新人教A版必修5《正余弦定理综合应用》课件ppt
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人教A版高中数学必修5第一章1.1.2 余弦定理 课件(共19张PPT)
及时巩固
。
1、在△ABC中，若三边a,b,c满足，则A= 。
2、△ABC中，已知 这个三角形是
三角形
总结
（1）余弦定理适用于任何三角形 （2）余弦定理的作用：
a、已知三边，求三个角
b、已知两边及这两边的夹角，求第三边， 进而可求出其它两个角
c、判断三角形的形状
（3）由余弦定理可知：
A 9 0 o a 2 b 2 c 2 A 9 0 o a 2 b 2 c 2 A 9 0 o a 2 b 2 c 2
Ca
B
A2 C si2nCC2B 2CB Ac CoCsA2 C co2C s
A2 C C2B 2CB Ac CoCs
c 2 a 2 b 2 2 acb C os
新情课境探引究入
你还有别的方法吗？
A
b
c
Ca
c2a2b2 勾股定理
你能用向量证明勾股定理吗？
即证
2
2
2
ABACCB
B ABACCB
新情课境探引究入 向量法 A 那么一般三角形呢
当角C为锐角时
A
证明：过A作AD CB交CB于D
b
c
在Rt ADC中
A A D sC C i,C n A D cC C o C s a D
B
在 RtABD中
A2BA2 D B2 D
(AsCiC n)2(C BC)D 2
A2 C si2nCC2B 2CB Ac CoCsA2 C co2C s
A2 C C2B 2CB Ac CoCs
A ( b cC , o b sC s i ) B ( n , a , 0 ) C ( , 0 , 0 )
A2 B (bcoCsa)2(bsiC n0)2 b2co2C s2acboCsa2b2si2n C a2b22acboCs c 2 a 2 b 2 2 acb C os
第4章第7节正弦定理余弦定理的综合应用课件共60张PPT
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之
间的位置关系．( )
(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是0，π2.
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
()
第七节 正弦定理、余弦定理的综合应用
二、教材习题衍生
C [如图所示，依题意可知∠ADC＝
45°，∠ACD＝180°－60°－15°＝105°，
∴∠DAC＝180°－45°－105°＝30°， 由正弦定理可知sin∠CDDAC＝sin∠ACCDA，
∴AC＝CDsi·ns∠in∠DACCDA＝25 2米． ∴在Rt△ABC中，
AB＝AC·sin∠ACB＝25 2× 23＝252 6≈31米． ∴旗杆的高度约为31米，故选C.]
第七节 正弦定理、余弦定理的综合应用
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向．( ) (2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关 系为α＋β＝180°.( )
第七节 正弦定理、余弦定理的综合应用
第七节 正弦定理、余弦定理的综合应用
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
(1)10 6 (2) 1241[(1)∵△ABC中，由题意可得：
∠CAB＝120°，∠BCA＝30°，AB＝60×13＝
20， ∴由正弦定理sin∠BCCAB＝sin∠ABBCA，
∴BC＝ABsi·nsi∠n∠BCCAAB＝20×1
人教A版高中数学必修5第一章1.1.2余弦定理 (1)课件(共13张PPT)
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：BC2 | AB |2 | AC |2 2 | AB | AC | cos A
12 ( 3)2 21 3 1 7
2
22 4
1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。
2、已知三边求三个角。
2、利用正弦定理可以解决的问题：
1、已知三角形的任意两角与一边， 求其他两边和另一角。
2、已知三角形的两边与其中一边的对角，求 三角形的其他的边和角。
✓如果出现两个解，根据“三角形中大边对大角”来
决定取舍！
所夹的角
复习引入
3、 相同起点，尾尾相连，指向被减向量。
4、
ar
r b
ar
r b
cos
rO
1.1.2 余弦定理（1）
1、正弦定理：
= 2R
• 变型式：
（R为三角形外接圆的半径）
a:b:c=＿s＿in＿A：＿s＿in＿B：＿＿sin＿C ；
a=＿2＿Rs＿in＿A ，b=＿2＿Rs＿in＿B ，c=＿2＿Rs＿in＿C ；
a
b
c
sinA= 2R , sinB= 2R , sinC= 2R .
2bc cos A b2 c2 a2
cos A b2 c2 a2 2bc
由余弦定理变型得：
cos A b 2 c 2 a 2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
cos C a 2 b 2 c 2 2ab
应用：已知三条边求角度．
高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例第二课时正、余弦定理在三角形中的应用
3 ,则∠BDC= π 或 2π .
62
33
3
又由 DA=DC,则 A= π 或 π . 63
(2)若△BCD的面积为 1 ,求边AB的长.
6
解:(2)由于 B= π ,BC=1,△BCD 的面积为 1 ,
4
6
则 1 BC·BD·sin π = 1 ,解得 BD= 2 .
2
46
3
由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos π =1+ 2 -2× 2 × 2 = 5 ,故 CD= 5 .
2
2
2
关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边
的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是
根据题中的条件选择正确的变换方向.
即时训练 1-1:在△ABC 中,已知 AB=2,AC=2 2 ,cos B= 1 . 3
(1)求sin C的值;
3
3
3
所以 sin(B+C)= 2 10 + 2 , 99
所以 sin A= 2 10 + 2 , 99
因为 AB=2,AC=2 2 ,
因为 S= 1 AB·AC·sin A,所以 S= 8 5 4 2 .
2
9
题型二 平面图形中线段长度的计算
【例2】 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值;
49
3 29
3
又 AB=AD+BD=CD+BD= 5 + 2 = 2 5 ,
33
3
故边 AB 的长为 2 5 . 3
人教A版高中数学必修五课件1-2-2正、余弦定理在三角形中的应用.pptx
【错解】 ∵AB＝2 3，AC＝2，B＝30°， ∴根据正弦定理，有 sin C＝ABA·sCin B＝2 32×12＝ 23， ∴C＝60°，∴A＝90°. 根据三角形的面积公式， 得 S＝12AB·AC·sin A＝2 3.
【错因】 本题没有注意到AB>AC，所以C>B，
从而C有两解． 【正解】 ∵AB＝2 3，AC＝2，B＝30°，
＝
3 2 cos
B＋12sin
B
＝sin(60°＋B)
∵0°<B<60°
∴60°<60°＋B<120°
故当 60°＋B＝90°即 B＝30°时，sin B＋sin C 取得最大值
1.
4．在△ABC 中，BC＝ 5，AC＝3，sin C＝2sin A. (1)求 AB 的值； (2)求 sin2A－4π的值．
两边和夹角 (如a，b，C)
三边(a，b， c)
两边和其中 一边的对角 (如a，b，A)
应用定理 正弦定理
余弦定理 正弦定理
余弦定理
正弦定理 余弦定理
一般解法
由A＋B＋C＝180°，求角A； 由正弦定理求出b与c，在有解 时只有一解
由余弦定理求第三边c；由正 弦定理求出一边所对的角； 再由A＋B＋C＝180°求出另 一角，在有解时只有一解
△ABC 中，角 A、B、C 对应边分别为 a、b、c. 求证：a2－c2 b2＝sinsiAn－CB.
由题目可获取以下主要信息： ①要证明等式的左边是三角形的边的关系式； ②右边是三角形角的关系式． 解答本题可通过正弦定理、余弦定理化边为角或化角为边， 即可证明．
[解题过程] 证法一：由余弦定理
2．三角形形状的判断 判断三角形的形状是解三角形问题中常见题型，其关键是 实现边角互相转化，主要方法有两种： 方法一：化角为边，利用正弦定理、余弦定理把所给条件 中的角都转化为边，通过恒等变形，寻找边的关系，从而判断 三角形的形状． 方法二：化边为角，利用正弦定理、余弦定理把所给的条 件中的边都化为角，通过三角变换，寻求角的值或角的关 系．常见结论有：
【错因】 本题没有注意到AB>AC，所以C>B，
从而C有两解． 【正解】 ∵AB＝2 3，AC＝2，B＝30°，
＝
3 2 cos
B＋12sin
B
＝sin(60°＋B)
∵0°<B<60°
∴60°<60°＋B<120°
故当 60°＋B＝90°即 B＝30°时，sin B＋sin C 取得最大值
1.
4．在△ABC 中，BC＝ 5，AC＝3，sin C＝2sin A. (1)求 AB 的值； (2)求 sin2A－4π的值．
两边和夹角 (如a，b，C)
三边(a，b， c)
两边和其中 一边的对角 (如a，b，A)
应用定理 正弦定理
余弦定理 正弦定理
余弦定理
正弦定理 余弦定理
一般解法
由A＋B＋C＝180°，求角A； 由正弦定理求出b与c，在有解 时只有一解
由余弦定理求第三边c；由正 弦定理求出一边所对的角； 再由A＋B＋C＝180°求出另 一角，在有解时只有一解
△ABC 中，角 A、B、C 对应边分别为 a、b、c. 求证：a2－c2 b2＝sinsiAn－CB.
由题目可获取以下主要信息： ①要证明等式的左边是三角形的边的关系式； ②右边是三角形角的关系式． 解答本题可通过正弦定理、余弦定理化边为角或化角为边， 即可证明．
[解题过程] 证法一：由余弦定理
2．三角形形状的判断 判断三角形的形状是解三角形问题中常见题型，其关键是 实现边角互相转化，主要方法有两种： 方法一：化角为边，利用正弦定理、余弦定理把所给条件 中的角都转化为边，通过恒等变形，寻找边的关系，从而判断 三角形的形状． 方法二：化边为角，利用正弦定理、余弦定理把所给的条 件中的边都化为角，通过三角变换，寻求角的值或角的关 系．常见结论有：
人教A版高中数学必修5全套1.2.1正余弦定理在实际中的应用课件
确分析战场形势，在两个相距为 23a的军事基地 C 处和 D 处测得 蓝方两支精锐部队分别在 A 处和 B 处，且∠ADB＝30°，∠BDC ＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精 锐部队的距离．
人教A版高中数学必修5全套1.2.1正余弦定理在实际中的应 用
13
【解析】 方法一：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，
(2)准确了解测量中的有关概念、名词、术语，方能理解实 际问题的题意，根据题意作出示意图．
(3)方位角 α 的范围是 0°<α<360°，方向角 β 的范围是 0°<β<90°.
人教A版高中数学必修5全套1.2.1正余弦定理在实际中的应 用
5
|自我尝试|
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．( × ) (2)两个不可到达的点之间的距离无法求得．( × ) (3)方位角和方向角是一样的．( × )
∴siBn3C0°＝siCn4D5°，∴BC＝ 46a， 在△ABC 中，∵AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°＝34a2＋38a2 －2× 23a·46a·22＝38a2， ∴AB＝ 46a，∴蓝方这两支精锐部队的距离为 46a.
人教A版高中数学必修5全套1.2.1正余弦定理在实际中的应 用
又∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，
∴AD＝CD＝AC＝
3 2 a.
在△BCD 中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，
∵sin∠DBBCD＝sin∠CDDBC，
6＋ 2
∴BD＝CD·ssiinn∠∠BDCBDC＝ 23a·
4 2
＝3＋4
3 a.
人教A版高中数学必修5全套1.2.1正余弦定理在实际中的应 用
13
【解析】 方法一：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，
(2)准确了解测量中的有关概念、名词、术语，方能理解实 际问题的题意，根据题意作出示意图．
(3)方位角 α 的范围是 0°<α<360°，方向角 β 的范围是 0°<β<90°.
人教A版高中数学必修5全套1.2.1正余弦定理在实际中的应 用
5
|自我尝试|
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．( × ) (2)两个不可到达的点之间的距离无法求得．( × ) (3)方位角和方向角是一样的．( × )
∴siBn3C0°＝siCn4D5°，∴BC＝ 46a， 在△ABC 中，∵AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°＝34a2＋38a2 －2× 23a·46a·22＝38a2， ∴AB＝ 46a，∴蓝方这两支精锐部队的距离为 46a.
人教A版高中数学必修5全套1.2.1正余弦定理在实际中的应 用
又∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，
∴AD＝CD＝AC＝
3 2 a.
在△BCD 中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，
∵sin∠DBBCD＝sin∠CDDBC，
6＋ 2
∴BD＝CD·ssiinn∠∠BDCBDC＝ 23a·
4 2
＝3＋4
3 a.
人教A版高中数学必修五课件正弦定理和余弦定理的综合应用.pptx
例4.ABC中，sin2 B sin2 C sin A( 2 sin B sin A) 求∠C.
变式：在ABC中，证明:
二、判断三角形形状
1.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
2. 在ABC中， 若a2 b2 c2，则C为直角； 若a2 b2 c2，则C为锐角； 若a2 b2 c2，则C为钝角；
A, B
例1：ABC中，b 3, c 3 3, B 30.求a
例2：满足条件a 4, b 3 2, A 45的三角形的 个数有一个？
注：已知三角形的两边和其中一边的对 角(锐角),解三角形，用正弦定理要注意 讨论，余弦定理主要看所联立的方程有 几个正根。
例3.在三角形中,已知(a+b)(a-b)=c(b+c),求角A.
cos B c2 a 2 b2 ， 2ca
cos C a 2 b2 c2 。 2ab
一、解三角形
① A, B, a 正弦定理 ② a, b, A 正弦定理 ③ a, b, c 余弦定理 ④ a, b, C 余弦定理
b 正弦定理
C
B 正弦定理
C
A, B, C
c 正弦定理
ห้องสมุดไป่ตู้c c
例5.在△ABC 中，已知 （a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sin2A=sinBsinC, 判断三角形的形状。
例6：锐角三角形ABC中，b 1, c 2,求a的范围。
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正弦定理和余弦定理的综合应用
1.正弦定理 a b c 2R sin A sin B sin C
12. 余弦定理
变式：在ABC中，证明:
二、判断三角形形状
1.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
2. 在ABC中， 若a2 b2 c2，则C为直角； 若a2 b2 c2，则C为锐角； 若a2 b2 c2，则C为钝角；
A, B
例1：ABC中，b 3, c 3 3, B 30.求a
例2：满足条件a 4, b 3 2, A 45的三角形的 个数有一个？
注：已知三角形的两边和其中一边的对 角(锐角),解三角形，用正弦定理要注意 讨论，余弦定理主要看所联立的方程有 几个正根。
例3.在三角形中,已知(a+b)(a-b)=c(b+c),求角A.
cos B c2 a 2 b2 ， 2ca
cos C a 2 b2 c2 。 2ab
一、解三角形
① A, B, a 正弦定理 ② a, b, A 正弦定理 ③ a, b, c 余弦定理 ④ a, b, C 余弦定理
b 正弦定理
C
B 正弦定理
C
A, B, C
c 正弦定理
ห้องสมุดไป่ตู้c c
例5.在△ABC 中，已知 （a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sin2A=sinBsinC, 判断三角形的形状。
例6：锐角三角形ABC中，b 1, c 2,求a的范围。
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正弦定理和余弦定理的综合应用
1.正弦定理 a b c 2R sin A sin B sin C
12. 余弦定理
正弦定理和余弦定理的应用举例高清课件ppt(必修五人教版)
cosB c2 a2 b2 2ca
a2 b2 c2 cosC
2ab
A
c
b
a
C
1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量: ①距离问题、②高度问题、③角度问题、 ④计算面积问题、⑤航海问题、⑥物理问题等.
11/22/2019
2.实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角,目标视线在水平视线 上方 叫仰角, 目标视线在水平视线 下方 叫俯角（如图①）.
解：在⊿ABC中，∠ABC＝ 180°－75°＋32°＝137°， 根据余弦定理，
AC AB2 BC2 2AB BC cos ABC 67.52 54.02 2 67.5 54.0cos137 113.15
11/22/2019
距离问题---典例
例1 A, B是海面上位于东西方
正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C （R为三角形的外接圆半径） B
余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 c2 a2 2ca cosB
c2 a2 b2 2ab cosC
11/22/2019
cos A b2 c2 a2 2bc
11/22/2019
例3 在山顶铁塔上B处测得地面上 一点A的俯角α＝54°40′，在塔底 C处测得A处的俯角β＝50°1′。 已知铁塔BC部分的高为27.3m， 求出山高CD(精确到1m)
11/22/2019
正弦定理
小结归纳
实际问题
画图
数学问题(解三角形)
余弦定理
数学问题的解
检验
实际问题的解
a2 b2 c2 cosC
2ab
A
c
b
a
C
1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量: ①距离问题、②高度问题、③角度问题、 ④计算面积问题、⑤航海问题、⑥物理问题等.
11/22/2019
2.实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角,目标视线在水平视线 上方 叫仰角, 目标视线在水平视线 下方 叫俯角（如图①）.
解：在⊿ABC中，∠ABC＝ 180°－75°＋32°＝137°， 根据余弦定理，
AC AB2 BC2 2AB BC cos ABC 67.52 54.02 2 67.5 54.0cos137 113.15
11/22/2019
距离问题---典例
例1 A, B是海面上位于东西方
正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C （R为三角形的外接圆半径） B
余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 c2 a2 2ca cosB
c2 a2 b2 2ab cosC
11/22/2019
cos A b2 c2 a2 2bc
11/22/2019
例3 在山顶铁塔上B处测得地面上 一点A的俯角α＝54°40′，在塔底 C处测得A处的俯角β＝50°1′。 已知铁塔BC部分的高为27.3m， 求出山高CD(精确到1m)
11/22/2019
正弦定理
小结归纳
实际问题
画图
数学问题(解三角形)
余弦定理
数学问题的解
检验
实际问题的解
人教A版高中数学必修五课件《1.1正弦定理和余弦定理》.pptx
B
思考2：将上述关系变式，边长c有哪几 种表示形式？由此可得什么结论？
C
b
a
A
c
B
a= b= c sin A sin B sinC
思考3：可a变形= 为b
sin A sin B
a,在si锐n角B △=AbBCs中in，A该等式是否成立？为
什么？
C
b
a
A
B D
思考4：
若∠C为钝角，a是si否n B成=立b？sin A 若∠A为钝角，a是sin否B成=立b s？in A 若∠B为钝角，a是sin否B成=立b s？in A
例2.在△ABC中，已知a=， b=，2 c3=，解三6角- 形.2
2+ 6
理论迁移 例3在△ABC中，已知a=，b=，3 B=30°7， 求边长c的值.
例4已知△ABC的周长为20，A=30°， a=7，求这个三角形的面积.
理论迁移
例5在△ABC中，角A、B、C的对边分
别为a、b、c，若AB∙AC=BA∙BC=1.
3.正弦定理不是万能的，如已知三角形 的三边长，利用正弦定理就不能求出三 个内角，因此我们还需要建立新的理论. 欲知后事如何，且听下回分解.
作业：
P10习题1.1A组：2. B组：2.
第一章解三角形
1.1正弦定理和余弦定理 1.1.2余弦定理 第一课时
问题提出 1.正弦定理的外在形式是什么？其数学 意义如何？
思考1：在△ABC中，向量Au，uCur，之AuuB间ur 有Bu什uCur 么关系？
C
b
a
A
B
思i，考使2i：⊥若,Au则uB∠ur向A为量锐i与角,,，的过Au夹uC点ur角A分A作uuBu别r单是位Buu什C向ur 么量？
人教A版数学必修五课件第一章 1.2 1.2.2 正、余弦定理在三角形中的应用精选ppt课件
解：∵S＝12absin C，∴5
3＝12×4×5sin
C，∴sin
C＝
3 2.
而 0°<C<180°，于是 C＝60°或 120°.
又 c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴当 C＝60°时，c2＝42＋52－2×4×5cos 60°＝21，
∴c＝ 21.
当 C＝120°时，c2＝42＋52－2×4×5cos 120°＝61，
―→ ―→ AD ·CB .
解：(1)由已知 cos∠DBC＝5147，cos C＝277，
从而知 sin∠DBC＝ 1241，sin C＝ 721，
∴cos∠BDA＝cos(∠DBC＋∠C)＝5147×277－ 1241× 721＝12，
∴∠BDA＝π3.
(2)设 DC＝x，则 AD＝2x，AC＝3x，设 BC＝a，
课时跟踪检测见课时达标检测(四)
再见
BA＝ssiinn
B A.
[证明]
法一：左边＝ab－－ccab22＋＋22abccc2c2－－ba22
＝a2－2ca2＋b2·b2－2cb2＋a2＝ba＝22RRssiinn
AB＝ssiinn
B A
＝右边，
其中 R 为△ABC 外接圆的半径．
∴ab－－ccccooss BA＝ssiinn BA.
解析：由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝42＋×126×－49＝1116，
所以 sin A＝ 1－cos2 A＝31615，
于是
S△ABC＝12bcsin
A＝12×2×4×3 1615＝3
15 4.
答案：3
15 4
三角形中的恒等式证明问题
[例 2]
人教版必修五1.1.1正弦、余弦定理课件
B. acos A bcos B
C. asin B bsin A
D. acos B bcos A
（2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则
sinA+sinB__>__sinC.
(3)在ABC中，C 2B,则sin 3B 等于(B) sin B
A.b/a
B.a/b
C.a/c
D.c/a
正弦定理、余弦定理
正弦定理、余弦定理
例题讲授
例1，在ABC中，已知A 32.0, B 81.8, a 42.9cm,解三角形 解：根据三角形内角和定理， C 180 ( A B) 180 (32.0 81.8 ) 66.2 根据正弦定理，b asin B 42.9sin 81.8 80.1(cm)
c a sin C 20sin 24 13(cm). sin A sin 40
正弦定理、余弦定理
例题讲授
例3 在 ABC 中，B 45,C 60,a 2( 3 1) ，求
ABC的面积S．
解： A 180 (B C ) 75
A
∴由正弦定理得 b a sin B 2(
3
1)(
练习：
（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C ）
A. asin A bsinB
B. acos A bcos B
C. asin B bsin A
D. acos B bcos A
（2）在 ABC中，若
a cos
A
b cos B
c cos C
，则 ABC 是(
D)
2
2
2
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
sin A sin 32.0 根据正弦定理，c asin C 42.9sin 66.2 74.1(cm)
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例题:在△ABC中，若 a cos A b cos B 判断△ABC的形状
变式:在△ABC中，若
判断△ABC的形状
B
3
且b ac
2
练习：在△ABC中，如果 lg a lg c lg sin B lg 2 ， 并且B为锐角，试判断此三角形的形状特征。
解：由 lg a lg c lg sin B lg 2 ， 得：sin B
则
2sin A sin B 的值为多少？ sin C
题型一、正、余弦定理综合应用问题
AC 7 例2.已知 4sin cos 2 B 2 2 (1)求角B的度数;
2
(2)若 b
3, a c 3 ,且a>c, 求a和c的值.
变1:已知 (a c)(a c) bc b ,求A.
a 2 sin A 2 ，将A=135o-C代入上式，得 c 2 sin C 2
2 2
B=45o
2 sin C 2 sin(135 C)
sin C sin C cos C
∴C=90o ，综上所述，△ABC是等腰直角三角形。
题型四、面积问题
3 变式1.△ABC的面积为 , 且b 2, c 3求A 2 1 变式2、在△ABC中， a 2, b 3,cos C , 3 求△ABC的面积及外接圆半径
abc ? sin A sin B sin C
a b c 变式3、已知△ABC的面积 S 4
2 2 2
求C角的大小？
变式4、已知△ABC的三边长
a 3, b 5, c 6
求△ABC的面积
P16
例7、例8 A组 13
结论：P20
B组 1
2
题型五、范围问题
例8，a ,a+1,a+2 构成钝角三角形，求a 的取值范围。 变式：锐角三角形的三边长为2,x,3， 求x的取值范围。 练习： 三条线段长度为2,x,6 (1)求构成直角三角形时，x的取值范围 (2)求构成锐角三角形时，x的取值范围 (3)求构成钝角三角形时，x的取值范围
题型六、长度问题
课堂练习
1.三角形的三边分别为4,6,8,则此三角形 为( C )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不存在
2.设a,a+1,a+2是钝角三角形的三边,求a的 取值范围. 1<a<3
总结 1.正弦定理可解决的两类问题;
2.正弦定理可解决的两类问题; 3.求面积,外接圆半径; 4.利用正余弦定理证明或判断三角形的形状.
作业：
1：在ABC中，已知A B C , 且A 2C , b 4, a c 8, 求a,c的长.
2.在△ABC 中，已知（a+b+c)(b+ca)=3bc,且sin2A=sinBsinC, 判断三角形的形状。
1.《世纪金榜》P3-5 ； 2.素能检测《五》
正余弦定理的应用
题型一、证明三角恒等式问题
P18
例9
例1、在△ABC中，求证:
a b sin A sin B (1) 2 ; 2 c sin C 2 2 2 (2)a b c 2(bc cos A ca cos B ab cos C )
2 2 2 2
变式、在△A变2:已知 sin A sin B sin B sin C sin C,求A.
2 2 2
( a bc ) x 2 b c x 1 0 是关于x 的二次方程，其中 a, b, c 是△ABC的
变3:已知
2 2 2 2
三边，若方程有两相等的实数根，求A的度数？
题型二、确定三角形的形状