拉格朗日插值公式--计算方法

k 0 k 0 j 0 j k
n
n
n
x xj xk x j
) yk
Baidu Nhomakorabea(10)
事实上由于每个插值基函数lk(x)都是n次式， pn(x)的次数≤n，又据（9）式有
pn ( x) yk lk ( xi ) yi
k 0 n
即pn(x)满足插值条件（2）.
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考试答卷
l1 ( x) ( x x0 )(x x2 ) ( x x0 )(x x1 ) , l2 ( x ) ( x1 x0 )(x2 x1 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
这样构造出的l0(x),l1(x)和l2(x)称作问题4的插值 基函数 设取已知数据y0,y1,y2作为组合系数，将插值基 函数l0(x),l1(x),l2(x)组合得：
1 1 0 0 0 0
问题3 求作一次式p1(x)，使满足条 件：p1(x0)=y0,p1(x1)=y1 从几何图形上看，y=p1(x)
我们知道，线性公式（3）亦可表示为下列对称式 x x x x p ( x) y y （4） x x x x 若令： l ( x ) x x1 , l ( x) x x0
l0 ( x) ( x x0 )(x x2 ) ( x0 x1 )(x0 x2 )
类似的可以构造出满足条件： l1(x1)=1,l1(x0)=l1(x2)=0 2011-6-1 l2(x2)=1,l2(x0)=l2(x1)=0 。 考试答卷
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的插值多项式l1(x)与l2(x),其表达式分别为：
§1.2 拉格朗日插值公式
------《数值分析简明教程》
1、线性插值
2、抛物插值
3、一般情况
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1、线性插值
首先考察线性插值的简单情形。
表示通过两点(x0,y0),(x1,y1)的直线。因此，一次插 值亦称线性插值。 上述简单的线性插值是人们所熟悉的，它的解p1(x) y y x x p 1 ( x ) y 可表为下列点斜式 x x 例2 已知 100 10, 121 11 , 求y 115(3) 解：这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11.令 x=115代入（3）,求得y=10.71428，这个结果有3 位有效数字（试与例1的结果相比较） . 2011-6-1 2 考试答卷
1 0 1 0 1 0 1 1 0
0
x0 x1
1
x1 x0
则有： p1(x)=y0l0(x)+y1l1(x) （5） 注意，这里的l0(x)和l1(x)分别可以看做是满足条件 l0(x0)=1 , l0(x1)=0 l1(x1)=1 , l1(x0)=0 的插值多项式.这两个特殊的插值多项式称作问题3的插值基函 数 （参考图1-1、1-2）. 式（5）表明，插值问题3的解p1(x)可以通过插值基函数l0(x)和 l1(x)组合得出，且组合系数恰为所给数据y0,y1.
( x x0 )(x x 2 ) ( x x0 )(x x1 ) ( x x1 )(x x2 ) p2 ( x) y0 y1 y2 ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x2 x0 )(x2 x1 ) (8)
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为了得出插值公式p2(x),先解决一个特殊的二次插值问题： 求作二次式l0(x)，使满足条件 l0(x)=1 , l0(x1)=l0(x2)=0 （ 7） 这个问题是容易求解的，事实上，由式（7）的后两个条 件知，x1,x2是l0(x)的两个零点，因而
l0(x)=c(x-x1)(x-x2) 再利用式（7）剩下的一个条件 l0(x0)=1确定系数c，结果得出
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y
1
l0(x)
1 l1(x)
0
0 x0 图 1-1 x1 x x0 图 1-2
x1
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2、抛物插值
线性插值仅仅利用两个节点上的信息，精 确度自然很低，为了提高精确度，进一步 考察下述二次插值。
问题4 求作二次式p2(x),使满足条件
p2(x0)=y0, p2(x1)=y1, p2(x2)=y2 (6) 二次插值的几何解释是，用通过三点 (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)的抛物线y=p2(x)来近 似所考察的曲线y=f(x),因此这类插值亦称 为抛物插值。
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开始 输入x (xi ,yi ) , i=0,1,2,…,n
0→y 0→k
1→t
x xj tt xk xj j 0, ,k 1, k 1, ,n
y + t·yk →y
≠
K=n?
= 输出y
k+1→k
图1-3
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式（10）称作拉格朗日插值公式. 该公式的形式对称，结构紧凑， 因而容易编写计算程序.事实上， 式（10）的逻辑结构上表现为二 重循环.内循环（j循环），然后 再通过外循环（k循环）累加得出 插值结果y.图1-3是拉格朗日方法 的算法图框.
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3.一般情况
进一步求解一般形式的问题2.仿照线性 插值和抛物插值所采用的方法，仍从构 造所谓插值基函数入手.这里的插值基函 数lk(x)=0,1,2,…,n)是n次多项式，且满 足条件
0, j k lk ( x j ) kj 1, j k (9)
这表明除xk以外的所有节点都是lk(x)的零 n 点故
l k ( x ) c ( x x j )
j 0 j k
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这里∏的含义是累乘， 表示乘积遍取下标j 从0到除k以外的全部值. 利用插值基函数容易得出问题2的解
j 0 jk
n
pn ( x) yk lk ( x) (
容易看出这样构造出的p2(x)满足条件（6）。因 而他就是问题4的解
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例3 利用100,121和144的开方值 求 115 解：用抛物插值，这里 x0=100,y0=10,x1=121,y1=11,x2=1 44,y2=12.令x=115代人式（8）， 求得 115 近似值为10.7228.同精确值比较， 这里得到有4位有效数字的结果。