2020-2021学年江苏省淮安市六校(金湖中学、洪泽中学等)高二上第二次联考(期中)数学(解析版)

2020-2021学年江苏省淮安市六校（金湖中学、洪泽中学等）高二上学期第二次联考（期中）数学试题一、单选题1．下列命题中的假命题是（ ） A ．x R ∀∈，120x -> B ．*∀∈x N ，()210x -> C ．x R ∃∈，lg 1x < D ．x R ∃∈，tan 2x =【答案】B【详解】试题分析：当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B 中的命题为假命题，故选B ． 【解析】特称命题与存在命题的真假判断．2．若方程22153x y m m +=-+表示椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．()3,5-B ．()5,3-C ．()()3,11,5-D ．()()5,11,3-【答案】C【分析】由方程22153x ym m +=-+表示椭圆可得503053m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解出即可. 【详解】若方程22153x y m m +=-+表示椭圆，则503053m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解得31m -<<或15m <<. 故选：C.【点睛】本题考查对椭圆标准方程的理解，属于基础题. 3．不等式211x <+的解集是（ ）． A ．(),1-∞- B ．()1,+∞C ．()(),11,-∞-+∞D ．()1,1-【答案】C【分析】化简不等式为101x x ->+，结合分式不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，不等式211x <+，可化为211011x x x --=<++，即101x x ->+， 解得1x <-或1x >，即不等式211x <+的解集是()(),11,-∞-+∞. 故选：C.4．“2a <”是“10,x a x x∀>≤+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】若10,x a x x ∀>≤+，则min 1()a x x ≤+，利用均值定理可得min 1()2x x +=，则2a ≤，进而判断命题之间的关系．【详解】若10,x a x x ∀>≤+，则min 1()a x x≤+， 因为12x x +≥，当且仅当1x x=时等号成立，所以2a ≤， 因为{}{2}2a a a a <⊆≤，所以“2a <”是“10,x a x x∀>≤+”的充分不必要条件， 故选:A【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定，考查利用均值定理求最值．5．若正数,x y 满足35x y xy +=，当34x y +取得最小值时，2x y +的值为（ ） A ．245B ．2C ．285D ．5【答案】B【分析】将方程变形13155y x += 代入可得3x+4y=（3x+4y ）（1355y x+）=1334+555x yy x+×3，然后利用基本不等式即可求解． 【详解】∵x+3y=5xy ，x ＞0，y ＞0∴13155y x+=∴3x+4y=（3x+4y ）（1355y x+）=1334+555x yy x +×31355≥=当且仅当312=55x yy x即x=2y=1时取等号,2x y +的值为2.故答案为B.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.6．已知正项数列{}n a 中，()()1212n n n a a a n *++++=∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）． A ．n a n = B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a = 【答案】B【分析】根据已知条件可得121(1)...2n n n a a a --+++=，()2n ≥，与已知条件相减即可求出2n a n =()2n ≥，检验11a =满足2n a n =，即可求解.【详解】∵12(1)...2n n n a a a ++++=， ∴121(1)...2n n n a a a --+++=()2n ≥，两式相减得(1)(1)22n n n n n a n +-=-= ∴2n a n =()2n ≥，①又当1n =时，11212a ⨯==，11a =，适合①式， ∴2n a n =.故选：B7．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．(0,0)2a bab a b +≥>> B ．222(0,0)a b ab a b +≥>>C ．20,0)aba b a b≤>>+ D ．0,0)2a b a b +≤>>【答案】D【分析】由题意，可得圆O 的半径r ＝2a b+，根据勾股定理，可求得FC 的表达式，根据FO ≤FC ，即可求出答案.【详解】由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝2a b+， 又OC ＝OB －BC ＝2a b+－b ＝2a b -， 则FC 2＝OC 2＋OF 2＝2()4a b -＋2()4a b +＝222a b +，再根据题图知FO ≤FC ，即2a b +a ＝b 时取等号． 故选：D .8．椭圆 2212516x y += 的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，弦 AB 过 1F ，若 2ABF的内切圆周长为 π，A 、 B 两点的坐标分别为 ()11,x y 和 ()22,x y ，则21y y -∣∣ 的值是()A ．B ．103C ．203D ．53【答案】D【分析】解：椭圆：2212516x y +=，a=5，b=4，∴c=3， 左、右焦点F 1（-3，0）、F 2（ 3，0），△ABF2的内切圆面积为π，则内切圆的半径为r=12， 而△ABF 2的面积=△A F 1F 2的面积+△BF1F2的面积=12 ×|y 1|×|F 1F 2|+12×|y 2|×|F 1F 2|=12×（|y 1|+|y 2|）×|F 1F 2|=3|y 2-y 1|（A 、B 在x 轴的上下两侧） 又△ABF2的面积═12 ×|r （|AB|+|BF 2|+|F 2A|=12 ×12（2a+2a ）=a=5． 所以 3|y 2-y 1|=5， |y 2-y 1|=53． 故选D ．二、多选题9．若数列{}n a 满足11a =，23a =，()213n n n a a a n --=≥，记数列{}n a 的前n 项积为n T ，则下列说法正确的是（ ）．A ．n T 无最大值B ．n a 有最大值C ．20209T =D ．20203a =【答案】BC【分析】根据数列的递推关系式，分别求得123456,,,,,,a a a a a a ，得出数列{}n a 是周期为6的数列，且1234561a a a a a a =，结合选项，即可求解.【详解】由题意，数列{}n a 满足11a =，23a =，()213n n n a a a n --=≥， 所以3234123,1a a a a a a ====， 同理可得567811,,1,3,33a a a a ====，可得6n n a a +=，所以数列{}n a 是周期为6的数列，且1234561a a a a a a =， 所以n T 有最大值，最大值为9，n a 有最大值，最大值为3，又由3362020123456123()9T a a a a a a a a a =⋅=，202041==a a ，所以选项BC 正确. 故选：BC.【点睛】方法点睛：对于难以化简的数列的递推关系式，可求出数列的前几项，寻找数列的构成规律，如：周期性，单调性等，结合数列的性质进行求解. 10．下列选项中，不是．．{}n a 成等比数列的充要条件是（ ）． A ．1n n a a q +=⋅（q 为常数）B ．11n n a a q -=（q 为常数）C ．2120n n n a a a ++=⋅≠D ．1n a +【答案】ABD【分析】根据等比数列定义、等比数列中项公式判定即可.【详解】解：对于A. 1n n a a q +=⋅当,00n q a ==时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于B. 11n n a a q -=当100,q a ==时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于C. 根据等比数列等比中项可以判定此数列为等比数列，故正确；对于D. 1n a +=120,0,0n n n a a a ++===时，等式成立，此时不是等比数列，故错误； 故选：ABD.【点睛】等比数列的有关概念：（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为1n na q a +=； （2）等比中项：如果,,a Gb 成等比数列，那么G 是a 与b 的等比中项.即G 是a 与b 的等比中项,,a G b ⇔成等比数列2G ab ⇒=.注意：每一项不能为0.11．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有（ ） A ．13n n S -=B ．{}n S 为等比数列C ．123n n a -=⋅D ．21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩ 【答案】ABD【分析】根据,n n a S 的关系，求得n a ，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈，当2n ≥时，12n n a S -=，两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-， 可得13n n a a +=，即13,(2)n na a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以212a a =， 所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；当2n ≥时，11123322n n n n a S --+⋅===，又由1n =时，111S a ==，适合上式，所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=；又由11333nn n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列， 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD.【点睛】本题考查利用,n n a S 关系求数列的通项公式，以及等比数列的证明和判断，属综合基础题.12．下列结论中，正确的结论有（ ）．A ．如果01x <<，那么()43x x -取得最大值时x 的值为23B ．如果0x >，0y >，39x y xy ++=，那么3x y +的最小值为6C ．函数()2f x =的最小值为2D ．如果0a >，0b >，且11121a b b +=++，那么2+a b 的最小值为2【答案】AB【分析】A.将其配成顶点坐标式即可得出答案；B.将其配成21332x y xy +⎛⎫≤⋅ ⎪⎝⎭代入39x y xy ++=即可得其最小值；C. 函数()f x =1=此时x 无解D.根据题意构造()()1223(1)32a b a b b +=+++-，将“1”替换为1121a b b +++，代入用基本不等式.【详解】解：对于A. 如果01x <<，那么()22433433y x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭=-，当23x =时取得最大值，故正确；对于B.如果0x >，0y >，39x y xy ++=则21393332x y x y xy x y +⎛⎫=++≤++⋅ ⎪⎝⎭整理得()()231231080x y x y +++-≥，所以36x y +≥或318x y +≤-（舍去），当且仅当1,3y x ==时取得最小值，故正确；对于C. 函数()22f x ==≥1=此时x无解，不能取得最小值2，故错误； 对于D. 如果0a >，0b >，且11121a b b +=++，那么()()112(24)23(1)3122a b a b a b b +=+=+++-⨯ ()()111313(1)2323(1)1322122212b a b a b b a b b a b b ++⎛⎫⎛⎫=+++⨯+-=+++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭1112222≥⨯=当且仅当23(1)a b b +=+即1,2a b =+=. 故选：AB【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、填空题13．命题“1x ∀≥，2340x x --<”的否定是______． 【答案】1x ∃≥，有2340x x --≥【分析】全称命题的否定：改变量词，否定结论.【详解】解：根据全称命题的否定可得：命题“1x ∀≥，2340x x --<”的否定是1x ∃≥，有2340x x --≥.14．若()22f x x x =-，()()20g x ax a =+>，[]11,2x ∀∈-，[]01,2x ∃∈-，使()()10g x f x =，则实数a 的取值范围是______．【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】由于()g x 在定义域内任意取值，必存在[]01,2x ∈-使()()10g x f x =成立，所以函数()g x 的值域为函数()f x 值域的子集，分别求得函数()g x 和函数()f x 的值域，根据集合的包含关系，即可求得答案.【详解】由题意得：函数()g x 的值域为函数()f x 值域的子集， 因为()22f x x x =-，[]1,2x ∈-，根据二次函数的性质，所以()f x 的值域为[-1,3]，因为a >0，所以()g x 的值域为[2,22]a a -+，所以22321a a +≤⎧⎨-≥-⎩，解得12a ≤，所以102a <≤，故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦15．三个同学对问题“已知,R m n +∈，且1m n +=，求11m n+的最小值”提出各自的解题思路： 甲：112m n m n n m m n m n m n +++=+=++，可用基本不等式求解； 乙：1111(1)m n m n mm mn m m ++===-，可用二次函数配方法求解； 丙：1111()()2n mm n m n m n m n+=++=++，可用基本不等式求解； 参考上述解题思路，可求得当x =________时，2221100a y x x=+-（010x <<，0a >）有最小值【分析】由22(100)100x x +-=得，221001100100x x -+=，然后利用丙的思路求解即可【详解】解：因为22(100)100x x +-=，010x <<，0a >所以221001100100x x -+=所以222221100100100100a x x y x x ⎛⎫⎛⎫-=++ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 2222221(100)100100100(100)a x a x x x +-=++-21100a +≥+212100100a a+=+当且仅当22222(100)100100(100)x a x x x -=-时，取等号即当x =221100a a ++【点睛】此题考查的是利用基本不等式求最值，属于中档题四、双空题16．意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，即()()121F F ==，()()()()123,F n F n F n n n *=-+-≥∈N ，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则2020b =______，若其前n 项和是n S ，则2020S =______．【答案】1 1347【分析】由题意可得数列从第三项起，后一项为前两项的和，再分别除以2后的余数构成一个新数列{}n b ，可知该数列具有周期性，即可求解.【详解】1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987…， 此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n b ， 则{}n b 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0…，该数列是以3为周期的数列，每个周期三项之和等于2， 因为202036731=⨯+所以202011b b ==，2020673211347S =⨯+=，故答案为：1；1347【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是根据题意列出数列{}n b 的各项，得出数列具有周期性，问题即可解决.五、解答题17．已知命题:11p x ∀-≤≤“，不等式2x x m --<0成立”是真命题． (I)求实数m 的取值范围；(II)若:44q m a -<-<是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（I ）()2,+∞（II ）[)6,+∞【分析】(Ⅰ)根据命题P 是真命题,得不等式恒成立,将不等式恒成立转化为最大值成立,即可得到;(Ⅱ)先化简命题:44q a m a -<<+,再根据q 是p 的充分不必要条件列式可解得.【详解】（I ）由题意2m x x >-在11x -≤≤恒成立，所以2max ()m x x >-(11)x -≤≤,因为221124x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以2124x x -≤-≤，即2max ()2x x -=, 2m >，所以实数m 的取值范围是()2,+∞ （II ）由q 得44a m a -<<+， 因为q p ⇒，所以42a -≥，，即6a ≥ 所以实数a 的取值范围是[)6,+∞【点睛】本题考查了不等式恒成立转化为最值成立以及充分不必要条件的应用,属于中档题.18．在①4516a a +=；②39S =；③2n S n r =+（r 为常数）这3个条件中选择1个条件，补全下列试题后完成解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项均为正整数，且满足公差1d >，______．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令12n n n b a a +=，前n 项和是n T ．若2221n T m m <--恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）3m ≥或1m ≤-．【分析】（1）若选①，利用等差数列的通项公式以及2d ≥，d *∈N 可解得结果；若选②，根据等差数列的求和公式以及2d ≥，d *∈N 可解得结果；若选③，根据1(2)n n n a S S n -=-≥可求得结果；（2）利用()()21121212121n b n n n n ==--+-+裂项求和得到11121n T n =-<+，将不等式恒成立化为2212m m --≥，解得结果即可.【详解】（1）由等差数列{}n a 各项均为正整数，且公差1d >，知2d ≥，d *∈N ， 若选①，由4516a a +=得12716a d +=，由2d ≥，d *∈N ，得11a =，2d =，∴21n a n =-． 若选②，由39S =得1339a d +=，13a d +=， 由2d ≥，d *∈N ，得11a =，2d =，∴21n a n =-．若选③，由2n S n r =+得()()2112n S n r n -=-+≥，∴()()2211212n n n a S S n r n r n n -=-=+---=-≥， ∴23a =，35a =，又因为{}n a 是等差数列，∴2d =，11a =，∴21n a n =-． （2）由（1）知21n a n =-，()()21121212121n b n n n n ==--+-+， 所以11111111335572121n T n n =-+-+-++--+1121n =-+，∴11121n T n =-<+， 因为2221n T m m <--恒成立，∴2212m m --≥，解得3m ≥或1m ≤-．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥； ②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤； ③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥； ④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤； 19．函数2(3)f x x ax =++（1）当[2,2]x ∈-时()f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当[4,6]a ∈时()0f x ≥恒成立，求实数x 的取值范围；【答案】(1) [7,2]-- (2) (,3[3)x ∈-∞--⋃-++∞ 【分析】（1）根据函数的对称性2ax =-与区间[]22-,的位置关系对函数()f x 的最小值进行分类讨论，由此解不等式，求得a 的取值范围.（2）构造一次函数()23h a x a x =⋅++，由不等式组()()4060h h ⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，求解出x 的取值范围.【详解】解：（1）①当22a-<-，即4a >时 ()()min 2423f x f a a =-=-+≥，所以73a ≤,此时a 不存在； ②当222a-≤-≤，即44a -≤≤时 ()22min3242a aa f x f a ⎛⎫=-=-+≥ ⎪⎝⎭，所以24120a a +-≤，解得62a -≤≤此时[]4,2a ∈- ③当22a->，即4a <-时 ()()min 2423f x f a a ==++≥，所以7a ≥-．此时[)7,4a ∈--综上所述：实数a 的取值范围是[]7,2-- （2）令()23h a x a x =⋅++所以()()2244306630h x x h x x ⎧=++≥⎪⎨=++≥⎪⎩解得3133x x x x 或≤-≥-⎧⎪⎨≤-≥-⎪⎩所以[(),33x ∈-∞-⋃-++∞【点睛】本小题主要考查二次函数的最值问题，考查一元二次不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.20．已知等差数列{}n a 的公差为2，其前n 项和22n S pn n =+（*n N ∈，p R ∈）.（1）求p 的值及{}n a 的通项公式；（2）在等比数列{}n b 中，21b a =，324b a =+，令(21)(2)nn na n k cb n k =-⎧=⎨=⎩（*k N ∈），求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）1,p =21n a n =+；（2）**(1)3(31);2,28(1)(2)33;21,28n n nn n n k k N T n n n k k N ⎧+-+=∈⎪⎪=⎨++-⎪+=-∈⎪⎩. 【解析】试题分析：（1）由22n S pn n =+求得p 的值及{}n a 的通项公式；（2）由题意可得：13n n b -=，分奇偶项讨论，分组求和即可. 试题解析： （1）22n S pn n =+*2,22,2n p a n N pn p n +⎧∴=∈⎨-+≥⎩，*22,n a pn p n N ∴=-+∈，122n n a a p +∴-==，1p ∴=， ()31221n a n n =+-=+（2）∵21323,49b a b a ===+=，∴3q =，2212333n n n n b b q---==⨯=， 当*2,n k k N =∈时，1234212n k k T a b a b a b -=++++++()()1321242+k k a a a b b b -=++++++()21(37+4-1)3273k k -=++++++，()()()()319391341212198k kk k k k --+-=+=++-，()()331128n n n -+=+，当*21,n k k N =-∈时，1n +是偶数，()()()11133112T T 328n n n n n n n b +++-++=-=+- ()()123328nn n ++-=+ ()()()()**3311;2,281233;21,28n n nn n n k k N T n n n k k N ⎧-+⎪+=∈⎪∴=⎨++-⎪+=-∈⎪⎩.21．已知点M 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且124F F =，1260F MF ∠=，12F MF △． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上的动点，求12PF PF ⋅取值范围； （3）设点Q 为椭圆C 上与焦点1F ，2F 不共线点，若12QF F面积小于求点Q 横坐标的取值范围．【答案】（1）22184x y +=；（2）[]0,4；（3）((2,22-.【分析】（1）由三角形的面积公式可得12163MF MF =，由余弦定理可得12MF MF +=，进而可得a =，再由2c =，222b a c =-可得b 的值，即可得椭圆C 的方程；（2）设()00,P x y ，则2212004PF PF x y ⋅=+-，利用点P 为椭圆C 上的动点2200184x y += 可得220042x y =-代入数量积，再利用0x -≤≤即可求解；（3）设()11,Q x y ，且1x -<<利用12QF F 面积小于可得1y <且10y ≠，再利用点()11,Q x y 在椭圆上，可用1y 表示1x 即可求解. 【详解】（1）在12F MF △中，由1212143sin 602F MF SMF MF ==，得12163MF MF =． 由余弦定理，得2221212122cos60F F MF MF MF MF =+-⋅()()212121621cos60MF MF MF MF =+-+，解得：12MF MF +=．从而122a MF MF =+=a = 由124F F =得2c =，从而2b =，故椭圆C 的方程为：22184x y +=．（2）设()00,P x y ，则()()22120000002,2,4PF PF x y x y x y ⋅=---⋅--=+-，因为2200184x y +=可得220042x y =-， 所以221000224224PF PF x x x ⋅=+-=-，因为0x -≤≤2008x ≤≤，所以20042x ≤≤，（3）设()11,Q x y ，且1x -<<因为12QF F 面积小于所以1212111114222QF F SF F y y y =⨯=⨯⨯=<1y <10y ≠， 又因为点()11,Q x y 在椭圆上，所以2211184x y +=，所以22211181824y x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由1y <10y ≠，可得2103y <<，所以()22112,288x y ∈=-，1x <<或1x -<<所以点Q 横坐标的取值范围为((2,22-.【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．圆锥曲线中求直线过定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，运算量较大.22．在数列{}n a 中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{}n a 为“等比源数列”． （1）已知数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，求数列{}n a 的通项公式； （2）在（1）的结论下，试判断数列{}n a 是否为“等比源数列”，并证明你的结论；（3）已知数列{}n a 为等差数列，且1a ≠0，()n a n *∈∈Z N ，求证：{}n a 为“等比源数列”．【答案】（1）121n n a -=+；（2）不是，证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）由121n n a a +=-，可得出()1121n n a a +-=-，则数列{}1n a -为等比数列，然后利用等比数列的通项公式可间接求出n a ；（2）假设数列{}n a 为“等比源数列”，则此数列中存在三项()k m n a a a k m n <<<<成等比数列，可得出2m k n a a a =，展开后得出()121221221m k m n n k -+---+=++，然后利用数的奇偶性即可得出结论；（3）设等差数列{}n a 的公差为d ，假设存在三项使得()2m k n a a a k m n =<<，展开得出()()()2k k m k a m k d n k a -+-=-⎡⎤⎣⎦，从而可得知，当k m k a =+，2k k n a a d k =++时，原命题成立.【详解】（1）121n n a a +=-，得()1121n n a a +-=-，且111a -=， 所以数列{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列，所以112n n a --=，所以，数列{}n a 的通项公式为121n n a -=+．（2）数列{}n a 不是“等比源数列”，用反证法证明如下： 假设数列{}n a 是“等比源数列”，则存在三项m a ，n a ，()k a m n k <<按一定次序排列构成等比数列，因为121n n a -=+，所以m n k a a a <<，所以2m n k a a a =⋅，得()()()2111212121n m k ---+=++，即211122221k n m k m n m ---+--+--=， 又m n k <<，,,m n k *∈N ，所以211n m --≥，11n m -+≥，11k -≥，1k m -≥，所以21112222n m n m k k m ---+--+--为偶数，与211122221k n m k m n m ---+--+--=矛盾， 所以，数列{}n a 中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列， 综上可得，数列{}n a 不是“等比源数列”． （3）不妨设等差数列{}n a 的公差0d ≥，当0d =时，等差数列{}n a 为非零常数数列，数列{}n a 为“等比源数列”； 当0d >时，因为n a ∈Z ，则1d ≥，且d ∈Z ， 所以数列{}n a 中必有一项0m a >， 为了使得{}n a 为“等比源数列”，只需要{}n a 中存在第n 项，第k 项()m n k <<，使得2n m k a a a =成立，即()()2m m m a n m d a a k m d +-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()()2m m n m a n m d a k m -+-=-⎡⎤⎣⎦成立， 当m n a m =+，2m m k a a d m =++时，上式成立， 所以{}n a 中存在m a ，n a ，k a 成等比数列， 所以，数列{}n a 为“等比源数列”．【点睛】关键点点睛：根据数列新定义“等比源数列”的定义，利用反证法，找出矛盾21112222n m n m k k m ---+--+--为偶数，211122221k n m k m n m ---+--+--=，是证明数列{}n a 不是“等比源数列”的关键，考查计算能力与推理能力，属于难题.。