北邮通信原理杨鸿文第三次作业2011级答案

密度为
。假设另有随机过程
，其功率谱密度分别为
(1) 求
的平均自相关函数
。
(2) 求 的功率谱密度及自相关函数；
(3) 若已知
关于 对称，求 的自相关函数。
，平均功率谱
和
。
解：(1) 的自相关函数 是
的傅氏反变换。
据频移的性质得到
的傅氏反变换是
。
的傅氏变换是
，根
函数是
是把 。
左移 。
的傅氏反变换是
1/6
，因此 的自相关
函数
的图像是 按纵坐标做镜像对称（也就是把横坐标反过来，也就是站在图
像的背面来看）。
是把
右移 x0，
是把
左移 x0
(2) 与其复包络的关系是
对复信号在时域取共轭，在频域的效果是：傅氏变换取共轭，并将 变成f。功率谱是实函
数，因此时域取共轭，频域体现为功率谱 变成
。
的功率谱是
，
的功率谱是
”的充分必要条件是： 是偶函数， 是
奇函数；
(2) 证明：若 是偶函数且其傅氏变换 关于 对称，则必须
；
证：(1) 的复包络是 (1)
是
其复包络是 (2)
两个带通信号相等的充分必要条件是复包络相同。两个复数相等的充分必要条件是两个 实部相等、两个虚部相等。比较式(1)(2)后可知： 是偶函数的充分必要条件是： 是偶 函数， 是奇函数。
，
。证明
证：设 的傅氏变换是 。 是 的希尔伯特变换，其傅氏变换为 的频谱为
于是
【6】设
是带宽小于 的实基带信号，已知其功率分别是
(1)
(2)
(3)
解：(1)功率是信号平方的均值
，求如下信号的功率
注意 成了 即
是一个带通信号（虽然 的带宽增加了一倍，但正弦载频的频率也变
），带通信号的面积是 0（任意信号 的面积是其傅里叶变换 在
的
两次平均（时间平均和统计平均）。
对上式求两个平均，次序可以交换，先考虑容易的。注意到{an}的特点是
5/6
故此我们先求统计平均
将(10)代入(11)后，所有
的项都是零，使(11)成为
注意冲激函数有如下性质 上式中 是任意函数（但要求 有意义）。将(13)代入(12)得到
再对(14)进行时间平均。式中右边 其面积是 1，除以周期后是 。从而得到
(4) 设 的实部和虚部分别是
。已知
有相同功率谱密度，求它们的
功率、功率谱谱密度、自相关函数。
解：(1) 是一个带宽为 200Hz，增益为 1 的理想带通滤波器（BPF）。因为每 Hz 上的噪 声功率是 N0，故通过滤波器的噪声功率是 200N0。
的功率谱密度为
自相关函数是功率谱密度的傅氏反变换。 功率谱的傅氏反变换是
(6)
(4) 已知
有相同功率谱密度，说明它们两个的功率相同。另外
(7)
注意到 于
，故此无论是按时间平均还是按统计平均，
的功率之和。因此：
的功率都是 200N0。
根据式(7)可以得知
的功率都等
(8)
现在我们已经知道 的自相关函数是(6)，它是一个实偶函数，说明式(8)平均（无论是单 做统计平均，还是单做时间平均，还是两个都做）后右面的虚部将是 0。另一方面已知
4/6
有相同功率谱密度，也即有相同的自相关函数，说明： 等于式(6)的一半：
的自相关函数
功率谱密度也是一半
【8】设 是一个均值为 2，方差为 1 的高斯随机变量，求 的取值落在下列区间中的概率(必 须写成 erfc 函数的形式)
(1)[1,2] (2) (3) 解：
Matlab 中有 erfc 这个函数。用它可以算出：erfc(1/sqrt(2))=0.3173, erfc(sqrt(2))=0.0455。 可见：erfc(x)的自变量略有增加时，函数值急剧下降。
将此结果与 53 页的(3.7.25)对照 【4】设 是确定的带通功率信号， 是其复包络。 的自相关函数为
证明 证：
的实部是偶函数，虚部为奇函数。 的实部和虚部分别是
将式(4)代入
由此可见：
的实部是偶函数，虚部为奇函数。
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【5】将实能量信号 通过下面的系统得到两路输出
。
已知图中的两个单位冲激响应为
(2) 是偶函数说明 是实函数。 关于 对称说明 的傅氏变换是实偶函数，因此 是实偶函数，因此
是关于 f 的偶函数，即 。
用本题的结果来理解课本 53 页第 5 行提到的“不难看出”。：
是
的傅氏变
换。因为
是带通频谱（见图 3.7.4），所以
是带通信号，其一般形式是
，其中 f、g 是两个基带函数。
【3】设带通随机过程 的复包络是 。已知 的平均自相关函数为
因为是连续随机变量，故不用在乎分界点的问题、区间开闭的问题。
【9】设 是两个均值都是 0、方差都是 1 的高斯随机变量，已知它们之间有如下关系
其中 是与 X 独立的 0 均值高斯随机变量，其方差 1。另外已知 解：根据题设条件可以列出
(9) 的相关系数是 。求 。
故
我们坚定地认为：任何两个零均值随机变量之间的关系一定如(9)所示(该式叫线性相关
处的值，
），因此其平均高度也是零。因此
(2)同理可得 注意
是正交的：
因此
【7】将功率谱密度为 N0/2 的白高斯噪声通过下图所示的理想带通滤波器，得到窄带高斯噪 声。
(1) 求 (2) 求
的功率、功率谱密度、自相关函数。 的功率谱密度、自相关函数、功率。
3/6
(3) 求复包络
（其中
Hz）的功率谱密度、自相关函数、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ率。
【1】设 过冲激响应为 明
是两个零均值平稳过程，已知 的滤波器成为 ，将 通过冲激响应为
。
。将 通 的滤波器成为 。证
解： 和 是
分别与
卷积的结果
因此
取数学期望：
如果两个随机过程原本不相关，那么它们通过线性系统之后仍然不相关。 【2】设有带通信号
其同相分量 和正交分量 的带宽都是 W，且
。
(1) 证明：“ 是 的偶函数，即
模型)，其中的 Z 与 X 不相关（或曰：正交、垂直），相关值（
）或者相关系数（）
反映 Y 中含着多少 X。
【10】设有随机过程 立同分布，
，其中 是无限的随机序列，所有元素独 。试求 的功率谱密度。
解： 显然不是平稳过程（比如 在
处是 0，而在
处非零， 因此
不
可能与 t 无关）。
s(t)的功率谱密度是平均自相关函数的傅氏变换，“平均自相关函数”是对
是周期函数，取一个周期
然后得到功率谱密度为
(10)
(11)
(12) (13) (14) 是，
6/6
。
与
频谱不重叠，所以和的功率
谱是功率谱之和。另外，幅度的系数 1/2 在功率谱中将变成 1/4，故
对上式做傅氏反变换得到 (3)
式中的
是
上式右边做变量代换
，得到
(4)
代入(3)： (5)
设 z 是复数，则其实部是
(3) 若
关于 对称，则 是 f 的实偶函数，
可以从(5)的 Re{}中提出
：
是 的实偶函数。这样，我们
，加起来是
由两个矩形构成，
这个矩形
，
这个矩形的反变换是
(2) 与 的关系如下图所示。
A 到 B 是一个线性系统，其传递函数是 此 的功率谱密度为
。因
功率是
的面积，为 400N0
对 做傅氏反变换得到其自相关函数为
(3)
是将 的频谱左移 600Hz，其功率谱密度为
功率依然是 400N0。 自相关函数是其傅氏反变换，为