图论与抽象代数复习

2013-2014二学期图论与抽象代数复习第一部分1.第三篇总复习题1，2，3题2.第四篇总复习题1，4，6题3.习题9 9.1题4. *运算如下表所示，哪个能使({a,b},*)成为单元半群？（）5. Q 是有理集，（Q，*）（其中*为普通乘法）不能构成（）。

A．群B．单元半群C．半群D．交换半群6.设Z 是整数集，＋，·分别是普通加法和乘法，则（Z，＋，·）是（）。

A．域B．整环和域C．整环D．含零因子环7. 在代数系统中，整环和域的关系为（）。

A．整环一定是域B．域不一定是整环C．域一定是整环D．域一定不是整环8. 设D =< V,E >为有向图，V = {a, b, c, d, e, f }，E = {( a,b),(b,c),(a, d), ( d, e),(f, e)}是（）。

A．强连通图B．单向连通图C．弱连通图D．不连通图9. 在有n 个结点的连通图中，其边数（）。

A．最多有n−1 条B．至少有n−1 条C．最多有n 条D．至少有n 条10设G = (n,m)为无向简单图，可构成邻接矩阵的数目为（）。

A．n! B．m! C．D．11. 欧拉回路是（）。

A．通路B．简单回路C．既是基本回路也是简单回路D．既非基本回路也非简单回路12. 哈密尔顿回路是（）。

A．通路B．简单回路C．既是基本回路也是简单回路D．既非基本回路也非简单回路13. 下面哪一种图不一定是树?（）A．无回路的连通图B．有n 个结点n −1条边的连通图C．每对结点间都有通路的图D．连通但删去一条边则不连通的图下述偏序集（见下图）中能构成格的是（）下述偏序集中哪一个不构成格？（）第二部分1第三篇总复习题 11，12，13题 2.第四篇总复习题 16，21题 3.定理6.14，定理7.10推论24.Z 是整数集，群(Z,+)是一个循环群，其生成元是______和________.5.G 是n 个节点，m 条边的无向图，v 是次数为k 的结点，则G-v(G 中去掉节点的图)中有_______个结点，________条边。

6.设（G ，*）是一个半群，若存在单位元且每个元素都有右逆元，则（G ，*）是_____________.7.由一个孤立结点构成的图称为________;简单图不包含___________ 第三部分1. 设代数系统（A ,*），其中A={ a ,b , c , d }，*乘法表定义如下：问*是否是可交换的；A 是否有单位元；如果有单位元，指出哪些元素是可逆的，并给出它们的逆元。

2. 第三篇总复习题 20题3.找出 的所有子群。

4.有向图D 如下图所示：),(3 S求：(1) D 的邻接矩阵A(2) D 中v1 到v4 长度为4 的通路数为多少？(3) D 中长度为4 的通路总数为多少？其中有几条回路？(4) D 中v1 到自身长度为3 的回路数为多少？(5) D 中长度小于等于4 的通路有多少条？其中有多少条是回路？(6) D 是哪类连通图？5.下图给出的赋权图表示七个城市a，b，c，d，e，f，g 及架起城市间直接通信线路的预测造价，试给出一个设计方案使得各城市间能够通信且总造价最小，要求计算出最小总造价。

第四部分1.证明：定理6.182.证明：定理8.13.证明：定理9.14.第三篇总复习题27题5. 证明：循环群一定是可换群。

第三篇代数系统代数系统是建立在集合论基础上以代数运算为研究对象的学科。

本篇共三章，第五章代数系统基础介绍代数系统的一般原理与性质，第六章群论，主要介绍具有代表性的代数系统－群，最后第七章其它代数系统，介绍除群外常见的一些代数系统，如环、域、格与布尔代数等，这三章相互配合构成了代数系统的完整的整体。

第五章代数系统基础§5.1 代数系统一般概念1．代数系统中的基本概念（1）代数系统：集合上具有封闭性的运算组成代数系统（S , ）。

（2）子代数：代数系统（S, ），（S'，*）满足：①S⊆'S②如a , b∈S'，a*b = a b 则称（S'，*）为（S, ）的子代数。

§5.2 代数系统常见的一些性质（3）代数系统常见性质1）结合律：（a b）c＝a （b c）2）交换律：a b＝b a3）分配律：a （b＋c）＝（a b）＋（a c）4）单位元：a 1＝a5）逆元：a a －1＝1 6）零元：a 0＝0 7）生成元 §5.3 同构与同态 （4）同构：（X ， ）与（Y ，*）存在一一对应函数g : X →Y 使得如x1 , x2∈X ，则有：g （x1 x2）＝g （x1）*g （x2）此时则称（X, ）与（Y ，*）同构。

（5）同态：（X , ）与（Y ，*）存在函数g : X →Y 使得如x1 , x2∈X ，则有：g （x1 x2）＝g （x1）*g （x2）此时则称（X ， ）与（Y ，*）同态。

§5.4 常用代数系统（6）代数系统的构成第六章 群论§6.1 一些群的定义（7）半群——代数系统满足交换律 （8）单元半群——半群存在单位元 （9）群——半群存在单位元与逆元 （10）可换群——群满足交换律整环域（11）变换群——集合A上所有的变换构成的集合E（A），对于复合变换︒所构成的代数系统（E（A）, ）是一个群，称变换群。

（12）循环群——群有生成元。

（13）有限群：群（S, ）中S为有限集。

（14）子群：群（G，*）上G的子集所构成的群。

（15）正规子群：（H，*）是群（G，*）的子群，如对a∈G都有：aH = Ha 则称（H，*）是（G，*）的正规子群。

（16）陪集：H是G的子群，Ha＝{ha | h∈H}, aH = {ah | h∈H }分别称H在G 中的一个右陪集或左陪集。

（17）商群：H是G的正规子群，对Ha，Hb∈G/H，二元运算（Ha)*(Hb)＝Hab构成群，则称H是G的商群。

（18）单元半群性质：∙单元半群的子系统若包含单位元也是单元半群。

∙可列个元素的单元半群的运算组合表每行（列）均不相同。

∙循环单元半群是可换单元半群。

∙可换单元半群的所有等幂元素是一个子单元半群。

§6.2 一些群的理论与半群性质：∙半群的子代数也是半群。

∙循环半群是可换半群。

（19）关于群的基本理论∙群方程可解性：a x = b（或x a = b）对x存在唯一解；∙群的消去律：a b = a c（或b a = c a）必有b = c；∙任一群必与变换群同构；∙与一个群同构或满同态的代数系统必为群；∙一个代数系统有限群满足结合律及消去律则必为群；∙有限群必与置换群同构；∙循环群要么与（I,＋）同构，要么与（Zm，＋m）同构；∙一个群子集H构成群（H,o）的充分必要条件：a,b∈H 则a b∈H ,a∈H 则a－1 ∈H；∙一个群子集H构成子群（H,o）的充分必要条件：a,b ∈H 则a b－1 ∈H ；∙一个有限群的阶一定被它的子群的阶所等分（拉格朗日定理）；∙f是群（G, ）与（G'，⊗）的满同态，K是f的核，则必有：（G/k , *）与（G'，⊗）同构；第七章其它代数系统§7.1 环、理想、整环和域（20）环：（R，＋, ），对＋的可换群，对的半群，对＋的分配律；（21）理想：（D，＋, ），环（R，＋, ）的子环，满足：a∈R , b∈D，必有：a b∈D , b a∈D；（22）整环：环（R，＋, ）中，运算有单位元，无零因子；（23）域：环（P，＋, ）中，运算交换律，有单位元，逆元；（24）环的基本理论环的基本运算性质：∙ a 0 = 0 a = 0；∙ a （－b）=（－a） b = －（a b）∙ (－a) (－b)＝a b∙环中无零因子⇔环满足消去律；∙环中子系统S是子环的充要条件是a∈s 则必有a－1∈S。

（25）域的基本理论1）域是整环；2）有限整环必是域。

§7.2 格与布尔代数（26）格：（P，＋, ）中，两个运算的结合律、吸收律、交换律；（27）布尔代数：格（B，＋, ）中，两个运算的分配律、单位元、逆元。

（28）格的基本理论1）一个偏序格必是一个代数格，反之亦然；2）格的运算性质。

∙ a≤a∨b , b≤a∨b （a∨b≥a , a∨b≥b）∙a≤c且b≤c ⇒a∨b≤c （a≤c且b≤c⇒c≥a∨b）∙a∧b≤a , a∧b≤b （a≥a∧b , b≥a∧b）∙ c≤a且c≤b ⇒c≤a∧b （c≤a且c≤b⇒c≥a∧b≥c）（29）布尔代数的基本理论—布尔代数（B，＋，）满足：（对＋与）∙交换律∙结合律∙等幂律∙吸收律∙分配律∙零一律∙同一律∙互补律∙双补律∙德∙摩根律第四篇图论图论用‘结点’表示事物，而用‘边’表示事物间联系，并用‘结点’与‘边’所构成的图用以研究客观世界。

为便于计算，建立了图的矩阵表示，这样可以将图论研究与计算相结合，从而使图论研究具有很大的实用性。

由于图的形式很多，在实用中我们一般对若干种常用的图作研究，它们是树、平面图与两步图。

在图论学习中主要要掌握如下几个方面：①图论中的基本概念。

②图论中的基础理论。

③图的矩阵计算。

④几种常用的图。

在本篇中共有两部分组成，它们是图论原理与常用图，其中图论原理部分介绍图的基本概念、理论与计算而常用图部分则介绍树、平面图与两步图等三种常用图，这两部分的有机结合构成了图论的完整的整体。

第八章图论原理§8.1 图的基本概念§8.1.1 图§8.1.2 图的基本概念（1）图的概念图由结点集V＝{v1，v2，…，vn}与边集E＝{l1，l2，…，lm}所组成，可记为：G＝<V，E>（2）有向图与无向图①边为有向的图称为有向图②边为无向的图称为无向图（3）几种特殊的图①零图：无边的图。

②平凡图：仅有一个结点所组成的图。

③完全图：各结点间均有边相联的图。

④补图：G＝<V，E>，G'＝<V，E'>如有＝<V，E∪E'>为完全图且E∩E'＝∅，则称G为G的补图。

⑤简单图与多重图：包括多重边的图称为多重图，否则称为简单图。

⑥有权图：边带权的图。

§8.1.3 图的同构⑦同构图：G＝<V，E>，G'＝<V'，E'>，V与V'以及相应边的结点对中有一一对应关系。

§8.1.4 图中结点的次数（4）图中结点的次数∙引入次数deg（v）、引出次数deg（v）、次数deg（v）。

∙定理：deg（vi）= 2m§8.2 通路、回路与连通性（5）通路与回路①通路：图中vi至vj的通路是在边的序列：（vi，vi1），（vi1，vi 2），…（vi k －1，vi k），其中vi k＝vj②基本通路与简单通路：图各边全不同的通路叫简单通路，各点全不同的通路叫基本通路。