解线性方程组直接解法
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第２章 解线性方程组的直接解法
§0 引言
11112211211222221122n n n n n n nn n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪
⎪+++=⎩L L L L
1112121
22212112,(,,,),()n n T T n n
n n nn a a a a a a A x x x x b b b a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
⎣
⎦L
L L L L L L
Ax b =
若A 非奇异，即det()0A ≠，方程组Ax b =有唯一解。由 Cramer 法则，其解
det(),1,2,,det()
i i A x i n A =
=L
其中i A 为用b 代替A 中第i 列所得的矩阵。当n 大时，
1n +个行列式计算量相当大，实际计算不现实。 121212(,)12det()(1)n n n
i i i i i i n i i i A a a a τ=-∑L L L
§1 Gauss 消去法
（I ）Gauss 消去法的例子
（1）1231123
212336
()123315()18315()
x x x E x x x E x x x E ++=⎧⎪-+=⎨⎪-+-=-⎩
2131()12(),()(18)()E E E E -⨯--⨯
（2）
12312342356
()15957()211793()x x x E x x E x x E ++=⎧⎪
--=-⎨⎪+=⎩
方程组13()()E E -与方程组145(),(),()E E E 同解
541
()21(
)()15
E E --得 （3）1231234366()15957()3()
x x x E x x E x E ++=⎧⎪
--=-⎨⎪=⎩
由（3）得3
213,2,1x x x ===
123(,,)(1,2,3)T T x x x =
（3）的系数矩阵为11
10159001⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，上三角 矩阵。
（II ）Gauss 消去法，矩阵三角分解
Ax b =
1112
11,12122
22,112
,1
n n n n n n nn
n n a a a a a
a a a A
b a a a a +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
L
M L M L
L M M L
M 令(1)
,1,2,,;1,2,,,1ij ij a a i n j n n ===+L L
(1)(1)A b A b ⎡⎤=⎡⎤
⎣⎦⎣⎦ 第1次消去
(1)
110a ≠,
令
(1)1
1(1)11
,
2,3,,i i a l i n a ==L
作运算：11()()i i i l E E E -+→ i E 表示第i 个方程（第i 行）
2,3,,i n =L
(2)(1)(1)
111110
2,3,,i i i a a l a i n =-==L
(2)(1)(1)11,
2,3,,,1ij ij i j a a l a j n n =-=+L
(1)(1)
(1)(1)
111211,1(2)(2)(2)2222,1(2)
(2)(2)(2)(2)2
,1n
n n
n n nn
n n a a a a a a a A b a a a +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎡⎤=⎣
⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
L L L L L 如果令
21113111
101
1n l
L l l -⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-⎢
⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
M
O 1(1)
(2)1
(1)(1)(2)(2)11;
L A A L A b A b --⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦
令
1
2322
1011
1n L l l -⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢
⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
M O
(2)2
2(2)22
,3,4,,.i i a l i n a ==L
(1)(1)(1)(1)1112131(2)(2)(2)22
2321(2)
(3)(3)(3)2333()(3)3
n
n n
n n nn a a a a a a a L A
A a a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
L L L
L L 1(2)(2)(3)(3)
2L A b A b -⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦
进行k-1步后，得 ()
()k k A
x b =
,1(1)(1)
(1)(1)
111211,1(2)(2)(2)22
22,1()()()()()
,1()()()
n
n n
n n
n k k k k k kk
kn
k n k k k nk
nn
a a a a a a a A
b a a a a a a ++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢
⎥⎣
⎦⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
L L L L L
L
L
L L
L L
1
1,,1
11
1k
k k
n k
L l l -+⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥
⎣
⎦O
M O
1
()()(1)(1)k k k k k L A b A b -++⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦
M
1
(1)(1)()()1n n n n n L A b A b ----⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦
(1)(1)
(1)(1)
111211,1(2)(2)(2)2222,1()(),1n n n
n n n nn
n n a a a a a a a a a +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
L L
L
L 以上完成了消去过程，A 非奇异()
0n nn a ⇒≠；倒着求解
11,,,n n x x x -L 这称为回代过程。消去过程和回代过程结合起
来称为（顺序）Gauss 消去法，从消去过程可以得出。
111(1)()121n n n L L L A
A -----=L 其中()
n A
是一个上三角阵。
(1)1111()
121()n n n A A L L L A
------==L ()121n n n L L L A --=L