图论与抽象代数复习

2013-2014二学期图论与抽象代数复习

第一部分

1.第三篇总复习题1，2，3题

2.第四篇总复习题1，4，6题

3.习题9 9.1题

4. *运算如下表所示，哪个能使({a,b},*)成为单元半群？（）

5. Q 是有理集，（Q，*）（其中*为普通乘法）不能构成（）。

A．群B．单元半群C．半群D．交换半群

6.设Z 是整数集，＋，·分别是普通加法和乘法，则（Z，＋，·）是（）。

A．域B．整环和域C．整环D．含零因子环

7. 在代数系统中，整环和域的关系为（）。

A．整环一定是域B．域不一定是整环

C．域一定是整环D．域一定不是整环

8. 设D =< V,E >为有向图，V = {a, b, c, d, e, f }，E = {( a,b),(b,c),(a, d), ( d, e),(f, e)}是（）。A．强连通图B．单向连通图C．弱连通图D．不连通图

9. 在有n 个结点的连通图中，其边数（）。

A．最多有n−1 条B．至少有n−1 条

C．最多有n 条D．至少有n 条

10设G = (n,m)为无向简单图，可构成邻接矩阵的数目为（）。

A．n! B．m! C．D．

11. 欧拉回路是（）。

A．通路B．简单回路

C．既是基本回路也是简单回路D．既非基本回路也非简单回路

12. 哈密尔顿回路是（）。

A．通路B．简单回路

C．既是基本回路也是简单回路D．既非基本回路也非简单回路

13. 下面哪一种图不一定是树?（）

A．无回路的连通图B．有n 个结点n −1条边的连通图

C．每对结点间都有通路的图D．连通但删去一条边则不连通的图

下述偏序集（见下图）中能构成格的是（）

下述偏序集中哪一个不构成格？（）

第二部分

1第三篇总复习题 11，12，13题 2.第四篇总复习题 16，21题 3.定理6.14，定理7.10推论2

4.Z 是整数集，群(Z,+)是一个循环群，其生成元是______和________.

5.G 是n 个节点，m 条边的无向图，v 是次数为k 的结点，则G-v(G 中去掉节点的图)中有_______个结点，________条边。

6.设（G ，*）是一个半群，若存在单位元且每个元素都有右逆元，则（G ，*）是_____________.

7.由一个孤立结点构成的图称为________;简单图不包含___________ 第三部分

1. 设代数系统（A ,*），其中A={ a ,b , c , d }，*乘法表定义如下：问*是否是可交换的；A 是否有单位元；如果有单位元，指出哪些元素是可逆的，并给出它们的逆元。

2. 第三篇总复习题 20题

3.找出 的所有子群。

4.有向图D 如下图所示：

)

,(3 S

求：(1) D 的邻接矩阵A

(2) D 中v1 到v4 长度为4 的通路数为多少？

(3) D 中长度为4 的通路总数为多少？其中有几条回路？

(4) D 中v1 到自身长度为3 的回路数为多少？

(5) D 中长度小于等于4 的通路有多少条？其中有多少条是回路？

(6) D 是哪类连通图？

5.下图给出的赋权图表示七个城市a，b，c，d，e，f，g 及架起城市间直接通信线路的预测造价，试给出一个设计方案使得各城市间能够通信且总造价最小，要求计算出最小总造价。

第四部分

1.证明：定理6.18

2.证明：定理8.1

3.证明：定理9.1

4.第三篇总复习题27题

5. 证明：循环群一定是可换群。

第三篇代数系统

代数系统是建立在集合论基础上以代数运算为研究对象的学科。本篇共三章，第五章代数系统基础介绍代数系统的一般原理与性质，第六章群论，主要介绍具有代表性的代数系统－群，最后第七章其它代数系统，介绍除群外常见的一些代数系统，如环、域、格与布尔代数等，这三章相互配合构成了代数系统的完整的整体。

第五章代数系统基础

§5.1 代数系统一般概念

1．代数系统中的基本概念

（1）代数系统：集合上具有封闭性的运算组成代数系统（S , ）。

（2）子代数：代数系统（S, ），（S'，*）满足：

①S⊆'S

②如a , b∈S'，a*b = a b 则称（S'，*）为（S, ）的子代数。

§5.2 代数系统常见的一些性质

（3）代数系统常见性质

1）结合律：（a b）c＝a （b c）

2）交换律：a b＝b a

3）分配律：a （b＋c）＝（a b）＋（a c）

4）单位元：a 1＝a

5）逆元：a a －1＝1 6）零元：a 0＝0 7）生成元 §5.3 同构与同态 （4）同构：（X ， ）与（Y ，*）存在一一对应函数g : X →Y 使得如x1 , x2∈X ，则有：g （x1 x2）＝g （x1）*g （x2）此时则称（X, ）与（Y ，*）同构。 （5）同态：（X , ）与（Y ，*）存在函数g : X →Y 使得如x1 , x2∈X ，则有：g （x1 x2）＝g （x1）*g （x2）此时则称（X ， ）与（Y ，*）同态。 §5.4 常用代数系统

（6）代数系统的构成

第六章 群论

§6.1 一些群的定义

（7）半群——代数系统满足交换律 （8）单元半群——半群存在单位元 （9）群——半群存在单位元与逆元 （10）可换群——群满足交换律

整环

域