平面几何的立体几何类比

从三角形到三棱锥

性质1：在平面上到△ABC三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点，这个点也称为三角形的外心（外接圆圆心）.

如果把“在平面上”几个字去掉，再来研究到三角形三个顶点距离相等的点会是一种什么情形呢？首先这样的点肯定存在（三角形外心就是一例），在平面ABC外是否还有这样的点呢？我们先把研究的问题具体化.

ABC所在平面外满足PA=PB=PC的点P是否存在？

先考虑到A、B距离相等的点.在平面中这样的点的轨迹为线段AB的垂直平分线，不难证明在空间满足此条件的点的轨迹为线段AB的垂直平分面（即过AB中点且与AB垂直的平面.记为α）.同理，到A、C两点距离相等的点的轨迹为线段AC的垂直平分面（记为β）.显然这两个平面不平行，记交线为m,因为直线m上的任意一点P都满足PA=PB，PA=PC，所以有PB=PC，可知点P也应在线段BC的垂直平分面上，即直线m是AB、AC、BC三条线段的垂直平分面的交线.由此可得：在空间到三角形三个顶点距离相等的点在其三边的垂直平分面的交线上，易证，这条直线垂直于三角形所在平面且通过三角形的外心，这条直线我们不妨称之为三角形的外心线.这个结论还可以如下的角度来表述：如图1，如果平面ABC外有一点P且PA=PB=PC，那么点P在过△

ABC外心且与平面ABC垂直的直线上.

也可以说，到△ABC三个顶点距离相等的点在平面ABC内的射影

是△ABC的外心.

思考：三角形还有哪些类似的性质可以推广到空间去？

不难想到三角形的内心（三条角平分线的交点）、垂心（三条高线的交点）

都可以在空间找到对应的图形.对这些性质我们不妨先大胆写出结论，再进行严格证明.在类比中，我们看到，平面中的点常对应空间中的线，平面中的线则常对应空 图1 间中的面.

在平面几何中有这样一个性质：

如图2，△ABC 中，B ′和C ′分别在边AB 、AC 上，则有

.AC

AB C A B A S S ABC C B A ⋅'

⋅'=∆''∆ （用公式S △ABC =A bc sin 2

1

易证）

将这一性质类比到空间得到相应结论：

图2

性质2：如图3，已知四面体A —BCD 中，棱AB 、AC 、AD 上各有一点B ′、C ′、D ′，则有

.AD

AC AB D A C A B A S V BCD A D C B A ⋅⋅'

⋅'⋅'=-'''- 图3

证明：作DP ⊥平面ABC 于P ，连结A 、P 并延长AP 交BC 于E.则平面APD ⊥平面ABC.过D ′作

Q D '⊥AP 于Q ，则Q D '⊥平面ABC ，于是有

.

,

'', .

3

1

,31

AD

AC AB D A C A B A V V AD AD DP Q D AC AB C A B A S S DP S V Q D S V BCD A D C B A ABC C B A ABC BCD A C B A D C B A ⋅⋅'

⋅'⋅'==⋅'⋅'=⋅='⋅=

-'''-∆''∆∆-''∆'''-所以又因为

练习：下面这些平面中的性质类比到空间应怎样叙述？它是正确的吗？如果正确，你能证明它吗？

性质3：如图4，正△ABC ，过其内任一点P 作三边垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则PE+PF+PD 为定值.

性质4：如图5，点O 是△ABC 内任意一点，连结AO 、BO 、CO 并延长交BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F.则

.1=++CF

DF

BE OE AD OD

图4 图5

性质3、4向空间类比所得命题都是正确的，它们分别可表述为 性质3′：如图6，过正四面体内一点P 向四个面作垂线，垂足分别为M 1、M 2、M 3、M 4，则PM 1+PM 2+PM 3+PM 4为定值.

性质4′：如图7，P 为四面体A —BCD 内任意一点，连结AP 、BP 、CP 、DP 并延长分别交A 、B 、C 、D 所对的平面于A 1、B 1、C 1、D 1，则

图6 图7

.111

111111=+++D

D PD C C PC B B PB A A PA 这些性质的证明方法与性质本身的证明类似可以从相应平面性质的证明中类比得到.如性质3、4的证明用到了面积割补思想，类比到空间就是体积割补思想，性质3′、4′的证明问题就迎刃而解了. 一、转化的思想方法

研究问题时，将研究对象在一定条件下转化为熟悉的、简单的、基本的研究对象的思维方法称为转化的思想方法。这种思想方法是立体几何中最重要的思想方法，贯穿在立体几何教学的始终。立体几何中转化的思想方法主要体现在如下几个方面：

1、空间问题向平面问题转化

将空间问题转化为熟知的平面问题是研究立体几何问题最重要的数学方法之一。如线面垂直的判定定理转化为三角形全等的平面几何问题；教材中的几种多面体和旋转体的侧面积公式的推导（除球面和球冠外）、侧面上最短线问题都是通过侧面展开转化为平面几何问题；旋转体的有关问题不也是转化为关于轴截面的平面几何问题吗？其实，立体几何中的三种角（线线角、线面角、二面角）和

四种距离（线线距、点面距、线面距、面面距）从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转化。

例1. 正三棱锥A-BCD ，底面边长为a ，侧棱为2a ，过点B 作与侧棱AC 、

AD 相交的截面，在这样的截面三角形中，求周长的最小值。

解析：沿侧棱AB 把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图1，当周长最小时，EF

在直线BB ′上，∵ΔABE ≌ΔB ′AF ，∴AE ＝AF ，AC ＝AD ，∴B ′B ∥CD ，∴∠1＝∠2＝∠3，∴

BE ＝BC ＝a ，同理B ′F ＝B ′D ＝a.∵ΔFDB ′∽ΔADB ′，∴

B D DF '

＝B A B D ''，a DF

＝a a 2＝21,∴DF ＝21a,AF ＝23a.又∵ΔAEF ∽ΔACD ，∴BB ′＝a+43a+a ＝4

11a,∴截面三角形的周长

的最小值为411

a.

评析 把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.

又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的。

实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。

2、位置关系的转化

线线、线面、面面平行与垂直的位置关系既互相依存，又在一定条件下不仅能纵向转化：线线平行（或垂直） 线面平行（或垂直） ; 面面平行（或垂直），而且还可以横向转化：线线、线面、面面的平行 ; 线线、线面、面面的垂直。