图形在坐标中的平移知识讲解
数学用坐标表示平移
函数图像的平移
函数图像的平移
在函数图像中，平移可以改变图 像的位置，但不会改变图像的形 状和大小。通过平移，我们可以 更好地理解函数的性质和变化趋
势。
函数图像的对称性
平移可以与函数的对称性相结合， 例如通过平移奇函数或偶函数的 图像，可以更好地理解函数的对
称性质。
函数图像的周期性
在周期函数中，平移可以用于研 究函数的周期性和振幅变化，帮 助我们更好地理解函数的周期性。
平移解释物理现象
在物理现象的解释中，平移可以用来解释物体的运动轨迹 和速度变化的原因，例如在流体动力学中，平移可以用来 解释流体运动的轨迹和速度。
总结与展望
06
平移在数学中的重要地位
基础概念
平移是几何学中的基本概念，是研究图形变换和运动的基础。通过 坐标表示平移，可以更精确地描述图形的位置和方向变化。
数学用坐标表示平移
目录
• 引言 • 平移在坐标系中的表示 • 平移的数学表示 • 平移的性质和定理 • 平移的应用 • 总结与展望
引言
01
平移的定义
01
平移是图形在平面内沿某一方向 移动一定的距离，而不发生旋转 或翻转。
02
平移不改变图形的形状、大小和 方向，只改变其位置。
坐标系简介
坐标系是用来确定点 在平面上的位置的一 组数轴。
物理学
在物理学中，平移可以用于描述物体的位置和速度，特别 是在经典力学和电磁学中，平移是研究物体运动规律和相 互作用的基础。
计算机图形学
在计算机图形学中，平移是计算机图形处理的基础技术之 一，可以用于实现图像的平移、缩放、旋转等变换操作。
经济学
在经济学中，平移可以用于描述经济现象的变化趋势，如 市场供需关系的变化、经济增长率的变动等。
直角坐标系中的平移
课前检测
在平面内，把一个图形的整体沿某一直 线方向移动一定的距离，会得到一个新图形。
图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
2）图形平移的性质是什么？
新图形与原图形形状和大小完全相同。
对应点的连线平行且相等。
对应线段平行且相等。
对应角相等。
仔细观察，点A、 A1、 A2的位置与 坐标之间的关系，你发现了什么？
-5
-4
-3
-2
-1 0 -1-1
1
2 3 4x
不变，
-2-2
-3 -3
则有A1 (-2,3) ,B1 (-3,1) ,C1 (-5,2) 。 猜想: △ A1B1C1与△ABC的大小、 形状
和位置上有什么关系，为什么？
1.例题探索
如图， △ ABC三个顶点的坐标 A(4,3),B(3,1),C(1,2)
（4）将点A向左平移a(a>o)个单位长度得到点
An´，则 点An ´点的坐标是 （-2-a ，-3） ；
在坐标系中描出点A（-2，-3）并进行如下平移：
（1）将点A向上平移5个单位长度得到点A1，
则 点A1点的坐标是 （-2，2） ；
（2）将点A向上平移6个单位长度得到点A2，
则 点A2点的坐标是 （-2，3） ；
应点Ｐ的坐标应为（＿＿4，＿＿2＿.2＿）＿；
y４
Ｐ
●
３
２
４y
３
Ｐ
●
２
１
１
Ｏ １２ ３４ ５ －１
ⅹ
Ｏ １２ ３４ ５ －１
ⅹ
－２
－２
－３
－３
图１
图２
8、在直角坐标系中描出以下各点：
直角坐标系中平移的规则是什么
直角坐标系中平移的规则是什么直角坐标系是数学中常用的一种表示空间中点的方式。
在直角坐标系中，平移是一种基本的几何变换操作。
平移操作可以将一个点或者图形在平面上沿着指定的方向移动一定的距离，而保持其形状和大小不变。
本文将介绍直角坐标系中平移的规则和操作步骤。
平移规则在直角坐标系中，平移操作需要指定平移的向量，即平移的方向和距离。
平移的规则如下：1.平移方向：平移向量确定了平移的方向。
平移向量通常用箭头表示，在直角坐标系中指向欲平移的方向。
2.平移距离：平移距离指平移的长度，可以是一个具体的数值或者表示距离的符号。
3.平移操作：将待平移的点或者图形沿平移向量的方向移动指定的距离。
平移操作可以用数学语言表示为：P' = P + T其中，P’是平移后得到的新点，P是待平移的点，T是平移向量。
平移的操作步骤平移操作的步骤如下：1.确定平移向量：根据需要平移的方向和距离确定平移向量。
平移向量是一个有向线段，其起点为原点，终点为平移的终点。
2.确定待平移的点：在直角坐标系中确定需要进行平移操作的点的坐标。
3.进行平移操作：将待平移的点沿平移向量的方向移动指定的距离。
平移的距离可以是正数、负数或零，分别对应向前、向后或不动。
4.计算平移后的新点坐标：通过将平移向量的起点和移动后的待平移点相连，确定平移后得到的新坐标。
5.绘制新的图形：根据得到的新点坐标，绘制平移后的图形。
平移的例子下面通过一个简单的例子来演示直角坐标系中的平移操作。
假设在直角坐标系中，有一个点P的坐标为(2, 3)，我们希望将点P沿向量(1, 1)平移3个单位长度。
按照上述步骤进行平移操作：1.确定平移向量：平移向量为(1, 1)。
2.确定待平移的点：待平移点P的坐标为(2, 3)。
3.进行平移操作：将点P沿向量(1, 1)方向移动3个单位长度。
根据规则，x坐标增加一个单位，y坐标也增加一个单位。
所以，新的坐标为(2 + 1,3 + 1)，即(3, 4)。
图形在坐标中的平移(基础)知识讲解
图形在坐标中的平移（基础）知识讲解【学习目标】1. 能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的平移变换，掌握图形在平移过程中各点的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换.2. 运用点的坐标的变化规律来进行简单的平移作图.【要点梳理】要点一、点在坐标中的平移在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．要点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．要点二、图形在坐标中的平移在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．要点诠释：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.【典型例题】类型一、点在坐标中的平移1．写出下列各点平移后的点的坐标：（1）将A（-3，2）向右平移3个单位；（2）将B（1，-2）向左平移3个单位；（3）将C（4，7）向上平移2个单位；（4）将D（-1，2）向下平移1个单位．（5）将E（2，-3）先向右平移1个单位，再向下平移1个单位．【思路点拨】根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．即可得出平移后点的坐标．【答案与解析】解：由题意可得：（1）平移后点的坐标为：（0，2）；（2）平移后点的坐标为：（-2，-2）；（3）平移后点的坐标为：（4，9）；（4）平移后点的坐标为：（-1，1）；（6）平移后点的坐标为：（3，-4）．【总结升华】本题考查了点的平移及平移特征，掌握平移中点的变化规律是关键．2．（荆门）将点P向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到P′（-1，3），则点P 的坐标是．【思路点拨】在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，本题需注意的是已知新点的坐标，求原来点的坐标，注意平移的顺序的反过来的运用．【答案】（1，2）．【解析】新点P′的横坐标是-1，纵坐标是3，点P′向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到原来的点P，即点P的横坐标是-1+2=1，纵坐标为3-1=2．则点P的坐标是（1，2）．【总结升华】左右平移的单位数是平移后点的横坐标减去平移前对应点的横坐标，上下平移的单位数是平移后点的纵坐标减去对应平移前点的纵坐标．举一反三：【高清课堂：第二讲平面直角坐标系2 369935 练习4 】【变式1】已知：两点A（-4，2）、B（-2，-6），(1)线段AB的中点C坐标是；(2)若将线段AB沿x轴向右平移5个单位，得到线段A1B1，则A1点的坐标是 ,B1点的坐标是．(3)若将线段AB沿y轴向下平移3个单位，得到线段A2B2，则A2点的坐标是 ,B2点的坐标是．【答案】（1）(-3, -2)； (2)(1,2),(3,-6)； (3)(-4,-1),(-2,-9).【变式2】（2015•海安县校级二模）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，则点B的坐标是．【答案】（0，﹣3）．解：∵将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，∴点B的坐标是（﹣2+2，3﹣6），即（0，﹣3）．类型二、图形在坐标中的平移3.（2015春•邵阳县期末）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（﹣3，1），B（1，3）．把线段AB平移后得到线段A′B′，A与A′对应，B与B′对应．若点A′的坐标是（﹣1，﹣1），则点B′的坐标为．【思路点拨】各对应点之间的关系是横坐标加2，纵坐标减2，那么让点B的横坐标加2，纵坐标减2即为点B′的坐标．【答案】（3，1）．【解析】解：由A（﹣3，1）的对应点A′的坐标为（﹣1，﹣1 ），坐标的变化规律可知：各对应点之间的关系是横坐标加2，纵坐标减2，∴点B′的横坐标为1+2=3；纵坐标为3﹣2=1；即所求点B′的坐标为（3，1）．故答案为（3，1）．【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣平移，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律．举一反三：【变式】按要求平移下面的图形．（1）将图形①先向右平移3个格，再向下平移5个格．（2）将图形②先向左平移2个格，再向上平移3个格．【答案】解：作图如下：4. 如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(0，0)，B(6，0)，C(5，5)．(1)求△ABC的面积；(2)如果将△ABC向上平移1个单位长度，得△A1B1C1，再向右平移2个单位长度，得到△A2B2C2，试求A2、B2、C2的坐标；(3)△A2B2C2与△ABC的大小、形状有什么关系．【思路点拨】 (1)已知AB＝6，故只要求得C到x轴距离即可．(2)在平面直角坐标系中，将图形向右(或左)平移a个单位长度，那么图形的点(x，y)向右(或向左)平移a个单位长度，可得对应点(x+a，y)或(x-a，y)，将图形向上(或向下)平移b个单位长度，可得到对应点(x，y+b)或(x，y-b)．(3)可根据平移的性质进行分析和判断．【答案与解析】解：(1)点C到x轴的距离为5，所以11651522ABCS AB h==⨯⨯=△；(2)根据题意求出三角形A2B2C2各顶点的坐标为A2(2，1)，B2(8，1)，C2(7，6)；(3)连接A2B2C2三点可以看出△A2B2C2与△ABC的大小、形状相等或相同．【总结升华】平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．举一反三：【变式】如图，三角形DEF经过平移后得到三角形ABC，则点D坐标为，点E的坐标为．【答案】D（2,2），E（3，-2）．。
平移的知识点总结小学
平移的知识点总结小学
1. 平移的定义
平移是指将一个图形或物体沿直线方向移动一定的距离，不改变其形状、大小和方向，这
个直线方向可以是任意方向，平移是几何变换中最常用的一种。
在平面坐标系中，平移可
以用向量来描述，表示为（a，b），其中a和b分别表示在x轴和y轴上的平移距离。
平移变换可以用公式来表示：T(x, y) = (x + a, y + b)，其中T表示平移变换，(x, y)表示平
移前的坐标，(x + a, y + b)表示平移后的坐标。
2. 平移的性质
- 平移不改变图形的形状和大小
- 平移不改变图形的方向
- 平移后的图形与原图形的位置关系保持不变
3. 平移的应用
平移在日常生活和工作中有着广泛的应用，比如在地图上标注位置、设计中移动图案或图形、机械运动中的位移、电脑图像处理等都常常用到平移。
4. 平移的符号表示
在数学中，平移常常用符号来表示，记作T(a, b)，其中T表示平移的意思，(a, b)表示平
移的距离向量。
5. 注意事项
在进行平移时，需要注意一些事项，比如平移的方向、距离和位置关系等，保证平移后的
图形与原图形的位置关系保持不变。
总之，平移是几何学中一个非常基础的概念，它是其他几何变换的基础，如旋转、缩放等，通过学习和掌握平移的知识，可以更好地理解和应用几何学的相关知识。
平移知识点总结
平移知识点总结平移是数学中的一个基础概念，是指在坐标平面上将所有点沿着指定的方向和距离进行移动的操作。
在平移中，所有的点都按照相同的方式进行移动，保持它们之间的相对位置不变。
下面将对平移的相关知识点进行总结。
一、平移的定义和性质平移是指在平面上将所有点沿着指定的方向和距离进行移动的操作。
具体来说，对于平面上的一个点P，设平移向量为u，平移操作可以表示为P' = P + u，其中P'为P经过平移后的点。
平移具有以下性质：1. 平移不改变图形的大小和形状，只是改变了它们的位置。
2. 平移保持图形之间的相对位置不变，即直线上的点平移后仍保持直线上。
3. 平移操作是可逆的，即可以通过向相反的方向平移来恢复原始图形的位置。
二、平移的向量表示和运算在平移中，我们使用向量来表示平移的方向和距离。
平移向量通常用u表示，它有两个分量，即水平分量和垂直分量。
设平移向量为u = (a, b)，表示向右平移a个单位，向上平移b个单位。
那么平移点P(x, y)变为P'(x+a, y+b)。
在向量表示下，平移的运算可以转化为向量加法的形式，即P' = P+ u。
三、平移的坐标变换规律平移操作可以通过坐标变换规律来表示和计算。
设P(x, y)为初始点，P'(x', y')为平移后的点，则有以下坐标变换规律：1. x' = x + a，表示点的横坐标加上平移向量的水平分量。
2. y' = y + b，表示点的纵坐标加上平移向量的垂直分量。
根据这些坐标变换规律，我们可以快速计算出平移后的点的坐标。
四、平移的应用场景平移在几何学和数学中有广泛的应用，特别是在图形的移动和变换方面。
在平面几何中，平移可以用于平面图形的制作和变换。
将一个基础图形进行平移后，可以得到一些特定的图形，如正方形、长方形、菱形等。
在向量学中，平移被广泛应用于向量的运算和变换。
平移向量可以表示位移和速度等物理概念，并且用于解决向量方程和平衡力问题。
坐标平移的知识点总结
坐标平移的知识点总结一、坐标平移的定义在数学中，我们通常使用笛卡尔坐标系来表示平面上的点，其中x轴和y轴分别是水平方向和垂直方向。
对于平面上的任意一点P(x,y)，我们可以将它的坐标表示为一个有序数对(x,y)，其中x表示点P在x轴上的投影距离，y表示点P在y轴上的投影距离。
坐标平移是指将平面上的所有点按照相同的向量进行移动，即将点P(x,y)平移至P'(x',y')，其中x' = x + a，y' = y + b，(a,b)为平移向量。
通过坐标平移，所有的点都将按照相同的方向和距离进行移动，从而改变它们的位置。
坐标平移可以通过向量的加法来实现，即将每个点的坐标向量加上平移向量，从而得到平移后的新坐标。
二、坐标平移的性质1. 平移不改变点之间的距离和方向。
即经过平移变换后的点之间的距离和方向关系不变。
2. 平移不改变点的相对位置关系。
即对于平面上的任意两个点A和B，它们之间的距离、倾斜角等关系在进行平移变换后不改变。
3. 平移是可逆的。
即对于任意一个点P(x,y)，经过平移变换得到P'(x',y')，那么可以通过反向平移变换将P'(x',y')还原为P(x,y)。
4. 平移满足向量加法的性质。
即平移变换可以通过向量的加法来表示，满足结合律、交换律、单位元等性质。
5. 平移不改变点的轨迹。
即平面上的曲线、图形经过平移变换后，它们的轨迹关系不改变。
三、坐标平移的表示方法1. 向量表示法在向量表示法中，我们可以用向量来表示平移变换。
即平移向量(a,b)可以表示为一个有向线段，它的起点为原点O(0,0)，终点为点T(a,b)。
这样，对于任意一个点P(x,y)，它的平移后的新坐标可以表示为P'(x',y') = P(x,y) + (a,b)。
2. 矩阵表示法在矩阵表示法中，我们可以用矩阵来表示平移变换。
平移图形知识点总结
平移图形知识点总结
平移图形的知识点总结如下：
一、平移的定义
平移是指在平面上将一个点或者图形按照一定的规律，沿某一方向移动一定的距离，在新的位置上生成一个全等的点或者图形。
在平移过程中，原图像和平移后的图像是对应点全等，即它们的位置相对于一个向量发生了平移，而平移向量就是平移操作的规律。
二、平移的性质
1. 平移不改变图形的形状、面积和内角度。
2. 平移前后相应点的距离和方向都相等。
3. 平移可以叠加进行，即可以把一个形状分成若干个小的平移变换进行处理。
三、平移的表示方法
平移可以用向量表示。
假设原图形上的一个点的坐标为 (x, y)，平移向量为 (a, b)，那么平移后的新坐标为 (x+a, y+b)。
也可以通过平移规律和过程式处理的方法来表示。
四、平移的应用
1. 地图的制作：在地图上，我们经常会看到地图的不同部分是平行移动的。
2. 图案设计：在图案设计中，平移可以将一些图案进行重复生成，形成新的图案。
五、平移的实际案例
1. 旅游路线规划：旅行社需要根据客户的需求在地图上进行平移来规划旅游路线。
2. 工程设计：在工程设计中，常常需要对建筑布局进行平移操作，来确定建筑物的位置和空间布局。
总之，平移是几何学中的基本变换之一，它不改变图形的形状和大小，只是改变了图形的位置，因此在实际生活中有着广泛的应用。
了解平移的知识，可以帮助我们更好地理解空间运动和设计布局，对于学习数学和应用数学有着重要的意义。
图形在坐标系中的平移课件
平移的性 质
平移前后，图形上对 应点的距离保持不变。
平移过程中，图形上 各点移动的距离和方 向相同。
平移不改变图形的形 状和大小，只改变其 位置。
平移的分 类
水平平移
图形在水平方向上移动。
竖直平移
图形在竖直方向上移动。
斜向平移
图形在任意方向上移动。
02 图形在坐标系中的平移
点的平移
总结词
点的平移是指一个点在坐标系中沿着某一方向移动一定的距离。
图形在坐标系中的平移 课件
目录
Contents
• 平移的定义与性质 • 图形在坐标系中的平移 • 平移变换的应用 • 平移变换的数学表达 • 平移变换的物理意义
01 平移的定义与性质
平移的定 义
01
平移是图形在平面内沿某一方向 直线移动一定的距离，而不改变 图形的大小和形状。
02
平移不改变图形上点的坐标，只 是使图形在坐标系内移动。
05 平移变换的物理意义
力的作用效果
物体在力的作用下产生加速度， 在坐标系中表现为图形的平移。
力的方向决定了平移的方向， 力的大小决定了平移的距离。
当物体受到多个力的作用时， 其平移效果是各个力作用效果 的合成。
运动的合成与分解
平移变换是运动的一种形式，可 以通过运动的合成与分解来理解。
在平面坐标系中，平移变换可以 看作是物体在两个方向上的分运
详细描述
在二维坐标系中，如果一个点 $(x, y)$ 沿着 $x$ 轴正方向移动 $a$ 个单位，其 新坐标变为 $(x+a, y)$；如果沿着 $x$ 轴负方向移动 $a$ 个单位，其新坐标变 为 $(x-a, y)$。类似地，沿着 $y$ 轴移动的情况也类似。
平移知识点总结
平移知识点总结一、平移的定义与基本概念平移是指在平面内，将一个图形按照指定方向和距离移动到另一个位置上，而不改变该图形的形状和大小。
平移可以由一个向量来表示，这个向量称为平移向量，它包括了平移的方向和距离。
二、平移的性质1. 平移不改变图形的形状和大小，仅仅是改变其位置。
2. 平移是向量运算，平移向量和图形上的点相加即可得到平移后的点坐标。
3. 平移是可逆的，即进行相反方向的平移即可回到原来位置。
4. 平移操作保持了图形的对称性，即对称图形的平移后仍然是对称图形。
三、平移的步骤1. 确定平移向量，包括方向和距离。
2. 将图形上的点与平移向量相加，得到平移后的点坐标。
3. 重绘平移后的图形。
四、平移的应用1. 平面几何中，平移常用于构造相似图形和证明几何定理。
2. 平移也常被用于计算机图形学、计算机游戏等领域，通过平移操作可以实现图形的移动效果。
3. 平移在日常生活中也有广泛应用，比如我们常见的公交车站牌、路标等都是通过平移来制作的。
五、平移与其他几何变换的区别1. 旋转：旋转是围绕某个中心点进行的，而平移是沿着指定方向和距离进行的。
2. 缩放：缩放是改变图形的大小，而平移不改变图形的大小，仅改变位置。
3. 翻转：翻转是将图形按照某个轴进行对称，而平移仅改变图形的位置。
六、平移的练习题与解答1. 将点A(-2, 5)进行平移，平移向量为(3, -4)。
平移后的点坐标为：A'(-2+3, 5-4) = A'(1, 1)。
2. 平移一个三角形ABC，平移向量为(-1, 2)。
平移后的三角形坐标为：A'(-1-1, 2+2)，B'(-1-1, 2+4)，C'(-1-3,2+2)。
七、总结平移是几何学中常用的一种变换方式，通过平移可以实现图形的移动而不改变其形状和大小。
掌握了平移的基本概念、性质和步骤，我们可以更好地理解和运用平移知识，应用于解题和实际问题中。
无论是在数学学习中，还是在日常生活中，平移都具有重要的应用价值。
平移知识点总结
平移知识点总结在几何学中，平移是一种基本的图形变换操作，它将一个图形沿着特定方向和距离移动，而不改变其形状或大小。
平移操作常常用于解决几何问题和构建各种图形。
一、基础概念平移操作基于以下几个基础概念：1. 平移向量：平移向量是一个有大小和方向的向量，表示平移操作中的位移。
平移向量通常用箭头符号来表示，例如“→”。
2. 平移距离：平移距离指的是图形在平移操作中移动的距离，可以用长度单位表示，例如“2个单位”。
3. 平移方向：平移方向是指图形在平移操作中移动的方向，可以用箭头符号表示，例如“↑”表示向上平移。
二、平移规则平移操作遵循一些基本的规则：1. 平移向量和平移距离的关系：平移向量的大小和平移距离相等，但方向相反。
例如，如果平移向量是“→”，则平移距离为正数；如果平移向量是“←”，则平移距离为负数。
2. 平移方向与坐标轴的关系：平移方向与坐标轴之间存在一定的关系。
例如，在二维平面坐标系中，向右平移与正X轴方向平行，向上平移与正Y轴方向平行。
3. 平移次序：多个平移操作可以按照任意次序进行。
无论平移操作的次序如何，最终的结果都是相同的。
三、平移性质平移操作具有一些重要的性质：1. 保持平行性：平移操作不改变图形内部各点之间的相对位置关系，也就是说，平行的线段在平移后仍然保持平行。
2. 保持距离：平移操作不改变图形中任意两点之间的距离。
3. 保持形状和大小：平移操作不改变图形的形状和大小。
通过平移操作，图形可以在二维平面中任意位置移动，但仍然保持原始的形状和大小。
四、平移的应用平移操作广泛应用于几何学和图形构建中。
以下是一些常见的平移应用：1. 图形旋转和缩放：通过平移操作，可以将图形移动到指定的位置，然后进行旋转和缩放操作，从而构建各种复杂的图形。
2. 图形对称性：平移操作可以用于判断图形的对称性。
如果一个图形可以通过平移操作与自身重合，则说明该图形具有平移对称性。
3. 几何问题解决：平移操作可以用于解决各种几何问题，例如构建平行线段、判断线段是否相交等。
坐标系中的平移知识点总结
坐标系中的平移知识点总结平移的概念在平面直角坐标系中，每一个点都有唯一的坐标表示。
当一个点(x, y)按照向量(a, b)进行平移时，它的新的坐标为(x+a, y+b)。
也就是说，点在横坐标方向上移动a个单位，在纵坐标方向上移动b个单位。
平移的性质1. 保持距离和形状不变：进行平移时，图形的任意两点之间的距离和图形的形状都不会发生变化。
2. 保持面积和方向不变：进行平移时，图形的面积和方向也都不会发生改变。
3. 在平移中，所有的点都按照相同的向量进行移动。
这也是平移的一个重要性质，它说明了在进行平移时，每一个点都会按照同样的距离和方向进行移动，不会有偏差。
平移的表示方法平移可以用向量表示。
如果一个图形按照向量(a, b)进行平移，那么这个平移向量可以用箭头表示，它的长度和方向分别代表移动的距离和方向。
平移的应用平移在现实生活中有很多应用，比如地图的移动、航空飞行中的飞机位置调整、工程建筑中的构图调整等等。
在数学教学中，平移也是非常重要的，它可以帮助学生更好地理解几何图形的位置关系和空间变化，从而更好地理解数学知识。
平移的描述在数学中，我们可以用数学语言和符号描述平移。
如果一个点(x, y)按照向量(a, b)进行平移，那么它的新坐标为(x+a, y+b)。
同时，我们也可以用平移矩阵来描述平移的过程，平移矩阵的形式如下：\[\begin{pmatrix}1 & 0 & a\\0 & 1 & b\end{pmatrix}\]其中，a和b分别代表横向和纵向的平移距离。
通过平移矩阵，我们可以更方便地进行坐标系中图形的平移操作。
平移的组合和逆运算当两次平移操作进行时，它们的结果仍然是一个平移变换，这两次平移操作的结果可以用一个平移向量的和来表示。
两次平移操作的和就是这两次平移向量的和，它代表了两次平移操作的综合结果。
平移的逆运算，就是将图形按照平移向量的相反方向进行移动，使得原来的位置恢复。
四年级下册平移旋转和轴对称知识点
四年级下册平移旋转和轴对称知识点一、平移知识点解析：平移是指在同一平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
平移后的图形与原图形完全相同，只是位置发生了变化。
扩展内容：1.平移的方向和距离：平移不仅涉及到移动的方向，还涉及到移动的距离。
例如，一个图形向右平移5个单位，意味着图形中的每一个点都向右移动了5个单位。
2.平移与坐标：在坐标系中，平移可以通过改变图形的坐标来实现。
例如，一个点A(x, y)向右平移3个单位，其新的坐标变为(x+3, y)。
3.平移与日常生活：平移在日常生活中非常常见，如电梯的上下移动、火车在轨道上的直线行驶等。
二、旋转知识点解析：旋转是指图形绕某一点（旋转中心）转动一定的角度，这样的图形运动称为旋转。
旋转后的图形与原图形在形状和大小上完全相同，只是方向发生了变化。
扩展内容：1.旋转的中心和角度：旋转涉及到旋转中心和旋转角度。
例如，一个图形绕点O旋转90度，意味着图形中的每一个点都绕点O转动了90度。
2.旋转与坐标：在坐标系中，旋转可以通过旋转矩阵或极坐标来实现。
例如，一个点A(x, y)绕原点O逆时针旋转90度，其新的坐标变为(-y, x)。
3.旋转与日常生活：旋转在日常生活中也很常见，如门的开关、风扇的转动等。
三、轴对称知识点解析：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
扩展内容：1.对称轴的数量和位置：不同的图形可能有不同的对称轴数量和位置。
例如，正方形有4条对称轴（两条对角线和两条中垂线），而圆形有无数条对称轴（任何经过圆心的直线都是其对称轴）。
2.轴对称与日常生活：轴对称在日常生活中也很常见，如建筑物的对称设计、自然界中的对称现象（如蝴蝶的翅膀）等。
3.轴对称与美学：轴对称在艺术和美学中有着重要的地位，因为它能给人一种平衡、和谐的感觉。
通过对平移、旋转和轴对称的深入学习和理解，学生不仅可以掌握这些基本的图形变换方法，还可以将其应用于日常生活和实际问题中，进一步拓展其数学思维和解决问题的能力。
图形在坐标系中的平移(共12张PPT)
A1( 3,3 ),C1( 2,1 ) 1
1
( 4 )将点D( -1,2 )向下平移1个单位;
( 3 )写出图形中和坐标轴平行的线段;
在平面直角坐标系中,已知线段AB的两个端点分别是A( 4,-1 ),B( 1,1 ).
4.在平面直角坐标系中,已知线段AB的两个端点分别是A( 4,-1 ),B( 1,1 ).将 线段AB平移后得到线段A'B',若点A'的坐标为( -2,2 ),则点B'的坐标为 ( 5,4 ) .
第11章
图形在坐标系中的平移
-9-
12.一个三角形ABC的三个顶点坐标分别为A( 0,0 ),B( 3,0 ),C( 2,3 ). ( 1 )把三角形ABC向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到三角形A'B'C', 写出点A',B',C'的坐标.
( 2 )若三角形A″B″C″三个顶点坐标分别是A″( -2,-3 ),B″( 1,3 ),C″( 0,0 ),则三角形A″B″C″是由三角形ABC经过怎样的平移得到的?
A1( (2
)3(,4-(2),,-C421)(.)2求,2 出) 此图形的面积.
( 2,5 )
B.
向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度
( 2 )将三角形ABC向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到三角形A″B″C″.
( 3 )( 4,9 ).
解:( 1 )如图. 如图所示,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为( -1,3 ),( -4,1 ),( -2,1 ),将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1,点B的对应点B1的坐标是( 1,2 ),则点A1,C1的坐标分别是 ( A )
数学坐标平移知识点总结
数学坐标平移知识点总结一、基本概念1.1 坐标平移的定义在二维平面直角坐标系中，假设有一个点P(x,y)，若将点P沿着x轴方向平移a个单位，y轴方向平移b个单位，则新坐标为P'(x+a, y+b)。
这个过程就是坐标平移，其中(a, b)称为平移向量，通常记作T(a, b)。
坐标平移可以表述为：P'(x+a, y+b) = T(a, b) (x, y)1.2 坐标平移的表示坐标平移的表示方法有很多种，最常见的有向量表示和矩阵表示。
以向量表示为例，对于二维平面中的点P(x, y)，其平移向量为T(a, b)，则P' = P + T = (x+a, y+b)。
1.3 平移方向坐标平移的方向通常有水平方向和垂直方向平移两种。
水平方向平移是指点P沿着x轴平移，垂直方向平移是指点P沿着y轴平移。
1.4 平移距离坐标平移的距离由平移向量的两个分量a和b来确定，分别表示在x轴和y轴上的平移距离。
通常可以通过计算平移向量的模来确定平移的距离，即d = √(a^2 + b^2)。
1.5 坐标平移的例子下面以一个简单的例子来说明坐标平移的过程。
假设有点P(3,4)，要对其进行平移，平移向量为T(2,-1)。
那么根据坐标平移的定义，点P'的坐标为P'(3+2, 4-1) = (5, 3)。
这就是对点P进行平移后得到的新点P'的坐标。
二、性质2.1 坐标平移的性质坐标平移有一些基本的性质，其中最重要的是平移不改变图形的形状和大小。
这个性质直接来自于平移的定义，即只是将点在坐标系中的位置移动了，而没有改变其原来的位置关系。
2.2 平移向量的性质平移向量也有一些重要的性质，如平移向量的加法和数量乘法。
两个平移向量相加即是将两个平移向量的分量分别相加，数量乘法即是将平移向量的每个分量分别乘以一个常数。
这些性质使得平移向量在坐标平移中有着重要的作用。
2.3 平移和向量的关系平移向量和向量有着密切的关系。
平移知识点总结
平移知识点总结平移是几何学中的一种基本变换，它可以将一个图形沿着指定的方向和距离在平面上进行移动，而保持图形的形状和大小不变。
平移操作在日常生活和工作中都有广泛的应用，比如地图上的测量和标记、机器人的路径规划、图像处理等。
为了帮助大家更好地理解和掌握平移的相关知识，本文将对平移的定义、性质、公式以及实际应用进行总结和梳理。
一、平移的定义与性质平移是指将一个图形A中的所有点都沿着相同的方向和距离进行移动后得到的新图形B，移动前后的图形形状和大小保持不变。
在平移中，图形A被称为原图形，图形B被称为平移后的图形。
平移有以下几个性质：1. 平移是一种向量变换：平移可以看作是以某个向量为位移矢量，对原图形中的每一个点进行变换得到平移后的图形。
2. 平移保持图形的形状和大小不变：平移前后，图形A中的任意两点之间的距离和角度保持不变，即平移不影响图形的内部结构。
3. 平移是可逆的：对于任何一个平移变换，都存在一个反向的平移变换，即平移后再进行逆向平移，可以恢复到原来的位置。
二、平移的公式平移的向量表示公式如下：设向量OQ为移动的位移矢量，点P(x,y)为原图形中任意一点，点P'为平移后的点，则平移变换可以表示为：P' = P + OQ其中，向量P是原图形中的点P的坐标，向量P'是平移后点P'的坐标，OQ是位移向量。
三、平移的应用1. 几何图形的绘制：在平面几何中，平移常用于绘制图形，可以通过将已有的几何图形平移得到新的图形，从而构建更复杂的几何图形。
2. 地图测量与标记：在地理学和测绘学中，平移被广泛用于测量和标记地图中的各种要素，比如城市、道路、河流等。
通过平移操作，可以方便地确定两个地点之间的距离和方位角。
3. 机器人路径规划：在机器人领域，平移被用于路径规划和机器人的导航。
通过平移操作，机器人可以自主地在平面上移动，避开障碍物，找到最优路径。
4. 图像处理：在图像处理中，平移被广泛用于图像的平移和对齐。
坐标表示平移PPT课件
• 引言 • 平移的坐标表示 • 平移的数学模型 • 平移的物理意义 • 平移的应用实例 • 总结与展望
01
引言
平移的定义与性质
总结词
平移是图形在平面内沿某一方向移动一定的距离，但不改变其形状和大小。平移具有传 递性、周期性和向量性等性质。
详细描述
平移是图形在平面内的一种基本变换，它保持了图形的基本属性，如形状、大小和方向 等。平移具有传递性，即如果图形A经过平移得到图形B，图形B再经过平移得到图形C， 那么图形A经过平移也可以得到图形C。此外，平移还具有周期性和向量性，即图形可
三维平移的坐标表示
总结词
三维平移涉及三个方向的移动，需要使用三个平移向量来表示。
详细描述
在三维空间中，假设原点为 $O(x, y, z)$，平移后的点为 $P'(x', y', z')$，则三 个平移向量分别为 $Delta x = x' - x$、$Delta y = y' - y$ 和 $Delta z = z' z$。这些向量共同决定了三维空间中的平移。
06
总结与展望
平移的重要性和意义
平移是图形变换的一种基本形式，在几何学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。通过平移，我们可以对图形进行位置调 整、拼接、组合等操作，从而实现图形的变换和运动。
平移不仅在理论上有重要的研究价值，在实际应用中也具有广泛的意义。例如，在计算机图形学中，平移被广泛应用于图像 处理、动画制作、游戏开发等领域；在机械工程中，平移可以用于设计图纸的绘制和机械零件的定位；在物理学中，平移可 以描述物体的运动轨迹和速度方向。
以沿同一方向无限平移下去，且平移的距离可以表示为一个向量。
数学图形平移的知识点总结
数学图形平移的知识点总结数学图形平移是几何学中的一个重要概念，它是指将一个图形在平面上沿着某个方向和距离进行移动的操作。
平移操作可以改变图形的位置，但不改变其形状和大小。
平移是几何变换中最基础的一种，也是很多高级几何变换的基础。
在平移操作中，我们需要了解一些概念以及相关的性质和定理。
一、平移的定义和性质1. 平移的定义平移是指把一个图形完全移动到另外一个位置，使得每一个点都保持原位置和原来的距禈。
可以用向量来描述平移的过程，如果有一个向量（a，b），平移后的点P（x，y）的坐标为P’（x+a，y+b）。
2. 平移的性质① 平移不改变图形的形状和大小，只改变其位置；② 平移操作是可以叠加的，即若图形A经过平移得到了图形B，若再对图形B进行一次平移，则得到的图形和直接对图形A进行平移后得到的图形是一样的；③ 平移和原图形的面积、周长、角度等性质都是一样的；④ 平移是一个刚性变换，它保持了图形的相对位置和相似关系。
二、平移的表示方法1. 向量表示法平移可以用向量来表示。
给定向量AB（a，b），将点P（x，y）平移到点P’（x+a，y+b）。
2. 坐标表示法平移也可以用坐标表示法来描述。
对于平面上的一个图形，如果将每一个顶点（x，y）移动到（x+a，y+b），那么这就是图形的平移。
三、图形的平移与原图形的关系1. 图形的位置关系在平移中，我们需要了解图形和它的平移图形之间的位置关系。
平移后的图形和原图形相对位置并没有改变，只是位置发生了平移。
2. 平移图形的坐标平移图形的坐标可以通过原图形的坐标和平移向量来计算。
如果有一个向量（a，b），平移后的点P（x，y）的坐标为P’（x+a，y+b）。
3. 平移图形的面积、周长等平移不改变图形的形状和大小，平移后的图形和原图形具有相同的面积、周长和角度等性质。
四、平移的实际应用平移是几何变换中最基础的一种，也是很多高级几何变换的基础。
它在实际生活中有许多应用，比如地图上的标注、建筑设计、计算机图形学等方面。
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图形在坐标中的平移（提高）知识讲解
【学习目标】
1. 能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的平移变换，掌握图形在平移过程中各点的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换.
2. 运用点的坐标的变化规律来进行简单的平移作图.
【要点梳理】
要点一、点在用坐标中的平移
在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．
要点诠释：
（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；
（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；
（3）在坐标系内，平移点的坐标规律：沿x轴方向平移纵坐标不变,沿y轴方向平移横坐标不变．
要点二、图形在坐标中的平移
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
要点诠释：
（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．
（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.
【典型例题】
类型一、点在用坐标中的平移
1．（2016•藁城区校级模拟）在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A′，若点A′位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（）
A．m＜0，n＞0 B．m＜1，n＞﹣2 C．m＜0，n＜﹣2 D．m＜﹣2，m＞﹣4【思路点拨】根据点的平移规律可得向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到（m﹣1+3，n+2+2），再根据第二象限内点的坐标符号可得．
【答案与解析】
解：点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点A′（m+2，n+4），∵点A′位于第二象限，
∴，解得：m＜﹣2，n＞﹣4，故选D．
【总结升华】此题主要考查了点的坐标平移规律，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
2. 如果将点P（3，4）沿x轴方向平移2个单位，再沿y轴方向向下平移3个单位后的坐标是_______．
【答案】（1,1）或（5，1）
【解析】
解：直接利用平移中点的变化规律求解即可．由点P的平移规律可知，此题规律是（x-2，y-3），或（x+2,y-3）
照此规律计算可知平移后的点的坐标是（1，1）或（5,1）．
故答案填：（1，1）或（5,1）．
【总结升华】本题考查图形的平移变换．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．
平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
举一反三：
【变式】将点M向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到M′（-2，-3），则点M的坐标是_______．
【答案】（1，-1）．
类型二、图形在坐标中的平移
3.（2014•钦州）如图，△A′B′C′是△ABC经过某种变换后得到的图形，如果△ABC中有一点P的坐标为（a，2），那么变换后它的对应点Q的坐标为．
【思路点拨】根据对应点A、A′的坐标确定出平移规律为向右5个单位，向下4个单位，然后写出点Q的坐标即可．
【答案】（a+5，﹣2）．
【解析】解：由图可知，A（﹣4，3），A′（1，﹣1），
所以，平移规律为向右5个单位，向下4个单位，
∵P（a，2），
∴对应点Q的坐标为（a+5，﹣2）．
故答案为：（a+5，﹣2）．
【总结升华】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，观察图形得到变化规律是解题的关键．举一反三：
【变式】（2015•济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A 的对应点A1的坐标为（）
A.（4，3）
B.（2，4）
C.（3，1）
D.（2，5）
【答案】D．
解：由坐标系可得A（﹣2，6），将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，点A的对应点A1的坐标为（﹣2+4，6﹣1），
即（2，5），故选：D．
类型三、综合应用
【高清课堂：第一讲平面直角坐标系2 369935练习3】
4.在A市北300km处有B市，以A市为原点，东西方向的直线为x轴，南北方向的直线为y 轴，并以50km为1个单位建立平面直角坐标系．根据气象台预报，今年7号台风中心位置现在C(10，6)处，并以40千米/时的速度自东向西移动，台风影响范围半径为200km，问经几小时后，B市将受到台风影响?并画出示意图．
【思路点拨】当台风中心移动到距B点200千米时，B市将受到台风影响，从而求出台风中
心的移动距离，除以速度，即可求出所需时间．
【答案与解析】
解：∵台风影响范围半径为200km，
∴当台风中心移动到点（4，6）时，B市将受到台风的影响．
所用的时间为：50×（10-4）÷40=（小时）．
所以经过小时后，B市将受到台风的影响．
（注：图中的单位1表示50km）
【总结升华】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．
举一反三：
【变式】一长方形住宅小区长400m，宽300m，以长方形的对角线的交点为原点，过原点和较长边平行的直线为x轴，和较短边平行的直线为y轴，并取50m为1个单位．住宅小区内和附近有5处违章建筑，它们分别是A(3，3．5)，B(－2，2)，C(0，3．5)，D(－3，2)，E(－4，4)．在坐标系中标出这些违章建筑位置，并说明哪些在小区内，哪些不在小区内．
【答案】解：如图，
在小区内的违章建筑有B、D；不在小区内的违章建筑有A、E、C.。