2.2.2《圆的一般方程》课件(北师大版必修2)
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2018-2019数学北师大版必修2课件：第二章2.2圆的一般方程 (35张)
4F＞0)，则圆心坐标为(－D2 ，－E2)．
－E2＝D2 ，
D＝－6，
由题意可得 （22＋－24D）＋2－F＝4E0＋，F＝0，解得EF＝ ＝68， ，
所以圆的一般方程为 x2＋y2－6x＋6y＋8＝0，
化为标准方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝10.
在本例中“圆心在y＝－x上”改为“圆心在y
即 3a2＋4a－4<0，所以－2<a<23. 即实数 a 的取值范围为(－2，23).6 分 (2)要使圆的面积最大，只需圆的半径最大即可， 由于 r＝12 D2＋E2－4F＝12 －3a2－4a＋4
＝12 －3（a＋23）2＋136. 9 分 因为－2<a<23，所以 a＝－23时， r 取得最大值，从而圆的面积取得最大值， 此时圆的方程为 x2＋y2－23x－43y－79＝0.12 分
[规范与警示] (1)解题过程中 处根据一般式确定出关于 a
二元二次方程与圆的关系
下列各方程是否表示圆？若表示圆，求其圆心和半径． (1)x2＋y2＋2xy＝0； (2)x2＋y2－4x＝0； (3)2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0； (4)x2＋y2＋2ax＝0(a∈R)．
[解] (1)因为方程 x2＋y2＋2xy＝0 中含有 xy 这样的项， 所以不能表示圆． (2)由方程可知 D＝－4，E＝F＝0， 因为 D2＋E2－4F＝D2＝16＞0， 所以方程表示圆． 因为－D2 ＝2，－E2＝0， 所以圆心为(2，0)， r＝12 D2＋E2－4F＝2.
－∞，15.
②将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 化为标准方程为(x＋ m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径 r＝
1－5m.
2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)
可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示
圆；也可以由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F 是否为正，确定它是否表示圆．
[通一类] 1．求下列圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2－x＋y＝0；
(2)x2＋y2＋2ax－2ay＋a2＝0.(a≠0) 12 12 1 解：(1)原方程可化为(x－ ) ＋(y＋ ) ＝ ， 2 2 2
§
[读教材·填要点] 1．圆的一般方程的定义 Nhomakorabea当
D2＋E2－4F＞0 时，称二元二次方程x2＋y2＋
Dx＋Ey＋F＝0为圆的一般方程．
2．方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示的图形 D E (－ ，－ ) 2 2 2 2 为圆 (1)当 D ＋E －4F＞0 时，方程表示以 1 2 D ＋E2－4F 心，以 2 为半径的圆． D E (－ ，－ ) 2 2 2 2 ． (2)当 D ＋E －4F＝0 时， 方程表示一个点 (3)当 D2＋E2－4F＜0 时，方程 不表示任何图形 ．
(3)原方程可化为：(x＋10)2＋y2＝－21＜0，故方
程不表示任何曲线，故不能表示圆． (4)原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2. ①当a＝0时，方程表示点(－a,0)，不表示圆； ②当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，半径为|a| 的圆，标准方程为(x＋a)2＋y2＝a2.
[悟一法] 对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程
[研一题]
[例1] 判断下列方程是否表示圆，若是，化成
标准方程．
(1)x2＋y2＋2x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ay－1＝0； (3)x2＋y2＋20x＋121＝0； (4)x2＋y2＋2ax＝0.
[自主解答] (1)原方程可化为(x＋1)2＋y2＝0，它 表示点(－1,0)，不表示圆． (2)原方程可化为 x2＋(y＋a)2＝a2＋1，它表示圆 心在(0，－a)，半径为 a2＋1的圆，标准方程为 x2＋(y＋a)2＝( a2＋1)2.
2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)
1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值 范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )
解析：由D2＋E2－4F＝1＋1＋4m>0， 1 得m>－2. 1 故当m>－2时，x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆．
答案：A
2．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
一般方程x2＋y2＋Dx＋ Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0)
E＝F＝0
|b|＝r |a|＝r
D2－4F＝0 E2－4F＝0
因此，在用待定系数法求圆的方程时，应尽量注 意特殊位置圆的特点、规律性．其次，恰当地运用平 面几何知识，可使解法灵活简便．若涉及弦长有关的 问题，运用弦长、弦心距、半径之间的关系及韦达定 理等可简化过程．
1．圆的一般方程的定义
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey ＋F＝0 称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
方程 x ＋y ＋Dx ＋Ey＋F＝0
2 2
条件
图形 不表示任何图形
D2＋E2－4F<0 D2＋E2－4F=0
D E (－ 2 ，－ 2 ) 表示一个点
[例2] 坐标．
已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，
－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心
[思路点拨] 先设其外接圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey
＋F＝0，然后把三个点的坐标代入方程，得关于D，E，
F的方程组，解方程组得D，E，F的值代入原方程即可；
也可用几何法求出AB和BC的垂直平分线，进而求出圆心 坐标和半径，再利用圆的标准方程直接写出．
2.2.2《圆的一般方程》课件(北师大版必修2)
）
【解析】选D.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心为（1，-2）， ∴由点到直线的距离公式得
d= |1+2-1| 1 +(-1)
2 2
= 2.
二、填空题 5.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心，4为半径的圆， 则F=______.
D - 2 =2 【解析】由题意可知 E , - =-4 2 1 2 2 2 D +E -4F =4 答案：4
① F=0 ② D+E+F+2=0 令y=0得x2+Dx=0,
∴x1=0,x2=-D,由|x1-x2|=3,得|D|=3, ∴D=〒3.代入②得E=-5或E=1. ∴所求圆的方程为x2+y2+3x-5y=0或x2+y2-3x+y=0.
8.圆x2+y2+Dx+Ey-3=0的圆心在坐标轴上，半径为2，当D>E时， 求圆的方程. 【解题提示】求解本题可先就D=0或E=0分开讨论，然后利
【解析】选A.方程x2+y2-2x-35=0可化为(x-1)2+y2=36.
由题意可知，所求圆的圆心为(1,0)，半径r满足 1 πr2= π〓36,∴r2=18. 2
4.（2010·蚌埠高一检测）圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线
x-y=1的距离为（
(A)2 (C)1 (B) 2 2 (D) 2
所在直线的方程是x+y=0,边AC上高BE所在直线的方程是
x+3y+4=0. (1)求点B、C的坐标； (2)求△ABC的外接圆的方程. 【解题提示】设出B点坐标，从中线CD出发可解B点坐标， 再由AC、CD两方程求出C点坐标，第（1）问可解；利用待定 系数法求（2）.
2.2.2《圆的一般方程》课件(北师大版必修2)
-3a-2 a+2 , ）必在直线CD上， 2 2 -3a-2 a+2 + =0, ∴a=0,∴B(-4,0), 2 2 又直线AC方程为：y-2=3(x-2),即y=3x-4, D（
x+y=0 ，得C(1,-1). 由 y=3x-4
(2)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
D=-4 解得 E=8 . F=4
6.（2010·宁德高一检测）圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y 轴交于两点A（0，-4），B（0，-2），则圆C的方程为___. 【解析】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 由题意可知，-4，-2是方程y2+Ey+F=0的两个根.
m+n的取值范围是（
(A)(-∞,
5 ） 4
）
(B)(-∞,
5 ］ 4
(C)(
5 ,+∞) 4
(D)［
5 ,+∞) 4
【解析】选A.由题意可知m=0,
且D2+E2-4F=4+(-1)2-4n>0,
5 5 所以n< .从而m+n=n< . 4 4
3.与圆C：x2+y2-2x-35=0同圆心，且面积为圆C面积的一半的 圆的方程为（ (A)(x-1)2+y2=18 (C)(x-1)2+y2=6 ） (B)(x-1)2+y2=9 (D)(x-1)2+y2=3
一、选择题（每题4分，共16分）
Байду номын сангаас
1.方程x2+y2-2x+4y+6=0表示的图形（
x+y=0 ，得C(1,-1). 由 y=3x-4
(2)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
D=-4 解得 E=8 . F=4
6.（2010·宁德高一检测）圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y 轴交于两点A（0，-4），B（0，-2），则圆C的方程为___. 【解析】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 由题意可知，-4，-2是方程y2+Ey+F=0的两个根.
m+n的取值范围是（
(A)(-∞,
5 ） 4
）
(B)(-∞,
5 ］ 4
(C)(
5 ,+∞) 4
(D)［
5 ,+∞) 4
【解析】选A.由题意可知m=0,
且D2+E2-4F=4+(-1)2-4n>0,
5 5 所以n< .从而m+n=n< . 4 4
3.与圆C：x2+y2-2x-35=0同圆心，且面积为圆C面积的一半的 圆的方程为（ (A)(x-1)2+y2=18 (C)(x-1)2+y2=6 ） (B)(x-1)2+y2=9 (D)(x-1)2+y2=3
一、选择题（每题4分，共16分）
Байду номын сангаас
1.方程x2+y2-2x+4y+6=0表示的图形（
北师大版高中数学必修2《圆的一般方程》参考课件
x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
r
D2 E2 4F 2
（2）当
D2 E2 4F 0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
( A)a 1 2
(B)a 1 (C)a 1
2
2
(D)a 1 2
(D)
x (3)圆 x2 y2 8x 10y F 0 与 轴相切,则这个圆截 y
轴所得的弦长是 ( A)
( A)6
(B)5
(C )4
( D )3
(4)点 A(3,5) 是圆 x2 y2 4x 8y 80 0 的一条弦的中点,
r D2 E2 4F 2
0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
例2. 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是 的点的轨迹， 求此曲线的轨迹方程，并画出曲线
解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点，
也就是点M属于集合 由两点间的距离公式，得
y M
CO
Ax
化简得
x2+y2+2x3＝0
①
这就是所求的曲线方程．
把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4． 所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)， A线(的3，方0程)距，离并的画比出为曲12线的。点的轨迹，求此曲
北师大版 高中数学 必修二 2.2 圆的一般方程.ppt(共20张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系：
1
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 2
(1)已知 x2+ 圆 y2+D+ xE+ yF=0的圆心
(-2,3),半径 4,则 为 D=_4 _E_=-_6_F_=_-3__
(2)x2 +y2 -2ax-y+a=0表示 ,
1 则 a的取值_范 a_R_围 ,a_ _是
2
(3)圆 x2+y2+4x+2b+ yb2 =0与 x轴 切 ,则 b=2_或-_ 2 _
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
•
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系：
1
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 2
(1)已知 x2+ 圆 y2+D+ xE+ yF=0的圆心
(-2,3),半径 4,则 为 D=_4 _E_=-_6_F_=_-3__
(2)x2 +y2 -2ax-y+a=0表示 ,
1 则 a的取值_范 a_R_围 ,a_ _是
2
(3)圆 x2+y2+4x+2b+ yb2 =0与 x轴 切 ,则 b=2_或-_ 2 _
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
高中数学 第2章 2.2 圆的一般方程优质课件 北师大版必修2
答案:D=4,E=4.求经过6,三F=点-3(sān diǎn)A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程
待定系数法,答案:x2+y2-7x-3y+2=0.
第十六页，共19页。
1.圆的一般方程的形式(xíngshì)及特点:
x2 y2 Dx Ey F 0
(x D )2 ( y E )2 D2 E2 4F (D2 E2 4F 0)
待定系数
D E F 2 0,
4D 2E F 20 0,
(xìshù)
解得:F=0,D=-8,E=6.
所求圆的一般方程为x2+y2-8x+6y=0, 法
半径为 r 1 D2 E2 4F 5 2
圆心坐标为(4,-3).
第十三页，共19页。
【提升(tíshēng) 用待总定结系】数(xìshù)法求圆的方程的步
一般方程）
第十八页，共19页。
不是什么(shén me)人都可以交往的，慎交朋 友。笑看人生潮起潮落，守住自己的心.
第十九页，共19页。
2
2
4
2.利用待定系数(xìshù)法求圆的方
程：
第十七页，共19页。
设方程为 (x - a)2 +(y - b)2 = r2 (或x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0)
列关于(guānyú)a，b，r（或D， E，F）的方程组
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准(biāozhǔn)方程（或
（ 2 ） 当 D2 E2 4F 0 时 ， 方 程 ( ) 只 有 一 个 实 数 解
x
D,y
E ，所以方程 ( ) 表示一个点 ( D , E ) .
待定系数法,答案:x2+y2-7x-3y+2=0.
第十六页，共19页。
1.圆的一般方程的形式(xíngshì)及特点:
x2 y2 Dx Ey F 0
(x D )2 ( y E )2 D2 E2 4F (D2 E2 4F 0)
待定系数
D E F 2 0,
4D 2E F 20 0,
(xìshù)
解得:F=0,D=-8,E=6.
所求圆的一般方程为x2+y2-8x+6y=0, 法
半径为 r 1 D2 E2 4F 5 2
圆心坐标为(4,-3).
第十三页，共19页。
【提升(tíshēng) 用待总定结系】数(xìshù)法求圆的方程的步
一般方程）
第十八页，共19页。
不是什么(shén me)人都可以交往的，慎交朋 友。笑看人生潮起潮落，守住自己的心.
第十九页，共19页。
2
2
4
2.利用待定系数(xìshù)法求圆的方
程：
第十七页，共19页。
设方程为 (x - a)2 +(y - b)2 = r2 (或x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0)
列关于(guānyú)a，b，r（或D， E，F）的方程组
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准(biāozhǔn)方程（或
（ 2 ） 当 D2 E2 4F 0 时 ， 方 程 ( ) 只 有 一 个 实 数 解
x
D,y
E ，所以方程 ( ) 表示一个点 ( D , E ) .
新版高中数学北师大版必修2课件2.2.2圆的一般方程
-������ + 5������ + ������ + 26 = 0, 将 A,B,C 三点的坐标分别代入上述方程得 -2������-2������ + ������ + 8 = 0,
5������ + 5������ + ������ + 50 = 0,
������ = -4, 解得 ������ = -2,
合作学习
EZUOXUEXI
D当堂检测 ANGTANG JIANCE
3.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程
是
.
解析:依题得圆x2+2x+y2=0的圆心坐标为(-1,0).
反思感悟1.判断方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圆的两种方法:
(1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过
配方变形成“标准”形式后,观察是否表示圆,并求圆心半径.
(2)运用圆的一般方程的判断方法求解,即通过判断D2+E2-4F是
否为正,确定它是否表示圆.
2.求圆心和半径,除化为标准形式外,还可直接利用
合作学习
EZUOXUEXI
D当堂检测 ANGTANG JIANCE
1.若方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C(2,2),半径为2的圆,则a,b,c
的值依次为( )
A.2,4,4 B.-2,4,4
C.2,-4,4 D.2,-4,-4
解析:由
-������ = 2,
������ 2
=
2,
5������ + 5������ + ������ + 50 = 0,
������ = -4, 解得 ������ = -2,
合作学习
EZUOXUEXI
D当堂检测 ANGTANG JIANCE
3.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程
是
.
解析:依题得圆x2+2x+y2=0的圆心坐标为(-1,0).
反思感悟1.判断方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圆的两种方法:
(1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过
配方变形成“标准”形式后,观察是否表示圆,并求圆心半径.
(2)运用圆的一般方程的判断方法求解,即通过判断D2+E2-4F是
否为正,确定它是否表示圆.
2.求圆心和半径,除化为标准形式外,还可直接利用
合作学习
EZUOXUEXI
D当堂检测 ANGTANG JIANCE
1.若方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C(2,2),半径为2的圆,则a,b,c
的值依次为( )
A.2,4,4 B.-2,4,4
C.2,-4,4 D.2,-4,-4
解析:由
-������ = 2,
������ 2
=
2,
北师大版数学必修二：2.2.2圆的一般方程ppt课件
= -95
所以圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.
1
2
3
4
5
解法 2:由 A(1,12),B(7,10),得
1
AB 的中点坐标为(4,11),k AB=- ,
3
那么AB的中垂线方程为3x-y-1=0.
同理得AC的中垂线方程为x+y-3=0.
3--1 = 0
=1
联立
,得
,
=
2
+ -3 = 0
探求三
易错辨析
解:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0.
将 A,B,C 三点的坐标分别代入上述方程得
- + 5 + + 26 = 0,
-2-2 + + 8 = 0,
5 + 5 + + 50 = 0,
= -4,
解得 = -2,
= -20.
∴△ABC 的外接圆的方程为 x2+y2-4x-2y-20=0.
方程
条件
图形
D2+E2-4F<0
不表示任何图形
2
2
D +E -4F=0
x2+y2+Dx+Ey
D
E
2
2
D
E
2
2
表示点 - ,表示以 - ,-
+F=0
2
2
D +E -4F>0
为
圆心,以
1
2
D2 + E 2 -4F为半
径的圆
做一做2 方程x2+y2-4x+4y+10-k=0表示圆,那么k的取值范围是
【数学】2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)
2 2
2
2
（1）当
D E 4F 0
2 2
时，表示圆，
D E 4F
2 2
E D 圆心 - , 2 2
r
2
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
E D - , 2 2
D E 4F 0
2 2
时，不表示任何图形
8
2
8E F 0
D 6, E 8， F 0.
所求圆的方程为：
2 y2 6x 8y 0 x
若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的 一般方程用待定系数法求解.
小结
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D E 4F x y 2 2 4
设方程为
2 2 2
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
( x a ) ( y b) r
2 2
(或x y Dx Ey F 0)
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
.
.
（-1，0）
O
.
A(3,0)
x
[简单的思考与应用] (1)已知圆 x 2 y 2 Dx Ey F 0 的圆心坐标为 (-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于 (D)
( A ) 4 , 6 ,3
( B ) 4 , 6 ,3 ( C ) 4 , 6 , 3
( D ) 4, 6, 3
高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)
圆的方程
标准方程: ( x - a ) + ( y - b) = r
2 2 2
2 2
展开
x + y - 2ax - 2by + (a + b - r ) = 0 圆心: (a , b) 半径: r ( r 0)
2 2 2
一般方程: 2 2 2 2 x + y + Dx + Ey + F = 0 ( D + E - 4F 0)
x + y - 8x + 6 y = 0
2 2
求圆方程的步骤: (待定系数法) 1.根据题意,选择标准方程或一般方程. 若已知条件与圆心或半径有关,通 常设为标准方程; 若已知圆经过两点或三点,通常设 为一般方程; 2.根据条件列出有关 a, b, r, 或 D, E, F 的方程组. 3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或 一般方程.
x + y + Dx + Ey + F = 0 26 - D + 5 E + F = 0 D = -4, E = -2, F = -20 2 2 50 + 5 D + 5 E + F = 0 x + y - 4 x - 2 y - 20 = 0 40 + 6 D - 2 E + F = 0 ( x - 2)2 + ( y - 1)2 = 25
2 2
+ y + 2by = 0
2
(b 0)
2
6) （4）x
2
+ y + 2ax - b = 0
2 2
2
D = 2a , E = 0, F = - b
2018-2019数学北师大版必修2课件：第二章2.2圆的一般方程 (35张)
－∞，15.
②将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 化为标准方程为(x＋ m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径 r＝
1－5m.
待定系数法求圆的一般方程
求圆心在y＝－x上且过两点(2，0)，(0，－4)的圆的一
般方程，并把它化成标准方程．
[解] 设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－
[方法归纳] 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表 示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋ E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F＞0，则方程表示圆，否则 不表示圆；②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的 标准方程的特征，观察是否可以表示圆．
1．(1)动圆x2＋y2－2x－k2＋2k－2＝0的半径的取值范围是 _[__2_，__＋__∞__)__． (2)若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 ①实数m的取值范围； ②圆心坐标和半径．
2．(1)已知 A(2，－2)，B(5，3)，C(3，－1)，则△ABC 的外接 圆的方程为_x_2_＋__y_2＋__8_x_－__1_0_y_－__4_4_＝__0_．
(2)经过点(－1,3),圆心在直线 x－2y＝0 上,且半径等于 13的圆 的方程是_x_2_＋__y_2－__4_x_－__2_y_－__8_＝__0__或__x_2_＋__y_2＋__1_52_x_＋__65_y_－__5_56_＝__0_._． 解析：(1)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，依题意有
＝x上”，其他条件不变，求圆的一般方程．
解：设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－
4F>0)，则圆心坐标为－D2 ，－E2，
②将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 化为标准方程为(x＋ m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径 r＝
1－5m.
待定系数法求圆的一般方程
求圆心在y＝－x上且过两点(2，0)，(0，－4)的圆的一
般方程，并把它化成标准方程．
[解] 设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－
[方法归纳] 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表 示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋ E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F＞0，则方程表示圆，否则 不表示圆；②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的 标准方程的特征，观察是否可以表示圆．
1．(1)动圆x2＋y2－2x－k2＋2k－2＝0的半径的取值范围是 _[__2_，__＋__∞__)__． (2)若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 ①实数m的取值范围； ②圆心坐标和半径．
2．(1)已知 A(2，－2)，B(5，3)，C(3，－1)，则△ABC 的外接 圆的方程为_x_2_＋__y_2＋__8_x_－__1_0_y_－__4_4_＝__0_．
(2)经过点(－1,3),圆心在直线 x－2y＝0 上,且半径等于 13的圆 的方程是_x_2_＋__y_2－__4_x_－__2_y_－__8_＝__0__或__x_2_＋__y_2＋__1_52_x_＋__65_y_－__5_56_＝__0_._． 解析：(1)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，依题意有
＝x上”，其他条件不变，求圆的一般方程．
解：设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－
4F>0)，则圆心坐标为－D2 ，－E2，
高中数学北师大版必修二2.2.2【教学课件】《圆的一般方程》
北京师范大学出版社 | 必修二
例2 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，
求它的外接圆的方程，并求其外心坐标。
解析：法一：设其外接圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0。
把A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)代入上述方程，
整理得 ������������ + ������ + ������������ = ������ 解之得 ������ = ������
北京师范大学出版社 | 必修二
（2）圆的一般方程
当D2＋E2－4F＞0时，称二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
为圆的一般方程。
注意：圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0具有以下特征： ①x2项和y2项的系数相等，且不为零。 ②是二元二次方程且没有xy这样的二次项。 ③参数D、E、F满足D2＋E2－4F>0。
∴AB ∵BC
的边中的点垂为直(平－分1，线－的3方)，程斜为率������ −为������������=������������������=(������−−−���������������+−���)
即x－7y＋10＝0。
������ ������ ������ = ������
∴BC 边的垂直平分线方程为y＋3＝－2(x＋1)，即2x＋y＋7＝0。
������ − ������������ + ������ + ������ = ������
������ = −������
������������ + ������������ − ������ − ������������ = ������
高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)
2 2
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)，
1 A(3，0)距离的比为 的点的轨迹， 2
求此曲线的方程，并画出曲线。
y
直接法
M(x,y)
.
（-1，0） O
.
.
A(3,0)
x
x + y + 2x - 3 = 0
2 2
例3:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端 2 2 点A在圆( x + 1) + y = 4 上运动,求线段 AB的中点M的轨迹方程. 解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 ( x0 , y0 ) .
D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F 配方 (x + ) + ( y + ) = 2 2 4 1 -D -E 2 2 圆心: ( D + E - 4F , ) 半径: 2 2 2
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 2 2 D + E - 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项
关键:列出P,Q两点的关系式.
[课堂小结]
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 x D 2 + E 2 - 4 F 0
(2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系] 配方 一般方程 标准方程(圆心,半径) 展开 (3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法求解)
求动点轨迹的步骤:
1.建立坐标系,设动点坐标M(x, y); 2.列出动点M满足的等式并化简; 3.说明轨迹的形状.
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)，
1 A(3，0)距离的比为 的点的轨迹， 2
求此曲线的方程，并画出曲线。
y
直接法
M(x,y)
.
（-1，0） O
.
.
A(3,0)
x
x + y + 2x - 3 = 0
2 2
例3:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端 2 2 点A在圆( x + 1) + y = 4 上运动,求线段 AB的中点M的轨迹方程. 解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 ( x0 , y0 ) .
D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F 配方 (x + ) + ( y + ) = 2 2 4 1 -D -E 2 2 圆心: ( D + E - 4F , ) 半径: 2 2 2
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 2 2 D + E - 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项
关键:列出P,Q两点的关系式.
[课堂小结]
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 x D 2 + E 2 - 4 F 0
(2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系] 配方 一般方程 标准方程(圆心,半径) 展开 (3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法求解)
求动点轨迹的步骤:
1.建立坐标系,设动点坐标M(x, y); 2.列出动点M满足的等式并化简; 3.说明轨迹的形状.
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9 D= 4 22 +22 +2D+2E+F=0 11 2 则 （-4）-4D+F=0 得 E= 4 1+1+D-E+F=0 F=-7 ∴△ABC外接圆的方程为 x2 +y2 + 9 x- 11 y-7=0. 4 4
① F=0 ② D+E+F+2=0 令y=0得x2+Dx=0,
∴x1=0,x2=-D,由|x1-x2|=3,得|D|=3, ∴D=〒3.代入②得E=-5或E=1. ∴所求圆的方程为x2+y2+3x-5y=0或x2+y2-3x+y=0.
8.圆x2+y2+Dx+Ey-3=0的圆心在坐标轴上，半径为2，当D>E时， 求圆的方程. 【解题提示】求解本题可先就D=0或E=0分开讨论，然后利
用r=2求出E的值，用D>E这一条件取舍便可.
【解析】圆x2+y2+Dx+Ey-3#43;E2 +12. (- ,- ), 2 2 2 1 2 r= E +12=2. (1)若D=0，即圆心坐标在y轴上时，有 2
解得E=2或E=-2，又D>E,∴E=-2. 所以，所求圆的方程为x2+y2-2y-3=0.
-4-2=-E , 即 E=6 . (-4)(-2)=F F=8 D -3）在直线2x-y-7=0上， 又点（ - ， 2 ∴-D+3-7=0,即D=-4.
∴圆的一般方程为x2+y2-4x+6y+8=0. 答案：x2+y2-4x+6y+8=0
三、解答题
7.（2010·白山高一检测）求过原点及A（1，1），且在x轴 上截得的线段长为3的圆的方程. 【解析】设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 将点（0，0）和A（1，1）的坐标代入方程得
【解析】选A.方程x2+y2-2x-35=0可化为(x-1)2+y2=36.
由题意可知，所求圆的圆心为(1,0)，半径r满足 1 πr2= π〓36,∴r2=18. 2
4.（2010·蚌埠高一检测）圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线
x-y=1的距离为（
(A)2 (C)1 (B) 2 2 (D) 2
）
【解析】选D.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心为（1，-2）， ∴由点到直线的距离公式得
d=
|1+2-1| 1 +(-1)
2 2
= 2.
二、填空题 5.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心，4为半径的圆， 则F=______.
D - 2 =2 【解析】由题意可知 E , - =-4 2 1 2 2 2 D +E -4F =4 答案：4
所在直线的方程是x+y=0,边AC上高BE所在直线的方程是
x+3y+4=0. (1)求点B、C的坐标； (2)求△ABC的外接圆的方程. 【解题提示】设出B点坐标，从中线CD出发可解B点坐标， 再由AC、CD两方程求出C点坐标，第（1）问可解；利用待定 系数法求（2）.
【解析】（1）由题意可设B（-3a-4,a),则AB的中点
一、选择题（每题4分，共16分）
1.方程x2+y2-2x+4y+6=0表示的图形（
(A)是一个点 (B)是一个圆 (C)是一条直线 (D)不存在
）
【解析】选D.∵D2+E2-4F=(-2)2+42-4〓6<0, 故选D.
2.若关于x,y的方程x2+y2+mxy+2x-y+n=0表示的曲线是圆，则
(2)若E=0，即圆心坐标在x轴上时，有
r=
1 2 D +12=2. 解得D=2或D=-2. 2
又D>E,∴D=2. 所以，所求圆的方程为x2+y2+2x-3=0. 综上可知所求圆的方程为x2+y2-2y-3=0或x2+y2+2x-3=0.
9.(10分)已知△ABC中，顶点A（2，2），边AB上的中线CD
D=-4 解得 E=8 . F=4
6.（2010·宁德高一检测）圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y 轴交于两点A（0，-4），B（0，-2），则圆C的方程为___. 【解析】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 由题意可知，-4，-2是方程y2+Ey+F=0的两个根.
-3a-2 a+2 , ）必在直线CD上， 2 2 -3a-2 a+2 + =0, ∴a=0,∴B(-4,0), 2 2 又直线AC方程为：y-2=3(x-2),即y=3x-4, D（
x+y=0 ，得C(1,-1). 由 y=3x-4
(2)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
m+n的取值范围是（
(A)(-∞,
）
(B)(-∞,
(C)(
5 ,+∞) 4
5 ） 4
(D)［
5 ,+∞) 4
5 ］ 4
【解析】选A.由题意可知m=0,
且D2+E2-4F=4+(-1)2-4n>0,
5 5 所以n< .从而m+n=n< . 4 4
3.与圆C：x2+y2-2x-35=0同圆心，且面积为圆C面积的一半的 圆的方程为（ (A)(x-1)2+y2=18 (C)(x-1)2+y2=6 ） (B)(x-1)2+y2=9 (D)(x-1)2+y2=3
① F=0 ② D+E+F+2=0 令y=0得x2+Dx=0,
∴x1=0,x2=-D,由|x1-x2|=3,得|D|=3, ∴D=〒3.代入②得E=-5或E=1. ∴所求圆的方程为x2+y2+3x-5y=0或x2+y2-3x+y=0.
8.圆x2+y2+Dx+Ey-3=0的圆心在坐标轴上，半径为2，当D>E时， 求圆的方程. 【解题提示】求解本题可先就D=0或E=0分开讨论，然后利
用r=2求出E的值，用D>E这一条件取舍便可.
【解析】圆x2+y2+Dx+Ey-3#43;E2 +12. (- ,- ), 2 2 2 1 2 r= E +12=2. (1)若D=0，即圆心坐标在y轴上时，有 2
解得E=2或E=-2，又D>E,∴E=-2. 所以，所求圆的方程为x2+y2-2y-3=0.
-4-2=-E , 即 E=6 . (-4)(-2)=F F=8 D -3）在直线2x-y-7=0上， 又点（ - ， 2 ∴-D+3-7=0,即D=-4.
∴圆的一般方程为x2+y2-4x+6y+8=0. 答案：x2+y2-4x+6y+8=0
三、解答题
7.（2010·白山高一检测）求过原点及A（1，1），且在x轴 上截得的线段长为3的圆的方程. 【解析】设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 将点（0，0）和A（1，1）的坐标代入方程得
【解析】选A.方程x2+y2-2x-35=0可化为(x-1)2+y2=36.
由题意可知，所求圆的圆心为(1,0)，半径r满足 1 πr2= π〓36,∴r2=18. 2
4.（2010·蚌埠高一检测）圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线
x-y=1的距离为（
(A)2 (C)1 (B) 2 2 (D) 2
）
【解析】选D.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心为（1，-2）， ∴由点到直线的距离公式得
d=
|1+2-1| 1 +(-1)
2 2
= 2.
二、填空题 5.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心，4为半径的圆， 则F=______.
D - 2 =2 【解析】由题意可知 E , - =-4 2 1 2 2 2 D +E -4F =4 答案：4
所在直线的方程是x+y=0,边AC上高BE所在直线的方程是
x+3y+4=0. (1)求点B、C的坐标； (2)求△ABC的外接圆的方程. 【解题提示】设出B点坐标，从中线CD出发可解B点坐标， 再由AC、CD两方程求出C点坐标，第（1）问可解；利用待定 系数法求（2）.
【解析】（1）由题意可设B（-3a-4,a),则AB的中点
一、选择题（每题4分，共16分）
1.方程x2+y2-2x+4y+6=0表示的图形（
(A)是一个点 (B)是一个圆 (C)是一条直线 (D)不存在
）
【解析】选D.∵D2+E2-4F=(-2)2+42-4〓6<0, 故选D.
2.若关于x,y的方程x2+y2+mxy+2x-y+n=0表示的曲线是圆，则
(2)若E=0，即圆心坐标在x轴上时，有
r=
1 2 D +12=2. 解得D=2或D=-2. 2
又D>E,∴D=2. 所以，所求圆的方程为x2+y2+2x-3=0. 综上可知所求圆的方程为x2+y2-2y-3=0或x2+y2+2x-3=0.
9.(10分)已知△ABC中，顶点A（2，2），边AB上的中线CD
D=-4 解得 E=8 . F=4
6.（2010·宁德高一检测）圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y 轴交于两点A（0，-4），B（0，-2），则圆C的方程为___. 【解析】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 由题意可知，-4，-2是方程y2+Ey+F=0的两个根.
-3a-2 a+2 , ）必在直线CD上， 2 2 -3a-2 a+2 + =0, ∴a=0,∴B(-4,0), 2 2 又直线AC方程为：y-2=3(x-2),即y=3x-4, D（
x+y=0 ，得C(1,-1). 由 y=3x-4
(2)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
m+n的取值范围是（
(A)(-∞,
）
(B)(-∞,
(C)(
5 ,+∞) 4
5 ） 4
(D)［
5 ,+∞) 4
5 ］ 4
【解析】选A.由题意可知m=0,
且D2+E2-4F=4+(-1)2-4n>0,
5 5 所以n< .从而m+n=n< . 4 4
3.与圆C：x2+y2-2x-35=0同圆心，且面积为圆C面积的一半的 圆的方程为（ (A)(x-1)2+y2=18 (C)(x-1)2+y2=6 ） (B)(x-1)2+y2=9 (D)(x-1)2+y2=3