高中数学一元二次函数的最值问题 学法指导
解题秘诀二次函数最值的4种解法
解题秘诀二次函数最值的4种解法二次函数是高中数学中的一个重要知识点，掌握了解题的秘诀和方法，就可以更好地解决与二次函数相关的各种问题。
本文将介绍四种解法来求解二次函数的最值问题。
一、二次函数的最值根据导数解法要求解二次函数的最值，可以通过求导数的方法来解决。
具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2. 对函数进行求导，得到导函数：f'(x) = 2ax + b。
3.导函数表示了二次函数的斜率，要求函数的最值，就是要求导函数为零点时的x值。
4. 解方程2ax + b = 0，求得x = -b / 2a。
5.将求得的x值代入二次函数，计算得到对应的y值。
6.x和y的值就是二次函数的最值。
二、二次函数的最值根据顶点法解法顶点法也是求解二次函数的最值的一种方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2.求出二次函数的顶点坐标，顶点的x值为-x/2a。
3.将求得的x值代入二次函数，计算得到对应的y值。
4.x和y的值就是二次函数的最值。
三、二次函数的最值根据平移法解法平移法是一种通过平移变换求解二次函数最值的方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2.将二次函数表示为顶点形式：f(x)=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。
3.根据函数的几何性质，二次函数的最值就是顶点的纵坐标k。
四、二次函数的最值根据因式分解解法因式分解是一种求解二次函数最值的常用方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2.将二次函数进行因式分解：f(x)=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为二次函数的两个零点。
3.根据函数的几何性质，二次函数的最值为x轴与二次函数的拐点处的纵坐标。
通过以上四种解法，我们可以灵活地解决二次函数的最值问题。
二次函数的最值问题与问题解决技巧
二次函数的最值问题与问题解决技巧二次函数是高中数学中一个重要的概念，它有许多实际应用并且涉及到最值问题。
解决这类问题需要一定的技巧和方法。
本文将介绍二次函数的最值问题以及解决这些问题的技巧。
一、二次函数的最值问题最值问题在数学中非常常见，它代表了在一定条件下，函数的最大值或最小值。
对于二次函数而言，最值问题可以通过确定二次函数的开口方向以及顶点位置来解决。
1. 二次函数的开口方向对于二次函数y=ax²+bx+c，其中a，b，c为常数，a不等于0。
通过a的正负可以判断二次函数的开口方向。
当a大于0时，二次函数的开口是向上的，形状像一个U；当a小于0时，二次函数的开口是向下的，形状像一个倒U。
2. 顶点的横坐标和纵坐标二次函数的最值就出现在顶点处，因此需要确定顶点的横坐标和纵坐标。
对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，顶点的横坐标为x=-b/2a，可以通过对称轴求得；顶点的纵坐标为y=f(-b/2a)，即将x=-b/2a代入函数中计算得到。
3. 最值问题的解答根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以得到最值问题的解答。
当二次函数开口向上时，顶点是函数的最小值；当二次函数开口向下时，顶点是函数的最大值。
二、解决二次函数最值问题的技巧解决二次函数最值问题的技巧主要包括图像法、配方法、导数法等。
1. 图像法通过绘制二次函数的图像，可以直观地找出函数的最值。
根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以判断最值是最小值还是最大值。
2. 配方法当二次函数的系数a不为1时，可以使用配方法将其转化为完全平方的形式，从而更容易找到最值。
例如对于二次函数y=ax²+bx+c，可以将x²+bx转化为(x+b/2a)²-b²/4a，然后再根据顶点的位置判断最值。
3. 导数法通过对二次函数求导，可以得到导函数，进而求出极值点。
导数为0处的x值就是函数的极值点，通过计算可以得到相应的y值。
高中数学最值问题12种
高中数学最值问题12种高中数学最值问题是指在一定条件下，找出某个函数的最大值和最小值的问题。
这些问题需要通过一定的方法来求解，涉及到导数、不等式、二次函数、三角函数等数学知识。
下面我们将介绍12种高中数学最值问题的解法和相关概念。
1.函数的最大值和最小值：函数的最大值和最小值是指函数的各个值中最大和最小的值。
一元函数的最大值和最小值通常可以通过求解导数为0的点来获得。
多元函数的最大值和最小值可能需要使用拉格朗日乘数法等方法。
2.二次函数的最值：二次函数的最值可以通过求解顶点坐标来获得。
二次函数的最大值发生在开口向下的情况下，最小值发生在开口向上的情况下。
3.三角函数的最值：三角函数的最值可以通过研究函数的周期性和对称性来获得。
一般情况下，三角函数的最值为1和-1。
4.不等式的最值：不等式的最值是指不等式的解集中最大和最小的值。
不等式的最值可以通过求解方程来获得。
需要注意确定不等式边界的方式。
5.绝对值函数的最值：绝对值函数的最值可以通过研究函数的分段性质来获得。
需要考虑绝对值函数的参数取值范围。
6.对数函数的最值：对数函数的最值可以通过研究函数的定义域和值域来获得。
对数函数的最大值和最小值通常发生在底数小于1的情况下。
7.指数函数的最值：指数函数的最值可以通过研究函数的定义域和值域来获得。
指数函数的最大值和最小值通常发生在指数大于1的情况下。
8.等式的最值：等式的最值是指满足等式的变量的最大和最小的值。
等式的最值通常可以通过求解方程组来获得，在求解过程中需要注意排除无解的情况。
9.不定积分的最值：不定积分的最值可以通过求导和临界点的方式来获得。
需要注意确定积分的上下界。
10.定积分的最值：定积分的最值可以通过函数在积分区间上的最值来获得。
需要注意确定积分的上下界和积分变量的取值范围。
11.矩形面积的最值：矩形面积的最值可以通过求解矩形的边长和面积关系来获得。
需要注意确定矩形的条件和限制条件。
12.三角形面积的最值：三角形面积的最值可以通过求解三角形的边长和高的关系来获得。
高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2.2 利用基本不等式求最值学案 新人教A版必修第
第2课时 利用基本不等式求最值1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 2．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．基本不等式与最值 已知x ，y 都是正数，(1)如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； (2)如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x 、y >0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a >0，b >0，且a ＋b ＝16，则ab ≤64.( ) (2)若ab ＝2，则a ＋b 的最小值为2 2.( ) (3)当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数y 的最小值是2xx －1.( )(4)若x ∈R ，则x 2＋2＋1x 2＋2≥2.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×题型一利用基本不等式求最值【典例1】 (1)若x >0，求y ＝4x ＋9x的最小值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值； (4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．[思路导引] 利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．[解] (1)∵x >0， ∴由基本不等式得y ＝4x ＋9x≥24x ·9x＝236＝12，当且仅当4x ＝9x ，即x ＝32时，y ＝4x ＋9x 取最小值12.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取“＝”．∴y 的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2 ≥2(x －2)·4x －2＋2＝6. 当且仅当x －2＝4x －2， 即x ＝4时，x ＋4x －2取最小值6. (4)∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y≥10＋29＝16.当且仅当y x ＝9x y 且1x ＋9y＝1时等号成立， 即x ＝4，y ＝12时等号成立．∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 有最小值16.[变式] (1)本例(3)中，把“x >2”改为“x <2”，则x ＋4x －2的最值又如何？ (2)本例(3)中，条件不变，改为求x 2－2x ＋4x －2的最小值．[解] (1)∵x <2，∴2－x >0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－x )＋42－x ＋2≤－2 (2－x )·42－x＋2＝－2.当且仅当2－x ＝42－x，即x ＝0时，x ＋4x －2取最大值－2. (2)x 2－2x ＋4x －2＝(x －2)2＋2(x －2)＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2 (x －2)·4x －2＋2＝6 当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，原式有最小值6.(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同． [针对训练]1．已知x ，y >0，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．[解析] ∵x ，y >0， ∴x 3＋y 4＝1≥2 xy12， 得xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4即x ＝32，y ＝2时，取“＝”号，∴xy 的最大值为3.[答案] 32．已知x ，y >0，且x ＋y ＝4，则1x ＋3y的最小值为________．[解析] ∵x ，y >0，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x＋3x y ≥4＋23，当且仅当y x ＝3xy， 即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号， 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. [答案] 1＋323．若x <3，则实数f (x )＝4x －3＋x 的最大值为________． [解析] ∵x <3，∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取“＝”号．∴f (x )的最大值为－1. [答案] －1题型二利用基本不等式解决实际问题【典例2】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[思路导引] 设每间虎笼长x m ，宽y m ，则问题是在4x ＋6y ＝36的前提下求xy 的最大值．[解] (1)设每间虎笼长x m ，宽为y m ，则由条件知4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .解法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， ∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大． 解法二：∵2x ＋3y ＝18，∴S ＝xy ＝16·(2x )·(3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝816＝272.(以下同解法一)(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y . ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．[针对训练]4．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000 m 2的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)[解] 设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2160×1042000 x ＝10800x .于是每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10800x＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x (x ≥10)，当x ＋225x取最小时，y 有最小值．∵x >0，∴x ＋225x≥2x ·225x＝30，当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，上式等号成立．∴当x ＝15时，y 有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最小．课堂归纳小结1．利用基本不等式求最大值或最小值时应注意： (1)x ，y 一定要都是正数；(2)求积xy 最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 最小值时，应看积xy 是否为定值；(3)等号是否能够成立．以上三点可简记为“一正、二定、三相等”.2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用．3．求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.1．已知y ＝x ＋1x－2(x >0)，则y 有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最小值为－2D ．最小值为2[答案] B2．已知0<x <1，则当x (1－x )取最大值时，x 的值为( )A.13B.12C.14D.23[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (1－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．[答案] B3．已知p ，q ∈R ，pq ＝100，则p 2＋q 2的最小值是________． [答案] 2004．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.[解析] 由基本不等式，得4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时，等号成立，即a2＝3，a ＝36.[答案] 365．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？[解] 由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80000x－200≥212x ·80000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80000x，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．课后作业(十二)复习巩固一、选择题1．当x >0时，y ＝12x＋4x 的最小值为( )A ．4B ．8C ．8 3D ．16 [解析] ∵x >0，∴12x >0,4x >0.∴y ＝12x ＋4x ≥212x ·4x ＝8 3.当且仅当12x＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x >0时，y 的最小值为8 3.[答案] C2．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋4y的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．15[解析] (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝x ·1x ＋4x y ＋y x ＋y ·4y ＝1＋4＋4x y ＋y x ≥5＋24x y ·yx＝9.[答案] B3．若x >0，y >0，且2x ＋8y＝1，则xy 有( )A ．最大值64B ．最小值164C ．最小值12D ．最小值64[解析] 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.[答案] D4．已知p >0，q >0，p ＋q ＝1，且x ＝p ＋1p ，y ＝q ＋1q，则x ＋y 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3[解析] 由p ＋q ＝1，∴x ＋y ＝p ＋1p ＋q ＋1q ＝1＋1p ＋1q＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ＋1q (p ＋q )＝1＋2＋q p ＋p q ≥3＋2q p ·pq＝5，当且仅当q p ＝p q 即p ＝q ＝12时取等号，所以B 选项是正确的． [答案] B 5．若a <1，则a ＋1a －1有最________(填“大”或“小”)值，为________． [解析] ∵a <1， ∴a －1<0， ∴－⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2， ∴a －1＋1a －1≤－2， ∴a ＋1a －1≤－1. 当且仅当a ＝0时取等号． [答案] 大 －1 二、填空题6．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．[解析] 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．[答案] 127．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．[解析] ∵x ，y 为正数，且x ＋2y ＝1， ∴1x ＋1y＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝3＋2y x ＋x y≥3＋22，当且仅当2y x ＝x y ，即当x ＝2－1，y ＝1－22时等号成立．∴1x ＋1y的最小值为3＋2 2.[答案] 3＋2 28．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．[解析] 每年购买次数为400x次．∴总费用＝400x·4＋4x ≥26400＝160，当且仅当1600x＝4x ，即x ＝20时等号成立．[答案] 20 三、解答题9．已知a ，b ，x ，y >0，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋by＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .[解] x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫a x ＋by＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当bx y ＝ayx时取等号． 故(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18， 即a ＋b ＋2ab ＝18，① 又a ＋b ＝10，②由①②可得{ a ＝2，b ＝8或{ a ＝8，b ＝2. 10．(1)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (2)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． [解] (1)∵x <3，∴x －3<0. ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号，∴f (x )的最大值为－1.(2)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x ，∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2x x －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8 ＝(x －8)＋16x －8＋10 ≥2(x －8)×16x －8＋10 ＝18. 当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18.解法二：由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝8y x ＋2x y ＋10≥2 8y x ·2x y＋10 ＝18.当且仅当8y x ＝2x y，即x ＝2y ＝12时等号成立， ∴x ＋y 的最小值是18.综合运用11．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92D ．5 [解析] ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1，∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92(当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，“＝”成立)，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92. [答案] C12．若xy 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.92[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋y 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋x y ＋y x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋14y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4.当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号． [答案] C13．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． [解析] 因为x >0，所以x ＋1x≥2， 当且仅当x ＝1时取等号，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 14．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________． [解析] ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t ＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1， ∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值9.[答案] 915．阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？[解] 设矩形温室的一边长为x m ，则另一边长为800xm(2<x <200)．依题意得种植面积：S ＝(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －4＝800－1600x －4x ＋8 ＝808－⎝ ⎛⎭⎪⎫1600x ＋4x ≤808－21600x ·4x ＝648， 当且仅当1600x ＝4x ，即x ＝20时，等号成立．即当矩形温室的一边长为20 m ，另一边长为40 m 时种植面积最大，最大种植面积是648 m 2.。
高中数学函数求最值常用方法总结
高中数学中的函数最值求解问题是学习中的难点，在解决函数最值问题的时候要经过全方位的考虑，结合函数的定义域，将各种可能出现的结果进行分析，最终求得准确的计算结果。
在数学学习的过程中活跃的数学思维非常重要，它不仅可以改善学习方法，而且可以帮助学生掌握更多的解题技巧，进而提高解题速度和学习效率。
本文总结了一些求函数最值的常用方法如下：一、利用一次函数的单调性【例题1】 已知 x , y , z 是非负实数，且 x + 3y + 2z = 3 , 3x + 3y + z = 4 ,求函数 w = 2x - 3y + z 的最值 .解：得 y = 5/3 （1 - x）, z = 2x - 1∴ w = 9x - 6又 x , y , z 非负，依一次函数 w = 9z - 6 的单调性可知当 x = 1/2 时，Wmin = -3/2 ,当 x= 1 时，Wmax = 3 .注：再求多元函数的条件最值时，通常是根据已知条件消元，转化为一元函数来解决问题.对于一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 ) 的最值，关键是指出自变量的取值范围，即函数的定义域，当一次函数的定义域是闭区间时，其最值在闭区间的端点处取得 .二、利用二次函数的性质【例题2】 设 α , β 是方程 4x^2 - 4kx + k + 2 = 0 的两个实数根，当 k 为何值时 α^2 + β^2 有最小值？解：∵ α , β 为方程的两个实数根，∴ α + β = k , αβ = 1/4 ( k + 2 ) ,令 y = α^2 + β^2 , 则有又由原方程由实数根可知，∴ k ≤ -1 或 k ≥ 2 .而二次函数的顶点 （1/4，-17/16）不在此范围内，根据二次函数的性质知，y 是以 k = 1/4 为对称轴，开口向上的，定义域为 （-∞，-1]∪[2，+∞）的抛物线，比较 k = -1 及 k = 2 时 y 的值知，当 k = -1 时，有 ymin = 1/2 .注：利用二次函数的性质求最值时，不能机械地套用最值在顶点处取得 . 首先要求出函数的定义域，然后在看顶点是否在函数的定义域内，最后再根据函数的单调性来判定 . 【例题3】 如图所示，抛物线 y = 4 - x^2 与直线 y = 3x 交于 A , B 两点，点 P 在抛物线上由 A 运动到 B，求 △APB 的面积最大时点 P 的坐标 .分析：由于 A , B 为定点，所以 AB 长为定值，欲使 △APB 的面积最大，须使 P 到 AB的距离最大 .解：设 P 点坐标为 （x0 , y0）,∵ A , B 在直线 y = 3x 上，∴联立抛物线与直线方程，可得xA = -4 , xB = 1 ,∴ -4 ≤ x0 ≤ 1 ,则有∴当 x = -3/2 时，d 取最大值，△APB 面积最大，此时 P 点坐标为 （-3/2 , 7/4）.注：在解决实际问题时要注意确定自变量取值范围的方法，本题是由直线与抛物线的交点来确定的，这样才能确定定义域内的最值 .三、利用二次方程的判别式欲求函数 y = f(x) ( x ∈ R ) 的极值，如果可以把函数式整理成关于 x 的二次方程， 注意到 x 在其定义域内取值，即方程有实根，所以可以通过二次方程的判别式 △ ≥ 0 来探求 y 的极大值与极小值 .【例题4】 已知 0 ≤ x ≤ 1 , 求的最值 .解： 原式可化为∵ x ∈ R ,∴解得 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，即函数 y 的值域为 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，∴ y极大 = 1/4，y极小 = 9/16 .当 y = 1/4 时，代入原函数解析式得 x = 1 ∈ [ 0 , 1 ] ;当 y = 9/16 时，代入原函数解析式得 x = -1 [ 0 , 1 ] .又 x = 0 时 ， y = 2/3 ,∴ 当 x = 0 时，y 取极大值 2/3 .注：① 由判别式确定的是函数的值域，由值域得到的是函数的极值而不是最值；② 对有些函数来说，极值与最值相同，而有的函数就不一定，如本题中的极大值比极小值还小，这是因为极值是就某局部而言；③ 若要求函数在给定的定义域内的最值，一定要注意极值是否在此定义域内取得， 即要注意验根 .四、利用重要不等式【例题5】 设 x , y , z ∈ R+ , 且 2x + 4y + 9z = 16 .求 6√x + 4√y + 3√z 的最大值 .解：令 u = 6√x + 4√y + 3√z ,∴ u ≤ 4√23 ,( 其中当 9/x = 1/y = 1/9z 时，即当 x = 144/23 , y = 16/23 , z = 16/207 时取等号) 故注：这里是应用柯西不等式，在应用公式时，如何构造出已知条件等式 2x + 4y + 9z = 16，颇具技巧性和解题意义 .五、利用三角函数的有界性对于三角函数的极值，通常是利用三角函数的有界性来求解问题的，如正、余弦函数的最大（小）值很明显：y = asinx + bcosx （a , b ≠ 0）引入辅助角 θ，则其最值也一目了然 . 而对于其它的类型或用同角关系式、或用万能公式、或用正余弦定理作转化，变为二次函数问题来求解 .【例题6】 求的最值 .解法一： （利用降幂公式）解法二： （用判别式法）注： 本例还可以用万能公式等方法来求解 .六、利用参数换元对于有些函数而言，直接求极值比较复杂或不方便，这时可根据题目的特点作变量代换，然后运用前面的几种方法来解决问题.在换元时，一定要注意新的变量的取值范围 . 【例题7】 求函数 y = x + √( 1 - x ) 的极值 .解：原函数变为∵ t = 1/2 ∈ [ 0 , +∞ ) ,∴ 当 t = 1/2 ，即 x = 3/4 时，ymax = 5/4 .注： 这种换元虽然十分简单，但具有代表性 .七、利用复数的性质【例题8】 已知复数 z 满足 | z | = 2 , 求 | 1 + √3 i + z | 的极值 . 解法一：设 z = 2（cosθ + isinθ） （∵ | z | = 2）故 | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .解法二：依据 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | ,有 | 1 + √3 i | - | z | ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ | 1 + √3 i | + | z | ，即 2 - 2 ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ 2 + 2 ，∴ | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .注：求复数模的最值通常可用代数法，三角法（解法一），复数模的性质及其公式 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | , 此外还有数形结合方法等，但以上两种方法最为简捷.八、利用数形结合有些代数和三角问题，若能借助其几何背景，予以几何直观，这时求其最值常能收到直观、明快，化难为易得功效.【例题9】 求的最值 .解： 将函数式变形为其几何意义是在直角坐标系中，动点 P（cosx , sinx）和定点 A（-2 ，-1）连线的斜率，动点 P 的轨迹为单位圆，如下图所示：知 kAB 最小，kAC 最大，显然 kAB = 0 ,又 tgθ = |OB|/|AB| = 1/2 ,tg∠A = tg2θ = 2tgθ/（1 - tg^2 θ）= 4/3 ,即 kAC = 4/3 ,故 ymin = 0 , ymax = 4/3 .注：形如 [f(x) - a] / [g(x) - b] 的函数式，通常都可视作点 （g(x) ，f(x) ） 与点 （b , a）的连线的斜率 .运用数形结合的思想解题，关键是要进行合理的联想和类比，将代数式通过转化、变形、给予几何解释，通常这种转化与变形的过程常是一种挖掘和发现的过程，如本例需要挖掘 .。
高中数学中的二次函数的最值问题
高中数学中的二次函数的最值问题二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学建模、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。
而在二次函数的研究中，最值问题是一个重要的方面。
本文将探讨高中数学中的二次函数的最值问题，并从不同角度进行分析和讨论。
一、二次函数的基本特征二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像一般为抛物线，开口的方向取决于a的正负。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的最值问题在二次函数中，最值问题是研究函数的最大值和最小值的问题。
我们可以通过求解二次函数的导数来找到函数的最值点。
首先，通过求导可以得到二次函数的导函数f'(x) = 2ax + b。
然后，令导函数等于零，即2ax + b = 0，解方程可以得到最值点的横坐标。
最后，将横坐标代入二次函数中，求得最值点的纵坐标。
三、二次函数最值问题的几个例子1. 求解二次函数f(x) = x^2 + 2x - 3的最大值和最小值。
首先，求导得到f'(x) = 2x + 2。
令f'(x) = 0，解方程得到x = -1。
将x = -1代入原函数f(x)，得到f(-1) = -2。
因此，最大值为-2，最小值为f(-1) = -2。
2. 求解二次函数f(x) = -2x^2 + 4x + 1的最大值和最小值。
同样地，求导得到f'(x) = -4x + 4。
令f'(x) = 0，解方程得到x = 1。
将x = 1代入原函数f(x)，得到f(1) = 3。
因此，最大值为3，最小值为f(1) = 3。
3. 求解二次函数f(x) = 3x^2 - 6x + 2的最大值和最小值。
求导得到f'(x) = 6x - 6。
令f'(x) = 0，解方程得到x = 1。
将x = 1代入原函数f(x)，得到f(1) = -1。
《二次函数的最值问题》教案
二次函数的最值问题一、内容与内容解析1.内容含参二次函数在m x n ≤≤内的最值问题.２.内容解析本节课在讨论了影响0a ＞时二次函数在m x n ≤≤内最值的因素后对0a ＞时含参二次函数在m x n ≤≤内最值问题进行探究.主要的研究方法是从函数图像入手，通过几何画板动态演示，确定分类标准，进行分类讨论,进而对分类标准进行优化，得到解决此类问题的一般方法，并运用此方法解决相关的最值问题.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从函数图像入手，运用分类讨论思想求含参二次函数在m x n ≤≤内最值.二、目标和目标解析1.目标(1)通过复习二次函数图像的特征和性质，能够借助二次函数的图像研究二次函数的最值.(2)通过对二次函数在m x n ≤≤内最值问题初探、对含参二次函数在m x n ≤≤内最值问题的探究，经历直观感知、抽象概括、运算求解、反思与构建等思维过程，体会函数思想，分类讨论等数学思想方法，发展数学感知、数学表征、抽象概括、运算能力等.2.目标解析达成目标(1)的标志是：学生会借助二次函数的图像研究二次函数在m x n ≤≤内的最值，并能由此得到二次函数在m x n ≤≤内最值的影响因素，进一步体会函数思想.达成目标(2)的标志是：借助二次函数的图像求解含参二次函数在m x n ≤≤内最值，进一步体会函数思想和分类讨论的思想.三、教学问题诊断分析学生已学习了二次函数的概念、图像和性质，已经具备了一定的识图能力、分析图形特征的能力、数学说理能力，这为本节课的学习奠定了基础.但对于含参二次函数在m x n ≤≤内的图像及最值问题，由于其抽象程度较高，学生可能会在为什么要进行分类讨论以及如何确定分类标准这两个问题上产生一定的困难.基于以上分析，本节课的教学难点是：如何确定分类标准.四、教学过程设计引言:(展现生活实例，体现研究二次函数在m x n ≤≤内最值的必要性)本节课，我们将结合二次函数的相关知识深入研究二次函数的最值问题.1.复习导入，自主发现问题1如图，(5,),(8,),(1,),( 3.9,)A B C D A y B y C y D y --在二次函数2134y x x =--的图像上，请比较：(1)B y A y ；（2） D y C y ；（3）D y B y ；（4）C y A y .问题2根据问题1的结论填空：（1）二次函数2134y x x =--（58x ≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（2）二次函数2134y x x =-- ( 3.91x -≤≤-)，当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（3）二次函数2134y x x =--（ 3.98x -≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（4）二次函数2134y x x =--（15x -≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.师生活动: 教师提出问题，学生尝试用已有知识解决这些问题，并交流问题中蕴含的函数知识和对这些知识的理解.追问1：这些二次函数的图像是完整的抛物线吗？追问2：为什么有的（二次函数的）最值能在顶点处取到，有的却不能呢？追问3：通过对上面问题的研究，你认为二次函数在 内的最值的取得与什么有关？师生活动:通过对前面问题的研究，自主发现影响二次函数在 内的最值的因素：对称轴和m x n ≤≤的相对位置.若对称轴不在m x n ≤≤内时，最值在端点处取得；对称轴在m x n ≤≤内时，最值在顶点和端点处分别取得.遇到这类问题时，我们通常要结合函数图象进行分析.设计意图：引导学生通过观察函数图像，直观地发现对称轴和 的相对位置影响了二次函数的最值.为下一步解决0a ＞时含参二次函数在 内的最值问题做铺垫. 2.问题剖析，合作探究探究1：求二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最小值. 师生活动:教师引导学生先观察函数解析式，分析参数t 的变化对二次函数图像的影响，然后借助计算机软件，直观感受对称轴和m x n ≤≤的相对位置如何影响二次函数的最小值.最后全班交流，确定分类标准，学生独立补全解题过程.追问1：观察本题中的函数解析式与前面 有什么区别？ m x n ≤≤2134y x x =--m x n ≤≤m x n ≤≤m x n ≤≤追问2：随着参数t 的变化，二次函数2134y x tx =--图象的开口方向和开口大小会改变吗？对称轴呢？追问3：二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最小值是唯一确定的吗？ 师生活动:关注学生是否明确此处为什么要进行分类讨论，体会分类讨论的必要性. 追问4：如何确定分类标准？如何用数学符号表达这种关系呢？师生活动: 师生共同讨论写出分类标准.教师规范格式以后要求学生将过程补齐. 设计意图：探究0a ＞时含参二次函数在 内的最小值问题，让学生体会解决这一类问题的基本方法.培养学生直观感知、抽象概括、数学表征能力，激发自主学习的积极性和探究意识.引导观察，发现分类依据，培养探究意识.探究2：已知关于x 的二次函数y 1＝x 2+bx +c （实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x ＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b 2﹣c ＝0，当b ﹣3≤x ≤b 时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数y 2＝2x 2+x +m ，若在（1）的条件下，当0≤x ≤1时，总有y 2≥y 1，求实数m 的最小值．师生活动：要求学生独立解决，写出分析过程，小组内交流讨论，最后全班汇报交流.对于学生展示的分类方法，教师适当引导和纠正，让学生理解如何进行分类讨论（不重复，不遗漏），并对分类方法进行优化.最后共同归纳出求含参二次函数在m x n ≤≤内最值的一般方法：一般先确定对称轴与m x n ≤≤的相对位置关系，分别画出示意图，确定分类标准，再进行分类讨论.设计意图：在探究1的基础上进一步探究 时含参二次函数在 内的最大值问题，重点体会解题过程中分类标准的确定.师生活动：回顾探究1和探究2的过程，体会它们的相同与不同之处.追问1：为什么有时候分3类，有时候分2类就可以了？什么时候分2类，什么时候分3类呢？追问2：你能直接判断它们分别分几类进行讨论吗：师生活动：通过类比探究1和探究2归纳：求二次函数在m x n ≤≤上的最值不仅min 2min min 2min 10242,12,2211,2321111,1,2422(1)13()2111()42x t t t x y t t t x t y t t t x y t t t y t t t t =--=-=---==---==--⎧⎪--⎪⎪=---⎨⎪⎪--⎪⎩解：＞，对称轴：（1）当2＜即＜时：（2）当2≤2≤即1≤≤时：，（3）当2＞即＞-时：＜综上所述：1≤≤＞-m x n≤≤m x n ≤≤0a ＞要看对称轴与m x n ≤≤的相对位置，还要看开口方向.开口向下时，可类比开口向上的数学模型进行讨论.设计意图：讨论0a ＞时含参二次函数在 内最小值的分类问题，体会开口方向对函数最值的影响.3.归纳总结师生共同回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课我们研究了哪些问题？（2）我们是如何分析、解决这些问题的？（3）在研究过程中你遇到的问题是什么？怎么解决的？设计意图：通过小结，理清本节课的研究内容和研究方法.让学生体会提出问题、分析问题、解决问题的方法.4.课外作业(1) 必做题：①求二次函数223y x ax =--+（45x -≤≤）的最值.②已知二次函数221y ax ax =++（12x -≤≤）有最大值4，求实数a 的值.(2) 选做题：求二次函数223y x x =-+（2t x t ≤≤+）上的最值.（3）兴趣作业：通过本节课的学习，你能自己提出一个二次函数最值相关的问题并进行解答吗？试试看，和同伴交流你的想法.设计意图：巩固本节课所学内容，利用前面归纳的结论来解决二次函数最值的相关问题，加深对含参二次函数在 内的最值问题的认识.体会函数思想.提升学生分析问题，解决问题的能力.m x n ≤≤m x n≤≤。
二次函数线段最值问题
二次函数线段最值问题二次函数线段最值问题是高中数学中经常出现的一个问题。
在实际生活中，许多问题都可以通过二次函数线段最值问题来解决。
本文将从以下几个方面来探讨这个问题：二次函数线段的定义、最值问题的解法、实际应用、注意事项等。
一、二次函数线段的定义二次函数线段是指一条由二次函数所描述的直线。
一般来说，它的函数公式为：y = ax² + bx + c，其中a、b和c均为常数。
其中，a控制二次函数的“开口向上”或“开口向下”，b控制二次函数图像的位置，c为常数项。
当a>0时，函数图像开口向上，当a<0时，函数图像开口向下。
二、最值问题的解法求解二次函数线段最值的问题，需要先找到函数图像的顶点。
顶点是函数图像的最高点或最低点。
根据函数的定义，可以求得顶点的坐标为：x = -b / 2ay = f(x) = -Δ / 4a + c其中Δ = b² - 4ac为判别式。
当a>0时，函数的最小值为y = f(x)，当a<0时，函数的最大值为y = f(x)。
三、实际应用二次函数线段最值问题在许多实际问题中都有广泛应用。
例如，在生产生活中，我们需要计算能够取得最大利润的销售数量；在物理学、化学等领域，也需要求出最高或最低点的数值。
此外，对于空间中的曲面图像，也可以利用二次函数线段最值问题来求出曲面的极值点。
四、注意事项在解题过程中，需要注意以下几点：1. 判别式Δ要大于等于0，否则函数没有最值。
2. 当a = 0时，不是二次函数，也不存在最值问题。
3. 在应用中，需要理解题目中的具体含义，才能正确求解最值问题。
总之，二次函数线段最值问题是高中数学中的重要内容，应当掌握。
通过理解其定义、解法以及实际应用，我们可以更好地理解和应用二次函数线段的相关知识，更好地完成数学学习。
高中数学二次函数的最值问题解析
高中数学二次函数的最值问题解析二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学建模、物理等领域有着广泛的应用。
而二次函数的最值问题是二次函数的重要考点之一，也是高中数学中的重点难点之一。
本文将从最值问题的基本概念入手，通过具体的例题分析，帮助读者理解和掌握二次函数的最值问题的解法和技巧。
一、最值问题的基本概念在解决最值问题之前，我们首先要了解什么是最值。
最值即最大值和最小值，是函数在定义域内取得的最大和最小的函数值。
对于二次函数来说，最值问题即求解二次函数的最大值和最小值。
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上，最小值存在；当a<0时，抛物线开口向下，最大值存在。
二、求解最值问题的方法1. 利用顶点公式顶点公式是求解二次函数最值问题的常用方法。
对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)表示二次函数的值。
例如，考虑二次函数y=x^2-4x+3，我们可以通过顶点公式求解其最值问题。
首先，计算出顶点的横坐标x=-(-4)/(2*1)=2，然后代入函数得到纵坐标y=f(2)=2^2-4*2+3=-1。
因此，该二次函数的最小值为-1，即y=-1时取得最小值。
2. 利用导数对于二次函数，我们还可以利用导数的概念来求解最值问题。
通过求解导数为0的点，可以找到函数的极值点，从而确定最值。
考虑二次函数y=x^2-4x+3，我们可以求解其导数y'=2x-4。
令导数等于0，得到2x-4=0，解得x=2。
将x=2代入函数得到y=f(2)=2^2-4*2+3=-1。
因此，该二次函数的最小值为-1，与利用顶点公式的结果一致。
三、举一反三通过上述例题的分析，我们可以总结出一些解决二次函数最值问题的技巧和方法。
首先，我们可以利用顶点公式或导数的方法来求解最值问题。
一元二次求最大值公式
一元二次求最大值公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一元二次求最大值公式是数学中的一个重要概念，常常用于解决最优化问题和寻找峰值等情况。
在数学上，一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。
而一元二次方程的最大值，则是指二次函数在其定义域内的最大值，通常通过求导来找到最大值点。
在一元二次方程中，我们通过计算二次项系数a来判断开口向上还是向下。
若a>0，则开口向上，此时二次函数的最小值即为顶点；若a<0，则开口向下，此时二次函数的最大值即为顶点。
要求一元二次方程的最大值，只需将二次项系数a取负号，即转化为-a来求解。
一元二次方程的最大值可以通过求导的方法来求解。
假设给定一个一元二次方程y = ax^2 + bx + c，首先求导得到y' = 2ax + b。
接着令y' = 0，得到x = -b/2a，即得到最大值点的横坐标。
将x代入原方程即可求得最大值。
对于一些特殊的一元二次方程，我们可以直接通过顶点公式求出最大值。
一元二次函数y = ax^2 + bx + c的最大值为c - b^2/4a。
这个公式通过二次函数的完全平方式得到，直接用于求解二次函数的最大值点，更加简洁。
在现实生活中，一元二次求最大值公式常常用于解决一些实际问题。
比如工程问题中需要求解最大承重，经济学中的最大利润，以及物理学中的最大速度等等，都可以通过一元二次求最大值公式来解决。
一元二次求最大值公式是数学中一个重要的概念，可以帮助我们解决各种实际问题。
通过求导或者顶点公式，我们可以找到一元二次函数的最大值点，从而得到最优解。
希望大家能够掌握这个公式，应用到实际生活中，解决一些实际问题。
第二篇示例：一元二次求最大值公式是求解二次函数在定义域内取得最大值的方法。
在数学上，一元二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
一元二次函数区间最值问题
一元二次函数区间最值问题1. 引言嘿，朋友们，今天我们来聊聊一个有趣又重要的话题，那就是一元二次函数的区间最值问题。
听起来是不是有点高深？别担心，咱们轻轻松松来。
你知道的，数学有时候就像一碗汤，热乎乎的，但要是太浓了，喝不下去，那就得调味一下。
我们一起来调调味，看看这个问题到底怎么回事。
1.1 一元二次函数是什么首先，一元二次函数，简单来说，就是形如 ( f(x) = ax^2 + bx + c ) 的函数，当然，( a ) 不能为零。
想象一下，这个函数就像是一条抛物线，有时候它是开口向上的，有时候是开口向下的。
比如说，咱们的生活就是这样的，有高兴，也有低谷，但总归是要找到最好的那一刻，对吧？这里的“最值”就是我们要追寻的目标。
1.2 为什么要找最值你问我，为什么要找最值呢？哦，这可重要了！在生活中，我们常常要做决策，比如说，在哪家餐厅吃饭，哪个地方旅行，甚至是在学习上怎么安排时间。
找到一个函数的最值，就像在寻找一个最好的选择，让我们把资源用得最合适，效果最好。
这就像是在玩游戏，谁不想拿到最高分呢？2. 区间最值的概念2.1 区间最值的定义好的，咱们再深入一点。
区间最值，就是在给定的区间里，找到函数的最大值和最小值。
就像是在赛场上，运动员们在规定的时间内比拼，谁能跑得最快，谁能跳得最高。
我们在一个闭区间 (a, b) 上，找到 ( f(x) ) 的最大和最小值，这就叫区间最值。
2.2 计算最值的方法那么，怎么计算这个最值呢？嘿，简单！我们首先得找出函数的导数，看看在哪些点上，函数可能有变化。
导数为零的点，通常是最值的候选者。
接着，我们还得检查区间的边界点，哦，别忘了，这可不能漏掉！最终，把所有候选者的值都算上，就能找到那个“终极冠军”了。
3. 例子分析3.1 实际例子让我们举个例子吧，假设我们有一个函数 ( f(x) = 2x^2 + 4x + 1 )，我们想在区间(0, 3) 上找最值。
先算导数 ( f'(x) = 4x + 4 )，然后让它等于零，得出 ( x = 1 )。
二次函数的最值点与最值问题
二次函数的最值点与最值问题二次函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学建模、物理问题以及经济学中的应用广泛。
在研究二次函数的性质时，我们常常关注它的最值点和最值问题。
本文将重点讨论二次函数的最值点与最值问题，并探究如何求解。
一、二次函数的最值点二次函数的最值点是指在函数曲线上局部最高或局部最低的点。
这些点被称为顶点或拐点。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，顶点坐标可以通过以下公式求得：Vertex_x = -b / 2aVertex_y = f(Vertex_x)在求解最值点时，我们首先需要判断二次函数的开口方向。
当a > 0时，二次函数开口向上；当a < 0时，二次函数开口向下。
知道开口方向后，我们可以通过计算顶点坐标来确定最值点的位置。
举个例子，考虑二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1。
首先，根据a的值为1，我们得知此函数开口向上。
然后，根据公式求解顶点坐标：Vertex_x = -2 / (2*1) = -1Vertex_y = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 0因此，二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1的最值点为(-1, 0)，即顶点位于坐标系中点(-1, 0)的位置。
二、二次函数的最值问题除了求解最值点的坐标，我们还经常遇到二次函数的最值问题。
最值问题包括求解二次函数的最大值和最小值。
在数学建模和实际问题中，这些最值点往往代表了问题的极端点，具有重要的意义。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，最值问题可以通过以下步骤求解：1. 判断二次函数的开口方向。
当a > 0时，二次函数开口向上；当a < 0时，二次函数开口向下。
2. 找到最值点的横坐标。
根据二次函数的最值点公式，我们可以计算顶点的横坐标，即Vertex_x = -b / 2a。
3. 根据二次函数的开口方向，确定最大值或最小值。
二次函数最值问题解题技巧
二次函数最值问题解题技巧二次函数最值问题是高中数学中常见的一类问题，也是中考、高考中经常出现的题型之一。
解题时需要掌握一些解题技巧，下面就介绍一些二次函数最值问题的解题技巧。
1. 求最值的方法二次函数的最值可以通过求解二次函数的顶点来得到，顶点即为最值点。
二次函数的顶点公式为：(-b/2a , f(-b/2a))。
其中，a、b、c分别为二次函数的系数，f(x)表示函数值。
2. 求最值的条件要求二次函数的最值，必须先要满足二次函数的a值不为0，否则该函数就不是二次函数。
其次，需要根据二次函数的符号来判断最值，当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)，当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。
3. 求最值的步骤求解二次函数的最值，一般可以分为以下几个步骤：（1）将二次函数化简为标准形式：y=ax+bx+c。
（2）求出二次函数的顶点坐标：(-b/2a , f(-b/2a))。
（3）判断二次函数的最值：当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。
（4）用最值来解题：根据题目要求，将二次函数的x值代入函数中求出对应的y值，从而得到函数的最值。
4. 拓展除了方法和步骤外，还有一些需要注意的点：（1）二次函数最值问题常常伴随着图像问题，需要将函数的图像画出来，从而更直观地理解问题。
（2）对于一些复杂的二次函数，可以借助计算器等工具来求解，但需要掌握求解方法和步骤。
（3）对于二次函数最值问题的解题，需要练习多种不同类型的题目，从而提高解题能力。
总之，掌握二次函数最值问题的解题技巧，需要学生在学习中不断积累，多加练习，从而提高数学解题能力。
高一数学：一元二次函数的最值问题
高一数学：一元二次函数的最值问题一元二次函数的最值问题是一个高一数学知识点，它考查了函数的单调性，以及数形结合、分类讨论等数学思想和方法。
一、一元二次函数在［m，n］上的最值1. 设函数（1）求函数f(x)在区间[m，n]上的最小值。
①当。
②当。
③当。
（2）求函数f(x)在区间[m，n]上的最大值。
①当②当。
2. 设函数（1）求函数f(x)在区间[m，n]上的最大值。
①当②当③当（2）求函数f(x)在区间[m，n]上的最小值。
①当。
②当。
二、典型例题1. 确定所给区间的单调性例1 已知二次函数f(x)满足，且f(0)=0，f(1)=1，且在区间[m，n]上的值域是[m，n]，求实数m，n 的值。
解：∵二次函数f(x)满足∴函数的对称轴为x=1又因为，可设。
把f(0)=0代入得到a=－1，即由题意知函数值域为因此，函数在区间[m，n]上单调递增∴或1，n=0或1综合题意可得m=0，n=12. 已知二次函数图象开口方向，需要讨论函数对称轴。
例2 已知函数在区间[－1，2]上的最大值为4，求a的值。
解：函数，对称轴为x=－a。
①当时，②当，即时，综上所述，3. 二次函数的解析式确定，但所给区间需要讨论。
例3 设函数的定义域为[t－2，t－1]，，求函数的最小值的解析式。
解：（1）①当②当[t－2，t－1]，即。
③，即3<t<4< span="">时，</t<4<>4. 二次项系数的讨论。
例4 已知函数上的最大值为1，求a的值。
解：（1）当a=0时，，函数在区间上单调递减，，不符合题意，所以舍去。
（2）当a>0时，①当，符合题意。
②当（舍去）。
（3）当a<0时，。
①矛盾。
②时，=（舍去）③当（舍去）或。
综上所述可得▍ ▍ ▍。
高中函数的最大值和最小值怎么求
高中数学中函数的最大值和最小值求解方法
在高中数学中，函数的最大值和最小值是关于函数在定义域内取得的最大和最小值。
为了求解函数的最大值和最小值，我们需要掌握一些方法和技巧，下面将介绍几种常见的方法：
寻找导数为零点
对于连续可导的函数，其极值点通常出现在导数为零的点。
因此，我们可以通过对函数求导并解方程找到函数的最大值和最小值。
具体步骤如下：
1.求出函数的导数。
2.解方程求出导数为零的点。
3.确定这些点中哪些是最大值，哪些是最小值。
利用一元二次函数的性质
当函数为一元二次函数时，可以利用一元二次函数的性质来求得最大值和最小值。
一元二次函数通常具有一个顶点，顶点处即为函数的最大值或最小值。
求解方法如下：
1.将一元二次函数表示为标准形式。
2.根据顶点公式，求出顶点的横坐标。
3.将横坐标代入函数中，求出最大值或最小值。
利用函数的性质
有些函数具有特定的性质，例如指数函数、对数函数等。
针对这些特定函数，我们可以利用其性质来求解最大值和最小值。
以指数函数为例，指数函数具有非负性，因此最小值为0。
对数函数则要求底数大于1才有定义，因此最小值为正数。
综上所述，求解函数的最大值和最小值是高中数学中的一个重要知识点。
通过掌握导数为零点、一元二次函数的性质以及函数的特性，我们可以灵活应用不同的方法来解决函数最大值和最小值的问题。
希望通过这些方法的介绍，读者能够更好地理解和掌握这一知识点。
专题11 一元二次函数的最值问题(解析版)
专题11 一元二次函数的最值问题一、知识点精讲1．二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的最值．二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值244ac b a-，无最小值．2．二次函数最大值或最小值的求法．第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值．如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值．第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =； 第二步：讨论：[1]若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论： ①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧； ②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部； ③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。
[2] 若0a >时求最大值或0a <时求最小值，需分两种情况讨论：①对称轴02m nx +≤，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧； ②对称轴02m nx +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧；说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况。
二、典例精析【典例1】求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ． 【答案】见解析【分析】：由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．【解析】：（1）因为二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2＞0，所以抛物线5322--=x x y 有最低点，即函数有最小值．因为5322--=x x y =849)43(22--x ，所以当43=x 时，函数5322--=x x y 有最小值是849-． （2）因为二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1＜0，所以抛物线432+--=x x y 有最高点，即函数有最大值．因为432+--=x x y =425)23(2++-x ，所以当23-=x 时，函数432+--=x x y 有最大值425 【典例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 【答案】见解析 【解析】：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．【说明】：二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【典例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 【答案】见解析 【解析】：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-． 【典例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 【答案】见解析【分析】：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．【解析】：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时：当x t =时，2min 1522y t t =--；(2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时： 当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩ 【典例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 【答案】见解析【解析】(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．三、对点精练1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点． 【答案】4,14或2，32【解析】当m=4时图象的顶点在y 轴上，当m =14或2时，图象的顶点在x 轴上，当m =32时图象过原点。
二次函数最值问题解题技巧
二次函数最值问题解题技巧介绍二次函数是高中数学中重要的内容之一，而求二次函数的最值问题在解题过程中也是非常常见的。
本文将介绍解决二次函数最值问题的一些技巧和方法，帮助读者更好地理解和应用。
1. 二次函数的基本形式二次函数一般可以写成如下形式：f(x)=ax2+bx+c，其中a、b、c为常数。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
先来看一个具体的例子：例子1：设f(x)=2x2−4x+1，求函数f(x)的最值。
2. 求二次函数的顶点求解二次函数的最值问题，首先需要求出函数的顶点。
二次函数f(x)=ax2+bx+c的顶点坐标可以通过以下公式得到：x=−b2a例子1：设f(x)=2x2−4x+1，求函数f(x)的顶点坐标。
解：根据公式x=−b2a ，代入a=2和b=−4，可以得到x=−−42×2=1。
将x=1代入原函数f(x)，可以计算出对应的y值：f(1)=2×12−4×1+1=−1。
所以函数f(x)的顶点坐标为(1,−1)。
3. 确定开口方向在求得顶点后，我们还需要确定二次函数的开口方向，以便进一步确定最值的位置。
在一般情况下，当二次函数的系数a为正时，抛物线开口向上；当a为负时，抛物线开口向下。
在已知顶点的情况下，通过判断a的正负即可确定开口方向。
例子1：设f(x)=2x2−4x+1，求函数f(x)的开口方向。
解：由于a=2为正数，所以二次函数f(x)的抛物线开口向上。
4. 求解最值根据顶点坐标和开口方向，我们可以得出二次函数的最值。
当二次函数开口向上时，最小值就是函数的顶点值；当二次函数开口向下时，最大值就是函数的顶点值。
例子1：设f(x)=2x2−4x+1，求函数f(x)的最小值。
解：由于函数f(x)是向上的抛物线，最小值就是顶点坐标的纵坐标。
所以函数f(x)的最小值为−1。
5. 问题求解的一般步骤在解决二次函数最值问题时，我们可以总结出一般的步骤如下：1.将二次函数写成标准形式：f(x)=ax2+bx+c；2.使用公式x=−b求得顶点坐标(x,y)；2a3.判断抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；4.根据开口方向，并结合顶点坐标，得出最值结果。
一元二次方程求最值
一元二次方程求最值
一元二次方程的最值求解是一项抽象的数学概念，也是高中数学课程中的重要内容，是数学建模的重要基础。
它可以用来解决多种实际问题，如建筑物结构设计、经济分析、运输规划等。
一元二次方程的最值求解，指的是求解该方程的极大值或极小值。
它与一元二次方程的求根有很大的不同，因为它需要考虑曲线在不同点处的变化情况，从而决定函数的最大值或最小值。
一元二次方程的最值求解，首先需要将一元二次方程化为一元二次函数的形式，如：y=ax^2+bx+c。
其次，需要计算函
数的导数，即：y'=2ax+b。
根据微积分的基本定理，函数的极
值点即导数的零点，因此，我们可以把2ax+b=
0，解出来x的值，就可以得到函数的极值点。
最后，我们需要判断函数的极值点是极大值还是极小值，这可以通过判断函数在极值点处的切线斜率来确定。
如果切线斜率大于零，则极值点处为极大值；反之，若切线斜率小于零，则极值点处为极小值。
总而言之，一元二次方程的最值求解，需要一步步按照上述步骤来完成，其中，第一步是把一元二次方程化为一元二次函数的形式；第二步是计算函数的导数，并求解出极值点；第
三步是判断函数的极值点是极大值还是极小值。
只有按照这三步，我们才能准确地求解出一元二次方程的最值。
一元二次函数赋0求最值的方法
一元二次函数赋0求最值的方法求解一元二次函数的最值是数学中的基本问题之一。
一元二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。
要求这个函数的最值，即求出函数的最大值或最小值。
要求一元二次函数的最值，可以通过以下两种方法来实现。
方法一：利用顶点坐标求最值一元二次函数的顶点坐标可以通过公式x = -b / (2a)来求得。
根据这个公式，我们可以先求出函数的顶点坐标，然后代入函数中求得函数的最值。
1. 首先，我们要确定a、b的值。
在已知函数f(x) = ax^2 + bx + c 的情况下，根据函数的形式，我们可以直接读取a、b的值。
2. 然后，我们可以利用公式x = -b / (2a)求出顶点的横坐标x。
将a、b的值代入公式中，即可求得顶点的横坐标。
3. 接下来，我们将顶点的横坐标代入函数中，求得函数的最值。
将顶点的横坐标代入函数f(x) = ax^2 + bx + c中，即可得到函数的最值。
通过以上步骤，我们可以求得一元二次函数的最值。
方法二：利用导数求最值除了利用顶点坐标求最值的方法外，我们还可以利用导数来求解一元二次函数的最值。
1. 首先，我们要确定a、b的值。
在已知函数f(x) = ax^2 + bx + c 的情况下，根据函数的形式，我们可以直接读取a、b的值。
2. 然后，我们可以求出函数的导数f'(x)。
对一元二次函数f(x) = ax^2 + bx + c进行求导，即可得到函数的导数f'(x) = 2ax + b。
3. 接下来，我们要解方程f'(x) = 0，求得函数的驻点。
将导数f'(x) = 2ax + b等于0，解方程可以得到函数的驻点。
4. 最后，我们要判断函数的最值。
根据函数的凹凸性质，可以判断函数的最值。
如果函数的二阶导数f''(x) = 2a大于0，则函数是凹函数，最值是最小值；如果函数的二阶导数f''(x) = 2a小于0，则函数是凸函数，最值是最大值。
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高中数学一元二次函数的最值问题
一元二次函数的最值问题是高一知识中的一个重点、热点，也是同学们在学习过程中普遍感到困惑的一个难点，它考查了函数的单调性，以及数形结合、分类讨论等数学思想和方法。
下面对这一知识点进行简单总结。
一、一元二次函数在［m ，n ］上的最值
1. 设函数）（0a c bx ax )x (f 2>++=
（1）求函数f(x)在区间[m ，n]上的最小值。
①当)n (f )x (f n a
2b ]a 2b (]n m [min =≥---∞⊆时，，即，，。
②当)m (f )x (f m a
2b )a 2b []n m [min =≤-∞+-⊆时，，即，，。
③当a
4b ac 4)x (f n a 2b m 2
min -=<-<时，。
（2）求函数f(x)在区间[m ，n]上的最大值。
①当)n (f )x (f 2
n m a 2b max =+≤-时， ②当)m (f )x (f 2
n m a 2b max =+>-时，。
2. 设函数）（0a c bx ax )x (f 2<++=
（1）求函数f(x)在区间[m ，n]上的最大值。
①当)n (f )x (f n a
2b ]a 2b (]n m [max =≥--
-∞⊆时，，即，， ②当)m (f )x (f m a
2b )a 2b []n m [max =≤-∞+-⊆时，，即，， ③当a
4b ac 4)x (f n a 2b m 2
max -=<-<时， （2）求函数f(x)在区间[m ，n]上的最小值。
①当)n (f )x (f 2
n m a 2b min =+≤-时，。
②当)m (f )x (f 2n m a 2b min =+>-时，。
二、典型例题
1. 确定所给区间的单调性
例1 已知二次函数f(x)满足)x 1(f )x 1(f -=+，且f(0)=0，f(1)=1，且在区间[m ，n]上的值域是[m ，n]，求实数m ，n 的值。
解：∵二次函数f(x)满足)x 1(f )x 1(f -=+
∴函数的对称轴为x=1
又因为1)1(f =，可设1)1x (a )x (f 2+-=。
把f(0)=0代入得到a=－1，即
x 2x 1)1x ()x (f 22+-=+--=
由题意知函数值域为1n ]1(]n m []1(≤-∞⊆-∞，即，，，则， 因此，函数在区间[m ，n]上单调递增
∴0m n n 2n m m 2m n )n (f m )m (f 22=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⇒⎩⎨⎧==或1，n=0或1
综合题意可得m=0，n=1
2. 已知二次函数图象开口方向，需要讨论函数对称轴。
例2 已知函数1ax 2x )x (f 2++=在区间[－1，2]上的最大值为4，求a 的值。
解：函数22a 1)a x ()x (f -++=，对称轴为x=－a 。
①当21a 221a -≥+-≤-，即时，4
1a 5a 4)2(f )x (f max -=⇒+== ②当221a +->-，即2
1a -<时，1a a 22)1(f )x (f max -=⇒-=-= 综上所述，4
1a 1a -=-=或 3. 二次函数的解析式确定，但所给区间需要讨论。
例3 设函数4x 4x )x (f 2--=的定义域为[t －2，t －1]，R t ∈，求函数的最小值)t (ϕ的解析式。
解：（1）8)2x ()x (f 2--= ①当8)4t ()2t (f )x (f 22t )2[]1t 2t [2min --=-=≥-∞+⊆--时，，即，
， ②当[t －2，t －1]]2(，-∞⊆，即8)3t ()1t (f )x (f 21t 2min --=-=≤-时，。
③1t 22t -<<-，即3<t<4时，8)2(f )x (f min -==
⎪⎩⎪⎨⎧≤--<<-≥--==3
t 8
)3t (4t 38
4t 8)4t ()t ()x (f 22ϕ 4. 二次项系数的讨论。
例4 已知函数]223[3x )1a 2(ax )x (f 2，在区间---+=上的最大值为1，求a 的值。
解：（1）当a=0时，3x )x (f --=，函数在区间]22
3
[，-上单调递减，)23(f )x (f max -=12
3≠-=，不符合题意，所以舍去。
（2）当a>0时，3a
4)1a 2()a 21a 2x (a )x (f 2
2----+= ①当4
3a 15a 8)2(f )x (f 52a 2223a 21a 2max =⇒=-==≥+-≤--时，，即，符合题意。
②当3
10a 123a 43)23(f )x (f 52a 2223a 21a 2max -=⇒=--=-=<+->--时，，即（舍去）。
（3）当a<0时，3a
4)1a 2()a 21a 2x (a )x (f 2
2----+=。
①0a 6
1a 2a 21a 2]a 21a 2(]223[<≥⇒≥-----∞⊆-，与，即，，矛盾。
②1a 23a 21a 2)a 21a 2[]2,23[-≥⇒-≤--∞+--⊆-，即，时，)2
3(f )x (f max -=
=3
10a 123a 43-=⇒=--（舍去） ③当2
223a 13a 4)1a 2()x (f 1a 2a 21a 2232max +-=⇒=---=-<⇒<--<-，时（舍去）或2
223a --=。
综上所述可得2
223a 43a --==或。