与圆有关轨迹问题

提示：l恒过定点C（a，0），又 OM⊥AB，
故点M为以OC为直径的圆上点。
答案：
(x- a)2 + y2 = a2 (x2 + y2 < r2)
2
4
四.参数法求轨迹 已知方程 x2 y2 2ax 2 3ay 3a2 0
(a 0)
表示圆，求圆心的轨迹方程
设圆心C（x，y）则
故所求方程为 x2 y2 a2 x a
已知实数a，b，c成等差数列，点P(－ 1,0)在直线ax＋by＋c＝0上的射影是Q，则 点Q的轨迹方程是________．
[解析] 由条件知 2b＝a＋c，即 a－2b＋c＝0 ∴直线 ax＋by＋c＝0 过点 A(1，－2)， 设 Q(x，y)，则P→Q⊥A→Q ∵P→Q＝(x＋1，y)，A→Q＝(x－1，y＋2) ∴(x＋1)(x－1)＋y(y＋2)＝0 即 x2＋(y＋1)2＝2.
x a
y 3a
故 x 3 y 3

y0

2y
Βιβλιοθήκη Baidu

6
故 (2x 4 1)2 (2 y 6)2 4
即
已知圆O: x2 y2 4 点A(2,0),过A
作直线AB交圆于B,求AB中点M的轨 迹方程
..\必修2课件\课件展示\圆轨迹2.gsp
三.定义法:
动点运动符合已知曲线的定义，根据 定义求出曲线方程的方法称为定义法。
(a, 0)
B (a, 0) 。
设动点C为 (x, y)
∵ | AC |2 | BC |2 | AB |2
∴ [ (x a)2 y2 ]2 [ (x a)2 y2 ]2 4a2 即． x2 y2 a2
由于C点到达A、B位置时直角三角形ABC不存在， 轨迹中应除去A、B两点，
分析：由|OA|=3，M为AB中点知点M与OB中
点E （ 3 ，0）
2
3
连线满足|ME|= 2
3
故点M的轨迹为以E为圆心, 2 为半径 的圆。当A在轴时亦适合。故所求轨迹方程为
(x 3)2 y2 9
2
4
已知直线
l : y = k(x - a)及圆O : x2 + y2 = r2
与圆O相交于A、B两点，求当k变动时，弦 AB中点M的轨迹方程。 ..\必修2课件\课件展示\圆轨迹5.gsp
例如: 动点M到A（-1,0）的距离与它到 B（3，0）的距离相等，求动点M的轨迹方 程。
..\必修2课件\课件展示\线段中垂线1.gsp
..\必修2课件\课件展示\角平分线1.gsp
动点A在圆 x2 y2 9
上移动时，它与定点B（3，0）的 连
线的中点M的轨迹方程。 ..\必修2课件\课件展示\圆轨迹4.gsp
(x 1)2 y2 4
检验:
已知一等腰三角形的顶点A（3,20）， 一底角顶点B（3,5），求另一底角顶点C的 轨迹方程。
..\必修2课件\课件展示\圆轨迹3.gsp
在直角△ABC中，斜边是定长2a，求直
角顶点C的轨迹方程.
取AB所在的直线为轴，AB的中点O为坐标原点，
建立坐标系．则有A
二.代点法求轨迹方程
已知线段AB的端点B（4,3），点A在圆 （x+1）2+y2=4上运动，求线段AB中点M的 轨迹方程
..\必修2课件\课件展示\圆轨迹1.gsp
设M(x,y)是轨迹上的任意一
点,A(x0,y0),则
x

4
x0 2

y

3
y0 2
x0 2x 4
ZHUANTI
一.直接法求轨迹 1.圆的标准方程
步骤 建系-设点-几何特征-代数化-检验
求与点O（0,0），A（3,0）距离之比是 1 的
点M的轨迹方程。
2
分析: 建系
设点M(x,y)是轨迹上的任意一点,
轨迹的几何特征:
| MO | 1 | MA | 2
代数化(化简)
x2 y2 1 (x 3)2 y2 2