出现高于时x*， dx/dt必 须小于0，这就要求这些稳定状态处于的导数必须小于0。 演化稳定策略的影响因素分析
第五节 演化博弈模型
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一、演化博弈思想
传统博弈理论的两个苛刻假设： （1）完全理性（2）完全信息 与传统博弈理论不同，演化博弈理论并不要求参与 人是完全理性的，也不要求完全信息的条件。 演化博弈论（Evolutionary Game Theory）把博弈 理论分析和动态演化过程分析结合起来的一种理论。
令x为采用“鹰”策略的群体比例，1-x为采用“鸽”策略的群体比 例 则复制动态方程F(x)：
F x
dx x 1 x x a c 1 x b d dt v vc x 1 x x 1 x 2 2
x
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（二）一般两人对称博弈
甲 S1 S2
乙 S1 a，a c， b S2 b ，c d，d
群体中采用S1的比例为x，S2的比例为1-x，对于甲
U1 x a 1 x b
U2 x c 1 x d
U x U1 1 x U2
则复制动态方程F(x)：
dx/dt
1/6 0 1
F ‘(0) >0, F’(1)>0，而 F‘(1/6)<0，
F x
dx x a c 1 x b d x U1 U x 1 x dt
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当F(x) =0时，
复制动态稳定状态为：x*=0，x*=1，x*=(d-b)/(a-b-c+d)
稳定性定理
F(x)=dx/dt，t↑，则x↑
x*=0和x*=1为ESS
0 11wk.baidu.com61 1
x
这意味着： 当初始x<11/61时，ESS为x*=0;
10 当初始x>11/61时，ESS 为 x*=1.
图2 协调博弈的复制动态相位图
（四）鹰鸽博弈的复制动态和ESS
鹰 甲
乙 鸽 v ，0 v/2 ，v/2
(v-c)/2 鹰 (v-c)/2，
鸽
0 ，v
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当F(x) =0时，x*=0，x*=1，x*=v/c为稳定状态
乙 鹰 甲
(v-c)/2 鹰 (v-c)/2，
鸽 v ，0 v/2 ，v/2
鸽
0 ，v
F x
dx v vc x 1 x x 1 x dt 2 2
① 假设v=2，c=12（表示种群间发生冲突导致的损失很大，大于和平共处所得到的收益）
误会逐渐改正，并不断模仿和改进过去自己和别人的最有利策 略。经过一段时间的模仿和改错，所有的博弈方都会趋于某个
稳定的策略。
复制动态实际上是描述某一特定策略在一个种群中被采用 的频数或频度的动态微分方程，可以用下式表示：
d xi dt xi [(usi , x) u ( x, x)]
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演化博弈关注的问题