完全平方差公式
三次平方差公式和完全平方公式
三次平方差公式和完全平方公式
一、三次平方差公式
三次平方差公式（Third-Order Variation Formula）是一种计算样本变差的数学公式，它可以用来度量样本实际观察值与理论值的平整性，以及观测值的起伏程度。
三次平方差公式的计算公式如下：
V3 = (N * ∑(x - x_bar)^3)^2 / (N - 1) * (N - 2) * (N - 3)其中：V3：三次平方差；
N：样本数量；
∑(x - x_bar)^3：所有样本实际观测值的三次方差；
x：每个样本的实际观测值；
x_bar：样本的理论均值。
完全平方公式（Perfect Square Formula）是用来计算样本点实际观测值与理论均值之间偏差的一种数学公式，它可以衡量样本的起伏程度以及样本的数据的平整性。
完全平方公式的计算公式如下：
完全平方公式：
V2 = (N * ∑(x - x_bar)^2)^2 / (N - 1)
其中：V2：完全平方差；
N：样本数量；
∑(x - x_bar)^2：所有样本实际观测值与理论均值的差的平方和；
x：每个样本的实际观测值；
x_bar：样本的理论均值。
两种公式的定义及其计算公式都要求样本实际观测值与理论均值之间的差，但三次平方公式把这些差的平方的结果求平方根，而完全平方公式是把这些差的平方的结果求和，这就是两种算法的最大差别所在。
从基本原理上讲，三次平方公式的计算结果越接近一。
完全平方差公式的几何推导
完全平方差公式的几何推导在咱们的数学世界里，完全平方差公式那可是个相当重要的家伙！它就像一把神奇的钥匙，能帮咱们打开好多数学难题的大门。
先来说说完全平方差公式到底是啥。
它就是$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ 。
这个公式看起来好像有点复杂，不过别担心，咱们通过几何的方法来推导它，会让它变得简单又有趣。
咱们假设啊，有一个边长为 a 的正方形。
这时候呢，从这个正方形的一角切去一个边长为 b 的小正方形。
那剩下的部分，就是一个大的L 形。
咱们先来算算这个 L 形的面积。
从原来的大正方形面积 a²里，减去切去的小正方形面积 b²，那就是 a² - b²。
那咱们换个角度来看这个 L 形。
它可以分成两个长方形，一个长是a，宽是 (a - b) ；另一个长是 b，宽也是 (a - b) 。
这两个长方形的面积加起来就是 a(a - b) + b(a - b) 。
经过化简，a(a - b) + b(a - b) 就变成了 (a + b)(a - b) 。
所以呀，a² - b² = (a + b)(a - b) 。
咱们再回到完全平方差公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ 。
咱们还是用刚才那个正方形来想想。
假设这个正方形的边长是 (a - b) 。
那它的面积就是 (a - b)²。
咱们把这个正方形分成几块来看。
先看左上角，那是一个边长为 a 的小正方形，面积就是 a²。
再看右上角和左下角，这两块是一样的长方形，长是 a ，宽是 b ，所以面积都是 ab ，两块加起来就是 2ab 。
最后看右下角，那是一个边长为 b 的小正方形，面积是 b²。
把这些部分的面积加起来，就是 a² - 2ab + b²，这不就和 (a - b)²相等了嘛！我记得有一次给学生们讲这个的时候，有个调皮的小家伙一直皱着眉头，怎么都想不明白。
平方差公式与完全平方公式
平方差公式与完全平方公式平方差公式：22))((b a b a b a -=-+说明：相乘的两个二项式中，a 表示的是完全相同的项，+b 和-b 表示的是互为相反数的两项。
所以说，两个二项式相乘能不能用平方差公式，关键看是否存在两项完全相同的项，两项互为相反数的项。
熟悉公式：例：(3a+2b)(3a-2b)中 3a 是公式中的a ， 2b 是公式中的b(a 2+b 2)(a 2-b 2)中 a 2 是公式中的a ， b 2是公式中的b(2a+b-c)(2a+b+c)中 2a+b 是公式中的a ， c 是公式中的b 把下列空补充完整：(5+6x)(5-6x)中 是公式中的a ， 是公式中的b (5+6x)(-5+6x)中 是公式中的a ， 是公式中的b (x-2y)(x+2y)中 是公式中的a ， 是公式中的b (-m+n)(-m-n)中 是公式中的a ， 是公式中的b（a+b+c ）（a+b-c)中 是公式中的a ， 是公式中的b （a-b+c ）(a-b-c)中 是公式中的a ， 是公式中的b 例1：计算下列各题（a+3）(a-3)=a 2-32=a 2-9 (2x+21)(2x-21)=(2x)2-(21)2=4x 2-161仿练：( 2a+3b)(2a-3b)= (1+2c)(1-2c)= (-x+2)(-x-2)= (a+2b)(a-2b)= 例2：计算下列各题：1998×2002 =(2000-2)(2000+2)=20002-22=4000000-4=3999996 仿练： 1.01×0.99 = （20-91）×（19-98）= 例3：计算下列各题（a+b)(a-b)(a 2+b 2)=(a 2-b 2)(a 2+b 2)=(a 2)2-(b 2)2=a 4-b 4仿练：(a+2)(a-2)(a 2+4)= (x-12)(x 2+ 14)(x+ 12)= 例4：计算下列各题（-2x-y ）(2x-y)=（-y-2x)(-y+2x)=(-y)2-(2x)2=y 2-4x 2 (4a-1)(-4a-1)=(-1+4a)(-1-4a)=(-1)2-(4a)2=1-16a 2仿练：(y-x)(-x-y)= (-2x+y)(2x+y)= (b+2a)(2a-b)= (a+b)(-b+a)= 例5；计算下列各题（a+2b+c ）(a+2b-c)=[(a+2b ）+c][(a+2b)-c]=(a+2b)2-c 2=a 2+4ab+b 2-c 2仿练：(a+b-3)(a-b+3)= (m-n+p)(m-n-p)=练习：1、(1)(1)x x +-2、(21)(21)x x +-3、(5)(5)x y x y +-4、(32)(32)x x +-5、(2)(2)b a a b +-6、(2)(2)x y x y -+--7、()()a b b a +-+8、()()a b a b ---9、(32)(32)a b a b +-10、5252()()a b a b-+11、(25)(25)a a +-12、(1)(1)m m ---13、11()()22a b a b ---14、(2)(2)ab ab ---15、10298⨯16、97103⨯17、4753⨯18、22()()()a b a b a b +-+19、(32)(32)a b a b +-20、(711)(117)m n n m ---21、(2)(2)y x x y ---22、(4)(4)a a +-+23、(25)(25)a a -+24、(3)(3)a b a b +-25、(2)(2)x y x y +-完全平方公式完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 注意不要漏掉2ab 项（a 为首，b 为尾）口诀：首平方，尾平方，首尾之积二倍加减放中央（4m+n ）2中 4m 是公式中的a ， n 是公式中的b(-a-b)2中 -a 是公式中的a ， b 是公式中的b(a+b-c)2中 a 是公式中的a ， b-c 是公式中的b 或者(a+b-c)2中 a+b 是公式中的a ， c 是公式中的b 仿练： (y-21)2中 是公式中的a ， 是公式中的b （b-a ）2中 是公式中的a ， 是公式中的b(2a-b+c)2中 是公式中的a ， 是公式中的b 熟悉公式变形1、a 2+b 2=(a+b)2 -2ab =(a-b)2+2ab2、（a-b ）2=(a+b)2 -4ab ; (a+b)2=(a-b)2+4ab3、(a+b)2 +（a-b ）2= 2a 2+2b 24、(a+b)2 --（a-b ）2= 4ab 例1：计算下列各题2)(y x +=x 2+2xy+y 2 2)23(y x - =(3x)2-2(3x)(2y)+(2y)2=9x 2-12xy+4y 2仿练：2)21(b a += 2)12(--t = 2)313(c ab +-=2)2332(y x += 2)121(-x = (0.02x+0.1y)2=例2：利用完全平方公式计算： 1022=（100+2)2=1002+2×100+221972=(200-3)2=2002-2×200×3+32仿练：982= 2032=练习：计算 1、2(1)p + 2、2(1)p - 3、2()a b - 4、2()a b + 5、2(2)m + 6、2(2)m -7、2(4)m n +8、21()2y -9、2(3)x y -10、2(2)a b --11、21()a a+12、2(52)x y --13、2(2)a b -14、21()2x y -15、2(23)a b +16、2(32)x y -17、2(2)m n --18、2(22)a c +19、2(23)a -+20、21(3)3x y +21、2(32)a b +22、222()a b -+23、22(23)x y --24、2(1)xy -25、222(1)x y -添括号法则如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；•如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 也是：遇“加”不变，遇“减”都变．例：)(c b a c b a ++=++ )(c b a c b a +-=--练习运用法则：（1）a+b-c=a+（ ） （2）a-b+c=a-（ ） （3）a-b-c=a-（ ） （4）a+b+c=a-（ ） 2．判断下列运算是否正确． （1）2a-b-2c =2a-（b-2c） （2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b ） （3）2x-3y+2=-（2x+3y-2） （4）a-2b-4c+5=（a-2b ）-（4c+5）在公式里运用法则例：计算：（1）（x+2y-3）（x-2y+3）=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]=x 2-(2y-3)2=x 2-(4y 2-12y+9)=x 2-4y 2+12y-9 （2）（a +b +c ）2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c 2=a 2+2ab+b 2+2ac+2bc+c 2（3）（x +5）2-（x-2）（x-3）=x 2+10x+25-(x 2-5x+6)=x 2+10x+25-x 2+5x-6=15x+19练习：计算：（x +3）2-x 2 2)2(c b a +- 22)()(c b a c b a ---++。
数学平方差公式和完全平方差公式
数学平方差公式和完全平方差公式数学中有许多重要的公式，在代数学中，平方差公式和完全平方差公式都是不可忽视的公式之一。
让我们来看看平方差公式。
平方差公式是一种将两个数的平方差表示为两个数之差乘以两个数的和的公式。
具体来说，对于任意两个数a和b，平方差公式可以表示为：(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2平方差公式在代数学中的应用非常广泛。
它可以用来简化计算过程，特别是在求解二次方程、证明等数学问题中非常有用。
例如，在解二次方程时，我们经常会遇到需要对方程进行化简的情况。
平方差公式可以帮助我们将方程化简为更简单的形式，从而更方便地求得解。
接下来，我们来介绍完全平方差公式。
完全平方差公式是一种将一个二次多项式表示为两个平方差之和的公式。
具体来说，对于任意一个二次多项式ax^2 + bx + c，完全平方差公式可以表示为：ax^2 + bx + c = (px + q)^2 + r其中，p、q、r是待定系数。
通过求解这些系数，我们可以将给定的二次多项式表示为两个平方差之和的形式。
完全平方差公式在代数学中也有广泛的应用。
它可以用来解决二次方程、证明等数学问题。
例如，在解二次方程时，我们通常需要将方程化简为完全平方差的形式，从而更容易找到解。
此外，在证明中，完全平方差公式也可以帮助我们简化推导过程，使证明更加简洁明了。
总结一下，平方差公式和完全平方差公式在代数学中起着重要作用。
它们可以帮助我们简化计算、解决问题，并在证明中发挥重要作用。
熟练掌握这些公式，对于提高数学水平和解决实际问题都有很大的帮助。
因此，在学习代数学的过程中，我们应该重视平方差公式和完全平方差公式的学习和应用。
通过不断的练习和实践，我们可以更好地掌握这些公式，并在数学学习中取得更好的成绩。
平方差公式和完全平方公式
平方差公式与完全平方公式（a+b ）2 = a 2+2ab+b 2（a －b ）2=a 2－2ab+b2（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2应用1、平方差公式的应用：例1、利用平方差公式进行计算： （1）（5+6x ）（5－6x ） （2）（x ＋2y ）（x －2y ） （3）（－m ＋n ）（－m －n ） 解：例2、计算：（1）（y x 41--）（y x 41+-） （2）（－m －n ）（m －n ）（3）（m ＋n ）（n －m ）+3m 2（4）（x+y ）（x －y ）（x 2－y 2）解：例3、计算：（1）103×97 （2）118×122 （3）32203119⨯ 解：应用2、完全平方公式的应用： 例4、计算：（1）（2x －3）2（2）（4x+5y ）2（3）（y x 21-）2 （4）（－x －2y ）2（5）（－x+y 21）2解：例5、利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972 （3）199992－19998×20002解：试一试：计算：123456789×123456787－1234567882=_______________应用3、乘法公式的综合应用： 例6、计算：（1）（x+5）2－（x+2）（x －2）（2）（a+b+3）（a+b －3） （3）（a －b+1）（b －a+1）（4）（a+b －c ）2解： 例7、（1）若4ax x 412++是完全平方式，则：a=________________（2）若4x 2+1加上一个单项式M 使它成为一个完全平方式，则M=_______________ 例8、（1）已知：3a1a =+，则：__________a1a 22=+（2）已知：5a 1a =-，则：__________a 1a 22=+（3）已知：a+b=5，ab=6，则：a 2+b 2=_______（4）已知：（a+b ）2=7，（a －b ）2=3，则：a 2+b 2= ，ab=例9、计算：（1）)1011()411)(311)(211(2222---- （2）)12()12)(12)(12)(12(32842+++++解：例10、证明：x 2+y 2+2x －2y+3的值总是正的。
完全平方差公式总结
完全平方差公式总结前言作为一名资深的创作者，我对数学公式有着浓厚的兴趣和深入的研究。
在数学的世界里，有一条重要的公式，即完全平方差公式。
在本文中，我将对完全平方差公式进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一公式。
正文什么是完全平方差公式？完全平方差公式是高中数学中的重要公式之一，它用于求解二次多项式的根。
公式表达完全平方差公式有两种常见的表达方式： 1. 一般形式：对于一元二次方程ax2+bx+c=0，其中a、b、c是已知系数，则方程的根可以通过以下公式求解:x=−b±√b2−4ac2a2.因式分解形式：对于一元二次方程ax2+bx+c=0，如果其可以被因式分解为(mx+n)2=0，则方程的根可以通过以下公式求解:x=−n m公式推导完全平方差公式可以通过配方法推导得到。
具体推导过程如下：1. 将一元二次方程ax2+bx+c=0左右两侧同时除以a，得到x2+ba x+ca=0； 2. 将等式两侧进行配方，即构造出一个完全平方式，使得等式左边变为(x+b2a )2； 3. 根据配方法，我们需要将右侧的常数补全为完全平方：b 24a2−ca； 4. 为了使等式仍然成立，我们需要在等式左右两侧同时加上b 24a2−ca； 5. 此时，左侧已经变为完全平方，右侧为常数； 6. 将等式左边进行因式分解，得到(x+b2a )2=b2 4a2−ca； 7. 对于方程有实根的情况，b24a2−ca必须大于等于零； 8.对左右两侧同时开方，即可得到一般形式的完全平方差公式：x=−b±√b2−4ac2a； 9. 对于因式分解形式的完全平方差公式，则是通过对左右两侧进行因式分解得到。
应用示例完全平方差公式在实际生活和工作中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例： - 求解抛物线的顶点和焦点坐标； - 求解二次函数的零点； - 求解物理问题中的运动轨迹等。
结尾通过对完全平方差公式的总结，我们了解到该公式在解决二次方程问题中起到重要作用。
平方差公式和完全平方公式
第三讲 平方差公式和完全平方公式【名言警句】细节决定成败！【知识点归纳讲解】（一）平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 特征：①左边：二项式乘以二项式，两数（a 与b ）的和与它们差的乘积. ②右边：这两数的平方差. 平方差公式的常见变形：①位置变化：如()()()()22a b b a b a b a b a +-=+-=-②符号变化：如()()()()()2222a b a b b a b a b a b a ---=---+=--=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或()()()()()2222a b a b a b a b a b a b ---=-+-=--=-+ ③系数变化：如()()()()()22ma mb a b m a b a b m a b +-=+-=-（二）完全平方公式()()22222222a b a ab b a b a ab b+=++-=-+ 完全平方公式常见变形：① 符号变化：如()()22222a b a b a ab b --=+=++ ()()22222a b a b a ab b -+=-=-+②移项变化：()()22222222a b a ab b a b a ab b +=++-=-+⇒()()22222222a b a b ab a b a b ab+=+-+=-+⇒()()224a b a b ab +--=【经典例题讲解】（一）平方差公式例1：计算：()()()()2244a b b a b a b a ---+-例2：计算：①（2x+y ）(2x-y) ②(y x 3121+)(y x 3121-)③(-x+3y)(-x-3y) ④(2a+b)(2a-b)(4)22b a +.【同步演练】应用平方差公式计算（1）()()a a 2121+- （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+3121312122x x （3）()()y x y x 3232+---例3：某初级中学得到政府投资，进行了校园改造建设，他们的操场原来是长方形，改建后变为正方形，正方形的边长比原来的长方形少6米，比原来的长方形的宽多了6米，问操场的面积比原来大了还是小了？相差多少平方米？（二）完全平方公式例1：已知2291822a b ab a b +==+，，求的值例2：利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972【同步演练】利用完全平方公式计算：（1）982 （2）2032例3：计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x【同步演练】)3)(3(+---b a b a例4：若22)2(4+=++x k x x ，则k =若k x x ++22是完全平方式，则k =例:5：完全平方公式的推广()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++()222222222a b c d a b c d ab bc cd ad +++=+++++++附加题：若实数222,,9,a b c a b c ++=满足()()()222a b b c c a -+-+-则代数式的最大值是多少？【课堂检测】 （一）平方差公式 一、填空题1、=--+-)2)(2(y y _______.2、=-+)2)(2(y x y x ______.3、=-+)3121)(3121(b a b a ______. 4、=---))((22x a x a _______. 5、=++-))()((22b a b a b a _______. 6、=-+-))((y x y x _______. 7、=+-----+))(())((y x y x y x y x _______. 8、+xy (_______）-xy (_______）81122-=y x . 二、选择题9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（ ） （A ）)22)(2(b a b a +--; （B ）)2)(2(a b b a +-; （C ）)2)(2(b a b a +--; （D ）)2)(2(b a a b ++-.10、下列各式中，运算结果是223625y x -的是（ ） （A ）)56)(56(x y x y --+- ; （B ）)56)(65(x y y x +-; （C ）)56)(56(x y x y ++- ; （D ）)65)(65(y x y x +--. 三、解答题11.计算)2)(2())((n m n m n m n m -+-+-.12.先化简后求值2),2)(2()2)(2(22-=-+--+x x x x x .13.解方程4)2()1)(1(2=---+x x x x .（二）完全平方公式 一、填空题1、=-+)2)(2(b a b a _______.2、)5(x +-_______225x -=. 用平方差公式计算并填空3、)218(5.75.8+=⨯__ ___4363=. 4、=⨯95105_______.5、=-+22)2()2(y x y x （_______）2. 二、选择题6、=+----))((y x y x _______.（ ）（A ）22y x +-;（B ）22y x -;（C ）22y x --;（D ）22y x +.7、如果16)(2-=+a m a p ，则（ ）（A ）4),4(=+=m a p ; （B ）4),4(-=-=m a p （C ）4),4(-=+=m a p ; （D ）4,4=+-=m a p . 三、解答题8、解不等式x x x x x 3)6()3)(3(>+-+-.9、解方程)1)(1(2)3)(12(+-=+-x x x x .10、先化简后求值)5)(5(2)4)(3(-+-+-x x x x ，其中10-=x11、一个梯形上底是)(b a +㎝，下底是)(b a -㎝，高为)2(b a +㎝，求梯形的面积，若2,215==b a ，求这个梯形的面积.【课后作业】一、填空题（每题2分，共28分）1．(34=⋅a a ____()⨯____34)+=a ; 2．=-⋅-54)()(x y y x _________; 3．()(23=m _____)(_____23)⨯=m ; 4．=-⋅--535)(])([a a _________; 5．=⨯3)87(_________3387⨯=; 6．(8164=y x ______2); 7．已知长方形的长是m 4，它的面积是nm 20，则它的宽是_________;8．=⋅+-222483)41(6y x x y x xy _________;9．=⋅+n m 2)7(_________;10．=+--)()(b a a a b b _________; 11．=++))((t z y x _________; 12．=+++-))()()((4422b a b a b a b a _________; 13．=++-+-))((c b a c b a _________; 14．=--+22)()(b a b a _________. 二、选择题（每题3分，共12分）15．下列各式中正确的是（ ）（A ）222)(b a b a -=-; （B ）2222)2(b ab a b a ++=+; （C ）222)(b a b a +=+; （D ）2222)(b ab a b a +-=+-.16．计算)102.2()105.3(53⨯⨯⨯的结果并用科学记数法表示，正确的结果是（ ） （A ）770000000;（B ）71077⨯;（C ）8107.7⨯;（D ）7107.7⨯.17．20072006)32()23(⋅-的计算结果是（ ）（A ）23-;（B ）32-;（C ）32;（D ）23.18．下列计算正确的是（ ）（A ）1262432a a a a a =⋅+⋅; （B ）252212)2(3bc a c a ab =⋅;（C ）322322+=⋅⋅+⋅n n a a a a a a ; （D ）432222)21()2(y x y x xy -=-⋅-.三、简答题：（每题6分，共30分）19．计算：4453)()(a a a a -+-20．结果用)(y x -的幂的形式表示62323)(2])[(])[(y x x y y x -+-+-.21．用简便方法计算63720052006)2()81()125.0()8(⨯+-⨯-22．计算453210)2()(b a ab b a +⋅- .23．计算)1()1(22++-++x x x x x . 24．计算))()((22b a b a b a -+-.四、解答题（每题5分，共20分）25．解方程)2(2)2()1(-=++-x x x x x x26．化简并求值31,3),3)(3(==--b a a b b a 其中.27．化简并求值2,)1()12(22-=-++x x x 其中.28.计算2)(c b a --29.综合题（10分，每小题5分）（1）已知一个圆的半径若增加2厘米，则它的面积就增加39平方厘米，求这个圆的直径.（用π的代数式表示这个圆的直径）（2）阅读：若一家商店的销售额10月比9月份增长（减少）10%，则设这家商店9月10月份销售额的增长率为0.1（-0.1）；理解：甲、乙两店9月份的销售额均为a万元，在10月到11月这两个月中，甲，问到商店的销售额的平均每月增长率为x，乙商店的销售额平均每月的增长率为x11月底时，甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元（用a和x的代数式表示结果）.【课后作业】家长意见及建议：家长签字：日期：年月日。
平方差公式与完全平方公式
平方差公式与完全平方公式首先介绍平方差公式。
平方差公式是指两个数之差的平方可以表示为两个数的平方的差。
具体而言，如果有两个数a和b，那么它们的平方差公式可以表示为(a-b)(a+b)=a^2-b^2、即一个数的平方减去另一个数的平方等于这两个数之差的乘积。
(a-b)(a+b) = a(a+b) - b(a+b) = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 -b^2例如，如果我们要计算64和25之间的差的平方，我们可以利用平方差公式：(64-25)(64+25)=64^2-25^2=3999下面我们来介绍完全平方公式。
完全平方公式是指一个二次多项式可以表示为一个平方的形式。
具体而言，如果有一个二次多项式ax^2+bx+c，其中a、b、c都是实数，并且a不等于0，那么它可以表示为一个完全平方的形式，即(a^2(x+d)^2)+e，其中d和e是实数。
完全平方公式的推导可以通过配方法来证明。
具体而言，我们有：ax^2+bx+c = a(x^2+(b/a)x+(c/a)) = a((x^2+(b/a)x+(b/2a)^2) + (c/a-(b/2a)^2)) = a(x+(b/2a))^2 + (c/a-(b/2a)^2)例如，如果我们有一个二次多项式x^2+6x+9，我们可以使用完全平方公式将其表示为(x+3)^2、因为(x+3)^2=x^2+6x+9，所以这两个表达式是等价的。
完全平方公式在高等数学和代数运算中也有广泛的应用。
在求解二次方程的根时，我们可以使用完全平方公式来简化计算，将二次方程表示为一个平方的形式。
它还可以用于求解三角恒等式和简化代数表达式。
综上所述，平方差公式和完全平方公式是数学中常用的两个公式，它们在代数运算和高等数学中有广泛的应用。
掌握这两个公式可以帮助我们简化计算过程，解决问题，并扩展数学思维的能力。
完全平方公式8种变形
完全平方公式8种变形完全平方公式是数学中一个重要的公式，它可以帮助我们求解一元二次方程的解，进而解决一些实际问题。
在学习完全平方公式时，我们不仅要熟记其基本形式，还需要了解其一些变形，以便更灵活地应用于解题过程中。
下面将介绍完全平方公式的8种变形，希望对大家的学习有所帮助。
1. 标准形式变形：完全平方公式的标准形式是：(a+b)²=a²+2ab+b²。
我们可以将其变形为：a²= (a+b)²-2ab-b²，这种变形可以帮助我们从平方项和常数项中提取出待求解的项。
2. 差平方变形：我们可以将完全平方公式改写为：(a-b)²=a²-2ab+b²。
这种变形用于需要处理差平方的情况，可以减少计算过程中的错误。
3. 完全平方差变形：如果我们遇到一个二次方程的形式是a²-b²=0，可以利用完全平方公式的变形来求解。
变形后的形式为(a+b)(a-b)=0，我们可以得到a+b=0或a-b=0，从而求得方程的解。
4. 半平方变形：在一些问题中，我们可能会遇到一个二次方程的形式是a√x+b=0。
我们可以将其改写为：(√x)²=-(b/a)，通过对等式两边开方并得到x的值，从而解决问题。
5. 配方法变形：配方法是解决一元二次方程的一种常用方法，我们可以将完全平方公式进行配方法的变形。
变形后的形式是(a+b)²-c²=(a+b+c)(a+b-c)，通过将多项式相加相减从而得到解。
6. 两边取平方根变形：当我们遇到一个二次方程的形式为a²=c²时，可以将完全平方公式应用于此。
变形后的形式是：a=±√c²，通过对两边同时取平方根，我们可以得到a的值。
7. 合并同类项变形：在解决一些复杂的方程时，我们可能会遇到一些多项式的平方和。
我们可以将其中的一些同类项合并，从而简化计算过程。
平方差公式与完全平方差公式
平方差公式与完全平方公式平方差公式：22))((b a b a b a -=-+说明：相乘的两个二项式中，a 表示的是完全相同的项，+b 和-b 表示的是互为相反数的两项。
所以说，两个二项式相乘能不能用平方差公式，关键看是否存在两项完全相同的项，两项互为相反数的项。
熟悉公式：(5+6x)(5-6x)中 是公式中的a ， 是公式中的b(5+6x)(-5+6x)中 是公式中的a ， 是公式中的b(x-2y)(x+2y)中 是公式中的a ， 是公式中的b(-m+n)(-m-n)中 是公式中的a ， 是公式中的b（a+b+c ）（a+b-c)中 是公式中的a ， 是公式中的b（a-b+c ）(a-b-c)中 是公式中的a ， 是公式中的b将下列各式转化成平方差形式（1） 36－x 2 （2）a 2－91b 2 （3） x 2－16y 2 （4） x 2y 2－z 2 （5） (x+2)2－9 （6）(x+a)2－(y+b)2 （7） 25(a+b)2－4(a －b)2例1：计算下列各题1.（a+3）(a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)5. (a+2b)(a-2b)6. (2x+12)(2x-12)例2：计算下列各题：1、 1998×20022、1.01×0.99 3.（20-19）×（19-89）例3：：计算下列各题1、（a+b ）(a-b)(a 2+b 2)2、(a+2)(a-2)(a 2+4)3、(x-12)(x 2+ 14)(x+ 12)例4：计算下列各题1、（-2x-y ）(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1)5.(b+2a)(2a-b)6.(a+b)(-b+a)例5；计算下列各题1.（a+2b+c ）(a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)3.(m-n+p)(m-n-p)完全平方公式完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 注意不要漏掉2ab 项熟悉公式1、a 2+b 2=(a+b)2 =(a-b)22、（a-b ）2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)23、(a+b)2 +（a-b ）2=4、(a+b)2 --（a-b ）2=5.将下列各式转化成完全平方式形式(1)a 2－4a ＋4 (2)a 2－12ab ＋36b 2 (3)25x 2＋10xy ＋y 2(4)16a 4＋8a 2＋1 (5) (m ＋n)2－4(m ＋n)＋4 (6) 16a 4－8a 2＋1（7）249114x x --例1：计算下列各题1、2)(y x +2、2)23(y x -3、2)21(b a +4、2)12(--t5、2)313(c ab +- 6、2)2332(y x + 7、2)121(-x 8、(0.02x+0.1y)2 例2：利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972 （3）982 （4）2032例3：（1）若22)2(4+=++x k x x ，求k 值。
平方差完全平方公式
【知识点】一、平方差公式：（a+b ）(a-b)=a 2-b 2两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。
1、即：（a+b ）(a-b) = 相同符号项的平方 - 相反符号项的平方2、平方差公式可以逆用，即：a 2-b 2=（a+b ）(a-b)。
3、能否运用平方差公式的判定①有两数和与两数差的积 即：（a+b ）(a-b)或（a+b ）(b-a) ②有两数和的相反数与两数差的积 即：（-a-b ）(a-b)或（a+b ）(b-a) ③有两数的平方差 即：a 2-b 2 或-b 2+a 2二、完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
1、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2=(a+b)2a 2-2ab+b 2=(a-b)22、能否运用完全平方式的判定 ①有两数和（或差）的平方即：(a+b)2或 (a-b)2或 (-a-b)2或 (-a+b)2②有两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。
即：a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2或-a 2-2ab-b 2或 -a 2+2ab-b 2探索练习：1、计算下列各式： （1）()()22-+x x （2）()()a a 3131-+ （3）()()y x y x 55-+2、观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？3、猜一猜：()()=-+b a b a －平方差公式1、平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即22))((b a b a b a -=-+。
2、其结构特征是：①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数； ②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。
随堂练习：1、下列各式中哪些可以运用平方差公式计算 （1）()()c a b a -+ （2）()()x y y x +-+ （3）()()ab x x ab ---33 （4）()()n m n m +--2、判断：（1）()()22422b a a b b a -=-+ （ ） （2）1211211212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+x x x （ ） （3）()()22933y x y x y x -=+-- （ ）（4）()()22422y x y x y x -=+--- （ ） （5）()()6322-=-+a a a （ ） （6）()()933-=-+xy y x （ ）3、计算下列各式：（1）()()b a b a 7474+- （2）()()n m n m ---22 （3）()()33221221--+-+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x4、填空：（1）()()=-+y x y x 3232 （2）()()116142-=-aa（3）()949137122-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a ab （4）()()229432y x y x -=-+5、求()()()22y x y x y x +-+的值，其中2,5==y x6、计算：（1）()()c b a c b a --+- （2）()()()()()42212122224++---+-x x x x x x【例】运用平方差公式计算：102×98； 59.8×60.2；运用平方差公式计算：完全平方公式探索：一块边长为a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加b 米，形成四块实验田，以种植不同的新品种。
平方差公式和完全平方公式
平方差公式和完全平方公式平方差公式是数学中一条重要的公式，也是学习平方差的基础。
它可以帮助我们快速计算两个数的平方差，而不必一个一个去计算。
完全平方公式是数学中求解一元二次方程的方法之一，它可以帮助我们快速找到方程的解。
下面将详细介绍这两个公式。
一、平方差公式设两个数分别为a和b，它们的平方差可以表示为(a+b)(a-b)。
我们可以通过拆分(a+b)(a-b)来计算平方差。
拆分后得到的是一个差式，可以简化计算。
例如，计算25的平方差时，我们可以使用平方差公式：(25+5)(25-5)=30×20=600。
同样地，计算8的平方差时，使用平方差公式：(8+2)(8-2)=10×6=60。
通过平方差公式，我们可以快速准确地计算两个数的平方差。
二、完全平方公式完全平方公式是一种用来求解一元二次方程的方法。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。
完全平方公式是由求解一元二次方程的根的公式推导而来。
若一元二次方程ax^2 + bx + c = 0有实数根，那么根可以表示为一个平方数。
利用完全平方公式，可以直接找到方程的解。
完全平方公式的表达式为：x = (-b ± √(b^2-4ac)) / (2a)利用完全平方公式，我们可以求解一元二次方程的根。
例如，对于方程x^2-2x-3=0，我们可以直接套用完全平方公式：x=(-(-2)±√((-2)^2-4×1×(-3)))/(2×1)化简得：x=(2±√(4+12))/2即：x=(2±√16)/2化简得：x=(2±4)/2分别计算得到两个根：x1=(2+4)/2=6/2=3x2=(2-4)/2=-2/2=-1通过完全平方公式，我们可以直接得到方程的根。
总结：平方差公式和完全平方公式是数学中重要的计算工具，它们可以帮助我们快速计算平方差和求解一元二次方程。
完全平方差公式例题
完全平方差公式例题完全平方差公式，这可是咱们数学学习中的一个重要家伙！先来说说啥是完全平方差公式。
它呀，就是$(a - b)^2 = a^2 - 2ab +b^2$。
看起来挺简单，但是用起来可得小心别出错哦！我给大家举个例子吧。
比如说，有一道题是这样的：已知$(x - 5)^2 = 9$，求$x$的值。
那咱们就得先把左边展开，也就是$x^2 - 10x + 25 =9$。
然后移项，得到$x^2 - 10x + 16 = 0$。
接下来用因式分解，就是$(x - 2)(x - 8) = 0$，所以$x = 2$或者$x = 8$。
咱们再看一个例子。
计算$(3m - 4n)^2$，那就是$9m^2 - 24mn +16n^2$。
这道题很直接，就是直接套用公式。
我还记得之前有个学生，在做完全平方差公式的作业时，老是出错。
我就问他：“你咋就迷糊了呢？”他愁眉苦脸地跟我说：“老师，我一看到这些字母和数字，脑子就乱了。
”我笑着跟他说：“别着急，咱们慢慢来。
你就把$a$和$b$当成你喜欢的苹果和香蕉，这样是不是感觉亲切点？”他听了之后，还真的开始认真思考起来。
后来经过反复练习，他终于掌握了这个公式，看到他开心的样子，我也觉得特别有成就感。
再比如说，让咱们化简$(2x - y)^2 - (x + 2y)^2$。
这时候就得分别展开，变成$4x^2 - 4xy + y^2 - (x^2 + 4xy + 4y^2)$，然后去括号，合并同类项，最后得到$3x^2 - 8xy - 3y^2$。
咱们做这类题的时候，一定要仔细，注意符号别搞错。
还有就是展开的时候，每一项都要照顾到，别落下了。
完全平方差公式在解决实际问题中也很有用哦！比如说，一个正方形的边长增加了$3$厘米，面积就增加了$39$平方厘米，求原来正方形的边长。
咱们就可以设原来正方形的边长为$x$厘米，那么根据题意，$(x + 3)^2 - x^2 = 39$，展开解方程就能求出原来正方形的边长啦。
83完全平方公式与平方差公式
83完全平方公式与平方差公式完全平方公式和平方差公式是数学中常用的公式，这些公式广泛应用于代数和几何中。
下面将详细介绍这些公式。
一、完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式可以表示为一个完全平方加上或减去一个常数。
完全平方公式具体表示如下：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²这里，a和b都是实数，可以是任意实数。
利用完全平方公式，我们可以将一个二次多项式转化为一个完全平方。
例如，对于多项式x²+6x+9，我们可以看到其中的前两项x²和6x分别是完全平方公式的两个完全平方项，而最后一项9是一个常数。
因此，我们可以将该多项式表示为(x+3)²。
完全平方公式的应用非常广泛。
在代数中，我们经常需要将一个二次多项式写成一个完全平方的形式，这样可以更方便地进行计算和分析。
在几何中，完全平方公式可以用来推导出平方和的展开式，从而研究图形的性质。
平方差公式是指一个二次多项式可以表示为两个完全平方的差。
平方差公式具体表示如下：a²-b²=(a+b)(a-b)这里，a和b都是实数，可以是任意实数。
平方差公式表示了一个平方数与另一个平方数的差的关系。
利用平方差公式，我们可以将一个二次多项式转化为两个完全平方的乘积。
例如，对于多项式x²-9，我们可以将其表示为(x+3)(x-3)。
平方差公式的应用也非常广泛。
在代数中，平方差公式可以帮助我们简化和分解二次多项式，从而更方便地进行计算和分析。
在几何中，平方差公式可以用来推导出平方差和的展开式，从而研究图形的性质。
总结：完全平方公式和平方差公式都是数学中常用的公式。
完全平方公式将一个二次多项式表示为一个完全平方加上或减去一个常数，而平方差公式将一个二次多项式表示为两个完全平方的差。
利用这些公式，在代数和几何中可以更方便地计算和分析各种问题，推导出各种展开式，研究各种图形的性质。
八年级上数学人教版《 平方差公式、完全平方公式》笔记
《平方差公式、完全平方公式》笔记
一、平方差公式
1.公式描述：两数和乘两数差，等于两数平方差。
2.公式结构：(a+b)(a−b)=a2−b2
3.公式说明：此公式是整式乘法中的重要公式之一，它适用于任何具有此结
构的式子，可以简化计算。
4.公式应用：在解决数学问题时，此公式可以用于计算两数之和与两数之差
的积，也可以用于分解因式和求值。
二、完全平方公式
1.公式描述：首平方又末平方，二倍首末在中央；和的平方加再加，先减后
加差平方。
2.公式结构：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a−b)2=a2−2ab+b2
3.公式说明：此公式是整式乘法中的另一个重要公式，它适用于任何具有此
结构的式子，可以简化计算。
4.公式应用：在解决数学问题时，此公式可以用于计算一个数的平方加上或
减去两倍的此数与另一数的积再加上或减去两倍的此数的平方，也可以用于分解因式和求值。
三、注意事项
1.在使用公式时要注意公式的结构以及字母的含义，避免出现错误。
2.在进行计算时要注意运算顺序和符号，确保计算结果的准确性。
3.在解决实际问题时要注意公式的应用范围和限制条件，避免出现错误的应
用。
三次平方差公式和完全平方公式
三次平方差公式和完全平方公式三次平方差公式是指一个完全立方数与另一个完全立方数之差可以表示为一个完全平方数。
具体来说，三次平方差公式可以表示为：
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
其中，a和b为任意实数。
完全平方公式是指一个整数的平方可以表示为两个连续自然数之差。
具体来说，完全平方公式可以表示为：
n^2 = (n + 1) - (n - 1)
其中，n为任意整数。
拓展部分：
除了上面提到的三次平方差公式和完全平方公式之外，还有其他一些数学公式和恒等式可以用于拓展。
例如：
-完全立方公式：(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
-平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
-平方和公式：a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab
-二次平方差公式：a^4 - b^4 = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2)
-奇数完全平方公式：奇数的平方可以表示为奇数之和(n为奇数)。
这些公式和恒等式在数学运算和解题过程中起到了重要的作用，
能够简化计算，推导结论等。
完全平方公式和平方差公式综合应用
完全平方公式和平方差公式综合应用对于任意实数a和b，有(a+b)² = a² + 2ab + b²。
平方差公式如下：对于任意实数a和b，有(a-b)² = a² - 2ab + b²。
一、应用问题1：求解方程2x²+8x+8=0。
解析：我们可以将方程进行变形，以便使用完全平方公式。
首先，将方程两边同时减去8，得到：2x²+8x=-8再将方程两边同时除以2，得到：x²+4x=-4观察到该方程中，系数b等于4，我们可以看到b的两倍是4*2=8、因此，我们可以使用完全平方公式。
根据完全平方公式，我们知道这个方程可以写成：(x+2)²=-4+4=0由此可得x+2=±√0x=-2±√0由于根号0等于0，所以x=-2为方程的唯一实数解。
二、应用问题2：求证正整数(n+1)³-n³-1是一个完全平方数。
解析：我们需要证明的是(n+1)³-n³-1是一个完全平方数，即证明存在一个整数x，使得：(n+1)³-n³-1=x²通过平方差公式，我们可以简化上式为：(n+1)³-n³-1=(3n²+3n+1)=(n+1)²因此，我们可以看出，(3n²+3n+1)是一个完全平方数。
三、应用问题3：Rectangle1的长是Square1的边长的2倍，它们的面积相差180平方米。
如果将Square1的边长减少2米，而Rectangle1的长增加5米，则两个图形的面积相等。
求Rectangle1和Square1的边长。
解析：设Square1的边长为x，则Rectangle1的长为2x。
根据题意，可列方程：(2x)^2-x^2=180（相差180平方米）(2x-2)^2=(x+5)^2（面积相等）通过求解上述方程组，我们可以得到Square1的边长为10米，Rectangle1的长为20米。
完全平方差公式的由来
完全平方差公式的由来
毕达哥拉斯的定理是：直角三角形斜边的平方等于两条直角边平方和。
即c²=a²+b²。
从毕达哥拉斯定理出发，我们可以进行一些数学推导以得到完全平方
差公式。
首先，将毕达哥拉斯定理稍作转换：c²-a²=b²。
将上式两边同时开平方根，得到√(c²-a²)=√b²。
再进行进一步的化简操作：√(c²-a²)=b。
右边的√b²可以进一步化简为b，得到√(c²-a²)=b。
接下来，我们对右边进行平方，得到(c²-a²)=b²。
将表达式进行一下调整，得到c²-a²=b²。
此时我们可以将原先的c和a更名为x和y，得到x²-y²=b²。
再将上式中的x和y分别用a和b代替，得到a²-b²=b²。
最后，我们将上式中的b²移动到等式右边，得到a²-b²=(a+b)(a-b)。
至此，我们便推导出了完全平方差公式。
总之，完全平方差公式的由来可以追溯到毕达哥拉斯的定理，通过数
学推导和变形，我们得到了现在所使用的完全平方差公式。
这个公式在数
学中的应用十分重要，为我们解决各种问题提供了便捷和简化的方式。
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2 2 2 (a+b) 【总结】(1)式子表示:a +2ab+b =______,
a2-2ab+b2=______ (a-b)2 . (2)语言叙述：两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的_________ 积的 2倍 ，等于这两个数的
_______________ . 和(或差)的平方
题组一：完全平方式 1.(2012·南通中考)已知x2+16x+k是完全平 方式，则常数k等于( A ) A.64 B.48 C.32 D.16 2.下列各式能用完全平方公式进行分解因式 的是( D ) A.x2+1 B.x2+2x-1 C.x2+x+1 D.x2+4x+4
5.已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足 a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断△ABC的形状， 并说明理由. 【解析】△ABC为等边三角形. 理由：∵a2+b2+c2-ab-ac-bc=0, ∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0. ∴(a2-2ab+b2)+(a2-2ac+c2)+(b2-2bc+c2)=0. ∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0. ∴a-b=0,a-c=0,b-c=0. ∴a=b=c，即△ABC是等边三角形.
完全平方公式:
(a+b)2 =a2+2ab+b2
2 (a-b)
=a2-2ab+b2
两个数的和（或差）的平方，等于它
们的平方和，加上（或减去）它们的积的2
倍.
公式的特点： 1.积为二次三项式；
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
2.其中两项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的2倍，且与左边乘式中 间的符号相同.
首平方，尾平方，积的2倍在中央 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和 多项式.
【例1】运用完全平方公式计算： (1)(x+2y)2
解：原式=x2 +2x·2y+(2y)2 = x2 +4xy+4y2
（2）(7x-5y)2 解：原式=（7x）2 +2·7x·5y+(5y)2 = 49x2 +70xy+25y2
3.在x2+2xy+y2,-x2y2+2xy,x2+xy+y2,4x2+1+4x 中，能用完全平方公式的个数是( C ) A.1 B.2 C.3 D.4
4.若(a+b)2+m(a+b)+4是完全平方式，则 4或-4 m=______. 【解析】∵4=22,∴m(a+b)=〒2〓2〓(a+b), ∴m=4或-4.
)
【解析】选D.原式=m(x2-6x+9)=m(x-3)2.
题组二：利用完全平方公式分解因式 1.分解因式(x-1)2-2(x-1)+1的结果是( D ) A.(x-1)(x-2) B.x2 C.(x+1)2 D.(x-2)2 ∴(x-1)2-2(x-1)+1=［(x-1)-1］2=列结果中正确的是( A.m(x+3)2 C.m(x-4)2 B.m(x+3)(x-3) D.m(x-3)2
练习：1032 解：原式=(100+3)2 =1002+2〓100〓3+32 =10 000+600+9 =10 609
1.（宁波·中考）若x+y=3,xy=1,则
7 x y _____.
2 2
x y (x y)
2 2
2
2xy 3 2 7.
2
2.化简（x+1)2+2(1-x)-x2. 解：原式=x2+2x+1+2-2x-x2 =3.
2.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2 解原式 =36a2+60ab+25b2 (2) (4x-3y)2 解：原式 =16x2-24xy+9y2
(3) (2m-1)2 解原式=4m2-4m+1
(4)(-2m-1)2 解原式=4m2+4m+1
【例2】运用完全平方公式计算: (1) 1022 解：原式 = (100 +2)2 = 1002 +2〓100〓2 + 22 = 10 000 +400 +4 = 10 404 (2) 992 解：原式 =(100 -1)2 = 1002 -2〓100〓1+12 = 10 000 - 200 + 1 = 9 801
3.计算：(1)(x+2y)2. (1) 原式=(x+2y)(x+2y) 解 = x2+2·x·2y+(2y)2 = x2+4y2+4xy. (2)(a+b+c)
2
解 原式= [(a+b)+c]2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2
= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
(1)3x=6,3y=7, 3x+y= 3x+y+1 = . (2)42014×(0.25) 2013=
. .
(3)( y x) ( x y) ( x y)
3 2
8
计算下列各式,你能发现什么规律? 2+2p+1 2 p (1)(p+1) =(p+1)(p+1) = _________; 2+4m+4 2 m (2)(m+2) = _________; 2-2p+1 2 p (3)(p-1) = (p-1)(p-1)=________; 2-4m+4 2 m (4)(m-2) = __________.