高中数学-二项分布与正态分布复习

A、B中至少有一个发生的事件为A UB；
A、B都发生的事件为A∩B；
A、B都不发生的事件为
；
A、B恰有一个发生的事件为
；
A、B中至多有一个发生的事件为
.
它们之间的概率关系如下表所示．
P(AU B) P(A∩ B)
P(
)
A、B互斥 P(A)＋P(B)
0 1－[P(A)＋P(B)]
A、B相互独立 1－
P(A)P(B)
P( P(
) )
P(A)＋P(B) 1
P(A)P( )＋P( )P(B) 1－P(A)P(B)
4. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝
，
k＝0,1,2，…，n，其中p是一次试验中该事件发生的概率．实际上，
正好是二项式[(1－p)＋p]n的展开式中的第k＋1项.
x0
1.2 1．3 1．4 1．9 2．0 2．1
0
1
2
3
4
0.884 9 0.886 9 0.888 0.890 7 0.892 5 0．903 2 0．904 9 0．906 6 0．908 2 0．909 9 0．919 2 0．920 7 0．922 2 0．923 6 0．925 1 0．971 3 0．971 9 0．972 6 0．973 2 0．973 8 0．977 2 0．977 8 0．978 3 0．978 8 0．979 3 0．982 1 0．982 6 0．983 0 0．983 4 0．983 8
( 本 题 满 分 12 分 )A 、 B 是 治 疗 同 一 种 疾 病 的 两 种 药 ， 用 若 干 试 验 组 进 行 对 比 试 验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗 效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试 验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为 ，服用B有效的概率为 . (1)求一个试验组为甲类组的概率； (2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.
＝0.287，恰有
2个坑需要补种的概率为
＝0.041，3个坑都需要补种的概率为
＝0.002.所以有坑需要补种的概率为0.287＋0.041＋0.002＝0.330.
变式2.甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都 为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响．求： (1)甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率； (2)甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率． 解答：(1)P1＝C0.6×0.4C0.6×0.4＝0.230 4. (2)P2＝1－(1－0.6)4＝0.974 4.
【答题模板】
解答：设每只小白鼠服用A有效的概率为P1＝ ，服用B有效的概率为P2＝ , 一个试验组为甲类组的概率为P(A)． (1)由已知条件：P(A)＝ ＝ (2)
【分析点评】
1. 独立事件同时发生的概率及独立重复试验是高考考查概率问题的重点．多以解答 题形式进行考查，难度多为中低档．
2．本题考查典型的独立重复试验问题，首先计算一次试验事件发生的概率P，然后 求三次独立重复试验中事件至少有一个发生的概率1－P3(0)＝1－ (1－P)3.
10.9 二项分布与正态分布
(了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模 型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题/利用实际问题的直方图， 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义)
1．相互独立事件的定义：设A，B为两个事件，如果P(A∩B)＝P(A)P(B)，则称 事件A与事件B相互独立．若A与B是相互独立事件，A与 ， 与B， 与 也相互独立．
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解法二：至少有1人击中包括3种情况：①1人击中；②2人击中；③3人都击中． ∵射击1次，∴以上3种情况互斥．∴敌机被击落的概率是： P＝
＝
变式1.在如右图所示的电路中，开关a，b，c开 或关的概率都为 ，且相互独立，求灯亮的概率．
解答：解法一：设事件A、B、C分别表示开关a，b，c关闭，则a，b同时关合或c 关合时灯亮，即A·B· ，A·B·C，或 ·B·C，A· ·C，
验．在这种试验中，每一次试验中只有两种结果，即某事件要么发生，要么 不发生，并且在任何一次试验中发生的概率都是一样的，牢记n次独立重复 试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式．
【例2】9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5. 若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都 没发芽，则这个坑需要补种． (1)求甲坑不需要补种的概率； (2)求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； (3)求有坑需要补种的概率．(精确到0.001)
概率的方法.
,其中,在实际应用中P(B|A)=
是一种重要的求条件
2．运用公式P(A∩B)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B 相互独立时，公式才成立．
3．在解题过程中，要明确事件中的“至少一个发生”、“至多有一个发生”、 “恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的意 义， 已知两个事件A、B，它们的概率分别为P(A)、P(B)，那么：
正态分布问题可利用变换公式转化为标准正态分布问题，标准正态分布可通过查 表(或提供的数据)进行求解． 正态分布有两个重要的参数，平均数(期望、数学期望)μ和标准差σ，我们不但要 明白μ和σ在统计上的意义，还要对应到正态曲线上的曲线几何意义，做到从概率、 统计、曲线、函数这四个方面来把握和理解，其中后两个方面是作为数学工具来 为前两个方面服务的．
解法二：设A，B，C所表示的事件与解法一相同，若灯不亮则两条线路都不通， 即c一定断开，a，b中至少有一个断开，而a，b中至少有一个断开的概率是： 1－P(A·B)＝1－P(A)·P(B)＝ . 所以两条线路皆不通的概率为： 于是，灯亮的概率为P＝
1. 独立重复试验是独立事件同时发生的特殊情况． 2．独立重复试验，是在相同的条件下重复地、各次相互独立地进行的一种试
5
0.894 4 0．911 5 0．926 5 0．974 4 0．979 8 0．984 2
6
0.896 2 0．913 1 0．927 8 0．975 0 0．980 3 0．984 6
7
0.898 0 0．914 7 0．929 2 0．975 6 0．980 8 0．985 0
8
0.899 7 0．916 2 0．930 6 0．976 2 0．981 2 0．985 4
解答：(1)因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝ ，
所以甲坑不需要补种的概率为1－
＝0.875.
(2)3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为
＝0.041.
(3)解法一：因为3个坑都不需要补种的概率为( )3，
所以有坑需要补种的概率为1－( )3＝0.330.
解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为
并称p为成功概率．
4．总体密度曲线：样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相 应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分
布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，这条曲线就是(或近似地是)下列函数的
图象：φμ，σ＝f(x)＝
，(－∞＜x＜＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参
2．独立重复试验的定义 在相同条件下做的n次试验称为n次独立重复试验．
3．独立重复试验的概率公式
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，如果在每次试验中
事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验，事件A恰好发生k次的概率
P(X＝k)＝
.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，
F(μ－2σ，μ＋2σ)＝F(μ＋2σ)－F(μ－2σ)＝0.954
F(μ－3σ，μ＋3σ)＝F(μ＋3σ)－F(μ－3σ)＝0.997
变式3.在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 N(70,100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名． (1)试问此次参赛学生总数约为多少人？ (2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少 分？可供查阅的(部分)标准正态分布表Φ(x0)＝P(x＜x0)
3．如果ξ～B
，则使P(ξ＝k)取最大值的k值为( )
A．3 B．4 C．5 D．3或4
解析：采取特殊值法．
∵P(ξ＝3)＝
，P(ξ＝4)＝
，P(ξ＝5)＝
从而易知P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)>P(ξ＝5)．
答案：D
4．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种该疫苗，至少有3 人出现发热反应的概率为________．(精确到0.01) 解析：由已知p＝0.80，则P5(3)＋P5(4)＋P5(5)＝0.94. 答案：0.94
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·C之一发生，又因它们是互斥的，所以，所求概率为： P＝P(A·B· )＋P( ·B·C)＋P(A·B·C)＋P(A· ·C)＋P( · ·C) ＝P(A)·P(B)·P( )＋P( )·P(B)·P(C)＋P(A)·P( )·P(C) ＋P( )·P( )·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C) ＝5×( )3＝
敌机被击落，求敌机被击落的概率．
解答：解法一：本题等价于至少有1人射中的概率．而至少有1人射中的对立事 件是3人都未射中．设A、B、C表示3人射击1次都击中的事件，则
表示3人射击都未击中的事件．而至少有一人射中的概率为P.
∴P(
)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝
则P＝1－P(
)＝
因此，参赛总人数约为
≈526(人)．
(2)假定设奖的分数线为x分，则
P(ξ≥x)＝1－P(ξ<x)＝1－F(90)＝1－Φ(
)＝
即Φ(
)＝0.904 9，查表得
≈1.31，
解得x＝83.1.故设奖得分数线约为83.1分.
＝0.095 1，
【方法规律】
1．古典概型中,A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)=
【例3】在N(μ，σ2)下，求F(μ－σ，μ＋σ)；F(μ－2σ，μ＋2σ)；
F(μ－3σ，μ＋3σ)．
解答：F(μ＋σ)＝Φ(
)＝Φ(1)＝0.841 3
F(μ－σ)＝Φ(
)＝Φ(－1)＝1－Φ(1)＝1－0.841 3＝0.158 7
F(μ－σ，μ＋σ)＝F(μ＋σ)－F(μ－σ)＝0.8413－0.1587＝0.682 6
9
0.901 5 0．917 7 0．931 9 0．976 7 0．981 7 0．985 7
解答：(2)设参赛学生的分数为ξ，因为ξ～N(70,100)，由条件知，P(ξ≥90)＝1－
P(ξ<90)＝1－F(90)＝1－Φ(
)
＝1－Φ(2)＝1－0.9772＝0.228.
这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，
1. 事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，常因为将它们弄混而 发生计算错误；两个相互独立事件不一定互斥即可能同时发生，而互斥事件 不可能同时发生．
2．再如三个事件两两独立，但三个条件不一定独立．
【例1】3名战士射击敌机，1人专射驾驶员，1人专射油箱，1人专射发动机，命中 的概率分别为 、 、 ，每个人射击是独立的，任1人射中，
数．我们称φμ，σ的图象为正态密度曲线．
5．正态分布：一般地，如果对于任何实数a<b，随机变量X满足P(a<X≤b)＝
φμ，σ(x)dx，则称X的分布为正态分布．记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正 态分布，则记为X～N(μ，σ2)
6．正态曲线的性质 (1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交． (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (3)曲线在x＝μ处达到峰值． (4)曲线与x轴之间的面积为1. (5)μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”， 总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中．
1．标准正态分布的平均数与标准差分别为( )
A．0与1
B．1与0
C．0与0
解析：由标准正态分布的定义知．
答案：A
D．1与1
2．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地摸球，用A1表示第一次摸 得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是( ) A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件 答案：D