最新广东联考2021届高三教学质量检测(一)试卷数学试题
2021届广东省潮州市高三上学期第一次质量检测数学试卷及答案
绝密★启用前2021年广东省潮州市高考第一次质检试卷（一模）数学注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（（共12小题）（一）单项选择题（（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣5x+4＜0}，集合B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，4）C．（2，4）D．（0，4）2．若复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，实数m＝（）A．1 B．0 C．0或1 D．1或﹣13．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，直线AD与直线BC1所成的角为60°，则该长方体的体积为（）A．B．C．D．4．为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，，已知该班某学生的脚长为24厘米，据此估计其身高为（）厘米．A．165 B．169 C．173 D．1785．已知抛物线x2＝4y的准线与双曲线的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（）A．B．2 C．D．56．已知函数f（x）＝|x﹣1|•（x+1），若关于x的方程f（x）＝k有两个不同的实数解，则实数k的值为（）A．0 B．1 C．0和﹣1 D．0和17．已知倾斜角为α的直线l：y＝kx﹣2与圆x2+（y﹣1）2＝1相切，则的值为（）A．B．C．D．8．已知四棱锥S﹣ABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其侧面积等于，则球O的体积等于（）A．B．C．D．（二）多项选择题（共4小题）.9．判断平面α与平面β平行的条件可以是（）A．平面α内有无数条直线都与β平行B．直线a⊂α，b⊂β，且a∥β，b∥αC．平面γ∥α，且平面γ∥βD．平面α内有两条不平行的直线都平行于平面β10．下列判断正确的是（）A．“am2＞bm2”是“a＞b”的充分不必要条件B．命题“∃x∈R，使x2+x﹣1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0”C．若随机变量ξ服从二项分布：，则E（ξ）＝1D．若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.79，则P（ξ≤﹣2）＝0.2111．将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（）A．函数f（x）+g（x）的图象的一个对称中心为B．函数f（x）•g（x）是奇函数C．函数f（x）+g（x）在（0，π）上的单调递减区间是D．函数f（x）•g（x）的图象的一个对称轴方程为12．给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，且导函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数．记f''（x）＝（f'（x））'，若f''（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是（）A．f（x）＝sinx﹣cosx B．f（x）＝lnx﹣2xC．f（x）＝﹣x3+2x﹣1 D．f（x）＝﹣xe﹣x二、填空题（共4小题）.13．（x3﹣）4展开式中常数项为．14．新冠肺炎疫情期间，某市紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市随机分配2名医生，则甲、乙两人被分配在不同城市的概率为．15．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、小寒、大寒的日影子长的和是43.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长为尺．16．已知定义域为R的函数是奇函数，则不等式解集为．三、解答题（共6道小题，共70分.）17．△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知a＝4，，面积．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）点D在线段AB上，满足，求线段CD的长．18．已知数列{a n}满足2a n＝S n+n，S n为数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）求证：{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{b n}的前n项和为S n，证明：S n＜1．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB＝AC ＝A1B＝2．（Ⅰ）证明：平面A1AC⊥平面ABB1；（Ⅱ）求二面角C1﹣AB﹣A1的大小．20．某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为[9，10），[10，11），[11，12），[12，13），[13，14），五个小组（所调查的芯片得分均在[9，14]内），得到如图所示的频率分布直方图，其中a ﹣b＝0.18．（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）．（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测．若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不合格．已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由．21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），P（2，0）、Q（1，）是椭圆C上的两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在直线与椭圆C交于A、B两点，交y轴于点M（0，m），使|+2|＝|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）＝lnx﹣（m+2）x，k（x）＝﹣mx2﹣2．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设m＞0，若存在，使得不等式f（x）＜k（x）成立，求m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.（一）单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣5x+4＜0}，集合B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，4）C．（2，4）D．（0，4）【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x＞2}，∴A∩B＝（2，4）．故选：C．2．若复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，实数m＝（）A．1 B．0 C．0或1 D．1或﹣1【分析】利用纯虚数的定义即可得出．解：∵复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，∴m（m﹣1）＝0，m﹣1≠0，∴m＝0，故选：B．3．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，直线AD与直线BC1所成的角为60°，则该长方体的体积为（）A．B．C．D．解：∵BC∥AD，直线AD与直线BC1所成的角为60°，∴∠C1BC是AC1与BC所成的角，∴∠C1BC＝60°，AB＝2，BC＝1可得CC1＝，∴该长方体的体积V＝＝2．故选：C．4．为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，，已知该班某学生的脚长为24厘米，据此估计其身高为（）厘米．A．165 B．169 C．173 D．178【分析】由题意首先确定样本中心点，然后求得回归方程，最后估计学生的身高即可．解：由题意可得：，回归方程经过样本中心点，则：，故，回归方程为：，据此可预测其身高为：4×24+73＝169厘米．故选：B．5．已知抛物线x2＝4y的准线与双曲线的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（）A．B．2 C．D．5【分析】求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，判断双曲线的渐近线的斜率，推出a＝b，由离心率公式即可得到所求．解：抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1，平行坐标轴，双曲线的两条渐近线，关于y轴对称，抛物线的准线与双曲线的渐近线组成等腰直角三角形，所以双曲线的渐近线的斜率为：±1，可得a＝b，∴c＝a，则e＝＝．故选：A．6．已知函数f（x）＝|x﹣1|•（x+1），若关于x的方程f（x）＝k有两个不同的实数解，则实数k的值为（）A．0 B．1 C．0和﹣1 D．0和1【分析】画出函数f（x）的图像，结合图像求出k的值即可．解：f（x）＝|x﹣1|•（x+1）＝，画出函数f（x）的图像，如图示：，结合函数图像得：k＝1或k＝0时，方程f（x）＝k有两个不同的实数解，故选：D．7．已知倾斜角为α的直线l：y＝kx﹣2与圆x2+（y﹣1）2＝1相切，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由已知结合直线与圆相切的性质可求斜率k，然后结合直线倾斜角与斜率关系可求tanα，进而可求sinα，再由诱导公式进行化简可求．解：因为y＝kx﹣2与圆x2+（y﹣1）2＝1相切，所以＝1，解得，k＝，即tanα＝，因为α∈（0，π），所以sinα＝，则＝＝﹣2sinα＝．故选：A．8．已知四棱锥S﹣ABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其侧面积等于，则球O的体积等于（）A．B．C．D．解：当此四棱锥体积取得最大值时，SO⊥底面ABCD，设正方形ABCD的边长＝a，则4×a＝2，解得a＝，则球的半径r＝a＝1．则球O的体积V＝×12＝．故选：A．（二）多项选择题（共8小题）.9．判断平面α与平面β平行的条件可以是（）A．平面α内有无数条直线都与β平行B．直线a⊂α，b⊂β，且a∥β，b∥αC．平面γ∥α，且平面γ∥βD．平面α内有两条不平行的直线都平行于平面β【分析】对于A，α与β相交与平行；对于B，α与β相交与平行；对于C，由面面平行的判定定理得α∥β；对于D，由面面平行的判定定理得α∥β．解：对于A，平面α内有无数条直线都与β平行，则α与β相交与平行，故A错误；对于B，直线a⊂α，b⊂β，且a∥β，b∥α，则α与β相交与平行，故B错误；对于C，平面γ∥α，且平面γ∥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故C正确；对于D，平面α内有两条不平行的直线都平行于平面β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D正确．故选：CD．10．下列判断正确的是（）A．“am2＞bm2”是“a＞b”的充分不必要条件B．命题“∃x∈R，使x2+x﹣1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0”C．若随机变量ξ服从二项分布：，则E（ξ）＝1D．若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.79，则P（ξ≤﹣2）＝0.21【分析】直接利用不等式的性质，命题的否定，二项分布，正态分布的关系式的应用判断A、B、C、D的结论．解：对于A：当“am2＞bm2”时，则“a＞b”成立，当“a＞b”且m＝0时，“am2＞bm2”不成立，故“am2＞bm2”是“a＞b”的充分不必要条件，故A正确；对于B：命题“∃x∈R，使x2+x﹣1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0”，故B 错误；对于C：随机变量ξ服从二项分布：，则E（ξ）＝＝1，故C正确；对于D：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.79，则P（ξ≤﹣2）1﹣P（ξ＞4）＝1﹣0.79＝0.21，故D正确．故选：ACD．11．将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（）A．函数f（x）+g（x）的图象的一个对称中心为B．函数f（x）•g（x）是奇函数C．函数f（x）+g（x）在（0，π）上的单调递减区间是D．函数f（x）•g（x）的图象的一个对称轴方程为【分析】根据“左加右减”的平移原则和诱导公式可知g（x）＝cos2x，由辅助角公式可得f（x）+g（x）＝sin（2x+），由二倍角公式可得f（x）•g（x）＝sin4x，再根据正弦函数的图象与性质逐一判断四个选项即可．解：g（x）＝sin2（x+）＝cos2x，选项A，f（x）+g（x）＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），令2x+＝kπ，k∈Z，则x＝﹣，k∈Z，∴函数f（x）+g（x）的对称中心为（﹣，0），k∈Z，不包含点，即选项A错误；选项B，f（x）•g（x）＝sin2x•cos2x＝sin4x，为奇函数，即选项B正确；选项C，令2x+∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，则x∈[+kπ，+kπ]，k∈Z，∴函数f（x）+g（x）的单调递减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，∵x∈（0，π），∴x∈[，]，即选项C正确；选项D，令4x＝+kπ，k∈Z，则x＝+，k∈Z，当k＝﹣1时，函数f（x）•g（x）的图象的一个对称轴方程为，即选项D正确．故选：BCD．12．给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，且导函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数．记f''（x）＝（f'（x））'，若f''（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是（）A．f（x）＝sinx﹣cosx B．f（x）＝lnx﹣2xC．f（x）＝﹣x3+2x﹣1 D．f（x）＝﹣xe﹣x【解答】解:A．由f(x)＝sinx﹣cosx,得f′(x)＝cosx+sinx,∴,∵,∴当时,,这与f''(x)在定义域中小于0不符,故A错误；B．由f(x)＝lnx﹣2x,得,∴,∵,∴f''(x)＜0在上恒成立,故B正确；C．由f(x)＝﹣x3+2x﹣1,得f′(x)＝﹣3x2+2,∴f''(x)＝﹣6x,∵,∴f''(x)＝﹣6x＜0恒成立,故C正确；D．由f(x)＝﹣xe﹣x,得f'(x)＝e﹣x(x﹣1),∴f''(x)＝e﹣x(2﹣x),∵时,2﹣x＞0,e﹣x＞0,∴f''(x)＞0恒成立,与f''(x)在定义域中小于0不符,故D错误．故选：BC．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（x3﹣）4展开式中常数项为﹣4 ．【分析】利用二项展开式的通项公式T r+1＝•（x3）4﹣r•即可求得展开式中的常数项．解：设展开式的通项为T r+1，则T r+1＝•（x3）4﹣r•＝（﹣1）r••x12﹣4r•令12﹣4r＝0得r＝3．∴开式中常数项为：（﹣1）3•＝﹣4．故答案为：﹣4．14．新冠肺炎疫情期间，某市紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市随机分配2名医生，则甲、乙两人被分配在不同城市的概率为．【分析】每市随机分配2名医生，先求出基本事件总数，再求出甲、乙两人被分配在不同城市包含的基本事件个数，由此能求出甲、乙两人被分配在不同城市的概率．解：新冠肺炎疫情期间，某市紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市随机分配2名医生，基本事件总数n＝＝6，甲、乙两人被分配在不同城市包含的基本事件个数m＝＝2，则甲、乙两人被分配在不同城市的概率为P＝＝．故答案为：．15．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、小寒、大寒的日影子长的和是43.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长为12.5 尺．解：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列{a n}，由已知可冬至、小寒、大寒的日影子长的和是43.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，所以，解得，所以立春的日影子长为a4＝a1+3d＝12.5尺．故答案为：12.5．16．已知定义域为R的函数是奇函数，则不等式解集为（，1）．【分析】根据题意，由奇函数的定义可得f（﹣x）＝﹣f（x），即＝﹣，变形分析可得m的值，即可得函数的解析式，由此分析函数的单调性，结合函数的奇偶性、单调性将原不等式转化，求出不等式的解集，即可得答案．解：根据题意，定义域为R的函数是奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），即＝﹣，变形可得：（2x﹣1）（m﹣2）＝0，必有m＝2，则f（x）＝﹣＝﹣（1﹣），故f（x）在R上为减函数，则⇒f（﹣log3x）+f[log3（1﹣x）]＞0⇒﹣f（log3x）+f[log3（1﹣x）]＞0⇒f[log3（1﹣x）]＞f（log3x），则有，解可得＜x＜1，即不等式的解集为（，1）．故答案为：（，1）．三、解答题（共6小题）.17．△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知a＝4，，面积．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）点D在线段AB上，满足，求线段CD的长．【分析】（Ⅰ）由已知结合三角形的面积公式进行化简可得tanB，结合B的范围求出B，然后结合正弦定理得到sinA的值，（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得c2﹣4c﹣12＝0，解方程可得c的值，由已知可求BD的值，在△BDC中，由余弦定理可求得CD的值．解：（Ⅰ）因为S＝acosB＝acsinB，所以tanB＝，因为B为三角形内角，所以B＝，由正弦定理得，＝，所以sinA＝．（Ⅱ）因为a＝4，，B＝，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得28＝16+c2﹣2×4×c×，即c2﹣4c﹣12＝0，解得c＝6或c＝﹣2（舍去），因为，可得BD＝2，所以在△BDC中，由余弦定理可得CD＝＝＝2．18．已知数列{a n}满足2a n＝S n+n，S n为数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）求证：{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{b n}的前n项和为S n，证明：S n＜1．【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式可得a n＝2a n﹣1+1，由此构造等比数列{a n+1}，求其通项公式后可得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）﹣，由此利用裂项求和法即可证明S n＜1．【解答】证明：（Ⅰ）由2a n＝S n+n，得当n≥2时，2a n﹣1＝S n﹣1+（n﹣1），两式作差可得：2a n﹣2a n﹣1＝a n+1，即a n＝2a n﹣1+1．∴a n+1＝2（a n﹣1+1）．则＝2．当n＝1时，2a1＝a1+1，得a1＝1．∴数列{a n+1}是以a1+1＝2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n+1＝2•2n﹣1＝2n，则a n＝2n﹣1．（Ⅱ）＝＝﹣，所以S n＝b1+b2+…+b n＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣＜1，所以S n＜1．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB＝AC ＝A1B＝2．（Ⅰ）证明：平面A1AC⊥平面ABB1；（Ⅱ）求二面角C1﹣AB﹣A1的大小．【分析】（Ⅰ）根据平面与平面垂直的判定定理证明；（Ⅱ）寻找二在角的平面角，转化到等腰直角三角形中求解．【解答】（Ⅰ）证明：因为A1在底面ABC上的射影恰为点B，所以A1B⊥平面ABC，所以A1B⊥AC，因为AB⊥AC，又因为A1B∩AB＝B，A1B⊂平面ABB1，AB⊂平面ABB1，所以AC⊥平面ABB1，AC⊂平面A1AC，所以平面A1AC⊥平面ABB1．（Ⅱ）解：因为AC∥A1C1，AB⊥AC，所以AB⊥A1C1，因为A1B⊥平面ABC，所以AB⊥A1B，所以AB⊥平面A1BC1，所以AB⊥C1B，AB⊥A1B，所以∠A1BC1为二面角C1﹣AB﹣A1的平面角，因为AC∥A1C1，A1B⊥AC，所以A1C1⊥A1B，又因为AC＝A1B，AC＝A1C1，所以A1B＝AC，所以∠A1BC1＝45°，故二面角C1﹣AB﹣A1的大小为45°．20．某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为[9，10），[10，11），[11，12），[12，13），[13，14），五个小组（所调查的芯片得分均在[9，14]内），得到如图所示的频率分布直方图，其中a ﹣b＝0.18．（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）．（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测．若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不合格．已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由．【分析】（1）依题意，（0.05+a+b+0.35+0.28）×1＝1，再由a﹣b＝0.18．求出a＝0.25，b＝0.07，由此能求出这100颗芯片评测分数的平均数．（2）由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率p＝1﹣0.05﹣0.25＝0.7．设每颗芯片的测试费用为X元，则X的可能取值为600，900，1200，1500，分别求出相应的概率，由此能求出每颗芯片的测试费用的数学期望1097.91元，从而求出预算经费不够测试完这100颗芯片．解：（1）依题意，（0.05+a+b+0.35+0.28）×1＝1，故a+b＝0.32．又因为a﹣b＝0.18．所以a＝0.25，b＝0.07，所求平均数为＝9.5×0.05+10.5×0.25+11.5×0.35+12.5×0.28+13.5×0.07＝11.57（万分）；（2）由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率p＝1﹣0.05﹣0.25＝0.7．设每颗芯片的测试费用为X元，则X的可能取值为600，900，1200，1500，P（X＝600）＝0.32＝0.09，P（X＝900）＝0.73+0.7×0.32+0.3×0.7×0.3＝0.469，P（X＝1200）＝＝0.1323，P（X＝1500）＝＝0.3087，故每颗芯片的测试费用的数学期望为E（X）＝600×0.09+900×0.469+1200×0.1323+1500×0.3087＝1097.91（元），因为100×1097.91＞100000，所以预算经费不够测试完这100颗芯片．21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），P（2，0）、Q（1，）是椭圆C上的两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在直线与椭圆C交于A、B两点，交y轴于点M（0，m），使|+2|＝|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由椭圆过点P，Q，列方程组，解得a，b，c，进而可得答案．（Ⅱ）假设存在这样的直线，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程为y＝kx+m，联立椭圆的方程，结合韦达定理，可得x1+x2，x1x2，y1y2，由|+2|＝|﹣2|，得⊥，即x1x2+y1y2＝0，即8k2＝5m2﹣8≥0，代入△＞0，即可得出答案．解：（Ⅰ）根据题意可得，解得b2＝2，c2＝6，所以椭圆的方程为+＝1．（Ⅱ）假设存在这样的直线，由已知可得直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx+m，由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣8＝0，△＝16（8k2﹣m2+2）＞0，（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝，由|+2|＝|﹣2|，得⊥，即•＝0，即x1x2+y1y2＝0，故8k2＝5m2﹣8≥0，代入（*）解得m＞或m＜﹣．所以m的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．22．已知函数f（x）＝lnx﹣（m+2）x，k（x）＝﹣mx2﹣2．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设m＞0，若存在，使得不等式f（x）＜k（x）成立，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；（Ⅱ）将原问题转化为函数最小值小于零的问题，然后结合导函数研究函数的性质即可确定实数m的取值范围．解：（Ⅰ）f（x）＝lnx﹣（m+2）x的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝﹣（m+2），当m+2≤0，即m≤﹣2时，f′（x）＝﹣（m+2）＞0恒成立，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当m+2＞0，即m＞﹣2时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜，令f'（x）＜0，解得x＞，故函数f（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减，综上，当m≤﹣2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当m＞﹣2时，函数f（x）在在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减，（Ⅱ）若存在x∈[，1]使得不等式f（x）＜k（x）成立，即存在x∈[，1]使得不等式mx2﹣（m+2）x+lnx+2＜0成立，令g（x）＝mx2﹣（m+2）x+lnx+2，x∈[，1]，则g（x）min＜0，g′（x）＝＝，①当m≥2时，⩽，g′（x）⩾0在x∈[，1]恒成立，则函数g（x）在[，1]上单调递增，g（x）min＝g（）＝﹣+ln+2＜0，解得m＞4（1﹣ln2），当1＜m＜2时，＜＜1，g（x）在[，]上单调递减，在[，1]上单调递增，则g（x）min＝g（）＝+ln﹣（m+2）×+2＝﹣lnm﹣+1，令h（x）＝﹣lnx﹣+1，x∈（1，2），h′（x）＝﹣+＝＜0恒成立，即函数h（x）＝﹣lnx﹣+1在（1，2）上单调递减，又h（1）＝﹣ln1﹣1+1＝0，故h（x）＝﹣lnx﹣+1＜0在x∈（1，2）上恒成立，即g（x）min＝﹣lnm﹣+1＜0，故m∈（1，2）满足题意，当0＜m≤1时，≥1，g′（x）≤0在x∈[，1]上恒成立，故函数g（x）在x∈[，1]上单调递减，g（x）min＝g（1）＝m+ln1﹣（m+2）×1+2＝0，不符题意，舍去，综上可得m的取值范围是（1，+∞）．。
广东省佛山市2021届高三上学期教学质量检测(一)数学试卷及答案
绝密★启用前广东省佛山市2021届高三上学期教学质量检测（一）数学试题学校：___________注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知全集U 为实数集，2|30A x x x ，{}|1B x x =>，则()UAB =（ ）A ．{}|01x x ≤<B ．{}|01x x ≤≤C ．{}3|x x ≤<D ．{}|03x x ≤≤2．设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且11z i =+，则12z z ⋅=（ ） A ．22i --B ．22i -C ．2i -D ．2-3．若a 、b 、c 为非零实数，则“a b c >>”是“2a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．平行四边形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点（靠近B ），则EF =（ ） A ．1123AB AD -B ．1142AB AD + C ．1132AB AD +D ．1223AB AD -． 5．随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G 基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G 基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G 网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G 网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G 基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G 基站时要到（ ） A ．2022年12月B ．2023年2月C ．2023年4月D ．2023年6月6．设sin 2a =，则（ ）A ．2122log a a a << B ．212log 2a a a << C ．212log 2a a a <<D ．212log 2aa a <<7．函数()sin cos f x x x =的导函数()f x '在[]0,π上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数4211()42f x x ax ax =++，则下列结论中正确的是（ ） A ．存在实数a ，使()f x 有最小值且最小值大于0 B ．对任意实数a ，()f x 有最小值且最小值大于0C ．存在正实数a 和实数0x ，使()f x 在0(–),x ∞上递减，在()0,x +∞上递增D ．对任意负实数a ，存在实数0x ，使()f x 在0(–),x ∞上递减，在()0,x +∞上递增二、多选题9．2015年以来，我国脱贫攻坚成效明显．下图是2015—2019年年末全国农村贫困人口和贫困发生率（贫困人口占目标调查人口的比重）变化情况（数据来源：国家统计局2019年统计年报），根据这个发展趋势，2020年底全面脱贫的任务必将完成．根据图表中可得出的正确统计结论有（ ）A ．五年来贫困发生率下降了5.1个百分点B ．五年来农村贫困人口减少超过九成C ．五年来农村贫困人口减少得越来越快D ．五年来目标调查人口逐年减少10．已知曲线222()y m x a =-，其中m 为非零常数且0a >．则下列结论中正确的有（ ）A ．当1m =-时，曲线C 是一个圆B ．当2m =-时，曲线C 的离心率为2C ．当2m =时，曲线C 的渐近线方程为2y x =±D ．当1m >-且0m ≠时，曲线C 的焦点坐标分别为(-和( 11．已知曲线sin (0)4y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间()0,1上恰有一条对称轴和一个对称中心，则下列结论中正确的是（ ）A ．存在ω，使sin 42ωπ+⎛⎫>⎪⎝⎭B ．存在ω，使2sin 4ωπ+⎛⎫=⎪⎝⎭ C ．有且仅有一个()00,1x ∈，使04sin 45x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D ．存在()00,1x ∈，使0sin 04x πω⎛⎫+< ⎪⎝⎭12．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，M 为1AA 的中点，过1B M 作长方体的截面α交棱1CC 于N ，则（ ）A ．截面α可能为六边形B ．存在点N ，使得BN ⊥截面αC ．若截面α为平行四边形，则12CN ≤≤D ．当N 与C三、填空题13．已知函数()2xf x e ex =-+（e 是自然对数的底数），则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是__________．14．某高校每年都举行男子校园足球比赛，今年有7支代表队出线进入决赛阶段，其中的甲、乙两支队伍分别是去年的冠、亚军球队．根据赛制，先用抽签的方式，把7支出线球队随机分成A 、B 两组分别进行单循环赛，其中A 组3支球队、B 组4支球队，则甲、乙恰好在同一组的概率为__________．15．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线l 交x 轴于点K ，过F 作倾斜角为α的直线与C 交于A ，B 两点，若60AKB ∠=︒，则sin α=__________．16．已知四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 上，3AB =，4BC =，1CD =，AD =5AC =，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA PD ⊥，则球O 的体积为__________．四、解答题17．在①212log log 1n n a a +=+，②12nn n a a +=+，③22112n n n n a a a a ++-=（0n a >）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答，已知{}n n b a -为等差数列，{}n b 的前n 项和为n S ，且12a =，12b =，314b =，__________，是否存在正整数k ，使得2021k S >？若存在，求k 的最小值：若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．18．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，5CD =，23ABC π∠=．(1)若AC =ABCD 的面积； (2)若AC BD ⊥，求tan ABD ∠．19．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1122AC BC AA ===，M 、N 分别为AB 、11B C 的中点．（1）求证：//MN 平面11ACC A ﹔（2）若1B M =11B A M N --的余弦值．20．为了了解空气质量指数（AQI ）与参加户外健身运动的人数之间的关系，某校环保小组在暑假期间（60天）进行了一项统计活动：每天记录到体育公园参加户外健身运动的人数，并与当天AQI 值（从气象部门获取）构成60组成对数据()(),1,2,,60i i x y i =，其中i x 为当天参加户外健身运动的人数，i y 为当天的AQI 值，并制作了如下散点图：连续60天参加健身运动人数与AQI 散点图（1）环保小组准备做y 与x 的线性回归分析，算得y 与x 的相关系数为0.58γ≈-，试分析y 与x 的线性相关关系？（2）环保小组还发现散点有分区聚集的特点，尝试作聚类分析．用直线100x =与100y =将散点图分成I 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（如图），统计得到各区域的点数分别为5、10、10、35，并初步认定“参加户外健身运动的人数不少于100与AQI 值不大于100有关联”，试分析该初步认定的犯错率是否小于1%？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>右焦点为()1,0F ，且过点()2,0A -．（1）求C 的方程；（2）点P 、Q 分别在C 和直线4x =上，//OQ AP ，M 为AP 的中点，求证：直线OM 与直线QF 的交点在某定曲线上．22．设0a >且1a ≠，函数()sin sin f x ax a x =-． （1）若()f x 在区间0,2有唯一极值点0x ，证明：()0(){min }2,1f x a a ππ<-； （2）若()f x 在区间0,2没有零点，求a 的取值范围．参考答案1．B 【分析】先求得集合A ，根据补集，交集的概念，即可得答案. 【详解】由题意得：集合{}03A x x =≤≤，集合{}|1B x x =>， 所以{}U1B x x =≤，所以(){}U01A B x x ⋂=≤≤.故选：B 2．C【分析】根据复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝1+i ，得到z 2＝﹣1+i ，再利用复数的乘法求解. 【详解】∵复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝1+i ， ∴z 2＝﹣1+i ， ∴12z z ⋅=（1+i ）•（﹣1﹣i ）＝﹣1﹣i ﹣i ﹣i 2＝﹣2i ．故选：C ． 3．A 【分析】本题可根据充分条件以及必要条件的判定得出结果. 【详解】若a b c >>，则2a b c +>，故“a b c >>”是“2a b c +>”的充分条件，令5a =，1b =，2c =，满足2a b c +>，但不满足a b c >>， 故“a b c >>”不是“2a b c +>”的必要条件，综上所述，“a b c >>”是“2a b c +>”的充分不必要条件， 故选：A. 4．D【分析】用向量的加法和数乘法则运算. 【详解】由题意：点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点， ∴11122323EF ED DA AB BF AB AD AB AD AB AD =+++=--++=-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：解题时可根据加法法则，从向量的起点到终点，然后结合向量的数乘运算即可得. 5．B 【分析】每个月开通5G 基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通500万个5G 基站需要n 个月，结合等差数列的前n 项和公式列得关于n 的方程，解之即可． 【详解】每个月开通5G 基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列， 设预计我国累计开通500万个5G 基站需要n 个月，则 (1)70515002n n n -++⨯=， 化简整理得，298600n n +-=， 解得25.17n ≈或34.17-（舍负），所以预计我国累计开通500万个5G 基站需要25个月，也就是到2023年2月. 故选：B ． 6．D 【分析】由题意可得a 的范围，即可求出2a 的范围，根据指数函数的单调性，可求出0221a >=，根据对数函数的单调性，可求出11221log log 22a <=，即可得答案. 【详解】由题意得sin 22a ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2314a <<， 因为2xy =在R 上为单调递增函数， 所以0221a >=， 因为12log y x =在(0,)+∞上为单调递减函数，所以11221log log 22a <=， 所以212log 2aa a <<.故选：D 7．B 【分析】根据[]0,x π∈，得到()1sin cos sin 22f x x x x ==，然后求得导函数判断. 【详解】 因为[]0,x π∈，所以sin 0x ≥，()1sin cos sin 22f x x x x ==， 所以()cos2f x x '=，周期是T π=， 故选：B 8．C 【分析】求出导函数，根据导数与单调性、最值的关系判断． 【详解】3()f x x ax a '=++，令3()()g x f x x ax a '==++，则2()3g x x a '=+，当0a ≥时，()0g x '≥恒成立，()g x 即()'f x 在R 为增函数，()0f x '=有且只有一个实根0x ，且0x x <时，()0f x '<，()f x 递减，0x x >时，()0f x '>，()f x 递增，0x 是极小值点，也是最小值点．C 显然正确．0a =时，41()4f x x =，min ()(0)0f x f ==，0a >时，3000()0f x x ax a '=++=，300x ax a =--，30001x a x =->+，010x ，min 0()()f x f x =4222000000000001111131()(3)04242444x ax ax x ax a ax ax ax ax ax x =++=--++=+=+<，B 错误，当0a <时，(0)0f =，而0x =不是最小值点（因为(0)0f '≠），因此存在00x ≠，使得0()(0)f x f <，综上得A 错，由()0g x '=得1x =，2x =1x x <或2x x >时，()0g x '>，12x x x <<时，()0g x '<，即()g x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞上递增，在12(,)x x 上递减，所以()g x 极大值＝31111111()(23)33a g x x ax a x ax a a x =++=-++=+，当274a <-时，()g x 极大值0>，()g x 极小值＝2()(0)0g x g <<，因此()g x 即()'f x 在1(,)x -∞，12(,)x x ，2(,)x +∞上各有一个零点，从小到大依次为123,,t t t ，在1(,)t -∞，23(,)t t 上()0f x '<，()f x 递减，在12(,)t t ，3(,)t +∞上()0f x '>，()f x 递增，D 错误． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性与极值．解题基础是掌握单调性与导数的关系．解题关键是对“存在”、“任意”等词语的正确理解，掌握相应命题的求解方法． 9．AB 【分析】结合图象对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，2015年贫困发生率为5.7%，2019年为0.6%，下降了5.1个百分点，A 选项正确.对于B 选项，五年来农村贫困人口减少557555190.1%5575-≈，所以B 选项正确.对于C 选项，1516-年减少1.2%，1617-年减少1.4%，1718-年减少1.4%，1819-年减少1.1%，所以C 选项错误. 对于D 选项，2015年调查5575978075.7%≈（万人），2016年调查4335963334.5%≈（万人），2017年调查3046982583.1%≈（万人），故D 选项错误. 故选：AB 10．ABD 【分析】把方程与圆、圆锥曲线的标准方程比较得出相应曲线，然后再求解相应的性质．如离心率、渐近线、焦点坐标． 【详解】1m =-时，方程可化为222x y a +=，表示圆，A 正确；2m =-时，方程可化为222212x y a a +=，表示椭圆，其中长半轴长为'a =，短半轴长为b a '=，因此半焦距为c a ==，离心率为2c e a =='，B 正确； 2m =时，方程可化为222212x y a a -=，表示双曲线，其渐近线方程为222202x y a a -=，即y =，C 错；0m >时，方程可化为22221x y a ma-=，表示双曲线，半焦距为c ==，焦点坐标为(,0)，当10m -<<时，方程可化为22221x y a ma+=-，表示椭圆，长半轴长为a ，半焦距为c ==，焦点坐标为(,0)，D 正确．故选：ABD ． 【点睛】结论点睛：本题考查二次方程表示的曲线．方程221mx ny +=表示的曲线：（1）在0mn <时表示双曲线，0m n <<时，焦点在y 轴，0m n >>，焦点在x 轴； （2）0m n =>时，方程表示圆；（3）0m n >>，方程表示焦点在y 轴上的椭圆，0n m >>，方程表示焦点在x 轴上的椭圆．（4）0,0m n ≤≤时，方程无解；（5）0,0m n =>或0,0m n >=时方程表示两条直线． 11．ABD 【分析】利用特殊值，结合图象确定各个选项的正确性 【详解】对于AB 选项，取ωπ=，画出()sin 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象如下图所示，符合“在区间()0,1上恰有一条对称轴和一个对称中心”.此时2sin 14242ππππ++⎛⎫⎛⎫=>=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故AB 选项正确. 对于CD 选项，取3ω=，画出()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象如下图所示，符合“在区间()0,1上恰有一条对称轴和一个对称中心”.()40sin 45f π==<，由图可知在区间()0,1上有两个0x ，使04sin 45x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，C 选项错误.由图可知，存在()00,1x ∈，使0sin 04x πω⎛⎫+< ⎪⎝⎭，D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】有关三角函数图象与性质的题目，结合图象可以迅速解答. 12．CD 【分析】利用点N 的位置不同得到的截面α的形状判断选项A ，C ，利用线面垂直的判定定理分析选项B ，利用平面几何知识求相应的量结合梯形的面积公式求得截面的面积，从而可判断选项D ． 【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，M 为1AA 的中点，过1B M 作长方体的截面α交棱1CC 于N ，设0N 为1CC 的中点，根据点N 的位置的变化分析可得： 当12CN ≤≤时，截面α为平行四边形， 当01CN <<时，截面α为五边形，当0CN =时，即点N 与点C 重合时，截面α为梯形，故A 不正确，C 正确；设BN ⊥截面α，因为1B M ⊂面α，所以1BN B M ⊥，所以N 只能与C 重合才能使1BN B M ⊥，因为BN 不垂直平面1B CQM ，故此时不成立，故B 不正确； 因为当点N 与点C 重合时，截面α为梯形，如下图所示：过M 作MH 垂直于1B C 于H ，设梯形的高为h MH x =，，则由平面几何知识得：22222h x x ⎫-=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭=，解得x h ==，所以截面α的面积为：11222254h ⨯⨯=⨯⨯=⎭，故D 正确； 故选：CD ．【点睛】关键点睛：本题考查长方体的截面的形状，关键在于分析动点在不同的位置时，截面的形状，运用线面平行的判定定理和平面几何知识求得截面的面积． 13．y ex e =- 【分析】根据函数解析式求切点坐标，由导数的几何意义求(1,(1))f 处切线的斜率，写出切线方程即可． 【详解】依题意，由()2x f x e ex =-+，得(1)0f e e =-+=，即切点(1,0)；又()2x f x e ex '=-+，则曲线()y f x =在点(1,0)处切线的斜率(1)k f e '==， ∴切线方程为0e(1)yx ，即y ex e =-．故答案为：y ex e =- 14．37【分析】求出总的分组方法数，甲、乙恰好在同一组可以从其他5人中任选1人或任选2人与甲、乙军球队组成一队，求出方法后可得概率． 【详解】按题意总分组方法为37C ，冠、亚军球队在一起的方法数为1255C C +，所以所求概率为125537153357C C P C +===． 故答案为：37． 15．3【分析】设出直线AB 的方程为2px my =+，联立直线AB 的方程和抛物线方程，写出根与系数关系，根据60AKB ∠=︒列方程，解方程求得2m ，由此求得2tan α，进而求得sin α的值. 【详解】 依题意,0,,022p p F K ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，如图所示，A 在第一象限. 设直线AB 的方程为2p x my =+， 由222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 得2220y pmy p --=，所以21212,2y y pm y y p +==-，222440p m p ∆=+>，1121210,222KA KB y y y k k p p p x x x -===⎛⎫++-- ⎪⎝⎭， 依题意60AKB ∠=︒，所以tan AKB ∠=()tan 1KA KBKA KBk k AKF BKF k k -∠+∠==+⋅1212121222122y y p px x y y p p x x -++=+⋅++，化简得())()221212121p y y m y y y y -=++，)()2212121m y y y y =++=)222221m p m ++，消去2p并化简得2=，即423440m m --=，解得22m =，负根舍去.所以22222211sin sin tan 2cos 1sin m ααααα====-， 21sin 3α=，由于[)0,απ∈，所以sin 3α=. 故答案为：3【点睛】求解直线和抛物线相交有关的问题，联立直线方程和抛物线方程，写出根与系数关系后，要注意利用已知条件建立方程，通过方程来求解题目的问题.16．1256π【分析】取AC 中点O ，AD 中点H ，连接OH ，OB ，OD ，PH ，根据题中边长，可得AB BC ⊥，AD DC ⊥，根据面面垂直的性质定理，可得OH ⊥平面PAD ，根据题意，可得O 为四棱锥P ABCD -外接球的球心，利用勾股定理，求得OD ，代入公式，即可得答案. 【详解】取AC 中点O ，AD 中点H ，连接OH ，OB ，OD ，PH ，如图所示：因为3AB =，4BC =，1CD =，AD =5AC =， 所以222AB BC AC +=，即AB BC ⊥，222AD DC AC +=，即AD DC ⊥，又O 为AC 中点，所以O 到A ，B ，C ，D 的距离相等. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面=ABCD AD ，AD DC ⊥，所以DC ⊥平面PAD ，又因为O ，H ，分别为AC ，AD 中点， 所以OH DC ∕∕，即OH ⊥平面PAD ， 又PA PD ⊥，所以O 到P ，A ，D 的距离相等，所以O 为四棱锥P ABCD -外接球的球心，在Rt ADC 中，52OD ===, 所以球O 的体积333444512533326V R OD ππππ⎛⎫==⨯=⨯=⎪⎝⎭.故答案为：1256π 【点睛】解题的关键是熟练掌握面面垂直的性质定理，勾股定理，并灵活应用，直角三角形斜边中点，即为三角形的外心，以此作为突破口求解，属中档题. 17．选择见解析；存在；k 的最小值为10． 【分析】选①：得212log log 1n n a a +-=，所以2{log }n a 等差数列，即可求得n a 通项公式，再求得{}n b ，然后求和n S ，最后由不等式估算k 的最小值；选②：用累加法求得n a 通项公式，下同选①；选③：由22112n n n n a a a a ++-=整理得()()1120n n n n a a a a ++-+=，即可求得n a 通项公式，下同选①． 【详解】 选①：由21log log 1n n a a +=+得212log log 1n n a a +-=，所以2{log }n a 是首项为21log 1a =，公差为1的等差数列，所以()2log 111n a n n =+-⨯=，故2nn a =．又12b =，314b =，12a =，38a =， 所以110b a -=，336b a -=， 所以等差数列{}n n b a -的公差3311()()331b a b a d ---==-所以()()11131n n b a b a n d n -=-+-=-， 所以()231nn b n =+-，2123133(2222)3(123)3222nn n n nS n n +-=+++++++++-=-+． 由2021n S >得10n ≥，即存在正整数k ，使得2021k S >．且k 的最小值为10． 选②：由12n n n a a +=+得1212a a -=，3222a a -=，3432a a ，…，()1122n n n a a n ---=≥，相加得1123112(12)22222212n n n n a a ----=++++==--，又12a =，所以()22nn a n =≥，显然12a =也满足()22n n a n =≥，故2nn a =．下同选①． 选③：由22112n n n n a a a a ++-=整理得()()1120n n n n a a a a ++-+=，又0n a >，所以12n n a a +=，即12n na a +=， 所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2nn a =．下同选①． 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 18．(1)(2)tan 3ABD ∠=． 【分析】(1)ABC 中，利用含ABC ∠的余弦定理表达式建立BC 的方程，求出BC 而得ABC 面积，再利用面积关系求ADC 的面积得解；(2)由题设中角的信息用ABD ∠表示出ABC 与BDC 中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得tan ABD ∠的方程，解之即得. 【详解】(1)设BC x =，在ABC 中，由余弦定理2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠得：22228222cos3x x π=+-⋅⋅⋅，即22240x x +-=，而x>0，解得4x =， 所以4BC =，则ABC的面积11sin 2422ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠=⋅⋅=△ 梯形ABCD 中，//AB CD ，ABC 与ADC 等高，且52ABCD =， 所以ADC的面积52ABCADC S S ==△△ 则梯形ABCD的面积ABC ADC S S S =+=△△ (2)在梯形ABCD 中，设ABD α∠=，而AC BD ⊥，则BDC α∠=，2BAC πα∠=-，23DBC a π∠=-，6BCA πα∠=-，在ABC 中，由正弦定理sin sin AB BC BCA BAC=∠∠得：2sin()sin()62BCππαα=--，在BDC 中，由正弦定理sin sin CD BC DBC BDC=∠∠得：52sin sin()3BCπαα=-，两式相除得：212sin()2(cos sin )sin sin 3cos 5sin()sin()62παααααππααα-⋅+=⇒=--，整理得227sin cos 0αααα--=，即27tan 0αα--=解得tan α=tan 5α=-，因为(,)62ππα∈，则tan α=tan ABD ∠=． 【点睛】(1)三角形中已知两边及一边对角求第三边，利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解；(2)涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.19．（1）证明见解析；（2）3． 【分析】（1）取AC 的中点O ，连接OM 、1OC ，证明四边形1OMNC 为平行四边形，可得出1//MN OC ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角11B A M N --的余弦值． 【详解】（1）取AC 的中点O ，连接OM 、1OC ，在ABC 中，因为M 为AB 中点，O 为AC 中点，所以//OM BC ，且12OM BC =， 11//BB CC 且11BB CC =，所以，四边形11BB C C 为平行四边形，所以，11//BC B C 且11BC B C =，又因为点N 为11B C 的中点，所以1//C N BC ，且112C N BC =， 所以1//OM C N 且1OM C N =，从而四边形1OMNC 为平行四边形，所以1//MN OC ，又MN ⊄平面11ACC A ﹐1OC ⊂平面11ACC A ，所以//MN 平面11ACC A ； （2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，则1BB AB ⊥，因为1B M =14BB =，所BM ==故AB =222AC BC AB +=，从而AC BC ⊥．以点C 为原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系C xyz -如图所示，则()1,1,0M 、()12,0,4A 、()10,2,4B 、()0,1,4N ， ()11,1,4MB =-，()11,1,4MA =-，()1,0,4MN =-，设平面11MA B 的法向量为()1111,,x n y z =，则111100n MA n MB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111114040x y z x y z -+=⎧⎨-++=⎩，解得1110y x z =⎧⎨=⎩，令11x =，得()11,1,0n =，设平面1MA N 的法向量为()2222,,n x y z =， 则21200n MA n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222224040x y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，解得222248x z y z =⎧⎨=⎩，令21z =，得()24,8,1n =，所以121221cos ,329n n n n n n ⋅<>⋅===⨯，由图可知，二面角11B A M N --为锐角，所以二面角11B A M N --． 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.20．（1）答案见解析；（2）该初步认定的犯错率小于1%． 【分析】（1）由相关系数0.58γ≈-知y 与x 的线性相关关系以及线性相关性强弱； （2）建立22⨯列联表，计算2K 的值，对照附表得出结论. 【详解】（1）0.58γ≈-，y 与x 的相关关系为负相关， 且0.75γ<，故线性相关性不强，所以不建议继续做线性回归分析，得到回归方程，拟合效果也会不理想 （2）建立2×2列联表如下代入公式计算得2260(35050)1015452040K ⨯-==⨯⨯⨯查表知6.6351010.828<<，故犯错率在0.001与0.01之间， 所以该初步认定的犯错率小于1%．21．（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据已知条件求得,a b ，由此求得C 的方程.（2）设出,P M 的坐标，求得直线AP 的斜率，根据//OQ AP 求得直线OQ 的方程，从而求得Q 点的坐标，计算0OM FQ ⋅=，由此得到OM QF ⊥，从而判断出直线OM 与直线QF的交点在圆221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭上.【详解】（1）依题意知()2,0A -为椭圆C 的左顶点，故2a =， 又()1,0F 为C 的右焦点，所以221a b -=．于是23b =，b =所以C 的方程为22143x y +=．（2）设00()2),(P x y x ≠±，则002,22x y M -⎛⎫⎪⎝⎭， 直线AP 的斜率002y k x =+， 又//OQ AP ，所以直线OQ 的方程为002y y x x =+， 令4x =得0044,2y Q x ⎛⎫⎪+⎝⎭， 002,22x y OM -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0043,2y FQ x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，2220000003(2)23(4)4(*)222(2)x y x y OM FQ x x --+⋅=+=++，又P 在C 上，所以2200143x y +=，即22003412x y +=，代入（*）得0OM FQ ⋅=，所以OM QF ⊥．故直线OM 与QF 的交点在以OF 为直径的圆上，且该圆方程为221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． 即直线OM 与直线QF 的交点在某定曲线221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭上．【点睛】本题解题关键在于判断出OM QF ⊥，采用的方法是利用向量数量积的坐标运算.22．（1）证明见解析；（2）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【分析】（1）函数的极值点问题转化为函数的变号零点问题，先根据三角方程的根的情况分类讨论，探究有唯一变号零点的等价条件(注意二重零点的验证)，再利用常用不等式“(0,),sin x x x ∈+∞<”分段证明关于a 的不等式成立；（2）结合三角函数零点与最值点根据区间端点值符号分类，即转化为参数a 的分类讨论，先根据零点存在性定理排除端点值异号情况，再将端点值均大于零(同号)一类情况应用导数求解单调性，研究导函数零点，最后由函数先增后减性质得到无零点的结论. 【详解】（1）()11cos cos (cos cos )2sin sin 22a a f x a ax a x a ax x a x x +-'=-=-=- 当1a >时，由02x π<<，得1(0,(1))2a x a π+∈+，且()12a ππ+>，令0f x，即11sinsin 022a a x x +-⋅=. 由1sin02a x +=得， 则f x 在区间0,2至少有121x a π=+，241x a π=+两个零点， 121sin()sin 0211a a a a ππ--⋅=>++，1x ∴不是1sin 02a x -=的根，则1x 是f x 的变号零点，即1x 是()f x 在区间0,2的一个极值点.①当3a =时，由14sin()sin 021a a ππ-⋅==+，即2x 也是1sin02a x -=的根，2x 不是f x的变号零点.经验证知，当3a =时，()26sin 2sin 12sin cos f x x x x x =-'=-，(0,2)x π∈有两个零点3,22ππ，即()f x 有两个极值点. ②当1a >且3a ≠时，则()2114sin()sin211a a a a ππ--⋅=++， 由()21021a a ππ-<<+，且()211a a ππ-≠+，得()21sin 01a a π-≠+，知2x 不是1sin 02a x -=的根，2x 也是fx 的变号零点，即()f x 在区间0,2也至少有两个极值点.综上分析，当1a >时，()f x 在区间0,2至少有两个极值点，不合题意.当01a <<时，02x π<<，1((1),0)2a x a π-∈-，且()1a ππ->-， 故1sin 02a x -<，12sin 02a a x -->， 令0f x，即1sin 02a x +=， 1(0,(1))2a x a π+∈+，且()12a πππ<+<， 解得21x a π=+，当2(0,)1x a π∈+，()0f x '>，()f x 单调递增；当2(,2)1x a ππ∈+，()0f x '<，()f x 单调递减.故01a <<时，()f x 在区间0,2有唯一极值点021x a π=+， 此时000sin si ()n f x ax a x =- 将021x a π=+代入得022()sinsin 11a f x a a a ππ=-++ 22sinsin 211a a a a πππ⎛⎫=+- ⎪++⎝⎭2(1)sin1a a a π=++， ①当2112a a ≤+，即103a <≤时，()21a a ππ≤-，由不等式：0x >时，x sinx >(*)知：22(1)sin (1)211a a a a a a a πππ+<+=++ ②当2112a a >+，即当113a <<时，()12a a ππ-<，22(1)(1)sin(1)sin (1)sin 111a a a a a a a a a ππππ-⎛⎫+=+-=+ ⎪+++⎝⎭由不等式(*)知：(1)(1)(1)sin(1)(1)11a a a a a a a πππ--+<+=-++，由①②知(){}0min ,1()2f x a a ππ<-． （2）①当1a >时，sin sin sin 0f a a a a a a a ππππ⎛⎫⎛⎫=⋅-=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 33sin 022a f a ππ⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以302f f a ππ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由零点存在性定理知，()f x 在区间3,2a ππ⎛⎫⎪⎝⎭至少有一个零点； ②当112a <<时，2a πππ<<，2a πππ<<，22a πππ<<， sin 0f a a a ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()sin 0f a ππ=>，()2sin 20f a ππ=<，由零点存在性定理知．()f x 在区间(),2ππ至少有一个零点； ③当102a <≤时， ()()cos cos cos cos f x a ax a x a ax x '=-=- 当()0,x π∈时，102ax x x <≤<，则cos cos ax x >，0f x，()f x 是增函数；当(),2x ∈ππ时，0ax π<<，sin 0x <，且sin 0ax >， 令()cos cos g x ax x =-，则()sin sin 0g x a ax x '=-+<， 即()g x 递减，即fx 递减，又()(cos 1)0f a a ππ'=+>，且(2)(cos 21)0f a a ππ'=-<，由零点存在性定理知，0(,2)x ππ∃∈，使得0()0f x '=，当0(,)x x π∈时，0()0f x '>，()f x 单调递增；当0(,2)x x π∈时，0()0f x '<，()f x 单调递减，综上可知，当102a <≤时，()f x 在0(0,)x 上递增，在()0,2x π上递减. 又()00=f ，且由102a <≤，得2a ππ≤，即()2sin 20f a ππ=≥， 则()0,2x π∈时，恒有()0f x >． 所以()f x 在区间0,2没有零点，满足题意．综上所述，若()f x 在区间0,2没有零点，则正数a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】在与三角函数交汇的导数压轴问题中，分类讨论是解决这类问题的重要思想.但如何进行分类讨论是问题的难点，若能有效利用三角函数的有界性及变号区间，则能实现快速找到分类讨论的依据，从而实现问题的求解.。
广东省2021届高三数学第一次质检试题(扫描版)
2020年下期高三级第一次质检试题数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.答案ADBBC BDA 解析： 1、【答案】A 2、【答案】D【详解】解：(12)2112(12)(12)55i i i z i i i i -===+++-，所以2155z i =- ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．3、【答案】B 9033222325=⋅⋅A A C C 4、【答案】B【详解】当120n =时,每个等腰三角形的顶角为360=3120︒︒,则其面积为21sin 32S r ∆=︒, 又因为等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 所以221120sin 3sin 30.052260r r ππ⨯︒≈⇒︒≈≈, 5、【答案】C【详解】充分性：若0d <，则10n n a a d +-=<，即1n n a a +<，122n n a a +∴<，即1n n b b +<， 所以，数列{}n b 为递减数列，充分性成立；必要性：若{}n b 为递减数列，则1n n b b +<，即122n n a a +<，1n n a a +∴<，则10n n a a d +-=<， 必要性成立.因此，“0d <”是“{}n b 为递减数列”充要条件.6、【答案】B【详解】因为l 1⊥l 2，所以sinα﹣3cosα=0，所以tanα=3， 所以22tan 3tan 2.14tan ααα==--7、【答案】D【详解】∵()AB AC AE AB AC AB AE ⋅+=⋅+⋅，由数量积的几何意义可得：AB AC ⋅的值为AB 与AC 在AB 方向投影的乘积， 又AC 在AB 方向的投影为12AB =2，∴428AB AC ⋅=⨯=，同理4312AB AE ⋅=⨯=，∴()81220AB AC AE ⋅+=+=，8、【答案】A【详解】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.答案：9、BD 10、ACD 11、ABD 12、AB 9、【答案】BD 【详解】对A ，()20E X =，∴1100205p p =⇒=，∴14()1001655D X =⋅⋅=，412()114D D X X ⎛⎫⎝+== ⎪⎭，故A 错误； 对B ，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()||()f x f x =，()()22log 0|log |(1)f x f x f >⇔>，∴221log 11log 122x x x <⇔-<<⇔<<，故B 正确； 对C ，1102x x -<⇔<<，∴“0x >”推不出“02x <<”，而“02x <<”可以推出“0x >”，∴“0x >”是“11x -<”的必要不充分条件，故C 错误； 对D ，样本中心点为(), 2.8m -，∴0.3 2.84m m m ⋅-=-⇒=，故D 正确；10、【答案】ACD【详解】由函数的图象有112T =,则2T =，即22T πω==，所以ωπ=，则A 正确. 由图象可得，11()cos()=044f πϕ=+， 所以12.42k k Z ππϕπ+=+∈，即2.4k k Z πϕπ=+∈,由2πϕ<，所以4πϕ=，即()cos()4f x x ππ=+,所以B 不正确.所以函数()f x 的对称轴为：.4x k k Z ππππ+=+∈，即3.4x k k Z =+∈ 当时，34x =是函数()f x 的一条对称轴，所以C 正确.所以函数()f x 的对称中心满足：.42x k k Z ππππ+=+∈，即1.4x k k Z =+∈ 所以函数()f x 的对称轴心为1(,0)4+k ，k Z ∈，所以D 正确. 11、【答案】ABD【详解】A ，由题意可得抛物线的焦点F （2，0），所以A 正确；B ，由题意设直线PQ 的方程为：y 3=（x ﹣2），与抛物线联立整理可得：3x 2﹣20x +12＝0，解得：x 23=或6，代入直线PQ 方程可得y 分别为：43-，43， 由题意可得P （6，43），Q （23，43-）；所以|PQ |323=，所以B 正确； C ，如图M 在抛物线上，ME 垂直于准线交于E ，可得|MF |＝ME |，所以|MF |+|MN |＝|ME |+|MN |≥NE＝2+2＝4，当N ，M ，E 三点共线时，|MF |+|MN |最小，且最小值为4，所以C 不正确； D ，因为P （6，43），Q （23，43-），所以PF ，QF 的中点分别为：（４，23），（43，23-），所以由题意可得A （0，23），B （0，233-），所以|AB |＝22383333+=，所以D 正确；12、【答案】AB【详解】对于A 选项：12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，， ，，所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选项错误；对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =，所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-，所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确； 对于D 选项：()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()222312321f f f f f f f f =-=-，()233423432f f f f f f f f =-=-，，()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。
广东省2021届高三数学上学期第一次质量检测试题 文
最新学年高三级第一学期第一次质检试题文科数学2019-10本试卷共4页，22小题， 满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．已知集合{}{}21,20A x x B x x x =≥=--<，则AB =（ ）． A.{}1x x ≥ B.{}12x x ≤< C. {}11x x -<≤ D.{}1x x >- 2．设复数z 满足(3)3i z i +=-，则||z =（ ）．A.12B.1 2 D. 23．为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1000名学生课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：参加场数12 3 4 567参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20%26%18%12% 4% 2%估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是（ ）．A.参加活动次数是3场的学生约为360人B.参加活动次数是2场或4场的学生约为480人C.参加活动次数不高于2场的学生约为280人D.参加活动次数不低于4场的学生约为360人4．已知双曲线C :222210,0)x y a b a b-=>>（，直线y b =与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ，O 为坐标原点．若OMN ∆为直角三角形，则C 的离心率为（ ）． 23C.255．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则9a =（ ）．A.12B.54C.45D. 45-6．已知1sin()62πθ-=，且02πθ∈（，），则cos()3πθ-=（ ）．A. 0B.12 C.1 37．如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2. 在圆O 内，将线段MN 绕N 点按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将线段MN 绕M 点按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动……点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分.若在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（）．A.4π-12π-C.2π-D.2π8．在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足2BM MA =，则CM CA ⋅=（ ）．A．2B ．C ．6D ．1529．已知函数()314,025,0x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩（），，当[],1x m m ∈+时，不等式()()2f m x f x m -<+恒成( )．A 11．已知过抛物线2y =焦点F l 与x 轴交于点C ，AM l ⊥于点M ，则四边形AMCF 的面积为( ) A ．B ．12C ．D ．12．若关于x 的方程0x e ax a +-=没有实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(2,0e -⎤⎦B ．)20,e ⎡⎣C ．(],0e -D ．[)0,e二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．13．若实数,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于______．14．已知长方体1111ABCD A B C D -的外接球体积为323π，且12AA BC ==，则直线1A C 与平面11BB C C 所成的角为______．15．将函数()sin cos f x a x b x =+(),0∈≠R ,a b a 的图象向左平移π6个单位长度，得到一个偶函数图象，则=ba______． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n =-+-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，.已知sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求角C 的值；(Ⅱ)若4a c ==，ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)为了了解A 地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：(Ⅰ)(已知：0.751r ≤≤，则认为y x 与线性相关性很强；0.30.75r ≤<，则认为y x 与线性相关性一般；0.25r ≤，则认为y x 与线性相关性较弱)；(Ⅱ)求y 关于x 的线性回归方程，并预测A 地区2019年足球特色学校的个数(精确到个).参考公式：()()()()12211niii nni i i i x x yy r x x y y ===--=--∑∑∑，()2110ni i x x =-=∑，()211.3ni i y y =-=∑，13 3.6056≈，()()()121ˆˆˆ.nii i nii xx y y bay bx xx ==--==--∑∑，19.(本小题满分12分)如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，2CB GF =，BF CF =.(Ⅰ)求证：AB CG ⊥；(Ⅱ)若ABC ∆和梯形BCGF 的面积都等于3，求三棱锥G ABE -的体积.20.(本小题满分12分)已知直线:10l x y -+=与焦点为F 的抛物线2:2C y px =(0p >)相切. (Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值.21.(本小题满分12分)已知函数()223ln f x x ax a x =-+(a R ∈). (Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)若对于任意的2x e ≥(e 为自然对数的底数)，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x t y a t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线()03θρπ=≥与曲线C 交于,O P 两点，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点. （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）当AB OP =时，求a 的值.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()32f x x =+. (Ⅰ)求()1f x ≤的解集；(Ⅱ)若()2f x a x ≥恒成立，求实数a 的最大值.最新学年高三级第一学期第一次质检文科数学试题参考答案一、选择题 1.D 2.B 3.D 4.A 5.C 6.C 7.B 8.D 9.B 10.C 11.A 12.A 1.【简解】()(){}{}|2+10|12B x x x x x =-<=-<<，所以{}|1A B x x =>-，故选D ．2.【简解一】因为()()()()3i 3i 3i i ==3+i3+i 3i 8610z ----=-，所以1z=，故选B ．【简解二】因为(3+i)3i =-z ，所以(3+i)(3+i)=3i z z =-，所以1z =，故选B ． 3.【简解】估计该校高一学生参加活动次数不低于4场的学生约为：1000+⨯（0.180.12+0.04+0.02)=360人，故选D.4.【简解】依题意得：因为∆OMN 为直角三角形，所以双曲线C 的渐近线为=y x ±，即C 是等轴双曲线，所以C的离心率=e A ．5.【简解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ． 6.【简解一】由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得，πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．【简解二】由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，πcos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 7. 【简解一】依题意得：阴影部分的面积2136[222632S =⨯π⨯-⨯⨯π-1（）624-6333122P πππ==-⋅，故选B ． 【简解二】依题意得：阴影部分的面积2132622=4322S =π⨯-⨯⨯⨯⨯π-4-63331P π==，故选B ．8.【简解一】依题意得：121211215)333333333232CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ．【简解二】依题意得：以C 为原点，CA 所在的直线为x 轴建立平面直角直角坐标系，则530,03,02C A M （），（），（，），所以53153,022CM CA ⋅==（，（），故选D ． 【简解三】依题意得：过M 点作MD AC ⊥于D ，如图所示，则CM CA ⋅=CD CA ⋅=15(31cos60)32-⨯⨯=，故选D ． 9. 【简解】依题意得：函数()314,025,0x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩（）在x ∈R 上单调递减，因为()()2-<+f m x f x m ，所以2m x x m ->+，即2x m <，在[],1∈+x m m 上恒成立，所以2(1)m m +<，即2m <-，故选B ．10. 【简解】【解析】∵函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，∴当2x >-时，()0f x '>；当2x =-时，()0f x '=；当2x <-时，()0f x '<．∴当20x -<<时，()0xf x '<；当2x =-时，()0xf x '=；当2x <-或0x >时，()0xf x '>.选：C ．11.【解答】解：解：过B 作BN l ⊥于N ，过B 作BK AM ⊥于K ，设||BF m =，DABM||3AF m =，则||4AB m =，2AK m =，1360222BAA CF p m ⇒∠=︒⇒===42m ∴=342AM m ⇒==3sin 60326MC AF m =︒==则四边形AMCF 的面积为11()(2242)2612322S CF AM MC =+=⨯A ．12.【解答】解：方程0x e ax a +-=没有实数根，得方程(1)x e a x =--没有实数根， 等价为函数x y e =与(1)y a x =--没有交点，当0a >时，直线(1)y a x =--与x y e =恒有交点，不满足条件． 当0a =时，直线0y =与x y e =没有交点，满足条件．当0a <时，当过(1,0)点的直线x y e =相切时，设切点为(,)m m e ，则()x f x e '=，则()m f m e '=， 则切线方程为()m m m m y e e x m e x me -=-=-．即m m m y e x me e =-+， 切线过(1,0)点，则0m m m e me e -+=，得2m =，即切线斜率为2e ， 要使x y e =与(1)y a x =--没有交点，则满足20a e <-<，即20e a -<<， 综上20e a <，即实数a 的取值范围是2(e -，0]，故选：A ． 二、填空题13.【简解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：3y x z =-，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为20:220x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3z x y =-的最小值()min 173122z =⋅--=-． 14.【简解】设长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为R ，因为长方体1111ABCD A B C D -的外接球体积为343233R ππ=，所以2R =,即1A C 2221=24AA BC AB R ++=，因为12AA BC ==，所以22AB =因为11A B ⊥平面11BB C C ，所以1A C 与平面11BB C C 所成的角为11ACB ∠， 在11Rt ACB △中，因为12AA BC ==，所以11122B C A B ==，所以11=4ACB π∠．15. 【简解】因为()sin cos f x a x b x =+(),0∈≠R ,a b a 的图象向左平移π6单位长度，得到偶函数图象，所以函数()sin cos f x a x b x =+的对称轴为π6x =，所以()sin cos =(0)=333f a b f b πππ=+，因为0a ≠，所以ba16. 【简解】因为11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数），所以111a λ=-=，解得=2λ，所以21n n S a =-，所以()-1-1212n n S a n =-≥，所以12n n a a -=，所以12n n a -=，因为2920n n a b n n =-+-，所以2-19202n n n n b -+-=， 所以2+111+28(4)(7)22n n n nn n n n b b ----==0<，解得47n <<，又因为*n ∈N ，所以=5n 或=6n ．所以，当=5n 或=6n 时，1n n b b +<，即满足条件的n 的取值集合为{}5,6． 三、解答题：17.(本小题满分12分)解: (Ⅰ)∵sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴1sin sin sin sin 02B C C C B ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，………………2分∴1sin 02C C =，∴sin 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………………………………4分∵()0C π∈，，∴23C π=. …………………………6分(Ⅱ)∵2222cos c a b ab C =+-，∴24120b b +-=， ………………………………8分∵0b >，∴2b =， ……………………………… 10分∴11sin 2422S ab C ==⨯⨯=…………………………12分18.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)20161x y ==，， …………………………2分()()()()122113.60.753.605610 1.3niii nni i i i x x yy r x x y y ===--===>--∑∑∑，……………………4分 ∴y x 与线性相关性很强. …………………………6分(Ⅱ)()()()()()()()5152120.710.410.420.7ˆ0.3641014iii ii x x yy bxx ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯===++++-∑∑， (8)分ˆˆ120160.36724.76ay bx =-=-⨯=-， ………………………………9分∴y 关于x 的线性回归方程是ˆ0.36724.76yx =-. …………………………10分当2019x =时，ˆ0.36724.76 2.08yx =-=， 即A 地区2019年足球特色学校有208个. …………………………12分19.(本小题满分12分)(Ⅰ)证明：取BC 的中点为D ，连结DF . …………………………1分 由ABC EFG -是三棱台得，平面//ABC 平面EFG ，∴//BC FG .………2分 ∵2CB GF =，∴//CD GF =，……………………………………3分 ∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点，∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.……………………4分∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ，∴CG ⊥平面ABC ，而AB ⊂平面ABC ，∴CG AB ⊥. ……………………6分 (Ⅱ)∵三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，且2CB GF =，∴2AC EG =，∴2ACG AEG S S ∆∆=， ………………………………8分 ∴1122G ABE B AEG B ACG G ABC V V V V ----===. …………………………9分 由(Ⅰ)知，CG ⊥平面ABC .∵正ABC ∆的面积等于3，∴2BC =，1GF =. …………………………10分 ∵直角梯形BCGF 的面积等于3，∴()1232CG+⋅=，∴233CG =，∴11112233G ABE G ABC ABC V V S CG --∆==⋅⋅⋅=. (12)分20.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)∵直线:10l x y -+=与抛物线C 相切.由2102x y y px-+=⎧⎨=⎩消去x 得，2220y py p -+=，……2分从而2480p p ∆=-=，解得2p =. ………………………………4分∴抛物线C 的方程为24y x =. …………………………5分(Ⅱ)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为1ty x =-，A (11x y ，)，B (22x y ，).……6分由214ty x y x=-⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=， ………………………………7分∴124y y t +=，从而21242x x t +=+， ……………………………………8分∴线段AB的中点M 的坐标为(221 2t t +，). ………………………………9分设点A 到直线l 的距离为A d ，点B 到直线l 的距离为B d ，点M 到直线l 的距离为d ，则221322124A B d d d t t ⎫+===-+=-+⎪⎭， …………………………11分∴当12t =时，可使A 、B 两点到直线l 的距离之和最小，. ………………12分21.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)()f x 的定义域为(0 +∞，). …………………………1分()()222223223a x x a a x ax a f x x a x x x⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭'=-+==. …………………………2分⑴当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 的单调递增区间为(0 +∞，)，无单调递减区间；…………3分⑵当0a >时，由()0f x '>解得0 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，() a +∞，，由()0f x '<解得2a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，.………………4分∴()f x 的单调递增区间为0 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，和()a +∞，，单调递减区间是2a a ⎛⎫⎪⎝⎭，. ……………………5分(Ⅱ)①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0 +∞，)上单调递增， ∴()2422()320≥=-+≥f x f e e ae a 恒成立，符合题意. …………………………6分②当0a >时，由(Ⅰ)知，()f x 在 0 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，和()a +∞，上单调递增，在2a a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减. (ⅰ)若202a e <≤，即22≥a e 时，()f x 在2 2a e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递增，在2a a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递减，在()a +∞，上单调递增.∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需 ()20f e ≥，且()0f a ≥.……………………………7分而当22≥a e 时，()22242223(2)()0=-+=--≥f e a ae e a e a e 且()22223ln (ln 2)0=-+=-≥f a a a a a a a 成立.∴22a e ≥符合题意. ………………………………8分(ⅱ)若22ae a <≤时，()f x 在)2e a ⎡⎣，上单调递减，在[)a +∞，上单调递增. ∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需()0≥f a 即可， 此时()22223ln (ln 2)0=-+=-≥f a a a a a a a 成立，∴222e a e ≤<符合题意.…………………………9分(ⅲ)若2e a >，()f x 在)2e ⎡+∞⎣，上单调递增. ∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需 ()2422320f e e ae a =-+≥，……………………10分即()()()2422223220f e e ae a a e a e =-+=--≥，∴202e a <≤符合题意.……………………………11分综上所述，实数a 的取值范围是)222e e ⎛⎤⎡-∞+∞ ⎥⎣⎝⎦，，. …………………………12分 22.(本小题满分10分)【解析】（1）将直线l0y a +-=. ········ 2分 由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=， ····················· 3分 从而224x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为2240x x y -+=. ········ 5分（2）解法一：由()4cos 03ρθθρ=⎧⎪π⎨=≥⎪⎩，得2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以2OP =， ········· 6分 将直线l 的参数方程代入圆的方程2240x x y -+=，得()2220t t a ++=由0∆>，得44a << …………………………………………………………8分设A 、B 两点对应的参数为12,t t ，则12AB 2t t =-=== (9)分解得，0a =或a =.所以，所求a的值为0或………………………………………………10分解法二：将射线()03θρπ=≥()00y x -=≥，······· 6分 由（1）知，曲线C ：()2224x y -+=的圆心()2,0C ，半径为2， 由点到直线距离公式，得C到该射线的最短距离为：d ==， 所以该射线与曲线C相交所得的弦长为2OP ==．········ 7分圆心C 到直线l=， ·············· 8分由22212+=⎝⎭，得()212a=，即a =± ······ 9分解得，0a=或a = 所以，所求a的值为0或……………………………………10分23.(本小题满分10分)解：(Ⅰ)由()1f x ≤得，|32|1x +≤，所以，1321x -≤+≤，解得113x -≤≤-，所以，()1f x ≤的解集为113⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，. …………………………5分(Ⅱ)()2f x a x ≥恒成立，即232+≥x a x 恒成立. 当0x =时，a R ∈；当0x ≠时，23223+≤=+x a x x x.因为23x x +≥当且仅当23x x =，即x =时等号成立)，所以a ≤a 的最大值是…………………………10分。
2021届广东省汕头市高三第一学期普通高中毕业班教学质量监测数学试题【含答案】
2021届广东省汕头市高三第一学期普通高中毕业班教学质量监测数学试题【含答案】考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名等信息填涂在答题卡相应位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷 选择题一、单项选择题：本题共8小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合()(){}240A x x x =--<，{}3B x x =<，则A B ⋃=（ ） A ．{}2x x >B ．{}4x x <C ．{}23x x <<D ．R2．已知a 是实数，1a ii--是纯虚数，则a =（ ） A ．1B ．2-C ．1-D ．23．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数，现有一组勾股数3，4，5，则由这组勾股数组成没有重复数字的三位数中，能被2整除的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．234．已知()3sin3a =，sin33b =，lnsin3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c a b <<5．爱美之心，人皆有之健身减肥已成为很多肥胖者业余选择的项目．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了100名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg ）情况如柱状图1所示，经过六个月的健身后，他们的体重情况如柱状图2所示．对比健身前后，关于这100名肥胖者，下面结论不正确．．．的是（ ）柱状图1柱状图2A ．他们健身后，体重在区间[)90,100内的人数增加了10个B ．他们健身后，原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少C ．他们健身后，体重在区间[)100,110内的人数没有改变D ．因为体重在[)100,110内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响 6．()()522x y x y --的展开式中的33x y 系数为（ ）A ．200-B ．120-C ．120D ．2007．已知定义在R 的函数()y f x =满足以下条件：①对任意R x ∈都有()()0f x f x --=；②对任意[)12,0,x x ∈+∞且12x x ≠都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦；③()20f =，则不等式()2log 0f x >的解集为（ ） A ．()10,4,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()(),22,-∞⋃+∞C ．()4,+∞D ．()2,+∞8．运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等现将椭圆2211636x y +=绕y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图3），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）图1图2图3A ．64πB ．148πC ．128πD ．32π二、多项选择题：本题共4小题．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．已知数列{}n a 是公差为3的等差数列，41a =，数列{}n a 前n 项和为n S ，下面选项中正确的是（ ）A ．8621a a =+B ．n S 小值为15-C ．0n S >时n 的最小值为7D ．{}n a 前n 项之积最大值4010．下列不等式正确的有（ ） A ．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数2sin sin y x x=+的最小值为22 B ．若log xa a x >恒成立，则22a ≤C ．函数312y x x=--()0x <的最小值为126+ D ．已知实数a ，b 满足ln ln a b =且a b ≠，则14a b+的最小值是411．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如上图所示，现将()y f x =的图象向左平移4π个单位，得到()y g x =的图象，下列说法错误．．的是（ ）A ．该图象对应的函数解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．函数()y g x =的图象关于直线6x π=对称C ．函数()y g x =的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．函数()y g x =在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 12．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为线段1AB 上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．平面BCM ⊥平面1A AMB ．三棱锥1B MBC -体积最大值为16C ．当M 为1AB 中点时，直线1BD 与直线CM 所成的角的余弦值为2 D ．直线CM 与1A D 所成的角不可能是4π第Ⅱ卷 非选择题三、填空题：本题共4小题．13．设向量(),1a x =，()2,b x =-，且a b ⊥，则x =______．14．已知ABC △的三个顶点分别为()3,0A -，()2,1B ，()2,3C -，则顶点B 到BC 边上中线AD 所在直线的距离为______．15．如图，一辆汽车以每秒20米的速度在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北15°的方向上，行驶到达B 处时，测得此山顶D 在西偏北75°的方向上，仰角为60°，已知山的高度()360062CD =-米，则汽车从A 到B 行驶了______小时．16．直三棱柱的顶点都在一个半径为3的球面上，底面是等腰ABC △，且34AB AC BC ==，当直三棱柱的体积最大时，此时它的高的值为______．四、解答题：本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①222sin sin sin sin sin A B C B C +=+，②2cos 2a C b c =-这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并解答．已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b c ，23a =，4b =且满足______，求ABC △面积． 18．已知公比不为1的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，4181a =，且1S ，2S ，33a 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()cos n n b a n π=⋅，求数列{}n nb 的前n 项和．19．已知边长为2的等边ABC △（图1），点D 和点E 分别是边AC 、AB 上的中点，将ADE △沿直线DE折到ADE △的位置，使得平面A DE '⊥平面BCDE （图2），此时点O 和点P 分别是边DE 、BE 上的中点．（1）证明：CD ⊥平面A OP '；（2）求平面A CD '与平面BCDE 所成锐二面角的余弦值．图1图220．当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化，为提高防控能力以及实效，某学校为宣传防疫知识做了大量工作，近期该校还将准备组织一次有关新冠病毒预防知识竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两阶段进行．初赛共有5道必答题，答对4道或4道以上试题即可进入决赛；决赛阶段共3道选答题．每位同学都独立答题，且每道题是否答对相互独立．已知甲同学初赛阶段答对每道题的概率为23，决赛阶段答对每题的概率为13． （1）求甲同学进入决赛的概率；（2）在决赛阶段，若选择答题，答对一道得4分，答错一道扣1分，选择放弃答题得0分，已知甲同学对于选答的3道题，选择回答和放弃回答的概率均为12．已知甲同学已获决赛资格，求甲同学在决赛阶段，得分x 的分布列及数学期望．21．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>其左、右焦点分别为1F 、2F ，且离心率为22，点B 为椭圆的一个顶点，三角形12BF F 的面积为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 为椭圆的左顶点，点P 在椭圆C 上，线段AP 的垂直平分线与y 轴相交于点Q ，若PAQ △为等边三角形，求点P 的横坐标． 22．已知()()ln 11xf x ae x =-+-．（1）当1a =时，求()f x 的最小值； （2）若()1ln f x a≥恒成立，求a 的取值范围．参考答案一、单项选择题：本题共12小题． 1．B2．C3．B4．D5．D6．A7．A8．C二、多项选择题：本题共4小题． 9．BCD10．CD11．BD12．ABC三、填空题：本题共4小题． 13．0147131315．0.116．23四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：若选①：222sin sin sin sin sin A B C B C +=+， 由正弦定理得222a b c bc =+-，又23a =4b =，代入222a b c bc =+- 解得2c =． ∵222b ac =+ ∴2B π=∴ABC △面积112322322ABC S ac ==⋅=△ 若选①：222sin sin sin sin sin A B C B C +=+， 由正弦定理得222a b c bc =+-，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， ∵0A π<< ∴3A π=．又23a =4b =，代入222a b c bc =+- 解得2c =．∴ABC △面积113sin 422322ABC S bc A ==⋅⋅=△ 若选①：222sin sin sin sin sin A B C B C +=+，由正弦定理得222a b c bc =+-，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， ∵0A π<< ∴3A π=．又23a =，4b =，由正弦定理sin sin a b A B =得234sin sin 3Bπ=，∴sin 1B =． ∵0B π<<，∴2B π=．∴6C π=．∴ABC △面积111sin 23423222ABC S ab C ==⋅⋅⋅=△． （得到2B π=后，也可以算出边222c b a =-=．然后112322322ABC S ac ==⋅⋅=△．） 若选②：2cos 2a C b c =-，由余弦定理得222222a b c a b c ab+-⋅=-， 整理得222a b c bc =+-， 下面的解答与选①的各种解法一样 若选②：2cos 2a C b c =-，由余弦定理得222222a b c a b c ab+-⋅=-， 整理得222a b c bc=+-，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， ∵0A π<< ∴3A π=．下面的解答与选①的各种解法一样 若选②：2cos 2a C b c =-，由正弦定理得()2sin cos 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin A C B C A C C A C A C C =-=+-=+-整理得2cos sin sin A C C =()sin 0C ≠， ∴1cos 2A =，()0A π<< ∴3A π=．下面的解答与选①的各种解法一样（若用其他解法做对按分值和相应步骤给分）18．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ()1q ≠，且1S ，2S ，33a 成等差数列 所以有21323S S a =+∴()121323a a a a +=+，即23210q q --=，且1q ≠解得：13q =-，又4181a =∴3111381a ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，即113a =-∴1113nn n a a q -⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭．（2）由（1）可知，13n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得1cos 3nn b n π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭∵()cos 1nn π=-∴()11133nnn n b ⎛⎫⎛⎫=-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13nn nb n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∴12311111233333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴23411111112333333n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①－②，得1231211111333333nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11113311313nn n +⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⨯ ⎪⎝⎭-111112233n n n +⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴1331133213234432344343nnnn n nn n n T ++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯=-⋅=⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 19．（1）连接BD∵点O 和点P 分别是边DE 、BE 上的中点． ∴//BD OP∵等边ABC △中，点D 是边AC 的中点 ∴DC BD ⊥∴DC OP ⊥∵等边ADE △中，点O 是边DE 的中点 ∴A O DE '⊥又∵A O '⊂平面A DE '∵平面A DE '⊥平面BCDE 且平面A DE '⋂平面BCDE DE = ∴A O '⊥平面BCDE ∴A O CD '⊥ ∵A O OP O '⋂=∴CD ⊥平面A OP '（2）连接BC 的中点H ，由图1得OH BC ⊥以O 为坐标原点，分别以OH ，OD ，OA '所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则30,0,2A ⎛' ⎝⎭，10,,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，32C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以130,,22DA ⎛'=- ⎝⎭，31,022DC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面A CD '的法向量为(),,n x y z =．由1302231022n DA y z n DC x y ⎧'⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取3y =()1,3,1n =-； 因为平面BCDE 的法向量为()0,0,1m = 设平面A CD '与平面BCDE 所成锐二面角为θ5cos131m nm nθ⋅===++所以，平面A CD'与平面BCDE所成锐二面角的余弦值为5．20．解：（1）甲同学进入决赛的概率为：454555212112333243P C C⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）依题意得，甲同学每道题选择回答并答对的概率为111236⨯=，选择回答且答错的概率为111236⨯=，选择放弃回答的概率为12．X的可能取值为3-，2-，1-，0，2，3，4，7，8，12．所以()3113327P X⎛⎫=-==⎪⎝⎭，()2131112236P X C⎛⎫=-=⨯⨯=⎪⎝⎭，()2231111234P X C⎛⎫=-=⨯⨯=⎪⎝⎭，()31128P X⎛⎫===⎪⎝⎭，()22311123618P X C⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭，()1132111132366P X C C==⨯⨯⨯⨯=，()2231114268P X C⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭，()21311173636P X C⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭，()21311182624P X C⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭，()311126216P X⎛⎫===⎪⎝⎭，所以X的分布列为：X3-2-2-0 2 3 4 7 8 12 P12716141811816181361241216 ()()()()32123478121 276418683624216E x=-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．21．【解答】解：（1）由题意有：222222c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得：22a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为：22142x y += （2）方法1：设()00,P x y ，则2200142x y +=，且()2,0A -， 若点P 为右顶点，则点Q 为上（或下）顶点4AP =，6AQ =PAQ △不是等边三角形，不合题意，所以02x ≠±，00y ≠．设线段PA 中点为M ，所以002,22x y M -⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为PA MQ ⊥，所以1PA MQ k k ⋅=-，因为直线PA 的斜率002AP y k x =+，所以直线MQ 的斜率002MQ x k y +=-， 又直线MQ 的方程为00002222y x x y x y +-⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 令0x =，得到()()00002222Q x x y y y +-=+ 因为2200142x y +=，所以02Q y y =-， 因为PAQ △为正三角形， 所以AP AQ =()2222000224y x y ++=+化简，得到200532120x x ++=，解得025x =-，06x =-（舍） 故点P 的横坐标为25-． 方法2：设()00,P x y ，直线AP 的方程为()2y k x =+．当0k =时，点P 为右顶点，则点Q 为上（或下）顶点，4AP =，6AQ =PAQ △不是等边三角形，不合题意，所以0k ≠． 联立方程()221422x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元得()2222128840k x k x k +++-=， 所以160∆=>，所以()2028212k x k -+-=+， 设线段PA 中点为M ，所以20224212M x k x k --==+，2224221212M k k y k k k ⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭， 所以22242,1212k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为AP MQ ⊥，所以1MQ K k=-， 所以直线MQ 的方程为2222141212k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭， 令0x =，得到22222142121212Q k k k y k k k k -=-⋅=+++， 因为PAQ △为正三角形，所以AP AQ =， 222242141212k k k k -⎛⎫+=+ ⎪++⎝⎭ 化简，得到42430k k +-=，解得234k =，21k =-（舍）， 所以202422125k x k -+==-+， 故点P 的横坐标为25-． 方法3：设()00,P x y ，当直线AP 的斜率为0时，点P 为右顶点，则点Q 为上（或下）顶点，4AP =，6AQ =PAQ △不是等边三角形，不合题意，所以直线AP 的斜率不为0．设直线AP 的方程为2x ty =-，联立方程221422x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消元得，()22240t y ty +-=， 所以0242t y t =+， 设线段PA 中点为M ，所以222M t y t =+，242M x t -=+， 所以2242,22t M t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 因为AP MQ ⊥，所以1MQ k k =-， 所以直线MQ 的方程为222422t y t x t t -⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭， 令0x =，得到222Q t y t -=+ 因为PAQ △为正三角形，所以AP AQ = 2222421422t t t t t ⎛⎫+=+ ⎪++⎝⎭化简，得到42340t t --=，解得243t =，21t =-（舍） 所以20224245t x t -==-+， 故点P 的横坐标为25-． 22．解：（1）当1a =时，()()ln 11x f x e x =-+-，()f x 的定义域为()1,-+∞，∵()11x f x e x '=-+，()()2101x f x e x ''=+>+恒成立，故()f x '在()1,-+∞上单调递增（不二次求导直接判断，不扣分），∵()00f '=，∴当()1,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,x ∈+∞时，()0f x '>∴()()min 00f x f ==．（2）若原式成立，即()ln 1ln 10xae x a -++-≥恒成立， 令()()ln 1ln 1xg x ae x a =-++-，()1,x ∈-+∞，()0,a ∈+∞，∵()11x g x ae x '=-+，()()2101x g x ae x ''=+>+，∴()g x '在()1,-+∞上单调递增， 当1a =时，由知()()0g x f x =≥恒成立，故1a =成立；当01a <<时，()0ln 110g a a a =+-<-<，故不成立；当1a >时，()010g a '=->，11111110a a g ae a a e a --⎛⎫⎛⎫'-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()1100g g a ⎛⎫''-⋅< ⎪⎝⎭，∴()g x '在()1,-+∞上有唯一零点0x ，且011,0x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 当()01,0x ∈-时，()0g x '<，当()00,x ∈+∞时，()0g x '>，∴()000101x g x ae x '=-=+，则0011x ae x =+，即()00ln ln 1a x x +=-+， ∴()()()0000min 01ln 1ln 1ln ln 11x g x g x ae x a a x a x ==-++-=+++-+ ()()00001112ln 2212ln 22ln 011x a x a a x x =+++->⋅+-=>++， 故1a >成立，所以，综上所述1a ≥．。
广东省2021届高三数学上学期第一次质量检测试题 理
最新学年第一学期高三第一次质检理 科 数 学 试 卷总分：150分 完成时间：120分钟 2019.10 班级 姓名 座号 成绩 一．选择题（60分）1.已知集合{}=|10A x x -<，{}2|20B x x x =-<，则A B =A.{}|0x x <B.{}|1x x <C.{}|01x x <<D.{}|12x x <<2.已知,p q R ∈，1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则p q ⋅=A.4-B.0C.2D.43.已知ln3a =，3log 10b =，lg3c =，则a ，b ，c 的大小关系为A.c b a <<B.a c b <<C.b c a <<D.c a b <<4.函数()21x f x x-=的图象大致为A. B.C. D.5.右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A 和M .在此图内任取一点，此点取自A 区域的概率记为()P A ，取自M 区域的概率记为()P M ，则A.()()P A P M >B.()()P A P M <C.()()P A P M =D.()P A 与()P M 的大小关系与半径长度有关6.右图是判断输入的年份x 是否是闰年的程序框图，若先后输入1900x =，2400x =，则输出的结果分别是（注：xMODy 表示x 除以y 的余数） A.1900是闰年，2400是闰年 B.1900是闰年，2400是平年 C.1900是平年，2400是闰年 D.1900是平年，2400是平年7.若sin 78m =，则sin 6=A.12m + B.12m - C.1m + D.1m- 8.已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若3S ,9S ,27S 成等比数列，则93S S = A.3B.6C.9D.129.双曲线)0(1:222>=-a y ax C 的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点，若PF PO =，则OPF S ∆的最小值为A.41 B.21 C.1 D.210．已知函数()ln4xf x x=-，则 A. ()y f x =的图象关于点(2,0)对称 B. ()y f x =的图象关于直线2x =对称 C. ()f x 在(0,4)上单调递减 D. ()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增 11．已知函数()sin 3cos f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为A. 3π-B. 0C.3πD.23π 12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0,2]x ∈时，()22xf x =-，函数()()log (1)a g x f x x =-+()0,1a a >≠在区间(1,9]-内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是A ．1(0,)(7,)9+∞ B. 1(,1)(1,3)9 C. 11(,)(3,7)95 D. 11(,)(5,3)73二、填空题（共20分）13.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤+-≥+-02201202y x y x y x ，则y x z -=3的最大值为______.14.已知21,e e 是夹角为60°的两个单位向量，21212,e e b e e a -=-=，则=⋅b a _____. 15.已知函数()04sin )(>⎪⎭⎫⎝⎛+=ωπωx x f ，若)(x f 在[]π2,0上恰有3个极值点，则ω的取值范围是______.16.在三棱锥ABC P -中，,3,90,60==︒=∠=∠︒=∠PC PB PCA PBA BAC 点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为________. 三．（解答题，共70分）17.（12分）ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC △的面积为A b S tan 612=.（1）证明：A c b cos 3= （2）若,22,2tan ==a A 求S18.（12分）某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对B A ,两位选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图：（1）通过茎叶图比较B A ,两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（2）校方将会根据评分记过对参赛选手进行三向分流：记事件:C “A 获得的分流等级高于B”，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 发生的概率.19.（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，点E 是PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）若直线BD 与平面PBC 所成角为︒30，求二面角D PB C --的大小.20.（12分）已知F 为抛物线y x T 4:2=的焦点，直线2:+=kx y l 与T 相交于B A ,两点. （1）若1=k ，求FB FA +的值；（2）点)2,3(--C ，若CFB CFA ∠=∠，求直线l 的方程.21.（12分）已知函数()sin f x x x =，(0,)x π∈，()f x '为()f x 的导数，且()()g x f x '=. 证明：（1）()g x 在22,3π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一零点t ； （2）()2f x <.（参考数据：sin 20.9903≈，cos20.4161≈-，tan 2 2.1850≈-，2 1.4142≈，3.14π≈.）（二）选考题：共10分.请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修44-：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆:4cos C ρθ=.以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，直线l 经过点()1,33M --且倾斜角为α.（1）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（2）已知直线l 与圆C 交与A ，B ，满足A 为MB 的中点，求α.23.[选修45-：不等式选讲]（10分） 设函数()211f x x x =-++. （1）画出()y f x =的图像；（2）若()f x m x n ≤+，求m n +的最小值.最新学年第一学期高三第一次质检理科数学参考答案2019.10一．选择题：CADDC CBCBA DC二．填空题： （13）0 （14）32（15）( 9 8，138] （16）6π三．解答题：17．解：（1）由S ＝ 1 2bc sin A ＝ 1 6b 2tan A 得3c sin A ＝b tan A ．因为tan A ＝sin A cos A ，所以3c sin A ＝b sin Acos A，又因为0＜A ＜π，所以 sin A ≠0， 因此b ＝3c cos A ． …4分（2）因为tan A ＝2，所以cos A ＝5 5， 由（1）得2bc cos A ＝2b 23，c ＝5b3．…8分由余弦定理得8＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以8＝b 2＋5b 29－2b 23＝8b 29，从而b 2＝9． 故S ＝ 1 6b 2tan A ＝3． …12分18．解：（1）通过茎叶图可以看出，A 选手所得分数的平均值高于B 选手所得分数的平均值；A 选手所得分数比较集中，B 选手所得分数比较分散． …4分（2）记C A 1表示事件：“A 选手直接晋级”，C A 2表示事件：“A 选手复赛待选”；C B 1表示事件：“B 选手复赛待选”，C B 2表示事件：“B 选手淘汰出局”．则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C A 1与C A 2互斥，C ＝(C A 1C B 1)∪(C A 1C B 2)∪(C A 2C B 2)．P (C )＝P (C A 1C B 1)＋P (C A 1C B 2)＋P (C A 2C B 2)＝P (C A 1)P (C B 1)＋P (C A 1)P (C B 2)＋P (C A 2)P (C B 2)．由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为820，1120，1020，320，故P (C A 1)＝820，P (C A 2)＝1120，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝320，P (C )＝820×1020＋820×320＋1120×320＝137400． …12分19．解：（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ． 由题意可知，PE ＝EC ，AO ＝OC ，∴PA ∥EO ，又PA ⊄平面BED ，EO ⊂平面BED ， ∴PA ∥平面BED ．…4分（2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，设PD ＝CD ＝1，AD ＝a ，则A (a ，0，0)，B (a ，1，0)，C (0，1，0)，P (0，0，1)，DB →＝(a ，1，0)， PB →＝(a ，1，－1)，PC →＝(0，1，－1) 设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧PB →·n ＝0，PC →·n ＝0，得⎩⎨⎧ax ＋y －z ＝0，y －z ＝0，取n ＝(0，1，1)．…7分直线BD 与平面PBC 所成的角为30︒，得|cos 〈DB →，n 〉|＝|DB →·n ||DB →||n |＝1a 2＋1×2＝ 1 2，解得a ＝1．…9分 同理可得平面PBD 的法向量m ＝(－1，1，0)，…10分cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝12×2＝ 12，∵二面角C −PB −D 为锐二面角， ∴二面角C −PB −D 的大小为60°．…12分20．解：（1）由已知可得F (0，1)，设A (x 1，x 214)，B (x 2，x 224)，y ＝kx ＋2与x 2＝4y 联立得，x 2－4kx －8＝0，x 1＋x 2＝4k ， ① x 1x 2＝－8．② …2分 |FA |＋|FB |＝x 214＋1＋x 224＋1 ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 24＋2．…4分 当k ＝1时，由①②得|FA |＋|FB |＝10…5分（2）由题意可知，FA →＝(x 1，x 214－1)，FB →＝(x 2，x 224－1)，FC →＝(－3，－3).∠CFA ＝∠CFB 等价cos 〈FA →，FC →〉＝cos 〈FB →，FC →〉， …8分又|FA |＝x 214＋1，|FB |＝x 224＋1则FA →·FC →|FA →||FC →|＝FB →·FC →|FB →||FC →|，整理得4＋2(x 1＋x 2)－x 1x 2＝0，解得k ＝－ 32，…11分 所以，直线l 的方程为3x ＋2y －4＝0． (12)分21．解：（1）g (x )＝f '(x )＝x cos x ＋sin x ，所以x ∈(0，π 2]时，g (x )＞0，即g (x )在(0，π2]内没有零点．…2分x ∈(π2，π)时，g '(x )＝2cos x －x sin x ， 因为cos x ＜0，x sin x ＞0，从而g '(x )＜0， 所以g (x )在(π2，π)上单调递减，又g (2)＝(2＋tan 2)cos 2＞0，g (2π3)＝－π 3＋32＜0，所以g (x )在(2，2π3)内有唯一零点t ．…6分（2）由（1）得，x ∈(0，t )时，g (x )＞0，所以f '(x )＞0，即f (x )单调递增； x ∈(t ，π)时，g (x )＜0，所以f '(x )＜0，即f (x )单调递减，即f (x )的最大值为f (t )＝t sin t ． 由f '(t )＝t cos t ＋sin t ＝0得t ＝－tan t ， 所以f (t )＝－tan t ·sin t ， 因此f (t )－2＝－sin 2t －2cos tcos t＝cos 2t －2cos t －1 cos t＝(cos t －1)2－2 cos t．…9分因为t ∈(2，2π3)，所以cos t ∈(－ 12，cos 2)，从而(cos 2－1)2－2＝(－1.4161)2－(2)2＞0， 即(cos t －1)2－2cos t ＜0，所以f (t )－2＜0， 故f (x )＜2． …12分22．解：（1）由圆C ：ρ＝4cos θ可得ρ2＝4ρcos θ， 因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4．直线l ：⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝－33＋t sin α（t 为参数，0≤α＜π）． (5)分（2）设A ，B 对应的参数分别为t A ，t B ，将直线l 的方程代入C 并整理，得t 2－6t (3sin α＋cos α)＋32＝0， 所以t A ＋t B ＝6(3sin α＋cos α)，t A ·t B ＝32． 又A 为MB 的中点，所以t B ＝2t A ，因此t A ＝2(3sin α＋cos α)＝4sin (α＋ π 6)，t B ＝8sin (α＋ π6)，…8分所以t A ·t B ＝32sin 2(α＋ π 6)＝32，即sin 2(α＋ π 6)＝1．因为0≤α＜π，所以 π 6≤α＋ π 6＜7π6，从而α＋ π 6＝ π 2，即α＝ π3．…10分23．解：（1）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－1，－x ＋2，－1≤x ≤ 1 2，3x ，x ＞ 12． …3分y ＝f (x )的图象如图所示：…5分n ，解得n ≥2．m |x |＋n ≥3|x |．（※） 若m ≥3，（※）式明显成立；若m ＜3，则当|x |＞n3－m 时，（※）式不成立．…8分另一方面，由图可知，当m≥3，且n≥2时，f(x)≤m|x|＋n．故当且仅当m≥3，且n≥2时，f(x)≤m|x|＋n．因此m＋n的最小值为5．…10分。
广东省七校联合体2021届高三第一次联考数学（理）试题及答案
⼴东省七校联合体2021届⾼三第⼀次联考数学（理）试题及答案⼴东省七校联合体2021届⾼三第⼀次联考试卷（8⽉）理科数学⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分。
在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项符合题⽬要求。
1.已知集合，集合，则AB =（）A ．(2,3)B ．(1,2)-C ．(3,3)-D ．(1,3)- 2.已知i 为虚数单位，(1)3z i i +=-，则在复平⾯上复数z 的共轭复数对应的点位于（）A ．第⼀象限B ．第⼆象限C ．第三象限D ．第四象限 3.为⽐较甲、⼄两名⾼中学⽣的数学素养，对课程标准中规定的数学六⼤素养进⾏指标测验（指标值满分为5分，分值⾼者为优），根据测验情况绘制了如图所⽰的六⼤素养指标雷达图，则下⾯叙述正确的是（）A ．⼄的数据分析素养优于甲B ．⼄的数学建模素养优于数学抽象素养C ．甲的六⼤素养整体⽔平优于⼄D ．甲的六⼤素养中数据分析最差 4. 已知1cos(),63πα+=则sin(2)6πα-=（） A ．79-B ．79C ．89D ． 89-5.已知抛物线21:12C y x =与双曲线2222:13x y C a -=的焦点相同，双曲线2C 的离⼼率为（）A. 2B. 6C. 62D. 526.若函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的最⼩正周期为π，若将其图象向左平移12π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（）A ．1()sin()26g x x π=+ B ．1()sin()23g x x π=- C ．()sin(2)6g x x π=+D ．()cos 2g x x =7.在直⾓梯形ABCD 中，4,2AB CD ==，//,AB CD AB AD ⊥，E 是BC 的中点，则2{|60}A x x x =+->{|13}B x x =-<<()AB AC AE ?+=（）A ．B ．C ．D ． 8.设函数21()ln1xf x x x+=-，则函数()f x 的图象可能为（） A ． B ．C ．D ．9.已知长⽅体1111ABCD A B C D -中，14,2AB CC ==，长⽅体的体积是32，则直线1BC 和平⾯11DBB D 所成⾓的正弦值为（）A.32 B. 52 C. 105 D. 101010.已知抛物线2:4C y x =,过焦点F 3的直线与C 相交于,P Q 两点,且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点,则MFN S ?=（）A.83 B.833C.163D.163311.图中长⽅形的总个数中，其中含阴影部分的长⽅形个数的概率为（）A. 124 B.1235C. 115D. 3121012. 已知数列的前项和为，若为函数的最⼤值，且满⾜，则数列的前2019项之积2019A =（） {}n a n n S 1a ()()3sin cos f x x x x =+∈R 112n n n n n a a a S a S +-=-{}n aA ．20192B ．C ．D ． 1⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分。
广东省中山市第一中学等七校2021届高三数学第一次联考试题 理（含解析）
广东省中山市第一中学等七校2021届高三数学第一次联考试题 理（含解析）新人教A 版【试卷综析】试题比较平稳，大体符合高考温习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，表现了稳中求进的精神.考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和大体技术的考察，同时偏重考察了学生的学习方式和思维能力的考察，这套试题以它的知识性、思辩性、灵活性，基础性充分表现了考素养，考基础，考方式，考潜能的检测功能.试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培育学生数学素养的方向进展的作用.一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题意要求的。
【题文】1设集合A={2|320x x x -+=}，那么知足A B={0，1，2}的集合B 的个数是( )A 1B 3C 4D 6 【知识点】并集及其运算 A1【答案解析】C 解析：解：A={x|x2﹣3x+2=0}={x|x=1或x=2}={1，2}，假设A ∪B={0，1，2}，那么0∈B ，那么B={0}，{0，2}，{1，0}，{0，1，2}，共4个，应选：C 【思路点拨】先求出集合A 元素，依照集合关系和运算即可取得结论 【题文】2.i 为虚数单位，复平面内表示复数z=(1+i )(2+i )的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义L4【答案解析】A 解析：解：复数z=（1+i ）（2+i ）=2+3i ﹣1=1+3i ，复数对应点为（1，3）．在第一象限．应选A【思路点拨】化简复数为a+bi 的形式，然后求出复数的对应点所在象限即可【题文】3．“1a =”是“函数ax sin ax cos y 22-=的最小正周期为π”的（ ） A ．必要不充分条件 B ． 充分没必要要条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件【知识点】三角函数的周期性及其求法；必要条件、充分条件与充要条件的判定A2,C3 【答案解析】A 解析：解：解：函数y=cos2ax ﹣sin2ax=cos2ax ，它的周期是，a=±1显然“a=1”可得“函数y=cos2ax ﹣sin2ax 的最小正周期为π”后者推不出前者，应选A ． 【思路点拨】化简y=cos2ax ﹣sin2ax ，利用最小正周期为π，求出a ，即可判定选项．【题文】4.右图是一容量为100的样本的重量的频率散布直方图，那么由图可估量样本重量的中位数为（ ） A ．11 B ．11.5 C ．12 D ．12.5 【知识点】众数、中位数、平均数K8【答案解析】C 解析：解：由题意，[5，10]的样本有5×0.06×100=30，[10，15]的样本有5×0.1×100=50，由于[10，15]的组中值为12.5，因此由图可估量样本重量的中位数12． 应选：C【思路点拨】由题意，[5，10]的样本有5×0.06×100=30，[10，15]的样本有5×0.1×100=50，结合[10，15]的组中值，即可得出结论．【题文】5.执行上图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A ．5B ．7C ．9D ．11【知识点】程序框图L1【答案解析】C 解析：解：由程序框图知：第一次运行S=1+2=3，k=1+2=3； 第二次运行S=1+2+6=9．k=3+2=5； 第三次运行S=1+2+6+10=19，k=5+2=7； 第四次运行S=1+2+6+10+14=33，k=7+2=9； 现在不知足条件S ＜20，程序运行终止，输出k=9． 应选：C ．【思路点拨】依照框图的流程依次计算运行的结果，直到不知足条件S ＜20，计算输出k 的值【题文】六、由曲线23,y x y x ==围成的封锁图形的面积为（ ）A．712B．14C ．13D．112【知识点】定积分在求面积中的应用B13【答案解析】D解析：解：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]所求封锁图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，应选D【思路点拨】要求曲线y=x2，y=x3围成的封锁图形面积，依照定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx 即可【题文】7．已知O是坐标原点，点()1,0A-，假设()y xM,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212yxyx上的一个动点，那么OA OM+的取值范围是（）A []51，B[]52，C[]21，D[]50，【知识点】简单线性计划E5【答案解析】A解析：解：+=（﹣1，0）+（x，y）=（x﹣1，y），那么|+|=，设z=|+|=，那么z的几何意义为M到定点D（1，0）的距离，由约束条件作平面区域如图，由图象可知当M位于A（0，2）时，z取得最大值z=，当M位于C（1，1）时，z取得最小值z=1，1≤z≤，即|+|的取值范围是[1，]，应选：A【思路点拨】由题意作出可行域，由向量的坐标加法运算求得+的坐标，把||转化为可行域内的点M（x，y）到定点N （1，0）的距离，数形结合可得答案．【题文】8．关于集合A ，若是概念了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间知足以下4个条件： （ⅰ）,a b A ∀∈，都有a b A ⊕∈；（ⅱ）e A ∃∈，使得对a A ∀∈，都有e a a e a ⊕=⊕=；（ⅲ）a A ∀∈，a A '∃∈，使得a a a a e ''⊕=⊕=；（ⅳ）,,a b c A ∀∈，都有()()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕， 那么称集合A 关于运算“⊕”组成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①{}A =整数，运算“⊕”为一般加法；②{}A =复数，运算“⊕”为一般减法；③{}A =正实数，运算“⊕”为一般乘法．其中能够组成“对称集”的有( )A ①②B ①③C ②③D ①②③ 【知识点】元素与集合关系的判定A1【答案解析】B 解析：解：①A={整数}，运算“⊕”为一般加法，依照加法运算可知知足4个条件，其中e=0，a 、a′互为相反数；②A={复数}，运算“⊕”为一般减法，不知足4个条件；③A={正实数}，运算“⊕”为一般乘法，依照乘法运算可知知足4个条件，其中e=1，a 、a′互为倒数． 应选：B【思路点拨】依照新概念，对所给集合进行判定，即可得出结论 二、填空题：此题共7小题，考生作答6小题，每题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)【题文】9. 假设a x f xx lg 22)(-+=是奇函数，那么实数a =_________。
2021届高三联考数学试卷(附答案与解析)
广东省名校2021届高三联考数 学考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面内，复数)2(+i i 对应的点的坐标为（ ）．A ．)2,1(B ．)2,1(-C ．)1,2(D ．)1,2(-2．已知R 为实数集，集合)}3lg(|{+==x y x A ，}2|{≥=x x B ，则∁=)(B A R （ ）．A ．}3|{->x xB ．}3|{-<x xC ．}3|{-≤x xD ．}32|{≤≤x x 3．设R x ∈，则“1|2|<-x ”是“0322>-+x x ”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件 4．10)1(x x-的展开式中4x 的系数是（ ）． A ．210-B ．120-C ．120D ．2105．若1>>>c b a ，且2b ac <，则（ ）．A ．a c b c b a log log log >>B ．c b a a c b log log log >>C ．a b c c a b log log log >>D ．c a b a b c log log log >>6．已知等比数列}{n a 的各项均为正数，公比为q ，且11>a ，217676>+>+a a a a ，记}{n a 的前n 项积为n T ，则下列选项错误的是（ ）．A ．10<<qB ．16>aC ．112>TD ．113>T 7．已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积比值为（ ）． A ．35B ．932C ．34D ．925 8．已知圆1C ：1)22()3(22=-+-y x 和焦点为F 的抛物线2C ：x y 82=，点N 是圆1C 上一点，点M 是抛物线2C 上一点，点M 在1M 时，||||MN MF +取得最小值，点M 在2M 时，||||MN MF -取得最大值，则=||21M M （ ）． A ．22B ．23C ．17D ．24二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9．已知向量)1,1(=+b a ，)1,3(-=-b a ，)1,1(=c ，设a ，b 的夹角为θ，则（ ）．A ．||||b a =B ．c a ⊥C ．c b //D ．︒=135θ 10．已知函数x x x x x f 22cos cos sin 32sin )(-+=，R x ∈，则（ ）．A ．2)(2≤≤-x fB ．)(x f 在区间),0(π上只有一个零点C ．)(x f 的最小正周期为πD ．直线3π=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴11．已知双曲线C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的一条渐近线过点)23,26(P ，点F 为双曲线C 的右焦点，则下列结论正确的是（ ）． A ．双曲线C 的离心率为26B ．双曲线C 的渐近线方程为02=-y xC ．若点F 到双曲线C 的渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为12422=-y xD ．设O 为坐标原点，若||||PF PO =，则223=∆POF S 12．已知)(x f 是定义域为R 的函数，满足)3()1(-=+x f x f ，)3()1(x f x f -=+，当20≤≤x 时，x x x f -=2)(，则下列说法正确的是（ ）． A ．函数)(x f 的周期为4 B ．函数)(x f 的图象关于直线2=x 对称 C ．当40≤≤x 时，)(x f 的最大值为2 D ．当86≤≤x 时，)(x f 的最小值为21- 三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=，则=-)1(f ． 14．已知正数a ，b 满足1=+b a ，则ba b 1+的最小值为 ． 15．有4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种．16．已知直线b kx y +=是曲线xe y =的一条切线，则b k +的取值范围是 ． 四．解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且32=c ，3)32sin(2=-πC ．⑴若22=a ，求角A ； ⑵求△ABC 面积的最大值．18．（12分）从①前n 项和p n S n +=2)(R p ∈；②116=a 且212+++=n n n a a a 这两个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答．在数列}{n a 中，11=a ， ，其中*N n ∈． ⑴求数列}{n a 的通项公式；⑵若m n a a a ,,1成等比数列，其中*,N n m ∈，且1>>n m ，求m 的最小值． （注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分）19．（12分）已知三棱锥ABC M -中，22====AC MC MB MA ,2==BC AB ,O 为AC 的中点，点N 在边BC 上，且BC BN 32=． ⑴求证：⊥BO 平面AMC ； ⑵求二面角C AM N --的余弦值．20．（12分）在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼．排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第5局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方 2分为胜．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲乙两队进行排球比赛：⑴若前3局比赛中甲已经赢2局，乙赢1局．接下来两队赢得每局比赛的概率均为21，求甲队最后赢得整场比赛的概率；⑵若前4局比赛中甲、乙两队已经各赢2局比赛．在决胜局（第5局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一球的发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为52，乙发球时甲赢1分的概率为53，得分者获得下一个球的发球权．设两队打了x （4≤x ）个球后甲赢得整场比赛，求x 的取值及相应的概率)(x P ．21．（12分）已知21,F F 分别是椭圆C ：1422=+y x 的左、右焦点． ⑴若P 是第一象限内该椭圆上的一点，4521-=⋅PF PF ，求点P 的坐标； ⑵设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点B A ,，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．22．（12分）设函数x a ax x f ln )(2--=，其中R a ∈．⑴讨论)(x f 的单调性；⑵确定a 的所有可能取值，使得xe xx f -->11)(在区间),1(+∞内恒成立（ 718.2=e 为自然对数的底数）.数学参考答案一、单项选择题：1.B 2.C 3.A 4.B 5.D 6.D 7.B 8.C 二、多项选择题：9.B,D 10.A,C,D 11.A,C 12.A,B,C 三、填空题：13. -2 14. 3 15. 36 16.(]e ，∞-17．【解】(1)由题意，得)2,0(,23)32sin(ππ∈=-C C ， 即)32,3(32πππ-∈-C ，所以332ππ=-C ，解得⋅=3πC（2分）由正弦定理，得3sin32sin 22π=A ，解得22sin =A .（4分）又a<c ，所以30π=<<C A ，所以4π=A . （6分）(2)在△ABC 中，3,32π==C c ，则由余弦定理，得c 2= a 2 +b 2-2ab cos C ， 即ab ab b a ≥-+=2212（8分）所以33sin 21≤=∆C ab S ABC （当且仅当a =b 时，即△ABC 为等边三角形时，等号成立）， 所以△ABC 的面积的最大值为33.（10分)18．【解】选择①：(1)当n =l 时，由S 1=a =1 =1，得p =0．（2分） 当2≥n 时，由题意，得21)1(-=-n S n ， （3分） 所以)2(121≥-=-=-n n S S a n n n .（5分）经检验，a 1 =1符合上式， 所以*)(12N n n a n ∈-=.（6分） (2)由a 1，a n ，a m 成等比数列，得m na a a 12=， （8分） 即)12(1)12(2-⨯=-m n .（9分）化简，得21)21(212222+-=+-=n n n m . (11分)因为m ，n 是大于1的正整数，且m >n ， 所以当n =2时，m 有最小值5．(12分)选择②：(1)由2a n +1=a n +a n+2，得a n +1- a n = a n +2- a n +1 所以数列{ a n }是等差数列．（2分）设数列{ a n }的公差为d ． 因为a 1 =1，a 6 =a 1+5d =11， 所以d =2．(4分) 所以)*(12)1(1 N n n d n a a n ∈-=-+=.(6分) (2)因为a 1，a n ，a m 成等比数列，所以m na a a 12=， （8分） 即)12(1)12(2-⨯=-m n .（9分）化简，得2121212222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=n n n m .（11分）因为m ，n 是大于1的正整数，且m >n ， 所以当n =2时，m 有最小值5．（12分）19．(1)【证明】连接OM .在△ABC 中，22,2===AC BC B A , .,2,90AC OB BO ABC ⊥==∠∴（2分）在△MAC 中,22===AC MC MA ,O 为AC 的中点，6,且AC OM ⊥∴.（3分）在△MOB 中，22,6,2===MB OM BO ,222MB OM BO =+∴ , OM OB ⊥∴.（4分）O OM AC = ，AMC AC 平面⊂，AMC OM 平面⊂,AMC OB 平面⊥∴.（5分）(2)【解】由(1)知OB ，OC ，OM 两两垂直，以点O 为坐标原点，分别以OB ， OC ，OM 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建 立空间直角坐标系O －xyz ，如图． （6分）22====AC MC MB MA ,2==BC AB).0,2,0(),6,0,0(),0,0,2(),0,2,0(C M B A -∴（7分）)0,322,32(,32N BC BN ∴=，)0,325,32(=∴AN ,)6,2,0(=AM ,)0,0,2(=OB . 设平面MAN 的法向量为n =（x ，y ，z ）,则⎪⎩⎪⎨⎧=+=•=•=+=•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=•.062),,()6,2,0(,032532),,(0,325,32z y z y x n AM y x z y x n AN 令3=y ，则1-=z ，35-=x ，得)1,3,35(--=n .（9分）,ABC BO 平面⊥)0,0,2(=∴OB 为平面AMC 的一个法向量．（10分）)1,3,35(--=∴n 与)0,0,2(=OB 所成角的余弦值⋅-=⨯-=⋅793527965,cos OB n（11分）∴二面角N －AM －C 的余弦值为792375 （12分）20．【解】(1)甲队最后赢得整场比赛的情况为第4局赢或第4局输第5局赢， 所以甲队最后赢得整场比赛的概率为43212121=⨯+. （4分）(2)根据比赛规则，x 的取值只能为2或4，对应比分分别为16：14，17：15．比分为16：14是两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第1个球甲发球甲得分，打第2个球甲发球甲得分，此时概率为⋅=⨯=2545252)2(P （8分）比分为17：15是两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第1个球甲发球甲得分，打第2个球甲发球甲失分，打第3个球乙发球甲得分，打第4个球甲发球甲得分，或打第1个球甲发球甲失分，打第2个球乙发球甲得分，打第3个球甲发球甲得分，打第4个球甲发球甲得分，此时概率为⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=625725252535352535352)4(P （12分）21．【解】(1)因为椭圆方程为1422=+y x ，所以3,1,2===c b a ，可得),0,3(),0,3(21F F -设0,0)(,(>>y x y x P ,（2分）则453),3(),3(2221-=-+=--•---=•y x y x y x PF PF , 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,14,472222y x y x解得⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==,23,,43,122y x x y x（4分）即⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,1P . （5分）(2)显然x=0不满足题意，可设l 的方程为2+=kx y ，（6分）),(),,(2211y x B y x A -联立,01216)41(,2,142222=+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==+kx x k kx y y x（7分）由.43,012)41(4)16(222>>•+-=∆k k k 得 （8分） ⋅+=+-=+2212214112,4116k x x k k x x（9分）又∠AOB 为锐角，即0>•OB OA ，即0212>+y y x x i ，0)2()2(2121>+++kx kx x x， ,041)4(44)4116(24112)1(4)(2)1(2222221212>+-=++-+++=++++kk k k k k k x x k x x k（10分）可得42<k .又432>k ，即为4432<<k ，解得)2,23()23,2( --∈k .（12分）22．【解】(1)).0(1212)('2>-=-=x x ax x ax x f（1分） 当a ≤0时，0)('<x f ，)(x f 在),0(+∞内单调递减. （2分） 当a <0时，由0)('=x f ，有a x 21= 此时，当⎪⎭⎫⎝⎛∈a x 21,0 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减;.当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,21.a x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增. （4分） （2令,11)(1--=x e x x g x e x s x -=-1)(.则1)('1-=-x e x s .而当1>x 时，0)('>x s ，所以)(x s 在),1(+∞内单调递增. （5分） 又由0)1(=s ，有0)(>x s ，从而当1>x 时，0)(>x g ..当0≤a ，1>x 时，0ln )1()(2<--=x x a x f .故当)()(x g x f >在区间),1(+∞内恒成立时，必有0>a . （6分） 当210<<a 时，121>a .由(1)有0)1(21(=<⎪⎭⎫⎝⎛f a f ，而,021>⎪⎭⎫⎝⎛a g所以此时)()(x g x f >在区间),1(+∞内不恒成立. （8分） 当21≥a 时，令)1)(()()(≥-=x x g x f x h ，当1>x 时，01212111112)('2223212>+->+-=-+->-+-=-x x x xx x x x x x e x x ax x h x , 因此，)(x h 在区间),1(+∞内单调递增.又因为0)1(=h ，所以当1>x 时，0)()()(>-=x g x f x h ， 即)()(x g x f >恒成立.综上，a 的所有可能取值为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21.（12分）。
广东省广州市2021届新高考第一次质量检测数学试题含解析
广东省广州市2021届新高考第一次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC V 的垂心为H ，且6,8,AB BC M ==是AC 的中点，则HM AC ⋅=u u u u r u u u r（ ）A ．14B ．12C ．10D ．8【答案】A 【解析】 【分析】由垂心的性质，得到0BH AC ⋅=u u u r u u u r，可转化HM AC BM AC ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，又1()()2BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 即得解. 【详解】因为H 为ABC V 的垂心，所以BH AC ⊥，所以0BH AC ⋅=u u u r u u u r ，而HM HB BM =+u u u u r u u u r u u u u r ， 所以()HM AC HB BM AC BM AC ⋅=+⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，因为M 是AC 的中点，所以1()()2BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2211()(6436)1422BC BA =-=-=u u ur u u u r ． 故选：A 【点睛】本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.2．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12B．4C．2log D．2【答案】A 【解析】 【分析】首先()f x 的单调性，由此判断出11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由此求得ab 的最小值. 【详解】由于函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，所以()f x 在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简得2log 22b a =-，所以2222log log log 22log b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12xg x x x =-+<≤，()2'112ln 22ln 2ln 2ln 2x xx g x x x -⋅⋅=-+=.构造函数()()212ln 212x h x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20x h x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上递增，在区间()02x ,上递减.而()()2210,222log 21g g ==-+=-，所以()g x 在区间(]1,2上的最小值为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1122-=. 故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.3．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)b f =，比较33log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，比较出三个数,,a b c 的大小. 【详解】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.4．在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=【答案】B 【解析】 【分析】根据所求双曲线的渐近线方程为y =，可设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．再把点(代入，求得 k 的值，可得要求的双曲线的方程．【详解】∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又(在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-=故选：B 【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．5．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >， 0>ω， 2πϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，0B ．2，4π C ．2， 3π-D ．2，6π 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合函数的图象，求出周期T ，根据周期公式求出ω，求出A ，根据函数的图象过点16π⎛⎫⎪⎝⎭，，求出ϕ，即可求得答案 【详解】 由函数图象可知：311341264T πππ=-= T π=， 21A ω∴==，函数的图象过点16π⎛⎫⎪⎝⎭， 1sin 26πϕ⎛⎫∴=⨯+ ⎪⎝⎭，2πϕ<Q ，则6πϕ=故选D 【点睛】本题主要考查的是()sin y A x ωϕ=+的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果 6．关于函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：①函数()f x 的一个周期为2π；②函数()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③函数()f x 的值域为. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②C ．②③D ．③【答案】C 【解析】 【分析】①用周期函数的定义验证.②当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1()212π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，再利用单调性判断.③根据平移变换，函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，而()()g x g x π+=，当[0,]x π∈时，1()23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x 再求值域. 【详解】 因为1717114sin 4cos 4cos 4sin ()2212212212212f x x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+++≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故①错误； 当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以111()4sin 4cos 2323212f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111,212324πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦x 所以()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故②正确； 函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，易知()()g x g x π+=，故当[0,]x π∈时，1()23g x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，故③正确.故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.7．正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，侧棱长为23，则它的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．8πC ．16πD ．20π【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上，计算长度，设球半径为R ，则()222PE R BE R -+=，解得2R =，得到答案.【详解】如图所示：P 在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上，223BD AB ==，故132BE BD ==，223PE PB BE =-=， 设球半径为R ，则()222PE R BE R -+=，解得2R =，故2416S R ππ==. 故选：C .【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 8．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（ ）A ．503πB ．21πC ．1003πD ．42π【答案】C【解析】 【分析】 令()262x k k Z πππ-=+∈，求出在130,3⎡⎤π⎢⎥⎣⎦的对称轴，由三角函数的对称性可得122315232,2,...,2366n n x x x x x x -πππ+=⨯+=⨯+=⨯，将式子相加并整理即可求得123122...2n n x x x x x -+++++的值.【详解】 令()262x k k Z πππ-=+∈，得()123x k k Z π=π+∈，即对称轴为()123x k k Z π=π+∈. 函数周期T π=，令113233k ππ+=π，可得8k =.则函数在130,3x ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦上有8条对称轴. 根据正弦函数的性质可知122315232,2,...,2366n n x x x x x x -πππ+=⨯+=⨯+=⨯， 将以上各式相加得：12312582322...2...26666n n x x x x x -ππππ⎛⎫+++++=++++⨯ ⎪⎝⎭()2238100323+⨯ππ=⨯= 故选:C. 【点睛】本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为1223341...n n x x x x x x x x -++++++++的形式.9．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（ ）A ．7πB ．6πC ．5πD ．4π【答案】C 【解析】 【分析】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，计算得到答案. 【详解】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为21322152πππ⨯⨯+⨯=. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 10．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(,)34内增大时，（ ） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大【答案】C 【解析】 【分析】1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-，22()()()D E E ξξξ=-，判断其在23(,)34内的单调性即可．【详解】解：根据题意1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-在23,34p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内递增， 22111()(1)(1)333E p p ξ=-⨯-+=222221121442411()()()(1)()3333999923D E E p p p p p p ξξξ⎛⎫=-=-+--=-++=-- ⎪+⎝⎭，是以12p =为对称轴，开口向下的抛物线，所以在23,34⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故选：C ． 【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题． 11．曲线(2)x y ax e =+在点(0,2)处的切线方程为2y x b =-+，则ab =（ ） A ．4- B ．8-C ．4D ．8【答案】B 【解析】 【分析】求函数导数，利用切线斜率求出a ，根据切线过点(0,2)求出b 即可. 【详解】因为(2)x y ax e =+， 所以(2)xy e ax a '=++， 故0|22x k y a ='==+=-， 解得4a =-， 又切线过点(0,2)，所以220b =-⨯+，解得2b =， 所以8ab =-， 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.12．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A 33263cm B 36463cm C 33223cm D 36423cm 【答案】B 【解析】设折成的四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则32h a =，故由题设可得12124222a a a +=⨯⇒=所以四棱锥的体积2313646=(42)423V =，应选答案B ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届广东省高三普通高中学业质量联合测评(11月大联考)数学试卷(解析版)
广东省2021届高三普通高中学业质量联合测评（11月大联考）数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |0≤x <5}，则A ∩B ＝( )A.{x |－1≤x ≤3}B.{x |0≤x ≤3}C.{x |－1≤x <5}D.{x |3≤x <5}2.已知复数z 1＝1＋i ，复数z 2满足z 1z 2＝3－i ，则z 2的虛部为( )A.2iB.－2iC.2D.－23.已知α是第二象限的角，sin α＝45，则tan2α＝( ) A.－247 B.247 C.－2425 D.24254.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝3，S 4＝15，则a 5＝( )A.16B.12C.8D.45.在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲、乙、丙、丁、戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有( )A.8种B.12种C.20种D.24种6.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐。
问葛长几何？术日：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦。
弦者，葛之长”。
意思是：今有2丈长的圆木，其横截面周长3尺，葛藤从圆木底端绕圆木7周至顶端，问葛藤有多长？九章算术还有解释：七周乘以三尺为股(直角三角形较长的直角边)，木棍的长为勾(直角三角形较短的直角边)，葛的长为弦(直角三角形的斜边)(注：1丈＝10尺)( )A.29尺B.27尺C.23尺D.21尺7.已知平行四边形ABCD 中，EC 2DE =，FC 2BF =，FG 2GE =，则AG ＝ A.28AB AD 39+ B.13AB AD 34+ C.57AB AD 99+ D.41AB AD 93+ 8.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，作AM ⊥l ，BN ⊥l ，垂足分别为M ，N ，若|MF |＝4，|NF ||AB |＝( ) A.103 B.4 C.5 D.163二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省三校(广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学)2021届高三数学上学期第一次联考试题 理
广东省三校（广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学）2021届高三数学上学期第一次联考试题 理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．已知集合A ＝{x ｜lg(2)y x =-}，B ＝{2|30x x x -≤}，则A ∩B ＝.A. {x ｜0＜x ＜2}B. {x ｜0≤x ＜2}C. {x ｜2＜x ＜3}D. {x ｜2＜x ≤3} 2．若复数z 的共轭复数满足()112i Z i -=-+,则||Z =.A.2 B.32C.10D.123．下列有关命题的说法错误的是.A. 若“p q ∨”为假命题，则p 、q 均为假命题；B. 若αβ、是两个不同平面，m α⊥,m β⊂，则 αβ⊥；C. “1sin =2x ”的必要不充分条件是“=6x π”；D. 若命题p ：200,0x R x ∃∈≥，则命题：2:,0P x R x ⌝∀∈<；4．已知某离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3P827 49m127则X 的数学期望()E X =.A ．23B ．1C ．32D ．25．已知向量a 、b 均为非零向量，则a 、b 的夹角为.A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π6．若1cos =86πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，则3cos 24πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为. A. 1718B. 1718-C. 1819D. 1819-7．若直线()m n +2=0m>0n>0x y +、截得圆()()2231=1x y +++的弦长为2，则13m n+的最小值为. A. 4B. 12C. 16D. 68．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=. A ．5B ．6C ．7D ．89．已知定义在R 上的偶函数()()3sin()cos()(0,),0f x x x ωϕωϕϕπω=+-+∈>对任意x ∈R 都有()02f x f x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，当ω取最小值时，6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为. A.13 C.12D.3210．在如图直二面角ABDC 中，△ABD 、△CBD 均是以BD 为斜边的等腰直角三角形，取AD 的中点E ，将△ABE 沿BE 翻折到△A 1BE ，在△ABE 的翻折过程中，下列不可能成立的是.A ．BC 与平面A 1BE 内某直线平行B ．CD ∥平面A 1BEC ．BC 与平面A 1BE 内某直线垂直D ．BC ⊥A 1B11．定义12nnp p p ++⋅⋅⋅+为n 个正数12n p p p ⋅⋅⋅、、、的“均倒数”，若已知正整数数列{}n a的前n 项的“均倒数”为121n +，又1=4n n a b +，则12231011111=b b b b b b ++⋅⋅⋅+. A.111 B. 112 C. 1011 D. 1112 12．已知函数()2x mf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是. A. (0,)e B. (0,2)eC. (,)e +∞D. (2,)e +∞第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13．设,x y 满足约束条件12314y x y x y ≥-⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则4z x y =+的最大值为 ；14．若3()nx x-的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x 的系数为 ；15．已知点P 在双曲线()2222=10x y a b a b->>0,上，PF x ⊥轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为 ；16．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ABC ⊥平面，==2AB AC ， ∠BAC =120。
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绝密★启用前试卷类型：A2021届高三教学质量检测（一）试卷数学 2020.9注意：1．本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．正确粘贴条形码． 3．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上对应答案的选项涂黑．4．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．5．考试结束后，考生上交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数21i-的共轭复数是 A ．1i - B ．1i +C ．1i --D ．1i -+2．已知集合20{|}M x x x =-≤，{}sin |,N y y x x ==∈R ，则M N ⋂= A ．[]1,0-B ．(0,1)C ．[0,1]D ．∅3．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的准线为l ，圆22:(1)(2)9M x y -+-=与l 相切．则p =A ．1B ．2C ．3D ．44．某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若不低于60分的人数是35人，则该班的学生人数是A ．45B ．50C ．55D ．655．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中最年长者的年龄在(90,100)之间，其余19人的年龄依次相差一岁，则最年长者的年龄为 A ．94B ．95C ．96D ．986．已知,()0απ∈，()2sin 2cos21παα-=-，则sin α=A ．15B ．5C ．5-D ．57．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上．若1AB =，AC =，AB AC ⊥，14AA =，则球O 的表面积为A ．5πB ．10πC ．20πD 8．对于定义在R 上的函数()f x ，且()f x π+为偶函数．当,()0x π∈时，3()cos f x x x =-，设()2a f =，()4b f =，()6c f =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．设a ，b ，c 为正实数，且a b >，则 A ．11a b a b->- B ．11a b b a->- C ．()ln 0a b ->D ．()()2211c a b c +>+10．已知曲线12:sin C y x =，2:2sin 23C y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则 A ．把1C 上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移6π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移56π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 向左平移3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短为原来的12倍．纵坐标不变，得到曲线2CD ．把1C 向左平移6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线2C11．对a ∀，b ∈R ，若函数()f x 同时满足：（1）当0a b +=时，有()()0f a f b +=；（2）当0a b +>时，有()()0f a f b +>，则称()f x 为Ω函数．下列是Ω函数的有 A ．()e e xxf x -=+B ．()e exxf x -=-C ．()sin f x x x =-D ．()0,0,1,0.x f x x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩12．在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，P 是平面11DCC D 内不同的两点，N ，Q 是平面ABCD 内不同的两点，且M ，P ，N ，Q CD ∉，E ，F 分别是线段MN ，PQ 的中点，则下列结论正确的是 A ．若MNPQ ，则EF CD B ．若E ，F 重合，则MPCDC ．若MN 与PQ 相交，且MPCD ，则NQ 可以与CD 相交D ．若MN 与PQ 是异面直线，则EF 不可能与CD 平行 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数32()2f x x x =-的图象在点()()1,1f 处的切线方程为________．14．1021(2)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中8x 的系数为________．（用数字填写答案）15．已知向量()1,m a =，()21,3n b =-（0a >，0b >），若m n ⊥，则12a b+的最小值为________． 16．已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，以12F F 为直径的圆与C 的左支交于点A ，2AF 与C 的右支交于点B ，123cos 5BF F ∠=-，则C 的离心率为________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①sin B C =，②4sin b A =，③2B C A +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos s n 4i B A A a b =+，2a =，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（12分）设{}n a 是公比大于1的等比数列，12314a a a ++=，且21a +是1a ，3a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21log 2nn b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）如图，在圆柱12O O 中，AB 为圆1O 的直径，C ，D 是弧AB 上的两个三等分点，CF 是圆柱12O O 的母线．（1）求证：1CO 平面AFD ；（2）设AC =45FBC ∠=︒，求二面角B AF C --的余弦值．20．（12分）某市广电运营商为了解该市广电网络从业人员的业务水平与服务水平．随机调查了140名客户，结果显示：业务水平的满意率为67，服务水平的满意率为57，两者都满意的有90名客户．（1）根据上述结果完成下面22⨯列联表．并判断是否有97.5%的把握认为该市广电网络从业人员的业务水平与服务水平有关；（2）若从对服务水平不满意的客户中，随机抽取2名征求改进意见，用X 表示对业务水平不满意的人数，求X 的分布列与期望；（3）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为5%，只对其中一项不满意的客户流失率为40%，对两项都不满意的客户流失率为75%，从该社区中任选4名客户，估计在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d ⨯-=++++，n a b c d =+++21．（12分）已知椭圆C 的两个焦点分别是()1,0-，()1,0，并且经过点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()0,2Q ，若C 上总存在两个点A 、B 关于直线y x m =+对称，且4QA QB ⋅<，求实数m 的取值范围． 22．（12分）已知函数()()ln 1f x x a x =-+，a ∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()1g x f x x =++，若函数()g x 有两个不同的零点1x ，2x ，求a 的取值范围．2020学年第一学期高三调研考试数学试题参考答案与评分标准评分说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半．如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1～8小题为单项选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；9～12小题为多项选择题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．8．解，因为函数()f x π+为偶函数，所以()()f x f x ππ-+=+， 即函数()f x 的图象关于直线xπ=对称，即()2()f x f x π=-．又因为当,()0x π∈时，()3cos f x x x =-，所以函数()f x 在(0,)π上单调递减，因而在(),2ππ上单调递增，因为4226π<-<，所以()()(426)2f f f π<-<，即()()426()f f f <<，即b a c <<．故选C ． 12．解：若MNPQ ，则M 、N 、P 、Q 四点共面γ，当MN PQ <时，平面11DCC D 、ABCD 、γ两两相交有三条交线，分别为MP 、NQ 、CD ，则三条交线交于一点O ，则CD 与平面γ交于点O ，则EF 与CD 不平行．故A 错误： 若E ，F 两点重合，则MPNQ ，M 、N 、P ﹑Q 四点共面γ，平面11DCC D 、ABCD 、γ两两相交有三条交线，分别为MP 、NQ 、CD ，由MPNQ ，得MPNQCD ，故B 正确；若MN 与PQ 相交，确定平面γ，平面11DCC D 、ABCD 、γ两两相交有三条交线，分别为MP 、NQ 、CD ，因为MP CD ，所以MP NQ CD ，所以NQ 与CD 不可能相交．故C 错误；当MN 与PQ 是异面直线时，如图，连接NP ，取NP 中点G ，连接EG ，FG ．则EG MP ，因为MP ⊂平面11DCC D ，EG ⊄平面11DCC D ，则EG 平面11DCC D ．假设EFCD ，因为CD ⊂平面11DCC D ，EF ⊄平面11DCC D ，所以EF 平面11DCC D ．又EF EG E ⋂=，∴平面EFG平面11DCC D ，同理可得，平面EFG平面ABCD ，则平面11DCCD 平面ABCD ，与平面11DCC D ⋂平面ABCD CD =矛盾．所以假设错误，EF 不可能与CD 平行，故D 正确，故选BD ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．0x y +=14．2515．7+1616．解：由题意知1290F AF ∠=︒，123cos 5BF F ∠=-， 所以13cos 5ABF ∠=，即1||3||5AB BF =，易得11::3:4:5AB AF BF =． 设||3AB =，1145B AF F ==，2BF x =．由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，所以12F F c ==⇒=，因为2521a x a =-=⇒=，所以离心率e =．三、解答题；本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）解：已知sin cos 4sin B A a b A =+，由正弦定理，得4sin sin sin sin cos B A A A B B =+， ······································································ 2分因为B 为三角形内角，sin 0B ≠， ······················································································· 3分所以sin s i 4s n A A A =+，即3sin os A A = ···························································· 4分所以tan 3A =， ········································································································· 5分因为0A π<<，所以6A π= ······························································································ 6分 选择条件①的解析：解法一：由sin B C =及正弦定理，可得b =， ························································ 7分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，则)22422c c ⎛⎫=+-⋅ ⎝⋅⎪⎪⎭， ············································································· 9分解得2c =． ·················································································································· 10分解法二：由sin B C =，又因为6A π=，所以56B C π=-， ············································ 7分则5sin 6C C π⎛⎫-=⎪⎝⎭，展开得，cos C C =， ······················································ 8分所以tan C =，6C π= 所以A C =， ·················································································································· 9分 所以2c =． ·················································································································· 10分 选择条件②的解析：解法一：由4sin b A =，可得4sin26b π==， ······································································· 7分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得，·············································································· 8分2222222cos6c c π=+-⨯⨯⨯，······················································································ 9分解得c = ·············································································································· 0分 解法二：由4sin b A =得4sin26b π==． ············································································· 7分因为2a =，所以，ABC △是以C 为顶角的等边三角形． 所以6A B π==，所以23C π=． ····················································································· 8分由正弦定理sin sin a cA C=得，22sinsin63cππ=， ··································································· 9分解得c = ·············································································································· 10分 选择条件③的解析：解法一：由2B C A +=，又因为A B C π++=，则3A π=， ·················································· 8分与6A π=矛盾，则问题中的三角形不存在． ········································································· 10分解法二：由2B C A +=，则263B C ππ+=⨯=，则632A B C ππππ++=+=<，························································································ 8分与三角形内角和等于π矛盾，因而三角形不存在． ································································ 10分 18．（12分）解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ．依题意，有()21321a a a +=+ ········································································································ 1分 将()13221a a a +=+代入12314a a a ++=得()222114a a ++=，得24a =． (2)分联立1232144a a a a ++==⎧⎨⎩得21111144a a q a q a q ++==⎧⎨⎩两式两边相除消去1a 得22520q q -+=， 解得2q =或12q =（舍去）， ····························································································· 3分 所以1422a ==． ··········································································································· 4分 所以111222n n nn a a q --==⨯=． ························································································ 5分（2）解法一：因为21log 22nn n n b a n ⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭······································································ 6分所以，231222322n n T n -=⨯+⨯+⨯+⨯……① ······························································· 7分()32142122232122n n n T n n +-=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯……② ················································· 8分 ①-②，得21322222n n n T n +=++++-⨯ ······································································ 9分1112(12)222212n n n n n n +++-=-⨯=-⋅--． ········································································· 11分所以，数列{}n b 的前n 项和11222n n n T n ++=-⋅-． ····························································· 12分解法二：因为21log 2(2)22nn n n n b a n n n ⎛⎫==-⋅=-+⋅ ⎪⎝⎭[]{}2(1)4(2)2n n n =-++--+⋅所以()()112222n nn b n n +⋅=-++--⎦+⋅⎡⎤⎣ ········································································· 8分 进而得2132(22)2(12)2(32)2(22)2n T ⎡⎤⎡⎤=-+⋅--+⋅+-+⋅--+⋅+⋯+⎣⎦⎣⎦[]{}1(1)22(2)2n n n n +-++⋅--+⋅[]11(1)22222(1)n n n n ++=-++⋅--⋅-= ········································································· 11分 所以数列{}n b 的前n 项和为()1122n n T n +⋅=-- ································································· 12分 19．（12分）解：（1）连接1O C ，1O D ， ····························································································· 1分因为C ，D 是半圆AB 上的两个三等分点， 所以11160AO D DO C CO B ∠=∠=∠=︒， 又1111O A O B O C O D ===，所以1AO D △，1CO D △，1BO C △均为等边三角形．所以11O A AD DC CO ===， ··························································································· 2分 所以四边形1ADCO 是平行四边形． ···················································································· 3分 所以1CO AD ， ·········································································································· 4分因为1CO ⊄平面AFD ，AD ⊂平面AFD ， 所以1CO 平面AFD ． ···································································································· 5分（2）因为FC 是圆柱12O O 的母线，所以FC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以FC BC ⊥ ······················································ 6分 因为AB 为圆1O 的直径，所以90ACB ∠=︒，在Rt ABC △中，60ABC ∠=︒，AC =，所以1tan 60ACBC ==︒，所以在Rt FBC △中，tan451FC BC =︒= ··········································································· 7分 （方法一）因为BC AC ⊥，BC FC ⊥，AC FC C ⋂=， 所以BC ⊥平面FAC ， 又FA ⊂平面FAC ， 所以BC FA ⊥．在FAC △内，作CH FA ⊥于点H ，连接BH ．因为BC CH C ⋂=，BC ，CH ⊂平面BCH ，所以FA ⊥平面BCH ， ····································································································· 8分 又BH⊂平面BCH ，所以FA BH ⊥，。