相似三角形中的动点问题

相似三角形中的动点问题

例1.5.1在△ABC 中，6AB =cm ，12AC =cm ，动点D 以1cm/s 的速度从点A 出发到点B 止，动点E 以2cm/s 的速度从点C 出发到点A 止，且两点同时运动，当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求运动的时间t ．

例1.5.2如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=8cm ，AD=12cm ，BC=18cm ，点P 从点A 出发以2cm/s 的速度沿A →D →C 运动，点P 从点A 出发的同时点Q 从点C 出发，以1cm/s 的速度向点B 运动，当点P 到达点C 时，点Q 也停止运动．设点P ，Q 运动的时间为t 秒．

（1）从运动开始，当t 取何值时，PQ ∥CD ？

（2）从运动开始，当t 取何值时，△PQC 为直角三角形？

A B C D

E

例1.5.3如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB 边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0≤t≤2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；

（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；

例1.5.4已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B 出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC；

（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

例1.5.5如图，在△ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点D 为AB 边上的一动点（D 不与A 、B 重合），过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．把△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处．连结'BA ，设AD x =，△ADE 的边DE 上的高为y ．

（1）求出y 与x 的函数关系式；

（2）若以点A '、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似，求x 的值；

（3）当x 取何值时，△A DB '是直角三角形．

A

B

C D

E

A

B C

例1.5.6如图，在△ABC 中，2AB AC ==，90A ∠=︒，P 为BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的动点，45EPF ∠=︒．

（1）求证：△BPE ∽△CFP ．

（2）设BE x =，△PEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围．

例1.5.7如图，已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，BC=6cm ，点P 自B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm/s ．以AQ 、PQ 为边作平行四边形AQPD ，连接DQ ，交AB 于点E ．设运动的时间为t （单位：s ）（0≤t ≤4）．解答下列问题：

（1）当t 为何值时，平行四边形AQPD 为矩形．

（2）在点P ，Q 运动过程中，平行四边形AQPD 的面积能否等于18cm 2？如果能，请求出t 的值；如果不能，请说明理由．

（3）当t=时，平行四边形AQPD 为菱形．

例1.5.8如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．

（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？

（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．