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动点路径长专题(含标准答案)

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动点路径长专题(含答案)

动点路径长专题(含答案)

动点路径长专题一．选择题（共2小题）1．如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）A．B．C．D．图1 图22．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．二．填空题（共9小题）3．（2013•鄂尔多斯）如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接BP，过点A 作AM垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A时，则点M运动路径的长为_________．图3 图4 图54．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为_________．5．（2011•江西模拟）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，将它沿着箭头方向无滑动滚动到O′A′B′位置，①点O到O′的路径是OO1→O1O2→O2O′；②点O到O′的路径是→→；③点O在O1→O2段上运动路线是线段O1O2；④点O到O′的所经过的路径长为．以上命题正确的是_________．6．（2013•宁德）如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点D的路径长是_________．图6 图7 图87．如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是_________．8．（2013•湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是_________．9．（2013•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是_________．图9 图10 图1110．（2013•竹溪县模拟）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=1；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是_________．11．如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒AB的中点P运动的路径长为_________米．三．解答题（共1小题）12．（2012•义乌市模拟）如图，边长为4的等边△AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P 运动的时间是t秒．在点P的运动过程中，线段BP的中点为点E，将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60°得PC．（1）当点P运动到线段OA的中点时，点C的坐标为_________；（2）在点P从点O到点A的运动过程中，用含t的代数式表示点C的坐标；（3）在点P从点O到点A的运动过程中，求出点C所经过的路径长．《动点路径长专题》参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）A．B．C．D．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与直线x=的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度．解答：解：如图∵抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点，∴x2﹣x﹣=x﹣2，解得：x=1或x=，当x=1时，y=x﹣2=﹣1，当x=时，y=x﹣2=﹣，∴点A的坐标为（，﹣），点B的坐标为（1，﹣1），∵抛物线对称轴方程为：x=﹣=作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与对称轴（直线x=）的交点是E，与x轴的交点是F，∴BF=B′F，AE=A′E，∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，延长BB′，AA′相交于C，∴A′C=++（1﹣）=1，B′C=1+=，∴A′B′==．∴点P运动的总路径的长为．故选A．点评：此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用．2．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．考点：圆的综合题．专题：压轴题．分析：连接AC，AO，由AB⊥CD，利用垂径定理得到G为AB的中点，由中点的定义确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AO与OG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而确定出AB的长，由CO+GO求出CG的长，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在直角三角形ACG中，利用锐角三角函数定义求出∠ACG的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长，即可求出点F所经过的路径长．解答：解：连接AC，AO，∵AB⊥CD，∴G为AB的中点，即AG=BG=AB，∵⊙O的半径为4，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，∴OG=2，∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AG==2，∴AB=2AG=4，又∵CG=CO+GO=4+2=6，∴在Rt△AGC中，根据勾股定理得：AC==4，∵CF⊥AE，∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在Rt△ACG中，tan∠ACG==，∴∠ACG=30°，∴所对圆心角的度数为60°，∵直径AC=4，∴的长为=π，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为π．故选C．点评：此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，是解本题的关键．二．填空题（共9小题）3．（2013•鄂尔多斯）如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接BP，过点A作AM垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A时，则点M运动路径的长为．考点：一次函数综合题．分析：根据直线与两坐标轴交点坐标的特点可得A、B两点坐标，由题意可得点M的路径是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半径的，求出的长度即可．解答：解：∵AM垂直于直线BP，∴∠BMA=90°，∴点M的路径是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半径的，连接ON，∵直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，∴OA=OB=4，∴ON⊥AB，∴∠ONA=90°，∵AB==4，∴ON=2，∴=•2=．故答案为：π．点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了两坐标轴交点坐标及点的运动轨迹，难点在于根据∠BMC=90°，判断出点M的运动路径是解题的关键，同学们要注意培养自己解答综合题的能力．4．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为．考点：弧长的计算；全等三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心．专题：计算题．分析：如图，连OI，PI，AI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易证△OPI≌△OAI，得到∠AIO=∠PIO=135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO，可得∠APO=180°﹣135°=45°，得∠AOO=90°，O′O=OA=×2=，然后利用弧长公式计算弧OA的长．解答：解：如图，连OI，PI，AI，∵△OPH的内心为I，∴∠IOP=∠IOA，∠IPO=∠IPH，∴∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH），而PH⊥OA，即∠PHO=90°，∴∠PIO=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=180°﹣（180°﹣90°）=135°，又∵OP=OA，OI公共，而∠IOP=∠IOA，∴△OPI≌△OAI，∴∠AIO=∠PIO=135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO，∵∠AIO=135°，∴∠APO=180°﹣135°=45°，∴∠AOO=90°，而OA=2cm，∴O′O=OA=×2=，∴弧OA的长==（cm），所以内心I所经过的路径长为cm．故答案为：cm．点评：本题考查了弧长的计算公式：l=，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质．5．（2011•江西模拟）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，将它沿着箭头方向无滑动滚动到O′A′B′位置，①点O到O′的路径是OO1→O1O2→O2O′；②点O到O′的路径是→→；③点O在O1→O2段上运动路线是线段O1O2；④点O到O′的所经过的路径长为．以上命题正确的是．考点：旋转的性质；弧长的计算．分析：圆心O由O到O1的路径是以A为圆心，以OA为半径的圆弧；由O1到O2圆心所经过的路线是线段O1O2；由O2到O′，圆心经过的路径是：以B′为圆心，以O′B′为半径的圆弧．据此即可判断．解答：解：圆心O由O到O1的路径是以A为圆心，以OA为半径的圆弧；由O1到O2圆心所经过的路线是线段O1O2；由O2到O′，圆心经过的路径是：以B′为圆心，以O′B′为半径的圆弧．故正确的是：③④．故答案为：③④．点评：本题主要考查了图形的旋转，正确确定圆心O经过的路线是解决本题的关键．6．（2013•宁德）如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点D的路径长是．考点：翻折变换（折叠问题）；弧长的计算．分析：根据翻折变换的性质以及△ABC是等腰直角三角形判断出点D的路径是以点B为圆心，以BC的长为半径的扇形，然后利用弧长公式列式计算即可得解．解答：解：∵∠C=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，如图，点D的路径是以点B为圆心，以BC的长为半径的扇形，路径长==2π．故答案为：2π．点评：本题考查了翻折变换的性质，弧长的计算，判断出点D的路径是扇形是解题的关键．7．如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是．考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质．专题：压轴题．分析：分别延长AC、BD交于点H，易证四边形CPDH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹△HAB 的中位线MN，运用中位线的性质求出MN的长度即可．解答：解：如图，分别延长AC、BD交于点H，∵∠A=∠DPB=60°，∴AH∥PD，∵∠B=∠CPA=60°，∴BH∥PC，∴四边形CPDH为平行四边形，∴CD与HP互相平分．∵G为CD的中点，∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．∴MN=AB=5，即G的移动路径长为5．故答案为：5．点评：本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．8．（2013•湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）首先，需要证明线段B0B n就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB0B n∽△AON，求出线段B0B n的长度，即点B运动的路径长．解答：解：由题意可知，OM=，点N在直线y=﹣x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ON=OM=×=．如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为B n，连接B0B n．∵AO⊥AB0，AN⊥AB n，∴∠OAC=∠B0AB n，又∵AB0=AO•tan30°，AB n=AN•tan30°，∴AB0：AO=AB n：AN=tan30°，∴△AB0B n∽△AON，且相似比为tan30°，∴B0B n=ON•tan30°=×=．现在来证明线段B0B n就是点B运动的路径（或轨迹）．如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为B i，连接AP，AB i，B0B i．∵AO⊥AB0，AP⊥AB i，∴∠OAP=∠B0AB i，又∵AB0=AO•tan30°，AB i=AP•tan30°，∴AB0：AO=AB i：AP，∴△AB0B i∽△AOP，∴∠AB0B i=∠AOP．又∵△AB0B n∽△AON，∴∠AB0B n=∠AOP，∴∠AB0B i=∠AB0B n，∴点B i在线段B0B n上，即线段B0B n就是点B运动的路径（或轨迹）．综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0B n，其长度为．故答案为：．点评：本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B 运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．9．（2013•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是．考点：正方形的性质；轨迹．专题：压轴题．分析：根据正方形的性质以及勾股定理即可得出正方形对角线的长，进而得出线段O1O2中点G的运动路径的长．解答：解：如图所示：当P移动到C点以及D点时，得出G点移动路线是直线，利用正方形的性质即线段O1O2中点G的运动路径的长就是O2O″的长，∵线段AB=10，AC=BD=2，当P与C重合时，以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，∴AP=2，BP=8，则O1P=，O2P=4，∴O2P=O2B=4，当P′与D重合，则P′B=2，则AP′=8，∴O′P′=4，O″P′=，∴H′O″=BO″=，∴O2O″=4﹣=3．故答案为：3．点评：此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出G点移动的路线是解题关键．10．（2013•竹溪县模拟）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=1；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是．考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质．分析：分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可．解答：解：如图，分别延长AE、BF交于点H，∵∠A=∠FPB=60°，∴AH∥PF，∵∠B=∠EPA=60°，∴BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵G为EF的中点，∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．∵CD=10﹣1﹣1=8，∴MN=4，即G的移动路径长为4．故答案为：4．点评：本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．11．如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒AB的中点P运动的路径长为米．考点：勾股定理的应用；弧长的计算．专题：压轴题．分析：先根据三角函数求出∠BAC的度数，再根据直角三角形的性质得到∠ACP的度数，同理求出∠B′CP′的度数，可得∠PCP′的度数，再根据弧长的计算公式求解即可．解答：解：连接CP，CP′．∵∠ACB=90°，BC=1米，A′B=2米，∴∠BA′C=30°，∵P是木棒AB的中点，∴PC=PA=1米，∴∠PCA=30°，同理求出∠B′CP′=30°，则∠PCP′=30°，∴木棒AB的中点P运动的路径长为：×2π×1=米．故答案为：米．点评：考查了三角函数，直角三角形的性质和弧长的计算公式，木棒AB的中点P运动的路径为半径为1的扇形的弧长．三．解答题（共1小题）12．（2012•义乌市模拟）如图，边长为4的等边△AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．在点P的运动过程中，线段BP的中点为点E，将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60°得PC．（1）当点P运动到线段OA的中点时，点C的坐标为；（2）在点P从点O到点A的运动过程中，用含t的代数式表示点C的坐标；（3）在点P从点O到点A的运动过程中，求出点C所经过的路径长．考点：相似形综合题．分析：（1）过点作CD⊥x轴于点D，先由等边三角形的性质求出P点坐标及BP的长，故可得出PE的长，由图形旋转的性质求出PC=PE及∠CPD的度数，再由锐角三角函数的定义即可求出PD及CD的长，进而可得出结论；（2）过P作PD⊥OB于点D，过C作CF⊥PA于点F，在Rt△OPD中PD=OP•sin60°=，由相似三角形的判定定理得出△BPD∽△PCF，故可得出CF及PF的长，进而可得出C点坐标；（3）取OA的中点M，连接MC，由（2）得，，由锐角三角函数的定义得出∠CMF=30°，可知点C在直线MC上运动．故当点P在点O时，点C与点M重合．当点P运动到点A时，点C的坐标为（5，），由两点间的距离公式即可得出结论．解答：解：（1）如图1，过点作CD⊥x轴于点D，∵△AOB是等边三角形，P是OA的中点，∴P（2，0），BP=OB•sin60°=4×=2，∵E是BP的中点，∴PE=，∴PE=PC=，∵∠BPC=60°，∴∠CPA=30°，∴PD=PC•cos30°=×=，CD=PC•sin30°=×=，∴OD=OP+PD=2+=，∴C（，）；（2）如图2，过P作PD⊥OB于点D，过C作CF⊥PA于点F在Rt△OPD中PD=OP•sin60°=，∵∠OBP+∠OPB=∠CPF+∠OPB=120°∴∠DBP=∠FPC，∵∠PDB=∠CFP=90°∴△BPD∽△PCF，∴CF=，∴点C的坐标是（）；（3）取OA的中点M，连接MC，由（2）得，．∴∴∠CMF=30°．∴点C在直线MC上运动．当点P在点O 时，点C与点M重合．当点P运动到点A时，点C的坐标为∴点C 所经过的路径长为．点评：本题考查的是相似形综合题及旋转的性质、等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．11。

矩形的动点问题 含答案

矩形的动点问题 含答案

专题1.20矩形的动点问题（专项练习）一、解答题1．已知，在矩形ABCD 中，AB a =，BC b =，动点M 从点A 出发沿边AD 向点D 运动．如图，当2b a =，点M 运动到边AD 的中点时，请证明90BMC ∠=︒．2．如图，在矩形ABCD 中，20AB cm =，动点P 从点A 开始沿AB 边以4/cm s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CD 边以1/cm s 的速度运动，点P 和点Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动点的运动时间为ts ，则当t 为何值时，四边形APQD 时矩形？3．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上不与A 和D 重合的一个动点，过点P 分别作AC 和BD 的垂线，垂足为点E ，F ，求PE+PF 的值。

4．如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，PF BM ⊥，垂足分别为E 、F ，求点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 为正方形，并证明．5．如图，在矩形ABCD 中，点P 是BC 边上一动点，连接AP ，过点D 作DE AP ⊥于点E.设AP x =，DE y =，若6AB =，8BC =，试求y 与x 之间的函数关系式.6．如图，A 、B 、C 、D 是矩形的四个顶点，AB ＝32cm ，BC ＝12cm ，动点P 从点A 出发，以6cm/s 的速度向点B 运动，直到点B 为止；动点Q 向时从点C 出发，以4cm/s 的速度向点D 运动，何时点P 和点Q 之间的距离是20cm ？7．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AD 上一个动点，把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠，当点A 的对应点A 1恰好落在∠BCD 的平分线上时，求CA 1的长．8．如图，点M 是矩形ABCD 的边AD 的中点，点P 是BC 边上一动点，PE ⊥MC ，PF ⊥BM ，垂足为E 、F ．(1)当矩形ABCD 的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF 为矩形？猜想并证明你的结论．(2)在(1)中，当点P 运动到什么位置时，矩形PEMF 变为正方形，为什么？9．如图，矩形ABCD 中，5AD =，7AB =，点E 为DC 上一个动点，把ADE ∆沿AE 折叠，当点D 的对应点D ¢落在ABC ∠的平分线上时，求DE 的长．10．已知矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一个动点，点F 、G 、H 分别是BC 、BE 、CE 的中点．（1）求证：BGF FHC ∆≅∆．（2）若4=AD ，当四边形EGFH 是正方形时，求矩形ABCD 的面积．11．如图，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=7，点E 是AD 上一个动点，把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠，当点A 的对应点A '恰好落在∠BCD 的平分线上时，C A '的长为多少？12．已知矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一个动点，点F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点.求证：BGF FHC ∆≅∆；13．如图1，矩形ABCD 中，点E 是边AD 上动点，点F 是边BC 上动点，连接EF ，把矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点B 恰好落在边AD 上，记为点G ；如图2，把矩形展开铺平，连接BE ，FG.（1）判断四边形BEGF 的形状一定是，请证明你的结论；（2）若矩形边AB ＝4，BC ＝8，直接写出四边形BEGF 面积的最大值为．14．如图，E 是矩形ABCD 的边BC 的中点，P 是AD 边上一动点，PF AE ⊥，PH DE ⊥，垂足分别为F H ，．（1）当矩形ABCD 的边AD 与AB 满足什么条件时，四边形PHEF 是矩形？请予以证明；（2）在（1）中，动点P 运动到什么位置时，矩形PHEF 为正方形？为什么？15．如图，在矩形ABCD 中，M 是AD 的中点，连接BM 、CM ，点P 是BC 边上的动点，作PE MC ⊥于E 点，PF MB ⊥于F 点，当矩形的长与宽是什么关系时，四边形PEMF 是矩形？并证明．16．在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 是边BC 上一动点，连接AE ，将ABE △沿AE 翻折，点B 的对应点为点B '．（1）如图，设BE x =，3BC =，在点E 从B 点运动到C 点的过程中．①AB CB ''+最小值是______，此时x =______；②点B '的运动路径长为______．（2）如图，设35BE a =，当点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上时，求a 的值．17．如图，在矩形ABCD 中，AB =8cm ，BC =6cm ．动点P 、Q 分别从点A 、C 以2cm/s 的速度同时出发．动点P 沿AB 向终点B 运动，动点Q 沿CD 向终点D 运动，连结PQ 交对角线AC 于点O ．设点P 的运动时间为t （s ）．（1）求OC 的长．（2）当四边形APQD 是矩形时，直接写出t 的值．（3）当四边形APCQ 是菱形时，求t 的值．（4）当△APO 是等腰三角形时，直接写出t 的值．18．有一张矩形纸片ABCD ，其中10,6AB AD ==，现将矩形折叠，点D 的对应点记为点P ，折痕为EF （点E 、F 是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．（1）若点P 落在矩形ABCD 的边AB 上（如图1）．①当点P 与点A 重合时，DEF ∠=__________︒，当点E 与点A 重合时，DEF ∠=__________︒，当点F 与C 重合时，AP =__________；②若P 为AB 的中点时，求AE 的长；（2）若点P 落在矩形的外部（如图2），点F 与点C 重合，点E 在AD 上，线段BA 与线段FP 交于点M ，当AM DE =时，请求出线段AE 的长度．（3）若点E 为动点，点F 与点DC 的中点，直接写出线段AP 的最小值=__________．参考答案1．见解析.【分析】由b ＝2a ，点M 是AD 的中点，可得AB ＝AM ＝MD ＝DC ＝a ，又由四边形ABCD 是矩形，即可求得∠AMB ＝∠DMC ＝45°，则可求得∠BMC ＝90°．【详解】证明：∵b ＝2a ，点M 是AD 的中点，∴AB ＝AM ＝MD ＝DC ＝a ，又∵在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠AMB ＝∠DMC ＝45°，∴∠BMC ＝90°．【点拨】本题考查了矩形的性质以及等腰直角三角形的性质，求出∠AMB ＝∠DMC ＝45°是解题的关键．2．当4t s =时，四边形APQD 是矩形【分析】根据题意表示出AP=4t,DQ=20-t;根据菱形的对边相等,求出的值,即可解决问题.【详解】由题意得：4AP t =，20DQ t =-；∵四边形APQD 是矩形，∴AP DQ =，即420t t =-，解得：()4t s =．即当4t s =时，四边形APQD 是矩形．【点拨】本题主要考查矩形的判定与性质.3．PE+PF=125【解析】【分析】连接OP ，过点A 作AG ⊥BD 于G ，利用勾股定理列式求出BD ，再利用三角形的面积求出AG ，然后根据△AOD 的面积求出PE+PF=AG 即可．【详解】解：如图所示，连接OP ，过点A 作AG ⊥BD 于G ，∵AB=3，AD=4，∴BD=22345+=，S △ABD =12AB•AD=12BD•AG ，即12×3×4=12×5×AG ，解得：AG=125，在矩形ABCD 中，OA=OD ，∵S △AOD =12OA•PE+12OD•PF=12OD•AG ，∴PE+PF=AG=125．故PE+PF=125【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积；熟练掌握各性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．4．当P 是BC 的中点时，矩形PEMF 为正方形．【解析】【分析】根据矩形的相知和已知条件推出∠A=∠D=90°，AB=CD ，AM=DM ，求出∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，求出∠BMC=90°，即可求出矩形PEMF.根据AAS 证△BFP ≌△CEP ，推出PE=PF 即可.【详解】解：当P 是BC 的中点时，四边形PEMF 为正方形．理由如下：∵四边形ABCD 为矩形，∴90A D ∠=∠= ，∵22AD AB CD ==，12AM DM AD ==，∴AB AM DM CD ===，∴45ABM AMB ∠=∠= ，45DCM DMC ∠=∠= ，∴180454590BMC ∠=--= ，∵PE MC ⊥，PF BM ⊥，∴90MEP FPE ∠=∠= ，∴四边形PEMF 为矩形，∴90PFM PFB PEC ∠=∠=∠= ．在BFP 和CEP 中FBP ECP PFB PEC BP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BFP CEP AAS ≅ ，∴PE PF =，∵四边形PEMF 是矩形，∴矩形PEMF 是正方形，即当P 是BC 的中点时，矩形PEMF 为正方形．【点拨】本题主要考察对矩形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，熟练地运用性质进行推理是解此题的关键.5．48(610)y x x= .【解析】【分析】根据2APD ABCD AP DE S S ⋅==矩形△列出关系式，整理即可.【详解】连接PD ，则26848APD ABCD AP DE S S ⋅===⨯=矩形△，所以48xy =，故y 与x 之间的函数关系式为：48(610)y x x= .【点拨】本题考查了反比例函数的定义，根据2APD ABCD S S =矩形△列出关系式是解题关键.6．85s 或245s 【分析】设当t 秒时PQ ＝20cm ，利用勾股定理得出即可．【详解】设当时间为ts 时，点P 和点Q 之间的距离是20cm ，过点Q 作ON ⊥AB 于点N ，则QC ＝2tcm ，PN ＝（32﹣10t ）cm ，故122+（32﹣10t ）2＝400，解得：t 1＝85，t 2＝245．故当时间为85s 或245s 时，点P 和点Q 之间的距离是20cm ．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理和矩形的性质，能构造直角三角形是解此题的关键，用了方程思想．7．±1【分析】过点A 1作A 1M ⊥BC ，A 1N ⊥CD ，证明MA 1＝MC ，在△BMA 1中，运用勾股定理列出关于x的方程，求出x ，根据CA 1x ，即可解决问题．【详解】解：如图，过点A1作A1M⊥BC，A1N⊥CD；∵四边形ABCD为矩形，且CA1平分∠BCD，∴∠BCD＝90°，∠MCA1＝∠MA1C＝45°，∴△MA1C是等腰直角三角形，∴MA1＝MC，设MA1＝MC＝x，则BM＝4﹣x；由折叠的性质得：BA1＝BA＝3；在△BMA1中，由勾股定理得：x2+（4﹣x）2＝32，解得：x＝2±2 2，∴CA1x＝±1，∴CA1的长为±1．【点拨】本题考查矩形的翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、角平分线的性质等，灵活根据题意构造直角三角形运用勾股定理求解是解题关键．8．(1)当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形，理由见解析；(2)当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形，理由见解析【分析】(1)根据矩形的性质推出∠A=∠D=90°，AB=CD，AM=DM，求出∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，求出∠BMC，即可求出矩形PEMF．(2)根据AAS证△BFP≌△CEP，推出PE=PF即可．【详解】(1)当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，∵AD=2AB=2CD ，AM=DM=12AD ，∴AB=AM=DM=CD ，∴∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，∴∠BMC=180°-45°-45°=90°，∵PE ⊥MC ，PF ⊥BM ，∴∠MEP=∠FPE=90°，∴四边形PEMF 为矩形，即当AD=2AB 时，四边形PEMF 为矩形；(2)当P 是BC 的中点时，矩形PEMF 为正方形．理由是：∵四边形PEMF 为矩形，∴∠PFM=∠PFB=∠PEC=90°，在△BFP 和△CEP 中9045PFB PEC FBP ECP BP CP ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BFP ≌△CEP(AAS)，∴PE=PF ，∵四边形PEMF 是矩形，∴矩形PEMF 是正方形，即当P 是BC 的中点时，矩形PEMF 为正方形．【点拨】本题主要考查了矩形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．9．52或53【分析】过点D ¢作MN AB ⊥，交CD 于点N ，交AB 于点M ，连接BD '，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE ．【详解】如图，过点D ¢作MN AB ⊥，交CD 于点N ，交AB 于点M ，连接BD '．∵点D 的对应点D ¢恰落在ABC ∠的平分线上，∴D M BM '=，设BM D M x '==，则7AM x =-．由折叠知，5DA D A '==．在Rt D AM '∆中，222D M D A AM ''=-，∴2225(7)x x --=，∴3x =或4x =，即3D M '=或4D M '=．设DE m =，则D E m '=，分两种情况讨论：（1）当3D M '=时，3BM NC ==，2D N '=，734EN CD DE NC m m =--=--=-．在Rt D NE '∆中，222(4)2m m =-+，∴52m =，即52DE =．（2）当4D M '=时，4BM NC ==，1D N '=，743EN CD DE NC m m =--=--=-，在Rt D NE '∆中，222(3)1m m =-+，∴53m =，即53DE =．综上，DE 的长为52或53．【点拨】此题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解题关键在于作辅助线和分情况讨论.10．（1）见解析；（2）8．【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．【详解】解：（1）连接EF ，∵点F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点，∴FH ∥BE ，FH=12BE ，FH=BG ，∴∠CFH=∠CBG ，∵BF=CF ，∴△BGF ≌△FHC （SAS ），（2）当四边形EGFH 是正方形时，连接GH ，可得：EF ⊥GH 且EF=GH ，∵在△BEC 中，点，H 分别是BE ，CE 的中点，∴GH=12BC ＝12AD ＝2，且GH ∥BC ，∴EF ⊥BC ，∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB=EF=GH=2，∴矩形ABCD 的面积=AB•AD ＝2×4＝8．【点拨】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键是根据全等三角形的判定和正方形的性质解答．11．23或24【解析】试题分析：过点A’作A’M ⊥BC ，，A’N ⊥CM ，然后证得四边形A’MCN 是正方形，然后根据正方形的性质及勾股定理可求解．试题解析：解：过点A’作A’M ⊥BC ，，A’N ⊥CM ，∵∠BCD=90°，∴四边形A’MCN 是矩形，∵CA’平分∠BCD∴矩形A’MCN 是正方形∴A’M=CM ，A’M∴BM=BC-CM=7-A’M∵BA’=BA=5，∠BMA’=90°∴A’B²=BM²+A’M²即5²=（7-A’M）²+A’M²∴A’M=3或A’M=4∴A’C=32或A’C=42考点：折叠问题，矩形与正方形的性质12．详见解析【分析】根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；【详解】证明:解：连接EF，（1）∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，∴FH∥BE，FH=12BE，FH=BG，∴∠CFH=∠CBG，∵BF=CF，∴△BGF≌△FHC，【点拨】本题考查三角形中位线定理和全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握三角形中位线的性质定理.13．（1）四边形BEGF是菱形，证明见解析；（2）四边形BEGF面积的最大值为20.【分析】（1）由折叠的性质可得∠BFE＝∠EFG，BF＝FG，由平行线的性质可得∠DEF＝∠GFE＝∠EFB，可得EG＝FG＝BF，AD∥BC，可证四边形BEGF是菱形；（2）当EG最大时，四边形BEGF面积有最大值，由勾股定理可求EG的长，即可求解．【详解】（1）四边形BEGF 是菱形，∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC ，∴∠DEF ＝∠EFB ，∵把矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点B 恰好落在边AD 上，∴∠BFE ＝∠EFG ，BF ＝FG ，∴∠DEF ＝∠GFE ，∴EG ＝FG ，∴EG ＝BF ，且AD ∥BC ，∴四边形BEGF 是平行四边形，且BF ＝FG ，∴四边形BEGF 是菱形，（2）∵四边形BEGF 是菱形，∴BE ＝EG ，∵S 四边形BEGF ＝EG ×AB ＝4EG ，∴当EG 最大时，四边形BEGF 面积有最大值，当AE +EG ＝AD 时，EG 最大，∵AB 2+AE 2＝BE 2，∴2216()AD ED BE +=﹣，∴2216(8)BE BE +=﹣，∴BE ＝5＝EG ，∴四边形BEGF 面积的最大值＝4×5＝20.【点拨】本题考查了翻折变换，矩形的性质，由勾股定理求EG 的长是正确解答本题的关键.14．（1）当2=AD AB 时，四边形PHEF 是矩形；（2）点P 运动到AD 的中点时，矩形PHEF 为正方形．理由见解析.【解析】【分析】（1）当四边形PFEH 是矩形时，∠FEH=90°；易证得△ABE ≌△DCE ，则∠AEB=∠DEC=45°；那么△ABE 、△DCE 是等腰直角三角形，此时AB=BE=EC=CD ，故矩形ABCD 满足长是宽的2倍时，四边形PFEH 是矩形；（2）若矩形PHEF 是正方形，则PF=PH ，此时可证得△PAF ≌△PDH ，则AP=PD ，所以当P 为AD 中点时，矩形PHEF 变为正方形．【详解】（1）当2=AD AB 时，四边形PHEF 是矩形．证明如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC =，AB CD =．∵E 是BC 的中点，2=AD AB ，∴AB BE EC CD ===，∴ABE ∆，DCE ∆是等腰直角三角形，∴45AEB DEC ︒∠=∠=，90AED ︒=∠．在四边形PHEF 中，∵90PFE FEH EHP ︒∠=∠=∠=，∵四边形PHEF 是矩形．（2）点P 运动到AD 的中点时，矩形PHEF 为正方形．理由如下：由（1）可得45BAE CDE ︒∠=∠=，∴45FAP HDP ︒∠=∠=，又∵90AFP PHD ︒∠=∠=，AP PD =，∴AFP DHP ∆∆≌，∴PF PH =，∴矩形PHEF 是正方形．【点拨】此题考查矩形的判定与性质，正方形的判定，解题关键在于证明△ABE 、△DCE 是等腰直角三角形.15．证明见解析【分析】当长=宽的2倍的时候，根据4个角为直角即可证明四边形PEMF 是矩形．【详解】∵M 是AD 的中点，2AD AB=∴AM MD AB CD ===，∵矩形ABCD 中，90A D ∠=∠= ，∴45AMB DMC ∠=∠= ，∴180454590BMC ∠=--= ，∴36090909090EPF ∠=---=∴四边形PEMF 是矩形．【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握矩形的判定与性质.16．（1）①2，3；②23π；（2）53a =或3a =【分析】（1）①由题意，当点B '恰好在直线AC 上时，AB CB ''+有最小值，然后求出答案即可；②先证明点B '在以A 为圆心，1为半径的圆上，再求出2120BAB BAC '∠=∠=︒，然后根据弧长公式，即可求出答案；（2）分两种情况，①当点B '落在AD 边上时，四边形ABEB '为正方形，然后求出答案；②当点B '落在CD 边上时，证明CEB DB A '' △△，利用相似三角形的性质，即可求出答案．【详解】解：（1）①连接B C '，如图1，,由折叠的性质得：1AB AB '==，AB E B '∠=∠，∵四边形ABCD 是矩形，∴90AB E B '∠=∠=︒，∴B E AB ''⊥；当点B '恰好在直线AC 上时，AB CB ''+有最小值，∵2AB B C AC ''+====，∴12AB AC =，1B C '=，∴30ACB ∠=︒，AB B C ''=，∴903060BAC ∠=︒-︒=︒，AE CE =，∴30EAC ACB ∠=∠=︒，∴30BAE ∠=︒，∴3333BE AB ==；故答案为：2，3；②当点E 从B 到点C 的过程中，1AB '=，∴点B '在以A 为圆心，1为半径的圆上，由①知，60BAC ∠=︒，∴2120BAB BAC '∠=∠=︒，∴点B '的运动路径长为：120121803p p ´=；故答案为：23π；（2）当点B '落在AD 边上时（如图），四边形ABEB '为正方形，∴1BE AB ==，∴315a =，解得53a =；当点B '落在CD 边上时（如图），由折叠得'B E BE a ==，1AB AB '==∴25CE a =，21BD a '=-由CEB DB A '' △△得，∴CE DB B E AB '=''，2215315a a a -=，解得53a =±，∵0a >，∴53a =，∴53a =或53a =；【点拨】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、正方形的判定和性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、弧长公式等知识，熟练掌握所学的知识，正确进行分析题意是解题的关键．17．（1）5；（2）t =2；（3）258t =；（4）2516t =或52t =或4t =【分析】（1）根据矩形的性质以及勾股定理判定AOP ∆≌COQ ∆，即可得解；（2）根据题意判定当四边形APQD 是矩形时，P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，即可得解；（3）根据菱形的性质以及勾股定理的运用，构建一元二次方程，即可得解；（4）分情况：当AO=OP 时，当AO=AP 时，当AP=OP 时，求解即可.【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ∥．∴CQO APO ∠=∠，QCO PAO ∠=∠．在Rt △ABC 中，∠B =90°，由勾股定理，得10AC ==．∵2AP CQ t ==，∴AOP ∆≌COQ ∆．∴152CO AC ==．（2）当四边形APQD 是矩形时，P 、Q 分别为AB 、CD 的中点即2AP CQ t ===4t =2．（3）如图，当四边形APCQ 是菱形时，AP =CP =2t ．∴PB =8-2t ．在Rt △BCP 中，∠B =90°，由勾股定理，得222CP BP BC =+．∴222(2)(82)6t t =-+．解得258t =．当258t =时，四边形APCQ 是菱形．（4）当AO=OP 时，如图所示：∵AO=5∴P 运动到点B∴4t =；当AO=AP 时，∵AO=AP=5∴52t =；当AP=OP 时，由（2），得OH=3，AH=4∴PH=4-2t,OP=2t∴222OP OH PH =+，即()()2224342t t =+-∴2516t =综上所述，2516t =或52t =或4t =．【点拨】此题主要考查四边形动点综合问题，熟练掌握，即可解题.18．（1）①90°，45°，2；②1112；（2）127；（35【分析】（1）①分别根据图形，利用折叠的性质计算即可；②设AE =x ，利用折叠的性质表示出EP ，求出AP ，利用勾股定理列出方程，解之即可；（2）设AE =x ，证明Rt △AEM ≌Rt △PME ，得到AE =PM =x ，在Rt △B CM 中，利用勾股定理得到方程，求出x 值即可；（3）根据折叠的性质得到PF 为定值，得到当A ，P ，F 三点共线时，AP 最小，再求解即可．解：（1）①当点P 与点A 重合时，∴EF 是AD 的中垂线，∴∠DEF =90°，当点E 与点A 重合时，此时∠DEF =12∠DAB =45°，当点F 与C 重合时，CD =CP =AB =10，∵AD =BC =6，∴BP =8，∴AP =AB -BP =2；②如图，点P 为AB 中点，则AP =BP =5，由折叠可知：DE =EP ，DF =PF ，设AE =x ，则DE =EP =6-x ，在△AEP 中，222AE AP EP +=，即()22256x x +=-，解得：x =1112，即AE =1112；（2）连接EM，设AE=x，由折叠知PE=DE，∠CDB=∠EPM=90°，CD=CP=10，∵AM=DE，∠A=90°，EM=EM，∴Rt△AEM≌Rt△PME（HL），∴AE=PM=x，∴CM=10-x，BM=AB-AM=AB-DE=10-（6-x）=4+x，在Rt△B CM中，BM2+BC2=CM2，∴（4+x）2+62=（10-x）2，解得x=12 7．∴AE=12 7．（3）如图，∵F为CD中点，∴DF=CF=5，由折叠可知：DF=PF=5，即PF的长度不变，∴当A，P，F三点共线时，AP最小，∵AF，∴AP=AF-PF5，即AP5-．【点拨】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想．。

动点路径长专题(含答案)

动点路径长专题(含答案)

动点路径长专题(含答案)动点路径长专题一．选择题（共2小题）1．如图，抛物线y=x 2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（ ）A．B．C．D．图1 图22．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（ ）　A．B．C．D．二．填空题（共9小题）3．（2013•鄂尔多斯）如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接BP，过点A作AM 垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A时，则点M运动路径的长为　_________　．图3 图4 图54．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为　_________　．5．（2011•江西模拟）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，将它沿着箭头方向无滑动滚动到O′A′B′位置，①点O到O′的路径是OO1→O1O2→O2O′；②点O到O′的路径是→→；③点O在O1→O2段上运动路线是线段O1O2；④点O到O′的所经过的路径长为．以上命题正确的是　_________　．6．（2013•宁德）如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点D的路径长是　_________　．图6 图7图87．如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是　_________　．8．（2013•湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P 从点O运动到点N时，点B运动的路径长是　_________　．9．（2013•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P 是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是　_________　．图9 图10 图1110．（2013•竹溪县模拟）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=1；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是　_________　．11．如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒AB的中点P运动的路径长为　_________　米．三．解答题（共1小题）12．（2012•义乌市模拟）如图，边长为4的等边△AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．在点P的运动过程中，线段BP的中点为点E，将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60°得PC．（1）当点P 运动到线段OA 的中点时，点C 的坐标为　_________　；（2）在点P 从点O 到点A 的运动过程中，用含t 的代数式表示点C 的坐标；（3）在点P 从点O 到点A 的运动过程中，求出点C 所经过的路径长．《动点路径长专题》参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，抛物线y=x 2﹣x ﹣与直线y=x ﹣2交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），动点P从A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点B ．若使点P 运动的总路径最短，则点P 运动的总路径的长为（ ）　A ．B ．C ．D．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：首先根据题意求得点A 与B 的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A 关于抛物线的对称轴x=的对称点A ′，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接A ′B ′，则直线A ′B ′与直线x=的交点是E ，与x 轴的交点是F ，而且易得A ′B ′即是所求的长度．解答：解：如图∵抛物线y=x 2﹣x ﹣与直线y=x ﹣2交于A 、B 两点，∴x 2﹣x ﹣=x ﹣2，解得：x=1或x=，当x=1时，y=x ﹣2=﹣1，当x=时，y=x ﹣2=﹣，∴点A 的坐标为（，﹣），点B 的坐标为（1，﹣1），∵抛物线对称轴方程为：x=﹣=作点A 关于抛物线的对称轴x=的对称点A ′，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接A ′B ′，则直线A ′B ′与对称轴（直线x=）的交点是E ，与x 轴的交点是F ，∴BF=B ′F ，AE=A ′E ，∴点P 运动的最短总路径是AE+EF+FB=A ′E+EF+FB ′=A ′B ′，延长BB ′，AA ′相交于C ，∴A ′C=++（1﹣）=1，B ′C=1+=，∴A ′B ′==．∴点P 运动的总路径的长为．故选A ．点评：此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用．2．如图，半径为4的⊙O 中，CD 为直径，弦AB ⊥CD 且过半径OD 的中点，点E 为⊙O 上一动点，CF ⊥AE 于点F ．当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为（ ）A ．B ．C ．D ．考圆的综合题．点：专题：压轴题．分析：连接AC ，AO ，由AB ⊥CD ，利用垂径定理得到G 为AB 的中点，由中点的定义确定出OG 的长，在直角三角形AOG 中，由AO 与OG 的长，利用勾股定理求出AG 的长，进而确定出AB 的长，由CO+GO 求出CG 的长，在直角三角形AGC 中，利用勾股定理求出AC 的长，由CF 垂直于AE ，得到三角形ACF 始终为直角三角形，点F 的运动轨迹为以AC 为直径的半径，如图中红线所示，当E 位于点B 时，CG ⊥AE ，此时F 与G 重合；当E 位于D 时，CA ⊥AE ，此时F 与A 重合，可得出当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长，在直角三角形ACG 中，利用锐角三角函数定义求出∠ACG 的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC 的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长，即可求出点F 所经过的路径长．解答：解：连接AC ，AO ，∵AB ⊥CD ，∴G 为AB 的中点，即AG=BG=AB ，∵⊙O 的半径为4，弦AB ⊥CD 且过半径OD 的中点，∴OG=2，∴在Rt △AOG 中，根据勾股定理得：AG==2，∴AB=2AG=4，又∵CG=CO+GO=4+2=6，∴在Rt △AGC 中，根据勾股定理得：AC==4，∵CF ⊥AE ，∴△ACF 始终是直角三角形，点F 的运动轨迹为以AC 为直径的半圆，当E 位于点B 时，CG ⊥AE ，此时F 与G 重合；当E 位于D 时，CA ⊥AE ，此时F 与A 重合，∴当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长，在Rt △ACG 中，tan ∠ACG==，∴∠ACG=30°，∴所对圆心角的度数为60°，∵直径AC=4，∴的长为=π，则当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为π．故选C ．点评：此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长，是解本题的关键．二．填空题（共9小题）3．（2013•鄂尔多斯）如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A 、B 两点，点P 为线段OA 上的动点，连接BP ，过点A 作AM 垂直于直线BP ，垂足为M ，当点P 从点O 运动到点A 时，则点M 运动路径的长为　　．考点：一次函数综合题．分析：根据直线与两坐标轴交点坐标的特点可得A 、B 两点坐标，由题意可得点M 的路径是以AB 的中点N 为圆心，AB 长的一半为半径的，求出的长度即可．解答：解：∵AM 垂直于直线BP ，∴∠BMA=90°，∴点M 的路径是以AB 的中点N 为圆心，AB 长的一半为半径的，连接ON ，∵直线y=﹣x+4与两坐标轴交A 、B 两点，∴OA=OB=4，∴ON ⊥AB ，∴∠ONA=90°，∵AB==4，∴ON=2，∴=•2=．故答案为：π．点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了两坐标轴交点坐标及点的运动轨迹，难点在于根据∠BMC=90°，判断出点M 的运动路径是解题的关键，同学们要注意培养自己解答综合题的能力．4．如图，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 的上有一运动的点P ．从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H ．设△OPH 的内心为I ，当点P 在上从点A 运动到点B 时，内心I 所经过的路径长为 ．考点：弧长的计算；全等三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心．专题：计算题．分析：如图，连OI ，PI ，AI ，由△OPH 的内心为I ，可得到∠PIO=180°﹣∠IPO ﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH ）=135°，并且易证△OPI ≌△OAI ，得到∠AIO=∠PIO=135°，所以点I 在以OA 为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A 、I 、O 三点作⊙O ′，如图，连O ′A ，O ′O ，在优弧AO 取点P ，连PA ，PO ，可得∠APO=180°﹣135°=45°，得∠AOO=90°，O ′O=OA=×2=，然后利用弧长公式计算弧OA 的长．解答：解：如图，连OI ，PI ，AI ，∵△OPH 的内心为I ，∴∠IOP=∠IOA ，∠IPO=∠IPH ，∴∠PIO=180°﹣∠IPO ﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH ），而PH ⊥OA ，即∠PHO=90°，∴∠PIO=180°﹣（∠HOP+∠OPH ）=180°﹣（180°﹣90°）=135°，又∵OP=OA ，OI 公共，而∠IOP=∠IOA ，∴△OPI ≌△OAI ，∴∠AIO=∠PIO=135°，所以点I 在以OA 为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A 、I 、O 三点作⊙O ′，如图，连O ′A ，O ′O ，在优弧AO 取点P ，连PA ，PO ，∵∠AIO=135°，∴∠APO=180°﹣135°=45°，∴∠AOO=90°，而OA=2cm ，∴O ′O=OA=×2=，∴弧OA 的长==（cm ），所以内心I 所经过的路径长为cm ．故答案为：cm ．点评：本题考查了弧长的计算公式：l=，其中l 表示弧长，n 表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质．5．（2011•江西模拟）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，将它沿着箭头方向无滑动滚动到O ′A ′B ′位置，①点O 到O ′的路径是OO 1→O 1O 2→O 2O ′；②点O 到O ′的路径是→→；③点O 在O 1→O 2段上运动路线是线段O 1O 2；④点O 到O ′的所经过的路径长为．以上命题正确的是 ．考点：旋转的性质；弧长的计算．分圆心O 由O 到O 1的路径是以A 为圆心，以OA 为半径析：的圆弧；由O 1到O 2圆心所经过的路线是线段O 1O 2；由O 2到O ′，圆心经过的路径是：以B ′为圆心，以O ′B ′为半径的圆弧．据此即可判断．解答：解：圆心O 由O 到O 1的路径是以A 为圆心，以OA 为半径的圆弧；由O 1到O 2圆心所经过的路线是线段O 1O 2；由O 2到O ′，圆心经过的路径是：以B ′为圆心，以O ′B ′为半径的圆弧．故正确的是：③④．故答案为：③④．点评：本题主要考查了图形的旋转，正确确定圆心O 经过的路线是解决本题的关键．6．（2013•宁德）如图，在Rt △ABC 纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P 在AC 上运动，将纸片沿PB 折叠，得到点C 的对应点D （P 在C 点时，点C 的对应点是本身），则折叠过程对应点D 的路径长是 ．考翻折变换（折叠问题）；弧长的计算．点：分析：根据翻折变换的性质以及△ABC 是等腰直角三角形判断出点D 的路径是以点B 为圆心，以BC 的长为半径的扇形，然后利用弧长公式列式计算即可得解．解答：解：∵∠C=90°，AC=BC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，如图，点D 的路径是以点B 为圆心，以BC的长为半径的扇形，路径长==2π．故答案为：2π．点评：本题考查了翻折变换的性质，弧长的计算，判断出点D 的路径是扇形是解题的关键．7．如图，已知AB=10，P 是线段AB 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边△ACP 和△PDB ，连接CD ，设CD 的中点为G ，当点P 从点A 运动到点B 时，则点G 移动路径的长是 ．考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质．专题：压轴题．分析：分别延长AC 、BD 交于点H ，易证四边形CPDH 为平行四边形，得出G 为PH 中点，则G 的运行轨迹△HAB的中位线MN ，运用中位线的性质求出MN 的长度即可．解答：解：如图，分别延长AC 、BD 交于点H ，∵∠A=∠DPB=60°，∴AH ∥PD ，∵∠B=∠CPA=60°，∴BH ∥PC ，∴四边形CPDH 为平行四边形，∴CD 与HP 互相平分．∵G 为CD 的中点，∴G 正好为PH 中点，即在P 的运动过程中，G 始终为PH 的中点，所以G 的运行轨迹为△HAB 的中位线MN ．∴MN=AB=5，即G 的移动路径长为5．故答案为：5．点评：本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G 移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．　8．（2013•湖州）如图，已知点A 是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC ⊥x 轴于点M ，交直线y=﹣x 于点N ．若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB=30°，BA ⊥PA ，则点P 在线段ON 上运动时，A点不变，B 点随之运动．求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是 ．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）首先，需要证明线段B0B n就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB0B n∽△AON，求出线段B0B n的长度，即点B运动的路径长．解答：解：由题意可知，OM=，点N在直线y=﹣x上，AC⊥x 轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ON=OM=×=．如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为B n，连接B0B n．∵AO⊥AB0，AN⊥AB n，∴∠OAC=∠B0AB n，又∵AB0=AO•tan30°，AB n=AN•tan30°，∴AB0：AO=AB n：AN=tan30°，∴△AB0B n∽△AON，且相似比为tan30°，∴B0B n=ON•tan30°=×=．现在来证明线段B0B n就是点B运动的路径（或轨迹）．如答图②所示，当点P 运动至ON 上的任一点时，设其对应的点B 为B i ，连接AP ，AB i ，B0B i．∵AO ⊥AB 0，AP ⊥AB i ，∴∠OAP=∠B 0AB i，又∵AB 0=AO •tan30°，AB i =AP •tan30°，∴AB 0：AO=AB i：AP ，∴△AB 0B i∽△AOP ，∴∠AB 0B i=∠AOP ．又∵△AB 0B n ∽△AON ，∴∠AB 0B n=∠AOP ，∴∠AB 0B i =∠AB 0B n，∴点B i 在线段B 0B n 上，即线段B 0B n就是点B 运动的路径（或轨迹）．综上所述，点B 运动的路径（或轨迹）是线段B 0B n ，其长度为．故答案为：．点评：本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点B 的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B 运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．9．（2013•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P 是CD 上一动点，分别以AP 、PB 为边向上、向下作正方形APEF 和PHKB ，设正方形对角线的交点分别为O 1、O 2，当点P 从点C 运动到点D 时，线段O 1O 2中点G 的运动路径的长是 ．考点：正方形的性质；轨迹．专题：压轴题．分析：根据正方形的性质以及勾股定理即可得出正方形对角线的长，进而得出线段O 1O 2中点G 的运动路径的长．解答：解：如图所示：当P 移动到C 点以及D 点时，得出G 点移动路线是直线，利用正方形的性质即线段O 1O 2中点G的运动路径的长就是O 2O ″的长，∵线段AB=10，AC=BD=2，当P 与C 重合时，以AP 、PB 为边向上、向下作正方形APEF 和PHKB ，∴AP=2，BP=8，则O 1P=，O 2P=4，∴O 2P=O 2B=4，当P ′与D 重合，则P ′B=2，则AP ′=8，∴O ′P ′=4，O ″P ′=，∴H′O ″=BO ″=，∴O 2O ″=4﹣=3．故答案为：3．点评：此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出G 点移动的路线是解题关键．10．（2013•竹溪县模拟）如图：已知AB=10，点C 、D 在线段AB 上且AC=DB=1； P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连结EF ，设EF 的中点为G ；当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是 ．考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质．分析：分别延长AE 、BF 交于点H ，易证四边形EPFH 为平行四边形，得出G 为PH 中点，则G 的运行轨迹为三角形HCD 的中位线MN ．再求出CD 的长，运用中位线的性质求出MN 的长度即可．解答：解：如图，分别延长AE 、BF 交于点H ，∵∠A=∠FPB=60°，∴AH ∥PF ，∵∠B=∠EPA=60°，∴BH ∥PE ，∴四边形EPFH 为平行四边形，∴EF 与HP 互相平分．∵G 为EF 的中点，∴G 正好为PH 中点，即在P 的运动过程中，G 始终为PH 的中点，所以G 的运行轨迹为三角形HCD 的中位线MN ．∵CD=10﹣1﹣1=8，∴MN=4，即G 的移动路径长为4．故答案为：4．点评：本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G 移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．11．如图，一根长为2米的木棒AB 斜靠在墙角处，此时BC 为1米，当A 点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒AB 的中点P 运动的路径长为 米．考点：勾股定理的应用；弧长的计算．专题：压轴题．分析：先根据三角函数求出∠BAC 的度数，再根据直角三角形的性质得到∠ACP 的度数，同理求出∠B ′CP ′的度数，可得∠PCP ′的度数，再根据弧长的计算公式求解即可．解答：解：连接CP ，CP ′．∵∠ACB=90°，BC=1米，A ′B=2米，∴∠BA ′C=30°，∵P 是木棒AB 的中点，∴PC=PA=1米，∴∠PCA=30°，同理求出∠B ′CP ′=30°，则∠PCP ′=30°，∴木棒AB 的中点P 运动的路径长为：×2π×1=米．故答案为：米．点评：考查了三角函数，直角三角形的性质和弧长的计算公式，木棒AB 的中点P 运动的路径为半径为1的扇形的弧长．　三．解答题（共1小题）12．（2012•义乌市模拟）如图，边长为4的等边△AOB 的顶点O 在坐标原点，点A在x 轴正半轴上，点B 在第一象限．一动点P 沿x 轴以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．在点P 的运动过程中，线段BP 的中点为点E ，将线段PE 绕点P 按顺时针方向旋转60°得PC ．（1）当点P 运动到线段OA 的中点时，点C 的坐标为 ；（2）在点P 从点O 到点A 的运动过程中，用含t 的代数式表示点C 的坐标；（3）在点P 从点O 到点A 的运动过程中，求出点C 所经过的路径长．考点：相似形综合题．分析：（1）过点作CD ⊥x 轴于点D ，先由等边三角形的性质求出P 点坐标及BP 的长，故可得出PE 的长，由图形旋转的性质求出PC=PE 及∠CPD 的度数，再由锐角三角函数的定义即可求出PD 及CD 的长，进而可得出结论；（2）过P 作PD ⊥OB 于点D ，过C 作CF ⊥PA 于点F ，在Rt △OPD 中 PD=OP •sin60°=，由相似三角形的判定定理得出△BPD ∽△PCF ，故可得出CF 及PF 的长，进而可得出C 点坐标；（3）取OA 的中点M ，连接MC ，由（2）得，，由锐角三角函数的定义得出∠CMF=30°，可知点C 在直线MC 上运动．故当点P 在点O 时，点C 与点M重合．当点P 运动到点A 时，点C 的坐标为（5，），由两点间的距离公式即可得出结论．解答：解：（1）如图1，过点作CD ⊥x 轴于点D ，∵△AOB 是等边三角形，P 是OA 的中点，∴P （2，0），BP=OB •sin60°=4×=2，∵E 是BP 的中点，∴PE=，∴PE=PC=，∵∠BPC=60°，∴∠CPA=30°，∴PD=PC •cos30°=×=，CD=PC •sin30°=×=，∴OD=OP+PD=2+=，∴C （，）；（2）如图2，过P 作PD ⊥OB 于点D ，过C 作CF ⊥PA 于点F在Rt △OPD 中 PD=OP •sin60°=，∵∠OBP+∠OPB=∠CPF+∠OPB=120°∴∠DBP=∠FPC，∵∠PDB=∠CFP=90°∴△BPD∽△PCF，∴CF=，∴点C的坐标是（）；（3）取OA的中点M，连接MC，由（2）得，．∴∴∠CMF=30°．∴点C在直线MC上运动．当点P在点O时，点C与点M重合．当点P运动到点A时，点C的坐标为∴点C所经过的路径长为．点评：本题考查的是相似形综合题及旋转的性质、等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．。

中考数学重点难点专题练习-第12讲 运动路径长度问题

中考数学重点难点专题练习-第12讲 运动路径长度问题

中考数学重点难点专题练习-第12讲运动路径长度问题想要对运动路径长度问题掌握得信手拈来，那么建议你对以下知识点进行提前学习会更好：1.《隐圆模型》2.《共顶点模型》-也可称“手拉手模型”3.《主从联动模型》-也可称“瓜豆原理模型”4.《旋转问题》—本系列的第二讲中所阐述的旋转相似模型此外，还需要明白的动点类型还有：5.线段垂直平分线——到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上6.角平分线——到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上7.三角形中位线——动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半8.平行线分线段成比例——动点到某条线的距离与某平行线段成比例9.两平行线的性质——平行线间的距离，处处相等Ps强烈建议：如果您之前没有对上述模型进行过学习，建议您先到学科网搜索下载独家精品出版的：《中考数学几何模型能力提升篇》专题系列资料包，您一定可以大有提升！一、路径为圆弧型解题策略：①作出隐圆，找到圆心②作出半径，求出定长解题关键：通过《隐圆模型》中五种确定隐圆的基本条件作出隐圆，即可轻易得出结论.二、路径为直线型解题策略：①利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型②确定动点的起点与终点，计算出路径长度即可解题关键：解题过程中常常出现中位线，平行线分线段成比例，相似证动角恒等于顶角等知识点三、路径为往返型解题策略：①通常为《主从联动模型》的衍生版②确定动点的起点与终点，感知运动过程中的变化③找出动点运动的最远点解题关键：解题过程中常常出现相似转线段长、《主从联动模型》中的滑动模型等【例题1】如图，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（）A．B．C．D．【例题2】已知⊙O，AB是直径，AB＝4，弦CD⊥AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）A．πB．C．πD．2【例题3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．【例题4】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP 交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A. B. C. 1 D. 2【例题5】已知：如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B在x轴上，且∠BAO＝30°，点D是线段OA上的一点，以BD为边向下作等边△BDE．（1）如图2，当∠ODB＝45°时，求证：OE平分∠BED．（2）如图3，当点E落在y轴上时，求出点E的坐标．（3）利用图1探究并说理：点D在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点E也会在一条直线上滑动；并直接写出点E运动路径的长度．【例题6】如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束．在这个运动过程中，点C运动的路径长是．【例题7】如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x＝2，动点P从抛物线的顶点A 出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t杪，连结OP并延长交抛物线于点B，连结OA，AB．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度．【例题8】如图，OM⊥ON，A、B分别为射线OM、ON上两个动点，且OA+OB＝5，P为AB的中点．当B由点O向右移动时，点P移动的路径长为（）A．2 B．2C．D．5【例题9】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0），在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．【例题10】（1）如图1，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作等边△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（2）如图2，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以E为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（3）如图3，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（4）如图4，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直顶点的等腰△BDE，且∠BDE=120°，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；【例题11】如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________．1．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．2．已知线段AB＝8，C、D是AB上两点，且AC＝2，BD＝4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若∠AEP＝∠BFP，则当点P由点C移动到点D时，点M移动的路径长度为．3．已知线段AB＝10，P是线段AB上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点A移动到点B时，G点移动的路径长度为．4．如图，AB为⊙O的直径，AB＝3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使AP•AQ ＝AB2．若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为．5．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE:ED＝1:2．动点P 从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F．设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为________．6．等边三角形ABC的边长为2，在AC，BC边上各有一个动点E，F，满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．（1）∠APB的度数；（2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；（3）连结CP，直接写出CP长度的最小值．7．如图，AB为半圆O的直径，AB=2，C，D为半圆上两个动点（D在C右侧），且满足∠COD=60°，连结AD，BC相交于点P若点C从A出发按顺时针方向运动，当点D与B重合时运动停止，则点P所经过的路径长为________．8．如图，A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），P，C，M按逆时针顺序排列，动点P在线段AB上，∠C＝90°，∠CPM＝30°，请求出当P点从A运动到B点时，点M运动的路径时什么？并求出M点运动路径长度．9．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AD 运动，动点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段D﹣O﹣C运动，已知P、Q同时开始移动，当动点P到达D点时，P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）当t＝1秒时，求动点P、Q之间的距离；（2）若动点P、Q之间的距离为4个单位长度，求t的值；（3）若线段PQ的中点为M，在整个运动过程中；直接写出点M运动路径的长度为．10．（2019秋•江岸区校级月考）如图，正△ABC中，AB＝2，AD⊥BC于D，P，Q分别是AB，BC上的动点，且PQ＝AD，点M在PQ的右上方且PM＝QM，∠M＝120°，当P从点A运动到点B时，M运动的路径长为．(看成固定三角板滑动处理/或反其道而行之)11．如图，在四边形ABCD中，∠C＝60°，∠A＝30°，CD＝BC．（1）求∠B+∠D的度数．（2）连接AC，探究AD，AB，AC三者之间的数量关系，并说明理由．（3）若BC＝2，点E在四边形ABCD内部运动，且满足DE2＝CE2+BE2，求点E运动路径的长度．12．已知在扇形AOB中，圆心角∠AOB＝120°，半径OA＝OB＝8．（1）如图1，过点O作OE⊥OB，交弧AB于点E，再过点E作EF⊥OA于点F，则FO的长是，∠FEO＝°；（2）如图2，设点P为弧AB上的动点，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，点M，N分别在半径OA，OB上，连接MN，则①求点P运动的路径长是多少？②MN的长度是否是定值？如果是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）中的条件下，若点D是△PMN的外心，直接写出点D运动的路经长．13．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．（1）求∠OMP的度数；（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．14．（2019•兴化市模拟）正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥P A交CD边于点Q．当点P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（）A．2 B．1 C．4 D．15．（2019•武汉模拟）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P 向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（）A．πB．πC．πD．π16．如图，BC是⊙O的直径，BC＝4，M、N是半圆上不与B、C重合的两点，且∠MON＝120°，△ABC的内心为E点，当点A在上从点M运动到点N时，点E运动的路径长是（）A．B．C．D．17．（2020•河北模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，P是边BC上的一个动点，由点B开始运动，运动到C停止．连接AP，以AP为直角边向右侧作等腰直角三角形，另一个顶点为Q．则点P从B运动到C的过程中，点Q的运动路径长为（）A．πB．C．D．118．无论a取什么实数，点P（a﹣1，2a﹣3）都在直线l上．Q（m，n）是直线l上的点，则（2m﹣n+3）2的值等于．19．如图，已知点C是以AB为直径的半圆的中点，D为弧AC上任意一点，过点C作CE⊥BD于点E，连接AE，若AB＝4，则AE的最小值为．20．如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是．21．如图，在平面直角坐标系中，点A（8，0），点P（0，m），将线段P A绕着点P逆时针旋转90°，得到线段PB，连接AB，OB，则BO+BA的最小值为．22．如图，P为边长为2的正方形ABCD的边BC上一动点，将线段DP绕P逆时针旋转90°得到线段PE （E为D的对应点），M为线段PE的中点，当点P从点C运动到点B的过程中，点M的运动路径长为____________.23．等边△ABC的边长为18，在AC，BC边上各取一点D，E，连接AE，BD相交于点P，若AE＝BD，当D从点A运动到点C时，点P所经过的路径长为．24．（2020•武汉模拟）如图，定直线l经过圆心O，P是半径OA上一动点，AC⊥l于点C，当半径OA绕着点O旋转时，总有OP＝OC，若OA绕点O旋转60°时，P、A两点的运动路径长的比值是．25．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD 于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．（1）若AP＝1，则AE＝；（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．26．如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB﹣BC向终点C运动，以DE为边作正方形DEFG（点D、E、F、G按顺时针方向排列）．设点E运动速度为每秒1个单位，运动的时间为x秒．（1）如图1，当点E在AB上时，求证：点G在直线BC上；（2）设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式；（3）直接写出整个运动过程中，点F经过的路径长．想要对运动路径长度问题掌握得信手拈来，那么建议你对以下知识点进行提前学习会更好：10.《隐圆模型》11.《共顶点模型》-也可称“手拉手模型”12.《主从联动模型》-也可称“瓜豆原理模型”13.《旋转问题》—本系列的第二讲中所阐述的旋转相似模型此外，还需要明白的动点类型还有：14.线段垂直平分线——到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上15.角平分线——到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上16.三角形中位线——动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半17.平行线分线段成比例——动点到某条线的距离与某平行线段成比例18.两平行线的性质——平行线间的距离，处处相等Ps强烈建议：如果您之前没有对上述模型进行过学习，建议您先到学科网搜索下载独家精品出版的：《中考数学几何模型能力提升篇》专题系列资料包，您一定可以大有提升！一、路径为圆弧型解题策略：①作出隐圆，找到圆心②作出半径，求出定长解题关键：通过《隐圆模型》中五种确定隐圆的基本条件作出隐圆，即可轻易得出结论.二、路径为直线型解题策略：①利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型②确定动点的起点与终点，计算出路径长度即可解题关键：解题过程中常常出现中位线，平行线分线段成比例，相似证动角恒等于顶角等知识点三、路径为往返型解题策略：①通常为《主从联动模型》的衍生版②确定动点的起点与终点，感知运动过程中的变化③找出动点运动的最远点解题关键：解题过程中常常出现相似转线段长、《主从联动模型》中的滑动模型等【例题1】如图，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（）A．B．C．D．【分析】解题标签：《共顶点模型》中的旋转相似、《隐圆模型》中的动点定长模型、《主从联动模型》【解析】如图，连接OP，AQ，设⊙O与AB相切于C，连接OC，则OC⊥AB，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，OB＝，∴AB＝2，OP＝OC＝AB＝，∵△ABO和△QBP均为等腰直角三角形，∴＝，∠ABO＝∠QBP＝45°，∴＝，∠ABQ＝∠OBP，∴△ABQ∽△OBP，∴∠BAQ＝∠BOP，＝，即＝，∴AQ＝，又∵点P在弧MN上由点M运动到点N，∴0°≤∠BOP≤90°，∴0°≤∠BAQ≤90°，∴点Q的运动轨迹为以A为圆心，AQ长为半径，圆心角为90°的扇形的圆弧，∴点Q运动的路径长为＝，故选：D．[本题用《主从联动模型》来接替会更快得到结果]【例题2】已知⊙O，AB是直径，AB＝4，弦CD⊥AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）A．πB．C．πD．2【分析】解题标签：“定边对直角”确定隐圆模型【解析】作DQ⊥AC于Q，如图，当P点在C点时，F点与Q重合；当P点在B点时，F点与E点重合，∵∠AFD＝90°，∴点F在以AD为直径的圆上，∴点F运动的路径为，∵弦CD⊥AB且过OB的中点，∴OE＝OD，CE＝DE＝，AC＝AC＝2，∴∠DOE＝60°，∴∠DAC＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴MQ和ME为中位线，∴MQ＝，∠QME＝60°，∴F运动的路径长度＝＝．故选：A．【例题3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型【解析】连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝1，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，∴△ABC的最大面积为．故答案为：．【例题4】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP 交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A. B. C. 1 D. 2【分析】解题标签：“线段垂直平分线”产生“平行定距型”【解析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC= AB= ，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=22AP=22CQ，QF=22BQ，∴PE+QF=22（CQ+BQ）=22BC=2×22=1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH=12（PE+QF）=12，即点M到AB的距离为12，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=12AB=1，故答案为：C．[或连接OM，CM，点M运动路径为线段OC中垂线]【例题5】已知：如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B在x轴上，且∠BAO＝30°，点D是线段OA上的一点，以BD为边向下作等边△BDE．（1）如图2，当∠ODB＝45°时，求证：OE平分∠BED．（2）如图3，当点E落在y轴上时，求出点E的坐标．（3）利用图1探究并说理：点D在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点E也会在一条直线上滑动；并直接写出点E运动路径的长度．【分析】解题标签：“共顶点模型”、“全等或相似转固定角度法确定动点的直线运动”【解析】（1）∵∠ODB＝45°，∠AOB＝90°，∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∴OD＝OB，∵△BDE是等边三角形，∴DE＝BE，在△DOE和△BOE中，，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠DEO＝∠BEO，即OE平分∠BED；（2）∵△BOE是等边三角形，∴∠EDB＝60°，∵OB⊥DE，设OD＝x，则OE＝x，∵∠BAO＝30°，∠AOB＝90°，∴∠DBO＝∠ABD＝∠BAO＝30°，∴BD＝2OD＝2x，AD＝BD＝2x，∵OA＝AD+OD＝3x＝6，解得，x＝2，∴E（0，﹣2）；（3）如图1，在x轴上取点C，使BC＝BA，连接CE，∵∠ABD+∠OBD＝∠CBE+∠OBD＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BCE＝∠BAO＝30°，∴当D在OA上滑动时，点E总在与x轴夹角为30°的直线CE上滑动，如图可知，点E运动路径的长度为6．【例题6】如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束．在这个运动过程中，点C运动的路径长是8﹣12．【分析】解题标签：“运动路径为来回型”【解析】①当A从O到现在的点A处时，如图2，此时C′A⊥y轴，点C运动的路径长是CC′的长，∴AC′＝OC＝8，∵AC′∥OB，∴∠AC′O＝∠COB，∴cos∠AC′O＝cos∠COB＝＝，∴＝，∴OC′＝4，∴CC′＝4﹣8；②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′，CC′＝OC′﹣BC＝4﹣4，综上所述，点C运动的路径长是：4﹣8+4﹣4＝8﹣12；故答案为：8﹣12．【例题7】如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x＝2，动点P从抛物线的顶点A 出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t杪，连结OP并延长交抛物线于点B，连结OA，AB．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度．【分析】解题标签：“运动路径为来回型”【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，且对称轴是直线x＝2，∴c＝0，﹣＝2，则b＝﹣4、c＝0，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x；（2）设点B（a，a2﹣4a），∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴点A（2，﹣4），则OA2＝22+42＝20、OB2＝a2+（a2﹣4a）2、AB2＝（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，①若OB2＝OA2+AB2，则a2+（a2﹣4a）2＝20+（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，解得a＝2（舍）或a＝，∴B（，﹣），则直线OB解析式为y＝﹣x，当x＝2时，y＝﹣3，即P（2，﹣3），∴t＝（﹣3+4）÷1＝1；②若AB2＝OA2+OB2，则（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2＝20+a2+（a2﹣4a）2，解得a＝0（舍）或a＝，∴B（，），则直线OB解析式为y＝x，当x＝2时，y＝1，即P（2，1），∴t＝[1﹣（﹣4）]÷1＝5；③若OA2＝AB2+OB2，则20＝（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2+a2+（a2﹣4a）2，整理，得：a3﹣8a2+21a﹣18＝0，a3﹣3a2﹣5a2+15a+6a﹣18＝0，a2（a﹣3）﹣5a（a﹣3）+6（a﹣3）＝0，（a﹣3）（a2﹣5a+6）＝0，（a﹣3）2（a﹣2）＝0，则a＝3或a＝2（舍），∴B（3，﹣3），∴直线OB解析式为y＝﹣x，当x＝2时，y＝﹣2，即P（2，﹣2），∴t＝[﹣2﹣（﹣4）]÷1＝2；综上，当△AOB为直角三角形时，t的值为1或2或5．（3）∵⊙M为△AOB的外接圆，∴点M在线段OA的中垂线上，∴当1≤t≤5时，点M的运动路径是在线段OA中垂线上的一条线段，当t＝1时，如图1，由（2）知∠OAB＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OB的中点，∵B（，﹣），∴M（，﹣）；当t＝5时，如图2，由（2）知，∠AOB＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是AB的中点，∵B（，）、A（2，﹣4），∴M（，﹣）；当t＝2时，如图3，由（2）知，∠OBA＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OA的中点，∵A（2，﹣4），∴M（1，﹣2）；则点M经过的路径长度为＝．【例题8】如图，OM⊥ON，A、B分别为射线OM、ON上两个动点，且OA+OB＝5，P为AB的中点．当B由点O向右移动时，点P移动的路径长为（）A．2 B．2C．D．5【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】建立如图坐标系．设OB＝t，则OA＝5﹣t，∴B（t，0），A（0，5﹣t），∵AP＝PB，∴P（，），令x＝，y＝，消去t得到，y＝﹣x+（0≤x≤），∴点P的运动轨迹是线段HK，H（0，），K（，0），∴点P的运动路径的长为＝，故选：C．【例题9】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0），在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）．设直线M1M2的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线M1M2的解析式为y=-2x+6．∵点Q（0，2t），P（6-t，0）∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）．把x= 代入y=-2x+6得y=-2×+6=t，∴点M3在直线M1M2上．过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=4，M1N=2．∴M1M2=2∴线段PQ中点M所经过的路径长为2 单位长度．【例题10】（1）如图1，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作等边△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（2）如图2，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以E为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（3）如图3，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（4）如图4，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直顶点的等腰△BDE，且∠BDE=120°，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；【分析】解题标签：“主从联动模型”【解析】22；2；4；26【例题11】如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________．【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型、主从联动模型【解析】如图所示，易得点D的运动轨迹的长为=2 π．1．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．【解析】如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．∵AC＝BC＝，∠ACB＝90°，∴AB＝＝2，∴OP＝AB＝1，∵CM＝MP，CK＝OK，∴MK＝OP＝，∴当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，长为半径的半圆，∴点M运动的路径长＝•2•π•＝，故答案为．2．已知线段AB＝8，C、D是AB上两点，且AC＝2，BD＝4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若∠AEP＝∠BFP，则当点P由点C移动到点D时，点M移动的路径长度为4﹣3．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H．∵△APE和△PBF都是等腰三角形，且∠AEP＝∠BFP∵∠A＝∠FPB，∴AH∥PF，同理，BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵M为EF的中点，∴M为PH中点，即在P的运动过程中，M始终为PH的中点，所以M的运行轨迹为三角形HCD的中位线QN．∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝8﹣6，∴QN＝CD＝4﹣3，即M的移动路径长为4﹣3．故答案是：4﹣3．3．已知线段AB＝10，P是线段AB上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点A移动到点B时，G点移动的路径长度为5．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H，∵∠A＝∠FPB＝60°，∴AH∥PF，∵∠B＝∠EP A＝60°，∴BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵G为EF的中点，∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．∴MN＝AB＝5，即G的移动路径长为5．故答案为：54．如图，AB为⊙O的直径，AB＝3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使AP•AQ＝AB2．若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．【解析】连接BQ，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AP•AQ＝AB2．即＝，而∠BAP＝∠QAB，∴△ABP∽△AQB，∴∠ABQ＝∠APB＝90°，∴BQ为⊙O的切线，点Q运动的路径长为切线长，∵弧AC的度数是60°，∴∠AOC＝60°，∴∠OAC＝60°，当点P在C点时，∠BAQ＝60°，∴BQ＝AB＝3，即点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．故答案为3．5．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE:ED＝1:2．动点P 从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F．设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为________．【答案】4【解析】如图所示：过点M作GH⊥AD.∵AD∥CB，GH⊥AD，∴GH⊥BC.在△EGM和△FHM中，∴△EGM≌△FHM.∴MG=MH.∴点M的轨迹是一条平行于BC的线段当点P与A重合时,BF1=AE=2，当点P与点B重合时,∠F2+∠EBF1=90∘,∠BEF1+∠EBF1=90∘，∴∠F2=∠EBF1.∵∠EF1B=∠EF1F2，∴△EF1B∽△∠EF1F2.∴，即∴F1F2=8，∵M1M2是△EF1F2的中位线，∴M1M2= F1F2=4.故答案为：4.6．等边三角形ABC的边长为2，在AC，BC边上各有一个动点E，F，满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．（1）∠APB的度数；（2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；（3）连结CP，直接写出CP长度的最小值．【解析】（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，又∵AE＝CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF．又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP+∠BAP，∴∠APE＝∠BAP+∠CAF＝60°．∴∠APB＝180°﹣∠APE＝120°．（2）如图1，∵AE＝CF，∴点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP 为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，∴∠AOB＝120°，又∵AB＝2，∴OA＝2，点P的路径是l＝＝＝；（3）如图2，∵AE＝CF，∴点P的路径是一段弧，∴当点E运动到AC的中点时，CP长度的最小，即点P为△ABC的中心，过B作BE′⊥AC于E′，∴PC＝BE′，∵△ABC是等边三角形，∴BE′＝BC＝3，∴PC＝2．∴CP长度的最小值是2．方法二：由图1可知，CP最小值等于CO减OA，OA就是那圆弧的半径，可得PC的最小值为2．7．如图，AB为半圆O的直径，AB=2，C，D为半圆上两个动点（D在C右侧），且满足∠COD=60°，连结AD，BC相交于点P若点C从A出发按顺时针方向运动，当点D与B重合时运动停止，则点P所经过的路径长为________．【答案】【解析】解：点C从点A运动到点D与点B从何时，AD与BC的相点P运动的轨迹是一条弧，C,D两点运动到恰好是半圆的三等分点时，AD与BC的相点P是弧的最高点，作AP,BP的中垂线，两线交于点E，点E是弧APB的圆心；由题意知：AD=BD，∠PAB=∠PBA=30°,连接AE,DE，根据圆的对称性得出A、O、E三点在同一直线上，易证△ADE是一个等边三角形，∠AED=60°,在Rt△ADO中，∠DOA=90°,∠PAB=30°,AO=1,故AD=,∴AE=AD=,弧APB的长度==。

数学专题：动点轨迹长度问题

数学专题：动点轨迹长度问题
2
一、直线型：
【特殊型变一般型】
变式2：如图，等腰Rt∆ABC中，斜边AB的长为2，O为AC上的
动点，过点O作OP⊥AB交AB于点P，过点P作PQ∥AC交BC于
点Q，连接OQ，M为OQ的中点，当点O从点A运动到点C时，
点M所经过的路线长为
。
一、直线型：
【变2：解法分析】
转化中点，由题意可得四边形ODQC为矩形，则OQ的中点也是 DC的中点，点M所经过的路线长= 1 点D所经过的路线长. 那如何求点D所经过的路线长呢？ 2
10 4
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一、直线型：
【往返型轨迹】
变式3：如图，等腰Rt∆ABC中，斜边AB的长为2，O为AB上的
动点，连接OC将点C绕着点O逆时钟旋转45°交AB于点P，线段
BP的中点为点M，当点O从点A运动到点B时，点M所经过的路
线长为
。
一、直线型： 【变3：解法分析】
由一线三等角模型可得，∆AOC∽∆BPO,
1 OM=CM= 2 PQ，可知点M在线段OC的垂直平分线上，即点M 的轨迹为直线（OC的垂直平分线）一部分。
一、直线型：
【解法分析】 （2）确定始末点：连接OC易证∆APO≌∆CQO（ASA）， 则可得OP=OQ，即∆POQ为等腰直角三角形。 易确定始末两点分别是AC,BC的中点， 即点M的轨迹长度= 1 AB=1。
在等边三角形ABC中，PC为AB边上的高，所以PC= 3a，在
2
⊿OPC中，根据三角形三边关系，OC ≤ OP+PC
所以OC的长的最大值为 1 a + 3a，
2
2
二、圆弧型：
变式练习：如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在
边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，

2023年九年级中考数学专题培优训练： 三角形的动点问题【含答案】

2023年九年级中考数学专题培优训练： 三角形的动点问题【含答案】

2023年九年级中考数学专题培优训练：三角形的动点问题一、单选题1．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿CA以2cm/s的速度向点A运动，当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是（）A．3s或4.8s B．3s C．4.5s D．4.5s或4.8s2．如图，在平面直角坐标系中，等边△OBC的边OC在x轴正半轴上，点O为原点，点C坐标为(12，0)，D是OB上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥OB于点G.当G与D重合时，点D的坐标为()A．(1，√3)B．(2，2√3)C．(4，4√3)D．(8，8√3)3．如图，在等腰三角形ACB中，AC=BC=5，AB=8，D为底边AB上一动点（不与点A，B重合），DE△AC，DF△BC，垂足分别为E，F，则DE+DF的值等于（）A．125B．3C．245D．64．如图，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连结DE，点F为DE的中点，连结CF.若AB＝2a（a为常数，a＞0），当点C在线段AB上运动时，线段CF的长度l的取值范围是（）A．√3a3≤l≤√3a2B．√3a2≤l≤aC．a2≤l≤√3a3D．√3a3≤l≤a5．如图，在等边△ABC中，BC=12,D、E是BC边上的两点，BD=CE=2，点M,N,P分别是线段AB,AC,DE上的一动点，连接MN、AP,MN与AP交于点G，若四边形AMPN是平行四边形，则点P由点D移动到点E的过程中，下列结论正确的是（）①MG=NG；②△NPC∼△ABC；③当P运动到BC中点时，四边形AMPN是菱形，且菱形面积为18√3；④点P由点D移动到点E的过程中，点G所走的路径长为4A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是（）A．5B．4C．3D．07．在四边形ABCD中，△A＝45°，△D＝90°，AD△BC，BC＝1，CD＝3．点P，Q同时从点A出发，点P以√2个单位长度/秒向点B运动，到达点B停止运动；点Q以2个单位长度/秒沿着AD→DC向点C运动，到达点C停止运动．设点Q运动时间为ts，△APQ的面积为S，则S随t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．8．如图，在直角坐标系中，等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），直角顶点B在第二象限，等腰直角△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（）A．y=﹣2x+1B．y=﹣x+2C．y=﹣3x﹣2D．y=﹣x+2二、填空题9．在△ABC中，AB=AC，BC=5，∠BAC=90°，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE，A、E两点间的最小距离为．10．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝6，△B＝30°，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．11．如图，在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为3和2，点E在CD上，点F在AB的延长线上，且EC=BF，连接FC。

动点路径长专题含答案

动点路径长专题含答案

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I动点路径长专题一．选择题（共2小题）1．如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）A．B．C．D．图1 图22．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．二．填空题（共9小题）3．（2013•鄂尔多斯）如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接BP，过点A作AM垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A时，则点M运动路径的长为_________ ．图3 图4 图54．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA 于点H．设△OPH的心为I，当点P在上从点A运动到点B时，心I所经过的路径长为_________ ．5．（2011•模拟）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，将它沿着箭头方向无滑动滚动到O′A′B′位置，①点O到O′的路径是OO1→O1O2→O2O′；②点O到O′的路径是→→；③点O在O1→O2段上运动路线是线段O1O2；④点O到O′的所经过的路径长为．以上命题正确的是_________ ．6．（2013•）如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点D的路径长是_________ ．图6 图7 图87．如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是_________ ．8．（2013•）如图，已知点A是第一象限横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是_________ ．9．（2013•）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是_________ ．图9 图10 图1110．（2013•竹溪县模拟）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=1；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是_________ ．11．如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒AB的中点P运动的路径长为_________ 米．三．解答题（共1小题）12．（2012•义乌市模拟）如图，边长为4的等边△AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．在点P的运动过程中，线段BP的中点为点E，将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60°得PC．（1）当点P运动到线段OA的中点时，点C的坐标为_________ ；（2）在点P从点O到点A的运动过程中，用含t的代数式表示点C的坐标；（3）在点P从点O到点A的运动过程中，求出点C所经过的路径长．《动点路径长专题》参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）A．B．C．D．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与直线x=的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度．解答：解：如图∵抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点，∴x2﹣x﹣=x﹣2，解得：x=1或x=，当x=1时，y=x﹣2=﹣1，当x=时，y=x﹣2=﹣，∴点A的坐标为（，﹣），点B的坐标为（1，﹣1），∵抛物线对称轴方程为：x=﹣=作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与对称轴（直线x=）的交点是E，与x轴的交点是F，∴BF=B′F，AE=A′E，∴点P运动的最短总路径是A E+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，延长BB′，AA′相交于C，∴A′C=++（1﹣）=1，B′C=1+=，∴A′B′==．∴点P运动的总路径的长为．故选A．点评：此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用．2．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．考点：圆的综合题．专题：压轴题．分析：连接AC，AO，由AB⊥CD，利用垂径定理得到G为AB的中点，由中点的定义确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AO与OG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而确定出AB的长，由CO+GO 求出CG的长，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF 始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在直角三角形ACG中，利用锐角三角函数定义求出∠ACG的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长，即可求出点F所经过的路径长．解答：解：连接AC，AO，∵AB⊥CD，∴G为AB的中点，即AG=BG=AB，∵⊙O的半径为4，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，∴OG=2，∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AG==2，∴AB=2AG=4，又∵CG=CO+GO=4+2=6，∴在Rt△AGC中，根据勾股定理得：AC==4，∵CF⊥AE，∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在Rt△ACG中，tan∠ACG==，∴∠ACG=30°，∴所对圆心角的度数为60°，∵直径AC=4，∴的长为=π，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为π．故选C．点评：此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，是解本题的关键．二．填空题（共9小题）3．（2013•鄂尔多斯）如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接BP，过点A作AM垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A时，则点M运动路径的长为．考点：一次函数综合题．分析：根据直线与两坐标轴交点坐标的特点可得A、B两点坐标，由题意可得点M的路径是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半径的，求出的长度即可．解答：解：∵AM垂直于直线BP，∴∠BMA=90°，∴点M的路径是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半径的，连接ON，∵直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，∴OA=OB=4，∴ON⊥AB，∴∠ONA=90°，∵AB==4，∴ON=2，∴=•2=．故答案为：π．点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了两坐标轴交点坐标及点的运动轨迹，难点在于根据∠BMC=90°，判断出点M的运动路径是解题的关键，同学们要注意培养自己解答综合题的能力．4．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的心为I，当点P在上从点A运动到点B时，心I所经过的路径长为．考点：弧长的计算；全等三角形的判定与性质；三角形的切圆与心．专题：计算题．分析：如图，连OI，PI，AI，由△OPH的心为I，可得到∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易证△OPI≌△OAI，得到∠AIO=∠PIO=135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO，可得∠APO=180°﹣135°=45°，得∠AOO=90°，O′O=OA=×2=，然后利用弧长公式计算弧OA的长．解答：解：如图，连OI，PI，AI，∵△OPH的心为I，∴∠IOP=∠IOA，∠IPO=∠IPH，∴∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH），而PH⊥OA，即∠PHO=90°，∴∠PIO=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=180°﹣（180°﹣90°）=135°，又∵OP=OA，OI公共，而∠IOP=∠IOA，∴△OPI≌△OAI，∴∠AIO=∠PIO=135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO，∵∠AIO=135°，∴∠APO=180°﹣135°=45°，∴∠AOO=90°，而OA=2cm，∴O′O=OA=×2=，∴弧OA的长==（cm），所以心I所经过的路径长为cm．故答案为：cm．点评：本题考查了弧长的计算公式：l=，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的接四边形的性质．5．（2011•模拟）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，将它沿着箭头方向无滑动滚动到O′A′B′位置，①点O到O′的路径是OO1→O1O2→O2O′；②点O到O′的路径是→→；③点O在O1→O2段上运动路线是线段O1O2；④点O到O′的所经过的路径长为．以上命题正确的是．考点：旋转的性质；弧长的计算．分析：圆心O由O到O1的路径是以A为圆心，以OA为半径的圆弧；由O1到O2圆心所经过的路线是线段O1O2；由O2到O′，圆心经过的路径是：以B′为圆心，以O′B′为半径的圆弧．据此即可判断．解答：解：圆心O由O到O1的路径是以A为圆心，以OA为半径的圆弧；由O1到O2圆心所经过的路线是线段O1O2；由O2到O′，圆心经过的路径是：以B′为圆心，以O′B′为半径的圆弧．故正确的是：③④．故答案为：③④．点评：本题主要考查了图形的旋转，正确确定圆心O经过的路线是解决本题的关键．6．（2013•）如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点D的路径长是．考点：翻折变换（折叠问题）；弧长的计算．分析：根据翻折变换的性质以及△ABC是等腰直角三角形判断出点D的路径是以点B为圆心，以BC的长为半径的扇形，然后利用弧长公式列式计算即可得解．解答：解：∵∠C=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，如图，点D的路径是以点B为圆心，以BC的长为半径的扇形，路径长==2π．故答案为：2π．点评：本题考查了翻折变换的性质，弧长的计算，判断出点D的路径是扇形是解题的关键．7．如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是．考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质．专题：压轴题．分析：分别延长AC、BD交于点H，易证四边形CPDH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹△HAB 的中位线MN，运用中位线的性质求出MN的长度即可．解答：解：如图，分别延长AC、BD交于点H，∵∠A=∠DPB=60°，∴AH∥PD，∵∠B=∠CPA=60°，∴BH∥PC，∴四边形CPDH为平行四边形，∴CD与HP互相平分．∵G为CD的中点，∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．∴MN=AB=5，即G的移动路径长为5．故答案为：5．点评：本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．8．（2013•）如图，已知点A是第一象限横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）首先，需要证明线段B0B n就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB0B n∽△AON，求出线段B0B n的长度，即点B运动的路径长．解答：解：由题意可知，OM=，点N在直线y=﹣x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ON=OM=×=．如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为B n，连接B0B n．∵AO⊥AB0，AN⊥AB n，∴∠OAC=∠B0AB n，又∵AB0=AO•tan30°，AB n=AN•tan30°，∴AB0：AO=AB n：AN=tan30°，∴△AB0B n∽△AON，且相似比为tan30°，∴B0B n=ON•tan30°=×=．现在来证明线段B0B n就是点B运动的路径（或轨迹）．如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为B i，连接AP，AB i，B0B i．∵AO⊥AB0，AP⊥AB i，∴∠OAP=∠B0AB i，又∵AB0=AO•tan30°，AB i=AP•tan30°，∴AB0：AO=AB i：AP，∴△AB0B i∽△AOP，∴∠AB0B i=∠AOP．又∵△AB0B n∽△AON，∴∠AB0B n=∠AOP，∴∠AB0B i=∠AB0B n，∴点B i在线段B0B n上，即线段B0B n就是点B运动的路径（或轨迹）．综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0B n，其长度为．故答案为：．点评：本题考查坐标平面由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B 运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．9．（2013•）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是．考点：正方形的性质；轨迹．专题：压轴题．分析：根据正方形的性质以及勾股定理即可得出正方形对角线的长，进而得出线段O1O2中点G的运动路径的长．解答：解：如图所示：当P移动到C点以及D点时，得出G点移动路线是直线，利用正方形的性质即线段O1O2中点G的运动路径的长就是O2O″的长，∵线段AB=10，AC=BD=2，当P与C重合时，以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，∴AP=2，BP=8，则O1P=，O2P=4，∴O2P=O2B=4，当P′与D重合，则P′B=2，则AP′=8，∴O′P′=4，O″P′=，∴H′O″=BO″=，∴O2O″=4﹣=3．故答案为：3．点评：此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出G点移动的路线是解题关键．10．（2013•竹溪县模拟）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=1；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是．考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质．分析：分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可．解答：解：如图，分别延长AE、BF交于点H，∵∠A=∠FPB=60°，∴AH∥PF，∵∠B=∠EPA=60°，∴BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵G为EF的中点，∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．∵CD=10﹣1﹣1=8，∴MN=4，即G的移动路径长为4．故答案为：4．点评：本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．11．如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒AB的中点P运动的路径长为米．考点：勾股定理的应用；弧长的计算．专题：压轴题．分析：先根据三角函数求出∠BAC的度数，再根据直角三角形的性质得到∠ACP的度数，同理求出∠B′CP′的度数，可得∠PCP′的度数，再根据弧长的计算公式求解即可．解答：解：连接CP，CP′．∵∠ACB=90°，BC=1米，A′B=2米，∴∠BA′C=30°，∵P是木棒AB的中点，∴PC=PA=1米，∴∠PCA=30°，同理求出∠B′CP′=30°，∴木棒AB的中点P运动的路径长为：×2π×1=米．故答案为：米．点评：考查了三角函数，直角三角形的性质和弧长的计算公式，木棒AB的中点P运动的路径为半径为1的扇形的弧长．三．解答题（共1小题）12．（2012•义乌市模拟）如图，边长为4的等边△AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．在点P的运动过程中，线段BP的中点为点E，将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60°得PC．（1）当点P运动到线段OA的中点时，点C的坐标为；（2）在点P从点O到点A的运动过程中，用含t的代数式表示点C的坐标；（3）在点P从点O到点A的运动过程中，求出点C所经过的路径长．考点：相似形综合题．分析：（1）过点作CD⊥x轴于点D，先由等边三角形的性质求出P点坐标及BP的长，故可得出PE的长，由图形旋转的性质求出PC=PE及∠CPD的度数，再由锐角三角函数的定义即可求出PD及CD的长，进而可得出结论；（2）过P作PD⊥OB于点D，过C作CF⊥PA于点F，在Rt△OPD中PD=OP•sin60°=，由相似三角形的判定定理得出△BPD∽△PCF，故可得出CF及PF的长，进而可得出C点坐标；（3）取OA的中点M，连接MC，由（2）得，，由锐角三角函数的定义得出∠CMF=30°，可知点C在直线MC上运动．故当点P在点O时，点C与点M重合．当点P运动到点A时，点C的坐标为（5，），由两点间的距离公式即可得出结论．解答：解：（1）如图1，过点作CD⊥x轴于点D，∵△AOB是等边三角形，P是OA的中点，∴P（2，0），BP=OB•sin60°=4×=2，∵E是BP的中点，∴PE=，∴PE=PC=，∵∠BPC=60°，∴∠CPA=30°，∴PD=PC•cos30°=×=，CD=PC•sin30°=×=，∴OD=OP+PD=2+=，∴C（，）；（2）如图2，过P作PD⊥OB于点D，过C作CF⊥PA于点F在Rt△OPD中PD=OP•sin60°=，∵∠OBP+∠OPB=∠CPF+∠OPB=120°∴∠DBP=∠FPC，∴△BPD∽△PCF，∴CF=，∴点C的坐标是（）；（3）取OA的中点M，连接MC，由（2）得，．∴∴∠CMF=30°．∴点C在直线MC上运动．当点P在点O时，点C与点M重合．当点P运动到点A时，点C的坐标为∴点C所经过的路径长为．点评：本题考查的是相似形综合题及旋转的性质、等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．。

中考数学专题：动点轨迹问题专题

中考数学专题：动点轨迹问题专题

动点轨迹问题——直线、圆弧型路径一．典例分析例1如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E在边AD上，且AE：ED=1：3．动点P从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF ⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为 .例2如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为 .例3如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B 时，点M运动的路径长是 .例4 在正方形ABCD中，AD=2，点E从点A出发向终点D运动，点F从D出发向终点C运动，且始终保持AE=DF.连接AF，BE交于点P，则点P运动的路径长是 .三、巩固练习1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .1题图 2题图 3题图2. 如图，等边三角形ABC 中，BC=6，D 、E 是边BC 上两点，且BD=CE=1，点P 是线段DE 上的一个动点，过点P 分别作AC 、AB 的平行线交AB 、AC 于点M 、N ，连接MN 、AP 交于点G ，则点P 由点D 移动到点E 的过程中，线段BG 扫过的区域面积为 .3. 如图，以G （0，1）为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，点E 为⊙G 上一动点，CF ⊥AE 于F ．若点E 从在圆周上运动一周，则点F 所经过的路径长为 .4. 如图，已知点A 是第一象限内横坐标为32的一个定点，AC ⊥x 轴于点M ，交直线y=﹣x 于点N ．若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB=30°，BA ⊥PA ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径是 ．4题图 5题图 6题图5. 如图，在边长为3的等边三角形ABC 中，P 为AC 边上一动点，Q 为线段PC 上一点，∠PBQ=30°，D 为BQ 延长线上一点，PD=PB. 当点P 从点A 运动到AP=31AC 时，点D 经过的路线长为 .6. 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=AC=2，线段BC 上一动点P 从点C 开始运动，到点B停止，以AP 为边在AC 的右侧作等边△APQ ，则点Q 运动的路径长为 .7. （2018 花都区一模 ）已知,如图1，正方形ABCD 的边长为5，点E 、F 分别在边AB 、AD 的延长线上,且BE DF =，连接EF .（1）证明：EF AC ⊥；（2）将AEF ∆绕点A 顺时针方向旋转，当旋转角α满足045α︒<<︒时，设EF 与射线AB交于点G ，与AC 交于点H ，如图2所示，试判断线段FH ，HG ，GE 的数量关系，并说明理由.（3）若将AEF ∆绕点A 旋转一周，连接DF 、BE ，并延长EB 交直线DF 于点P ，连接PC ，试说明点P 的运动路径并求线段PC 的取值范围.8. （2017 越秀区期末25题）如图，在平面直角坐标系xoy 中，点A （0,3），B （5,3）.点P （x ，0）是x 轴正半轴上的一个动点，以BP 为直径作圆Q 交x 轴于点C ，圆Q 与直线AC 交于点D ，连接PD 、BD ，过点P 作PE ∥BD 交圆Q 于点E ，连接BE.（1）求证：四边形BDPE 是矩形；（2）设矩形BDPE 的面积为S ，试求S 关于x 的函数关系式，写出x 的取值范围，并判断S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值，若不存在，请说明理由；（3）当0≤x ≤5时，求点E 移动路线的长.备用图9.（2018 越秀区期末25题）如图1所示，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为边AB、AD的中点，如图2所示，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°<α 90°），射线BE、DF相交于点P.（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）如图2，在△AEF旋转过程中，若射线BE恰好通过AD的中点H，求PF的长；（3）如图3，若将△AEF从图1的位置旋转至AE⊥BE，试求点P在旋转过程中的运动路径长.10.如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG．（1）设AE＝x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长．11.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P 到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长.12.如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点Q从A点出发沿AB向终点B运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了x秒．（1）Q点的坐标为( , )（用含x的代数式表示）；（2）当x为何值时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形？（3）记PQ的中点为G．请你直接写出点G随点P，Q运动所经过的路线的长度．13. 已知△ABC 是等腰直角三角形，AC=BC=2，D 是边AB 上的一动点（A 、B 两点除外），将△CAD 绕点C 按逆时针方向旋转角α得到△CEF ，其中点E 是点A 的对应点，点F 是点D 的对应点．（1）如图1，当α=90°时，G 是边AB 上一点，且BG=AD ，连接GF ．求证：GF ∥AC ；（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE 与DF 相交于点M ．①当点M 与点C 、D 不重合时，连接CM ，求∠CMD 的度数；②设D 为边AB 的中点，当α从90°变化到180°时，求点M 运动的路径长．14. 已知抛物线 ()023:21≠-+=a bx ax y C 经过点A （1,0）和B （-3,0）. （1）求抛物线1C 的解析式，并写出其顶点C 的坐标；（2）如图1，把抛物线1C 沿着直线AC 方向平移到某处时得到抛物线2C ,此时点A ，C 分别平移到点D ，E 处.设点F 在抛物线1C 上且在x 轴的上方，若△DEF 是以EF 为底的等腰直角三角形，求点F 的坐标.（3）如图2，在（2）的条件下，设点M 是线段BC 上一动点，EN ⊥EM 交直线BF 于点N ，点P 为线段MN 的中点，当点M 从点B 向点C 运动时：①tan ∠ENM 的值如何变化？请说明理由；②点M 到达点C 时，直接写出点P 经过的路线长.15.如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一个动点(点C除外)，直线PM交AB的延长线于点D．(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示)；(2)当△ADP是等腰三角形时，求m的值；(3)设过点P、M、B的抛物线与x轴的正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图2)．当点P从原点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长(不写解答过程)．16.问题探究：（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB=90°的一个点，并说明理由．（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P，并说明理由．问题解决：（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB=4，BC=3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP′D钢板，且∠APB=∠CP'D=60度．请你在图③中画出符合要求的点和，并求出△APB的面积（结果保留根号）．17.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2，AD=1，F为BE 的中点．（1）如图1，当边AD与边AB重合时，连接DF，求证：DF⊥CF；（2）若∠BAE=135°，如图2，求CF2的值；（3）将△ADE绕点A旋转一周，直接写出点F运动路径的长。

初二动点问题(含标准答案)

初二动点问题(含标准答案)

初二动点问题（含答案）作者:日期: 2动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目•解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题•关键：动中求静•数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图1,梯形ABCD 中，AD // BC,/ B=90 ° , AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P, Q分别从A , C同时出发，设移动时间为t秒。

当t= _____ 时，四边形是平行四边形；6当t= _____ 时，四边形是等腰梯形• 82、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上，且DM=1 , N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为_________ 53、如图，在只也ABC中，ACB 90°, B 60°, BC 2•点°是AC的中点，过点°的直线l从与AC重合的位置开始，绕点°作逆时针旋转，交AB边于点D •过点C作2CE // AB 交直线I 于点E ，设直线I 的旋转角为(1)①当度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为②当度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时 AD 的长为(2)当 90°时，判断四边形 EDBC 是否为菱形，并说明理由.解：(1 ［① 30, 1 :② 60, 1.5;(2)当/% =900时，四边形 EDBC 是菱形•v/a =/ACB=90°,「. BC//ED. T CE//AB,二四边形 EDBC 是平行四边形 在 Rt △ABC 中，/ ACB=900,/ B=60°,BC=2, /./ A=30°.137AC3••• AB=4,AC=2 '3. ••• A°= 2 = 3 •在 Rt △ AOD 中，/ A=30,二 AD=2.B• BD=2. • BD=BC. 又•••四边形 EDBC 是平行四边形, •四边形EDBC 是菱形 4、C ,A(1) 当直线 MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ ADC ◎△ CEB •，②DE=AD + BE ;⑵当直线 MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证： DE=AD-BE ;⑶当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问 DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量 关系，并加以证明•解：(1 ［① •••/ ACD= / ACB=90 •••/ CAD+ / ACD=90 /-Z BCE+ / ACD=90•••/ CAD= Z BCE •/ AC=BCADC ◎△ CEB② •/△ ADC ◎△ CEB • CE=AD , CD=BE • DE=CE+CD=AD+BE(2) T Z ADC= Z CEB= Z ACB=90°ACD= Z CBE又 ■: AC=BCACD ◎△ CBE • CE=AD , CD=BE • DE=CE-CD=AD-BE(3) 当 MN 旋转至U 图 3 的位置时，DE=BE-AD(或 AD=BE-DE , BE=AD+DE 等)•/Z ADC= Z CEB= Z ACB=90° /Z ACD= Z CBE , 又 ■: AC=BC ,ACD ◎△ CBE ,• AD=CE , CD=BE ,• DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题： 如图1,四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点. AEF 90°,且EF 交正方形外角 DCG 的平行线CF 于点F ,求证：AE=EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点 M 连接 ME 则 AM =EC,易证△ AME ECF ，所以 AE EF .在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1 )小颖提出：如图2,如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点 E 是边BC 上(除B, C 外)的任意 一点”，其它条件不变，那么结论“ AE=EF'仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明 过程；如果不正确，请说明理由；(3) 若AB=5且Z ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值(2)小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上(除C 点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF' 仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程； 解：(1)正确. 证明：在 AB 上取一点M ，使AM45°DCFBM BE . BME QCF 是外角平分线，AMEQ AEBBAE(2)正确.证明：在BA 的延长线上取一点 NBN BE . N PCEQ 四边形ABCD 是正方形， ADAE BEA . NAE △ ANEECF (ASA ). AE EF .ECF . BAE 90°， CEF . AEB△6、如图，射线MB 上,MB=9,A 是射线 MB 方向以1个单位/秒的速度移动，设 求(PAB 为等腰三角形的t 值;MB 外一点,AB=5且A 到射线 P 的运动时间为t.(2)△ PAB 为直角三角形的t 值; 如果不正确，请说明理由. MB 的距离为3,动点P 从图沿射线2 ＞过P 作PG 丄IVIN 于G VMN/7AB^NM=NP过N 作NR 丄MP^R 则有：RM=0.5FM= V宀 忑 J ：Rt ANMRM^RM- y MN=」CMV3 再A — {5・X j ■亍:、x=43。

中考数学：点动产生路径长问题

中考数学：点动产生路径长问题

中考数学：点动产生路径长问题点动产生的路径长问题近年来，中考和我们同学做的中考模拟试卷中，经常出现因动点计算路径长的问题。

这种题型难以发现，计算比较繁琐，在填空题和选择题中比较多。

只要同学们在做题的过程中发现是这种题型，那么点所经过的路径一般就是两种结果：线段和圆弧。

因为只有这两个图形可以计算路径长，其他图形我们目前还无法计算路径长。

下面我们来看看几种常见的题型。

题型1：简单的图形翻转问题。

解法：这种题型比较简单。

只要找出旋转圆心、旋转时圆的半径和圆心角，然后利用扇形的弧长计算公式来计算。

注意，如果是圆弧旋转的话，圆心的路径是直线。

例题1：一块边长为1的等边三角形的木板，沿水平线翻滚，求B点从开始至结束所走过的路径长度。

试题分析：B点从开始至结束走过了4条弧，每条弧是一等边三角形的边为半径的扇形，圆心角为等边三角形的内角，所以B点从开始至结束所走过的路程长度=4l=点评：本题考查扇形的弧长公式，关键是找出扇形的圆心角和半径，考查学生的空间想象能力。

例题2：矩形ABCD的边AB=8，AD=6，放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置A时，顶点A所经过的路线长是多少？题型2：线段型问题也就是路径长是线段，我们会遇到两种情况。

第一种情况是动点始终到某直线的距离是一个定值。

第二种情况需要建立直角坐标系来解决，或者动点与起始时连线始终和某个直线的夹角是一个定值。

第二种情况的难度明显比第一种要大。

例题6：如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边三角形ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是多少？例题7：等边三角形ABC中，BC=6，D、E是边BC上两点，且BD=CE=1，点P是线段DE上的一个动点，过点P分别作AC、AB的平行线交AB、AC于点M、N，连接MN、AP交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段BG扫过的区域面积为多少？例题8：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=30，动点P从点B开始沿边BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CA向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接PQ，点P、Q分别从点B、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）。

动点路径问题

动点路径问题

(2) 0点走过路径与直线 L 围成图形的面积.例5•如图所示，扇形 0AB 从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，/0=60 , OA=1 .(1)求0点所运动的路径长;四、旋转缩放(主从联动) ？从路径=主路径涎缩放比例6•如图，点B 在线段AC 上，点D, E 在AC 同侧，/ A= / C=90 ,BD 丄BE , AD=BC=3 , CE=5 . P 为线段 AB 上的动点，连接 DP,过 点P 作PQ 丄DP,交直线BE 于点Q,连接DQ.当点P 从点A 运动 到AC 的中点时，线段 DQ 的中点所经过的路径长为五、坐标定位(多点运动) ？设参求函数关系例7•如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90 , AC=3 , BC=4，动点P 从点A 出发，沿AC 向点C 以每秒1个单位 长度的速度运动，动点Q 从点C 同时出发，沿CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动， 当其中一点到 达端点时，另一点也随之停止运动•设运动的时间为t 秒(t >0M 所经过的路径长为动点路径问题 一、定点+定长?圆 例1•如图，OA 丄0B,垂足为O, P 、Q 分别是射线 OA 、OB 上两个动点, 点C 是线段PQ 的中点，且PQ=4.则动点C 运动形成的路径长是 例2•矩形ABCD 中，AB=3 , BC=4 , P 是BC 边上一动点，把△ ABP 沿AP 翻折 得厶AQP ，贝U CQ 的最小值为二、定线+定角？圆 例3•如图，以G(0 , -1)为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A, B 两点, 与y轴交于C, D 两点，E 为O G 上一动点，DF 丄AE 于点F.当点 E 从点C 出发顺时针运动到点 B 时，点F 所经过的路径长为 例4•如图，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形0AB 的弧AB 上有一运动的点 从点P 向半径0A 引垂线PH 交0A 于点H .设△ 0PH 的内心为I ，当点P 在 弧AB 上从点A 运动到点B 时，内心I 所经过的路径长为 P.三、定线+定长?线段C AA HD连接BE ，交AG 于点H .若正方形 为 3•如图，已知线段 AB = 6, C 、别作等边三角形 APE 和等边三角形 PBF , G 为线段EF 的中点，点P 由点 路径长度为 ______________ .4•如图，在矩形CD 中，一定角度后， D 是AB 上两点，且 AC = DB = 1 , P 是线段CD 上一动点，在 AB 同侧分 C 的对应边 若 D 7, CG 4, 将 C 绕点 按逆时针方向旋转C 交CD 边于点G .连接 、CC , G ，则 CC (结果保留根号)•当B'(恰好经过点D 时(如图1),求线段 若B'(分别交边AD 、CD 于点F 、G ,且/ 在点E 从点C 移动到点D 的过程中，求点 CE 的长；DAE=22.5 (如图2),求ADFG 的面积;C'运动的路径长.图(1)5•如图，在矩形纸片 ABCD 中，已知 AB=1 , BC= 3，点E 在边CD 上移动，连接 AE ，将多边形 ABCE 沿直线AE 折叠，得到多边形 AB C ，点B 、C 的对应点分别为点 B'、C'.(1)(2)(3)ABCD 的边长为4，则点E 从点A 运动到点D 时，点H 运动的路径长 动点路径问题练习1•如图，直线y=-x+4与两坐标轴交于 A , B 两点，P 为线段OA 上的动点，连接 BP ,过点A 作AM 垂直C 移动到点D 时，G 点移动的 B C B C图(2)请用含t 的代数式表示出点 D 的坐标; 求t 为何值时，△ DPA 的面积最大， 在点P 从0向A 运动的过程中，△OABC 的两边 0A 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上， 0A = 4, OC 矩形6•如图，在平面直角坐标系中， =2.点P 从点0出发，沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点 A 匀速运动，当点 P 到达点A 时停止运动， 设点P 运动的时间是t 秒.将线段CP 的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D ，点D 随点P的运动而 运动，连接DP 、DA . (1)(2)(3) 由；(4) 最大为多少? 请直接写出随着点 P 的运动，点D。

中考数学高频考点《动点综合问题》专项测试卷-带答案

中考数学高频考点《动点综合问题》专项测试卷-带答案

中考数学高频考点《动点综合问题》专项测试卷-带答案（16道）一、单选题1．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上 顶点B C 在x 轴的正半轴上 (3D ()1,1P --．点M 在菱形的边AD 和DC 上运动（不与点A C 重合） 过点M 作MN y ∥轴 与菱形的另一边交于点N 连接PM PN 设点M 的横坐标为x PMN 的面积为y ，则下列图象能正确反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2023·江苏·统考中考真题）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物① ①之间 从①开始 沿直线跑至①处 用手碰到①后立即转身沿直线跑至①处 用手碰到①后继续转身跑至①处 循环进行 全程无需绕过标志物．小华练习了一次250m ⨯的折返跑 用时18s 在整个过程中 他的速度大小v （m/s ）随时间t （s ）变化的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，ABC 中 90C ∠=︒ 15AC = 20BC =．点D 从点A 出发沿折线A C B --运动到点B 停止 过点D 作DE AB ⊥ 垂足为E ．设点D 运动的路径长为x BDE △的面积为y 若y 与x 的对应关系如图所示，则a b -的值为（ ）A ．54B ．52C ．50D ．484．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 对角线,AC BD 交于点O 4AB = 43BC = 垂直于BC 的直线MN 从AB 出发 沿BC 3 当直线MN 与CD 重合时停止运动 运动过程中MN 分别交矩形的对角线,AC BD 于点E F 以EF 为边在MN 左侧作正方形EFGH 设正方形EFGH 与AOB 重叠部分的面积为S 直线MN 的运动时间为t s ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 3AC = 4BC = 在DEF 中 5DE DF == 8EF = BC 与EF 在同一条直线上 点C 与点E 重合．ABC 以每秒1个单位长度的速度沿线段EF 所在直线向右匀速运动 当点B 运动到点F 时 ABC 停止运动．设运动时间为t 秒 ABC 与DEF 重叠部分的面积为S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，60MAN ∠=︒ 在射线AM AN 上分别截取6AC AB == 连接BC MAN ∠的平分线交BC 于点D 点E 为线段AB 上的动点 作EF AM ⊥交AM 于点F 作EG AM ∥交射线AD 于点G 过点G 作GH AM ⊥于点H 点E 沿AB 方向运动 当点E 与点B 重合时停止运动．设点E 运动的路程为x 四边形EFHG 与ABC 重叠部分的面积为S ，则能大致反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图1 在平行四边形ABCD 中 120ABC ∠=︒ 已知点P 在边AB 上 以1m/s 的速度从点A 向点B 运动 点Q 在边BC 上 3m /s 的速度从点B 向点C 运动．若点P Q 同时出发 当点P 到达点B 时 点Q 恰好到达点C 处 此时两点都停止运动．图2是BPQ 的面积()2m y 与点P的运动时间()s t 之间的函数关系图象（点M 为图象的最高点），则平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．212mB ．23mC ．224mD ．2243m8．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 30A ∠=︒ 3cm AB =．动点P 从点A 出发 以1cm/s 的速度沿射线AB 匀速运动 到点B 停止运动 同时动点Q 从点A 出发 3cm/s 的速度沿射线AC 匀速运动．当点P 停止运动时 点Q 也随之停止运动．在PQ 的右侧以PQ 为边作菱形PQMN 点N 在射线AB ．设点P 的运动时间为()s x 菱形PQMN 与ABC 的重叠部分的面积为()2cm y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C．D．9．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中O为原点35OA OB==点C为平面内一动点32BC=连接AC点M是线段AC上的一点且满足:1:2CM MA=．当线段OM取最大值时点M的坐标是（）A．36,55⎛⎫⎪⎝⎭B．365,555C．612,55⎛⎫⎪⎝⎭D．6125,55510．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图1 在Rt ABC△中动点P从A点运动到B点再到C点后停止速度为2单位/s 其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（）A155B427C．17D．5311．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中60A∠=︒4AB=动点M N同时从A 点出发点M以每秒2个单位长度沿折线A B C--向终点C运动点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动当其中一点运动至终点时另一点随之停止运动．设运动时间为x秒AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．12．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 4AB = 动点M N 分别从点A B 同时出发 沿射线AB 射线BC 的方向匀速运动 且速度的大小相等 连接DM MN ND ．设点M 运动的路程为()04x x ≤≤ DMN 的面积为S 下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C．D．13．（2023·河南·统考中考真题）如图1 点P从等边三角形ABC的顶点A出发沿直线运动到三角形内部一点再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x PByPC图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）A．6B．3C．43D．23二解答题14．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，已知①ABC中①C=90° 点M从点C出发沿CB方向以1cm/s 的速度匀速运动到达点B停止运动在点M的运动过程中过点M作直线MN交AC于点N且保持①NMC=45° 再过点N作AC的垂线交AB于点F连接MF将①MNF关于直线NF对称后得到①ENF已知AC=8cm BC=4cm设点M运动时间为t（s）①ENF与①ANF重叠部分的面积为y（cm2）．（1）在点M的运动过程中能否使得四边形MNEF为正方形？如果能求出相应的t值如果不能说明理由（2）求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围（3）当y取最大值时求sin①NEF的值．AB=点O是对角线AC的中点动点P 15．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中4cmQ分别从点A B同时出发点P以1cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动点Q以2cm/s的速度沿折线-向终点D匀速运动．连接PO并延长交边CD于点M连接QO并延长交折线DA ABBC CD-于点N连接PQ QM MN NP得到四边形PQMN．设点P的运动时间为x（s）（04<<）四边形PQMN的x面积为y（2cm）(1)BP的长为__________cm CM的长为_________cm．（用含x的代数式表示）(2)求y关于x的函数解析式并写出自变量x的取值范围．(3)当四边形PQMN是轴对称图形时直接写出x的值．三 填空题16．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 3AB = 4BC =．点E 在边AD 上 且3ED = M N 分别是边AB BC 上的动点 且BM BN = P 是线段CE 上的动点 连接PM PN ．若4PM PN +=．则线段PC 的长为 ．参考答案一、单选题1．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上 顶点B C 在x 轴的正半轴上 (3D ()1,1P --．点M 在菱形的边AD 和DC 上运动（不与点A C 重合） 过点M 作MN y ∥轴 与菱形的另一边交于点N 连接PM PN 设点M 的横坐标为x PMN 的面积为y ，则下列图象能正确反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标 分M 的横坐标x 在01 12 23~之间三个阶段 用含x 的代数式表示出PMN 的底和高 进而求出分段函数的解析式 根据解析式判断图象即可． 【详解】解：菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上 顶点B C 在x 轴的正半轴上 ∴2AB AD == 3OA =∴()2222231OB AB OA --= ∴123OC OB BC =+=+=∴(3A ()10B , ()3,0C 设直线AB 的解析式为y kx b =+ 将(3A ()10B ,代入 得： 03k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得33k b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ ∴直线AB 的解析式为33y x =-MN y ∥轴∴N 的横坐标为x（1）当M 的横坐标x 在01之间时 点N 在线段AB 上 PMN 中MN 上的高为1x + ∴(,33N x x ∴(3333MN x x -+∴()()2113313122PMNS MN x x x x =⋅+=⋅+= ∴该段图象为开口向上的抛物线（2）当M 的横坐标x 在12之间时 点N 在线段BC 上 PMN 中3MN = MN 上的高为1x + ∴()()113313122PMNS MN x x x =⋅+=+=∴该段图象为直线（3）当M 的横坐标x 在23~之间时 点N 在线段BC 上 PMN 中MN 上的高为1x + 由(3D ()3,0C 可得直线CD 的解析式为333y x =-+∴(,333M x x + (),0N x ∴333MN x =-+ ∴()(()21133313331322PMN S MN x x x x =⋅+=-+⋅+=++ ∴该段图象为开口向下的抛物线观察四个选项可知 只有选项A 满足条件故选A ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象 涉及坐标与图形 菱形的性质 二次函数 一次函数的应用等知识点 解题的关键是分段求出函数解析式．2．（2023·江苏·统考中考真题）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物① ①之间 从①开始 沿直线跑至①处 用手碰到①后立即转身沿直线跑至①处 用手碰到①后继续转身跑至①处 循环进行 全程无需绕过标志物．小华练习了一次250m ⨯的折返跑 用时18s 在整个过程中 他的速度大小v （m/s ）随时间t （s ）变化的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据速度与时间的关系即可得出答案．【详解】解：刚开始速度随时间的增大而增大 匀速跑一段时间后减速到① 然后再加速再匀速到① 由于体力原因 应该第一个50米速度快 用的时间少 第二个50米速度慢 用的时间多故他的速度大小v （m/s ）随时间t （s ）变化的图像可能是D ．故选：D ．【点睛】本题主要考查函数的图象 要根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件 结合实际意义得出正确的结论．3．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，ABC 中 90C ∠=︒ 15AC = 20BC =．点D 从点A 出发沿折线A C B --运动到点B 停止 过点D 作DE AB ⊥ 垂足为E ．设点D 运动的路径长为x BDE △的面积为y 若y 与x 的对应关系如图所示，则a b -的值为（ ）A ．54B ．52C ．50D ．48【答案】B 【分析】根据点D 运动的路径长为x 在图中表示出来 设,25AE z BE z ==- 在直角三角形中 找到等量关系 求出未知数的值 得到BDE △的值．【详解】解：当10x =时 由题意可知10,5AD CD ==在Rt CDB △中 由勾股定理得22222520425BD CD BC =+=+=设,25AE z BE z ==-222(25)50625BE z z z ∴=-=-+在Rt ADE △中 由勾股定理得2222100DE AD AE z =-=-在Rt DEB △中 由勾股定理得222BD DE BE =+即2242510050625z z z =-+-+解得6z =6,19DE BE ∴==1198762BDE a S ∴==⨯⨯=当25x =时 由题意可知 10CD BD ==设,25BE q AE q ==-222(25)62550AE q q q =-=-+在Rt CDA △中 由勾股定理得222221510325AD AC CD =+=+=在Rt BDE △中由勾股定理得2222100DB BD BE q =-=-Rt DEA 中 由勾股定理得222AD DE AE =+即2232510062550q q q =-+-+解得8q =6DE ∴=168242BDE b S ∴==⨯⨯= 762452a b ∴-=-=．故选：B ．【点睛】本题主要考查勾股定理 根据勾股定理列出等式是解题的关键 运用了数形结合的思想解题． 4．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 对角线,AC BD 交于点O 4AB = 43BC = 垂直于BC 的直线MN 从AB 出发 沿BC 3 当直线MN 与CD 重合时停止运动 运动过程中MN 分别交矩形的对角线,AC BD 于点E F 以EF 为边在MN 左侧作正方形EFGH 设正方形EFGH 与AOB 重叠部分的面积为S 直线MN 的运动时间为t s ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】求出MN 在O 点左侧时的两段图象 即可得出结论．【详解】解：当MN 在O 点左侧 即：2t <时：①当正方形EFGH 的边GH 在AOB 的外部时 重叠部分为矩形 如图：设,HE FG 分别交AB 于点,I K①垂直于BC 的直线MN 从AB 出发 沿BC 3 ①3IE FK t ==①在矩形ABCD 中 4AB =43BC =①228AC AB BC =+=①4OA OB AB ===①ABO 为等边三角形①60OAB OBA ∠=∠=︒①tan60AI BK IE t ==÷︒=①42IK t =- ①()23422343S IK IE t t t t =⋅=-=-+ 图象为开口向下的一段抛物线①当正方形EFGH 的边GH 在AOB 的内部时 与AOB 重叠部分即为正方形EFGH 如图：由①可知：42EF IK t ==-①()242S t =- 图象是一段开口向上的抛物线当MN 过点O 时 即2t =时 ,E F 重合 此时 0S =综上：满足题意的只有B 选项故选B ．【点睛】本题考查动点的函数图象问题．解题的关键是确定动点的位置 利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 3AC = 4BC = 在DEF 中 5DE DF == 8EF = BC 与EF 在同一条直线上 点C 与点E 重合．ABC 以每秒1个单位长度的速度沿线段EF 所在直线向右匀速运动 当点B 运动到点F 时 ABC 停止运动．设运动时间为t 秒 ABC 与DEF 重叠部分的面积为S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分04t ≤< 48t ≤< 812t ≤<三种情况 分别求出函数解析即可判断．【详解】解：过点D 作DH CB ⊥于H①5DE DF == 8EF = ①142EH FH EF === ①223DH DE EH =-当04t ≤<时如图，重叠部分为EPQ △ 此时EQ t = PQ DH ∥①EPQ EDH ∽ ①PQ EQ DH EH= 即34PQ t = ①34PQ t = ①2133248S t t t =⨯= 当48t ≤<时如图，重叠部分为四边形PQC B '' 此时BB CC t ''== PB DE '∥①12B F BC CF BB t ''=+-=- 8FC t '=-①PB DE '∥①PB F DCF '∽ ①2PB F DCF S B F SCF ''⎛⎫= ⎪⎝⎭又183122DCFS =⨯⨯=①212128PB F S t '-⎛⎫= ⎪⎝⎭ ①()231216PB F S t '=-①DH BC ⊥ 90A B C '''∠=︒①A C DH ''∥①C QF HFD '∽①2C QF HFD S C F S HF ''⎛⎫= ⎪⎝⎭ 即2814432C QF S t '-⎛⎫= ⎪⎝⎭⨯⨯ ①()2388C QF S t '=-①()()22233331283168162PB F C QF S S S t t t t ''=-=---=-++当 812t ≤<时如图，重叠部分为四边形PFB ' 此时BB CC t ''== PB DE '∥①12B F BC CF BB t ''=+-=-①PB DE '∥①PB F DCF '∽①2PB F DCF S B F S CF ''⎛⎫= ⎪⎝⎭ 即212128PB FS t '-⎛⎫= ⎪⎝⎭①()231216PB F S S t '==-综上 ()()()()22230483334816231281216t t S t t t t t ⎧≤<⎪⎪⎪=-++≤<⎨⎪⎪-≤<⎪⎩①符合题意的函数图象是选项A ．故选：A ．【点睛】此题结合图像平移时面积的变化规律 考查二次函数相关知识根据平移点的特点列出函数表达式是关键 有一定难度．6．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，60MAN ∠=︒ 在射线AM AN 上分别截取6AC AB == 连接BC MAN ∠的平分线交BC 于点D 点E 为线段AB 上的动点 作EF AM ⊥交AM 于点F 作EG AM ∥交射线AD 于点G 过点G 作GH AM ⊥于点H 点E 沿AB 方向运动 当点E 与点B 重合时停止运动．设点E 运动的路程为x 四边形EFHG 与ABC 重叠部分的面积为S ，则能大致反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分三种情况分别求出S 与x 的函数关系式 根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．【详解】解：①60MAN ∠=︒ 6AC AB ==①ABC 是边长为6的正三角形①AD 平分MAN ∠①30MAD NAD ∠=∠=︒ AD BC ⊥ 3CD DB ==①当矩形EFGH 全部在ABC 之中 即由图1到图2 此时03x <≤①EG AC ∥①30MAD AGE ∠=∠=︒①30NAD AGE ∠=∠=︒①AE EG x ==在Rt AEF 中 60EAF ∠=︒ ①33EF AE =①23S = ①如图3时 当AE AF GE AF AF CF AC +=+=+= 则162x x += 解得4x = 由图2到图3 此时34x <≤如图4 记BC EG 的交点为Q ，则EQB △是正三角形①6EQ EB BQ x ===-①()626GQ x x x =--=- 而60PQG ∠=︒ ①)3326PG QG x ==-①PQG EFHG S S S =-矩形())231263262x x =-⨯-- 233123183x =+- ①如图6时 6x = 由图3到图6 此时46x <≤如图5 同理EKB △是正三角形①6EK KB EB x ===- 162FC AC AF x =-=- 3EF x = ①EKCF S S =梯形1136622x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ 23333x x =+ 因此三段函数的都是二次函数关系 其中第1段是开口向上 第2段 第3段是开口向下的抛物线 故选：A ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象 求出各种情况下S 与x 的函数关系式是正确解答的前提 理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键．7．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图1 在平行四边形ABCD 中 120ABC ∠=︒ 已知点P 在边AB 上 以1m/s 的速度从点A 向点B 运动 点Q 在边BC 上 3m /s 的速度从点B 向点C 运动．若点P Q 同时出发 当点P 到达点B 时 点Q 恰好到达点C 处 此时两点都停止运动．图2是BPQ 的面积()2m y 与点P的运动时间()s t 之间的函数关系图象（点M 为图象的最高点），则平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．212mB ．23mC ．224mD ．2243m【答案】C【分析】根据题意可得：3BC = 3AP t BQ t ==， 设m AB a =，则3m BC a = 作PE BC ⊥交CB 的延长线于点E 作AF BC ⊥交CB 的延长线于点F ，则可得33m AF AB == ))333m PE PB AB PA a t =-=- 从而得到22334216PBQa St a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 根据PBQS的最大值为3求出a 的值 从而得到4m 43m 23m AB BC AF ===，， 最后由平行四边形的面积公式进行计算即可得到答案．【详解】解：根据题意可得：3BC = 3AP t BQ t ==， 设m AB a =，则3m BC a =作PE BC ⊥交CB 的延长线于点E 作AF BC ⊥交CB 的延长线于点F120ABC ∠=︒ 60ABF ∴∠=︒33m AF AB ∴== ))333m PE AB PA a t ==-=- )2221133333322444216PBQa SBQ PE t a t t at t a ⎛⎫∴=⋅⋅=-=-+=--+ ⎪⎝⎭ 由图象可得PBQS 的最大值为323316a ∴=解得：4a =或4a =-（舍去） 4a ∴=4m 43m 23m AB BC AF ∴===，，∴平行四边形ABCD 的面积为：2432324m BC AF ⋅=故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质 解直角三角形 二次函数的图象与性质 熟练掌握平行四边形的性质 二次函数的图象与性质 添加适当的辅助线构造直角三角形 是解题的关键．8．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 30A ∠=︒ 3cm AB =．动点P 从点A 出发 以1cm/s 的速度沿射线AB 匀速运动 到点B 停止运动 同时动点Q 从点A 出发 3cm/s 的速度沿射线AC 匀速运动．当点P 停止运动时 点Q 也随之停止运动．在PQ 的右侧以PQ 为边作菱形PQMN 点N 在射线AB ．设点P 的运动时间为()s x菱形PQMN 与ABC 的重叠部分的面积为()2cm y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先证明菱形PQMN 是边长为x 一个角为60︒的菱形 找到临界点 分情况讨论 即可求解． 【详解】解：作PD AC ⊥于点D 作⊥QE AB 于点E由题意得AP x = 3AQ x = ①3cos30AD AP =⋅︒= ①12AD DQ AQ ==①PD 是线段AQ 的垂直平分线 ①30PQA A ∠=∠=︒①60QPE ∠=︒ PQ AP x == ①132QE AQ x == PQ PN MN QM x ==== 当点M 运动到直线BC 上时此时 BMN 是等边三角形 ①113AP PN BN AB ==== 1x = 当点Q N 运动到与点C B 、重合时①1322AP PN AB === 32x = 当点P 运动到与点B 重合时 ①3AP AB == 3x = ①当01x <≤时 233y x x ==当312x <≤时 如图，作FG AB ⊥于点G 交QM 于点R则32BN FN FB x ===- 33FM MS FS x ===- )333FR x =- ①())2231373939333332y x x -⋅--=+当332x <<时 如图，作HI AB ⊥于点I则3BP PH HB x ===- )33HI x =- ①())21333393332y x x =⋅--= 综上 y 与x 之间函数关系的图象分为三段 当01x <≤时 是开口向上的一段抛物线 当312x <≤时 是开口向下的一段抛物线 当332x <≤时 是开口向上的一段抛物线 只有选项A 符合题意 故选：A ．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数的图象 二次函数的图形的性质 等边三角形的性质 菱形的性质 三角形的面积公式 利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．9．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 O 为原点 35OA OB == 点C 为平面内一动点 32BC =连接AC 点M 是线段AC 上的一点 且满足:1:2CM MA =．当线段OM 取最大值时 点M 的坐标是（ ）A ．36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．365,555C ．612,55⎛⎫⎪⎝⎭D ．6125,555 【答案】D【分析】由题意可得点C 在以点B 为圆心32为半径的OB 上 在x 轴的负半轴上取点350D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭连接BD 分别过C M 作CF OA ⊥ ME OA ⊥ 垂足为F E 先证OAM DAC ∽ 得23OM OA CD AD == 从而当CD 取得最大值时 OM 取得最大值 结合图形可知当D B C 三点共线 且点B 在线段DC 上时 CD 取得最大值 然后分别证BDO CDF ∽ AEM AFC ∽ 利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：①点C 为平面内一动点 32BC = ①点C 在以点B 为圆心32为半径的OB 上 在x 轴的负半轴上取点350D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭连接BD 分别过C M 作CF OA ⊥ ME OA ⊥ 垂足为F E①35OA OB ==①AD OD OA =+=95①23OA AD = ①:1:2CM MA = ①23OA CMAD AC==①OAM DAC ∠∠= ①OAM DAC ∽ ①23OM OA CD AD == ①当CD 取得最大值时 OM 取得最大值 结合图形可知当D B C 三点共线 且点B 在线段DC 上时CD 取得最大值①35OA OB == OD =35①BD =()222235153522OB OD ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭①9CD BC BD =+= ①23OM CD = ①6OM =①y 轴x ⊥轴 CF OA ⊥ ①90DOB DFC ∠∠==︒ ①BDO CDF ∠∠= ①BDO CDF ∽①OB BDCF CD=153529=解得185CF =同理可得 AEM AFC ∽①23ME AM CF AC ==23185= 解得125ME =①22221256565OE OM ME ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭①当线段OM 取最大值时 点M 的坐标是65125⎝⎭，故选D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理 相似三角形的判定及性质 圆的一般概念以及坐标与图形 熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．10．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图1 在Rt ABC △中 动点P 从A 点运动到B 点再到C 点后停止 速度为2单位/s 其中BP 长与运动时间t （单位：s ）的关系如图2，则AC 的长为（ ）A 155B 427C ．17D ．53【答案】C【分析】根据图象可知0=t 时 点P 与点A 重合 得到15AB = 进而求出点P 从点A 运动到点B 所需的时间 进而得到点P 从点B 运动到点C 的时间 求出BC 的长 再利用勾股定理求出AC 即可． 【详解】解：由图象可知：0=t 时 点P 与点A 重合 ①15AB =①点P 从点A 运动到点B 所需的时间为1527.5s ÷= ①点P 从点B 运动到点C 的时间为11.57.54s -= ①248BC =⨯=在Rt ABC △中：2217AC AB BC += 故选C ．【点睛】本题考查动点的函数图象 勾股定理．从函数图象中有效的获取信息 求出,AB BC 的长 是解题的关键．11．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 60A ∠=︒ 4AB = 动点M N 同时从A 点出发 点M 以每秒2个单位长度沿折线A B C --向终点C 运动 点N 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动 当其中一点运动至终点时 另一点随之停止运动．设运动时间为x 秒 AMN 的面积为y 个平方单位，则下列正确表示y 与x 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】连接BD 过点B 作BE AD ⊥于点E 根据已知条件得出ABD △是等边三角形 进而证明AMN ABE ∽得出90ANM AEB ∠=∠=︒ 当04t <<时 M 在AB 上 当48t ≤<时 M 在BC 上 根据三角形的面积公式得到函数关系式【详解】解：如图所示 连接BD 过点B 作BE AD ⊥于点E 当04t <<时 M 在AB 上菱形ABCD 中 60A ∠=︒ 4AB = ①AB AD =，则ABD △是等边三角形 ①122AE ED AD === 33BE AE =①2,AM x AN x ==①2AM ABAN AE== 又A A ∠=∠ ①AMN ABE ∽ ①90ANM AEB ∠=∠=︒ ①223MN AM AN x - ①21332y x x x =当48t ≤<时 M 在BC 上①1123322y AN BE x x =⨯=⨯ 综上所述 04t <<时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分 当48t ≤<时 函数图象是直线的一部分 故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象 二次函数图象的性质 一次函数图象的性质 菱形的性质 勾股定理 等边三角形的性质与判定 相似三角形的性质与判定 熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 4AB = 动点M N 分别从点A B 同时出发 沿射线AB 射线BC 的方向匀速运动 且速度的大小相等 连接DM MN ND ．设点M 运动的路程为()04x x ≤≤ DMN 的面积为S 下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先根据ADMDCNBMNABCD S S S SS=---正方形 求出S 与x 之间函数关系式 再判断即可得出结论．【详解】解：ADMDCNBMNABCD S S SSS=---正方形1114444(4)(4)222x x x x =⨯-⨯-⨯---21282x x =-+ 21(2)62x =-+ 故S 与x 之间函数关系为二次函数 图像开口向上 2x =时 函数有最小值6 故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质 二次函数的图像与性质 本题的关键是求出S 与x 之间函数关系式 再判断S 与x 之间函数类型．13．（2023·河南·统考中考真题）如图1 点P 从等边三角形ABC 的顶点A 出发 沿直线运动到三角形内部一点 再从该点沿直线运动到顶点B ．设点P 运动的路程为x PBy PC= 图2是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则等边三角形ABC 的边长为（ ）A ．6B ．3C ．43D ．23【答案】A【分析】如图，令点P 从顶点A 出发 沿直线运动到三角形内部一点O 再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知 当点P 在AO 上运动时 PB PC = 23AO = 易知30BAO CAO ∠=∠=︒ 当点P 在OB 上运动时 可知点P 到达点B 时的路程为3 可知23AO OB == 过点O 作OD AB ⊥ 解直角三角形可得cos303AD AO =⋅︒= 进而可求得等边三角形ABC 的边长．【详解】解：如图，令点P 从顶点A 出发 沿直线运动到三角形内部一点O 再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知 当点P 在AO 上运动时1PB PC= ①PB PC = 3AO =又①ABC 为等边三角形①60BAC ∠=︒ AB AC =①()SSS APB APC △≌△①BAO CAO ∠=∠①30BAO CAO ∠=∠=︒ 当点P 在OB 上运动时 可知点P 到达点B 时的路程为43①3OB = 即23AO OB ==①30BAO ABO ∠=∠=︒过点O 作OD AB ⊥①AD BD =，则cos303AD AO =⋅︒=①6AB AD BD =+=即：等边三角形ABC 的边长为6故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象 解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．2二 解答题14．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，已知①ABC 中 ①C =90° 点M 从点C 出发沿CB 方向以1cm /s的速度匀速运动 到达点B 停止运动 在点M 的运动过程中 过点M 作直线MN 交AC 于点N 且保持①NMC =45° 再过点N 作AC 的垂线交AB 于点F 连接MF 将①MNF 关于直线NF 对称后得到①ENF 已知AC =8cm BC =4cm 设点M 运动时间为t （s ） ①ENF 与①ANF 重叠部分的面积为y （cm 2）．（1）在点M 的运动过程中 能否使得四边形MNEF 为正方形？如果能 求出相应的t 值 如果不能 说明理由（2）求y 关于t 的函数解析式及相应t 的取值范围（3）当y 取最大值时 求sin ①NEF 的值．【答案】（1）85（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-<<+-=)42(31643121)20(24122t t t t t t y （3310 【详解】试题分析：（1）由已知得出CN =CM =t FN ①BC 得出AN =8﹣t 由平行线证出①ANF ①①ACB 得出对应边成比例求出NF =12AN =12（8﹣t ） 由对称的性质得出①ENF =①MNF =①NMC =45° MN =NE OE =OM =CN =t 由正方形的性质得出OE =ON =FN 得出方程 解方程即可（2）分两种情况：①当0＜t ≤2时 由三角形面积得出2124y t t =-+ ①当2＜t ≤4时 作GH ①NF 于H 由（1）得：NF =12（8﹣t ） GH =NH GH =2FH 得出GH =23NF =13（8﹣t ） 由三角形面积得出21(8)12y t =-（2＜t ≤4） （3）当点E 在AB 边上时 y 取最大值 连接EM ，则EF =BF EM =2CN =2CM =2t EM =2BM 得出方程 解方程求出CN =CM =2 AN =6 得出BM =2 NF =12AN =3 因此EM =2BM =4 作FD ①NE 于D由勾股定理求出EB 22EM BM +=25 求出EF =12EB 5 由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出DF 的长 在Rt①DEF 中 由三角函数定义即可求出sin①NEF 的值．试题解析：解：（1）能使得四边形MNEF 为正方形 理由如下：连接ME 交NF 于O 如图1所示：①①C =90° ①NMC =45° NF ①AC ①CN =CM =t FN ①BC ①AN =8﹣t ①ANF ①①ACB ①84AN AC NF BC == =2 ①NF =12AN =12（8﹣t ） 由对称的性质得：①ENF =①MNF =①NMC =45° MN =NE OE =OM =CN =t ①四边形MNEF 是正方形 ①OE =ON =FN ①t =12×12（8﹣t ） 解得：t =85即在点M 的运动过程中 能使得四边形MNEF 为正方形 t 的值为85（2）分两种情况：①当0＜t ≤2时 y =12×12（8﹣t ）×t =2124t t -+ 即2124y t t =-+（0＜t ≤2） ①当2＜t ≤4时 如图2所示：作GH ①NF 于H 由（1）得：NF =12（8﹣t ） GH =NH GH =2FH ①GH =23NF =13（8﹣t ） ①y =12NF ′GH =12×12（8﹣t ）×13（8﹣t ）=21(8)12t - 即21(8)12y t =-（2＜t ≤4） 综上所述：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-<<+-=)42(31643121)20(24122t t t t t t y ．（3）当点E 在AB 边上时 y 取最大值 连接EM 如图3所示：则EF =BF EM =2CN =2CM =2t EM =2BM ①BM =4﹣t ①2t =2（4﹣t ） 解得：t =2 ①CN =CM =2 AN =6 ①BM =4﹣2=2 NF =12AN =3 ①EM =2BM =4 作FD ①NE 于D ，则EB 22EM BM +2242+=5 ①DNF 是等腰直角三角形①EF =12EB 5 DF =22 NF 32 在Rt①DEF 中 sin①NEF =DF EF 3225310【点睛】本题是四边形综合题目 考查了正方形的判定与性质 相似三角形的判定与性质 勾股定理 三角函数 三角形面积的计算 等腰直角三角形的判定与性质等知识 本题综合性强 有一定难度． 15．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 4cm AB = 点O 是对角线AC 的中点 动点P Q 分别从点A B 同时出发 点P 以1cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动 点Q 以2cm/s 的速度沿折线BC CD -向终点D 匀速运动．连接PO 并延长交边CD 于点M 连接QO 并延长交折线DA AB -于点N 连接PQ QM MN NP 得到四边形PQMN ．设点P 的运动时间为x （s ）（04x <<） 四边形PQMN 的面积为y （2cm ）(1)BP 的长为__________cm CM 的长为_________cm ．（用含x 的代数式表示）(2)求y 关于x 的函数解析式 并写出自变量x 的取值范围．(3)当四边形PQMN 是轴对称图形时 直接写出x 的值．【答案】(1)()4x - x(2)()()2412160241624x x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩(3)43x =或83x = 【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出,OM OP OQ ON == 可得四边形PQMN 是平行四边形 证明ANP CQM ≌即可（2）分02x <≤ 24x <≤两种情况分别画出图形 根据正方形的面积 以及平行四边形的性质即可求解 （3）根据（2）的图形 分类讨论即可求解．【详解】（1）解：依题意 1AP x x =⨯=()cm ，则()4PB AB AP x cm =-=-①四边形ABCD 是正方形①,90AD BC DAB DCB ∠=∠=︒∥①点O 是正方形对角线AC 的中点①,OM OP OQ ON ==，则四边形PQMN 是平行四边形①MQ PN = MQ NP ∥①PNQ MQN ∠=∠又AD BC ∥①ANQ CQN ∠=∠①ANP MQC ∠=∠在,ANP CQM 中ANP MQC NAP QCM NP MQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①ANP CQM ≌①()cm MC AP x ==故答案为：()4x - x ．（2）解：当02x <≤时 点Q 在BC 上由（1）可得ANP CQM ≌同理可得PBQ MDN ≌①4,2,PB x QB x MC x =-== 42QC x =-则222MCQ BPQ y AB S S =--()()164242x x x x =--⨯--241216x x =-+当24x <≤时 如图所示则AP x = 224AN CQ x CB x ==-=-()244PN AP AN x x x =-=--=-+①()44416y x x =-+⨯=-+综上所述 ()()2412160241624x x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（3）依题意 ①如图，当四边形PQMN 是矩形时 此时90PQM ∠=︒①90PQB CQM ∠+∠=︒①90BPQ PQB ∠+∠=︒①BPQ CQM ∠=∠又B BCD ∠=∠①~BPQ CQM ①BP BQ CQ CM= 即4242x x x x-=- 解得：43x =当四边形PQMN 是菱形时，则PQ MQ =①()()()22224242x x x x -+=+-解得：0x =（舍去）①如图所示 当PB CQ =时 四边形PQMN 是轴对称图形424x x -=- 解得83x = 当四边形PQMN 是菱形时，则4PN PQ == 即44x -+= 解得：0x =（舍去）综上所述 当四边形PQMN 是轴对称图形时 43x =或83x =． 【点睛】本题考查了正方形的性质 动点问题 全等三角形的性质与判定 矩形的性质 平行四边形的性质与判定 菱形的性质 轴对称图形 熟练掌握以上知识是解题的关键．三 填空题16．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 3AB = 4BC =．点E 在边AD 上 且3ED = M N 分别是边AB BC 上的动点 且BM BN = P 是线段CE 上的动点 连接PM PN ．若4PM PN +=．则线段PC 的长为 ．。

动点路径长专题

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点的运动路径问题一、常见类型：1.线段 2.圆弧 3.组合型二、解题步骤：第一步，取动点在运动过程中特殊的三点（运动开始、运动中、运动结束）位置探索出动点运动的路径形状；三点共线线段三点不共线圆弧第二步，根据题目的已知条件求出动点运动的路径长；三点共线线段（勾股定理、两点间距离公式等）三点不共线圆弧（确定圆心、半径、圆心角）三、典例分析1．如图，已知AB=10，P 是线段AB 上的动点，分别以AP 、PB为边在线段AB 的同侧作等边△ACP 和△PDB ，连接CD ，设CD 的中点为G ，当点P 从点A 运动到点B 时，则点G 移动路径的长是 _________ ．2．如图，边长为4的等边△AOB 的顶点O 在坐标原点，点A 在x 轴正半轴上，点B 在第一象限．一动点P 沿x 轴以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．在点P 的运动过程中，线段BP 的中点为点E ，将线段PE 绕点P 按顺时针方向旋转60°得PC ．（1）当点P 运动到线段OA 的中点时，点C 的坐标为 _________ ；（2）在点P 从点O 到点A 的运动过程中，用含t 的代数式表示点C 的坐标；（3）在点P 从点O 到点A 的运动过程中，求出点C 所经过的路径长．3如图，一块含有30º角的直角三角形ABC ，在水平桌面上绕点C 按顺时针方向旋转到 A ’B ’C ’的位置。

若BC 的长为15cm ，那么顶点A 从开始到结束所经过的路径长为 （ ）A ．π10cmB ．π310cmC ．π15cmD ．π20cm4．如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A 、B 两点，点P 为线段OA 上的动点，连接BP ，过点A 作AM 垂直于直线BP ，垂足为M ，当点P 从点O 运动到点A 时，则点M 运动路径的长为 _________ ． 1122(,),(,)A x y B x y 若，则AB5在矩形ABCD 中，已知AB =2cm ，BC =3cm ，现有一根长为2cm 的木棒EF 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF 的中点P 在运动过程中所经过的路径为 cm.6如图，一根长为2米的木棒AB 斜靠在墙角处，此时BC 为1米，当A 点下滑至A ′处并且A ′C=1米时，木棒AB 的中点P 运动的路径长为__________米．7如图，在Rt △ABC 纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P 在AC 上运动，将纸片沿PB 折叠，得到点C 的对应点D （P 在C 点时，点C 的对应点是本身），则折叠过程对应点D 的路径长是 ．B C E F。

动点路径长专题

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专题3 （动点路径长）•选择题（共2小题）1如图，抛物线y=x 2-丄x - E 与直线y=x - 2交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），动点P 从A 点出发，先到达2囤抛物线的对称轴上的某点 E ,再到达x 轴上的某点F ,最后运动到点 B .若使点P 运动的总路径最短，则点 P 运动 F .当点E 从点B 出发顺时针运动到点 D 时，点F 所经过的路径长为（ ） CA.B 各C . 2忑 —:~! J LD .爲23 3.填空题（共9小题） P 为线段0A 上的动点，连接 BP ,过点A M 运动路径的长为 .4. 如图，半径为 2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 的「上有一运动的点 P .从点P 向半径0A 引垂线PH 交0A 于点H .设△ 0PH 的内心为I ，当点P 在AB 上从点A 运动到点B 时，内心I 所经过的路径长为 _____________________ 2.如图，半径为 4的O O 中，CD 为直径，弦AB 丄CD 且过半径 0D 的中点，点E 为OO 上一动点,CF 丄AE 于点y= - x+4与两坐标轴交 A 、B 两点，点 M ,当点P 从点0运动到点A 时，则点 的总路径的长为（3. （2013?鄂尔多斯）如图，直线&（ 2013?湖州）如图，已知点A 是第一象限内横坐标为 2 I ；的一个定点，AC 丄x 轴于点M ，交直线y= - x 于点N .若 点P 是线段0N 上的一个动点，/ APB=30 ° BA 丄PA ,则点P 在线段0N 上运动时，A 点不变，B 点随之运动.求 当点P 从点0运动到点N 时，点B 运动的路径长是 _______________________________ .5. （2011?江西模拟）已知扇形的圆心角为 60°半径为1,将它沿着① 点0到0的路径是 OO I T O I O 2T O 2O';② 点0到0的路径是 一-； ③ 点0在01-02段上运动路线是线段 0102;④ 点0到0的所经过的路径长为三兀.以上命题正确的是 ____________________箭头方向无滑动滚动到 0'A'B 位置,6. （2013?宁德）如图，在 Rt △ ABC 纸片中，/ C=90 ° AC=BC=4，点P 在AC 上运动，将纸片沿 PB 折叠，得到 点C 的对应点D （ P 在C 点时，点C 的对应点是本身）7.如图，已知 AB=10 , P 是线段AB 上的动点，分别以 连接CD ，设CD 的中点为G ,当点P 从点A 运动到点 AP 、PB 为边在线段 AB 的同侧作等边 △ ACP 和厶PDB , B 时，则点G 移动路径的长是 ________________.，则折叠过程对应点V卜 //\O77 *Ch 忙9. （2013?桂林）如图，已知线段AB=10 , AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为01、02，当点P从点C运动到点D时，线段092中点G的运动路径的长是_ _ .P . SC10. （2013?竹溪县模拟）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=1 ; P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ AEP和等边△ PFB，连结EF,设EF的中点为G;当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是_________________________ .三.解答题（共1小题）12. （2012?义乌市模拟）如图，边长为4的等边△ AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P 运动的时间是t秒.在点P的运动过程中，线段BP的中点为点E,将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60°得PC .（1）当点P运动到线段OA的中点时，点C的坐标为 _______________ ;（2）在点P从点O到点A的运动过程中，用含t的代数式表示点C的坐标；（3）在点P从点O到点A的运动过程中，求出点C所经过的路径长.11•如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时AB的中点P运动的路径长为_______________ 米.BC为1米，当A点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒《动点路径长专题》参考答案与试题解析•选择题（共2小题）1如图，抛物线y=x2--x -上与直线y=x - 2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动忸2点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B •若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）考点：二次函数综合题.专题：压轴题.分析：首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴xJ-的对称点4A '，作点B关于x轴的对称点B '，连接A B '，则直线A B '与直线x==的交点是E,与x轴的交点是F,而4二A B气/"严+B’代弩-•••点P运动的总路径的长为二V29 B • “ C • !. D •上2323解答:且易得A B即是所求的长度.解：如图2•••抛物线••• x2f-丄x -2:;=x - 2■=x 2，卩直线y=x- 2交于A、B两点,解得: x=1当x=1 时,当x=-；时,或r,y=x - 2= - 1,y=x - 2=-y ::,2故选A.点评：此题考查了二次函数与一次函数的综合应用.注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用.2.如图，半径为4的O O中，CD为直径，弦AB丄CD且过半径0D的中点，点E为O O上一动点，CF丄AE于点F.当点E 从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A .伍兀B昌C.砸仃D各233考点：圆的综合题.专题：压轴题.分析：连接AC , AO,由AB丄CD，利用垂径定理得到G为AB的中点，由中点的定义确定出0G的长，在直角三角形AOG中，由A0与0G的长，利用勾股定理求出AG的长，进而确定出AB的长，由CO+GO求出CG的长，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F 的运动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，CG丄AE , 此时F与G重合；当E位于D时，CA丄AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长-：-,在直角三角形ACG中，利用锐角三角函数定义求出/ ACG的度数，进而确定出，…所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，禾U用弧长公式即可求出^的长，即可求出点F所经过的路径长.解答：解：连接AC , AO ,•/ AB 丄CD ,• G为AB的中点，即AG=BG=：AB ,2•/ O O的半径为4,弦AB丄CD且过半径OD的中点，• OG=2,•••在Rt△ AOG中，根据勾股定理得：AG= J「亠=2一；，• AB=2AG=4 「；，又•/ CG=CO+GO=4+2=6 ,•••在Rt△ AGC中，根据勾股定理得：人。

正方形的动点问题 含答案

正方形的动点问题 含答案

专题1.21正方形的动点问题（专项练习）一、单选题1．如图，在正方形ABCD 中，2,AB P =是AD 边上的动点，PE AC ⊥于点,E PF BD ⊥于点F ，则PE PF +的值为（）A ．4B ．CD ．22．如图，在边长为8的正方形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、BC 上的动点，且6EF =，M 为EF 中点，P 是边AD 上的一个动点，则CP PM +的最小值是（）A ．10B ．3-C ．3D ．5+3．如图，动点M 在边长为2的正方形ABCD 内，且AM BM ⊥，P 是CD 边上的一个动点，E 是AD 边的中点，则线段PE PM +的最小值为（）A 1-B 1+CD 1+二、填空题4．如图，已知2AB =，点D 是等腰Rt ABC ∆斜边AC 上的一动点，以BD 为一边向右下方作正方形BDEF ，当动点D 由点A 运动到点C 时，则动点F 运动的路径长为______.5．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 的中点，点P 是边BC 上的动点，点Q 是对角线AC 上的动点（包括端点A 、C ），则EP ＋PQ 的最小值是_________．6．如图，已知正方形ABCD 的边长是1，点E 是CD 边上的中点.P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A 点出发，沿A B C E →→→运动，到达点E .若点P 经过的路程为自变量x ，APE ∆的面积为因变量y ，则当15y =时，x 的值等于_________．7．已知正方形ABCD 的边长是1，E 为CD 边的中点，P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A 点出发，沿A B C D →→→运动，到达点E.若点P 经过的路程为自变量x ，△APE 的面积为函数y ，则当y ＝13时，x 的值等于_____________．8．如图，正方形ABCD 中，3AB =，点E 为对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ．点H 是CD 上一点，且23DH CD =，连接GH ，CG ，则DCG ∠=________度，运动变化过程中，GH 的最小值为________．9．如图，在正方形ABCD 中，AB =，点P 为边AB 上一个动点（不与A ，B 重合），过点A ，P 在正方形内部作正方形APEF ，交边AD 于F 点，连接DE ，EC ，当CDE △为等腰三角形时，AP =__________．10．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 边上一个动点，点F 是CD 边上一个动点，且AE ＝CF ，过点B 作BG ⊥EF 于点G ，连接AG ，则AG 长的最小值是_____．11．如图，正方形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，作PN CD ⊥于点N ，连接BP ，BN．若3AB =，BP =，则BN 的长为_________．12．如图，正方形ABCD 的边长是9，点E 是AB 边上的一个动点，点F 是CD 边上一点，4CF =，连接EF ，把正方形ABCD 沿EF 折叠，使点A ，D 分别落在点A '，D ¢处，当点D ¢落在线段BC 上时，线段AE 的长为__________．三、解答题13．（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．（2）如图2，在正方形ABCD 中，如果点E 、F 分别是CB 、DC 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则EF 、BE 、DF 之间数量关系是什么？请写出证明过程．（3）如图1，若正方形ABCD 的边长为6，35AE =AF 的长．14．如图，已知正方形ABCD 的边长是1，E 为CD 的中点，P 为正方形边上的一个动点，动点P 从A 出发沿A B C E ⇒⇒⇒运动，最终到达点E ，若点P 经过的路程AP x =，APE 的面积记为y ，问当x 等于何值时，y 的值等于13？15．如图，正方形ABCD 中，G 是CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF ，连接DE ，连接BG 并延长交DE 于H ．()1求证：BGC DEC ∠=∠．()2若正方形ABCD 的边长为1，试问当点G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE ？16．如图，已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC ==，点D 为边BC 上一动点，四边形ADEG 是正方形，连接GC ，正方形对角线AE 交BC 于点F ．（1）求证：ABD ACG △≌△；（2）若4BD =，求AE 的值；（3）若5DF =，求BD 的值．17．已知：正方形ABCD 的对角线交于点O ，E 是线段OC 上的一动点，过点A 作AG BE ⊥交G ，交BD 于F ．（1）若动点E 在线段OC 上（不含端点），如图（1），求证：OF OE =；（2）若动点E 在线段OC 的延长线上，如图（2），试判断OEF 的形状，并说明理由．18．（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 边上的动点，且∠EAF ＝45°，求证：EF ＝DF+BE ．（2）如图2，在正方形ABCD 中，如果点E 、F 分别是CB 、DC 延长线上的动点，且∠EAF ＝45°，则EF 、BE 、DF 之间数量关系是什么？请写出证明过程．（3）如图1，若正方形ABCD 的边长为6，AE ＝AF 的长．19．如图所示，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD ，CD 上的两个动点，且AE DF =，BE 交AF 于点H ，2AB =，连DH .求证：AF BE ⊥.20．已知，如图所示，正方形ABCD 的边长为1，G 为CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连接DE 交BG 的延长线于点H .（1）求证：①BCG ∆≌△DCE .②BH DE ⊥.（2）当BH 平分DE 时，求GC 的长.21．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ADEB 和正方形BCFH ．（1）当BC m =时，正方形BCFH 的周长=_______（用含m 的代数式表示）；（2）连接CE ．试说明：三角形BEC 的面积等于正方形BCFH 面积的一半．（3）已知2AC BC ==，且点P 是线段DE 上的动点，点Q 是线段BC 上的动点，当P 点和Q 点在移动过程中，APQ ∆的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．22．如图，,M N 是正方形ABCD 的边CD 上的两个动点，满足,,CM DN AC BM =相交于点,E DE 与AN 相交于点F ，连接CF ．（1）求证：DE AN ⊥；（2）若正方形ABCD 的边长为4，求CF 的最小值．23．已知正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别是OB 、OC 上的动点，（1）如果动点E 、F 满足BE=CF （如图）：①写出所有以点E 或F 为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）；②证明：AE ⊥BF ；（2）如果动点E 、F 满足BE=OF （如图），问当AE ⊥BF 时，点E 在什么位置，并证明你的结论．24．在正方形ABCD中，点E是边CD的中点，点M是对角线AC上的动点，连接ME，⊥交正方形的边于点F；过点M作MF ME（1）当点F在边BC上时，①判断ME与MF的数量关系；∠=∠时，判断点M的位置；②当AEM DFM（2）若正方形的边长为2，请直接写出点F在BC边上时，AM的取值范围.参考答案1．C【分析】根据正方形的对角线互相垂直可得OA ⊥OD ，对角线平分一组对角可得∠OAD=45°，然后求出四边形OEPF 为矩形，△AEP 是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF=OE ，根据等腰直角三角形的性质可得PE=AE ，从而得到PE+PF=OA ，然后根据正方形的性质解答即可．解：在正方形ABCD 中，OA ⊥OB ，∠OAD=45°，∵PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，∴四边形OEPF 为矩形，△AEP 是等腰直角三角形，∴PF=OE ，PE=AE ，∴PE+PF=AE+OE=OA ，∵正方形ABCD 的边长为2，∴11.22===OA AC 故选：C【点拨】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质求出PE+PF=OA 是解题的关键．2．B【分析】延长CD 到C′，使C′D ＝CD ，CP ＋PM ＝C′P ＋PM ，当C′，P ，N 三点共线时，C′P ＋PM 的值最小，根据题意，点M 的轨迹是以B 为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C′到圆上一点M 距离的最小值C′M ＝C′B−3，根据勾股定理即可得到结论．【详解】延长CD 到C′，使C′D ＝CD ，CP ＋PM ＝C′P ＋PM ，当C′，P ，M 三点共线时，C′P ＋PM 的值最小，根据题意，点M 的轨迹是以B 为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C′到圆上一点M 距离的最小值C′M ＝C′B−3，∵BC ＝CD ＝8，∴CC′＝16，∴C′B ==∴CP＋PM的最小值是−3，故选B．【点拨】本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的找到P点的位置是解题的关键．3．A【分析】作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE＋PM的最小值为OE'的值减去以AB为直径的圆的半径OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．解答：解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图：∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝12AB＝1，∵正方形ABCD的边长为2，∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，∵E是AD的中点，∴DE ＝12AD ＝12×2＝1，∵点E 与点E '关于DC 对称，∴DE '＝DE ＝1，PE ＝PE '，∴AE '＝AD ＋DE '＝2＋1＝3，在Rt △AOE '中，OE '，∴线段PE ＋PM 的最小值为：PE ＋PM＝PE '＋PM＝ME '＝OE '−OM−1．故选：A ．【点拨】本题考查了轴对称−最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．4．【分析】连接CF ，根据题意先证出BAD BCF ∆≅∆，然后得出AD CF =，所以点F 运动的路径长度即为点D 从A 到C 的运动路径，继而得出结论【详解】连接CF ，∵2AB =，ABC ∆是等腰直角三角形，∴AC =∠ABC=90°∵四边形BDEF 是正方形∴BD=BF ，∠DBF=∠ABC=90°，∴∠ABD=∠CBF,在△DAP 与△BAP 中AB BC ABD CBF BD BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BAD BCF∆≅∆，∴AD CF=，点F运动的路径长度即为点D从A到C的运动路径,为22CF=.故答案为22【点拨】本题主要考查的是等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、正方形的性质以及全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．5．32【解析】试题解析：如图作点E关于BC的对称点E′，作E′Q′⊥AC于Q′交BC于P．∴PE=PE′，∴PQ+PE=PE′+PQ，当Q用Q′重合时，PE+PQ最小（垂线段最短），∵四边形ABCD是正方形，∴∠E′AQ′=45°，∵AE′=6，∴2∴PE+PQ的最小值为2．6．25或115或2110【解析】【分析】经过分析，点P 只有在AB 边，或者BC 边上，或DC 边上时，才有y=15.根据P 点的位置，由三角形面积公式表达出分段函数，在分段函数中，已知y 的值，求x ．【详解】经过分析，点P 只有在AB 边，或者BC 边上，或DC 边上时，才有y=15，当点P 在AB 边上时，y=12•x•1=15，解得x=25，当点P 在BC 边上时，如图所示，y=12•（1+12）•1-12•（x-1）•1-12•12•（2-x ）=15，解得x=115；当点P 在DC 边上时，y=12×（1+1+12-x ）×1=15，解得：x=2110，综上所述，当y=15时，x 的值等于25或115或2110，故答案为：25或115或2110【点拨】此题考查了由动点的运动变化来列函数关系式，应注意自变量的变化范围分段来列．7．23或53【分析】根据P 点的运动轨迹，分析出当P 在AB 或BC 上均有可能，再根据APE ∆的面积为13分类讨论计算即可．【详解】（1）当P 在AB 上时，如图：11123y x ==∴23x =（2）当P 在BC 上时，如图：()()11111111112222223ABP EDC y S S S x x ∆∆⎛⎫=--=+--⋅--= ⎪⎝⎭ 梯ABCE ∴53x =故答案为：23或53【点拨】本题考查动点问题与三角形面积求算，不规则图形面积求算通常采用割补法，同时注意分类讨论．8．45°2【分析】连接CG ．证明△ADE ≌△CDG （SAS ），推出∠DCG=∠DAE=45°，推出点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH ⊥CG 时，GH 的值最小．解：连接CG ．∵四边形ABCD 是正方形，四边形DEFG 是正方形，∴DA=DC ，DE=DG ，∠ADC=∠EDG=90°，∠DAC=45°，∴∠ADE=∠CDG ，∴△ADE ≌△CDG （SAS ），∴∠DCG=∠DAE=45°，∴点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH ⊥CG 时，GH 的值最小，∵DH=23CD=2，∴CH=CD-DH=3-2=1，∴最小值=CH•sin45°=1×2222=．故答案为：45°；2．【点拨】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，最短路径问题，关键是根据正方形的性质和三角形中位线定理解答．91或2【分析】分三种情形进行讨论：①当CE CD =时；②当CE DE =时；③当CD DE =时，E 与A 重合，不符合题意．然后根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AE 即可解决问题．解：如图所示，连接AE∵四边形ABCD 和四边形APEF 都是正方形，且P 在AB 上，F 在AD 上∴∠CAB =∠EAB =∠DCE =45°，AB =BC ，AP =PE∴A ，E ，C 三点共线①当CE CD ==2AC ==，2AE AC CE =-=，2AE ==-1AP ==；②当CE DE =时，∵CE DE=∴∠CDE =∠DCE =45°∴∠DEC=90°∴CD ==∴1CE DE ==∵2AC ==∴1AE AC EC =-=，1AE ==∴22AP =；③当CD DE =时，E 与A 重合，不符合题意．综上所述，当CDE △为等腰三角形时，1AP =或2．1-或22．【点拨】本题考查正方形的性质，等腰三角形的定义，二次根式的运算，解题的关键是灵活运用相关知识点进行解题．10【分析】设正方形的中心为O ，可证EF 经过O 点．连结OB ，取OB 中点M ，连结MA ，MG ，则MA ，MG 为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．解：设正方形的中心为O ，可证EF 经过O 点．连结OB ，取OB 中点M ，连结MA ，MG ，则MA ，MG 为定长，过点M 作MH ⊥AB 于H ．则MH=BH=1，AH=3，由勾股定理可得，MG=12，∵，当A，M，G三点共线时，AG最小．【点拨】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出AM，MG的值．11【分析】延长NP交AB于H．易知AH=PH，设AH=PH=x，则BH=3-x，在Rt△PBH中，根据PB2=PH2+BH2，可得x2+（3-x）2=2，推出x=1或2，接下来分两种情形分别求出BN即可．解：延长NP交AB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°，AB∥CD，∵PN⊥CD，∴PN⊥AB，∴∠HAP=∠HPA=45°，∴AH=PH，设AH=PH=x，则BH=3-x，在Rt△PBH中，∵PB2=PH2+BH2，∴x2+（3-x）2=）2，∴x=1或2，当x=1时，BH=CN=2，在Rt△BCN中，==，当x=2时，BH=CN=1，在Rt△BCN中，==．综上所述，BN或．或．【点拨】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．12．2【分析】当D'落在线段BC上时，连接ED、ED'、DD'，由折叠性质可知D'和D关于EF对称，即EF垂直平分DD'，得出D E=D'E.求出DF=D'F=CD-CF=5，3CD'==.得出BD'=BC-CD'=6，设AE=x，则BE=9-x，在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理列方程解答即可．【详解】解：当D落在线段BC上时，如图1:连接ED、E D'.、DD'由折叠性质可知，D'和D关于EF对称，即EF垂直平分DD'.∴DE=D'E，∵正方形ABCD的边长是9，∴AB=BC=CD=AD=9.∵CF=4，∴DF=D'F=CD-CF=9-4=5CD'==∴3∴BD'=BC-CD'=6设AE=x，则BE=9-x，在Rt△AED和Rt△BED'中.由勾股定理得：2222222222DE AD AE x D E BE BD x9,(9)6''=+=+=+=-+92+x2=（9-x）2+62，解得：x=2，即AE=2．【点拨】本题主要考查了正方形的性质、折叠变换的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；掌握折叠变换的性质和利用勾股定理列方程是解答本题的关键．13．（1）见解析；（2）EF DF BE =-；证明见解析；（3）AF =．【分析】（1）把 ABE 绕点A 顺时针旋转90°至 ADG ，由“SAS”可证 EAF ≌ GAF ，可得出EF ＝FG ，则结论得证；（2）将 ABE 绕点A 顺时针旋转90°至△ADM ，根据SAS 可证明 EAF ≌ MAF ，可得EF ＝FM ，则结论得证；（3）由全等三角形的性质可得AE ＝AG ＝EF ＝FG ，BE ＝DG ，由勾股定理可求DG 的长，FD 的长，AF 的长．（1）证明：把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ，如图1，∴BAE DAG ∠=∠，AE AG =，∵45EAF ∠=︒，∴45BAE FAD ∠+∠=︒，∴45DAG FAD ∠+∠=︒，∴EAF FAG ∠=∠，∵AF AF =，∴()△△≌EAF GAF SAS ，∴EF FG DF DG ==+，∴EF DF BE =+；（2）结论：EF DF BE =-；证明：如图2，将ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADM ，∴EAB MAD ∠=∠，AE AM =，90EAM =︒∠，BE DM =，∴45FAM EAF ∠=︒=∠，∵AF AF =，∴()△△≌EAF MAF SAS ，∴EF FM DF DM DF BE ==-=-；（3）解：由（1）可知AE AG ==∵正方形ABCD 的边长为6，∴6DC BC AD ===，∴3DG ==．∴3BE DG ==，∴633CE BC BE =-=-=，设DF x =，则3EF DG x ==+，6CF x =-，在Rt EFC △中，∵222+=CF CE EF ，∴222(6)3(3)x x -+=+，解得：2x =．∴2DF =，∴AF ===．【点拨】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．14．当23x =或53x =时，APE 的面积为13【分析】利用面积公式求解即可.解：由题意可知：当动点P 从A 运动到B 时，111122ABE S =⨯⨯= ，当动点P 从B 运动到C 时，1111224ACE S =⨯⨯= ，由于111432<<，因此满足题意的点P 的位置只有两种情况①当01x <<时，即点P 在AB 边上运动时，如图a ，此时AP x =，11122APE S y x x ==⨯⨯= ，当13y =时，解得：()263x =②当12x <<时，即点P 在BC 边上运动，如图b ，此时折线1BP x =-，2PC x =-，()()1111311112222444APE ABP PEC ADE ABCD S y S S S S x x x ==---=--⨯--⨯-=- 正方形当13y =时，解得：53x =综上所述，当23x =或53x =时，APE 的面积为13【点拨】找出临界点是解题的关键.15．（1）证明见解析（2）当21CG =时，BH 垂直平分DE【分析】（1）根据正方形的边的性质和直角可通过SAS 判定△BCG ≌△DCE ，从而利用全等的性质得到∠BGC=∠DEC ；（2）连接BD ，解题关键是利用垂直平分线的性质得出BD=BE ，从而找到2，2-1，根据全等三角形的性质求解即可．解：()1证明：∵四边形ABCD 、GCEF 都是正方形，∴BC DC =，90BCG DCE ∠=∠= ，GC EC=∴BCG DCE ≅∴()2BGC DEC ∠=∠连接BD如果BH 垂直平分DE ，则有BD BE=∵1BC CD ==，∴2BD =∴21CE BE BC =-=-∴21CG CE ==即当21CG =-时，BH 垂直平分DE ．【点拨】本题考查了全等三角形与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质.16．（1）见详解；（2）45（3）3或4【分析】（1）根据同角的余角相等，证明BAD CAG ∠=∠，然后根据正方形的性质，得出边相等，由三角形全等的判定条件SAS 即可证明（2）由（1）中全等的性质以及勾股定理求出DG 的长，根据正方形的性质：对角线相等即可求解（3）根据SAS 证明DAF GAF △≌△，然后根据全等的性质，在直角△GFC 根据勾股定理即可求解（1）证明： 四边形ADEG 是正方形AD AG ∴=，90DAG =︒∠90BAC ∠=︒BAC DAG∴∠=∠BAD DAC DAC CAG∴∠+∠=∠+∠BAD CAG∴∠=∠在ABD △和ACG 中AB AC BAD CAG AD AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABD ACG∴△△≌故答案为ABD ACG△≌△（2）90BAC ∠=︒ ，62AB AC ==，45B ACB ∴∠=∠=︒在Rt ABC △中22BC AB AC ∴=+=22(62)(62)12+=4BD = 1248DC BC BD ∴=-=-=由（1）知ABD ACG △≌△，4GC BD ∴==，45ACG B ∠=∠=︒454590ACB ACG ∴∠+∠=︒+︒=︒连接DG在Rt DCG △中22228445DG DC CG =+=+= 四边形ADEG 是正方形AE DG∴=45AE ∴=故答案为5（3）如图所示，连接FG四边形ADEG 是正方形AD DE ∴=，90ADE ∠=︒45DAE AED ∴∠=∠=︒90BAC ∠=︒BAD FAC BAC ∴∠+∠=∠-904545DAE ∠=︒-︒=︒由（1）知ABD ACG △≌△，BAD CAG ∴∠=∠，AD AG =，BD GC=45CAG FAC BAD FAC ∴∠+∠=∠+∠=︒45FAG ∴∠=︒FAG FAD∴∠=∠在DAF △和GAF 中AF AF FAG FAD AG AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)DAF GAF ∴△≌△GF DF∴=5DF = 5GF ∴=设BD x =，则1257FC x x=--=-由（2）知90FCG ∠=︒在Rt FCG △中222GC FC FG +=222(7)5x x ∴+-=13x ∴=，24x =BD ∴的值为3或4．故答案为3或4【点拨】本题主要考察三角形全等的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键17．（1）见解析（2）△OEF 为等腰直角三角形，理由见解析【分析】（1）利用正方形的性质得OA ＝OB ，∠AOB ＝∠BOC ＝90°，则利用等角的余角相等得到∠GAE ＝∠OBE ，则可根据“ASA ”判断 AOF ≌ BOE ，从而得到OF ＝OE ；（2）同样方法证明△AOF ≌△BOE ，仍然得到OF ＝OE ，再结合90BOC ∠=°即可判定OEF 是等腰直角三角形．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴OA OB =，AOB BOC∠=∠90=︒，∴∠OBE +∠OEG ＝90°，∵AG BE ⊥于点G ，∴90AGE ∠=︒，∴∠OAF +∠OEG ＝90°，∴GAE OBE ∠=∠，在AOF 和BOE △中，AOF BOE AO BO OAF OBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AOF BOE ASA △△≌，∴OF OE =；（2）解：OEF 是等腰直角三角形，理由如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴OA OB =，AOB BOC∠=∠90=︒，∴∠OBE +∠OEG ＝90°，∵AG BE ⊥于点G ，∴90AGE ∠=︒，∴∠OAF +∠OEG ＝90°，∴GAE OBE ∠=∠，在AOF 和BOE △中，AOF BOE AO BO OAF OBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AOF BOE ASA △△≌∴OF OE =；又∵90BOC ∠=°，∴OEF 是等腰直角三角形．【点拨】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意证得AOF BOE ≌△△是解此题的关键．18．（1）见解析；（2）EF ＝DF ﹣BE ，见解析；（3）【分析】（1）把△ABE 绕点A 顺时针旋转90°至△ADG ，由“SAS”可证△EAF ≌△GAF ，可得出EF ＝FG ，则结论得证；（2）将△ABE 绕点A 顺时针旋转90°至△ADM ，根据SAS 可证明△EAF ≌△MAF ，可得EF ＝FM ，则结论得证；（3）由全等三角形的性质可得AE ＝AG＝，EF ＝FG ，BE ＝DG ，由勾股定理可求DG 的长，FD 的长，AF 的长．【详解】（1）把△ABE 绕点A 顺时针旋转90°至△ADG ，如图1，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠FAD＝45°，∴∠DAG+∠FAD＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵AF＝AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝DF+BE；（2）结论：EF＝DF﹣BE；证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，∴∠FAM＝45°＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△EAF≌△MAF（SAS），∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；（3）如图，由（1）可得AE＝AG＝，EF＝FG，BE＝DG，=，∵DG3∴BE＝DG＝3，∴EC＝BC﹣BE＝3，∵EF2＝EC2+CF2，∴（DF+3）2＝9+（6﹣DF）2，∴DF＝2，∴AF＝＝．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转等知识，此题为半角模型，∠EAF是∠BAD的一半，故命名半角模型，半角模型必旋转，再证全等即可．19．见解析【分析】根据正方形性质可得AB=DA，∠BAD=∠ADF=90°，又根据AE=DF，利用SAS可证得△ABE≌△DAF，于是∠ABE=∠DAF；由于∠DAF+∠BAH=∠ABE+∠BAH=90°，从而∠AHB=90°，于是证得结论证明:∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DA，∠BAD=∠ADF=90°，又∵AE=DF，∴△ABE≌△DAF，∴∠ABE=∠DAF.∴∠DAF+∠BAH=∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AF⊥BE.【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质.掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．20．（1）①见详解；②见详解；（2）1-【分析】①根据正方形确定BC=DC,CE=CG及∠BCD=∠ECG=900，即可证明全等；②根据（1）的全等得出∠BGC=∠DEC，再根据∠BGC+∠CBG=900，即可证得⊥BH DE（2）根据勾股定理求出线段BD的长，然后利用三角形全等证出BE=BD,再由BE-BC求出CE即CG的长.【详解】（1）①∵四边形ABCD与四边形GCEF均为正方形，∴BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=900，∆≌△DCE∴BCG∆≌△DCE,②∵BCG∴∠BGC=∠DEC,∵∠BGC+∠CBG=900，∴∠DEC+∠CGB=900∴∠BHE=900⊥即BH DE(2)连接BD，∵四边形ABCD是正方形，边长为1，∴AB=AD=1，∠A=900，∴BD===∵BH平分DE，BH⊥DE，∴DH=EH,∠BHD=∠BHE,又∵BH=BH∴△BHD≌△BHE,∴,∴1.【点拨】此题考察正方形的性质运用，②中的垂直应有效利用①中全等的结论去证明，（2）中连接BD利用全等求得BE是解题的关键.21．（1）4m；（2）证明见解析；（3）△APQ的周长的最小值为【分析】（1）直接由正方形的性质得出答案即可；（2）连接AH，证明△BHA≌△BCE，利用△BHA的面积=△BCE的面积得出结论；（3）作点A关于DE的对称点A′，点A关于BC的对称点F，利用对称的性质得出△APQ 的周长的最小值为A′F，进一步求得问题即可．【详解】（1）∵四边形BCFH是正方形，∴BC=BH=FH=CF，∴当BC=m时，正方形BCFH的周长为4m，故答案为：4m；（2）如图1，连接AH，在△BHA和△BCE中，AB BE CBE ABH BC BH ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝∴△BHA ≌△BCE （SAS ），∵AF ∥BH ，∴BH 边上的高=正方形BCFH 的边∴△BHA 的面积等于12正方形BCFH 的面积．∴△AEC 的面积等于12正方形BCFH 的面积；（3）△APQ 的周长存在最小值．如图2，作点A 关于DE 的对称点A∴AP=A′P∵点A 关于BC 的对称点F ，∴AQ=QF ，∴△APQ 的周长的最小值为A′F ，过A′作A′M ⊥FA 交FA 的延长线于M ，∵2AC BC ==，90ACB ∠=︒∴∠BAC=45°，AB=2∴∠A′AM=45°,，∴△AA′M 为等腰直角三角形，，∴MA=MA′=4，∴MF=8，∴A′F=222284MF A M '+=+=45，∴△APQ 的周长的最小值为45．【点拨】此题综合考查正方形的性质，对称的性质，勾股定理的运用以及利用对称性求最短距离的问题，对于求最短距离的问题体现了建模思想的运用，注意辅助线的作法．22．（1）证明见解析；（2）CF 的最小值252-．【分析】（1）由正方形的四边相等，四个直角性质，证明()BCM ADN SAS ≌，再根据全等三角形的对应角相等，整理，证明()BCE DCE SAS ≌，最后整理出25∠∠、的数量关系即可；（2）取AD 中点P ，连接PF ，由（1）中结论，计算FP 的长，在Rt CPD △中，利用勾股定理求得CP 的长，最后根据三角形三边关系：两边之和大于第三边解题即可．（1）证明：ABCD 是正方形，90BC AD BCD ADC ∴∠∠︒＝，＝＝()CM DN BCM ADN SAS ∴ ＝，≌．12∴∠∠＝又345ACD CE CE∠∠︒＝＝，＝()BCE DCE SAS ∴ ≌1424∴∠∠∴∠∠＝．＝．251590∴∠+∠∠+∠︒＝＝．DE AN ∴⊥．（2）取AD 中点P ，连接PF由（1），得122FP AD =＝在Rt CPD △中，由勾股定理，得224225CP =+=2+≥∴≥，CF FP CP CF∴CF的最小值2-．【点拨】本题考查几何综合，其中涉及正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．23．（1）①△ABE≌△BCF,△AOE≌△BOF,△ABF≌△DEA②见解析（2）见解析（1）①根据正方形性质及BE=CF即可得出全等的三角形，②根据全等三角形及正方形的性质即可得出结论．（2）根据正方形性质及已知条件由ASA得出△ABE≌△BCF，即可由等量代换得证．（1）①△ABE≌△BCF,△AOE≌△BOF,△ABF≌△DEA②证明：如图，延长AE交BF于点M，∵ABCD是正方形，∴AB＝BC,∠BCF＝∠ABE．∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴∠CBF＝∠BAE∵∠ABE＋∠EBM＋∠CBF＝90°，∴∠ABE＋∠EBM＋∠BAE＝90°．∴∠AMB＝90°．∴AE⊥BF．（2）点E是OB的中点．证明如下：∵ABCD是正方形，∴AB＝BC,∠BCF＝∠ABE．∵AE⊥BF，∴∠AMB＝90°．∴∠ABE＋∠EBM＋∠BAE＝90°．∴∠ABE＋∠EBM＋∠CBF＝90°．∴∠CBF＝∠BAE．∴△ABE≌△BCF（ASA）．∴BE＝CF．∵BE＝OF，∴CF＝OF．又∵OB＝OC，∴BE=OE．∴点E是OB的中点．24．（1）①ME MF =，理由详见解析；②点M 位于正方形两条对角线的交点处（或AC 中点出），理由详见解析；（2）23222AM <<【分析】(1)①过点M 作MG CD ⊥于点G ，MH BC ⊥于点H ,通过证,MFH MGE ∆∆≌可得ME=MF ；②点M 位于正方形两条对角线的交点处时，,AE DF MFD MAE =∆∆≌，可得AEM DFM ∠=∠；（2）当点F 分别与B 重合时处和端点C 处时，可得M 的位置，进而得出AM 的取值范围．解：（1）ME MF =．理由是：过点M 作MG CD ⊥于点G ，MH BC ⊥于点H在正方形ABCD 中，90BCD ∠=︒45,ACD BCA ∠=∠=︒MH HC∴=∴矩形MHCG 为正方形90,HMG MH MG∴∠=︒=又,MF MG FMH EMG⊥∠=∠ ,MFH MGE ∴∆∆≌ME MF∴=②点M 位于正方形两条对角线的交点处（或AC 中点处）如图，ME 是ACD ∆的中位线，1,2ME AD ME AD ∴⊥=又ME MF = ，此时，F 是BC 中点，且AED CDF ∆∆≌，,AE DF MFD MAE ∴=∆∆≌，AEM DNF∴∠=∠（2）当点F 与B 重合时，M 在AC,BD 交点处时，此时AM 最小，AM=12AC=22;当点F 与点C 重合时，M 在AC,BD 交点到点C 的中点处，此时AM 最大，AM=322．故答案为23222AM <<【点拨】本题是运动型几何综合题，考查了全等三角形、正方形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）添加恰当的辅助线是解题的关键．。

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动点路径长专题
一.选择题(共２小题）
1.如图，抛物线y＝x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点Ｐ从A点出发，先到达
抛物线的对称轴上的某点Ｅ，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B.若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为(）
A. B. C． D.
图1 图２
2．如图,半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点,CF⊥ＡE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）
A. B. C．D．
二.填空题(共9小题）
3.(2013•鄂尔多斯）如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点,连接BP，过点A作ＡＭ垂直于直线BP,垂足为M,当点P从点O运动到点A时,则点Ｍ运动路径的长为_________ ．
图3图4 图5
４.如图，半径为２ｃm,圆心角为９０°的扇形OＡＢ的上有一运动的点P.从点P向半径ＯA引垂线PＨ交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点Ｐ在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为_＿____＿__ ．
5.（２０1１•江西模拟)已知扇形的圆心角为60°，半径为１,将它沿着箭头方向无滑动滚动到O′A′Ｂ′位置,
①点Ｏ到Ｏ′的路径是OO１→O1O2→O2O′;
②点O到O′的路径是→→；
③点O在O1→O2段上运动路线是线段O1O2；
④点O到O′的所经过的路径长为.以上命题正确的是＿＿____＿_＿．
6.(201３•宁德）如图,在Rｔ△AＢＣ纸片中,∠Ｃ＝90°,ＡC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠,得到点C 的对应点D（Ｐ在Ｃ点时，点Ｃ的对应点是本身）,则折叠过程对应点D的路径长是____＿_＿__．
图6图７图8
7.如图，已知AB=10,P是线段AB上的动点,分别以ＡP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PＤＢ，连接CD，设ＣD的中点为G，当点P从点A运动到点B时,则点G移动路径的长是＿＿_＿_____.
8.（２013•湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点,AC⊥x轴于点Ｍ，交直线y=﹣x于点Ｎ.若点Ｐ是线段ON上的一个动点,∠APＢ＝30°,ＢA⊥PA,则点Ｐ在线段OＮ上运动时,A点不变,B点随之运动．求当点P从点O运动到点Ｎ时，点B运动的路径长是_________．
9．（2013•桂林)如图，已知线段ＡB=1０，AC＝BD=2,点P是CＤ上一动点,分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和ＰHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段Ｏ1O2中点G的运动路径的长是＿_______＿．
图9图10 图11
1０.（20１３•竹溪县模拟)如图：已知AB=10,点C、D在线段AB上且AC＝ＤB=1；P是线段CＤ上的动点,分别以AP、PB为边在线段AＢ的同侧作等边△ＡEP和等边△ＰFＢ,连结ＥF,设EF的中点为G;当点Ｐ从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是__＿＿＿___＿.
１1．如图，一根长为2米的木棒ＡB斜靠在墙角处，此时ＢC为１米,当A点下滑至A'处并且Ａ'C＝1米时,木棒AB 的中点Ｐ运动的路径长为__＿__＿___ 米.
三.解答题（共1小题）
12.（２012•义乌市模拟）如图,边长为４的等边△AOＢ的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限.一动点P沿x轴以每秒１个单位长度的速度由点O向点Ａ匀速运动，当点Ｐ到达点Ａ时停止运动,设点P运动的时间是t秒．在点Ｐ的运动过程中，线段BP的中点为点E，将线段PＥ绕点P按顺时针方向旋转60°得ＰC.（1)当点P运动到线段OA的中点时,点C的坐标为___＿___＿_;
（２)在点P从点O到点A的运动过程中，用含ｔ的代数式表示点C的坐标；
(3）在点P从点O到点Ａ的运动过程中,求出点C所经过的路径长．。

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