中误差

评定精度的标准

一、评定精度的标准

为了对测量成果的精确程度作出评定,有必要建立一种评定精度的标准,通常用中误差,相对误差和容许误差来表示。

１.中误差

1）用真误差来确定中误差

设在相同观测条件下，对真值为的一个未知量进行次观测,观测值结果为，每个观测值相应的真误差(真值与观测值之差)为△1、△2、……,△n。则以各个真误差之平方和的平均数的平方根作为精度评定的标准,用表示,称为观测值中误差。

式中：观测次数

—称为观测值中误差(又称均方误差)

为各个真误差△的平方的总和。

上式表明了中误差与真误差的关系，中误差并不等于每个观测值的真误差，中误差仅是一组真误差的代表值，当一组观测值的测量误差愈大，中误差也就愈大，其精度就愈低；测量误差愈小，中误差也就愈小，其精度就愈高。

【例题】甲、乙两个小组，各自在相同的观测条件下，对某三角形内角和分别进行了7次观测，求得每次三角形内角和的真误差分别为：甲组：+2〞、-2〞、+3〞、+5〞、-5〞、-8〞、+9〞

乙组： -3〞、+4〞、0〞、-9〞、-4〞、+1〞、+13〞 则甲、乙两组观测值中误差为：

由此可知，乙组观测精度低于甲组,这是因为乙组的观测值中有较大误差出现，因中误差能明显反映出较大误差对测量成果可靠程度的影响，所以成为被广泛采用的一种评定精度的标准。

2）用观测值的改正数来确定观测值的中误差

在实际测量工作中，观测值的真误差往往是不知道的，因此，真误差也无法求得，所以常通过观测值的改正数V i 来计算观测值中误差。即：

V i=L-L 1 (i=1,2.....,n)

[]1

-±

=n vv m

3）算术平均值中误差

算术平均值L 的中误差M ，按下式计算：

[]()

1-±

==

n n vv n

m M

【例题】某一段距离共丈量了6次，结果如表所示，求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差、及相对误差。

测次 观测值(m)

观测值改正数

v(mm)

()mm vv

计算

1 148.643 +15 225 []()

[]

()[]()()

()14716

1

628.1480101.01.10166304617.241

63046

1

628.148=

=

=

±-±=-±=±-±

=-±===

D

M Mx mm n n vv M mm n vv m m n

l L

2 148.590 -38 1444

3 148.610 -18 32

4 4 148.624 -4 16

5 148.654 +2

6 676 6 148.647

+19

361

平均

值

148.628

[]0=∆

3046

(二)相对误差

测量工作中对于精度的评定，在很多情况下用中误差这个标准是不能完全描述对某量观测的精确度的。例如，用钢卷尺丈量了100和1000两段距离，其观测值中误差均为±0.1，若以中误差来评定精度，显然就要得出错误结论，因为量距误差与其长度有关，为此需要采取另一种评定精度的标准，即相对误差。相对误差是指绝对误差的绝对值与相应观测值之比，通常以分子为1，分母为整数形式表示。

绝对误差指中误差、真误差、容许误差、闭合差和较差等，它们具

有与观测值相同的单位。上例前者相对中误差为，后者为很明显，后者的精度高于前者。

相对误差常用于距离丈量的精度评定，而不能用于角度测量和水准测量的精度评定，这时因为后两者的误差大小与观测量角度、高差的大小无关。

(三) 极限误差

由偶然误差第一个特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。根据误差理论和大量的实践证明，大于两倍中误差的偶然误差，出现的机会仅有5℅，大于三倍中误差偶然误差的出现机会仅为3‰。即大约在300次观测中，才可能出现一个大于三倍中误差的偶然误差，因此,在观测次数不多的情况下，可认为大于三倍中误差的偶然误差实际上是不可能出现的。

故常以三倍中误差作为偶然误差的极限值，称为极限误差，用表示：

在实际工作中，一般常以两倍中误差作为极限值。

如观测值中出现了超过2m的误差，可以认为该观测值不可靠，应舍去不用.