定弦定角最值问题(教师版)

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(完整版)定弦定角最值问题(教师版)

定弦定角最值问题（答案版）【例1】（2016 •新观察四调模拟1）如图，△ABC中，AC = 3 , BC = 4J2，/ ACB = 45° D为△ABC内一动点，O O ACD的外接圆，直线BD交O O于P点，交BC于E点，弧AE= CP, 则AD的最小值为（）解：J/ CDP = Z ACB = 45°•••/ BDC = 135 ° （定弦定角最值）如图，当AD过O时，AD有最小值•••/ BDC = 135 °•••/ BO'C = 90 °•△ BO C为等腰直角三角形.•./ ACO = 45 °+ 45 °= 90 °•AO = 5又OB = O'C= 4•- AD = 5 —4 = 1【例2】如图，AC = 3，BC = 5,且/ BAC = 90° D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接当CE过圆心O时，CE有最小值为-J3 2BD交圆于E点，连CE,贝U CE的最小值为（）169解：连接AE•/ AD为O O的直径•••/ AEB = / AED = 90 °•E点在以AB为直径的圆上运动C. .2D. ,414 2A. 1B. 21）如图，在△ ABC 中，AC = 3，BC = 4 . 2，/ ACB = 45° AM IIBC ，点P 在射线AM 上运动，连 BP 交厶APC 的外接圆于 D ，则AD 的最小值为（）A . 1 ■_W【练】（2015 •江汉中考模拟-.oAB4..3c交aB 223 *0CD2B . 6 33 A . 12 6,3C . 12 3.3D . 6 A.-啕诂目隹丹丘it 按丿E 易汞丄片虾・圧戸二上*虾・宴罠厶乂肚的叢丸丽希则点芒駆腼閉壯\ AB=1^, ^ACB=XT,R^AMB =<M *・当^c^t^jsfn 中屯肘* 点闭肋睡琥大.此01氐册?两梅三甸肪CV2樁+玄皿L*X2括X （2』J"・&+M ，放说3,【练】（2014 •洪山区中考模拟 1）如图，O O 的半径为1,弦AB = 1,点P 为优弧AB 上一动点,••• AD 的最小值为 5 — 4= 1 % /■…/【例3】（2016 •勤学早四调模拟 1）如图，O O 的半径为2,弦AB 的长为2... 3，点P 为优弧上一动点，AC 丄AP 交直线PB 于点C ,则△ ABC 的面积的最大值是（.⑼M 救学早呵H 權H n »）才闻，®。

九年级讲义：定弦定角最值问题秘籍

九年级讲义：定弦定角最值问题令狐采学【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目类型】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）A．1B．2C．D．【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）A．B．C．5D．【练】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）A．1B．2C．D．【例3】如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是（）A．B．C．D．【练】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）A．B．C．D．【例4】如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为_________例题4 例题5 图8【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为__________【练】如图8，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为__________针对练习：1．如图，在动点C与定长线段AB组成的△ABC中，AB＝6，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，连接DE．当点C在运动过程中，始终有，则点C到AB的距离的最大值是_________2．如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝8，则CD的最小值为___________。

(2021年整理)九年级讲义：定弦定角最值问题秘籍

九年级讲义：定弦定角最值问题秘籍(推荐完整)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级讲义：定弦定角最值问题秘籍(推荐完整)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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②寻找不变的张角(这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等)③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

完整版定弦定角最值问题教师版

定弦定角最值问题（答案版）△45°＝【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC中，AC3，BC为＝＝，∠，ACBD24，CP于E点，弧AE＝△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BCABC内一动点，⊙O为的最小值为（）则AD．B．2CD．A．12241?4＝45°：∵∠CDP＝∠ACB解135°（定弦定角最值）∴∠BDC＝AD有最小值过O′时，如图，当AD 135°∵∠BDC＝＝BO90°′C∴∠BO′C∴△为等腰直角三角形∴∠ACO′＝45°＋45°＝90°∴AO′＝5又O′B＝O′C＝4∴AD＝5－4＝1【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）162?21313?．D．B．5A．C 9解：连接AE∵AD为⊙O的直径∴∠AEB＝∠AED＝90°∴E点在以AB为直径的圆上运动13?2 CE有最小值为CE过圆心O′时，当42，∠ACB＝45°，3，BC＝AM∥BC，AC如图，在(2015【练】·江汉中考模拟1)△ABC中，＝点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）A．1B．2242?3 ．D ．CCD解：连接＝∠ACB＝45°∴∠PAC＝∠PDC135°BDC＝∴∠AD有最小值如图，当AD过圆心O′时，135°∵∠BDC＝90°∴∠BO′C＝4 B′＝O′C＝∴O又∠＝90°ACO′5′＝∴AO1＝5－4∴AD的最小值为32AB例【3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，的长为P，点的半径为2，弦AB为优弧⊙O ABC的面积的最大值是（）C上一动点，AC⊥AP交直线PB于点，则△3633?12312?66?334?．．AC．B ． D·洪山区中考模拟1)如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧【练】(2014AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）12．A． B 2233．．C D 24为弧于E、F两点，CAB(3，0)，以为直径作⊙M，射线OF交⊙M，【例5】如图，A(10)、B__________的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为AB的中点，D为EF解：连接DM的中点D是弦EF∵EF∴DM⊥为直径的圆上运动为圆心的，OM∴点D在以A有最小值时，CD当CD过圆心A连接CM AB 的中点∵C为弧⊥AB∴CM CD的最小值为∴12?的中点，连接AP是60°，P是上一动点，D，∠AB【练】如图，是⊙O的直径，AB＝2ABC＝__________ 的最小值为CD，则CDOD解：连接D为弦AP的中点∵OD⊥AP∴在以AO为直径的圆上运动∴点D CD有最小值′当CD过圆心O时，过点C作CM⊥AB于M∵OB＝OC，∠ABC＝60°∴△OBC为等边三角形13，CM＝∴OM＝22．7＝C∴O′417的最小值为CD∴?24练习：如图，在动点C与定长线段AB组成的△ABC中，AB＝6，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，DE2 _________AB 的距离的最大值是到CDE连接．当点在运动过程中，始终有，则点C?AB2。

定弦定角模型的最值问题

课题：定弦定角模型的最值问题
准
备
教学过程设计
〔设计意图：这道题综合性很强，包含三大类型问题：定弦定角问题，双动点最值问题，点圆之间距离最值问题，通过这道题的分析让学生掌握定弦定角模型的最值问题〕
教学反思
1、本节课是九年级总复习中的“定弦定角模型的最值问题〞专题，综合性很强，通过这道题的分析，让学生了解定弦定角模型，并从中找到隐形圆，这是重点和难点，也是解决这类题的关键入口
2、学生对双动点问题不熟悉，学生可以从这道题当中体验转化的思想把不熟悉的双动点问题转化为我们熟悉的单动点问题最终转化点圆距离问题
3、定弦定角模型有关问题是一个难点，学生们要学会从题目中构造出模型，以后也还要多加练习。

轨迹问题之定角对定边定弦定角最值问题(含答案) (PDF版)

定弦定角最值问题----20190828【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】(2019·模拟)如图，△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E 点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．241-4解：∵∠CDP＝∠ACB＝45°∴∠BDC＝135°（定弦定角最值）如图，当AD过O′时，AD有最小值∵∠BDC＝135°∴∠BO′C＝90°∴△BO′C为等腰直角三角形∴∠ACO′＝45°＋45°＝90°∴AO′＝5又O′B＝O′C＝4∴AD＝5－4＝1【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为16（）A．213-B．213+C．5 D．9解：连接AE∵AD为⊙O的直径∴∠AEB＝∠AED＝90°∴E点在以AB为直径的圆上运动当CE过圆心O′时，CE有最小值为213-【练】(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-解：连接CD∴∠P AC ＝∠PDC ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°如图，当AD 过圆心O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴O ′B ＝O ′C ＝4又∠ACO ′＝90°∴AO ′＝5∴AD 的最小值为5－4＝1【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+2019【练】(·洪山区中考模拟 1)如图，⊙O 的半径为 1，弦 AB ＝1，点 P 为优弧 AB 上一动点， AC ⊥AP 交直线 PB 于点 C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21B ．22C ．23D ．43【例5】如图，A (1，0)、B (3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________解：连接DM∵D 是弦EF 的中点∴DM ⊥EF∴点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动当CD 过圆心A 时，CD 有最小值连接CM∵C 为弧AB 的中点∴CM ⊥AB∴CD 的最小值为12-【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________解：连接OD ∵D 为弦AP 的中点∴OD ⊥AP ∴点D 在以AO 为直径的圆上运动当CD 过圆心O ′时，CD 有最小值过点C 作CM ⊥AB 于M∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60° ∴△OBC 为等边三角形∴OM ＝21，CM ＝23∴O ′C ＝47∴CD 的最小值为2147-定弦定角1.（安徽）如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（）A ．23B ．2C ．13138D ．131312故选B.3.（宜兴模拟）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H，设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A 运动到点B时，内心I所经过的路径长为．4.等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，D 为线段AC 上一动点，连接BD ，过点C 作CH ⊥BD 于H ，连接AH ，则AH 的最小值为．答案：2-52（点H 在以BC 为直径的圆上）5.直线y ＝x ＋4分别与x 轴、y 轴相交与点M 、N ，边长为2的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交与点P ，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点（0，2）长度的最小值是．A.1B.2C.332 D.3答案：D （点C 在以AB 为弦的圆上）8.（外国语模拟）如图，以正方形ABCD 的边BC 为一边向内部做一等腰△BCE ，BE=BC ，过E 做EH ⊥BC ，点P 是Rt △BEH 的内心，连接AP ，若AB=2，则AP 的最小值为________.答案：22π（点P 在以BC 为弦的圆上）9.（江阴期中）如图，以G （0，1）为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，点E 为⊙G 上一动点，CF ⊥AE 于F ，当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为________．答案：π33（点F 在以AC 为直径的圆上）10.（南长区二模）如图，矩形OABC 的边OA 、OC分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(7，3)，点E 在边AB 上，且AE=1，已知点P 为y 轴上一动点，连接EP ，过点O 作直线EP 的垂线段，垂足为点H ，在点P 从点F(0，254)运动到原点O 的过程中，点H 的运动路径长为________．答案：π425（点H 在以OE 为直径的圆上）。

2022年中考专题讲义：定弦定角最值问题(学生版+解析版)

中考专题讲义：定弦定角最值问题（学生版）【例1】如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．2441-【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）A ．213-B ．213+C ．5D ．916【练】如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-【例3】如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+【练】如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21B ．22C ．23D ．43【例4】如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________【例5】如图，A (1，0)、B (3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________C PED CB A【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________针对练习：1．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________2．如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为BC 中点，P 为AC 上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连C D ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________BA BO B中考专题讲义：定弦定角最值问题（教师版）【例1】如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．2441-【解析】：∵∠CDP ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°（定弦定角最值）如图，当AD 过O 1时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO 1C ＝90°∴△BO 1C 为等腰直角三角形∴∠ACO 1＝45°＋45°＝90°∴AO 1＝5又O 1B ＝O 1C ＝4∴AD ＝5－4＝1【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）A ．213-B ．213+C ．5D ．916解析：连接AE ，B∵AD 为⊙O 的直径∴∠AEB ＝∠AED ＝90°∴E 点在以AB 为直径的圆上运动当CE 过圆心O 1时，CE2-.【练】如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-解析：连接CD∴∠P AC ＝∠PDC ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°如图，当AD 过圆心O 1时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO 1C ＝90°∴O 1B ＝O 1C ＝4又∠ACO 1＝90°∴AO 1＝5∴AD 的最小值为5－4＝1【例3】如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+答案：B.解析：构造直径BE ，连接AE ，易求∠E ＝60°＝∠P ，∴∠C ＝30°，要使△ABC 的面积最大，则点C 到AB 的距离最大，∵AB ＝ACB ＝30°，∴点C 在⊙M 上，且∠AMB ＝60°，当点C 为优弧AB 的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时△ABC 为等腰三角形，CN ＝3，S △ABC ＝12×3)＝6＋【练】如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21B ．22C ．23D ．43答案：D.解析：连OA 、OB ，依题意易知△ABO 为正三角，∴∠O ＝60°，即∠P ＝30°，又AP ⊥AC ，即∠C ＝60°，构过A 、B 、C 三点的圆，即C 点在优弧AB 上，∴当C 点为优弧AB 的中点时，△ABC.C【例4】如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________解析：如图，AB ＝3，∠APB ＝120°，CP【例5】如图，A (1，0)、B (3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________【解析】：连接DM .∵D 是弦EF 的中点，∴DM ⊥EF ，∴点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动；当CD 过圆心A 时，CD 有最小值，连接CM ，∵C 为弧AB 的中点.∴CM ⊥AB ，∴CD1 .【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________PED CB A解析：连接OD ，∵D 为弦AP 的中点∴OD ⊥AP∴点D 在以AO 为直径的圆上运动，当CD 过圆心O 1时，CD 有最小值，过点C 作CM ⊥AB 于M ，∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60°，∴△OBC 为等边三角形，∴OM ＝12，CM，∴O 1C. ∴CD12.针对练习：1．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22=AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________解析：连OE 、O D .∵DE AB ，∴∠DOE ＝90°，即∠CBE ＝45°，又BE ⊥AC ，∴∠C ＝45°，又AB ＝6，构过点A 、B 、C 三点的⊙O 1，BAA BB则点C一定在优弧AB上，故当C为优弧AB的中点时，C到AB的距离最大，其值为3＋.2．如图，已知以BC为直径的⊙O，A为BC中点，P为AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连C D．若BC＝8，则CD的最小值为___________【解析】：连OE、OD，∵BC为直径的⊙O，且A为BC中点，∴∠P＝45°，又AP⊥AD，∴∠ADP＝45°，即∠ADB＝135°，又AB＝A、B、D的圆弧，即优弧AB，设其对应圆的圆心为O1，连C O1，则CD的最小值为：－3.O。

几何中最值定值问题教师版精编版

【2013年中考攻略】专题8：几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。

下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。

一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为【】A ．21+B ．5C ．1455 5D ．52【答案】A 。

【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。

【分析】如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD ≤OE+DE ，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=12AB=1。

DE=2222AD AE 112=+=+=， ∴OD 的最大值为：21+。

故选A 。

例2.在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC ，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是。

【答案】4。

【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】如图，在BA 上截取BE=BN ，连接EM 。

∵∠ABC 的平分线交AC 于点D ，∴∠EBM=∠NBM 。

在△AME 与△AMN 中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM ，BM=BM ， ∴△BME ≌△BMN （SAS ）。

几何中最值定值问题教师版

For personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial use【2013年中考攻略】专题8：几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。

【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。

【分析】如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD ≤OE+DE ，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=12AB=1。

DE=2222AD AE 112=+=+=，∴OD 的最大值为：21 。

故选A 。

例2.在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC ，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是。

定弦定角最值问题

定弦定角最值问题（教师版）work Information Technology Company.2020YEAR定弦定角最值问题（答案版）【例1] （2016 •新观察四调模拟1）如图，△ABC 中，AC=3, BC= 4迈,ZACB = 45\ D 为厶 ABC 内•动点，OO 为△ACD 的外接圆，直线BD 交00于P 点，交BC 于E 点,弧AE=CP.则 AD 的最小值为（〉B ・2解：VZCDP=Z^CB = 45°:丄BDC= 135° （定弦定角最值）如图，当AD过时，AD 有最小值・・•乙BDC= 135°・・.乙BOQ 90。

为等腰直角三角形・・・ ZACO r = 45° + 45° = 90°・・.AO' = 5又 O ，B = OU4/.AD = 5-4= 1【例2】如图，AC = 3, BC = 5,且乙B4C = 90。

，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接 BD 交圆于E 点，连竺，则CK 的杲小值为（）A . V13-2 /AD 为（DO 的直径・・・乙AEB=乙AED = 90°•••E 点在以他为直径的圆上运动当CE 过圆心O 时，C£有最小值为加-2A ・1 9【练】（2015江汉中考模拟1）如图，在△ABC 中，AC = 3. BC= 4^2 f AACB = 45\ AM// BC,点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于0则AD 的杲小值为（）C . V2D . 4佢-3 ---- M解「连接CD・・.ZPAC=乙PDC= ZACB = 45°・・・乙BDC= 135°如图，当AD 过圆心O 时，4D 有最小值V ZBDC= 135°・・・乙BO'C = 90°・・.O I B = O ,C = 4又乙 ACO' = 90°.\AO f = 5・・.AQ 的最小值为5-4=1 \/'、 __________ /【例3】（2016動学早四调模拟1）如图，OO 的半径为2,弦血的长为2羽、点P 为优弧AB 上一动点，AC 丄AP 交直线皿于点C,贝IJAABC 的面积的杲大值是（） C . 12 + 3JJ故选 B.D . 6 + 4“ ・（2016劫学早四H 模拟一TlO ）如图，©O 篱龜\^5=2 C 到曲的更樹證丸此时ZUBC 为［练】(2014P 为优弧A 〃上一动--2V32 • ・A C A/2-2V3-4 ••B D /BC 点，C 为弧【练1如图，加是【例5】如图，A(l, 0)、8(3, 0).以AB 为直径作OM,射线OF 交乜AB 的中点，》为£尸的中点•当射线绕。

九年级讲义：定弦定角最值问题秘籍

九年级讲义：定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．2441-【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）A ．213-B ．213+C ．5D ．916 【练】如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-【例3】如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+【练】如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21 B ．22 C ．23 D ．43 【例4】如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________例题4 例题5 图8【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________【练】如图8，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________针对练习：1．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________2．如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为弧BC 中点，P 为弧AC 上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________O ABC DP。

定弦定角最值问题(教师版)

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