不等式与线性规划问题试题

基本不等式

1． 若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 2． 已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1

t

的最小值为________．

3． 已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2

y 的最小值是_____________．

4． (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是

( )

A.24

5

B.28

5

C ．5

D ．6

5． 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是

( )

A.⎝⎛⎦⎤－∞，14

B.⎝⎛⎦⎤0，14

C.⎝⎛⎭

⎫－1

4，0

D.⎝

⎛⎭⎫－∞，1

4

题型一 利用基本不等式证明简单不等式

例

1

已知x >0，y >0，z >0.

求证：⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫

x z ＋y z ≥8.

已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝

1.

求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.

题型二 利用基本不等式求最值

例

2

(1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1

y

的

最小值为________；

(2)当x >0时，则f (x )＝

2x

x 2＋1

的最大值为________． (1)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则

x ＋2y 的最小值是

( )

A ．3

B ．4

C.9

2

D.112

题型三 基本不等式的实际应用

1.(2010·惠州模拟)某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0

f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为f (10)10)的月饼最少为

( )

A．18 B．27 C．20 D．16

2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．

(2011·北京)某车间分批生产某种产品，

每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x

8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()

A．60件B．80件C．100件D．120件

A组专项基础训练

(时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1． (2011·陕西)设0

( )

A ．a

B ．a

C ．a

2

D.ab

2

2． (2012·福建)下列不等式一定成立的是

( )

A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0)

B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )

C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1

x 2＋1

>1(x ∈R )

3． 设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1

y 的最大值为

( ) 4． 已知0

( )

A.13

B.12

C.34

D.23

二、填空题(每小题5分，共15分)

5． 已知x ，y ∈R ＋

，且满足x 3＋y 4

＝1，则xy 的最大值为________．

6． (2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2·⎝⎛⎭

⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． ．

7． 某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万

元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_______． ．

三、解答题(共22分)

8． (10分)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：

(1)1a ＋1b ＋1

ab

≥8；

(2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭

⎫1＋1

b ≥9.

B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共15分)

1． 不等式a 2＋b 2≥2|ab |成立时，实数a ，b 一定是

( )

A ．正数

B ．非负数

C ．实数

D ．不存在

2． 如果0

2

(a ＋b )，那么P ，Q ，M 的

大小顺序是

( )

A ．P >Q >M

B ．Q >P >M

C ．Q >M >P

D ．M >Q >P

3． 函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0

上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2

n 的最小值为

( )

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

二、填空题(每小题5分，共15分)

4． 若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．

5． 已知m 、n 、s 、t ∈R ＋

，m ＋n ＝2，m s ＋n t ＝9，其中m 、n 是常数，且s ＋t 的最小值是49

，

满足条件的点(m ，n )是圆(x －2)2＋(y －2)2＝4中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为__________．

6．已知关于x 的不等式2x ＋2

x －a

≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为

________．

线性规划