高中数学一元二次函数的最值问题 学法指导

高中数学一元二次函数的最值问题

一元二次函数的最值问题是高一知识中的一个重点、热点，也是同学们在学习过程中普遍感到困惑的一个难点，它考查了函数的单调性，以及数形结合、分类讨论等数学思想和方法。下面对这一知识点进行简单总结。

一、一元二次函数在［m ，n ］上的最值

1. 设函数）（0a c bx ax )x (f 2>++=

（1）求函数f(x)在区间[m ，n]上的最小值。 ①当)n (f )x (f n a

2b ]a 2b (]n m [min =≥---∞⊆时，，即，，。 ②当)m (f )x (f m a

2b )a 2b []n m [min =≤-∞+-⊆时，，即，，。 ③当a

4b ac 4)x (f n a 2b m 2

min -=<-<时，。 （2）求函数f(x)在区间[m ，n]上的最大值。 ①当)n (f )x (f 2

n m a 2b max =+≤-时， ②当)m (f )x (f 2

n m a 2b max =+>-时，。 2. 设函数）（0a c bx ax )x (f 2<++=

（1）求函数f(x)在区间[m ，n]上的最大值。 ①当)n (f )x (f n a

2b ]a 2b (]n m [max =≥--

-∞⊆时，，即，， ②当)m (f )x (f m a

2b )a 2b []n m [max =≤-∞+-⊆时，，即，， ③当a

4b ac 4)x (f n a 2b m 2

max -=<-<时， （2）求函数f(x)在区间[m ，n]上的最小值。 ①当)n (f )x (f 2

n m a 2b min =+≤-时，。 ②当)m (f )x (f 2n m a 2b min =+>-时，。

二、典型例题

1. 确定所给区间的单调性

例1 已知二次函数f(x)满足)x 1(f )x 1(f -=+，且f(0)=0，f(1)=1，且在区间[m ，n]上的值域是[m ，n]，求实数m ，n 的值。

解：∵二次函数f(x)满足)x 1(f )x 1(f -=+

∴函数的对称轴为x=1

又因为1)1(f =，可设1)1x (a )x (f 2+-=。把f(0)=0代入得到a=－1，即

x 2x 1)1x ()x (f 22+-=+--=

由题意知函数值域为1n ]1(]n m []1(≤-∞⊆-∞，即，，，则， 因此，函数在区间[m ，n]上单调递增

∴0m n n 2n m m 2m n )n (f m )m (f 22=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⇒⎩⎨⎧==或1，n=0或1

综合题意可得m=0，n=1

2. 已知二次函数图象开口方向，需要讨论函数对称轴。

例2 已知函数1ax 2x )x (f 2++=在区间[－1，2]上的最大值为4，求a 的值。

解：函数22a 1)a x ()x (f -++=，对称轴为x=－a 。 ①当21a 221a -≥+-≤-，即时，4

1a 5a 4)2(f )x (f max -=⇒+== ②当221a +->-，即2

1a -<时，1a a 22)1(f )x (f max -=⇒-=-= 综上所述，4

1a 1a -=-=或 3. 二次函数的解析式确定，但所给区间需要讨论。

例3 设函数4x 4x )x (f 2--=的定义域为[t －2，t －1]，R t ∈，求函数的最小值)t (ϕ的解析式。

解：（1）8)2x ()x (f 2--= ①当8)4t ()2t (f )x (f 22t )2[]1t 2t [2min --=-=≥-∞+⊆--时，，即，

， ②当[t －2，t －1]]2(，-∞⊆，即8)3t ()1t (f )x (f 21t 2min --=-=≤-时，。 ③1t 22t -<<-，即3

⎪⎩⎪⎨⎧≤--<<-≥--==3

t 8

)3t (4t 38

4t 8)4t ()t ()x (f 22ϕ 4. 二次项系数的讨论。 例4 已知函数]223[3x )1a 2(ax )x (f 2，在区间---+=上的最大值为1，求a 的值。 解：（1）当a=0时，3x )x (f --=，函数在区间]22

3

[，-上单调递减，)23(f )x (f max -=12

3≠-=，不符合题意，所以舍去。 （2）当a>0时，3a

4)1a 2()a 21a 2x (a )x (f 2

2----+= ①当4

3a 15a 8)2(f )x (f 52a 2223a 21a 2max =⇒=-==≥+-≤--时，，即，符合题意。 ②当3

10a 123a 43)23(f )x (f 52a 2223a 21a 2max -=⇒=--=-=<+->--时，，即（舍去）。

（3）当a<0时，3a

4)1a 2()a 21a 2x (a )x (f 2

2----+=。 ①0a 6

1a 2a 21a 2]a 21a 2(]223[<≥⇒≥-----∞⊆-，与，即，，矛盾。 ②1a 23a 21a 2)a 21a 2[]2,23[-≥⇒-≤--∞+--⊆-，即，时，)2

3(f )x (f max -=

=3

10a 123a 43-=⇒=--（舍去） ③当2

223a 13a 4)1a 2()x (f 1a 2a 21a 2232max +-=⇒=---=-<⇒<--<-，时（舍去）或2

223a --=。 综上所述可得2

223a 43a --==或