几何五大模型-汇总
几何五大模型
⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型1S 2S两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
几何的五大模型
几何的五大模型
一、等积变换模型
(1)等底等高的两个三角形面积相等
(2)两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比
(3)两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比
(4)
(1)
(2)
E在AC上
图（
△
同理
又因
S△ABC=AC*H2*1/2得出S△ADE：S△ABC=AE*H1：AC*H2
所以S△ADE：S△ABC=(AB×AC):(AD×AE)
图（2）中设过顶点D作底边AE的高为H1，过顶点B做底边AC的高为H2
△DBE中，S△ADE：S△ABE=AD：AB
S△ADE：S△ABE=H1：H2AD：AB=H1：H2
又因S△ADE=AE*H1*1/2
S△ABC=AC*H2*1/2得出S△ADE：S△ABC=AE*H1：AC*H2
所以S△ADE：S△ABC=(AB×AC):(AD×AE)
三、蝴蝶定理模型
①
②
在△
在△) 设过
梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）
①S1：S3=2a：2b
证明：
由AO：OC=DO：OC=a:b
而S1：S2=DO：OCS1：S2=a:b，得到S1=a/b*S2
②而S2：S3=AO：OCS2：S3=a:b，得到S3=S2*b/aS1：S3=2a：2b
③S1：S3：S2：S4=2a：2b：ab:ab
证明：由上面公式转换推得
③梯形S的对应份数为(a+b)2
证明：由上面公式转换推得
(3)S△AGC：S△BGC=S△AGD：S△BGD=AD:BD。
小学数学五大几何模型
小学数学五大几何模型知识框架一、等积模型DC BA①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△(1)(2)(3)(4)三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．S 4S 3S 2S 1O DC BA梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．A BC DO baS 3S 2S 1S 4四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCD ABCDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
几何五大模型
WORD格式.五大模型一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
S1S2如上图S1:S2a:b⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图S；△ACD=S△BCD反之，如果S△ACD S△BCD，则可知直线AB平行于CD。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角 )两夹边的乘积之比。
如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点(如图1)或D在BA的延长线上，E在AC上(如word图2)，则S△ABC:S△ADE(AB AC):(AD AE)图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”)：①S1:S2S4:S3或者S1S3S2S4②AO:OC S1 S2:S4 S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)2 2①S1:S3a:b②S1:S3:S2:S4a2:b2:ab:ab；2③梯形S的对应份数为a b。
2专业资料整理WORD格式.四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型沙漏模型①AD AE DE AF；AB AC BC AG②S△ADE:S△ABC AF2:AG2。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型S△ABG:S△AGC S△BGE:S△EGC BE:ECS :S S :S AFFC△BGA△BGC△AGF△FGC :S :S S :S ADDB△AGC△BCG △ADG△DGB : 典型例题精讲例1 一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的面积是21平方厘米。
小学数学几何必考五大模型
【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米 ，那么长方形的宽为几厘米？
【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可 以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
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【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米 ，那么长方形的宽为几厘米？
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解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D点重合，那么图形就可变成右图： 这样阴影部分的面积就是△DEF的面积，
根据鸟头定理，则有：
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【巩固】
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五、燕尾定理（共边定理、燕尾模型和风筝模型）
在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么
．
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为和的形状很象燕子的尾巴， 所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于 ，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的 途径.
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典型例题
【例1】如图，正方形ABCD的边长为6，AE= 1.5，CF= 2．长方形EFGH的面积
为？
H
H
A
D
A
D
E
E
G
G
B FC
B FC
【 解 析 】 连 接 DE ， DF ， 则 长 方 形 EFGH 的 面 积 是 三 角 形 DEF 面 积 的 二 倍．
几何的五大模型
5、 想想？正方形ABCD中，还有哪些没有包块进去，及与份数之间旳关系
6、SΔADE =S2+S3，S ΔBCF =S4+S3 想想？为何，用了什么模型
7、∴正方形ABCD被提成了24份 S阴影=S2+S4=6÷24×12=3cm2
例题：相同模型
例题4：如图，长方形ABCD中，E为AD旳中点，AF与BE、BD分别交于
例题：二分之一模型
例题3：如图ABFE和CDEF都是矩形，AB旳长是4厘米，BC旳长是3厘 米，那么图中阴影部分旳面积是多少平方厘米。
分析：阴影部分是一种个三角形，矩形CDEF中阴影 A
B
部分旳三角形底边长度为矩形旳长，高与矩 E
F
形宽相等，根据面积公式可知S阴影=SEDCF÷2
D
C
思索：二分之一模型是什么意思？
分析：SΔ黄+SΔ绿=S长方形÷2（=宽×长÷2）
黄色三角形面积21cm2，占长方形面积百分比
黄
50%-15%=35% 所以，长方形面积=21÷35%=60cm2
红
红
绿
例题：等积变换
例题2：图中ABCD是个直角梯形，以AD为一边向外作长方形ADEF， 其面积为6.36平方厘米，连接BE交AD于P，再连接PC，则图 中阴影部分旳面积是多少平方厘米？
AB
S1 S2
a
b
图1
CD 图2
概念
2、鸟头定理（共角定理）模型
1）两个三角形中有一种角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形
2）共角三角形旳面积比等于相应交（相等或互补角）两夹边旳乘积之比
D
E
A
D
A
A
E D
BC
小学奥数几何五大模型
（4）相似模型1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质：①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DE BC ∥。
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型结论：因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△，则①AD AE DE==；②22::ADE ABC S S AD AB =△△。
②::ABO BCO S S AE EC =△△；ED C BA E DCB A③::ACO BCO S S AF FB =△△。
二、五大模型经典例题详解 （1）等积变换模型例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？GFE D CBA解析：把另外三个三等分点标出之后，正方形的3条边AB BC CD 、、就被分成了相等的三段。
把点H 和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1～6。
这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一；阴影部分被分割成了其中的3个三角形。
根据等积变换模型可知，CD 边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等；BC 边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等；AB 边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。
因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分之一，即：12×12÷3=48。
例2、如图所示，Q E P M 、、、分别为直角梯形ABCD 两边AB CD 、上的点，且DQ CP ME 、、彼此平行，已知5753AD BC AE EB ====、、、，求阴影部分三角形PQM 的面积。
几何五大模型-汇总情况
小学平面几何五大模型一、共角定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC 可推导出 若△ABC 和△ADE 中， ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°，则ADE ABC S S ∆∆=AEAD ACAB ⨯⨯二、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如下图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．三、蝶形定理1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++ 速记：上×下=左×右蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．ba S 2S 1DC BA A DO a S 2S 1S 4S 4S 2S 1O DA四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF ABACBCAG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在∆ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.OFE DCBA附件1：鸟头模型例题及习题：例8：法1：无敌设高法。
小学数学几何必考五大模型
四、相似模型
(一)金字塔模型
(二) 沙漏模型
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它 们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学小学数学里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
它们的高之比．
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二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
A
D
D
E
B
C
图⑴
A
E
B
C
图 (2)
如图在 E在AC上)，则
中，D、E分别是AB、AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，
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三、蝴蝶定理
S1 S2
如右图
a
b
C
D
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图
；
反之，如果
，则可知直线 平行于 。
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于
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在学习小学数学的时候，几何模型算是比较新颖的一个模块，学生们熟 练掌握五大面积模型，并掌握五大面积模型的各种变形，
几何五大模型
一、等面积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；反之，若是ACD BCD S S =△△，那么可知直线AB 平行于CD等底等高长方形-平行四边形-梯形的面积相等；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =二、共角定理（鸟头定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 别离是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，那么:():()ABCADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型（不规那么四边形的面积问题）①1243::S S S S =或1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++梯形中：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；1S 2S③梯形S的对应份数为()2a b+。
四、相似模型金字塔模型沙漏模型①AD AE DE AF AB AC BC AG===；②22::ADE ABCS S AF AG=△△。
所谓的相似三角形，确实是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小如何改变它们都相似)，与相似三角形相关的经常使用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，而且那个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型S△ABG:S△AGC=S△BGE:S△EGC=BE:ECS△BGA:S△BGC=S△AGF:S△FGC=AF:FCS△AGC:S△BCG=S△ADG:S△DGB=AD:DB典型例题精讲例1一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的面积是21平方厘米。
几何的五大模型
利用燕尾定理，连接FC，BFD面积/BFC面积=DE/EC=1/2，如果BFD面积为1份的话，BFC为2份；又DF=FG，所以BFG面积与BFD面积相等也是1份，故FGC面积是2-1=1份，那么BG=GC；再利用燕尾定理，DFC的面积与DFB相等也是1份，BDC的面积是4份=6，故一份面积是6/4=1.5，阴影部分是1+2/3=5/3份，面积是1.5×5/3=2关系是一样的。）
四、相似三角形模型
相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。
相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。
相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型
解析：
因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50厘米2。
几何的五大模型
一、等积变换模型
1、等底等高的两个三角形面积相等。
2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。
3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。
二、共角定理模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
三、蝴蝶定理模型
显然，最大的三角形的面积为21公顷．
解析：
如图所示，设上底为a，则下底为2a，梯形的高为h，则EF= （a+2a）= ，所以，
。所以
阴影部分
= 即 ，梯形 ABCD的面积=
如下图所示，为了方便叙述，将某些点标上字母．
几何的五大模型
几何的五大模型一、等积变换模型(1)等底等高的两个三角形面积相等⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比⑶两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比如左图S1: S2=a:b(4)夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图，S AABC= S △BAD反之，如果S\ABC= S ABCD,则可知直线AB平行于CD (AB// CD二、鸟头定理(共角定理)模型(1)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
(2)共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图在△ ABC中, D, E分别是AB, AC上的点如图.(或D在BA的延长线上, E在AC上)，贝卩S AABC： S AD E=(AB X AC):(AD X AE)推理过程连接BE再利用等积变换模型即可。
证明：图(1)中设：过顶点D做底边AE的高为H1;过顶点B做底边AC的高为H2△ ABE中SA ADE SA ABE=A：AB同理SA ADE SA ABE=H1 H2 AD : AB= H1: H2 L又因SAADE=AE*H1*1/2S △ ABC=AC*H2*1/2 得出SA ADE SA ABC=AE*H1 AC*H2所以SA ADE SA ABC=(AX AC):(AD X AE)图(2)中设过顶点D作底边AE的高为H1,过顶点B做底边AC的高为H2△ DBE中，SA ADE SA ABE二AD ABS A ADE SA ABE= H1 H2 AD : AB= HI: H2又因SAADE=AE*H1*1/2S A ABC=AC*H2*1/2 得出SA ADE SA ABC=AE*H1 AC*H2所以SA ADE SA ABC=(AB< AC):(AD X AE)三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)①S1:S2=S4:S3 或者S1 X S3=S2X S4②AO:OC=(S1+S2):(S4+S3)证明(1):在A ABD中, S1 : S2=DO:OB在A DCB中, S4: S3二DO OB 得至U S1:S2=S4:S3 或者S1 X S3=S2X S4(十字相乘法)证明(2):设过D点作底边AC的高为H1,过B点作底边AC的高为H2(S1+S2):(S4+S3)= (AO*H1*1/2+AO*H2*1/2): ( OC*H1*1/2+ OC*H2*1/2) 约分得到：(S1+S2):(S4+S3)=AO : OC蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
小升初-数学-几何-五大几何模型
高之比．① 12:S S 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； 知识框架五大几何模型③ S 的对应份数为()2a b +． 四、相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：【例 1】 米?【巩固】 如图，四边形ABCD 和EFGH 都是平行四边形，四边形ABCD 的面积是16，:3:1BG GC =，则四边形EFGH 的面积=________．【例 2】 已知三角形ABC 的面积为a ，:2:1AF FC =，E 是BD 的中点，且EF ∥BC ，交CD 于G ，求阴影部分的面积．【巩固】图中ABCD 是边长为12cm 的正方形，从G 到正方形顶点C 、D 连成一个三角形，已知这个三角形在AB 上截得的EF 长度为4cm ，那么三角形GDC 的面积是多少？例题精讲【例 3】 如图，O 是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？【巩固】 ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则图中阴影部分的面积为平方厘米．二、蝴蝶模型【例 4】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，AB=8,AD=15四边形EFGO 的面积为______．【巩固】 如图5所示，矩形ABCD 的面积是24平方厘米，、三角形ADM 与三角形BCN 的面积之【例 5】 【巩固】 27．那么【例 6】 【巩固】 CD ，DA()m n +的【例 7】 ，那么平【巩固】 ，6B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米．【例 8】 已知四边形ABCD ，CHFG 为正方形，:1:8S S =乙甲，a 与b 是两个正方形的边长，求:?a b = 【巩固】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?【例 9】 如右图，面积为1的ABC △中，::1:2:1BD DE EC =，::1:2:1CF FG GA =，::1:2:1AH HI IB =，求阴影部分面积．【巩固】 如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？【例 10】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.【巩固】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.【随练1】BF 、MGQA 的【随练2】【作业1】【作业2】6【作业3】BC 的中【作业4】【作业5】、CD 、DA 的重点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，m ＋n 的值等于__________。
小学奥数之几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型1S 2S二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△五大模型1S 2S图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型①AD AEDE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
几何五大模型-汇总
几何五大模型-汇总小学平面几何五大模型一、共角定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比. 如图在AABC中，DE分别是AB.AQ 上的点如图⑴（或D在朋的延长线上，£在AC 上），贝!J S“c : S“E =⑷ x AC）: （AD x AE）证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC可推导出若AABC 和ZXADE 中，ZBAC=ZDAE 或ZBAC+ZDAET80。
，S A/IBC AB X ACS MDE AD X AE二、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如下图£:二=“"③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S^CD二Sg 反之，如果SycD=Sg则可知直线A3平行于CD・④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.三、蝶形定理1、任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”）:①S, :S2=S4:S3或者S|XS严S’xSj®/IO:OC = （S1+5j：（S.+S,）速记：上X下二左X右蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.2、梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）：①S,:53=fl2:/>2②S : S；'.S2:S i=a~:b:iab: ab ;③S的对应份数为仗+疔.四、相似模型（二）沙漏模型（一）金字塔模型②S'DE：=虫尸：MG?・相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半. 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具. 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在AABC 中，AD9 BE, CF 相交于同一点O,那么5^ : =BD.DC.上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为和A4CO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.附件1:鸟头模型例题及习题:逵扶方廠积$g=l,三角形$2= £, ,3少=2设AB F , EC 二丄；aBS=-x2-a = —,那么 C5=l- —=—；6 3a a 3a 3aCF = -x2^—=—；5 3a 5 那么Mm-®# 那么$5=卜善¥ = £： 所以S'如=】-卜卜卜知即：S T =证明:如有图.连接BE 。
几何五大模型(完整资料).doc
1此文档下载后即可编辑一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::SS a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACDBCDS S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；五大模型 1S 2S2⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABCADES S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::SS S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；③梯形S 的对应份数为()2a b +。
4四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型①AD AE DEAF ABACBCAG===；②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
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小学平面几何五大模型
一、共角定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形、
共角三角形得面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边得乘积之比、 如图在中,分别就就是上得点如图 ⑴(或在得延长线上,在上),则
证明:由三角形面积公式S ＝1/2*a*ｂ*si ｎC 可推导出ﻫ 若△ＡBC 与△ADE 中， ∠ＢAC=∠DA Ｅ 或∠BA Ｃ＋∠D ＡＥ=１80°, 则=
二、等积模型
①等底等高得两个三角形面积相等; ②两个三角形高相等,面积比等于它们得底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们得高之比; 如下图 ③夹在一组平行线之间得等积变形，如右图; 反之,如果,则可知直线平行于、
④等底等高得两个平行四边形面积相等(长方形与正方形可以瞧作特殊得平行四边形);
⑤三角形面积等于与它等底等高得平行四边形面积得一半；
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们得底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们得高之比、
三、蝶形定理 1、任意四边形中得比例关系(“蝶形定理”）: ①或者
②
速记：上×下=左×右
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形得面积问题得一个途径、通过构造模型,一方面
可以使不规则四边形得面积关系与四边形内得三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应得对角线得比例关系、
2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ① ②；
③得对应份数为、
D
C B
A A D
a S 2
S 1S 4
D
A
四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
G
F E A
B
C
D
A
B C
D
E
F G
①; ②、
相似三角形,就就就是形状相同，大小不同得三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似）,与相似三角形相关得常用得性质及定理如下:
⑴相似三角形得一切对应线段得长度成比例，并且这个比例等于它们得相似比；
⑵相似三角形得面积比等于它们相似比得平方;
⑶连接三角形两边中点得线段叫做三角形得中位线、
三角形中位线定理:三角形得中位线长等于它所对应得底边长得一半、 相似三角形模型,给我们提供了三角形之间得边与面积关系相互转化得工具、 在小学奥数里,出现最多得情况就就是因为两条平行线而出现得相似三角形、 五、共边定理(燕尾模型与风筝模型) 在中,,,相交于同一点，那么、
上述定理给出了一个新得转化面积比与线段比得手段,因为与得形状很象燕子得
尾巴,所以这个定理被称为燕尾定理、该定理在许多几何题目中都有着广泛得运用，它得特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中得三角形面积对应底边之间提供互相联系得途径、
附件１:鸟头模型例题及习题:
O
F
E
D
C B
A
例8：
法1:无敌设高法。
法2:反复使用鸟头定理:求出E点、F点得特殊性;
简述:以上这一题就就是中环杯决赛题,作为我们讲义得例8。
我们介绍得法一“无敌设高法”主要就就是从代数得角度死算,这就就是我们以后学习解复杂问题得通用方法,作为五年级得同学可以多多接触一些;法二“鸟头模型”让我们确定特殊点，从而找线段得比例关系。
让面积比转换成求线段比。