平面向量的概念。知识梳理

平面向量的概念、线性运算及坐标运算

编稿：李霞 审稿：孙永钊

【考纲要求】

1．了解向量的实际背景；理解平面向量的概念及向量相等的含义；理解向量的几何表示.

2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；了解向量线性运算的性质及其几何意义.

3．了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

【知识网络】

【考点梳理】

【高清课堂：平面向量的概念与线性运算401193知识要点】 考点一、向量的概念

1．向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段AB 表示，其中A 为起点，B 为终点. 向量AB 的长度|AB |又称为向量的模；

长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.

2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行. 平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量. 3．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等.

4. 与a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，规定零向量的相反向量是零向量. 要点诠释：

平面向量

平面向量的概念

平面向量的坐标表示

平面向量的基本定理

平面向量的线性运算

①有向线段的起、终点决定向量的方向，AB 与BA 表示不同方向的向量； ②有向线段的长度决定向量的大小，用|AB |表示，|AB ||BA |=.

③任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起，因此可用一个有向线段表示，而与起点无关. 考点二、向量的加法、减法 1．向量加法的平行四边形法则 平行四边形ABCD 中（如图），

向量AD 与AB 的和为AC ,记作:AD AB AC +=.（起点相同） 2．向量加法的三角形法则

根据向量相等的定义有:AB DC =，即在ΔADC 中，AD DC AC +=. 首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点. 规定:零向量与向量AB 的和等于AB . 3. 向量的减法

向量AB 与向量BA 叫做相反向量.记作:AB BA =-. 则AB CD AB DC -=+. 要点诠释：

①关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用.

②向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”. 要点三、实数与向量的积 1．定义：

一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ，它的长与方向规定如下： （1）||||||λ=λ⋅a a ；

（2）当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ=0时，0λ=a ；

2．运算律

设λ，μ为实数，则 （1）()()λμ=λμa a ； （2）()λ+μ=λ+μa a a ；

（3）()λ+=λ+λa b a b 3．向量共线的充要条件

已知向量a 、b 是两个非零共线向量，即//a b ，则a 与b 的方向相同或相反. 向量(0)≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λb a . 要点诠释：

①向量数乘的特殊情况：当0λ=时，0λ=a ；当0=a 时，也有0λ=a ；实数和向量可以求积，但是不能求和、求差.

②平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基地的向量是不共线的向量. 考点四、平面向量的坐标运算 1．平面向量的坐标表示

选取直角坐标系的x 轴、y 轴上的单位向量i ，j 为基底，由平面向量基本定理，该平面内任一向量a 表示成x y =+a i j 的形式，由于a 与数对（x,y ）是一一对应的，因此把（x,y ）叫做向量a 的坐标表示. 2．平面向量的坐标运算

已知11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则 （1）1212(x x ,y y )±=±±a b （2）11(x ,y )λ=λλa 3．平行向量的坐标表示

已知11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则1221//x y x y 0⇔-=a b （0→

≠b ） 要点诠释：

①若11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则//a b 的充要条件不能表示成

11

22

x y x y =，因为22x ,y 有可能等于0，所以应表示为1221x y x y 0-=；同时//a b 的充要条件也不能错记为1122x y x y 0-=，

1212x x y y 0-=等.

②若11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则//a b 的充要条件是=λb a ，这与1221x y x y 0-=在本质上是没有差异的，只是形式上不同. 【典型例题】

类型一、平面向量的相关概念

例1. 下列说法中正确的是

① 非零向量a 与非零向量b 共线，向量b 与非零向量c 共线，则向量a 与向量c 共线； ② 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点； ③ 向量a 与b 不共线，则a 与b 所在直线的夹角为锐角； ④ 零向量模为0，没有方向；

⑤ 始点相同的两个非零向量不平行； ⑥ 两个向量相等，它们的长度就相等；

⑦ 若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线。 【答案】①⑥ 【解析】

① 向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的； ②相等向量是共线的，故四点可能在同一直线上；

③ 向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角或锐角； ④零向量不是没有方向, 它的方向是任意的； ⑤ 向量是否共线与始点位置无关；

⑥ 两个向量相等，它们的长度相等，方向相同；

⑦共线向量即平行向量，非零向量AB 与CD 是共线向量，可能A 、B 、C 、D 四点共线，也可能AB 、CD 平行。

【总结升华】

从向量的定义可以看出，向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量可将代数问题与几何问题相互转化。零向量是一特殊向量，它似乎很不起眼，但又处处存在。因此，正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系值得我们重视。对于平行向量或共线向量，它们可以在同一直线上，也可以所在直线互相平行，方向可以相同也可以相反；相等向量则必须大小相等、方向相同。

举一反三：

【变式1】判断下列各命题是否正确,并说明理由:

(1) 若|a |=|b |,则a =b ； (2) 单位向量都相等；

(3) 两相等向量若起点相同,则终点也相同； (4) 若a =b ，c =b ,则a =c ；

(5) 若|a |>|b |,则a >b ；

(6) 由于零向量方向不确定,故它不能与任意向量平行. 【答案】

(1) 错；模相等,方向未必相同； (2) 错；模相等,方向未必相同；

(3) 正确；因两向量的模相等,方向相同,故当他们的起点相同时,则终点必重合； (4) 正确；由定义知是对的； (5) 错；向量不能比较大小；

(6) 错；规定:零向量与任意向量平行. 【变式2】在复平面中，已知点A （2，1），B （0，2），C （－2，1），O （0，0）. 给出下面的结论：

①直线OC 与直线BA 平行；②AB BC CA +=；③OA OC OB +=；④2AC OB OA =-. 其中正确结论的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C