20112017高考全国卷文科数学解析几何汇编
2011年—2017年新课标全国卷1文科数学分类汇编—13.坐标系与参数方程
2011年—2017年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编13．坐标系与参数方程一、解答题【2017，22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a ．【2016，23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ．（Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【2015，23】在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求1C ，2C 的极坐标方程； （II ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ，求2C MN ∆的面积.【2014，23】已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.【2013，23】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【2012，23】已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ。
2011—2017高考全国卷Ⅰ文科数学解析汇报几何总汇编
新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编解 析 几 何一、选择题【2017，5】已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则APF ∆的面积为（ ）A ．13 B ．12 C ．23 D ．32【解法】选D ．由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3PF =，又A 的坐标是(1,3)，故APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ．【2017，12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞【解法】选A ．图 1图 2解法一：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AM B ∠最大，依题意只需使0120AEB ∠≥．1．当03m <<时，如图1，0tantan 602AEB a b ∠==≥=1m ≤，故01m <≤；2． 当3m >时，如图2，0tantan 602AEB a b ∠==≥=9m ≥． 综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞，故选A ．解法二：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AM B ∠最大，依题意只需使0120AEB ∠≥．1．当03m <<时，如图1，01cos ,cos1202EA EB ≤=-，即12EA EB EA EB⋅≤-，带入向量坐标，解得1m ≤，故01m <≤；2． 当3m >时，如图2，01cos ,cos1202EA EB ≤=-，即12EA EB EA EB⋅≤-，带入向量坐标，解得9m ≥．综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞，故选A ．【2016，5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．12 C ．23D ．34解析：选B ． 由等面积法可得1112224bc a b ⨯=⨯⨯⨯，故12c a =，从而12c e a ==．故选B ． 【2015，5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C : y 2=8x ，的焦点重合，A ,B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=( )A ．3B ．6C ．9D ．12解：选B ．抛物线的焦点为(2,0)，准线为x =-2，所以c=2，从而a=4，所以b 2=12，所以椭圆方程为2211612x y +=，将x =-2代入解得y=±3，所以|AB |=6，故选B 【2014，10】10．已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A (x 0,y 0)是C 上一点，|AF |=054x ，则x 0=( )A A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解：根据抛物线的定义可知|AF |=001544x x +=，解之得x 0=1． 故选A 【2014，4】4．已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则a=( ) D A ．2 B ．26 C ．25 D ．1解：2c e a ====，解得a=1，故选D【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为2C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x解析：选C ．∵e =c a =，即2254c a =．∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =．∴12b a =．∵双曲线的渐近线方程为b y x a =±，∴渐近线方程为12y x =±．故选C ．【2013，8】O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝POF 的面积为( )．A ．2B ．．．4 答案：C解析：利用|PF |＝P x =x P ＝y P ＝±S △POF ＝12|OF |·|y P |＝ 故选C ．【2012，4】4．设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b+（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ．23C ．34D ．45【解析】如图所示，21F PF ∆是等腰三角形，212130F F P F PF ∠=∠=︒，212||||2F P F F c ==，260PF Q ∠=︒，230F PQ ∠=︒，2||F Q c =，又23||2a F Q c =-，所以32a c c -=，解得34c a =，因此34c e a ==，故选择C ． 【2012，10】10．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||AB =，则C 的实轴长为（ ）A B ．C ．4D ．8【解析】设等轴双曲线C 的方程为22221x y a a-=，即222x y a -=（0a >），抛物线216y x =的准线方程为4x =-，联立方程2224x y a x ⎧-=⎨=-⎩，解得2216y a =-，因为||AB =，所以222||(2||)448AB y y ===，从而212y =，所以21612a -=，24a =，2a =，因此C 的实轴长为24a =，故选择C ．【2011，4】椭圆221168x y +=的离心率为（ ）A ．13 B ．12 C．3 D．2【解析】选D ．因为221168x y +=中，2216,8a b ==，所以2228c a b =-=，所以42c e a ===． 【2011，9】已知直线l 过抛物线的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP △的面积为（ ）．A ．18B ．24C ．36D ．48【解析】不妨设抛物线的标准方程为()220y px p =>，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为2px =．代入22y px =得y p =±，即2AB p =，又12AB =，故6p =，所以抛物线的准线方程为3x =-，故1612362ABP S =⨯⨯=△．故选C ．二、填空题【2016，15】设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于,A B两点，若AB =C 的面积为 ．解析：4π．由题意直线即为20x y a -+=，圆的标准方程为()2222x y a a +-=+，所以圆心到直线的距离d =，所以AB===， 故2224a r +==，所以24S r =π=π．故填4π．【2015，16】已知F 是双曲线C :2218y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，A ，当ΔAPF 周长最小时，该三角形的面积为 ．解： a =1，b 2=8，⇒ c =3，∴F (3,0)．设双曲线的的左焦点为F 1，由双曲线定义知|PF |=2+|PF 1|，∴ΔAPF 的周长为|PA |+|PF |+|AF |=|PA |+|AF |+|PF 1|+2，由于|AF |是定值，只要|PA |+|PF1|最小，即A ,P ,F 1共线，∵A，F 1 (-3,0)，∴直线AF 1的方程为13x +=-，联立8x 2-y 2=8消去x 整理得y 2+-96=0，解得y=y =-舍去)，此时S ΔAPF =S ΔAFF 1-S ΔPFF13=⨯=三、解答题【2017，20】设A ，B 为曲线C ：42x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且BM AM ⊥，求直线AB 的方程． 解析：第一问：【解法1】设 1122(,),(,)A x y B x y ,AB 直线的斜率为k ，又因为A,B 都在曲线C 上，所以 4/211x y = ①4/222x y = ②②-①得2221122121()()44x x x x x x y y -+--==由已知条件124x x += 所以，21211y yx x -=-即直线AB 的斜率k=1．【解法2】设 ),(),,(2211y x B y x A ,AB 直线的方程为y=kx+b,所以⎩⎨⎧=+=4/2x y b kx y整理得：,4,044212k x x b kx x =+∴=--且421=+x x 所以k=1第二问：设 00(,)M x y 所以200/4y x =① 又12y x =所以00011,2,12k x x y ==∴== 所以M （2,1），11(2,1)MA x y =--，22(2,1)MB x y =--，且AM BM ⊥，0AM BM =即05)()(221212121=++-++-y y y y x x x x ②，设AB 直线的方程为y x b =+，,4/2⎩⎨⎧=+=x y bx y化简得0442=--b x x ，所以2212121,24,4b y y b y y b x x =+=+-=由②得0772=--b b 所以b=7或者b=-1(舍去) 所以AB 直线的方程为y=x+7【2016，20】在直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（1）求OH ON；（2）除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？请说明理由．解析 （1）如图，由题意不妨设0t >，可知点,,M P N 的坐标分别为()0,M t ，2,2t P t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,N t t p ⎛⎫⎪⎝⎭，从而可得直线ON 的方程为y x p t =，联立方程22p x ty px y ⎧==⎪⎨⎪⎩，解得22x t p =，2y t =． 即点H 的坐标为22,2t t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而由三角形相似可知22H N OH y tON y t ===．（2）由于()0,M t ，22,2t H t p ⎛⎫⎪⎝⎭，可得直线MH 的方程为22ty t x t p-=， 整理得2220ty px t --=，联立方程222202ty y px t px--==⎧⎪⎨⎪⎩，整理得22440ty y t -+=，则2216160t t ∆=-=，从而可知MH 和C 只有一个公共点H ．【2015，20】已知过点A (0, 1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x -2)2+(y -3)2=1交于M ,N 两点.(Ⅰ)求k 的取值范围； (Ⅱ)OM ON ⋅=12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解：(Ⅰ)依题可设直线l 的方程为y=kx +1，则圆心C (2,3)到的l 距离1d =<.k <. 所以k的取值范围是. (Ⅱ)将y=kx +1代入圆C 的方程整理得 (k 2+1)x 2-4(k +1)x +7=0.设M (x 1, y 1),N (x 2, y 2)，则1212224(1)7,.11k x x x x k k ++==++ 所以OM ON ⋅=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+1)(kx 2+1)=(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+124(+1)8+1k k k =+=12，解得k =1=1k ，所以l 的方程为y=x +1.故圆心在直线l 上，所以|MN |=2.【2013，21】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M＝1，解得k＝4±当k＝4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±， 所以|AB ||x 2－x 1|＝187.当k＝4-|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187.【2012，20】设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。
20112017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编11解析几何
年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编2011—2017 11．解析几何一、选择题2x21y??）的离心率的取值范围是（（2017·5）若a＞1，则双曲线2a）1，，2）2+?）（2，（（2）（，12 A. D. C. B.2 的准线，为C在Mx轴上方），的焦点F，l且斜率为的直线交C于点M（2017·12）过抛物线C：y（= 4x3则M到直线NF的距离为点N在l上且MN⊥l, D. C. A.B. 2253323k2）轴，则k =（>0)与C交于点P，PF⊥（2016·5）设F为抛物线C：y==4x 的焦点，曲线yx(k x31．C．A．1D．2 B22）（的圆心到直线2016·6）圆的距离为1，则a =（2201?ax?y?0??y13?2x?8xy?34 2 ．B．CDA．．3??43，，则外接圆的圆心到原点的距离为（）（2015·7）已知三点，)C(2,3ABC?)(1,A0)3B,(0455221 B.D.A.C.33332 = 3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A、yB两点，则|AB|=（）F（2014·10）设为抛物线C：3073 D．C．12 A ．B．6 322=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x的取值范围是（，若在圆O：x+y），（2014·12）设点M(x1)00 2211．A．B．DC．2]?[2,1,1][?]，[?]，[?222222yx(a?b?0)PF?FFF,F，的左、右焦点分别为上的点，是（2013·5）设椭圆C，P1C:??2122122ab，则C的离心率为（）30?PFF?213311D ．C．A ．B．36232=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点. 若|AF|=3|BF（2013·10）设抛物线C: y|，则l的方程为（）331x??y?1??yx．A．或或B ??y(x?1)y??1)(x33221)?y(x?1)y??(x?．或或CD．1)?x??3(y?x1)y?3(2222a3yx（2012·4）设F、F是椭圆E：(a>b>0)的左、右焦点，P为直线上一点，△FPF是底?x1??2112222ba）的离心率为（E的等腰三角形，则30°角为1234．C．A．D B．52342两点，，A，yB=16x的准线交于2012·10）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线（34AB|?|则C的实轴长为（）．C．4 A．BD．822222xy（2011·4）椭圆的离心率为（）1??1682311．DC ．A．．B 3232 （2011·9）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直. l与C交于A, B两点，|AB|=12，P为C?ABP的面积为（的准线上一点，则）A．18 B．24 C．36 D．48二、填空题1，则该双曲线的标准方程为，且渐近线方程为（2015·15）. 已知双曲线过点3)(4,xy??2三、解答题2x（2017·20）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x 轴的垂线，垂足为N，点P满21y??2uuuruuur NP?2NM足（1）求点P的轨迹方程；uuuruuur（2）设点Q在直线x=-3上，且.证明过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.1PQ?OP?22yx（2016·21）已知A是椭圆E:的左顶点，斜率为k (k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E 上，1??43MA⊥NA.（Ⅰ）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；3?k?2.时，证明：AN|=|AM||（Ⅱ）当．22yx2a b1??，）在C上>020（2015·）已知椭圆C：.）的离心率为，点（（2>222ab2（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A、B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.22yx（2014·20）设F，F分别是椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点，M是C上一点且MF与x轴1??221 22ab垂直，直线MF与C的另一个交点为N.13（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；4（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2且|MN|=5|FN|，求a，b.1xPy23. 在中，20（2013·）在平面直角坐标系xoy已知圆轴上截得线段长为在，轴上截得线段长为222PPPxy?的方程（Ⅱ）若（Ⅰ）求圆心的轨迹方程；点到直线，求圆.的距离为22=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，2012·（20）设抛物线C：xFA为半径的圆F交l于B，D两点.，24的方程；ABDF的面积为求p的值及圆BFD(Ｉ)若∠=90o，△（Ⅱ）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.2与坐标轴的交点都在圆C中，曲线上.2011·（20）在平面直角坐标系xOy1x?6x?y?（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线交与A，B两点，且，求a的值. 0??xya?OB?OA2文科数学试题分类汇编—2017年新课标全国卷2011 11．解析几何（解析版）一、选择题2211a1c?22?e?1?1???e2??1?1，故，则，因为a>1由题意（2017·5）C 解析：，所以2222aaaa C.选2xy4?21)??3(xMF：y解得联线知立得，，与（2017·12）C解析：由题意抛物03x??10x?31 (1,0)F1)??3(xNF：y?3)2M(3,3)1,2N(?，所以，因为所以，，所以，，因为lMN?3x?x?，213|3?2|3(3?1).所以M到NF的距离为213)?(?kk2?x?PF0)(ky??轴，所以交于点（2016·5）D解析：，又因为曲线P，与C(1,0)F，=2，所以k 1x D.故选1|??4|a4 A. ，解得圆心为（2016·6）A解析：，半径，所以，故选1??a?(1,4)2r?3221a?得DBDA=(1, b)，由B解析：圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，设圆心D（2015·7）213232222??()d?1??b1?(b?3)|b|?. ，所以圆心到原点的距离3333333?k?tan30?)?y?(x,0).(F，与抛AB又因为解析：由题意，得的方程为，故直线（2014·10）C343422xy=3,(x()Ax,y),By0?9x6?168x?1设义，联立得得，，，由抛物线定物线2211316812?x?x?p??AB?．，故选C2121622，=45°，使得∠+yOMN=1上存在点，∵点M（x1），∴若在圆O：xN（2014·12）A解析：由题意画出图形如图：0显然不满足题意，′，图中MMN=1，才能使得∠OMN=45°∴圆上的点到MN的距离的最大值为1，要使．1，1]轴时，满足题意，∴x的取值范围是[-当MN垂直x0342330F?FPF?F,?PF?c,PFcPF?2c tan30?.，所以（2013·5）D解析：因为又21212123331c363??a2cPF??PF?，所以D. ，即椭圆的离心率为，故选2133a332=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A(解析：抛物线yx，y)，B(x，y)，则C（2013·10）21211因为|AF|=3|BF|，所以x+1=3(x+1)，即x=3x+2，因为|y|=3|y|，x=9x，所以x=3，x=，当x=3时，1122221211131232?(B,A()3,23),,，，所以此时，若则此时,此时直线3??k23?2y?3?y?1212y?1AB1133123),2A(3,?3),B(,若. 此时方程为,，则此时直线方程为3??y?23k?1)?y3(x?AB133l 的方程是或所以，故选C.. 1)???3(3(?x?1)xxy?3(?1)y?y??PFA?60?，F解析：答案：4（2012·）C∵△是底角为30PF o的等腰三角形，12233||AF cc2F|?|PF|?|F，，，故选=C. ，∴?c??ea?2222124222a?yx?，将，设等轴双曲线方程为：代（2012·10）C解析：由题设知抛物线的准线为：4??4xx22?4a3216?a3|?4|AB ay??16?=2，∴，，∵，解得入等轴双曲线方程解得C的实轴长为4，故选C.∴22b1822c22D. ，故选4）D解析：，也可以用公式（2011·?e??，?e?1??1???e 2a1622a42（2011·9）C解析：易知2P=12，即AB=12，三角形的高是P=6，所以面积为36，故选C.二、填空题22xx122?m?y?y?1y??x，可设双曲线的方程为解析：根据双曲线渐近线方程为（2015·15），442(4,3)代入得m把=1.三、解答题2x（2017·20）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P 满21?y?2uuuruuur NP?2NM足（1）求点P的轨迹方程；uuuruuur（2）设点Q在直线x=-3上，且.证明过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.1OP?PQ?uuururuu??NMNP?2???)?2(0,yx?x,y)(,0))Ny(x)(Px,yM(x,，即，，，，2017·（20）解析：（1）设?xx???0x?x??2?x??222?2yx??1?y?P?，代入椭圆方程，∴点的轨迹方程，得到y????y2?y2y????2?22?2?yx. ruuu，)(m,nOP?则，t)，Qm，n)，(-3设为知（2）由题意,椭圆的左焦点F(-1，0)，P(rruuuuuuuruuruuuruuu221?n??3m?m?tn，，PF?(?1?m?n)，33,OQ?(-t)，PQ?(??m，t??OP?PQ1n)又得，由ruruuuruuuruuuuu222??nmPF0tn?OQ??OQ?PF3?3m?03+3m??tn P. ，即，故）知所以.又过点由（1. C的左焦点F存在唯一直线垂直于，所以过点P且垂直于OQ的直线l过22yx（2016·21）已知A是椭圆E:的左顶点，斜率为k (k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E 上，1??43MA⊥NA.（Ⅰ）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；3?k?2.时，证明：=|（Ⅱ）当|AM|AN|y?0.，则由题意知）解析：（Ⅰ）设由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为21（2016·)M(y,xAM111．22yx?22,0)?A(?12y?07y，解得代入得，因此直线的方程为，又.将1??2x?y?AM2?x?y 4341211212144120?y?AMN?y的面积或.因此. ，所以????S?2?yAMN?1727749722yx2222AM?12?0x?4k16)xk?16k(3?1??.代入的方程由（Ⅱ）将直线得0)y?k(x?2)(k?43222k121?)k2(3?412k?162?2|k|x?|AM|?1?. 得，故?x??2)x?(111222k43?k43?4k3?2k?12k112|AM|?|AN|得由，故同理可得由题设，直线的方程为.AN?|AN|2)?xy??(2k?34k2k32，即. 08??3k?4k?6k?k2322f()t)f(t8f(t)?4tt?6t??30?3?3(2t?f'(t)?12t1)?12t?在设是的零点，，则，所以(0,??)单调递22k?k343?4增，k)f(t)(0,??在在有唯一的零点，且零点又，因此内，所06?0,?26?f(2)?f(3)?1533,2)(以.2?3?k22yx2a b1??，）在C上已知椭圆C：）的离心率为，点（（2>.>0（2015·20）222ab2（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A、B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.2222?b4a221?,??4?8,ba?（Ⅰ）由题意有解析：（2015·20），解得. 所以C的方程为22a2ab22yx??1.84l:y?kx?b(k?0,b?0),A(x,y),B(x,y),M(x,y).（Ⅱ）设直线M212M122yx2221???8?04kbx?(2k2?1)xb?b?y?kx，代入将得84x?x?2kbb y112?,y?kx?x?b?M??k?，，于是直线OM的斜率故MMM OM2222k?12k?1k2x M1k?k??，所以直线OM的斜率与直线l即的斜率的乘积为定值. OM222yx（2014·20）设F，F分别是椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点，M是C上一点且MF与x轴1??221 22ab垂直，直线MF与C的另一个交点为N.13（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；4．.b，求a，MN|=5|FN|y（Ⅱ）若直线MN在轴上的截距为2且|122bb，即x=c时，，M的横坐标为c，当解析：∵M是C上一点且MF与x轴垂直，∴（2014·20）)(c，M?y2aa2233abb3222c??ac?ab?F??tan?MF，即若直线MN的斜率为，则，21242c2ac431112220ac??ac??3e?2e2?0e?，故椭圆C，则的离心率为，解得．亦即22222b?4，（Ⅱ）由题意，原点O是FF的中点，则直线MF与y轴的交点D（0，2）是线段MF 的中点，故111242(?c?x)?c?12=4a，由|MN|=5|FN|，解得|DF|=2|FN|即b，设N（x，y），由题意知y＜0，则，即?111111?2y?2?13?x??c22?4a9(a)11c9?12??1??12，，a=7 ，将b=4，代入椭圆方程得a代入得解得7b?2?.2224ab4a4a?y?1?1xPy23. 在轴上截得线段长为，轴上截得线段长为在（2013·20）在平面直角坐标系xoy中，已知圆22P的轨迹方程；（Ⅰ）求圆心2PPxy?的方程的距离为.点到直线，求圆（Ⅱ）若2222222 +2=x. 由题设y从而+2=ry，x+3. +3=rP（2013·20）解析：（Ⅰ）设(x，y)，圆P的半径为r.22=1. -故P点的轨迹方程为yx|x?y|?1?|y|x?20022. 又P点在双曲线y-x=1)（Ⅱ）设P(x，y 上，从而得．由已知得. 由00??0022y?x?122?10x?y?1x?0??000r?3. 的半径P，得. 此时，圆??22y?x?1y??1??000x?y??1x?0??000r?3. 的半径此时，圆由，得. P??22y?x?1y?1??0002222=3. y=3或x+1)故圆P的方程为x1)+(y-+(2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，F（2012·20）设抛物线C：xA为半径的圆F交l于B，D两点.，24的方程；F o，△ABD求的面积为p的值及圆若∠(Ｉ)BFD=90（Ⅱ）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值. rr p，EFD|=FB，|FA|=|的半径为轴的焦点为（Ⅰ）设准线2012·（20）解析：l于yE，圆FFE，则||=|=|0∴，点，∵，BD是的中90??BFDp2D||F?A|F||B=F?|p y?yxp224∴∵的面线定义得，|FA|=积|BD|=，为，设A(，，)，根据抛物ABD?000211p S p2242p?2?2|(y?p)|BD的方程为：|=，∴圆，解得，∴=2=F(0,1), =|FAF=ABD?0222228?1)?x?(y.0FFABAB90??ADBm，由抛物三点在同一条直线是圆上1（Ⅱ）【方法】∵, ，∴，的直径，331030?ABD?m m?|AB|||?|FA|AD线定义知或－，∴直线的方程为：，∴的斜率为，∴332333p d mb?xp?yy??x??n，代入，设直线=，∴原点到直线的距离的方程为：133243222pyx2?C n0x?2pbx??，∵得，只有一个公共点，与3p4p32?08pb?b?p?n?y??x?n的距离的方程为：，∴，∴原点到直线∴，∴直线=6363333d nmp3p:p?.=距离的比值为，∴坐标原点到，2121242p x)F(0,0,A()(x?0)x BA,F】由对称性设对称得：，点，则【方法2关于点00p2222p3xxp22)(3p,A00p?x?3B(?x,p?)?p???得，0022p2p2p3p?pp322?m3?y?:y?x?0?x直线，22p323xx3p3p2??p???x?x?2py?y??y(,)P切点，63332pp33pp3?:yy?p?0n?(x?)?x?3直线，6633 p3p33:?nm,.距离的比值为坐标原点到622.中，曲线）在平面直角坐标系xOy上与坐标轴的交点都在圆C（2011·201xy?x??6 的方程；（Ⅰ）求圆C.的值，B两点，且，求a（Ⅱ）若圆C与直线交与A0?x?y?aOB?OA2，故可设圆的圆心坐标为（Ⅰ）曲线）与坐标轴的交点为（0,1（2011·20）解析：）023?2,（1xy???6x222222，所以圆的方程为）则有，解得t，t=1，则圆的半径为（3t22)31?(t?)??(3??13)?(t22?)9y?x?3)1?((.x?y?a?0?（Ⅱ）设A(x, y)，B(x, y)坐标满足方程组，消去y得到方程?211222(x?3)?(y?1)?9?22201??2a82a?)x?a2x??(>0，由韦达定-4a理可得-知，由已可得判别式△=5616a2?2a?1a xx?yy?0a4??xx??xx，OA①，由，⊥OB，可得2211212122y?x?ay?x?a2xx?a(x?x)?a?0②，由①②可得a，所以=-1，满足△>0，故a=又-1. 22112211。
2011-2017高考全国卷解析几何试题(文科)
2011年-2015年高考全国课标卷解析几何试题〔文科〕1.【2017全国1，文5】F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，那么△APF 的面积为〔 〕 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 22.【2017课标II ，文5】假设1a >，那么双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是( )A. (2,)+∞B. (2,2)C. (1,2)D. (1,2)4.【2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M 〔M 在x 轴上方〕，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,那么M 到直线NF 的距离为( ) A.5 B.22 C. 23 D. 335.【2017课标1，文12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，假设C 上存在点M 满足∠AMB =120°，那么m 的取值范围是( ) A ．(0,1][9,)+∞B ．(0,3][9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．(0,3][4,)+∞6.【2017课标3，文11】椭圆C ：22221x y a b+=，〔a >b >0〕的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，那么C 的离心率为〔 〕A ．63B ．33C ．23D ．1311.【2017课标3，文14】双曲线22219x y a -=〔a >0〕的一条渐近线方程为35y x =，那么a = . 14.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．〔1〕求直线AB 的斜率；〔2〕设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．15.【2017课标II ，文20】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.16.【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答以下问题：〔1〕能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由； 〔2〕证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.1、〔2016年全国I 卷高考〕直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，假设椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，那么该椭圆的离心率为 〔 〕 〔A 〕13 〔B 〕 12 〔C 〕23 〔D 〕346、〔2016年全国II 卷〕设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx〔k >0〕与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，那么k =〔 〕 〔A 〕12 〔B 〕1 〔C 〕32〔D 〕27、〔2016年全国III 卷高考〕O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .假设直线BM 经过OE 的中点，那么C 的离心率为〔 〕〔A 〕13〔B 〕12〔C 〕23〔D 〕344、〔2016年全国I 卷高考〕设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，假设，那么圆C 的面积为 .5、〔2016年全国III 卷高考〕直线l ：360x -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，那么||CD =_____________.7、〔2016年全国I 卷高考〕在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . 〔I 〕求OH ON；〔II 〕除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.8、〔2016年全国II 卷高考〕A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥. 〔Ⅰ〕当AM AN =时，求AMN ∆的面积；〔Ⅱ〕当AM AN =32k <<.9、〔2016年全国III 卷高考〕抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．〔I 〕假设F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；〔II 〕假设PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.2011年 4．椭圆221168x y +=的离心率为〔 〕〔A 〕 13 〔B 〕 12〔C 〕3 〔D 〕220．〔本小题总分值12分〕在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．〔I 〕求圆C 的方程；〔II 〕假设圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．23．〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数〕，M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ． 〔I 〕求2C 的方程；〔II 〕在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C的异于极点的交点为B ，求|AB|．2012年 4．设12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，那么E 的离心率为〔 〕()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 4510．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =那么C 的实轴长为〔 〕()A ()B ()C 4 ()D 8 20．〔本小题总分值12分〕设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点．〔I 〕假设∠90BFD =,△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；〔II 〕假设A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．23．(本小题总分值10分)选修4—4；坐标系与参数方程 曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3) (Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA|2+ |PB|2 + |PC|2+ |PD|2的取值范围．2013年(新课标Ⅰ卷)4. 双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为25，那么C 的渐近线方程为( )〔A 〕x y 41±= 〔B 〕 x y 31±= 〔C 〕 x y 21±= 〔D 〕x y ±=8. O 为坐标原点，F 为抛物线C ：x y 242=的焦点，P 为C 上一点，假设24||=PF ，那么△POF的面积为〔 〕〔A 〕2 〔B 〕22〔C 〕32〔D 〕421．(本小题总分值12分)圆M ：1)1(22=++y x ,圆N ：9)1(22=+-y x ,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .〔Ⅰ〕求C 的方程；〔Ⅱ〕l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长是，求||AB .23．〔本小题10分〕选修4—4：坐标系与参数方程曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty t x sin 55cos 54 ，〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θρsin 2=.〔Ⅰ〕把C 1的参数方程化为极坐标方程；〔Ⅱ〕求C 1与C 2交点的极坐标〔ρ≥0,0≤θ＜2π〕．2013年(新课标Ⅱ卷)5．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>)的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，那么C 的离心率为( )〔A 〕36 〔B 〕13 .〔C 〕12 〔D 〕3310．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．假设|AF |＝3|BF |，那么l 的方程为( )〔A 〕y ＝x －1或y ＝－x ＋1 〔B 〕y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1)〔C 〕y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1) 〔D 〕y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1)20．(本小题总分值12分)在平面直角坐标系xOy 中，圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.〔I 〕求圆心P 的轨迹方程； 〔II 〕假设P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．23．〔本小题总分值10分〕选修4——4；坐标系与参数方程动点P Q 、都在曲线2cos ,:2sin x t C y t=⎧⎨=⎩〔t 为参数〕上，对应参数分别为t=α与t=2α〔02απ<<〕，M 为PQ 的中点．〔Ⅰ〕求M 的轨迹的参数方程；〔Ⅱ〕将M 到坐标原点的距离d 表示为a 的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．2014年(新课标Ⅰ卷)4.双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，那么=a 〔 〕 〔A 〕 2 〔B 〕 26 〔C 〕 25〔D 〕 110.抛物线C ：2y x =的焦点为F ,00(,)A x y 是C 上一点，054AF x =，那么0x =〔 〕〔A 〕 1 〔B 〕 2 〔C 〕 4 〔D 〕 8 20.〔本小题总分值12分〕点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.〔I 〕求M 的轨迹方程；〔II 〕当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积．23.〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=ty t x l 222:〔t 为参数〕 （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.2014年〔新课标卷Ⅱ〕10．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，那么│AB │＝〔 〕 〔A 〕330〔B 〕6 〔C 〕12 〔D 〕73 12．设点M 〔x 0，1〕，假设在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，那么x 0的取值范围是〔 〕 〔A 〕［－1，1］ 〔B 〕［－21，21］ 〔C 〕［－2，2］ 〔D 〕［－22，22］20．〔本小题总分值12分〕设F 1，F 2分别是椭圆C ：22ax ＋22b y ＝1〔a ＞b ＞0〕的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ．〔Ⅰ〕假设直线MN 的斜率为43，求C 的离心率；〔Ⅱ〕假设直线MN 在y 轴上的截距为2，且│MN │＝5│F 1N │，求a ，b ．23．〔本小题总分值10〕选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈［0，2π］．〔Ⅰ〕求C 的参数方程； 〔Ⅱ〕设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据〔Ⅰ〕中你得到的参数方程，确定D 的坐标．2015年(新课标Ⅰ卷)5．椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，那么AB = 〔 〕〔A 〕 3 〔B 〕6 〔C 〕9 〔D 〕1216．F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ． 20. 〔本小题总分值12分〕过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.〔I 〕求k 的取值范围； 〔II 〕假设12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .23. 〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.〔I 〕求12,C C 的极坐标方程.〔II 〕假设直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.2015年(新课标Ⅱ卷)7.三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，那么ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为〔 〕 〔A 〕35 〔B 〕321 〔C 〕 352 〔D 〕34 15.双曲线过点)3,4(，且渐近线方程为x y 21±=，那么该双曲线的标准方程为 .20、椭圆C ：22221x y a b+=〔0a b >>〕的离心率为2，点(2,在C 上. （I ） 求C 的方程.（II ） 直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.23．〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩〔t 为参数，t ≠0〕其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=.(Ⅰ).求C 2与C 3交点的直角坐标；(Ⅱ).假设C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.。
2017高考试题分类汇编之解析几何和圆锥曲线文科(word-解析版)
2017年高考试题分类汇编之解析几何（文）、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题冃要求的）PF 与x 轴垂直，设(2, y ), y >0,则y=3, 则 P (2, 3), ••• AP I PF,则丨 AP I =1,1 PF I =3,•••△ APF 的面积 S= X| AP |X| PF I 三；,22同理当y v 0时，则△ APF 的面积S=；,2【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题.22. （2017课标II 文）若a 1，则双曲线 —-y^1的离心率的取值范围是（）aA.（迈B. C ，2, 2）C.（1r . 2）D. （1 , 2）【分析】利用双曲线方程，求出a , c 然后求解双曲线的离心率的范围即可.的坐标是 （1,3），则：APF 的面积为（)"11 2A.-B.二c.―3232【解解：由双曲线C : X 2- ’ =1的右焦点F (2 ,0),3D-221.（ 2017课表I 文）已知F 是双曲线C ：X 2-’1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与X 轴垂直，点A 32【解答】解：a > 1,则双曲线二-y 2=1的离心率为:a故选：C.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.2 23. （2017浙江）椭圆 -y1的离心率是（94)A.远B.W2 C.- 5D.—3339【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可.2 2【解答】解：椭圆<-+[ =1,可得a=3, b=2，则c=J 」"=",94所以椭圆的离心率为：’=•.a 3故选：B.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力.4. （ 2017课标II 文）过抛物线C : y 2 =4x 的焦点F ,且斜率为•、、3的直线交C 于点M （ M 在x 轴上方），I 为C 的准线，点N 在I 上且MN _ I ,则M 至煩线NF 的距离为（【分析】利用已知条件求出M 的坐标，求出N 的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可. 【解答】解：抛物线C ： f=4x 的焦点F （1, 0）,且斜率为亦的直线：y=^ （x - 1）, 过抛物线C ： y 2=4x的焦点F ,且斜率为二的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），1可得N (- 1, 2徒),NF 的方程为：y=-J§ (x - 1),即冋+厂后 0 , ^^=2 二. 故选：C.A. ,5 C.2.3 D. 3 3则M 到直线NF 的距离为: 可知:「「解得M （3,2»【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力.2 25.（2017课标I 文）设代B 是椭圆C :―— =1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足.AMB =120°，3 m则m 的取值范围是（由要使椭圆C 上存在点 M 满足/ AMB=120，Z AMB > 120°,/AMO >60°当假设椭圆的焦点在x 轴上，tan / AMO^2>tan60 °当即可求得椭圆的焦点在 y 轴上时， m >3, tan / AMO= 7 >tan60 =「；，即可求得 m 的取值范围.V3 【解答】解：假设椭圆的焦点在x 轴上，则0v m v 3时，假设M 位于短轴的端点时，/ AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足/ AMB=120 ,/ AMB > 120°,/ AMO >60°, tan / AMO=^1 >tan60 =二,当椭圆的焦点在y 轴上时，m > 3,假设M 位于短轴的端点时，/ AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足/ AMB=120 , / AMB > 120°, / AMO >60° tan / AMO 卫>tan60 °兀，解得：m >9,V3 •••m 的取值范围是（0， 1] U [9， 故选A.A.（0,1]U[9,B.（0, ..3]U[9,：：）C.（0,1] [4,D.（0,、3U[4, •二）【分析】分类讨论,【点评】本题考查椭圆的标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结合思 想的应用，考查计算能力，属于中档题.2 2X y6.（ 2017课标III 文）已知椭圆C:二 2=1（a ・0），的左、右顶点分别为A I ,A 2，且以线段AA 2为a b直径的圆与直线 bx-ay ，2ab=0相切，则C 的离心率为（）A 邑B 二C 迈33 3【分析】以线段RA 2为直径的圆与直线bx - ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离【解答】解：以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx- ay+2ab=0相切, •I 原点到直线的距离: ▼=&，化为：a 2 =3b 2.Va 2 + b 2故选：A .【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式, 考查D-3化简即可得出.了推理能力与计算能力，属于中档题.2 27.（2017天津文）已知双曲线笃-与=1（a . 0,b . 0）的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，.9AF a b是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）2 2 2 2 2 2A△丄=1 B△丄=1 C.X__y2=1 D.x2丄=14 12 12 4 3 3【分析】利用三角形是正三角形，推出a, b关系，通过c=2,求解a, b,然后等到双曲线的方程.2 2【解答】解：双曲线二-二=1 （a>0, b>0）的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上，△ a2 b? OAF是边长为2的等边三角形（O为原点）,2 2 2可得c=2,亠飞为，即,—>,a a /2解得a=1, b=二，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：「--.故选：D.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）28. （2017天津文）设抛物线y =4x的焦点为F ,准线为I.已知点C在I上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点 A.若Z FAC =120支，则圆的方程为_________________________________ .【分析】根据题意可得F （- 1, 0）, / FAO=30, OA=_马一=1,由此求得OA的值，可得tanZFAO 圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C方程.【解答】解：设抛物线y2=4x的焦点为F （1, 0）,准线l：x=- 1,v点C在I上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A,vZ FAC=120, •••/FAO=30,：OA= - =1 , A OA^ ,：A （0,二），如图所示：V••• C （- 1,二），圆的半径为CA=1 ,故要求的圆的标准方程为T,_ 一］故答案为：（x+1）2+ 一：・=1.【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物线的简单几何性质，属于中档题.29. （2017北京文）若双曲线X2—厶=1的离心率为J3，则实数m= ____________________m【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m即可.【解答】解：双曲线x2-——=1 （m>0）的离心率为-，m可得：丄| -.：，解得m=2.故答案为：2.【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力.2 2x y10. （2017山东文）在平面直角坐标系xOy中，双曲线二2=1（a 0，b 0）的右支与焦点为F的抛a b物线x2 =2py（p>0）交于A, B两点若AF|+|BF =4OF，则该双曲线的渐近线方程为_________________2 2【分析】把x2=2py （p>0）代入双曲线与」$=1 （a>0，b> 0），可得：a2y2- 2pb2y+a2b2=0，a2 b2利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出.2 2【解答】解：把x2=2py （p>0）代入双曲线———=1 （a>0，b>0），a b可得：a2y2- 2pb2y+a2b2=0，• • y A+y B —，T | AF|+| BF| =4| 0F|，二 y A +y B +2XlL =4XlL,2 2=p , 声P ， • h 二— • .1 '•该双曲线的渐近线方程为：y=± - x .2 故答案为：y=±-x. 2【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的 关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.2 211. (2017课标III 文)双曲线 冷-丫 1 (a 0)的一条渐近线方程为 a9【分析】利用双曲线方程，求出渐近线方程，求解 a 即可.2 2【解答】解：双曲线厂-(a > 0)的一条渐近线方程为y=；x ,(9 5可得丄-丄，解得a=5.a 5 故答案为：5.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.2 x12(2017江苏)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 一 -y =1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q3 其焦点是F 1，F 2 ,则四边形F 1PF 2Q 的面积是【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到 P ，Q 坐标，求出焦点坐标，然后求解 四边形的面积.2【解答】解：双曲线匚-『=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y= 土』x ， ，Q 务-3 "5x ，则a -所以P ([,，F 1 (- 2, 0). F 2 (2, 0).则四边形F1PF2Q的面积是：=2「.■W故答案为：2二.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.2 2 r r13. (2017江苏)在平面直角坐标系xOy中，A(-12,0), B(0,6),点P在圆O: x y =50上，若PA PB < 20, 则点P的横坐标的取值范围是_________________________________ .【分析】根据题意，设P(X o，y o)，由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x o+y o+5<0,分析可得其表示表示直线2x+y+5<0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案.【解答】解：根据题意，设P (X0, y0),则有X02+y02=50,b■ 2 2"=(-12 - X0，—y0) ? ( —X0，6 - y0) = (12+X0)X0 - y。
2011-2017全国1卷分类汇编 解析几何
2011-2017全国卷分类汇编——解析几何【2011年全国】（21）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=(Ⅰ)证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.【2012年全国】（20）（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点。
（Ⅰ）若90BFD ∠=，ABD ∆的面积为求p 的值及圆F 的方程；（Ⅱ）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值。
【2013年全国】(20)(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2=1，圆N ：(x －1)2＋y 2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.【2014年全国】20. (本小题满分12分) 已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.【2015年全国】（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =24x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点， （Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由。
专题05 解析几何-2017年高考数学(文)试题分项版解析(附解析)$793250
专题05 解析几何-2017年高考数学（文）试题分项版解析1.【2017课表1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D 【解析】【考点】双曲线【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得)0,2(F ，结合PF 与x 轴垂直，可得3||=PF ，最后由点A 的坐标是(1，3)，计算△APF 的面积．2.【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. )+∞B.C.D. (1,2) 【答案】C【解析】由题意222222111c a e a a a +===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e <<故选C.【考点】双曲线离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A B C ．23D ．59【答案】B 【解析】试题分析：e ==，选B ． 【考点】 椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于c b a ,,的方程或不等式，再根据c b a ,,的关系消掉b 得到c a ,的关系式，建立关于c b a ,,的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．4.【2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F ，C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为B. C. D. 【答案】C【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.5.【2017课标1，文12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞【答案】A 【解析】试题分析：当03m <<，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603ab≥=≥01m <≤；当3m >，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan603ab ≥=≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)⋃+∞，选A ． 【考点】椭圆【名师点睛】本题设置的是一道以椭圆的知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定b a ,的关系，求解时充分借助题设条件 120=∠AMB 转化为360tan =≥ ba，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．6.【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A B C D ．13【答案】A【考点】椭圆离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7.【2017天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）2213y x -=【答案】D 【解析】试题分析：由题意结合双曲线的渐近线方程可得：22202tan 60c c a bba ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3a b ==， 双曲线方程为：2213y x -=，本题选择D 选项. 学#科网 【考点】双曲线方程【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意a 、b 、c 的关系222c a b =+，否则很容易出现错误．解本题首先画图，掌握题中所给的几何关系，再结合双曲线的一些几何性质，得到,,a b c 的关系，联立方程，求得,,a b c 的值，8.【2017天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，学 科&网准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 .【答案】22(1)(1x y ++= 【解析】【考点】1.抛物线的方程；2.圆的方程.【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆，抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是0120CAF ∠=，会不会用向量的坐标表示cos CAF ∠，根据图象，可设圆心为()1,C m -，那么方程就是()()2211x y m ++-=，若能用向量的坐标表示角，即可求得m ，问题也就迎刃而解了.9.【2017北京，文10】若双曲线221y x m-=m =__________．【答案】2 【解析】试题分析：221,a b m == ，所以c a ==，解得2m = . 【考点】双曲线的方程和几何性质【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意a 、b 、c 的关系222c a b =+，否则很容易出现错误．以及当焦点在x 轴时，哪些量表示22,a b ，根据离心率的公式计算.10.【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>， 的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】2y x =± 【解析】【考点】抛物线的定义与性质、双曲线的几何性质【名师点睛】若AB 是抛物线()220y px p =>的焦点弦,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)．则(1)y 1y 2＝－p 2,x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p.(4)以AB 为直径的圆与准线相切．(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．11.【2017课标3，文14】双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a = . 【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：3y x a=± ，结合题意可得：5a =.学%科网【考点】双曲线渐近线【名师点睛】1.已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线：22220x y by x a b a -=⇒=±2.已知渐近线y mx = 设双曲线标准方程222m x y λ-=3.双曲线焦点到渐近线距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.12.【2017江苏，8】 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ .【答案】【考点】双曲线渐近线【名师点睛】1.已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线：22220x y by x a b a -=⇒=±2.已知渐近线y mx = 设双曲线标准方程222m x y λ-=3，双曲线焦点到渐近线距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.13.【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .【答案】[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧AB 上,结合限制条件x -≤≤，可得点P 横坐标的取值范围为[-.【考点】直线与圆，线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【答案】（1）1； （2）7y x =+． 【解析】将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=．当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,22x =±从而12||AB x x -=．由题设知||2||AB MN =，即2(1)m +，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+．学&科网 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．15.【2017课标II ，文20】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 上，过M 作x轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM = (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程，（2）证明直线过定点问题，一般方法以算代证：即证，先设 P （m ，n ），则需证330m tn +-=，根据条件1OP PQ ⋅=可得2231m m tn n --+-=，而，代入即得330m tn +-=.（2）由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则，.由得2231m m tn n --+-=，又由（1）知，故330m tn +-=.所以，即.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F【考点】求轨迹方程，直线与椭圆位置关系【名师点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.16.【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.【答案】（1）不会；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）设()()12,0,,0A x B x ，由AC ⊥BC 得1210x x +=；由韦达定理得122x x =-，矛盾，所以不存在（2）可设圆方程为2220x y mx Ey +++-=,因为过(0,1)，所以1E = ，令0x = 得22012y y y y +-=⇒==-或，即弦长为3.令0x =得121,2y y ==-，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为()123--=，所以所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值 解法2：设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ，由122x x =-可知原点O 在圆内，由相交弦定理可得122OD OC OA OB x x ===， 又1OC =，所以2OD =，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为3OC OD +=，为定值. 【考点】圆一般方程，圆弦长【名师点睛】：直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：12|||AB x x =-= (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．学科#网17.【2017山东，文21】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,圆N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与圆N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.【答案】(Ⅰ)22142x y +=;(Ⅱ)EDF ∠的最小值为π2. 【解析】222(21)4240k x kx m +++-=,确定222(,)2121km m D k k -++,DN =所以2sin 2ON FDN DN∠==≥,由此可得FDN ∠的最小值为π,4EDF ∠的最小值为π2.（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ， 联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩ 得222(21)4240k x kmx m +++-=， 由0∆> 得2242m k <+ （*）且122421kmx x k +=+ ，因此122221my y k +=+ ，所以222(,)2121km mD k k -++ ， 又(0,)N m - ， 所以222222()()2121km mND m k k =-++++ 整理得：2242224(13)(21)m k k ND k ++=+ ，因为NF m =所以2422222224(31)831(21)(21)NDk k k k k NF+++==+++ 令283,3t k t =+≥故21214t k ++=所以222161611(1)2ND t t NFt t=+=++++ . 令1y t t=+ ，所以211y t '=- . 当3t ≥时，0y '>,设2EDF θ∠=， 则1sin 2NF NDθ=≥， 所以θ得最小值为6π. 从而EDF ∠的最小值为3π，此时直线l 的斜率时0. 综上所述：当0k =，(m ∈⋃时，EDF ∠取得最小值为3π.学科%网 【考点】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．常见解法：①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决；②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．18.【2017天津，文20】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b .（I ）求椭圆的离心率；（II ）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c . （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程.【答案】（Ⅰ）12 （Ⅱ）（ⅰ）34 （ⅱ）2211612x y += 【解析】试题解析：（Ⅰ）解：设椭圆的离心率为e .由已知，可得21()22b c a c +=.又由222b ac =-，可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=.又因为01e <<，解得12e =. 所以，椭圆的离心率为12. （Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =->，则直线FP 的斜率为1m. 由（Ⅰ）知2a c =，可得直线AE 的方程为12x yc c+=，即220x y c +-=，与直线FP 的方程联立，可解得(22)3,22m c c x y m m -==++，即点Q 的坐标为(22)3(,)22m c cm m -++. 由已知|FQ |=32c ，有222(22)33[]()()222m c c c c m m -++=++，整理得2340m m -=，所以43m =，即直线FP 的斜率为34.【考点】1.椭圆方程；2.椭圆的几何性质；3.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用,,,a b c e的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再求解过程逐步发现四边形PQNM的几何关系，从而求解面积，计算结果，本题计算量比较大，19.【2017北京，文19】已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM 的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．【答案】（Ⅰ）2214xy+=；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据条件可知2,c a a ==，以及222b a c =- ，求得椭圆方程；（Ⅱ）设(,)M m n ，则(,0),(,)D m N m n -，根据条件求直线DE 的方程，并且表示直线BN 的方程，并求两条直线的交点，根据1212EBDEBDNN BD y S S BD y ∆∆⋅⋅=⋅⋅ ，根据坐标表示面积比值. 试题解析：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>.由题意得2,a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩解得c =所以2221b a c =-=.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.由点M 在椭圆C 上，得2244m n -=.所以45E y n =-. 又12||||||||25BDE E S BD y BD n =⋅=⋅△，1||||2BDN S BD n =⋅△，所以BDE △与BDN △的面积之比为4:5. 【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再根据面积的几何关系，从而求解面积比值，计算结果，本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 学科*网20.【2017江苏，17】 如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作 直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l . （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）()77（2）由（1）知，1(1,0)F -，2(1,0)F .设00(,)P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>.(第17题)当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符.当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为01y x -.又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=.由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得00,77x y ==；220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解. 因此点P的坐标为.【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上则点的坐标满足曲线方程.21.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点)2321)(,(<<-x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PQ PA ⋅的最大值． 【答案】（Ⅰ）)1,1(-；（Ⅱ）2716【解析】试题分析：（Ⅰ）由两点求斜率公式可得AP 的斜率为21-x ，由1322x -<<，得AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程，得Q 的横坐标，进而表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3)1)(1()(+--=k k k f 求解||||PQ PA ⋅的最大值．学*科网解得点Q 的横坐标是)1(23422+++-=k k k x Q ，因为|P A |=1)2x +=)1(12++k k |PQ |=1)1)(1()(1222++--=-+k k k x x k Q ，所以|P A ||PQ |=3)1)(1(+--k k令3)1)(1()(+--=k k k f ，因为2)1)(24()('+--=k k k f ，所以 f (k )在区间)21,1(-上单调递增，)1,21(上单调递减，因此当k =12时，||||PQ PA ⋅取得最大值2716． 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3)1)(1()(+--=k k k f 求解||||PQ PA ⋅的最大值．。
17年高考真题—文科数学5：解析几何
2017高考真题分类汇编：解析几何1.【2017浙江 2】椭圆22194x y +=的离心率是（ ）（A （B （C ）23 （D ）52.【2017课标I 5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是()1,3，则APF ∆的面积为（ ）（A ）1 （B ）12 （C ）2 （D ）323.【2017课标II 5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是（ ）（A ）)+∞ （B ）) （C ）( （D ）()1,24.【2017天津 5】已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）（A ）221412x y -= （B ）221124x y -= （C ）2213x y -= （D ）2213y x -= 5.【2017课标III 11】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．136.【2017课标II 12】过抛物线2:4C y x =的焦点F C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为（ ）（A （B ） （C ） （D ）7.【2017课标I 12】设,A B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足0120AMB ∠=，则m 的取值范围是（ ）（A ）(][)0,19,+∞ （B ）([)9,+∞ （C ）(][)0,14,+∞ （D ）([)4,+∞8.【2017江苏 8】 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点,P Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是__________。
2011-2017全国1卷分类汇编 解析几何
2011-2017全国卷分类汇编——解析几何【2011年全国】（21）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=(Ⅰ)证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.【2012年全国】（20）（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点。
（Ⅰ）若90BFD ∠=，ABD ∆的面积为求p 的值及圆F 的方程；（Ⅱ）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值。
【2013年全国】(20)(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2=1，圆N ：(x －1)2＋y 2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.【2014年全国】20. (本小题满分12分) 已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.【2015年全国】（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =24x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点， （Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由。
2011—2017年高考全国卷Ⅰ文科数学三角函数、解三角形汇编
新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编三角函数、解三角形一、选择题【2017，11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，2，则C=( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【2016，4】ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,．已知5a =2c =，2cos 3A =，则b =（ ） A ．2 B3 C ．2 D ．3【2016，6】若将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（ ）． A ．π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【2015，8】函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈ 【2014，7】在函数① y=cos|2x|，②y=|cos x |，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③【2014，2】若tan 0α>，则（ ）A ． sin 0α>B ． cos 0α>C ． sin 20α>D ． cos20α>【2013，10】已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5 【2012，9】9．已知0ω>，0ϕπ<<，直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（ ） A ．4π B ．3π C ．2πD ．34π 【2011，7】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ）．A ．45-B ．35-C ．35D ．45【2011，11】设函数ππ()sin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 （ ） A ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π4x =对称 B ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π2x =对称 C ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π4x =对称 D ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π2x =对称 二、填空题【2017，15】已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 【2016，】14．已知θ是第四象限角，且π3sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 【2013，16】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______．【2014，16】如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角 45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒． 已知山高100BC m =，则山高MN = m ． 【2011，15】ABC △中，120B =，7AC =，5AB =，则ABC △的面积为 ． 三、解答题【2015，17】已知,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos B ；（2）设90B ∠=，且2a =ABC △的面积．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，3sin cos c a C c A =-．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC 3，求b ，c ．解 析一、选择题【2017，11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，2，则C=( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【解法】解法一：因为sin sin (sin cos )0B A C C +-=，sin sin()B A C =+，所以sin (sin cos )0C A A +=，又sin 0C >，所以sin cos A A =-，tan 1A =-，又0A π<<，所以34A π=，又a =2，c 222=即1sin 2C =．又02C π<<，所以6C π=，故选B ．解法二：由解法一知sin cos 0A A +=2)04A π+=，又0A π<<，所以34A π=．下同解法一．【2016，4】ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,．已知5a =2c =，2cos 3A =，则b =（ ） A ．2 B3 C ．2 D ．3解析：选D ．由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=，即245243b b +-=， 整理得()28113033b b b b ⎛⎫--=-+= ⎪⎝⎭，解得3b =．故选D ． 【2016，6】若将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（ ）． A ．π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解析：选D ．将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期，即向右平移π4个单位， 故所得图像对应的函数为ππ2sin 246y x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选D ． 【2015，8】函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈ 解：选D ．依图，153++4242ππωϕωϕ==且，解得ω=π，=4πϕ， ()cos()4f x x ππ∴=+， 224k x k πππππ<+<+由，，解得132244k x k -<<+，故选D ． 【2014，7】在函数① y=cos|2x|，②y=|cos x |，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解：选A ．由cos y x =是偶函数可知①y=cos|2x|=cos2x ，最小正周期为π；②y=|cos x |的最小正周期也是π；③中函数最小正周期也是π；正确答案为①②③，故选A【2014，2】若tan 0α>，则（ ）A ． sin 0α>B ． cos 0α>C ． sin 20α>D ． cos20α>解：选C ．tan α>0，α在一或三象限，所以sin α与cos α同号，故选C【2013，10】已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选D ．由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝125．∵A ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos A ＝15．∵cos A ＝2364926b b +-⨯，∴b ＝5或135b =-(舍)．【2012，9】9．已知0ω>，0ϕπ<<，直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（ ）A ．4π B ．3π C ．2πD ．34π【解析】选A ．由直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，得()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期52()244T πππ=-=，从而1ω=．由此()sin()f x x ϕ=+，由已知4x π=处()sin()f x x ϕ=+取得最值，所以sin()14πϕ+=±，结合选项，知ϕ=4π，故选择A ．【2011，7】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ）．A ．45-B ．35-C ．35D ．45【解析】设(,2)(0)P t t t ≠为角θ终边上任意一点，则cosθ=当0t >时，cos θ=0t <时，cos θ=．因此223cos 22cos 1155θθ=-=-=-．故选B ．【2011，11】设函数ππ()sin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 （ ） A ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π4x =对称 B ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π2x =对称 C ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π4x =对称 D ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π2x =对称【解析】因为ππππ()sin 2cos 2224444f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当π02x <<时，02πx <<，故()f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．又当π2x =π22⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭π2x =是()y f x =的一条对称轴．故选D ．二、填空题【2017，15】已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【解析】10．0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin tan 22sin 2cos cos ααααα=⇒=⇒=，又22sin cos 1αα+=，解得sin α=，cos α=，cos sin )4210πααα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭．【基本解法2】0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，∴角α的终边过(1,2)P ，故sin y r α==，cos 5x r α==，其中r ==cos (cos sin )4210πααα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭．【2016，】14．已知θ是第四象限角，且π3sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 解析：43-．由题意sin sin 442θθπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．因为2222k k θ3ππ+<<π+π()k ∈Z ，所以722444k k θ5ππππ+<-<π+()k ∈Z ， 从而4sin 45θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因此4tan 43θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故填43-． 方法2：还可利用ππtan tan 144θθ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭来进行处理，或者直接进行推演，即由题意4cos 45θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3tan 44θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以tan 4θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭143tan 4θ-=-π⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 【2013，16】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______．答案：解析：25． ∵f (x )＝sin x －2cos x 5sin(x －φ)，其中sin φ25cos φ5当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )取最大值．即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z)．∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin φ＝255-．【2014，16】16．如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及 75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN = m ．解：在RtΔABC 中，由条件可得1002AC =，在ΔMAC 中，∠MAC=45°；由正弦定理可得sin60sin 45AM AC =︒︒，故310032AM AC =RtΔMAN 中，MN=AM sin60°=150．【2011，15】ABC △中，120B =，7AC =，5AB =，则ABC △的面积为 ．【解析】由余弦定理知2222cos120AC AB BC AB BC =+-⋅，即249255BC BC =++，解得3BC =．故113153sin120532224ABC S AB BC =⋅=⨯⨯⨯=△．故答案为1534．三、解答题【2015，17】已知,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos B ；（2）设90B ∠=，且a =ABC △的面积．解析：（1）由正弦定理得，22b ac =．又a b =，所以22a ac =，即2a c =．则22222212cos 2422a a a a cb B a ac a ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===⋅．（2）解法一：因为90B ∠=，所以()2sin 12sin sin 2sin sin 90B A C A A ===-， 即2sin cos 1A A =，亦即sin 21A =．又因为在ABC △中，90B ∠=，所以090A <∠<， 则290A ∠=，得45A ∠=．所以ABC △为等腰直角三角形，得a c ==112ABC S ==△． 解法二：由（1）可知22b ac =，① 因为90B ∠=，所以222a c b +=，② 将②代入①得()20a c -=，则a c ==，所以112ABC S ==△． 解：(Ⅰ) 因为sin 2B =2sin A sin C ． 由正弦定理可得b 2=2ac ．又a =b ，可得a=2c ， b=2c ，由余弦定理可得2221cos 24a cb Bac． (Ⅱ)由(Ⅰ)知b 2=2ac ． 因为B=90°，所以a 2+c 2=b 2=2ac ． 解得a =． 所以ΔABC 的面积为1．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos c C c A =-．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC ，求b ，c ． 【解析】（1）根据正弦定理2sin sin a cR A C==，得A R a sin 2=， C Rc sin 2=， 因为sin cos c C c A =-，所以2sin sin )sin 2sin cos R C R A C R C A =-⋅， 化简得C C A C A sin sin cos sin sin 3=-， 因为0sin ≠C ，所以1cos sin 3=-A A ，即21)6sin(=-πA ， 而π<<A 0，6566πππ<-<-A ，从而66ππ=-A ，解得3π=A ． （2）若2a =，△ABC1）得3π=A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+=43cos 233sin 21222a bc c b bc ππ，化简得⎩⎨⎧=+=8422c b bc ， 从而解得2=b ，2=c ．。
2011—2017高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何汇编解析
新课标全国卷I 文科数学汇编立体几何二 I 平面 ABB^iA = n ，则 m,n 所成角的正弦值为（【2015, 6］《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 题：今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何? 在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一）为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？ 积约为1. 62立方尺，圆周率约为 3,估算出堆放的米有（ A . 14 斛 B . 22 斛 C . 36 斛 D . 66 斛【2015, 11 ］圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为-、选择题 【2017, 6］如图，在下列四个正方体中， A , B 为正方体的两个顶点,这四个正方体中，直接 N , Q 为所在棱的中点，则在 直的半径.若该几何体的体积是 ) A . 17 n 冗 B . 18 D . 28 nC . 20 n 28 nT ，则它的表面积是（ A , -：:// 平面 CB 1D 1，二丨平面 ABCD ,A. 【2016, 7］如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂 【2016, 11］平面:-过正方体ABCD -ABQ I U 的顶点 【2013,11]【2014, 8]如图, A .三棱锥 【2013, A . 【2012, A . 8 ］ 网格纸的各小格都是正方形， 粗实线画出的一个几何体的三视图，B .三棱柱C .四棱锥D .四棱柱 【2012, 7］ 则这个几何体是（ ） 11］某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）. 16+ 8 n B . 8 + 8 n C . 16+ 16 n D . 8 + 16 n 7］如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为6B . 9C . 12D . 15组成一个几何体，该几何体的三视图中的 r ) 16+20n ，则 r=()B中有如下问”其意思为： ，米堆底部的弧长”已知1斛米的体 ）【2012, 8】平面〉截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面〉的距离为「2 ,则此球的体积为()A . ”6 二B . 4、3 二C. 4.6-D. 6. 3 '：【2011, 8】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )二、填空题【2017 , 16】已知三棱锥S - ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径•若平面SCA丄平面SCB, SA= AC , SB = BC ,三棱锥S — ABC的体积为9,则球O的表面积为___________ .【2013, 15】已知H是球O的直径AB上一点，AH : HB = 1 : 2, AB丄平面a, H为垂足，a截球O所得截面的面积为n,则球O的表面积为 __________________ .【2011, 16】已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面3积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_________ .16三、解答题【2017, 18】如图，在四棱锥P - ABCD 中，AB // CD，且/BAP /CDP =90 .(1)证明：平面PAB _平面PAD ; ( 2 )若PA = PD = AB= DC ,乙APD =90 ，且四棱锥8P -ABCD的体积为一，求该四棱锥的侧面积.3p【2016,18】如图所示，已知正三棱锥P — ABC的侧面是直角三角形，PA = 6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E •连结PE并延长交AB于点G .(1)求证：G是AB的中点；(2)在题图中作出点E在平面PAC内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积.【2015, 18】如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE丄平面ABCD ,(I )证明：平面AEC丄平面BED ;(H )若/ ABC=120 ° AE丄EC, 三棱锥E- ACD的体积为求该三棱锥的侧面积.C【2014,19】如图，三棱柱ABC—AB I G中，侧面BB i C i C为菱形，BQ的中点为O，且AO _平面BBQC .(1)证明：BQ _ AB；(2)若AC _ AB,, . CBR =60 ,BC =1,求三棱柱ABC-A^G 的高.【2013，19】如图，三棱柱ABC—A1B1C1 中，CA= CB，AB= AA1，/ BAA1 = 60°(1)证明：AB丄A1C; (2)若AB= CB= 2，A1C = 、•. 6，求三棱柱ABC —A1B1C1 的体积.1【2011, 18】如图所示，四棱锥 P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，.DAB =60 , AB =2AD ,PD _ 底面 ABCD . (1) 证明：PA _ BD ;(2) 若PD =AD -1，求棱锥 D -PBC 的高.【2012,19】如图，三棱柱ABC —A IB IC I 中，侧棱垂直底面, 的中点. (1) 证明：平面 BDC 」平面BDC ;(2) 平面BDC i 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.MACB =90 , AC=BC= AA 1, D 是棱 A"2C12、选择题【2017, 6】如图，在下列四个正方体中， A , B 为正方体的两个顶点, 这四个正方体中，直接 AB 与平面MNQ 不平行的是（）【解法】选 A .由B , AB // MQ ,则直线AB //平面MNQ ;由C , AB // MQ ，则直线AB //平面MNQ ;由 D , AB // NQ ，则直线 AB //平面MNQ .故A 不满足，选 A .【2016, 7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径•若该几28 n何体的体积是，则它的表面积是（）.37 1解得R = 2 •该几何体的表面积等于球的表面积的，加上3个截面的面积，每个截面是圆面的一，84721 2所以该几何体的表面积为 S 4 n 23 n 2 =14 n ' 3n = 17 n .故选A .84【2016, 11】平面〉过正方体 ABCD - ABQ 1D 1的顶点A ,〉//平面CBU ,〉 平面ABCD = m ,一H 平面ABB ）A （二n ，则m,n 所成角的正弦值为（）1D.-M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在A . 17 nB . 18 n解析：选 A .由三视图可知，该几何体是一个球截去球的8，设球的半径为R ，则3解析：选A .解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示.通过寻找线线平行构造出平面:,即平面AEF，即研究AE与AF所成角的正弦值，易知/ n-EAF = 3，所以其正弦值为.故选A .E F解法二（原理同解法:过平面外一点A作平面：•，并使:-II平面CRD j，不妨将点A变换成B，作］使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到［，即为平面A,BD，如图所示，即研究AB与BD所成角的正弦值，易知NABD =3，所以其正弦值为3【2015, 6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著, 下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？ ”其意思为： 在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的 四分之一），米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的 米各位多少？ ”已知1斛米的体积约为1. 62立方尺，圆周率约为 3，估算出 堆放的米有（ ）B【2015,11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 16+20n,则r=（） BA . 1B . 2C . 4D . 8解：该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 r ，圆柱的高为2r ，其表面积了 ” 2 2 2 2为 2 n + n X2r+ n +2r >2r =5 n +4r =16+20 n 解得r= 2，故选B .【2014, 8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的 一个几何体的三视图，则这个几何体是 （ ）BA .三棱锥B .三棱柱C .四棱锥D .四棱柱解：几何体是一个横放着的三棱柱.故选B书 中有如下问题： 今有委米依垣内角,A .14斛B . 22 斛C .36 斛D66斛解: 设圆锥底面半径为 r , 依题 1 -2 3r =8 - r = 16，所以米堆的体积4 3亠1 1 c /16、320320为一一 3 （丁） 5 二 故堆放的米约为 H. 62疋22故选B . 4 3 3 99【2013,11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为解析：选A .该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体. D. 8 +16 nV半圆柱=X L<4 = 8 n V长方体=4疋疋=16 .所以所求体积为16+ 8兀故选【2012, 7】如图，网C . 12D . 15【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥A-BCD , 底面△ BCD为底边为6,高为3的等腰三角形，侧面ABD丄底面BCD ,AO丄底面BCD ,因此此几何体的体积为1 1V ( 6 3) 3 = 9，故选择3 2【2012, 8】8 .平面「截球O的球面所得圆的半径为距离为.2，则此球的体积为( )A .二B . 4.3C. 4 ,6 二 D . 6, 3 -【解析】如图所示，由已知QA =1 , 001,在Rt OO1A中，球的半径R = 0A二3 ,所以此球的体积V W「：R_45，故选择B.【点评】本题主要考察球面的性质及球的体积的计算.1，球心O到平面「的【2011, 8】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )h【解析】由几何体的正视图和侧视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形. 二、填空题【2017 , 16】已知三棱锥S _ ABC 的所有顶点都在球0的球面上，SC 是球0的直径.若平面SCA 丄平面SCB SA = AC , SB = BC ，三棱锥S - ABC 的体积为9,则球0的表面积为 ________________【解析】取SC 的中点0 ,连接0A,0B ，因为SA 二AC,SB 二BC ,所以0A _ SC,0B _ SC , 因为平面 SAC 丄平面SBC 所以 0A 丄平面1 1 1 1 V A SBCS SBC 0A2r r r r- 3:3 2 3【2011, 16】已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面3积是这个球面面积的—，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为1623 2 23 2 【解析】设圆锥底面半径为 r ，球的半径为R ，则由n4 n R ，知r R .164根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心0，且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的31 3，所以3r所以球的表面积为4. r =36二.【2013, 15】已知H 是球0的直径AB 上一点, 截面的面积为 n 则球0的表面积为 _________ .AH : HB = 1 2, AB 丄平面a, H 为垂足,a 截球0所得答案: 解析:2R R 设球 0 的半径为 R ,贝V AH = , 0H =—.又T n EH 2= n 二 EH = 133 •••在 Rt △ 0EH 中，R 2=S 球=4 n R 2 = 9_?2点，因此PB _QB .设PO =x , Q0 = y，贝U x y = 2R .又△PO B s^ BO Q，知r2 = 0 B2二xy . 即xy = r2 = 3 R2.4由及x y可得X=3R, y=R.2 2则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为—31故答案为丄.3三、解答题【2017, 18】如图，在四棱锥 P — ABCD 中，AB // CD ，且乙BAP ECDP =90 .又因为平面PAB 一平面PAD 所以PE _平面ABCD因为AB 丄平面PAD , AB // CD 所以 AB — AD , CD — AD 又 AB = DC =a所以四边形ABCD 为矩形(1)证明：平面PAB _ 平面 PAD ; (2)若 PA = PD = AB = DC ,.APD 二90 ，且四棱锥8P -ABCD 的体积为-，求该四棱锥的侧面积.3【解法】(1)BAP "CDP =90 , AB_APCD D P又 AB // CD . AB _ DP又AP 平面PAD ,DP 二平面 PAD ，且 AP DP = PAB _平面PADAB 二平面 PAB , 所以平面PAB _平面PAD(2)由题意：设 PA 二 PD 二 所以PAD 为即 AD=“ 2a 取AD 中点E ，连接PE , PE _ AD .1 1 厂（2 13 8V p 公BCD AB JA DPE m_\2a a a :所以 3 3 2 3 3即a = 21 1 _S^y = 2 ；■ 2 ；■ 3+ 2*f2 ：：」6=6+2 -f3【2016, 18】如图所示，已知正三棱锥P - ABC的侧面是直角三角形，PA = 6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E .连结PE并延长交AB于点G .(1)求证：G是AB的中点；2)在题图中作出点E在平面PAC内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积.解析：(1)由题意可得△ ABC为正三角形，故PA = PB = PC = 6 . 因为P在平面ABC内的正投影为点D，故PD —平面ABC .又AB 平面ABC，所以AB _ PD .因为D在平面PAB内的正投影为点E，故DE _平面PAB .又AB平面PAB，所以AB DE .因为AB _ PD , AB _ DE , PD DE = D , PD, DE 平面PDG , 所以AB —平面PDG .又PG 平面PDG，所以AB _ PG .因为PA二PB，所以G是AB的中点.(2)过E作EF // BP交PA于F ,则F即为所要寻找的正投影.由 BA=BD=BC 可得 AE= ED=EC= 6 .• A AEC 的面积为3, A EAD 的面积与 A ECD 的面积均为,5 .理由如下，因为 PB _ PA , PB// EF ，故EF _ PA •同理EF _ PC , 又 PA PC= P , PA, PC 平面 PAC ，所以 EF _ 平面 PAC , 故F 即为点E 在平面PAC在厶PDG 中，PG =3.2 , DG=、、6 , PD =2；3，故由等面积法知 DE =2 .由勾股定理知PE =2、、2，由△ PEF 为等腰直角三角形知 PF =EF =2，故V D 』EF 二^ .3【2015, 18】如图四边形 ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点, (I )证明：平面 AEC 丄平面BED ;(H )若/ ABC=120 ° AE 丄 EC , 三棱锥 E- ACD 的体积为求该三棱锥的侧面积.解: ( I ) T BE 丄平面 ABCD ,••• BE 丄 AC .•/ ABCD 为菱形，• BD 丄AC ,• AC 丄平面BED ，又AC 平面 AEC ,•平面 AEC 丄平面 BED . …6分(H )设AB=x ，在菱形 ABCD 中，由/ ABC=120。
2011—2017年高考全国卷Ⅰ文科数学三角函数、解三角形总汇编
新课标全国卷I 文科数学汇编三角函数、解三角形、选择题【2017, 11】△ ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c .已知 si nB sin A(si nC _cosC)=0 , a=2, c= . 2 ,6】若将函数y =2sin i 2x • n 的图像向右平移 丄个周期后，所得图像对应的函数为(I 6丿 4则 C=()n12 A .B - nD. n3【2016,4】△ ABC 的内角A, B, C 的对边分别为 a, b, c .已知 a = 5 , c = 2, cos A =—，贝y b =()3A .2 B .3 C . 2【2016,A .n 1y = 2sin I 2xI 4丿n 1B .八22x3C . y = 2sin 2x —— n D-y =2sin i 2x--I 3丿【2015,8】函数f (x )=cos( 3 x +0 )的部分图像如图所示，则 A . (k 「：」,k 二3),k Z B . (2k 二-[,2k 二？),k Z 44 4 4C. (k 」,k 3), k Z D . (2k 」,2k 3), k Z4 4 4 4【2014, 7】在函数① y=cos|2xL ,② y=|cos x |，③ y = cos(2x )，④ y = tan(2x)中，最小正周64期为n 的所有函数为 A .①②③ B2】若 tan 二:.■- 0，则( sin ：； >0 B .【2014, ().①③④ c.②④ D .①③sin 2：；- >0 Dcos2= 010】已知锐角厶ABC 的内角 则b =(A . 10【2013, A , B, 2C 的对边分别为 a , b , c, 23cos A + cos 2 A = 0, a = 7, c = 6,【2012, 9】 9 .已知 0 ,<n 直线x是函数f(x)=s in•「)图像的两条相4).邻的对称轴，则D.—4【2011,7】已知角 二的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y = 2x 上，则cos 2 =().二、填空题【2017, 15】已知 a w j0,— , tana =2，则(n 3f n【2016 ,】14.已知日是第四象限角，且 sin 10 + -=工，则tan |0 --=I4丿5I4丿【2013, 16】设当X = B 时，函数f (X ) = sin X -2cos X 取得最大值，则 cos 【2014, 16】如图所示，为测量山高 MN ，选择A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点•从 A 点测得M 点的仰角• MAN =60 , C 点的仰角CAB =45 以及.MAC =75 ;从 C 点测得• MCA 二 60 .已知山高BC =100m ，则山高MN m .【2011, 15】△ ABC 中，B =120；, AC = 7 , AB =5，则△ ABC 的面积为 _________ 三、解答题 【2015, 17 】已知 a,b,c 分别为△ ABC 内角 A, B,C 的对边，si n 2B =2s in AsinC .(1 )若 a =b ，求 cosB ; (2)设.B =90「，且 a =：$2，求△ ABC 的面积.【2012, 17】已知a , b , c 分别为△ ABC 三个内角A, B , C 的对边，c =-、3as in C-ccosA .(1 )求 A ; ( 2)若 a = 2 , △ ABC 的面积为-、3，求 b , c .【2011, 11】设函数f (X ) 二 sin2XJ C0S 2X 7，则A.f (X )在0,n单调递增，其图象关于直线I 2丿n ,对称4B.f (X )在'' 0,n"单调递增，其图象关于直线 I 2丿 C.f (X )在 10,nI 2单调递减，其图象关于直线D.f (X )在'o,n 单调递减，其图象关于直线cos :一、选择题【2017, 11】△ ABC 的内角 A B 、C 的对边分别为 a 、b 、c .已知 si nB sin A(si nC _cosC)=0 , a=2, c= . 2 , 则 C=()八nn小nnA .B.C.D.—12643【答案】B【解法】解法一：因为 si nB si nA(si nC -cosC) =0 , sin B =si n(A C),所以 sin C(sin A • cosA) = 0 ,又 sin C . 0，所以 sin A = -cos A , tan A = _1，又 0 ：：： A ：：： -•，所以 A = —4， 又a =2, c =.、2，由正弦定理得22,即sin C 二丄•又0 ：：： C ，所以C ，故选B.罷 sinC2262解法二：由解法一知 sin A cos A =0，即 2s in (A ')=0，又0 ：：: A ：：：二，所以A=—.下同解法一.4 4 【2016, 4】△ ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c .已知a =』5 , c=2, cosA = —，贝y b =()3A . 、—B . 、、3C . 2D . 3【2016, 6】若将函数y =2sin i 2x •-的图像向右平移1个周期后，所得图像对应的函数为（）.I 6丿 4解析：选D .由余弦定理得cos A =2 2 2b c-a2bc，即整理得 b 2 -8b-1 二 b -3 b+ 1）=0，解得b=3 .故A . y = 2sin I 2x —B . y = 2sin I 2x -C . y = 2sin I 2x 「—4 D . "2sin 2X—:解析：选D.将函数y=2sin‘2x+ n 的图像向右平移 丄个周期，即向右平移 I 6丿 4n卫个单位,4故所得图像对应的函数为 y=2sin |2.'x — = 2sin ' 2x — n |.故选D.X 4丿6」 I 3丿 【2015, 8】函数f (x )=cos( 3 x +0 )的部分图像如图所示，贝U 1 31 3A . (k—,k 二—),k Z B . (2k —,2k 二一),k Z 4 44 4f （x ）的单调递减区间为（）TTTT【2014, 7】在函数① y=cos|2xL ，② y=|cos x |，③ y = cos(2x )，④ y = tan(2x)中，最小正周6 4期为n 的所有函数为() A .①②③ B .①③④C .②④D .①③解：选 A .由y = cosx 是偶函数可知①y=cos|2 x|= cos2x ，最小正周期为n ；② y=|cos x |的最小正周 期也是n;③中函数最小正周期也是n;正确答案为①②③，故选A2 2 1解析：选 D.由 23cos A + cos 2 A = 0,得 cos A=.25•••cos A = 36—92Pb13 b = 5 或b —亍舍).由此f(x) =sin(x 」)，由已知x 处f (x) =sin(x •「)取得最值, 4JIA .设P(t,2t)(t=0)为角二终边上任意一点，则 cosr- L . V5t【2014, A . 解: 2】若tan .篇a 0，则( sin >0 B 选 C. tan a >0, ) cos 、； ,0 C . sin2、z ,0 D a 在一或三象限，所以 sin a 与cos a 同号，故选Ccos2、； > 0 【2013,则b =( A . 1010】已知锐角厶 ). B . 9ABC 的内角A , B, C 的对边分别为 2a ,b , c, 23cos A + cos 2 A = 0, a = 7,c = 6, 【2012, 9】9.已知■ 0 , 0 ：：：「：：：二，直线x 和x4是函数f(x)二sin C x )图像的两条相4邻的对称轴, A . 【解析】 选A. 由直线x 3 JI 和45 二x盲是函数f(x)f(x) =sinC ，x •「)的最小正周期Tsin (「x •「)图像的两条相邻的对称轴, )二2二，从而屏=1.1 3 C (k 2k 4)，k ZD • (2k_4,2k 4)K Z4 4解：选D.依图,卜z且Az'；，解得…，® =4，二心)丸。
2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——15.几何证明选讲
（2015·22）解析：（Ⅰ）由于 ABC 是等腰三角形，AD BC ，所以 AD 是 CAB 的平分线，又因为⊙O 分别与 AB，AC 相切于点 E，F，所以 AE AF ，故 AD EF ，从而 EF // BC . （Ⅱ）由（Ⅰ）知， AE AF ， AD EF ，故 AD 是 EF 的垂直平分线.又 EF 为⊙O 的弦，所以 O 在 AD 上. 连结 OE, OM ，则 OE AE，由 AG 等于 ⊙O 的半径得
AO 2OE ，所以 OAE 30 ，因此 ABC 和 AEF 都是等边三角形. 因 为 AE 2 3 ， 所 以 A O4 , O E. 2 因 为
O M
2O ,E
1
D
M，所以3 OMD 1N.
于是 AD 5, AB 10
3
.
所
2
3
以四边形 EBCF 的面积为 1 (10 3 )2 3 1 (2 3)2 3 16 3 .
（2014·22）如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与⊙O 相交 于点 B、C，PC=2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点 E.
证明：（Ⅰ）BE = EC； （Ⅱ）AD·DE = 2PB2.
（2013·22）如图， CD 为△ABC 外接圆的切线， AB 的延长线交直线 CD 于点 D ， E ， F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BC AE DC AF ，B、E、F、C 四 点共圆.
2 3 22
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（2014·22）如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与⊙O 相交 于点 B、C，PC=2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点 E.
证明：（Ⅰ）BE = EC； （Ⅱ）AD·DE = 2PB2.
2011-2017年高考新课标数学全国Ⅰ卷文科解析版分类汇编第一辑
2011-2017年高考新课标数学全国Ⅰ卷文科解析版分类汇编第一辑1．集合与常用逻辑用语（解析版）一、选择题【2017，1】已知集合{}2A x x =<，{}320B x x =->，则（ ）A ．3{|}2AB x x =< B ． A B =∅C ．3{|}2A B x x =< D ． A B =R 解：由320x ->得32x <，所以3{|}2A B x x =< ，故选A ． 【2016，1】设集合{}1,3,5,7A =，{}25B x x =剟，则A B = （ ） A ．{}1,3 B ．{}3,5 C ．{}5,7 D ．{}1,7解析：把问题切换成离散集运算，{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B ⊆，所以{}3,5A B = ．故选B ． 【2015，1】已知集合A={x |x=3n +2, n ∈N}，B={6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中的元素个数为( ) DA ．5B ．4C ．3D ．2 解： A ∩B={8,14}，故选D ． 【2014，1】已知集合{|13}M x x =-<<，{|21}N x x =-<<，则M B = （ ）A ． (2,1)-B ． (1,1)-C ． (1,3)D ． )3,2(-解：取M ， N 中共同的元素的集合是(-1,1)，故选B【2013，1】已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}答案：A 解析：∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}，∴A ∩B ＝{1,4}．【2013，5】已知命题p ：∀x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )．A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q解析：选B ，由20＝30知，p 为假命题．令h (x )＝x 3－1＋x 2，∵h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0，∴x 3－1＋x 2＝0在(0,1)内有解． ∴∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．． 【2012，1】1．已知集合2{|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则（ ）A ．AB B ．B AC ．A B =D ．A B φ=【解析】因为{|12}A x x =-<<，{|11}B x x =-<<，所以B A ，故选择B ．【2011，1】已知集合{}0,1,2,3,4M =，{}1,3,5N =，P M N = ，则P 的子集共有 （ ）．A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 【解析】因为{}0,1,2,3,4M =，{}1,3,5N =，所以{}1,3M N = ．所以M N 的子集共有224=个． 故选B ．2．函数及其性质（解析版）一、选择题 【2017，8】函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为（ ）【解法】选C 由题意知，函数sin 21cos xy x=-为奇函数，故排除B ；当x π=时，0y =，排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，排除A ．．【2017，9】已知函数()()ln ln 2f x x x =+-，则（ ）A ．()f x 在()0,2单调递增B ．()f x 在()0,2单调递减C ．()y f x =的图像关于直线1x =对称D ．()y f x =的图像关于点()1,0对称 【解析】（法一）函数的定义域为)2,0(，)2(ln )2ln(ln )(x x x x x f -=-+=，设2)1(2)2()(22+--=+-=-=x x x x x x t ，)(t f 为增函数，当)1,0(∈x 时，)(x t 为增函数，∴)(x f 为增函数，当)2,1(∈x 时，)(x t 为减函数，∴)(x f 为减函数．排除A,B ，因为)(x t 是二次函数，图像关于直线1=x 对称，故)2()(x t x t -=， 所以)2()(x f x f -=，()y f x =的图像关于直线1x =对称，故选 C ； （法二）)2(22211)(x x xx x x f --=--='，当)1,0(∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 为增函数． 当)2,1(∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 为减函数，故排除A,B ． 故选 C ； 【2016，8】若0a b >>，01c <<，则（ ）A ．log log a b c c <B ．log log c c a b <C ．c c a b <D ．a bc c >8．B 解析 由01c <<可知log c y x =是减函数，又0a b >>，所以log log c c a b <．故选B ． 评注 作为选择题，本题也可以用特殊值代入验证，如取4a =，2b =，12c =，可快速得到答案． 另外，对于A ，lg log lg a c c a =，lg log lg b cc b=，因为01c <<，所以lg 0c <． 又0a b >>，所以lg lg a b >，但正负性无法确定，所以A 无法判断． 对于C ，D ，可分别利用幂函数、指数函数的单调性判断其错误． 【2016，9】函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．解析 ：选D. 设()22e xf x x =-，由()()228e 0,1f =-∈，可排除A （小于0），B （从趋势上超过1）；又()0,2x ∈时，()4e xf x x '=-，()()()014e 0f f ''⋅=--<，所以()f x 在()0,1上不是单调函数，排除C ．故选D ．【2015,10】已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且f (a )=-3，则f (6-a )=( )A ．74-B ．54-C ．34- D ．14-解：∵f (a )=-3，∴当a≤1时，f (a )=2a -1-2=-3，则2a -1=-1，无解．当a>1时，f (a )=-log 2(a +1) =-3，则a +1=8，解得a =7，∴f (6-a )=f (-1)= 2-2-2=74-，故选A ． 【2015，12】设函数y =f (x )的图像与y =2x+a 的图像关于直线y =-x 对称，且f (-2)+f (-4)=1，则a =( ) C A ．-1 B ．1 C ．2 D ．4解：设f (-2)=m ，f (-4)=n ，则m +n=1，依题点(-2，m )与点(-4，n )关于直线y =-x 对称点为(-m ，2)与点(-n ，4)在函数y =2x+a 的图像上，∴2=2-m+a ，4=2-n+a ，∴-m+a =1，-n+a =2，∴2a =3+m +n =4，∴a =2，故选C 【2014，5】5．设函数()f x ,()g x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．()()f x g x 是偶函数B ． ()()f x g x 是奇函数C ．()()f x g x 是奇函数D ． ()()f x g x 是奇函数 解：设F (x )=f (x )|g (x )|，依题可得F (-x )=-F (x )，∴ F (x )为奇函数，故选C 【2013，9】函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )解析：选C. 由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦时，f (x )＞0，排除A ．当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1．令f ′(x )＝0，得2π3x =． 故极值点为2π3x =，可排除D. 【2013，12】已知函数f (x )＝22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：选D ．可画出|f (x )|的图象如图所示．当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ； 当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立．若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2＋2x |相切为界限，由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得x 2－(a ＋2)x ＝0．∵Δ＝(a ＋2)2＝0，∴a ＝－2．∴a ∈[－2,0]． 【2012，11】11．当102x <≤时，4log x a x <，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，2） B ．（2，1） C ．（1 D ．2） 【解析】显然要使不等式成立，必有01a <<．在同一坐标系中画出4xy =与log a y x =的图象．x 10若102x <≤时，4log x a x <，当且仅当011log 22a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩， 2011log log 2a a a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，即20112a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩． 解得12a <<，故选择B ． 【2011，3】下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是（ ）A ．3y x = B ．||1y x =+ C ．21y x =-+ D ．||2x y -=【解析】四个选项中的偶函数只有B ，C ，D ，故排除，当x ∈(0,)+∞时，三个函数分别为1y x =+单调递增，21y x =-+单调递减，12(2x xy -==单调递减．故选B ．【2011，10】在下列区间中，函数()e 43xf x x =+-的零点所在的区间为（ ）．A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭C ． 11,42⎛⎫⎪⎝⎭ D ． 13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】因为11042f f ⎛⎫⎛⎫⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数零点存在性定理，可知函数零点处于区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内．故选择C ．【2011，12】已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时函数2()f x x =，那么函数()y f x =的图像与函数lg y x =的图像的交点共有（ ）．A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个【解析】 考查数形结合思想，在同一直角坐标系中作出两个函数的图像，如下图．容易判断出两函数图像的交点个数为10个． 故选A ．【(2,7)，则a = ．(1, a +2)，且切线过点(2,7)，∴7-(a +2)=3a +1，解得a =1．【2014，15】设函数113,1(),1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是_____．解：(-∞,8]，当x<1时，由e x -1≤2可得x ≤1+ln 2，故x<1；当x≥1时，由13x ≤2可得x ≤8，故1≤x ≤8，综上可得x ≤8．【2012，16】16．设函数22(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=_______． 【解析】2． 2222(1)sin 12sin ()11x x x x x f x x x +++++==++222sin 111x xx x =++++．令222sin ()11x xg x x x =+++，则()()1f x g x =+，因为()g x 为奇函数，所以max min ()()0g x g x +=． 所以M m +=max min max min [()1][()1]()()22g x g x g x g x +++=++=．3．导数及其应用（解析版）一、选择题【2016，12】若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦解析：选C ．问题转化为()21cos2cos 03f x x a x '=-+…对x ∈R 恒成立， 故()2212cos 1cos 03x a x --+…，即245cos cos 033a x x -+…恒成立． 令cos x t =，得245033t at -++…对[]1,1t ∈-恒成立． 解法一：构造()24533g t t at =-++，开口向下的二次函数()g t 的最小值的可能值为端点值， 故只需保证()()11031103g a g a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……，解得1133a -剟．故选C ．解法二：①当0t =时，不等式恒成立；②当01t <…时，1543a t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭…恒成立，由y =1543t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭在01t <…上单调递增，所以()1511445333t t ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭…，故13a -…；③当10t -<…时，1543a t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭…恒成立．由y =1543t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭在10t -<…上单调递增，()1511445333t t ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭…，所以13a …．综上可得，1133a -剟．故选C ． 【2014，12】已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,2)-∞-D ．(,1)-∞-解：依题a≠0，f '(x )=3ax 2-6x ，令f '(x )=0，解得x =0或x =2a， 当a >0时，在(-∞, 0)与(2a ,+∞)上，f '(x )>0，f (x )是增函数．在(0,2a) 上，f '(x )<0，f (x )是减函数．且f (0)=1>0，f (x )有小于零的零点，不符合题意．当a <0时，在(-∞,2a )与(0,+∞)上，f '(x )<0，f (x )是减函数．在(2a,0)上，f '(x )>0，f (x )是增函数．要使f (x )有唯一的零点x 0，且x 0>0，只要2()0f a>，即a 2>4，所以a <-2．故选C另解：依题a≠0，f (x )存在唯一的正零点，等价于3113a x x =- 有唯一的正零根，令1t x=，则问题又等价于a =-t 3+3t 有唯一的正零根，即y =a 与y =-t 3+3t 有唯一的交点且交点在在y 轴右侧，记g (t )=-t 3+3t ，g'(t )=-3t 2+3，由g '(t )=0，解得t =±1，在(-∞,-1)与(1,+∞)上，g '(t )<0，g (t )是减函数．在(-1,1)上，g '(t )>0，g (t )是增函数．要使a =-t 3+3t 有唯一的正零根，只要a <g (-1)=-2，故选C 二、填空题【2017，14】曲线21y x x=+在()1,2处的切线方程为 ． 【解】1y x =+．求导得212y x x '=-，故切线的斜率1|1x k y ='==，所以切线方程为21y x -=-，即1y x =+．【2012，13】13．曲线(3ln 1)y x x =+在点（1，1）处的切线方程为_________．【解析】430x y --=．由已知'3ln 4y x =+，根据导数的几何意义知切线斜率1'|4x k y ===，因此切线方程为14(1)y x -=-，即430x y --=． 三、解答题【2017，21】已知函数()()2xxf x eea a x =--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围． 【解析】（1）()()()()2222'=--=+-xx x x f x e ae a e a e a①当0>a 时，20+>x e a ，令()0'>f x ，即0->x e a ，解得ln >x a ， 令()0'<f x ，即0-<x e a ，解得ln <x a ，所以当0>a ，()f x 在()ln ,+∞a 上递增，在(),ln -∞a 上递减． ②当0=a 时，()()220'=>xf x e ， ()f x 在R 上递增．③当0<a 时，0->x e a ，令()0'>f x ⇒20+>x e a ⇒2>-xa e ⇒ln 2⎛⎫>- ⎪⎝⎭a x ， 令()0'<f x ⇒20+<x e a ⇒2<-xa e ⇒ln 2⎛⎫<- ⎪⎝⎭a x ， 所以当0<a 时，()f x 在ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上递增，在,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上递减． 综上所述：当0>a ，()f x 在(),ln -∞a 上递减，在()ln ,+∞a 上递增；当0=a 时， ()f x 在R 上递增； 当0<a 时，()f x 在,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上递减，在ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上递增． （2）由（1）得当0a >时，()()()ln ln 2min ln ln ==--aa f x f a ee a a a 2ln 0=-≥a a ， ∴ln 0≤a ，得01<≤a ．当0=a 时，()()20=>x f x e 满足条件．当0<a 时，()ln ln 222minln ln 22⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a a a f x f e ea a 223ln 042⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭a a a ， ∴3ln 24⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭a ⇒342-≤ae ⇒342≥-a e ，又因为0<a ，所以3420-≤<e a ．综上所述，a 的取值范围是342,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【2016，21】已知函数()()()22e 1xf x x a x =-+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．解析：（1）由题意()()()1e 21x f x x a x '=-+-()()=1e 2xx a -+．①当20a …，即0a …时，e 20x a +>恒成立．令()0f x '>，则1x >， 所以()f x 的单调增区间为()1,+∞．同理可得()f x 的单调减区间为(),1-∞．②当20a <，即0a <时，令()0f x '=，则1x =或()ln 2a -． （ⅰ）当()ln 21a ->，即e2a <-时，令()0f x '>，则1x <或()ln 2x a >-， 所以()f x 的单调增区间为(),1-∞和()()ln 2,a -+∞．同理()f x 的单调减区间为()()1,ln 2a -； （ⅱ）当()ln 21a -=，即e2a =-时， 当1x …时，10x -…，1e 2e e 0x a +-=…，所以()0f x '…．同理1x >时，()0f x '>． 故()f x 的单调增区间为(),-∞+∞； （ⅲ）当()ln 21a -<，即e02a -<<时．令()0f x '>，则()ln 2x a <-或1x >， 所以()f x 的单调增区间为()(),ln 2a -∞-和()1,+∞，同理()f x 的单调减区间为()()ln 2,1a -． 综上所述，当e2a <-时，()f x 的单调增区间为(),1-∞和()()ln 2,a -+∞，单调减区间为()()1,ln 2a -； 当e2a =-时，()f x 的单调增区间为(),-∞+∞； 当e02a -<<时，()f x 的单调增区间为()(),ln 2a -∞-和()1,+∞，单调减区间为()()ln 2,1a -； 当0a …时，()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为(),1-∞． （2）解法一（直接讨论法）：易见()1e 0f =-<，如（1）中讨论，下面先研究（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）三种情况． ①当e2a <-时，由()f x 单调性可知，()()()ln 210f a f -<<，故不满足题意； ②当e2a =-时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增，显然不满足题意； ③当e02a -<<时，由()f x 的单调性，可知()()()1ln 2f f a <-， 且()()()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a -=---+--()2ln 220a a a =--+<⎡⎤⎣⎦，故不满足题意；下面研究0a …， 当0a =时，()()2e xf x x =-，令()0f x =，则2x =，因此()f x 只有1个零点，故舍去；当0a >时，()1e 0f =-<，()20f a =>，所以()f x 在()1,+∞上有1个零点；（i ）当01a <…时，由ln 02a<，而2ln ln 2ln 12222a a a a f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23ln ln 0222a a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以()f x 在(),1-∞上有1个零点；（i i ）当1a >时，由20-<，而()()22424e 990e f a a --=-+=->， 所以()f x 在(),1-∞上有1个零点；可见当0a >时()f x 有两个零点．所以所求a 的取值范围为()0,+∞． 解法二（分离参数法）：显然1x =不是()f x 的零点， 当1x ≠时，由()0f x =，得()22e 1x xa x -=-()1x ≠．设()()22e 1x xg x x -=-()1x ≠，则问题转化为直线y a =与()g x 图像有两个交点，对()g x 求导得()()()()2e 1211x x x g x x ⎡⎤---+⎣⎦'=-， 所以()g x 在(),1-∞单调递增，在()1,+∞单调递减．①当0a …时，若(),1x ∈-∞，()0g x >，直线y a =与()g x 图像没有交点， 若()1,x ∈+∞，()g x 单调递减，直线y a =与()g x 图像不可能有两个交点， 故0a …不满足条件；②若0a >时，取13min 12x ⎧⎫⎪⎪=+⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则()()12111g x a x >-…， 而()20g a =<，结合()g x 在()1,+∞单调递减， 可知在区间()1,2x 上直线y a =与()g x 图像有一个交点，取2min 1x ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，3x = 则()()22221g x a x -厖，()33223322x g x a x x -<<<，。
2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——10.立体几何
2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编10．立体几何一、选择题（2017·6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A. 90πB. 63πC. 42πD. 36π（2017·6） （2016·7） （2015·6） （2014·6） （2016·4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）A ．12πB ．323πC ．8πD ．4π（2016·7）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π（2015·6）一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A.81 B.71 C.61 D.51 （2015·10）已知A 、B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90º，C 为该球面上的动点. 若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π （2014·6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A ．1727 B ．59 C ．1027 D ．13（2014·7）正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为23D 为BC 中点，则三棱锥A -B 1DC 1的体积为（ ） A ．3 B ．32 C ．1 D 3（2013·9）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 0)，zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）4423· B. C. D.（2012·7）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9 C．12 D．18（2012·8）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为（）A．6πB．43πC．46πD．63π（2011·8）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（）A. B. C. D.二、填空题（2017·15）长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（2013·15）已知正四棱锥O-ABCD323O为球心，OA为半径的球的表面积为________.（2011·16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的163，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为. 三、解答题（2017·18）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，12AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°.（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PAD面积为7P-ABCD的体积.（2016·19）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD 于点H，将△DEF沿EF折到△D´EF的位置.（Ⅰ）证明：'AC HD⊥；（Ⅱ）若55,6,,'224AB AC AE OD====D´—ABCEF体积.DPABCOBAFDHED'（2015·19）如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中AB =16，BC =10，AA 1=8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E =D 1F =4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.（2014·18）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的点. （Ⅰ）证明：PB // 平面AEC ；（Ⅱ）设AP=1，AD =3，三棱锥P -ABD 的体积V =43，求A 点到平面PBD 的距离.（2013·18）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点. （Ⅰ）证明：1//BC 平面1ACD ； （Ⅱ）设12AA AC CB ===，22AB =，求三棱锥1C A DE -的体积.ED B 11A CB 1（2012·19）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB =90°，112AC BC AA ==，D 是棱AA 1的中点. (Ｉ) 证明：平面BDC 1⊥平面BDC ； （Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.（2011·18）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =60°，AB =2AD ，PD ⊥底面ABCD .（Ⅰ）证明：P A ⊥BD ；（Ⅱ）若PD =AD =1，求棱锥 D -PBC 的高.BA CDB 1C 1 A 12011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编10．立体几何一、选择题 （2017·6）B 解析：由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为2213634632V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B. （2016·4）A 解析：因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外接球的半径为3，所以球面的表面积为24(3)12ππ⋅=，故选A.（2016·7）C 解析：因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成，所以其表面积为28S π=，故选C. （2015·6）D 解析：截去部分是正方体的一个角，其体积是正方体体积的16，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15.（2015·10）C 解析：设球的半径为R ，则△AOB 面积为212R ，三棱锥O-ABC 体积最大时，C 到平面AOB 距离最大且为R ，此时313666V R R ==⇒=，所以球O 的表面积24144S R ππ==. （2014·6）C 解析：原来毛坯体积为：π·32·6=54π (cm 2)，由三视图得，该零件由左侧底面半径为2cm ，高为4cm 的圆柱和右侧底面半径为3cm ，高为2cm 的圆柱构成，所以该零件的体积为：π·32·2+π·22·4=34π (cm 2)，则切削掉部分的体积为54π-34π =20π(cm 2)，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=，故选C.（2014·7）C 解析：∵B 1C 1 // BD ，∴BD // 面AB 1C 1，点B 和D 到面AB 1C 1的距离相等，1111--D AB C B AB C V V ∴=11-11233132C ABB V ==⋅⋅⋅⋅=，故选C.（2013·9）A解析：在空间直角坐标系中，先画出四面体O-ABC 的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图如右图，故选A .（2012·7）B 解析：由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，这边上高为3，棱锥的高为3，故其体积为1163332⨯⨯⨯⨯=9，故选B.（2012·8）B 解析：设求圆O 的半径为R ，则221(2)3R =+=，34433V R ππ∴==. （2011·8）D 解析：由正视图和俯视图可以判断此几何体前部分是一个的三棱锥,后面是一个圆锥，选D. 二、填空题（2017·15）14π解析：球的直径是长方体的对角线，所以22222=3+2+1=14414，ππ==R S R .（2013·15）24π解析：设正四棱锥的高为h ，则2132(3)32V h =⨯=，解得高32h =. 则底面正方形的对角线长为236⨯=，所以22326()()622OA =+=，所以球的表面积为24(6)24ππ=.（2011·16）解析：由圆锥底面面积是这个球面面积的163，得223416r R ππ= 所以23=R r ，则小圆锥的高为2R ，大圆锥的高为23R，所以比值为31.三、解答题（2017·18）如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB =BC =AD ，∠BAD =∠ABC =90°.（1）证明：直线BC ∥平面PAD ；（2）若△PAD面积为P-ABCD 的体积.（2017·18）解析：（1）在平面ABCD 内，因为∠BA D=∠ABC =90º，所以BC //AD . 又面⊄BC PAD ，故BC //平面PAD . （2）取AD 的中点M ，连结PM ，CM ，由12AB =BC =AD 及BC //AD ，知四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD . 因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，底面⊂CM ABCD ，所以CM ⊥面PAD ，因为面⊂PM PAD ，所以CM ⊥PM .设BC =x ，则CM =x，，==CD PM ，PC =PD =x 。
2011年—2017年新课标全国卷1文科数学分类汇编—9.解析几何
2011年—2017年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编9．解析几何一、选择题【2017，5】已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则APF ∆的面积为（ ）A ．13 B ．12 C ．23 D ．32【2017，12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞【2016，5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．12 C ．23D ．34【2015，5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C : y 2=8x ，的焦点重合，A ,B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=( )A ．3B ．6C ．9D ．12【2014，10】已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A (x 0,y 0)是C 上一点，|AF |=054x ，则x 0=( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【2014，4】4．已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则a=( ) A ．2 B ．26 C ．25 D ．1【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x【2013，8】O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝POF的面积为( )A ．2B ．C ．D ．4【2012，4】设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b+（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【2012，10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||AB =，则C 的实轴长为（ ）AB ．C ．4D ．8【2011，4】椭圆221168x y +=的离心率为（ ）A ．13 B ．12 C ．3 D ．2【2011，9】已知直线l 过抛物线的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP △的面积为（ ）．A ．18B ．24C ．36D ．48二、填空题【2016，15】设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于,A B 两点，若AB =C 的面积为 ．【2015，16】已知F 是双曲线C :2218y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，A ，当ΔAPF 周长最小时，该三角形的面积为 ． 三、解答题【2017，20】设A ，B 为曲线C ：42x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且BM AM ⊥，求直线AB 的方程．【2016，20】在直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（1）求OH ON；（2）除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？请说明理由．【2015，20】已知过点A (0, 1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x -2)2+(y -3)2=1交于M ,N 两点.(Ⅰ)求k 的取值范围； (Ⅱ)OM ON ⋅=12，其中O 为坐标原点，求|MN |.【2013，21】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.【2012，20】设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。
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新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编解 析 几 何一、选择题【2017，5】已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则APF ∆的面积为（ ）A ．13 B ．12 C ．23 D ．32【解法】选D ．由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3PF =，又A 的坐标是(1,3)，故APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ．【2017，12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1][9,)+∞U B ．(0,3][9,)+∞U C ．(0,1][4,)+∞U D ．(0,3][4,)+∞U【解法】选A ．图 1图 2解法一：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只需使0120AEB ∠≥．1．当03m <<时，如图1，03tantan 6032AEB a b m∠=≥=，解得1m ≤，故01m <≤； 2． 当3m >时，如图2，0tantan 60323AEB a m b ∠==≥9m ≥． 综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞U ，故选A ．解法二：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只需使0120AEB ∠≥．1．当03m <<时，如图1，01cos ,cos1202EA EB ≤=-u u u r u u u r ，即12EA EB EA EB⋅≤-u u u r u u u ru u u r u u u r ，带入向量坐标，解得1m ≤，故01m <≤；2． 当3m >时，如图2，01cos ,cos1202EA EB ≤=-u u u r u u u r ，即12EA EB EA EB⋅≤-u u u r u u u ru u u r u u u r ，带入向量坐标，解得9m ≥．综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞U ，故选A ．【2016，5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．12 C ．23D ．34解析：选B ． 由等面积法可得1112224bc a b ⨯=⨯⨯⨯，故12c a =，从而12c e a ==．故选B ． 【2015，5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C : y 2=8x ，的焦点重合，A ,B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=( )A ．3B ．6C ．9D ．12解：选B ．抛物线的焦点为(2,0)，准线为x =-2，所以c=2，从而a=4，所以b 2=12，所以椭圆方程为2211612x y +=，将x =-2代入解得y=±3，所以|AB |=6，故选B 【2014，10】10．已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A (x 0,y 0)是C 上一点，|AF |=054x ，则x 0=( )A A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解：根据抛物线的定义可知|AF |=001544x x +=，解之得x 0=1． 故选A 【2014，4】4．已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则a=( ) D A ．2 B ．26 C ．25 D ．1解：2c e a ====，解得a=1，故选D【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x± C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x 解析：选C ．∵52e =，∴52c a =，即2254c a =．∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =．∴12b a =．∵双曲线的渐近线方程为b y x a =±，∴渐近线方程为12y x =±．故选C ．【2013，8】O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF的面积为( )．A ．2B ．22C ．23D ．4 答案：C解析：利用|PF |＝242P x +=，可得x P ＝32，∴y P ＝26±．∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝23． 故选C ．【2012，4】4．设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【解析】如图所示，21F PF ∆是等腰三角形，212130F F P F PF ∠=∠=︒，212||||2F P F F c ==，260PF Q ∠=︒，230F PQ ∠=︒，2||F Q c =，又23||2a F Q c =-，所以32a c c -=，解得34c a =，因此34c e a ==，故选择C ． 【2012，10】10．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||43AB =，则C 的实轴长为（ ）A ．2B ．22C ．4D ．8【解析】设等轴双曲线C 的方程为22221x y a a-=，即222x y a -=（0a >），抛物线216y x =的准线方程为4x =-，联立方程2224x y a x ⎧-=⎨=-⎩，解得2216y a =-，因为||43AB =，所以222||(2||)448AB y y ===，从而212y =，所以21612a -=，24a =，2a =，因此C 的实轴长为24a =，故选择C ．【2011，4】椭圆221168x y +=的离心率为（ ） A ．13 B ．12C．3 D．2【解析】选D ．因为221168x y +=中，2216,8a b ==，所以2228c a b =-=，所以42c e a ===．【2011，9】已知直线l 过抛物线的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP △的面积为（ ）． A ．18 B ．24 C ．36 D ．48【解析】不妨设抛物线的标准方程为()220y px p =>，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为2p x =．代入22y px =得y p =±，即2AB p =，又12AB =，故6p =，所以抛物线的准线方程为3x =-，故1612362ABP S =⨯⨯=△．故选C ．二、填空题【2016，15】设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于,A B两点，若AB =C 的面积为 ．解析：4π．由题意直线即为20x y a -+=，圆的标准方程为()2222x y a a +-=+，所以圆心到直线的距离d =，所以AB===， 故2224a r +==，所以24S r =π=π．故填4π．【2015，16】已知F 是双曲线C :2218y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，A ，当ΔAPF 周长最小时，该三角形的面积为．解： a =1，b 2=8，⇒ c =3，∴F (3,0)．设双曲线的的左焦点为F 1，由双曲线定义知|PF |=2+|PF 1|，∴ΔAPF 的周长为|P A |+|PF |+|AF |=|P A |+|AF |+|PF 1|+2，由于|AF |是定值，只要|P A |+|PF1|最小，即A ,P ,F 1共线，∵A，F 1 (-3,0)，∴直线AF 1的方程为13x +=-，联立8x 2-y 2=8消去x 整理得y 2+y -96=0，解得y=或y =-舍去)，此时S ΔAPF =S ΔAFF 1-S ΔPFF13=⨯=．三、解答题【2017，20】设A ，B 为曲线C ：42x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且BM AM ⊥，求直线AB 的方程． 解析：第一问：【解法1】设 1122(,),(,)A x y B x y ,AB 直线的斜率为k ，又因为A,B 都在曲线C 上，所以 4/211x y = ①4/222x y = ②②-①得2221122121()()44x x x x x x y y -+--==由已知条件124x x += 所以，21211y yx x -=-即直线AB 的斜率k=1．【解法2】设 ),(),,(2211y x B y x A ,AB 直线的方程为y=kx+b,所以⎩⎨⎧=+=4/2x y b kx y整理得：,4,044212k x x b kx x =+∴=--且421=+x x 所以k=1第二问：设 00(,)M x y 所以200/4y x =① 又12y x =所以00011,2,12k x x y ==∴== 所以M （2,1），11(2,1)MA x y =--，22(2,1)MB x y =--，且AM BM ⊥，0AM BM =g 即05)()(221212121=++-++-y y y y x x x x ②，设AB 直线的方程为y x b =+，,4/2⎩⎨⎧=+=x y bx y化简得0442=--b x x ，所以2212121,24,4b y y b y y b x x =+=+-=由②得0772=--b b 所以b=7或者b=-1(舍去) 所以AB 直线的方程为y=x+7【2016，20】在直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（1）求OHON；（2）除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？请说明理由． 解析 （1）如图，由题意不妨设0t >，可知点,,M P N 的坐标分别为()0,M t ，2,2t P t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,N t t p ⎛⎫⎪⎝⎭，从而可得直线ON 的方程为y x p t =，联立方程22p x ty px y ⎧==⎪⎨⎪⎩，解得22x t p =，2y t =． 即点H 的坐标为22,2t t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而由三角形相似可知22H N OH y tON y t ===．（2）由于()0,M t ，22,2t H t p ⎛⎫⎪⎝⎭，可得直线MH 的方程为22ty t x t p-=， 整理得2220ty px t --=，联立方程222202ty y px t px--==⎧⎪⎨⎪⎩，整理得22440ty y t -+=，则2216160t t ∆=-=，从而可知MH 和C 只有一个公共点H ．【2015，20】已知过点A (0, 1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x -2)2+(y -3)2=1交于M ,N 两点. (Ⅰ)求k 的取值范围； (Ⅱ)u u u u r u u u rOM ON ⋅=12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解：(Ⅰ)依题可设直线l 的方程为y=kx +1，则圆心C (2,3)到的l 距离1d =<.解得4433k -<<所以k的取值范围是44(33-. (Ⅱ)将y=kx +1代入圆C 的方程整理得 (k 2+1)x 2-4(k +1)x +7=0.设M (x 1, y 1),N (x 2, y 2)，则1212224(1)7,.11k x x x x k k ++==++所以u u u u r u u u rOM ON ⋅=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+1)(kx 2+1)=(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+124(+1)8+1k k k =+=12，解得k =1=1k ，所以l 的方程为y=x +1. 故圆心在直线l 上，所以|MN |=2.【2013，21】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2， 所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2. 所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝23.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得21k +＝1，解得k ＝2±. 当k ＝2时，将22y x =+代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝462-±， 所以|AB |＝21k +|x 2－x 1|＝187.当k ＝2-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝23或|AB |＝187.【2012，20】设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。