高中数学 第三章 统计案例 3.1 回归分析 3.1.1 回归分析 北师大版选修2-3
2018版高中数学北师大版选修2-3课件：第三章 1-1 回归
解答
反思与感悟
(1)求线性回归方程的基本步骤 ①列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系.
n 2 ②计算： x ， y ， xi ， xiyi. i＝1 i＝1
n
③代入公式，求出y＝bx＋a中参数b，a的值. ④写出线性回归方程并对实际问题作出估计. (2)需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程 才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义.
跟踪训练2
某个服装店经营某种服装，在某周内纯获利 y(元) 与该周
每天销售这种服装件数x之间的一组数据如下表：
x y (1)求样本点的中心；
解 x ＝6， y ≈79.86，样本点的中心为(6,79.86).
解答
3 66
4 69
5 73
6 81
7 89
8 90
9 91
(2)画出散点图；
解 散点图如下：
(2)参数a，b的求法
i＝1
xi－ x yi－ y xi－ x
n 2
n
i＝1
xiyi－n x y
2 － n x x2 i n
n
lxy b＝ ＝ lxx
i＝1
＝
i＝1
，a＝ y －b x .
知识点二
相关系数
思考1
给出n对数据，按照公式求出的线性回归方程，是否一定能反映 这n对数据的变化规律？ 答案 如果数据散点图中的点都大致分布在一条直线附近，这
i＝1 n
∑ xiyi－n x y
i＝1 2 ∑ y2 － n y i n
n
i＝1
2 ∑ x2 － n x i
.
(2)相关系数r的取值范围是 [－1,1] ，|r|值越大，变量之间的线性相
高中数学第3章统计案例3.1回归分析课件北师大版选修2-3
设 y＝kx，令 t＝1x，则 y＝kt.由 y 与 x 的数据表可得 y 与 t 的数据表：
t
4
2 1 0.5 0.25
y 16 12 5
2
1
作出 y 与 t 的散点图如图所示．
1．下列结论正确的是( ) ①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归
分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对
2．利用相关系数 r 来检验线性相关显著性水平时，通常与 0.75 作比较，若 r>0.75，则线性相关较为显著，否则为不显著．
求线性回归方程 (2016·九江高二检测)某服装商场为了了解毛衣的月销售量 y(件)与月
平均气温 x(℃)之间的关系，随机统计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温，
其数据如下表：
阶
阶
析
1.1 回归分析
学
阶 段 二
1.2 相关系数
业 分
层
1.3 可线性化的回归分析
测 评
1．了解回归分析的思想和方法．(重点) 2．掌握相关系数的计算和判断线性相关的方法．(重点) 3．了解常见的非线性回归模型转化为线性回归模型的方法．(难点)
[基础·初探]
教材整理 1 回归分析
下列数据 x，y 符合哪一种函数模型( )
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 2 2.69 3 3.38 3.6 3.8 4 4.08 4.2 4.3
A.y＝2＋13x
B．y＝2ex
C．y＝2e1x
D．y＝2＋ln x
【解析】 分别将 x 的值代入解析式判断知满足 y＝2＋ln x.
【答案】 D
n
xiyi－n x y
高中数学第3章统计案例1回归分析北师大版选修
n
＝
i＝1xiyi－n x y
x －n x y －n n
2
i＝1 i
2 n 2 i＝1 i
y
.2
(2)线性相关系数r与相关关系的强弱： ①当__r_＞__0_____时，两个变量正相关； ②当__r_＜__0_____时，两个变量负相关； ③当___r_＝__0____时，称两个变量线性不相关； ④r的取值在__[_－__1_,_1_] __ 之间，_|_r_| ____ 值越大，变量之 间的线性相关程度越高； ⑤r的绝对值越接近于___0____，表示两个变量之间的线性 相关程度越低．
第三 章
统计案例
§1 回归分析
课前预习学案
某中学随机选取 8 名女生，测得其身高和体重数据如下表：
编号
12345678
身高(cm) 165 165 157 170 175 165 155 170
体重(kg) 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女中学生的身高预测她的体重的回归方程，并
2．对有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程y＝
a＋bx中，回归系数b( )
A．可以小于0
B．大于0
C．可能等于0
D．只能小于0
解析： b可能大于0，也可能小于0，但当b＝0时，x、y
不具有线性相关关系．
答案： A
3．如图是x和y的一组样本数据的散点图，去掉一组数据 ____________后，剩下的4组数据的相关指数最大．
1．相关关系的概念
两个变量间的关系可分为确定性关系和_非__确__定__性___关系， 前者又称为__函__数____关系，后者又称为相关关系．
2．相关系数
n
i＝1 xi－ x yi－ y (1)r＝ llxxxylyy＝____i_＝n_1 __x_i－__x__2_·i_＝n_1__y_i－___y__2 __
2020_2021学年高中数学第三章统计案例3.1回归分析课件北师大版选修2_3
i＝1
i＝1
定两变量的相关性？
提示：当 r>0 时，表明两个变量正相关，当 r<0 时，表示两 个变量负相关，r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量线性相关 性越强；r 的绝对值越接近于 0，表明两变量之间几乎不存在线 性相关关系，通常当|r|>0.75 时，认为两个变量有很强的线性相 关关系．
知识点三 可线性化的回归分析 [填一填]
两个变量的值总体上呈现出同时增减的趋势，此时称两个变量
正相关 ；当 r<0 时，b<0，一个变量增加，另一个变量有减少 的趋势，称两个变量 负相关 ；当 r＝0 时，称两个变量线性 不相关．
[答一答]
2．如何由样本的相关系数 r＝
n
xi－ x yi－ y
i＝1
判
n
n
xi－ x 2· yi－ y 2
§1 回归分析
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点一 回归分析
[填一填] (1)函数关系是一种 确定性 的关系，而相关关系是一种 非确定性 关系． 回归分析 是对具有相关关系的两个变量进
行统计分析的常用方法．
[答一答] 1．线性回归直线方程 y＝a＋bx 与一次函数 y＝a＋kx 有何 区别？
通过变换先将非线性函数转化成线性函数，利用 最小二乘法 得到线性回归方程，再通过相应变换得到非线性 回归方程．
[答一答] 3．如何将函数 y＝aebx 转化为线性函数？
提示：先对 y＝aebx 两边取对数得 lny＝lna＋bx.若记 u＝lny， c＝lna.
则 u＝c＋bx，就把函数 y＝aebx 转化成了线性函数 u＝c＋bx.
3．如何根据原始数据求出拟合函数？ (1)可先由原始数据作出散点图；(2)对于一些函数模型的图 形要熟悉．如教材第 8 项的幂函数曲线 y＝axb、指数曲线 y＝aebx、 倒指数曲线 y＝aebx和对数曲线 y＝a＋blnx 要熟悉；(3)由散点图 找出拟合比较好的函数类型；(4)将非线性函数转化为线性函数； (5)求出回归方程．
高中数学3-1-1回归分析同步课件北师大版选修
y1＋y2＋…＋yn 用 y 表示数据 y1，y2，…，yn 的平均值，即 y ＝ n
＝
1n . y i ni＝1
(2)参数 a、b 的求法 n n xiyi－n x y lxy xi－ x yi－ y b＝ ＝ i＝1 ＝ i＝1 ， lxx
xi－ x
i＝1
n
2
2 － n x x2 i i＝1
809 x ＝7， y ＝ ， 7
7 2 xi ＝371， xiyi＝5 i＝1 i＝1
7
798
xiyi－7 x y
i＝1
7
b＝
2 － 7 x x2 i i＝1
7
809 5 798－7×7× 7 ＝ ≈4.82， 371－7×72
809 ^ a＝ y －b x ＝ －4.82×7≈81.83. 7 所以线性回归方程为 y＝81.83＋4.82x.
B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关 关系的两个量的一组数据的图形叫做散点图 C．线性回归方程最能代表具有线性相关关系的x，y之间 的关系 D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方
程
解析 只有对两个变量具有线性相关性作出判断时，利用最小二
乘法求出线性方程才有意义．
答案 D
题型二 求线性回归方程
【例2】 已知某地区4岁～10岁女孩各自的平均身高数据如下： 4 100 5 106 6 112 7 116 8 121 9 124 10 130
年龄x/岁 身高y/cm
求y对x的线性回归直线方程．
[思路探索] 要求线性回归方程 → 运用最小二乘法 → 求出a，b
解 制表 i xi yi xi yi 1 4 100 400 2 5 106 530 3 6 112 672 4 7 116 812 5 8 121 968 6 9 124 1 116y －b x
2021_2021学年高中数学第三章统计案例3.1回归分析3.1.3可线性化的回归分析课件北师大版选
温度 x/℃
2
某项指标 y
5.790 6.810 8.199 10.001 12.190 14.790 17.801
3
4
5
6
7
8
试建立某项指标y与温度x的回归模型,并判断回归模型的拟合效
果.
分析:根据表中的数据画出散点图,再由散点图设出相应的回归
模型.
题型一
题型二
题型三
解:画出散点图如下图,观察形状大致呈二次函数图像的形状,可
解:设u=ln y,c=ln a,那么u=c+bx.
由得下表:
x
1
2
3
4
5
6
u=ln y
3.951 2
4.110 9
4.219 5
4.304 1
4.356 7
4.418 8
题型一
题型二
题型三
6
6
=1
i=1
∑ xi=21, ∑ ui=25.361
6
6
6
2
2, ∑ =91, ∑ 2
=1
=1
x 1 2
y 2 2.69
1
A.y=2+ x
3
1
C.y=2e
3 4
3 3.38
5
3.6
6
3.8
7 8
4 4.08
9
4.2
)
10
4.3
B.y=2ex
D.y=2+ln x
解析:选项 C 中的函数在区间(0,+∞)内为减函数,不合题意.
选项 B 中当 x=10 时,y=2·e10,远远大于 4.3,不合题意.
数进展拟合.
3.1_回归分析(三)
xi2 1660, yi2 327, xi yi 620,
i 1 i 1 i 1
ˆ b
x y 5x y
i 1 5
x
i 1
2 i
5x
2
620 5 18 7.4 1.15. 2 1660 5 18
ˆ a 7.4 1.15 18 28.1.
残差图的制作及作用 几点说明： 1、坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为 2、若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横 的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数 据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 轴为心的带形区域； 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这 样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。 3、对于远离横轴的点，要特别注意。
x
6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39
郑平正 制作
最好的模型是哪个?
400 300
400 300 200 100 0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
产卵数
产卵数
200 100 0 -100
450 400 350 300 250
产卵数
-40
-30
-20
-10 0 -100 -200
2013-6-13
郑平正 制作
复习回顾
1、线性回归模型： y=bx+a+e， (3)
y=bx+a+e，
E(e)=0,D(e)=
高中数学 统计案例3.1回归分析3.1.2相关系数课件北师大版
∑ 1 031
题型一
题型二
由此可得,������=128.875,������=8.950. 进而求得 r=
9 611.7-8×128.875×8.950 137 835-8×128.8752 × 671.00-8×8.9502
≈0.993.
因此,交通事故数 y 与机动车辆数 x 有较强的线性相关程度.
1
2
3
4
4.某企业的某种产品产量与单位成本数据如下表:
产量 x/千件 单位成 本 y/(元/件) 2 73 3 72 4 71 3 73 4 69 5 68
(1)试确定相关系数r及回归直线; (2)指出产量每增加1千件时,单位成本下降多少; (3)产量为6千件时,单位成本是多少?单位成本为70元时,产量应为 多少?
5
∑ xiyi=8 285, ∑ ������������2 =59 051,������=15,������=108.6.
∑ ������������ ������������ -5������ ������ ������=1
2 5 2 2 2 ∑ ������������ -5������ ∑ ������������ -5������ ������=1 ������=1 5 5
求相关系数r.
题型一
题型二
解:列表如下:
i 1 2 3 4 5 6 7 xi 18 20 22 24 26 28 30 yi 26.86 28.35 28.75 28.87 29.75 30.00 30.36 202.94 xi2 324 400 484 576 676 784 900 4 144 xiyi 483.48 567 632.5 692.88 773.5 840 910.8 4 900.16 yi2 721.459 6 803.722 5 826.562 5 833.476 9 885.062 5 900 921.729 6 5 892.013 6
数学北师大课件：1.1 回归分析(三)(选修1-2)
涉及到统计的一些思想：
模型适用的总体； 模型的时间性； 样本的取值范围对模型的影响； 模型预报结果的正确理解。
2019/9/4
郑平正 制作
什么是回归分析？
（内容）
1. 从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关 系式
2. 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验， 并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些 变量的影响显著，哪些不显著
郑平正 制作
练习 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y（万
元），有如下的统计资料。
2019/9/4
郑平正 制作
案例2 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现
收集了7组观测数据列于表中：
温度xoC 21 23 25 27 29 32 35 产卵数y/个 7 11 21 24 66 115 325
（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并 预测温度为28oC时产卵数目。 （2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了 产卵数的变化？
当x=28oC 时，y ≈44 ，指数回归
模型中温度解释了98.5%的产卵数的
2.8 2.4
2 1.6 1.2 0.8 0.4
0 0
z
36
x
9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39
变化
2019/9/4
郑平正 制作
最好的模型是哪个?
产卵数
400
300
200
100
0
0
5
10
15
20
n 2 i1
n2
为 2 的估计量， 2越小，预报精度越高。
（2）我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其
25-3.1回归分析的基本思想及其初步应用(1)
3.1回归分析的基本思想及其应用教材分析本节内容是数学选修2-3 第三章 统计案例 的起始课，是在《数学③（必修）》之后，学生已经学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图，最小二乘法求回归直线方程等内容.在这一节中进一步介绍回归分析的基本思想及其初步应用.这部分内容《教师用书》共计4课时，第一课时：介绍线性回归模型的数学表达式，解释随机误差项产生的原因，使学生能正确理解回归方程的预报结果，并能从残差分析角度讨论回归模型的拟合效果；第二课时：从相关系数、相关指数角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤；第三课时：介绍两个变量非线性相关关系；第四课时：回归分析的应用. 本节课是第一课时的内容.本节课的重点是回归分析的基本方法、随机误差e 的认识、残差，难点是回归分析的基本方法.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要介绍线性回归模型的数学表达式，解释随机误差项产生的原因，使学生能正确理解回归方程的预报结果，并能从残差分析角度讨论回归模型的拟合效果.教学目标重点: 回归分析的基本方法、随机误差e 的认识、残差. 难点：回归分析的基本方法.知识点：回归分析的基本方法、随机误差e 、残差.能力点：如何探寻回归分析的基本方法，数形结合的数学思想的运用.教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：如何运用最小二乘法求回归直线方程.考试点：求解线性回归方程，从残差的角度讨论回归模型的拟合效果. 易错易混点：随机误差e 与残差之间的区别与联系.拓展点：从相关系数、相关指数角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤.教具准备 多媒体课件 课堂模式 学案导学 一、引入新课对于一组具有线性相关关系的数据112233(,),(,),(,),,(,).n n x y x y x y x y 其回归直线方程的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：a y bx =- 121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑11n i i x x n ==∑ 11ni i y y n ==∑ (,)x y 称为样本点的中心. 如何推导这两个计算公式？【设计意图】由学生所熟悉的最小二乘法引入新课，消除了学生对新知的恐惧感，引出最小二乘法的中的系数,a b ∧∧的计算公式的推导过程.二、探究新知从已经学过的知识，截距a 和斜率b 分别是使21(,)()niii Q y x αββα==--∑取最小值时,αβ的值，由于212212211(,)[((]{[(2[([(][(]}[(2[([(](ni i i ni i i i i nni i i i i i Q y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x n y x αββββαβββββαβαβββββαβα=====-----=---+---⋅--+--=---+---⋅--+--∑∑∑∑）+））]）]）））]）]））因为1111[((([(([(]([(]0,nniiiii i n ni i i i y x y x y x y x y x y x y x y x n y x y x ny n x n y x βββαβαβββαβββαββ====-----=-----=-----=-----=∑∑∑∑）]）））]））））所以2212222111222221122111[([(]()2()()()(()()[()()](()[]()()()ni i i n n ni i ii i i i nniii i ni i i i nni i iii i Q y x y x n y x x x x x y y y y n y x x x y y x x y y n y x x x y y x x x x αββββαβββαβαβ==========---+--=----+-+------=--+---+---∑∑∑∑∑∑∑∑∑（，））]）））1n=∑在上式中，后两项和,αβ无关，而前两项为非负数，因此要使Q 取得最小值，当且仅当前两项的值均为0.，既有121()()()niii nii x x y y x x β==--=-∑∑y x αβ=-通过上式推导，可以训练学生的计算能力，观察分析能力，能够很好训练学生数学能力，必须在老师引导下让学生自己推出.所以：a y bx =- 121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑这正是我们所要推导的公式.三、理解新知准确理解最小二乘法中系数,a b ∧∧的计算公式，以及回归方程的求解过程. 【设计意图】为准确地运用新知，作必要的铺垫.四、运用新知例1、 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重的数据如图所示：(1) 画出以身高为自变量x,体重为因变量y 的散点图;(2) 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程;(3) 求预报一名身高为172cm 的女大学生的体重. 解：（1）由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量x ,体重为因变量y 作散点图:（2）0.849,85.712:0.84985.712.b a y x ==-∴=-回归方程(3)对于身高172cm 的女大学生，由回归方程可以预报体重为：0.84917285.71260.316()y kg =⨯-=ˆ0.849b=是斜率的估计值，说明身高x 每增加1个单位时，体重y 就增加0.849 个单位，这表明体重与身高具有正的线性相关关系．如何描述它们之间线性相关关系的强弱？【设计意图】通过具体例子让学生感受回归分析思想的应用.最后的问题为接下来引入残差做了铺垫.在必修 3 中，我们介绍了用相关系数；来衡量两个变量之间线性相关关系的方法．本相关系数的具体计算公式为()()niix x y y r --=∑当r >0时，表明两个变量正相关；当r <0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常，当r 的绝对值大于0. 75 时认为两个变量有很强的线性相关关系．165在本例中，可以计算出r =0. 798．这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的．显然，身高172cm 的女大学生的体重不一定是60. 316 kg ，但一般可以认为她的体重接近于60 . 316 kg .图3 . 1- 2 中的样本点和回归直线的相互位置说明了这一点．由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一条直线的附近，所以身高和体重的关系可用下面的线性回归模型来表示：y bx a e =++, ( 3 )这里a 和b 为模型的未知参数，e 是y 与y bx a =+之间的误差．通常e 为随机变量，称为随机误差，它的均值 E (e ）=0，方差D （e ）=2()D e σ=＞0 ．这样线性回归模型的完整表达式为：2,()0,().y bx a e E e D e σ=++⎧⎨==⎩ (4) 在线性回归模型（4）中，随机误差e 的方差越小，通过回归直线y bx a =+ (5)预报真实值y 的精度越高．随机误差是引起预报值y 与真实值y 之间的误差的原因之一，大小取决于随机误差的方差.另一方面，由于公式（1）和（2）中a 和b 为截距和斜率的估计值，它们与真实值a 和b 之间也存在误差，这种误差是引起预报值y 与真实值y 之间误差的另一个原因．【设计意图】引入随机误差e 后，将回归方程推广到回归模型. 思考:产生随机误差项e 的原因是什么?一个人的体重值除了受身高的影响外，还受许多其他因素的影响．例如饮食习惯、是否喜欢运动、度量误差等．事实上，我们无法知道身高和体重之间的确切关系是什么，这里只是利用线性回归方程来近似这种关系．这种近似以及上面提到的影响因素都是产生随机误差 e 的原因．因为随机误差是随机变量，所以可以通过这个随机变量的数字特征来刻画它的一些总体特征．均值是反映随机变量取值平均水平的数字特征，方差是反映随机变量集中于均值程度的数字特征，而随机误差的均值为0，因此可以用方差2σ来衡量随机误差的大小．为了衡量预报的精度，需要估计护的值．一个自然的想法是通过样本方差来估计总体方差．如何得到随机变量e 的样本呢？由于模型（3）或（4）中的e 隐含在预报变量y 中，我们无法精确地把它从y 中分离出来，因此也就无法得到随机变量e 的样本．解决问题的途径是通过样本的估计值来估计2σ．根据截距和斜率的估计公式（1）和（2 ) , 可以建立回归方程y bx a =+,因此y 是（5）中y 的估计量．由于随机误差e y y =-，所以e y y =-是e 的估计量．对于样本点（11,x y ) , (22,x y ) ，…， (,n n x y ) 而言，相应于它们的随机误差为,1,2,,i i i i i e y y y bx a i n =-=--=,其估计值为,1,2,,i i i i i e y y y b x a i n ∧∧∧∧=-=--=,i e ∧称为相应于点(,)i i x y 的残差（residual )．类比样本方差估计总体方差的思想，可以用22111(,)(2)22n i i e Q a b n n n σ∧∧∧∧===>--∑ 作为2σ的估计量， 其中a 和b 由公式（1) (2）给出，Q （a ,b ）称为残差平方和（residual sum of squares )．可以用2σ∧衡量回归方程的预报精度．通常，2σ∧越小，预报精度越高．在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后，可以通过残差12,,,n e e e ∧∧∧来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据．这方面的分析工作称为残差分析． 【设计意图】引入残差的概念，使学生会运用残差分析的思想分析模型的拟合效果. 表3- 2 列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据．e -6.373 的估计值等，这样作出的图形称为残差图．【设计意图】通过例1的具体数据让学生感受残差分析的应用. 【变式练习】观察两相关变量得如下数据：求两个变量的回归方程. 解：10102110,0,110,110,i i i i i x y x x y ======∑∑10110221101101001,000.11010010i ii i i x y x yb a y b x b x x∧∧∧∧==--⨯∴====-=-⋅=-⨯-∑∑ 所以所求回归直线方程为y x =【设计意图】让学生自己动手解决求回归方程的问题，加深对回归分析思想的印象.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？ 学生作答：1．回归直线方程，随机误差及残差．2．思想：回归分析的思想、数形结合的思想、残差分析的思想．教师总结: 公式的证明过程用到了前面两章学过的知识，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”．在应用中增强对知识(如本节的随机误差和残差)的理解，及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用． 【设计意图】 加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”．六、布置作业1．阅读教材P80—84；2．书面作业 P89 习题3.1 1.（1）、（2）、（4）.3．课外思考：如何运用回归分析的思想对未知量进行预报轨迹呢？【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用回归分析的思想，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生理解回归分析的思想，从而让学生深刻地体会随机误差，残差分析的思想，培养学生回归分析的基本思想，起到承上启下的作用．七、教后反思1.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在公式的证明思路的探寻上下足功夫.2.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊断与分析.八、板书设计1i nb ==∑bx。
北师大版高中数学课本目录(含重难点及课时分布)
高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一·第一章集合（考点的难度不是很大，是高考的必考点）· 1、集合的基本关系· 2、集合的含义与表示· 3、集合的基本运算（重点)（2课时）·第二章函数· 1、生活中的变量关系· 2、对函数的进一步认识· 3、函数的单调性（重点）· 4、二次函数性质的再研究（重点)· 5、简单的幂函数(5课时)·第三章指数函数和对数函数· 1、正整数指数函数· 2、指数概念的扩充· 3、指数函数（重点）· 4、对数· 5、对数函数（重点）· 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点）(3课时）·第四章函数应用· 1、函数与方程· 2、实际问题的函数建模（2课时）北师大版高中数学必修二·第一章立体几何初步· 1、简单几何体· 2、三视图（重点）· 3、直观图（1课时）· 4、空间图形的基本关系与公理（重点)· 5、平行关系(重点）· 6、垂直关系（重点)· 7、简单几何体的面积和体积（重点）· 8、面积公式和体积公式的简单应用(重点、难点）(4课时）·第二章解析几何初步· 1、直线与直线的方程· 2、圆与圆的方程· 3、空间直角坐标系（4课时）北师大版高中数学必修三·第一章统计· 1、统计活动：随机选取数字· 2、从普查到抽样· 3、抽样方法· 4、统计图表· 5、数据的数字特征(重点）· 6、用样本估计总体· 7、统计活动：结婚年龄的变化· 8、相关性· 9、最小二乘法(3课时)·第二章算法初步· 1、算法的基本思想· 2、算法的基本结构及设计（重点）· 3、排序问题（重点）· 4、几种基本语句（2课时）·第三章概率· 1、随机事件的概率（重点）· 2、古典概型(重点）· 3、模拟方法――概率的应用（重点、难点）（4课时)北师大版高中数学必修四·第一章三角函数· 1、周期现象与周期函数· 2、角的概念的推广· 3、弧度制· 4、正弦函数（重点)· 5、余弦函数（重点）· 6、正切函数(重点）· 7、函数的图像（重点)· 8、同角三角函数的基本关系(重点、难点）（5课时）·第二章平面向量· 1、从位移、速度、力到向量· 2、从位移的合成到向量的加法（重点）· 3、从速度的倍数到数乘向量（重点）· 4、平面向量的坐标（重点)· 5、从力做的功到向量的数量积(重点）· 6、平面向量数量积的坐标表示（重点)· 7、向量应用举例（难点）（5课时）·第三章三角恒等变形(重点）· 1、两角和与差的三角函数· 2、二倍角的正弦、余弦和正切· 3、半角的三角函数· 4、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用（难点）（4课时)北师大版高中数学必修五·第一章数列· 1、数列的概念· 2、数列的函数特性· 3、等差数列（重点）· 4、等差数列的前n项和（重点）· 5、等比数列（重点）· 6、等比数列的前n项和（重点)· 7、数列在日常经济生活中的应用(6课时）·第二章解三角形（重点）· 1、正弦定理与余弦定理正弦定理· 2、正弦定理· 3、余弦定理· 4、三角形中的几何计算（难点）· 5、解三角形的实际应用举例(6课时）·第三章不等式· 1、不等关系· 1。
3.1回归分析的基本思想及其初步应用
（3）由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈 线性关系,则选用线性回归方程）． （ 4）按 一 定 规 则 ( 如 最 小 二 乘 法 )估 计 回 归 方 程 中 的 参 数 ．
（5）得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对 应残差过大,残差呈现不随机的规律性等),若存在异常, 则检查数据是否有误,或模型是否合适等.
对于一组具有线性相关关系的数据
x1, y1 ,x2, y2 ,,xn , yn ,
我们知道其回归直线y = bx + a的斜率和截距 的最小二乘估计分别为
n
xi x yi y
bˆ i1 n
,
1
aˆ y bˆx,
2
xi x 2
i 1
这正是我们所要推导的公式.
下面我们通过案例 ,进一步学习回归分析的基本 思想及其应用.
例1 从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体 重数据如表 3-1所示.
表 3-1 编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身 高 / cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体 重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59
4.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的 精 确 值.事 实 上, 它 是 预 报 变 量 的 可 能 取 值 的 平 均 值. 一 般 地 ,建 立 回 归 模 型 的 基 本 步 骤 为 :
（ 1）确 定 研 究 对 象 ,明 确 哪 个 变 量 是 解 释 变 量 ,哪 个 变 量是预报变量． （ 2）画 出 解 释 变 量 和 预 报 变 量 的 散 点 图 ,观 察 它 们 之 间
第三章 统计案例
3.1回归分析的基本思想及其初步应用(二)
n
★其中：(1)|r|≤1； (2)|r|越接近于1，相关程度越强， |r|越接近于0，相关程度越弱； (3) b 与 r 同号。
3
温故知新
3、线性回归模型：
y bx a e 2 E (e ) 0, D(e )
其中：e是随机误差，均值E(e)=0，方差D(e)=σ2>0 当随机误差e恒等于0时，线性回归模型就变成一 次函数模型。即：一次函数模型是线性回归模型的特
例2、一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7 组观测数据列于下表，试建立y与x之间的回归方程. 温度x/0C 产卵数y/个 21 7 23 11 25 21 27 24 29 66 32 35
115 325
解：收集数据作散点图：
350 300 250
产卵数
200 150 100 50 0 0 10 20 温度 30 40
(x X i
i 1
i 1
nn
2
i
)x X n
2 2
2
温故知新
2、我们通常用相关系数r来描述两个变量之间 线性相关关系的强弱。
r
x y n xy
i i i1 n 2 2 n 2 2 xi n x yi n y i1 i1
由条件R2分别为0.98和0.80
故指数函数模型的拟合效果比二次函数的模拟效果好.
15
习题3.1
A组 1、3
16
殊形式。
4、相关系数r与随机误差e一般有什么关系？
量
ˆ y y ˆ e
样本点： ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), ... ,( xn , yn )
2019_2020学年高中数学第三章统计案例1回归分析课件北师大版选修2_3
5
xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61
i＝1
＝25 054.
5
x2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174.
i＝1
5
xiyi－5 x y
i＝1
所以 b＝
5
x2i －5 x 2
i＝1
＝25
054－5×73.2×67.8 27 174－5×73.22
探究二 相关系数
[例 2] 下面的数据是从年龄在 40 岁到 60 岁的男子中随机抽出的 6 个样本，分别测定 了心脏的功能水平 y(满分 100)，以及每天花在看电视上的平均时间 x(小时)．
看电视的平均时间 x 4.4 4.6 2.7 5.8 0.2 4.6 心脏功能水平 y 52 53 69 57 89 65
(1)作出散点图； (2)如果 y 与 x 之间具有线性相关关系，求线性回归方程．
解析：(1)散点图如图．
(2)由散点图可知，y 与 x 呈线性相关关系，设线性回归方程为：y＝bx＋a. 经计算，得 x ＝6， y ＝210.4，i∑＝51x2i ＝220，∑i＝51xiyi＝7 790. ∴b＝7 7902－205－×56××62210.4＝36.95， a＝210.4－36.95×6＝－11.3. ∴线性回归方程为：y＝36.95x－11.3.
2．随机抽样中测得四个样本点为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则 y 与 x 之间的回归直线
方程为( A )
A．y＝x＋1
B．y＝x＋2
C．y＝2x＋1
D．y＝x－1
解析： x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝2＋3＋4 4＋5＝72，∴回归直线过(52，72)，代