函数周期常用求法

三角函数周期的常用求法

一、 公式法

对于函数B x A y ++=)sin(ϕω或B x A y ++=)cos(ϕω的周期公式是|

|2ωπ=T ， 对于函数B x A y ++=)tan(ϕω或B x y ++=)cot(ϕω的周期公式是|

|ωπ=T ． 例1 函数)2

3sin(

x y -=π的最小正周期是 （ ） Ａ．π Ｂ．２π Ｃ．－４π Ｄ．４π 解：由公式，得ππ42

12=-=T ，故选Ｄ． 评注：对于函数)sin(ϕω+=x A y 或)cos(ϕω+=x A y 可直接利用公式ω

π2=T 求得；对于)tan(ϕω+=x A y 或)cot(ϕω+=x A y 可直接利用公式ωπ=

T 求得。 二、图像法

例２ 求下列函数的最小正周期

① x y sin = ②x y sin

解：分别作出两个函数的图像知

图

二、 定法 解：∵ 2

cos()2sin(ππk x k x +++＝x x cos sin + （Z k ∈） ∴

2πk 是函数x x y cos sin +=的周期．显然2πk 中最小者是2

π 下面证明2π是最小正周期

假设2π不是x x y cos sin +=的最小正周期，则存在<

π，使得： =+)(T x f )cos()sin(T x T x +++＝x x cos sin +对R x ∈恒成立，

令0=x ，则=+)0(T f T T cos sin +＝10cos 0sin cos sin =+=+T T ①

但<

π，∴1cos sin >+T T ② ∴ ①与②矛盾， ∴ 假设不成立，∴2π是x x y cos sin +=最小正周期． 评注：这种方法依据周期函数的定义，从式子)()(x f T x f =+出发，设法找出周期T 中的最小正数（须用反证法证明）．

四、转化法

1、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期

例４求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y

∴ ππ==2

2T ． 变式 求函数x x y 66cos sin +=的最小正周期

解：∵ y ＝)cos sin 3cos sin 3()cos (sin 4224322x x x x x x +-+

＝)4cos 1(831)cos (sin )cos (sin 31222x x x x x --

=+- ＝x 4cos 8

385+ ∴ 函数x x y 66cos sin +=的最小正周期是2

42ππ==T 评注：就是先根据三角公式已知式转化为一个脚的一个三角函数的形式，再利用公式去求．这是最常见的求周期题型，也是高考考察的热点．

2、遇到绝对值时，可利用公式 2||a a =, 化去绝对值符号再求周期

例5求函数 |cos |x y =的周期

解：∵ 22cos 1cos |cos |2x x x y +==

= ∴ ππ==2

2T ． 例6求函数|cos ||sin |x x y +=的周期

解：∵()x x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22+=+=+=+=

∴ 函数|cos ||sin |x x y +=的最小正周期 2

42ππ==

T ． 五、最小公倍数法

例7 求函数y sin3x cos5x =+的最小整周期 解：设sin3x 、cos5x 的最小整周期分别为1T 、2T ，

则12T 3π=，22T 5

π=，2T 1π=＝2π ∴y sin3x cos5x =+的最小整周期为2π

评注：设()f x 与()g x 是定义在公共集合上的两个三角周期函数，1T 、2T 分别是它们的周期，且1T ≠2T ，则()f x ±()g x 的最小整周期是1T 、2T 的最小公倍数．

分数的最小公倍数＝分子的最小公倍数分母的最小公倍数

抽象函数的周期的求法

象函数指解析式没有明确给出的一类函数，对于此类函数性质的研究，须充分运用题目条件，寻找问题的切入点，本文谈谈确定抽象函数周期的几种方法.重点谈以下几类问题：对于函数)(x f ，如果对于定义域中的任意x ，⑴若满足0)()(=+++b x f a x f （b a ≠），则周期)(2a b T -=；⑵若满足)()(),()(x b f b x f x a f a x f -=+-=+（b a ≠），即函数图象有b x a x ==,两条对称轴，则周期)(2a b T -=；⑶若满足1)()(=+⋅+b x f a x f （b a ≠），则周期)(2a b T -=；若满足1)()(-=+⋅+b x f a x f （b a ≠），则周期)(2a b T -=；⑷若满足)

(1)(1)(b x f b x f a x f +-++=+（b a ≠），则周期)(4a b T -=. 一、函数值之和等于零型，即函数)(x f 满足0)()(=+++b x f a x f （b a ≠） 对于任意x 满足0)()(=+++b x f a x f （b a ≠），即)()(b x f a x f +-=+，则])[(])[(])[(])[()2(b b x f a b x f b a x f a a x f a x f ++=++-=++-=++=+，即]22)2[()2()2(a b a x f b x f a x f -++=+=+，等价于)()22(x f a b x f =-+，故函数