理论力学期末考试复习资料

理论力学期末考试复习资料题型及比例填空题（20%）选择题（20%）证明题（10%）简答题（10%）计算题（40%）第一章：质点力学（20~25%）一．质点的运动学I ：（重点考查）非相对运动学1、描述质点的运动需要确定参照系和坐标系。

参照系：没特别声明，一般以地球为参照系，且认为地球是不动的，即以静止坐标系为运动的参考。

坐标系：根据问题的方便，通常选择直角坐标系（适用于三维，二维，一维的运动），极坐标系（适用于二维运动，题中明显有极径，极角等字眼或者有心力作用下质点的运动时采用极坐标系），自然坐标系（适用于二维运动，题中明显有曲率半径，切向等字眼时，或者圆周曲线运动，抛物线运动等通常采用自然坐标系）。

2、描述质点运动的基本物理量是位移（坐标）、速度、加速度，明确速度、加速度，轨道方程在三种坐标系下的求解，直角坐标系下步骤：（1）, 建立好坐标系（2），表示出质点的坐标（可能借助于中间变量，如直角坐标系中借助于角度）（3）对坐标求一阶导得速度，二阶导得加速度，涉及的未知量要利用题中所给的已知信息求得。

若求轨道方程，先求得x 、y 、z 随时间或其他共同变量（参数）的函数关系，消去共同变量即可，其它坐标系下是一个道理。

若是采用处理二维运动的极坐标系和自然坐标系：明确怎么建立这两种坐标系及速度、加速度表的达式和各项的意义(a) 极坐标系：极轴（不变的），极角与极径（质点对质点的位矢大小）则随质点不断发生变化，特别需要明确的径向、横向的单位矢量j i ,的确定，径向即沿径矢延长方向，横向是垂直径向，指向极角增加的一侧，它们的方向随质点的运动不断发生变化，称为是活动坐标系；我们只需应用相应的公式计算，并理解每一项的意义即可：速度： 径向， 横向， 加速度：径向 ，明确第一项是由于径向速度得大小改变而引起，第二项则是横向速度得方向发生改变而引起；横向,第一项是混合项，其中之一表由横向速度得大小改变而引起，其中之二表由径向速度得方向改变而引起，而第二项则表示由横向速度得大小变化而引起(b)自然坐标系：明确是把矢量分为切向和法向，活动坐标系的单位矢量i 沿切向，j 沿法向，并指向轨道弯曲的一侧：不存在法向速度 是零； 法向II ：相对运动学r v θθ =r v r =r r a θθθ +=22θr r a r -=当质点相对于某平动运动参照系运动时，其对地的绝对速度 ，即等于牵连速度(被运动参照系牵带着而具有与运动参照系相等的速度)+相对速度，这类问题，通常是平面运动问题，我们需建立适当坐标系，一般为直角坐标系和极坐标系，把该矢量式进行适当分解，如在直角坐标系中该类问题中区分质点和运动参照系很重要，一般来讲，运动参照系的运动相对稳定， 质点的运动变化相对较大。

绝对加速度＝牵连加速度＋相对加速度，运动参照系匀速时两者相等二 质点的动力学（牛顿运动微分方程）I 惯性系（静止或做匀速直线运动的参照系，一般以地球为静止的惯性参照系 ）我们明确牛顿第二定律是一矢量式，必须建立合理的坐标系把F 和a 分解到坐标轴上，用分量式才能求解，所以建立合理的坐标系，正确的受力分析，利用初始条件求解牛顿运动微分方程的分量式（逐次积分法或公式法进行积分，积分常数需由初始条件决定），是该类问题的三大步骤 自由质点：空间平面的：非自由质点：受到约束，一般把力分为主动力（不随运动状态的变化而变化,如重力）和约束反力（约束所施加，通常会随运动状态的变化而变化，如支持力），这种情况采用自然坐标系比较方便 光滑约束的情况xx x V V V 牵相绝 +=y y y V V V 牵相绝 +='0v v v+=()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=-),,,,(2),,,,(t r r F r r m t r r F r r m r θθθθθθθθ R F r m +=主在这样的参照系中，牛顿第二定律不再成立，必须引入惯性力，牛顿第二定律形式上才能继续成立 惯性力 ，并非相互作用力，没有施力物体，仅表明我们是在非惯性系中研究动力学问题，同样，需建立适当的坐标系，把相互作用力和惯性力，相对加速度进行分解，用分量式求解（相对平衡问题，可能能用矢量三角形法则求解）三 功和能 功：功是能量转化的量度，功是过程量，能是状态量根据力做功是否与路径无关区分三类力保守力：力做功与路径无关，只取决于初末位置，这是判断一个力是否是保守力的根本标准。

另外两个判断标准是：（1）存在相应的势能标量函数，满足即保守力做功等于势能变化量的负值（2）该力的旋度一定为零非保守力：做功与路径有关，如涡旋电场做功耗散力： 做功与路径有关，而且总是做负功四、动力学三大定理及相应的守恒定律（单个质点）从牛顿第二定律出发,可推得1，动量定理及动量守恒定律（1）动量定理微分形式：质点动量的微分等于作用在质点上力的元冲量。

积分形式： 上式表明，在一段时间内，质点动量的增量等于作用在质点上的力在同一段时间内的冲量。

注意是矢量式：我们需建立坐标系（该步骤也是规定正方向的过程），各矢量投影到坐标轴上才能求解（2）动量守恒定律如质点不受力或者合力为零，则质点的动量守恒 注意是动量定理及动量守恒定律都是矢量式：无论是几维，我们都需建立坐标系（该步骤也是规定正方向的过程），各矢量投影到坐标轴上才能求解2，角动量定理及角动量守恒定律（1） 角动量定理力矩与角动量（动量矩）的概念 '0][a m a m F =-0am -⎰⎰==θcos .Fds r d F w 0=⨯∇F Id dt F v m d ==)(⎰=-2112t t dt F v m v m 12v m v m =对点的力矩： 对点的角动量（动量矩）： 对轴线的力矩或角动量，是在该轴上取一点做为定点，先求根据上面两式求得对该点力矩和角动量，再投影到该轴上即可（分量式请看书）。

若力与轴线相交或平行，则该力对轴线没有力矩，利用该结论，可能有力对轴线的力矩与对某轴的力矩相等，因对其它两轴的力矩为零，即共面力系情况，只可能对垂直于该面的轴线有力矩，所以对该轴线的力矩等于对该轴线与这个面的交点的角动量定理：微分形式质点对某定点 的动量矩（角动量）对时间的导数，等于作用力对同一点的力矩。

积分形式某过程，角动量的变化量等于外力在该时间段内给予质点的冲量矩 角动量守恒：若质点所受的力对某点力矩为量，则质点对该定点的角动量守恒C J =对单个质点，若动量受衡，则角动量也守恒，但反之不成立，比如有心力作用下质点的运动。

与动量定理及动量守恒定律一样，我们需要以定点为坐标原点，建立坐标系（该步骤也是规定正方向的过程），各矢量投影到坐标轴上才能求解3 动能定理及机械能守恒定律在某一过程，质点动能的变化量，等于该过程所有作用力所做功之代数和。

因此，清楚研究过程，有哪些作用力，是否做功，做正功还是负功，初末态动能（未知的当未知数处理）是必须的。

机械能守恒：从动能定理出发，若某过程，只有保守力做功，则该过程机械能守恒能用机械能守恒处理的问题，一定能用动能定理处理，反之，则不然。

动能定理和机械能守恒，是标量式，没有分量式，不需建立坐标系，但涉及势能时，务必规定势能零面或势能零点,一般对弹性势能，是以自然伸长为零势能点，引力或斥力势能是以无穷远为势能零点；重力势能是以某一水平面为零势能点。

五、有心力总体认识： 有心力是保守力，必有机械能守恒；有心力对力心力矩为零，所以质点对力心的角动量守恒，并由此推断有心力下，质点只能在一个平面上用动，由于力总是沿径矢的反方向指向力心，所以一般采用极坐标系研究有心力下质点的运动。

1， 有心力下，质点的运动微分方程1） 动力学方程： 径向： 横向：由横向方程，必能推得 ，表对力心的角动量守恒，因对力心力矩为零，有 F r M F M o ⨯==)(v m r J v m M o ⨯==)(⎰=-dt M J J 12)()(2r F r r m =-θ0)()2(==+θθθF r r m C k mr j r i ri r m v r m ==+⨯=⨯ θθ2)]()[()(h r =θ 22， 动力学方程的求解，轨道方程—在动力学方程中，消去时间t ，并设得比耐公式：根据比耐公式，（1）已知质点所受的有心力F, 求质点的轨道方程 （2）已知质点的轨道方程求质点所受的有心力能量方程中，涉及力力心某点的势能求解，对于引力或斥力势能，我们一般以无穷远为势能零点，根据保守力做功与势能变化的关系，可得，离力心r 处的势能比的引力势能3， 行星的运动结合能量方程和角动量守恒方程，可推得轨道形状的能量（由于是常量）判据：0<E 推得偏心率 1<e ,轨道为椭圆0=E ，推得偏心率 ,1=e 轨道为抛物线,0>E 推得偏心率 ,1>e 轨道为双曲线 我们知行星的轨道为椭圆轨道，所以其能量一定小于零（书58页），α粒子的散射，由于其能量大于零，因而是双曲线的一支，其处理方法也不外乎比奈公式，角动量守恒方程，机械能守恒方程。

4 宇宙速度明白第一（扰地球运行的最小发射速度，第二（脱离地球引力的最小发射速度），第三宇宙速度（脱离太阳引力的最小发射速度得）含义。

第二章 质点组力学（10%~15%）一、基本概念和质心的求解质点组：相互作用着的大量质点组成的质点系内力：质点间的相互作用力，总是成对出现，内力之和一定为零外力： 质点组以外的物体施加的作用力质心：质点组的质量中心，是一几何点，而不是一质点，其定义如下以某一点O 为坐标原点（参考点），则质心对该点的位矢等于各质点对同一点的位矢乘以质量之矢量和除以总质量⎰⎰==-==r v r v r d F r v dv 00.)(∑∑====n i m n i C O C r ii r i m 11分量式，则为 对于质点间的距离不随时间发生变化的情况，参考点不同，所求出的质心坐标不同，但相对质点组的空间位置是不变的。

我们大多遇到的是连续的情况，所以求和需改为积分上面积分，并不意味着是一重积分。

可能二重，可能三重，视情况而定，x,y,z 是所选取微元的坐标，若是规则小几何体，如薄圆片，x,y,z 则指的是规则几何体质心坐标。

“微元”的合理选取（微元或规则的小几何体）和构建适当的坐标系（要充分利用对称性），借助于密度，表达出微元质量及坐标是关键，最后再进行积分求解密度均匀，形状规则，且各处重力加速度相同，则质心，几何中心，重心重合。

二(重点考查)质点组的三大定理及相应的守恒定律由于质点数目可能较多，且内力通常未知，所以对每一个质点应用牛顿第二定律求解其运动规律是不切实际的，但对整个质点组利用动量定理，角动量定理，动能定理及相应的守恒定律，则可能消除未知的某些量，如内力，内力对定点O 的力矩，从而使问题简化1， 对质点组应用动量定理和相应的动量守恒定律1） 动量定理（内力之矢量和为零）质点组动量对时间的微商等于作用在质点组上诸外力之矢量和，从动量定理，再结合质心的定义，不难导出质心运动定理质心就好比一个‘质点’的运动一样，此‘质点’集中整个质点组的质量，作用在此‘质点’上的力等于作用在质点组所有质点上诸外力的矢量和2） 动量守恒定律若整个质点组不受外力，或虽受外力，但外力之矢量和为零，或外力远小于内力，则整个质点组的总动量为常量∑∑===n i m n i x C X i i i m 11∑∑===n i m n i y C Y i i i m 11∑∑===n i m n i z C Z i i i m 11⎰⎰=dm xdm C X ⎰⎰=dm ydm C Y ⎰⎰=dm zdm C Z ∑==n i e i F dt P d 1)( ∑==n i i i v m P 1)( CP v m v m n i i i C ===∑= 1)(∑==n i e i C F dt r d m 1)(22注意，上面这些都是矢量式，务必建立坐标系，进行矢量投影，用分量式求解，一维的情况，规定正方向，也相当于建立以维的坐标系；另外，速度是绝对速度。