函数周期常用求法
函数求周期T的方法
函数求周期T的方法求周期T的方法有多种，下面将分别介绍用于求解周期的几种方法。
1.通过观察周期性现象许多周期性现象可以通过直接观察来确定其周期T。
例如，弹簧振子的周期可以通过观察弹簧振动一次所需要的时间来确定，天文学中行星的周期可以通过观察行星完成一次公转所需要的时间来确定。
2.通过数学方法对于一些函数，可以通过直接求解方程来确定其周期T。
例如，正弦函数y = sin(x)的周期T为2π，而余弦函数y = cos(x)的周期T也为2π。
对于其他一些函数，可以通过求导数来确定其周期。
例如，函数y = e^x的导数为y' = e^x，当x=0时，导数达到最大值，该点就是函数y = e^x的一个周期。
3.通过傅里叶级数傅里叶级数是一种将周期函数表示为一系列三角函数之和的方法，可以通过傅里叶级数来求解周期。
具体的步骤如下：a.将给定的周期函数展开成傅里叶级数的形式，即将其表示为一系列正弦函数和余弦函数的和。
b.利用傅里叶级数的性质，确定系数，使得展开后的函数与原函数在一个周期内尽可能接近。
c.根据傅里叶级数的定义，确定周期T，即为最小的正周期。
4.通过FFT（快速傅里叶变换）快速傅里叶变换是一种高效计算傅里叶级数的方法，可以通过FFT来求解周期。
具体步骤如下：a.将给定的周期函数作为输入信号，进行傅里叶变换。
b.找到傅里叶变换结果中频率最大的分量，该频率对应的周期即为所求周期T。
5.通过自相关函数自相关函数可以用于判断一个函数的周期性。
具体步骤如下：a.对给定函数f(t)做自相关处理，得到自相关函数R(T)。
b.找到自相关函数R(T)的最大值，该最大值出现的位置即为所求周期T。
6.通过周期图周期图是一个展示周期性现象的图形，可以用于求解周期。
具体步骤如下：a.将给定周期函数进行离散化处理，得到一组离散的数据点。
b.对数据点进行傅里叶变换，得到频谱图。
c.找到频谱图中幅值最大的频率，该频率对应的周期即为所求周期T。
求函数周期的方法
1,2,3
)外，函数例：2()sin f x x =，因为2(sin )sin 2,x x '=而sin 2x 的周期T π=。
（8）设()x ϕ是以T 为周期的周期函数，()f x 是任意函数，则复合函数()f x ϕ⎡⎤⎣⎦必也是以T 为周期的周期函数，此时()f x ϕ⎡⎤⎣⎦的最小正周期不一定就是()x ϕ的最小正周期。
例：()2sin f x x =可看成()2,sin g x μμμ==复合而成，显然2sin x 的最小正周期 0T π=，而sin x 的最小正周期02T π=
二、最小公倍数法
,f g g
都是D
三、图像法 例4：求函数1)3
sin(2++=πx y 的最小正周期 （π2）
四、公式法
例5：求函数x
x x x x f 3cos cos 3sin sin )(++=
的最小正周期 （π）
五、单位圆法
例6：求函数x x y 2tan 1tan 2-=
的最小正周期（π）
六、等周期法
理论依据：若对于任意的M x ∈，都有()),()()(x f T x f x g T x g =+⇔=+且函数)(x f ()M x ∈的最小正周期为T ，则函数))((M x x g ∈的最小正周期也为T 。
例7：求函数5
sin 31sin 2)(-+=x x x f 的最小正周期（π2）
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特别解析：三角函数周期的几种求法
特别解析：三角函数周期的几种求法1．定义法：定义：一般地对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，ｆ（x ＋T ）＝ｆ（x ）都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。
下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。
例1．求函数y=3sin （332π+x ）的周期 解：∵y=f （x ）=3sin （332π+x ）=3sin （332π+x +2π） =3sin （3232ππ++x ）=3sin[3)3(32ππ++x ] = f （x+3π） 这就是说，当自变量由x 增加到x +3π，且必增加到x +3π时，函数值重复出现。
∴函数y=3sin （332π+x ）的周期是T=3π。
例2：求f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期解∵f （x+2π）= sin 6（x+2π）+ cos 6（x+2π）= cos 6x +sin 6x= f （x ） ∴f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期为T=2π 例3：求f （x ）=x x x x 3cos cos 3sin sin ++的周期 解：∵f （x+π）=)cos()cos()(3sin )sin(ππππ++++++x x x x =xcox x x 3cos 3sin sin ---- =xx x x 3cos cos 3sin sin ++= f （x ） ∴求f （x ）=x x x x 3cos cos 3sin sin ++的周期：T=π2．公式法：（1）如果所求周期函数可化为y=Asin （ϕω+x ）、y=Acos （ϕω+x ）、ｙ＝tg （ϕω+x ）形成（其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0、ω＞0、ϕ∈R ），它们的周期是：ωπ2、ωπ2、ωπ。
求函数值域 、 周期的方法总结(适合高一)
求函数值域 、 周期的方法总结（适合高一）求值域一、直接法：（从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围）例1．求函数2+=x y 的值域。
二、配方法（是求二次函数值域的基本方法，如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法）例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。
三、分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法）例3．求函数125x y x -=+的值域。
四、换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如y ax b =+a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。
例4．求函数2y x =五、函数的单调性法（确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数()0>+=k xk x y 的值域（k x <<0时为减函数；k x >时为增函数））例5．求函数y x =六、利用有界性(利用某些函数有界性求得原函数的值域)例6求函数2211x y x -=+的值域。
七、数型结合法（函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法）例7．求函数11-++=x x y 的值域。
除此之外，还有反函数法（即利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域）和判别式法（即把函数转化成关于x 的二次方程()0,=y x F ，通过方程有实根，0≥∆，从而求得原函数的值域，需熟练掌握一元二次不等式的解法），在今后的学习中，会具体讲述。
周期一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
二．重要结论1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
三角函数周期的几种求法.doc
三角函数周期的几种求法深圳市福田区皇岗中学蔡舒敏高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。
本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。
1.定义法：定义：一般地y=c,对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值吋，f (x+T) = f ( X )都成立，那么就把函数y = f (x)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数來说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。
下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小止周期。
例1.求函数y=3sin (-% + -)的周期3 3解:Vy=f (x) =3sin (-x+—) =3sin (-% + —+2^-)3 3 3 3=3sin (拿+ 2兀 +彳)=3sin[|(x + 3^) + |]二f (x+3兀)这就是说，当自变量由x增加到x+3龙,且必增加至!J x+3龙时,函数值重复出现。
二函数y=3sin (-x + —)的周期是T二3龙。
3 3例2：求f (x) =sin6x+cos6x 的周期解Tf (x+—) = sin b (x+—) + cos6 (x+—)2 2 2二cos h x +sir?x二f (x).•.f （x） =sin6x+cos6x 的周期为T= —2例3：求f （x）二血兀+血3兀的周期cosx + cos3x解：Vf （x+兀）二曲（只+兀）+血如+兀）COS（X + 7l） + COS（X + 71）_ -sinx-sin3x-cox - cos3x_ sinx + sin 3xcos x +cos 3^二f （x）■求f（X）二Siz + sin3兀的周期:T Fcos x +cos 3x2.公式法：（1）如果所求周期函数可化为y二Asin （亦+ ©）、y二Acos （亦+炉）、y = tg （亦 + 0 ）形成（其中X、co、cp为常数，且A H O、®>O、0W R）,则可知道它们的周期分别是：—> —> -Oco co co例4：求函数y=l-sinx+V3 cosx的周期解：Vy=l-2 （- sinx- —cosx）- 2 2= 1-2 （cos —sinx-sin— cosx）3 3= l-2sin （x-—）3这里0二1 ・••周期T二2龙例5：求：y=2 （— sinx--cos3x） -12 2解：Vy=2 （— sinx-—cos3x） -12 2=2sin (3x-— ) -16这里⑵二3 ・•・周期为T二弐3例6：求y二tg (1+—)的周期解：这里g二丸，・•.周期为：T=^-/ —=-5 5 3(2)如果f (x)是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinox、COSGX、tgcox的形式，再确定它的周期。
函数周期性的题型和解题方法
函数周期性的题型和解题方法在高一数学教材中，函数的基本性质重点讲了函数的单调性和奇偶性，对于函数的另一个重要性质——周期性却基本没怎么涉及，但是不管是平时考试还是高考，函数周期性都是非常重要的考点，并且以不同方式告诉函数的周期。
在函数周期性的学习中，我们首先要能快速识别给出的函数是否是周期函数，其次需要学会利用函数周期性来解题。
一、判断周期函数若f(x+T)=f(x)，那么f(x)就是以T为周期的周期函数。
在学习过程中，需要重点掌握以下几个函数的周期：①f(x+a)=f(x+b)，T=|a-b|；特别地，f(x+a)=f(x-a)，T=|2a|；②f(x+a)=-f(x)，T=|2a|；③f(x+a)=±1/f(x)，T=|2a|；④若f(x)的图像有两条对称轴x=a和x=b，那么f(x)的一个周期为T=2|a-b|；⑤若f(x)的图像有两个对称中心(x1,y1)和(x2,y2)，那么f(x)的一个周期为T=2|x1-x2|；⑥若f(x)的图像既是轴对称又是中心对称图形，若对称轴是x=a，对称中心是(b,c)，则T=4|a-b|。
二、求值利用函数周期性求函数值，通常会告诉函数在某个区间上的解析式，但是所求的函数值是在已知区间外的，此时需要利用周期性将所求函数值转换到已知的区间内。
比如上面的例题，利用周期性将f(-6)转化为f(0)，将f(6)转化为-f(-1)的值。
三、求周期求函数的周期，除了掌握周期性的定义以及(一)中所讲的几种基本类型外，作出函数也是一个非常重要的方法。
作出图像后，直接在图像上找到图像循环部分对应点的横坐标之间的最小距离就是该函数的最小正周期，也是解题中最常用到的周期值。
四、周期性＋奇偶性本题中，先根据关系式f(x-4)=-f(x)算出f(x)的周期为T=8，再根据单调性和奇偶性作出满足要求的一个函数图像，并根据函数图像分析解决问题。
如果f(x)的对称轴是直线x=a，其图像与直线y=b相交于x1,x2两点，那么必有x1+x2=2a。
三角函数的周期性怎么求 公式是什么
三角函数的周期性怎么求公式是什么
三角函数的周期性是数学中常考到的一个知识点，下面是周期性的计算方法及公式，供大家查阅参考，希望可以帮助到大家的复习。
三角函数的周期性怎么求公式是什么
1三角函数的周期性
三角函数的周期T=2π/ω。
完成一次振动所需要的时间，称为振动的周期。
若f(x)为周期函数，则把使得f(x+l)=f(x)对定义域中的任何x都成立的最小正数l，称为f(x)的（基本）周期。
在计算机中，完成一个循环所需要的时间；或访问一次存储器所需要的时间，亦称为周期。
周期函数的实质：两个自变量值整体的差等于周期的倍数时，两个自变量值整体的函数值相等。
如：f(x+6) =f(x-2)则函数周期为T=8。
2三角函数的周期通式的表达式
正弦三角函数的通式：y=Asin(wx+t）；余弦三角函数的通式：y=Acos(wx+t）；
正切三角函数的通式：y=Atan(wx+t);余切三角函数的通式：y=Actg(wx+t)。
在w>0的条件下：A:表示三角函数的振幅；三角函数的周期T=2π/ω；三角函数的频率f=1/T:
wx+t表示三角函数的相位；t表示三角函数的初相位。
函数周期的常用求法
三角函数周期的常用求法 一、 公式法对于函数B x A y ++=)sin(ϕω或B x A y ++=)cos(ϕω的周期公式是||2ωπ=T ， 对于函数B x A y ++=)tan(ϕω或B x y ++=)cot(ϕω的周期公式是||ωπ=T ． 例1 函数)23sin(x y -=π的最小正周期是 （ ） Ａ．π Ｂ．２π Ｃ．－４π Ｄ．４π 解：由公式，得ππ4212=-=T ，故选Ｄ． 评注：对于函数)sin(ϕω+=x A y 或)cos(ϕω+=x A y 可直接利用公式ωπ2=T 求得；对于)tan(ϕω+=x A y 或)cot(ϕω+=x A y 可直接利用公式ωπ=T 求得。
二、图像法例２ 求下列函数的最小正周期① x y sin = ②x y sin解：分别作出两个函数的图像知评注：对于一些含有绝对值的三角函数周期问题，常可借助于三角函数的图像来解决．二、 定义法例３ 求函数x x y cos sin +=的最小正周期解：∵ 2cos()2sin(ππk x k x +++＝x x cos sin + （Z k ∈）∴2πk 是函数x x y cos sin +=的周期．显然2πk 中最小者是2π 下面证明2π是最小正周期 假设2π不是x x y cos sin +=的最小正周期，则存在<<T 02π，使得： =+)(T x f )cos()sin(T x T x +++＝x x cos sin +对R x ∈恒成立，令0=x ，则=+)0(T f T T cos sin +＝10cos 0sin cos sin =+=+T T ①但<<T 02π，∴1cos sin >+T T ② ∴ ①与②矛盾， ∴ 假设不成立，∴2π是x x y cos sin +=最小正周期． 评注：这种方法依据周期函数的定义，从式子)()(x f T x f =+出发，设法找出周期T 中的最小正数（须用反证法证明）．四、转化法1、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期例４求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y1)62sin(21)2cos 212sin 23(2-+=-+=πx x x ∴ ππ==22T ． 变式 求函数x x y 66cos sin +=的最小正周期解：∵ y ＝)cos sin 3cos sin 3()cos (sin 4224322x x x x x x +-+＝)4cos 1(831)cos (sin )cos (sin 31222x x x x x --=+- ＝x 4cos 8385+ ∴ 函数x x y 66cos sin +=的最小正周期是242ππ==T 评注：就是先根据三角公式已知式转化为一个脚的一个三角函数的形式，再利用公式去求．这是最常见的求周期题型，也是高考考察的热点．2、遇到绝对值时，可利用公式 2||a a =, 化去绝对值符号再求周期例5求函数 |cos |x y =的周期解：∵ 22cos 1cos |cos |2x x x y +=== ∴ ππ==22T ． 例6求函数|cos ||sin |x x y +=的周期解：∵()x x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22+=+=+=+= )4cos 1(21124cos 11x x -+=-+= ∴ 函数|cos ||sin |x x y +=的最小正周期 242ππ==T ．五、最小公倍数法例7 求函数y sin3x cos5x =+的最小整周期解：设sin3x 、cos5x 的最小整周期分别为1T 、2T ，则12T 3π=，22T 5π=，2T 1π=＝2π ∴y sin3x cos5x =+的最小整周期为2π评注：设()f x 与()g x 是定义在公共集合上的两个三角周期函数，1T 、2T 分别是它们的周期，且1T ≠2T ，则()f x ±()g x 的最小整周期是1T 、2T 的最小公倍数．分数的最小公倍数＝分子的最小公倍数分母的最小公倍数抽象函数的周期的求法象函数指解析式没有明确给出的一类函数，对于此类函数性质的研究，须充分运用题目条件，寻找问题的切入点，本文谈谈确定抽象函数周期的几种方法.重点谈以下几类问题：对于函数)(x f ，如果对于定义域中的任意x ，⑴若满足0)()(=+++b x f a x f （b a ≠），则周期)(2a b T -=；⑵若满足)()(),()(x b f b x f x a f a x f -=+-=+（b a ≠），即函数图象有b x a x ==,两条对称轴，则周期)(2a b T -=；⑶若满足1)()(=+⋅+b x f a x f （b a ≠），则周期)(2a b T -=；若满足1)()(-=+⋅+b x f a x f （b a ≠），则周期)(2a b T -=；⑷若满足)(1)(1)(b x f b x f a x f +-++=+（b a ≠），则周期)(4a b T -=. 一、函数值之和等于零型，即函数)(x f 满足0)()(=+++b x f a x f （b a ≠） 对于任意x 满足0)()(=+++b x f a x f （b a ≠），即)()(b x f a x f +-=+，则])[(])[(])[(])[()2(b b x f a b x f b a x f a a x f a x f ++=++-=++-=++=+，即]22)2[()2()2(a b a x f b x f a x f -++=+=+，等价于)()22(x f a b x f =-+，故函数)(x f 的周期)(2a b T -=.例1（05年天津卷16）设函数)(x f 是R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线21=x 对称，则)5()4()3()2()1()0(f f f f f f +++++等于 . 解析 )(x f y =的图象关于直线21=x 对称，则)21()21(x f x f -=+（*），函数)(x f 是R 上的奇函数，则)21()21(x f x f +--=-，（*）式即0)21()21(=+-++x f x f ，21,21-==a b ，)(x f 的周期2)(2=-=a b T .在（*）式中令21=x 可得0)0()1(==f f ，利用函数的周期为2，则)5()3()1(0)4()2()0(f f f f f f ======，因此，0)5()4()3()2()1()0(=+++++f f f f f f .二、函数图象有b x a x ==,（b a ≠）两条对称轴型函数图象有b x a x ==,两条对称轴，即)()(),()(x b f b x f x a f a x f -=+-=+，改写为)2()]([)]([)()(a b x f b a x b f b a x b f x a f a x f -+=+-+=+--=-=+，即]22)[()(a b a x f a x f -++=+，等价于)()22(x f a b x f =-+，周期)(2a b T -=. 例2（05年广东卷19）函数)(x f 在),(+∞-∞上满足关系式)2()2(x f x f -=+，)7()7(x f x f -=+，且在闭区间]7,0[上，只有0)3()1(==f f .（1）判断函数)(x f y =的奇偶性；（2）求方程0)(=x f 在闭区间]2005,2005[-上根的个数，并证明你的结论.解析 函数)(x f 满足)7()7(),2()2(x f x f x f x f -=+-=+（*），则)(x f 的图象有7,2==x x 两条对称轴，)(x f 在闭区间]7,0[上，只有0)3()1(==f f ，而0)0(≠f ，0)7(≠f ，故函数)(x f 不是奇函数；由对称性和0)3()1(==f f 得0)13()11(==f f ，且0)9()7(=-=-f f ，由0)7(=-f 而0)7(≠f 可得函数)(x f 不是偶函数；因此函数)(x f y =是非奇非偶函数.由（*）式还可以表示为)14()(),4()(x f x f x f x f -=-=，由)14()4(x f x f -=-可知函数)(x f 的周期10=T （或直接利用上面的结论7,2==b a ，10)(2=-=a b T ）.)(x f 在闭区间]7,0[上，只有0)3()1(==f f ，0)13()11(==f f ，0)9()7(=-=-f f ，且周期10=T ，故方程0)(=x f 在闭区间]10,0[和]0,10[-上都有两个解（分别为3,1和9,7--），从而方程0)(=x f 在闭区间]2005,0[上有402个解，在闭区间]0,2005[-上有400个解，从而方程0)(=x f 在闭区间]2005,2005[-上根的个数为802个.三、两个函数值之积等于1±，即函数值互为倒数或负倒数型若1)()(=+⋅+b x f a x f ，显然0)(,0)(≠+≠+b x f a x f ，则)(1)(b x f a x f +=+，即])[(1])[(1])[(a b x f b a x f a a x f ++=++=++，而])[(1])[(b b x f a b x f ++=++，因此]22)2[(])[(])[(1])[(a b a x f b b x f a b x f a a x f -++=++=++=++，即]22)2[()2(a b a x f a x f -++=+，函数)(x f 的周期)(2a b T -=；同理可证，若函数)(x f 满足1)()(-=+⋅+b x f a x f （b a ≠），则周期)(2a b T -=. 例3 已知函数)(x f 是R 上的偶函数，且1)()2(=⋅+x f x f ，0)(>x f 恒成立，则)119(f 的值等于 .解析 由1)()2(=⋅+x f x f 可知)()2(1)4(x f x f x f =+=+，函数)(x f 的周期为4，)1()1120()119(-=-=f f f ，函数)(x f 是R 上的偶函数且0)(>x f ，则)1()1(f f =-，在1)()2(=⋅+x f x f 中，令1-=x 得1)1()1()1(2=-=⋅-f f f ，1)1(=-f ，1)119(=f .四、分式型，即函数)(x f 满足)(1)(1)(b x f b x f a x f +-++=+（b a ≠） 由)(1)(1)(b x f b x f a x f +-++=+（b a ≠），则)(1)(1)(b a x f b a x f a a x f ++-+++=++（*），])[(1])[(1])[()(b b x f b b x f a b x f b a x f ++-+++=++=++，代入（*）式得)2(1)2(b x f a x f +-=+，即1)2()2(-=+⋅+b x f a x f ，由上面的类型三，求出周期)(4a b T -=.例4．已知函数)(x f 在),(+∞-∞上满足关系式)(1)(1)2(x f x f x f -+=+.若32)1(+=f ，则)2005(f 等于 .解析 由题意)2(1)2(1)22(+-++=++x f x f x f （*），将)(1)(1)2(x f x f x f -+=+代入（*）式整理得)(1)4(x f x f -=+，所以)()4(1)8(x f x f x f =+-=+，函数)(x f 的周期为8，)5()58250()2005(f f f =+⨯=，23321)1(1)41()5(-=+-=-=+=f f f ，23)2005(-=f .设计抽象函数周期问题，要注意严密，下面的“函数”就是一个流传十分广的典型错例： 例5 已知定义在),(+∞-∞上的奇函数)(x f 满足关系式)(1)(1)1(x f x f x f +-=+.当10<<x 时，x x f 2)(=，则)5.5(f 的值等于（）A ．1B ．1-C ．21D ．21- 不少资料选入此题，并给出答案为1)5.5(-=f ，提示思路是：)(1)(1)1(x f x f x f +-=+，则)1(1)1(1)2(+++-=+x f x f x f ，将)(1)(1)1(x f x f x f +-=+代入可得)()2(x f x f =+，周期为2，则1)5.0()5.0()5.5(-=-=-=f f f .显然，如果原函数的周期为2，则周期也可为4，则0)5.0(1)5.0(1)5.1()5.5(=+-==f f f f .这样，1)5.5(-=f 与0)5.5(=f 都成立，就不是单值函数了，即)(x f 根本不是函数！该“函数”的问题还可以这样来得出：函数)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，则0)0(=f ，根据)(1)(1)1(x f x f x f +-=+，令0=x 则1)1(=f ，1)1(-=-f ，但)(x f 的周期为2，必定满足)1()1()1(f f f -=-=，则0)1()1(=-=f f ，也能得出互相矛盾的结论来.本题还可以从函数图象推出矛盾.。
如何求三角函数周期
如何求三角函数周期三角函数周期的求解方法三角函数是数学中常见的函数类型之一，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
对于每一个三角函数，它们都具有固定的周期，即在一定的区间内重复自身的模式。
本文将介绍如何求解三角函数的周期。
一、正弦函数的周期求解正弦函数的表示为y = sin(x)，其中x为自变量，y为函数的值。
正弦函数的周期可以通过以下公式来求解：周期T = 2π/|a|其中a为正弦函数中x的系数。
例如，对于正弦函数y = sin(3x)，我们可以求解其周期T：T = 2π/3所以，正弦函数y = sin(3x)的周期为2π/3。
二、余弦函数的周期求解余弦函数的表示为y = cos(x)，其中x为自变量，y为函数的值。
余弦函数的周期可以通过以下公式来求解：周期T = 2π/|a|其中a为余弦函数中x的系数。
例如，对于余弦函数y = cos(2x)，我们可以求解其周期T：T = 2π/2所以，余弦函数y = cos(2x)的周期为π。
三、正切函数的周期求解正切函数的表示为y = tan(x)，其中x为自变量，y为函数的值。
正切函数的周期可以通过以下公式来求解：周期T = π/|a|其中a为正切函数中x的系数。
例如，对于正切函数y = tan(4x)，我们可以求解其周期T：T = π/4所以，正切函数y = tan(4x)的周期为π/4。
综上所述，我们可以通过特定的公式来求解三角函数的周期。
对于正弦函数，周期T = 2π/|a|；对于余弦函数，周期T = 2π/|a|；对于正切函数，周期T = π/|a|。
根据这些公式，我们可以很方便地求解三角函数的周期，从而更好地理解和分析三角函数的性质和图像。
三角函数的周期
确定三角函数周期的方法一、根据周期性函数的定义求周期1.f(x+T)=f(x)是定义域内的恒等式，必须对定义域中任何一个x 成立．T 是不为0的常数；2.周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值，如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 21；例1 求函数f(x)＝2sin （21x －6π）的最小正周期。
解：把21x －6π看成是一个新的变量z,那么2sinz 的最小正周期是2π。
由于z ＋2π＝21x-6π=(21x ＋4π)-6π。
所以当自变量x 增加到x ＋4π且必须增加到x ＋4π时，函数值重复出现。
∴函数y=2sin(21x-6π)的最小正周期是4π。
二、根据公式求周期通过恒等变换，把周期函数转化为y=Asin （ϕω+x ）、y=Acos （ϕω+x ）、ｙ＝tg （ϕω+x ）形成（其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0、ω＞0、ϕ∈R ），则可知道它们的周期分别是：ωπ2、ωπ2、ωπ。
例2 求下列函数的周期 (1) f(x)＝sin(x ＋3π)cos(x －3π) (2) f(x)＝sin 6x ＋cos 6x (3) f(x)＝x 2cos 21-解 (1) f(x)＝sin(x ＋3π)cos(x －3π)＝21|sin2x+sin π32|=21sin2x+43∴最小正周期为T= π (2) f(x)＝sin 6x+cos 6x=(sin 2x+cos 2x)(sin 4x-sin 2xcos 2x+cos 4x) =(sin 4x-sin 2xcos 2x+cos 4x) =(sin 2x+cos 2x)2-3sin 2xcos 2x =1-43sin 2x =85+83cos4x ∴最小正周期为T=2π (3) f(x)＝x 2cos 21-=22cos 121x+-=x 2cos - 它与－cos2x 的周期相同，故得 f(x)的最小正周期为T=π 三、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期 例3 求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y1)62sin(21)2cos 212sin 23(2-+=-+=πx x x ∴ ππ==22T ． 例4 已知函数),3cos 3(sin 3sin )(x x x x f +=求周期解：∵32sin 21)32cos 1(213cos 3sin 3sin )(2xx x x x x f +-=+=)432sin(2221)32cos 32(sin2121π-+=-+=x x x ∴ ππ3322==T ． 四、遇到绝对值时，可利用公式 2||a a =, 化去绝对值符号再求周期 例5 求函数 |cos |x y =的周期解：∵ 22cos 1cos |cos |2xx x y +===∴ ππ==22T ． 例6 求函数|cos ||sin |x x y +=的周期解：∵()x x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22+=+=+=+= )4cos 1(21124cos 11x x -+=-+= ∴ 函数|cos ||sin |x x y +=的最小正周期 242ππ==T ． 五、最小公倍数法求几个正弦、余弦和正切函数的最小正周期，可以先求出各个三角函数的最小正周期，然后再求其最小公倍数T,即为和函数的最小正周期。
求三角函数最小正周期的五种方法
求三角函数最小正周期的五种方法spacetzs关于求三角函数最小正周期的问题，是三角函数的重点和难点，教科书和各种教参中虽有讲解，但其涉及到的题目类型及解决方法并不多，学生遇到较为复杂一点的问题时，往往不知从何入手。
本文将介绍求三角函数最小正周期常用的五种方法，仅供参考。
一、定义法直接利用周期函数的定义求出周期。
例1.求函数y m x =-cos()56π（m ≠0）的最小正周期。
解：因为y m x =-cos()56π =-+=+-cos()cos[()]m x m x m 5625106ππππ 所以函数y m x =-cos()56π（m ≠0）的最小正周期 T m =10π||例2.求函数y x a =cot的最小正周期。
解：因为y x a x a a x a ==+=+cotcot()cot[()]ππ1 所以函数y x a=cot的最小正周期为T a =||π。
二、公式法利用下列公式求解三角函数的最小正周期。
1.y A x h =++sin()ωφ或y A x h =++cos()ωφ的最小正周期T =2πω||。
2.y A x h y A x h =++=++tan()cot()ωφωφ或的最小正周期T =πω||。
3.y x y x ==|sin ||cos |ωω或的最小正周期T =πω||。
4.y x y x ==|tan ||cot |ωω或的最小正周期T =πω||例3.求函数y x =|tan |3的最小正周期。
解：因为T ==πωω||而3 所以函数y x =|tan |3的最小正周期为T =π3。
例4.求函数y n mx =-cot()3π的最小正周期。
解：因为T n m==-πωωπ||||而， 所以函数y n m x =-cot()3π的最小正周期为T n m m n =-=ππ||||。
三、转化法对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为y A x h =++sin()ωφ等类型，再用公式法求解。
三角函数周期的几种求法解读
三角函数周期的几种求法深圳市福田区皇岗中学 蔡舒敏高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。
本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。
1．定义法：定义：一般地ｙ＝c ，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，ｆ（ｘ＋T ）＝ｆ（ｘ）都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。
下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。
例1．求函数y=3sin （332π+x ）的周期解：∵y=f （x ）=3sin （332π+x ）=3sin （332π+x +2π）=3sin （3232ππ++x ）=3sin[3)3(32ππ++x ]= f （x+3π）这就是说，当自变量由ｘ增加到x+3π，且必增加到x+3π时，函数值重复出现。
∴函数y=3sin （332π+x ）的周期是T=3π。
例2：求f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期解∵f （x+2π）= sin 6（x+2π）+ cos 6（x+2π） = cos 6x +sin 6x= f （x ）∴f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期为T=2π例3：求f （x ）=xx xx 3cos cos 3sin sin ++的周期解：∵f （x+π）=)cos()cos()(3sin )sin(ππππ++++++x x x x=x cox xx 3cos 3sin sin ----=xx x x 3cos cos 3sin sin ++ = f （x ）∴求f （x ）=xx xx 3cos cos 3sin sin ++的周期：T=π2．公式法：（1）如果所求周期函数可化为y=Asin （ϕω+x ）、y=Acos （ϕω+x ）、ｙ＝tg （ϕω+x ）形成（其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0、ω＞0、ϕ∈R ），则可知道它们的周期分别是：ωπ2、ωπ2、ωπ。
求函数f_x_周期的几种常见方法
f ( x + 2) = = + =
3+ f ( x) , 1- 3f ( x ) f ( x + 2 a) = f [ ( x + a ) + a ] ^ f ( x + a) =
( 1)
f ( x) - [ f ( x) ] 2 成立 ( a > 0) , 求证 f ( x ) 为 周 期函数, 并求出它的一个周期. 证 明 ^ f(x + a) = 1 2 +
3+ f ( x ) ( a X 0) , 试问 f ( x ) 是不 1 - 3f ( x ) 是周期函数, 若是, 求出它的周 期; 若不是, 说明 理 由.
20
数学通报
1997 年
第1期
( 1) + ( 2) , 得 f ( x - 1) + f ( x + 2) = 0 , _ f ( x - 1) = - f ( x + 2) . f ( x ) = - f ( x + 3) ; 在( 4) 中以 x + 3 代 x , 得 f ( x + 3) = - f ( x + 6) . ( 5) 将( 5) 代入( 4) , 得 f ( x + 6) = f ( x ) . _ f ( x ) 为周期函数, 6 是它的一个周期. 4 递推法 例5 函数 f ( x ) 定义域为 R , 且对于任意 x ( 3) ( 4) 得 在( 3) 中以 x + 1 代 x , 得
x1+ x2 ( 2 )f
1 1 2 - [ f (x )] ) = - f ( x) + [ f (x )]2 = (f ( x) ) , 4 2 _ f ( x + 2 a) = = 而 f (x ) = f[(x 1 + 2 (f ( x) 1 2 ) 2 ( 1) 1 2 +
三角函数周期的三种求法
三角函数周期的三种求法作者：刘志军来源：《中学生数理化·教与学》2011年第07期职业高中数学（基础模块）上册第五章第三节中涉及函数周期的问题，学生往往对解决此类问题感到比较困难，而近年来职高对口升学又经常涉及三角函数周期的问题.本文结合职业高中学生知识水平的实际，总结了三角函数周期的三种求法.1．定义法周期函数的定义：一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，有ｆ（ｘ＋T）＝ｆ（ｘ）都成立，就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期.以后我们说到三角函数的周期，一般指的都是三角函数的最小正周期.针对一些简单的三角函数问题，通过变形可以利用上面的定义求得三角函数的周期.例1 求函数y=2sin（2x+π3）的周期.解：∵y=f（x）=2sin(2x+π3)=2sin（2x+π3+2π）=2sin（2x+2π+π3）=2sin［2(x+π)+π3］=f（x+π）.这就是说，当自变量由ｘ增加到x+π，且至少增加到x+π时，函数值重复出现.∴函数y=2sin（2x+π3）的周期T=π.点评：针对例1这种类型的问题我们可以推广到形如：y=Asin（）、y=Acos（）、ｙ＝tan（）（其中A、w、为常数，且A≠0、w＞0、∈R），这些函数都可以通过以上的变形求出周期，事实上这些函数的周期和三角函数中w的值有关.例2 求f（x）=sin3x+sin5xcos3x+cos5x的周期.解：∵f（x+π）=sin3(x+π)+sin5(x+π)cos3(x+π)+cos5(x+π)=-sin3x-sin5x-cos3x-cos5x=sin3x+sin5xcos3x+cos5x=f（x）.∴函数f（x）=sin3x+sin5xcos3x+cos5x的周期T=π.点评：类似例2的题目，可以结合三角函数的诱导公式变形而得.例3 求f（x）的周期.解：∵f（x+π2）（x+π2）（x+π2）（x）.∴f（x）的周期为T=π2.2．公式法（1）如果所求周期函数可化为y=Asin（）、y=Acos（）、ｙ＝tan（）的形式（其中A、w、为常数，且A≠0、w＞0、∈R），则可知道上述三个函数的周期分别是：2πw、2πw、πw.例4 求f（x）-的周期.解：∵f（x）--这里w=2.∴周期T=π.∴f（x）-的周期为T=π.3．最小公倍数法由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出其中每个函数的最小正周期，然后找出所有周期的最小公倍数.（１）分数的最小公倍数的求法是：各分数分子的最小公倍数÷各分数分母的最大公约数.（2）对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法.（3）本方法主要用于快速解决一些填空题或选择题，但本方法不能用作大题的解答过程.例5 求三角函数y=sin4x＋sin8x的周期.解：y=sin4x的周期是T=π2,y=sin8x的周期是T=π4.所以函数y=sin4x＋sin8x的最小正周期是π2和π4的最小公倍数π2.例6 求函数y=sinx+cos2x+sin4x的最小正周期.解：函数y=sinx的最小正周期是T=2π，cos2x的最小正周期是T=π，y=sin4x的最小正周期是T=π2.∵π2、π、2π的最小公倍数是2π，∴函数y=sinx+cos2x+sin4x的最小正周期为T＝2π.以上三种求三角函数周期的方法适用于不同的题目类型，用的最多的是公式法，而最小公倍数法则可快速解答填空题和选择题.只要多练习，我们在求三角函数周期时就能灵活运用这三种方法，逐步提高解题效率.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
函数f(x)g(x)最小正周期的求法.
函数f (x )±ｇ(x )最小正周期的求法若f (x )和ｇ(x )是三角函数，求f (x )±ｇ(x )的最小正周期没有统一的方法，往往因题而异，现介绍几种方法：一、定义法例1求函数y ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的最小正周期.解:∵)(x f ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜＝｜－sin x ｜＋｜cos x ｜＝｜cos(x ＋2π)｜＋｜sin(x ＋2π)｜ ＝｜sin(x ＋2π)｜＋｜cos(x ＋2π)｜ ＝)2(π+x f 对定义域内的每一个x ，当x 增加到x ＋2π时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是2π. 二、公式法这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T ＝||2ωπ，正余切函数T ＝||ωπ． 例2求函数y ＝cot x －tan x 的最小正周期.解：y ＝x x x x tan tan 1tan tan 12-=-＝2·x xx 2cot 2tan 2tan 12=- ∴T ＝2π 三、最小公倍数法设f (x )与ｇ(x )是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T 1、T 2分别是它们的周期，且T 1≠T 2，则f (x )±ｇ(x )的最小正周期T 1、T 2的最小公倍数，分数的最小公倍数＝分母的最大公约数分子的最小公倍数2121,,T T T T 例3求函数y ＝sin3x ＋cos5x 的最小正周期.解：设sin3x 、cos5x 的最小正周期分别为T 1、T 2，则52,3221ππ==T T ，所以y ＝sin3x ＋cos5x 的最小正周期T ＝2π／1＝2π.例4求y ＝sin3x ＋tan 52x 的最小正周期.解：∵sin3x 与tan 52x 的最小正周期是32π与25π，其最小公倍数是110π＝10π. ∴y ＝sin3x ＋tan 52x 的最小正周期是10π. 四、图象法例5求y ＝｜sin x ｜的最小正周期.解：由y ＝｜sin x ｜的图象：可知y ＝｜sin x ｜的周期T ＝π.。
含绝对值三角函数最小正周期的几种求法
含绝对值三角函数最小正周期的几种求法一、定义：绝对值三角函数是指函数f(x) = ，sin(x)，或f(x) = ，cos(x)。
其图像在x轴上是以0为对称中心，以2π为周期的波动曲线。
二、最小正周期的定义：最小正周期是指最小的正数T，使得对于函数f(x)在自变量x的取值范围内，有f(x+T)=f(x)恒成立。
三、求解绝对值三角函数最小正周期的方法：1.利用定义求解：由最小正周期的定义，我们需要找到一个最小正数T，使得对于函数f(x)在0≤x<T的范围内，有f(x+T)=f(x)恒成立。
以f(x) = ，sin(x)，为例，我们需要找到一个最小正数T，使得对于0 ≤ x < T，有f(x + T) = f(x)恒成立。
根据sin函数的周期为2π，我们可以将T设定为π，即为T = π。
此时，对于0 ≤ x < π的范围内，有f(x + π) = ，sin(x + π)，= ，-sin(x)， = ，sin(x)， = f(x)，恒成立。
而在π ≤ x < 2π的范围内，有f(x + π) = ，sin(x + π)，= ，sin(x)， = f(x)，同样也恒成立。
因此，最小正周期T=π。
同理，对于函数f(x) = ，cos(x)，我们可以推导出最小正周期T = π/22.利用图像求解：绝对值三角函数的图像可以直观地给出最小正周期。
以f(x) = ，sin(x)，为例，我们可以通过绘制它的图像来找到最小正周期。
将函数f(x) = ，sin(x)，绘制在笛卡尔坐标系上，我们可以观察到该函数的一个周期长度是2π，波动曲线在0～2π范围内完整重复。
而在0～π的范围内，波动曲线关于y轴对称。
这意味着f(x + π) = ，sin(x + π)， = ，sin(x)， = f(x)。
因此，最小正周期T=π。
同理，对于函数f(x) = ，cos(x)，我们可以绘制其图像来观察最小正周期。
函数周期性公式大总结
函数性质：函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。
函数f中对应输入值x的输出值的标准符号为f(x)。
包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。
顶点式：二次函数有多条顶点式对于任意一条顶点在坐标轴原点上的二次函数，有y=ax²对于函数y=ax²,在X轴上平移h个单位，有y=a(x-h)²对于函数y=ax²,在Y轴上平移k个单位，有y=ax²+k对于函数y=a(x-h)²在Y轴上平移k个单位，或函数y=ax²+k 在X轴上平移h个单位有：y=a(x-h)²+ky=a(x-h)²+k也是最常用的一条顶点式，通过代入特殊的点坐标，均可以转换成y=ax²+k、y=a(x-h)²、y=ax²三者之一。
三角函数：三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。
在物理学中，三角函数也是常用的工具。
函数名正弦余弦正切余切正割余割符号sin cos tan cot sec csc对边（a）临边（b）斜边（h）正弦函数sin（A）=a/h余弦函数cos（A）=b/h正切函数tan（A）=a/b余切函数cot（A）=b/a正割函数sec (A) =h/b余割函数csc (A) =h/a同角三角函数间的基本关系式·平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·商的关系：tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]本章教学目标1.(1)任意角的概念以及弧度制.正确表示象限角、区间角、终边相同的角，熟练地进行角度制与弧度制的换算.(2)任意角的三角函数定义，三角函数的符号变化规律，三角函数线的意义.2.(1)同角三角函数的基本关系和诱导公式.(2)已知三角函数值求角.3.函数y=sinx、y=cosx、y=tanx以及y=Asin(ωx+φ)的图像和“五点法”作图、图像法变换，理解A、ω、φ的物理意义.4.三角函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性.5.两角和与差的三角函数、倍角公式，能正确地运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等证明.本章包括任意角的三角函数、两角和与差的三角函数、三角函数的图像和性质三部分.三角函数是中学数学的重要内容，它是解决生产、科研实际问题的工具，又是进一步学习其他相关知识和高等数学的基础，它在物理学、天文学、测量学以及其他各种应用技术学科中有着广泛的应用.函数的几种特性①有界性②单调性③奇偶性④周期性公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinαcos（2kπ+α）=cosαtan（2kπ+α）=tanαcot（2kπ+α）=cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2－α）=tanα(以上k∈Z)。
求函数周期的方法
求函数周期的方法函数周期是指函数在自变量取某个特定值范围内的变化规律的重复性。
简单来说，周期就是函数图像重复出现的最小单位。
求函数周期的方法有多种，下面我将详细介绍其中的几种常见方法。
1. 平移法：对于一般的周期函数，可以通过平移函数图像来观察其周期。
具体操作是，将函数图像向左或向右平移，直到图像与原图像重合。
此时，平移的距离就是函数的周期。
2. 求解方程法：对于已知的函数形式，可以通过求解函数周期的方程来求得其周期。
例如，对于正弦函数y = Asin(Bx + C)，其中A表示函数振幅，B表示函数的周期，C表示函数图像的平移量。
当C = 0时，函数图像的一个周期为2π/B，即函数的周期为2π/B。
3. 寻找最小正周期法：对于一些特定形式的函数，可以通过寻找最小正周期的方法来求函数的周期。
最小正周期指的是在函数周期范围内的最小正数值。
例如，对于指数函数y = e^x，它的最小正周期为无穷大，即该函数为无周期函数。
而对于幂函数y = x^a，当a为有理数时，函数的最小正周期为1；当a为无理数时，函数为无周期函数。
4. 余数法：这是一种常用的求函数周期的方法。
对于周期为T的函数，可以选择一个自变量x0，并计算x0 + T的函数值和x0的函数值的差值。
如果这个差值为0，则T为函数的周期；否则，继续取另一个自变量x1 = x0 + T，重复上述步骤，直到找到一个差值为0的情况。
这个差值为0时对应的T就是函数的周期。
这个方法适用于各种类型的函数，但对于复杂函数可能需要进行多次计算。
5. 系数法：对于一些特定形式的函数，可以通过分析函数中的系数来求得其周期。
例如，对于三角函数y = Asin(Bx + C)，其中B表示函数的周期。
当B为整数倍的π时，函数的周期为2π/B；当B为非整数倍的π时，函数没有周期。
需要注意的是，以上的方法并不是适用于所有类型的函数，复杂的函数可能需要更加复杂的方法来求解周期。
此外，对于无周期的函数，上述方法也不适用。
怎样求周期函数的周期
怎样求周期函数的周期
求周期函数的周期是一个重要的数学问题，它可以帮助我们更好地理解函数的特性。
首先，我们需要确定函数的函数式，即y=f(x)，其中f(x)是一个周期函数。
然后，我们可以求出函数的周期T，即T=2π/ω，其中ω是函数的角频率，它可以通过求解函数的导数得到。
最后，我们可以根据T的值来确定函数的周期。
此外，我们还可以通过函数图像来求函数的周期。
首先，我们需要确定函数的图像，然后找出图像中的一个周期，最后计算出图像中两个相邻周期之间的距离，即为函数的周期。
总之，求周期函数的周期是一个重要的数学问题，我们可以通过函数式和函数图像来求出函数的周期。
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三角函数周期的常用求法一、 公式法对于函数B x A y ++=)sin(ϕω或B x A y ++=)cos(ϕω的周期公式是||2ωπ=T ， 对于函数B x A y ++=)tan(ϕω或B x y ++=)cot(ϕω的周期公式是||ωπ=T ． 例1 函数)23sin(x y -=π的最小正周期是 （ ） Ａ．π Ｂ．２π Ｃ．－４π Ｄ．４π 解：由公式，得ππ4212=-=T ，故选Ｄ． 评注：对于函数)sin(ϕω+=x A y 或)cos(ϕω+=x A y 可直接利用公式ωπ2=T 求得；对于)tan(ϕω+=x A y 或)cot(ϕω+=x A y 可直接利用公式ωπ=T 求得。
二、图像法例２ 求下列函数的最小正周期① x y sin = ②x y sin解：分别作出两个函数的图像知图二、 定法 解：∵ 2cos()2sin(ππk x k x +++＝x x cos sin + （Z k ∈） ∴2πk 是函数x x y cos sin +=的周期．显然2πk 中最小者是2π 下面证明2π是最小正周期假设2π不是x x y cos sin +=的最小正周期，则存在<<T 02π，使得： =+)(T x f )cos()sin(T x T x +++＝x x cos sin +对R x ∈恒成立，令0=x ，则=+)0(T f T T cos sin +＝10cos 0sin cos sin =+=+T T ①但<<T 02π，∴1cos sin >+T T ② ∴ ①与②矛盾， ∴ 假设不成立，∴2π是x x y cos sin +=最小正周期． 评注：这种方法依据周期函数的定义，从式子)()(x f T x f =+出发，设法找出周期T 中的最小正数（须用反证法证明）．四、转化法1、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期例４求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y∴ ππ==22T ． 变式 求函数x x y 66cos sin +=的最小正周期解：∵ y ＝)cos sin 3cos sin 3()cos (sin 4224322x x x x x x +-+＝)4cos 1(831)cos (sin )cos (sin 31222x x x x x --=+- ＝x 4cos 8385+ ∴ 函数x x y 66cos sin +=的最小正周期是242ππ==T 评注：就是先根据三角公式已知式转化为一个脚的一个三角函数的形式，再利用公式去求．这是最常见的求周期题型，也是高考考察的热点．2、遇到绝对值时，可利用公式 2||a a =, 化去绝对值符号再求周期例5求函数 |cos |x y =的周期解：∵ 22cos 1cos |cos |2x x x y +=== ∴ ππ==22T ． 例6求函数|cos ||sin |x x y +=的周期解：∵()x x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22+=+=+=+=∴ 函数|cos ||sin |x x y +=的最小正周期 242ππ==T ． 五、最小公倍数法例7 求函数y sin3x cos5x =+的最小整周期 解：设sin3x 、cos5x 的最小整周期分别为1T 、2T ，则12T 3π=，22T 5π=，2T 1π=＝2π ∴y sin3x cos5x =+的最小整周期为2π评注：设()f x 与()g x 是定义在公共集合上的两个三角周期函数，1T 、2T 分别是它们的周期，且1T ≠2T ，则()f x ±()g x 的最小整周期是1T 、2T 的最小公倍数．分数的最小公倍数＝分子的最小公倍数分母的最小公倍数抽象函数的周期的求法象函数指解析式没有明确给出的一类函数，对于此类函数性质的研究，须充分运用题目条件，寻找问题的切入点，本文谈谈确定抽象函数周期的几种方法.重点谈以下几类问题：对于函数)(x f ，如果对于定义域中的任意x ，⑴若满足0)()(=+++b x f a x f （b a ≠），则周期)(2a b T -=；⑵若满足)()(),()(x b f b x f x a f a x f -=+-=+（b a ≠），即函数图象有b x a x ==,两条对称轴，则周期)(2a b T -=；⑶若满足1)()(=+⋅+b x f a x f （b a ≠），则周期)(2a b T -=；若满足1)()(-=+⋅+b x f a x f （b a ≠），则周期)(2a b T -=；⑷若满足)(1)(1)(b x f b x f a x f +-++=+（b a ≠），则周期)(4a b T -=. 一、函数值之和等于零型，即函数)(x f 满足0)()(=+++b x f a x f （b a ≠） 对于任意x 满足0)()(=+++b x f a x f （b a ≠），即)()(b x f a x f +-=+，则])[(])[(])[(])[()2(b b x f a b x f b a x f a a x f a x f ++=++-=++-=++=+，即]22)2[()2()2(a b a x f b x f a x f -++=+=+，等价于)()22(x f a b x f =-+，故函数)(x f 的周期)(2a b T -=.例1（05年天津卷16）设函数)(x f 是R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线21=x 对称，则)5()4()3()2()1()0(f f f f f f +++++等于 . 解析 )(x f y =的图象关于直线21=x 对称，则)21()21(x f x f -=+（*），函数)(x f 是R 上的奇函数，则)21()21(x f x f +--=-，（*）式即0)21()21(=+-++x f x f ，21,21-==a b ，)(x f 的周期2)(2=-=a b T .在（*）式中令21=x 可得0)0()1(==f f ，利用函数的周期为2，则)5()3()1(0)4()2()0(f f f f f f ======，因此，0)5()4()3()2()1()0(=+++++f f f f f f .二、函数图象有b x a x ==,（b a ≠）两条对称轴型函数图象有b x a x ==,两条对称轴，即)()(),()(x b f b x f x a f a x f -=+-=+，改写为)2()]([)]([)()(a b x f b a x b f b a x b f x a f a x f -+=+-+=+--=-=+，即]22)[()(a b a x f a x f -++=+，等价于)()22(x f a b x f =-+，周期)(2a b T -=.例2（05年广东卷19）函数)(x f 在),(+∞-∞上满足关系式)2()2(x f x f -=+，)7()7(x f x f -=+，且在闭区间]7,0[上，只有0)3()1(==f f .（1）判断函数)(x f y =的奇偶性；（2）求方程0)(=x f 在闭区间]2005,2005[-上根的个数，并证明你的结论.解析 函数)(x f 满足)7()7(),2()2(x f x f x f x f -=+-=+（*），则)(x f 的图象有7,2==x x 两条对称轴，)(x f 在闭区间]7,0[上，只有0)3()1(==f f ，而0)0(≠f ，0)7(≠f ，故函数)(x f 不是奇函数；由对称性和0)3()1(==f f 得0)13()11(==f f ，且0)9()7(=-=-f f ，由0)7(=-f 而0)7(≠f 可得函数)(x f 不是偶函数；因此函数)(x f y =是非奇非偶函数.由（*）式还可以表示为)14()(),4()(x f x f x f x f -=-=，由)14()4(x f x f -=-可知函数)(x f 的周期10=T （或直接利用上面的结论7,2==b a ，10)(2=-=a b T ）.)(x f 在闭区间]7,0[上，只有0)3()1(==f f ，0)13()11(==f f ，0)9()7(=-=-f f ，且周期10=T ，故方程0)(=x f 在闭区间]10,0[和]0,10[-上都有两个解（分别为3,1和9,7--），从而方程0)(=x f 在闭区间]2005,0[上有402个解，在闭区间]0,2005[-上有400个解，从而方程0)(=x f 在闭区间]2005,2005[-上根的个数为802个.三、两个函数值之积等于1±，即函数值互为倒数或负倒数型若1)()(=+⋅+b x f a x f ，显然0)(,0)(≠+≠+b x f a x f ，则)(1)(b x f a x f +=+，即])[(1])[(1])[(a b x f b a x f a a x f ++=++=++，而])[(1])[(b b x f a b x f ++=++，因此]22)2[(])[(])[(1])[(a b a x f b b x f a b x f a a x f -++=++=++=++，即]22)2[()2(a b a x f a x f -++=+，函数)(x f 的周期)(2a b T -=；同理可证，若函数)(x f 满足1)()(-=+⋅+b x f a x f （b a ≠），则周期)(2a b T -=. 例3 已知函数)(x f 是R 上的偶函数，且1)()2(=⋅+x f x f ，0)(>x f 恒成立，则)119(f 的值等于 .解析 由1)()2(=⋅+x f x f 可知)()2(1)4(x f x f x f =+=+，函数)(x f 的周期为4，)1()1120()119(-=-=f f f ，函数)(x f 是R 上的偶函数且0)(>x f ，则)1()1(f f =-，在1)()2(=⋅+x f x f 中，令1-=x 得1)1()1()1(2=-=⋅-f f f ，1)1(=-f ，1)119(=f .四、分式型，即函数)(x f 满足)(1)(1)(b x f b x f a x f +-++=+（b a ≠） 由)(1)(1)(b x f b x f a x f +-++=+（b a ≠），则)(1)(1)(b a x f b a x f a a x f ++-+++=++（*），])[(1])[(1])[()(b b x f b b x f a b x f b a x f ++-+++=++=++，代入（*）式得)2(1)2(b x f a x f +-=+，即1)2()2(-=+⋅+b x f a x f ，由上面的类型三，求出周期)(4a b T -=.例4．已知函数)(x f 在),(+∞-∞上满足关系式)(1)(1)2(x f x f x f -+=+.若32)1(+=f ，则)2005(f 等于 .解析 由题意)2(1)2(1)22(+-++=++x f x f x f （*），将)(1)(1)2(x f x f x f -+=+代入（*）式整理得)(1)4(x f x f -=+，所以)()4(1)8(x f x f x f =+-=+，函数)(x f 的周期为8，)5()58250()2005(f f f =+⨯=，23321)1(1)41()5(-=+-=-=+=f f f ，23)2005(-=f .设计抽象函数周期问题，要注意严密，下面的“函数”就是一个流传十分广的典型错例： 例5 已知定义在),(+∞-∞上的奇函数)(x f 满足关系式)(1)(1)1(x f x f x f +-=+.当10<<x 时，x x f 2)(=，则)5.5(f 的值等于（）A ．1B ．1-C ．21D ．21- 不少资料选入此题，并给出答案为1)5.5(-=f ，提示思路是：)(1)(1)1(x f x f x f +-=+，则)1(1)1(1)2(+++-=+x f x f x f ，将)(1)(1)1(x f x f x f +-=+代入可得)()2(x f x f =+，周期为2，则1)5.0()5.0()5.5(-=-=-=f f f .显然，如果原函数的周期为2，则周期也可为4，则0)5.0(1)5.0(1)5.1()5.5(=+-==f f f f .这样，1)5.5(-=f 与0)5.5(=f 都成立，就不是单值函数了，即)(x f 根本不是函数！该“函数”的问题还可以这样来得出：函数)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，则0)0(=f ，根据)(1)(1)1(x f x f x f +-=+，令0=x 则1)1(=f ，1)1(-=-f ，但)(x f 的周期为2，必定满足)1()1()1(f f f -=-=，则0)1()1(=-=f f ，也能得出互相矛盾的结论来.本题还可以从函数图象推出矛盾.。