20112017高考全国卷文科数学解析几何汇编

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编

解 析 几 何

一、选择题

【2017，5】已知F 是双曲线2

2

:13

y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则APF ∆的面积为（ ）

A ．

13 B ．12 C ．23 D ．32

【解法】选D ．由2

2

2

4c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2

2

13

y x -=，得3y =±，所以3PF =，又A 的坐标是(1,3)，故APF 的面积为13

3(21)22

⨯⨯-=，选D ．

【2017，12】设A 、B 是椭圆C ：22

13x y m

+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°

，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1][9,)+∞U B ．(0,3][9,)+∞U C ．(0,1][4,)+∞U D ．(0,3][4,)+∞U

【解法】选A ．

图 1

图 2

解法一：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只

需使0120AEB ∠≥．

1．当03m <<时，如图1，03

tan

tan 6032AEB a b m

∠=≥=，解得1m ≤，故01m <≤； 2． 当3m >时，如图2，0tan

tan 60323

AEB a m b ∠==≥9m ≥． 综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞U ，故选A ．

解法二：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只

需使0120AEB ∠≥．

1．当03m <<时，如图1，01

cos ,cos1202EA EB ≤=-u u u r u u u r ，即12EA EB EA EB

⋅≤-u u u r u u u r

u u u r u u u r ，

带入向量坐标，解得1m ≤，故01m <≤；

2． 当3m >时，如图2，01

cos ,cos1202EA EB ≤=-u u u r u u u r ，即12EA EB EA EB

⋅≤-u u u r u u u r

u u u r u u u r ，

带入向量坐标，解得9m ≥．

综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞U ，故选A ．

【2016，5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1

4

，则该椭圆的离心率为（ ）

A ．13

B ．

12 C ．23

D ．

3

4

解析：选B ． 由等面积法可得

1112224bc a b ⨯=⨯⨯⨯，故1

2

c a =，从而12c e a ==．故选B ． 【2015，5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为

1

2

，E 的右焦点与抛物线C : y 2=8x ，的焦点重合，A ,B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=( )

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

解：选B ．抛物线的焦点为(2,0)，准线为x =-2，所以c=2，从而a=4，所以b 2=12，所以椭圆方程为

22

11612

x y +=，将x =-2代入解得y=±3，所以|AB |=6，故选B 【2014，10】10．已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A (x 0,y 0)是C 上一点，|AF |=

05

4

x ，则x 0=( )A A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解：根据抛物线的定义可知|AF |=0015

44

x x +

=，解之得x 0=1． 故选A 【2014，4】4．已知双曲线)0(13

2

22>=-

a y a x 的离心率为2，则a=( ) D A ．2 B ．

26 C ．2

5 D ．1

解：2c e a ====，解得a=1，故选D

【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b

-(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )．

A ．y ＝14x ±

B ．y ＝13x

± C ．y ＝1

2

x ± D ．y ＝±x 解析：选C ．∵52e =，∴52c a =，即2254c a =．∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =．∴12b a =．

∵双曲线的渐近线方程为b y x a =±，∴渐近线方程为1

2

y x =±．故选C ．

【2013，8】O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF

的面积为( )．

A ．2

B ．22

C ．23

D ．4 答案：C

解析：利用|PF |＝242P x +=，可得x P ＝32，∴y P ＝26±．∴S △POF ＝1

2

|OF |·|y P |＝23． 故选C ．

【2012，4】4．设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32a

x =上一点，

21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）

A ．

12 B ．2

3 C ．3

4 D ．45

【解析】如图所示，21F PF ∆是等腰三角形，

212130F F P F PF ∠=∠=︒，212||||2F P F F c ==，260PF Q ∠=︒，230F PQ ∠=︒，2||F Q c =，

又23||2a F Q c =

-，所以32a c c -=，解得34c a =，因此3

4

c e a ==，故选择C ． 【2012，10】10．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，

C 与抛物线2

16y x =的准线交于A ，B 两点，

||43AB =，则C 的实轴长为（ ）

A ．2

B ．22

C ．4

D ．8

【解析】设等轴双曲线C 的方程为22221x y a a

-=，即222

x y a -=（0a >），

抛物线2

16y x =的准线方程为4x =-，联立方程222

4

x y a x ⎧-=⎨=-⎩，解得2216y a =-，

因为||43AB =，所以222||(2||)448AB y y ===，从而2

12y =，所以21612a -=，2

4a =，

2a =，因此C 的实轴长为24a =，故选择C ．