2015年武汉科技大学831 概率论与数理统计-2015(A卷答案)年考研真题／研究生入学考试试题
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4. 设随机变量 X 的分布函数为 F ( x)
1 1 arctan x x 2
⑴求 P(1 X 1) ； ⑵求 X 的概率密度函数.
解：⑴ P(1 X 1) F (1) F (1) ………………………………………………3 分
＝
1 1 1 1 1 ；………………………………………5 分 2 4 2 4 2
ˆ 估计为 1
三、计算题（本大题共9小题，每小题10分，共90分）
1.已知 P( A) 1/ 4, P( B | A) 1/ 3, P( A| B) 1/ 2 ，求 P( A B) . 解： P ( AB) P ( B | A) P ( A)
1 ……………………………………………………3 分 12
4、随机变量 X b(2, p) ，且 P ( X 0) （A） 3 2 ； （C） 4 9 ；
1 ，则 EX 为 9
（B） 4 3 ； （D） 2 3 .
2 2
2 5、 随机变量 X , Y 相互独立， 且 X ~ N (0,1), Y ~ N (0, 2) ， 若 aX bY 服从 (2) 分布，
概率论与数理统计 A 卷参考答案
一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 1、设 A、B 为随机事件， P( B) 0, P( A | B) 1, 则必有 （A） P( A B) P( A) ； （C） P( A) P( B) ； （ B） A B ； （D） P( AB) P( A) A .
2.设随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) ，下列结论中不一定成立的是（ D ） （A） F () 1 （C） 0 F ( x ) 1 （B） F () 0 （D） F ( x ) 为连续函数 ）
3.设 X ~ N (1, 2), Y ~ N (1,3) ，且 X , Y 相互独立，则 X 2Y ~ （ B （A） N (1,8) （B） N (1,14) （C） N (1, 22) （D） N (1, 40) B
Y a X i N (0,1) ，则常数 a = 10 10 .
i 1
10
5. X , Y 为两个随机变量，若 2Y X 1 ,则 X , Y 的相关系数 Xˆ 2 ， D ˆ 3 ,则 ˆ , ˆ , ˆ ˆ 中最有效的 6..已知 1 2 3 都是 的无偏估计， D 1 2 3 1 2 3
（B） X X 3 ~ N (0, 3 2) ； （D）
X X 32 ~ t (1) .
2( X )2 （C） ~ F (1,1) ； X 32
1
二、填空题本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1.从1、2、3、4、5五个数字中任选两个，其和为奇数的概率为 2.离散型随机变量 X 的分布律为
则常数 a , b 依次为____B_____. （A）1，2； （C）2，1； （B）1，
1 ； 2
（D）1，1.
6. 已知总体 X 服从 N (0,1) 分布， X1 , X 2 , X 3 为来自总体 X 的简单随机样本， 记X
X1 X 2 ，则下列选项不正确的是 D 2
（A） 2( X )2 ~ 2 (1) ；
2
P( A | B)
P( AB) P( B | A) P( A) .....................(6 ') P( B) P( B | A) P( A) P( B | A) P( A) 0.95 0.5% .................................(9') 0.95 0.5% 0.002 (1 0.5%) 475 674......................................................................(10')
1 ；…………………………………………………10 分 1 x2 1
⑵ f ( x) F ( x)
5.甲乙两人独立投篮，投中的概率分别为 0.6，0.5.今各独立投三次。设甲投中的次数为 X ， 乙投中的次数为 Y .求概率 P( X 2, Y 1) 并求 E ( XY ) . 解： 由题意 X ~ B(3,0.6); Y ~ B(3,0.5), 且X , Y 独立， 则
P( B)
P( AB) 1/12 1 ……………………………………………………6 分 P( A | B) 1/ 2 6
1 1 1 1 ………………10 分 4 6 12 3
所以， P( A B) P( A) P( B) P( AB)
2. 假定患肺结核的人通过胸部透视，被诊断出患肺结核的概率为 0.95 ；而未患 肺结核的人通过胸部透视， 被诊断出患肺结核的概率为 0.002 .若某城市成年居民 患肺结核的概率为 0.5% ，现从该城市成年居民中随机抽取一人，通过胸部透视 此人被诊断为患肺结核，求这个人确实患有肺结核的概率. 解：设 A 表示此人确实患有肺结核；B 表示通过胸部透视此人被诊断为患肺 结核，则所求概率为
3.一批产品中有 10%的不合格品，现从中任取 3 件，求其中至多有一件不合格品的概率。 解：设 X 为取出的不合格品的件数，则 X ~ b(3,0.1) …………………………3 分
P ( X 1 ) P ( X 0 ) P (X …………………………………………… 1) 6分 0.93 3 0.1 0.92 0.972 ……………………………………10 分
0.6
1 1 0 2 ， Y X 1 ，则 P(Y = 0) = 0.8 0.1 0.2 0.7
1
3.设 X ~ N (0,1), ( x) 为其分布函数，则 ( x ) ( x ) =
4.随机变量 X i , i 1, 2,,10 相互独立且都服从 N (0,1) 分布，若随机变量
1 1 arctan x x 2
⑴求 P(1 X 1) ； ⑵求 X 的概率密度函数.
解：⑴ P(1 X 1) F (1) F (1) ………………………………………………3 分
＝
1 1 1 1 1 ；………………………………………5 分 2 4 2 4 2
ˆ 估计为 1
三、计算题（本大题共9小题，每小题10分，共90分）
1.已知 P( A) 1/ 4, P( B | A) 1/ 3, P( A| B) 1/ 2 ，求 P( A B) . 解： P ( AB) P ( B | A) P ( A)
1 ……………………………………………………3 分 12
4、随机变量 X b(2, p) ，且 P ( X 0) （A） 3 2 ； （C） 4 9 ；
1 ，则 EX 为 9
（B） 4 3 ； （D） 2 3 .
2 2
2 5、 随机变量 X , Y 相互独立， 且 X ~ N (0,1), Y ~ N (0, 2) ， 若 aX bY 服从 (2) 分布，
概率论与数理统计 A 卷参考答案
一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 1、设 A、B 为随机事件， P( B) 0, P( A | B) 1, 则必有 （A） P( A B) P( A) ； （C） P( A) P( B) ； （ B） A B ； （D） P( AB) P( A) A .
2.设随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) ，下列结论中不一定成立的是（ D ） （A） F () 1 （C） 0 F ( x ) 1 （B） F () 0 （D） F ( x ) 为连续函数 ）
3.设 X ~ N (1, 2), Y ~ N (1,3) ，且 X , Y 相互独立，则 X 2Y ~ （ B （A） N (1,8) （B） N (1,14) （C） N (1, 22) （D） N (1, 40) B
Y a X i N (0,1) ，则常数 a = 10 10 .
i 1
10
5. X , Y 为两个随机变量，若 2Y X 1 ,则 X , Y 的相关系数 Xˆ 2 ， D ˆ 3 ,则 ˆ , ˆ , ˆ ˆ 中最有效的 6..已知 1 2 3 都是 的无偏估计， D 1 2 3 1 2 3
（B） X X 3 ~ N (0, 3 2) ； （D）
X X 32 ~ t (1) .
2( X )2 （C） ~ F (1,1) ； X 32
1
二、填空题本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1.从1、2、3、4、5五个数字中任选两个，其和为奇数的概率为 2.离散型随机变量 X 的分布律为
则常数 a , b 依次为____B_____. （A）1，2； （C）2，1； （B）1，
1 ； 2
（D）1，1.
6. 已知总体 X 服从 N (0,1) 分布， X1 , X 2 , X 3 为来自总体 X 的简单随机样本， 记X
X1 X 2 ，则下列选项不正确的是 D 2
（A） 2( X )2 ~ 2 (1) ；
2
P( A | B)
P( AB) P( B | A) P( A) .....................(6 ') P( B) P( B | A) P( A) P( B | A) P( A) 0.95 0.5% .................................(9') 0.95 0.5% 0.002 (1 0.5%) 475 674......................................................................(10')
1 ；…………………………………………………10 分 1 x2 1
⑵ f ( x) F ( x)
5.甲乙两人独立投篮，投中的概率分别为 0.6，0.5.今各独立投三次。设甲投中的次数为 X ， 乙投中的次数为 Y .求概率 P( X 2, Y 1) 并求 E ( XY ) . 解： 由题意 X ~ B(3,0.6); Y ~ B(3,0.5), 且X , Y 独立， 则
P( B)
P( AB) 1/12 1 ……………………………………………………6 分 P( A | B) 1/ 2 6
1 1 1 1 ………………10 分 4 6 12 3
所以， P( A B) P( A) P( B) P( AB)
2. 假定患肺结核的人通过胸部透视，被诊断出患肺结核的概率为 0.95 ；而未患 肺结核的人通过胸部透视， 被诊断出患肺结核的概率为 0.002 .若某城市成年居民 患肺结核的概率为 0.5% ，现从该城市成年居民中随机抽取一人，通过胸部透视 此人被诊断为患肺结核，求这个人确实患有肺结核的概率. 解：设 A 表示此人确实患有肺结核；B 表示通过胸部透视此人被诊断为患肺 结核，则所求概率为
3.一批产品中有 10%的不合格品，现从中任取 3 件，求其中至多有一件不合格品的概率。 解：设 X 为取出的不合格品的件数，则 X ~ b(3,0.1) …………………………3 分
P ( X 1 ) P ( X 0 ) P (X …………………………………………… 1) 6分 0.93 3 0.1 0.92 0.972 ……………………………………10 分
0.6
1 1 0 2 ， Y X 1 ，则 P(Y = 0) = 0.8 0.1 0.2 0.7
1
3.设 X ~ N (0,1), ( x) 为其分布函数，则 ( x ) ( x ) =
4.随机变量 X i , i 1, 2,,10 相互独立且都服从 N (0,1) 分布，若随机变量