第七章讲义非参数统计

第七章 非参数统计

非参数统计（亦称非参数检验），是根据样本资料对总体的某

种性质或关系进行假设检验的统计推断方法。

主要特点

（1）不要求总体分布已知或对总体分布作任何限制性假定； （2）不以估计总体参数为目的；

（3）能用于定性变量（即定名测定和序列测定的变量）； （4）方法直观，易于理解，运算比较简单。 （5）缺点是检验的功效不如参数检验方法。

本章主要内容

介绍χ2检验、成对比较检验、曼—惠特尼U 检验、游程检验和等级相关检验等几种常用的检验方法。

第一节 χ2检验

一、什么是χ2检验 χ

2

检验是运用χ

2

分布作为理论工具，在非参数统计中可用

于对总体的分布或随机变量的独立性进行的检验。 （一）χ2分布 χ

2

分布是由正态分布推导出来的一种连续型随机变量的概

率分布。 1．χ2分布的数学形式

设随机变量x 1，x 2，…，x k 相互独立且都服从正态分布N （μ，

σ2）。将它们标准化转变为标准正态变量Z 1，Z 2，…，Z k ，k 个独立标准正态变量的平方和被定义为χ2分布的随机变量χ2。

21

2

1

2

2

22212

)(1

)(

)(

)(

i

k

i i

k i k Z

x x x x ∑∑===-=

-++-+-=μσσ

μ

σ

μ

σ

μ

χ

χ2~χ2(k)，k 是自由度，表示定义式独立变量的个数。

当k=1时，

2．χ2分布的性质

（1）χ2分布的值恒为正值，且 ϕ(χ2, k) d χ2

=1； （2）χ2分布的数学期望是自由度k ，方差为2k ； （3）χ2分布取决于自由度k ，随着自由度增大而趋于对称。

一般当k ≥30时，χ2分布可用正态分布近似计算。 （二）χ2检验的原理

在实践中，经常要对一些观察值的实际频数与某种理论频数进行比较，以判断实际结果与理论是否一致。 设有k 个观察值，f 0为它们的实际频数，f e 为理论频数。构造

一个统计量

数理统计证明，在大量试验中，若f 0与f e 相一致时，χ2服从χ2分布。

（f 0-f e ）比较小时，χ2值也较小；（f 0-f e ）比较大时，χ2也较

大。当χ2值大到按χ2分布超过设定的临界值时，即为小概率事件，就可以认为实际结果与理论假设不一致。

2

22)(Z x =-=σμχϕ (χ2)

χ2 (k)

k=15

k=1

k=3

k=5

ϕ (χ2

)

χ2

χ2 0.05(4)

)

(/)(21

2

为自由度k f f f e

e o k

i -=∑=χ∞0

二、拟合优度检验

这是利用随机样本资料对总体是否服从某种理论分布的检

验。

检验步骤

对总体分布建立假设 H 0：总体服从某种理论分布 H 1：总体不服从该理论分布

抽样并对样本 以“原假设H 0 资料编成频数 为真”导出一组 分布（f 0）

期望频数（f e ）

比较χ2值与临界值 作出检验判断

注意事项

（1）各组理论频数f e 不得小于5，如不足5，可合并组；

（2）为使组数不致太少，总频数n ＞50； （3）根据具体情况确定自由度。

三、独立性检验

(1)

(2)

(3)

(4) (6)

是利用样本资料对总体的两个变量的数据是否彼此关联的检

验，如果不关联，即为独立。 检验步骤

要点说明

y 的边缘频数

（2）理论频数E ij 的计算

先求理论频率（作为概率的近似）。概率论中关于概率独立的

基本规则：如果两事件独立，则它们的联合概率等于它们各自概率的乘积，P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）。因此，某一行某一列的联合概率：

（3）自由度（df ）的确定 df=(r-1)(c-1)

：r ·c=3×4

Df=(3-1)(4-1)=6

（4）r 2值简算公式

第二节 成对比较检验

一、符号检验

n n n n j i P j

i ⋅

=),(的概率第n

n n n n n n n E n j i j

i ij =

⋅=∴)(,理论频数总频数为 r 1 r 2 r 3

总行数

总列数

)

)()()(()(2

2

d c b a d b c a bc ad n x ++++-=

这是略去两组样本数据之差的数值，只用其差的正、负符号进行判断的检验方法，亦称正负号检验。

1、检验内容：检验的两组数据是否有显著差异或两总体的

位置特征（均值、中位数）是否相同。

2、适用条件：关联样本资料；定性变量。

3、方法思想：

设有关联样本的两组成对的数据x i与y i，比较各对的大小。

若x i＞y i ,记作“+”；若x i＜y i ,记作“-”；

若x i=y i ,删去，并相应减少n对数据。

若两组数据没有显著差异，它们之差的“+”、“-”号的个数应大致相等。出现“+”（或“-”）的概率为0.5。如果一次抽样的随机样本的配对数据中，“+”号出现过多或过少，在一定显著性水平α条件下属于小概率事件，就说明两组数据的平均水平或相对次数分布并不相同。可见，配对符号检验是二项检验的一种应用。

由于P=0.5的二项分布呈对称型，所以，只要n＞25，即可按正态分布近似处理。

4．检验步骤：