四川省德阳市2020届高三(高中2017 级)“二诊”考试数学文科试卷(含答案)
2020年四川省德阳市高考数学二诊试卷(文科)(有答案解析)
2020年四川省德阳市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数，其中i为虚数单位，则A. B. C. 2 D.2.函数的定义域为A，集合，则A. B.C. D.3.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为A. 1B. 2C. 3D. 44.函数在的图象大致为A. B.C. D.5.要得到函数的图象，只须将函数的图象A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移6.已知，A. B. C. D.7.已知l为抛物线的准线，抛物线上的点M到l的距离为d，点P的坐标为，则的最小值是A. B. 4 C. 2 D.8.不等式组表示的平面区域为，则A. ，B. ，C. D.9.平行四边形ABCD中，已知，，点E、F分别满足，且则向量在上的投影为A. 2B.C.D.10.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，AD为BC边上的中线，若，则的面积为A. B. C. D.11.已知实数，，函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是A. B. C. D.12.是边长为的等边三角形，E、F分别在线段AB、AC上滑动，，沿EF把折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC，则四棱锥的体积的最大值为A. B. C. 3 D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数的图象在点处的切线与直线l：垂直，则实数a的值为______14.在一个袋子中装有分别标注1、2、3、4、5的5个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是______ 15.已知已知a、b为正实数，直线截圆所得的弦长为，则ab的最小值为______16.在中，B、C的坐标分别为，且满足，O为坐标原点，若点P的坐标为，则的取值范围为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列满足：对一切成立．求数列的通项公式；求数列的前n项和．18.如图，四棱锥的底面ABCD中，为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，，平面平面ABCD，M为PA中点．求证：平面PBC；若，，求三棱锥的体积．19.贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标．党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标．为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作．对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元．根据往年的销售．经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．设该厂在下个销售周期内．生产210吨该产品，以单位：吨，表示下一个销售周期市场的需求量，单位：万元表示下一个销售周期市场的销售总利润，视x分布在各区间内的频率为相应的概率．求实数a的值；将Y表示成x的函数，并求出解析式；估计销售利润不少于910万元的概率．20.已知椭圆C：的离心率为，右焦点为抛物线的焦点F．求椭圆C的标准方程；为坐标原点，过O作两条射线，分别交椭圆于M、N两点，若OM、ON斜率之积为．求证：的面积为定值．21.已知函数e为自然对数的底数．若有两个零点，求实数a的取值范围；若有两个零点、，且，求证：．22.已知点A为圆C：上的动点，O为坐标原点，过作直线OA的垂线当A、O重合时，直线OA约定为y轴，垂足为M，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求点M的轨迹的极坐标方程；直线l的极坐标方程为，连接OA并延长交l于B，求的最大值．23.已知函数．求不等式的解集；若正数m、n满足，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：．．故选：D．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：集合，，可得，即，则，故选：A．先求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3.答案：C解析：解：由于输出结果，根据跳出循环时条件可知：若，解之得，符合题意；若，解之得，符合题意；所以x可以取7，，故选：C．根据程序框图一步一步倒着进行运算．本题考查程序框图，注意每次循环写出当时所有参数的值，不容易出错，属于基础题．4.答案：A解析：解：，故函数为奇函数，其图象关于原点对称，由此可排除选项B；又，故可排除C；又时，，故，由此可排除D．故选：A．由函数的奇偶性可排除选项B，再由特殊点的函数值可排除C，由函数在时的范围可排除D．本题考查由函数解析式确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．5.答案：C解析：解：令，则，要得到函数的图象，只须将函数的图象向左平移个单位，故选：C．令，则，从而可得答案．本题考查函数的图象变换，掌握图象变化的方向与平移单位是关键，属于中档题．6.答案：A解析：解：，，，最大，，，，故选：A．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．7.答案：B解析：解：由抛物线的方程可得P在抛物线的外部，由抛物线的性质可得：抛物线的点M到准线的距离等于到焦点的距离，所以，当且仅当P，M，F三点共线时取等号，故选：B．由抛物线的性质可得抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，所以当且仅当P，F，M三点共线时，且P，M在F的同一侧时取到最小值．本题考查抛物线的性质，三点共线时取到最值，属于中档题．8.答案：D解析：解：不等式组对应的平面区域如图：；；令，平移，则当其过点A时，取最大值：，当其过点O时，取最小值：；即：；故AB都错；设表示平面区域内的点与定点连线的斜率；由图可得：或；错D对；故选：D．画出对应的平面区域，转化为求和的取值范围，数形结合求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用二元一次不等式组和平面区域之间的关系是解决本题的关键，注意利用数形结合．9.答案：C解析：解：如图；因为，，点E、F分别满足，所以：，，；．；向量在上的投影为：．故选：C．根据其数量积以及已知条件可以求得，再代入投影的定义求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．10.答案：B解析：解：如图；设；则；；；；，联立得：舍；的面积为：．故选：B．设，利用两次余弦定理求得；再利用角，即可求出c，进而求得结论．本题考查的面积的求法，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用．11.答案：B解析：解：根据题意，函数在R上单调递增，当，，若为增函数，则，当，，若为增函数，必有在上恒成立，变形可得：，又由，分析可得，若在上恒成立，则有，若函数在R上单调递增，则有，联立可得：，故选：B．根据题意，对于函数分2段分析：当，，由指数函数的性质分析可得，当，，由导数与函数单调性的关系可得在上恒成立，变形可得，再结合函数的单调性，分析可得，联立三个式子，分析可得答案．本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质．12.答案：D解析：解：要想体积最大，高得最大，底面积也得最大，当平面平面EFCB时，体积才最大；设；设O为EF的中点，如图：等边中，点E，F分别为AB，AC上一点，且，，为EF的中点，，平面平面EFCB，平面平面，平面EFCB，，四棱锥的体积，，负值舍，，V单调递增，，V单调递减，，四棱锥的体积最大，最大值为：．故选：D．先根据平面平面EFCB时，体积才最大，再设；把所求体积转化为关于a的函数，利用导数，即可求出当a为何值时，四棱锥的体积最大，并求出最大值．本题考查平面与平面垂直的性质，考查线面垂直的判定，考查四棱锥的体积，考查导数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13.答案：解析：解：，切线的斜率为，所以，所以，故答案为：．根据切线与已知直线垂直，切线的斜率可求，再利用切点处导数值就是切线斜率列出方程，求出a 的值．本题考查了利用导数求切线方程的基础知识，属于基础题．14.答案：解析：解：现从5个小球中随机取出2个小球，基本事件总数为：，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的包括以下四个基本事件：，，，数字没有先后顺序．取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率．故答案为：．现从5个小球中随机取出2个小球，基本事件总数为：，求出取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的包括的基本事件，即可得出概率．本题考查了古典概率的概率计算公式、列举法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.答案：解析：解：由直线截圆所得的弦长为，得圆心到直线的距离，即．、b为正实数，，则，当时，ab取得最小值为．故答案为：．由已知利用垂径定理可得，结合a、b为正实数，得，则，再由二次函数求最值．本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用二次函数求最值，是中档题．16.答案：解析：解：设，因为在中，B、C的坐标分别为，且满足，所以：；即；点A在以B，C为焦点的双曲线的左支上，且不在X轴上且，；；则；；；的取值范围为；故答案为：．根据，结合正弦定理得到点A在以B，C为焦点的双曲线的左支上，且不在X轴上；设出A的坐标，代入数量积即可求解结论．本题考查向量的数量积的应用以及轨迹方程的求解，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．17.答案：解：由题意，当时，，解得，当时，由，可得，两式相减，可得，，当时，也符合上式，，．由知，，．解析：本题第题先将代入题干中表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减，进一步计算可得的表达式，再验证下是否符合表达式，即可得到数列的通项公式；第题先根据第题的结果计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和．本题主要考查数列求通项公式，运用裂项相消法求前n项和．考查了转化与化归思想，整体思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．18.答案：解：证明：设AB的中点为N，连结MN，DN，是等边三角形，，，，，，，，，平面PBC，平面PBC，平面PBC，为的中位线，，平面PBC，平面PBC，平面PBC，，DN为平面DMN内二相交直线，平面平面PBC，平面DMN，平面PBC．解：设BD中点为O，连结AO，CO，为等边三角形，为等腰三角形，且顶角，，，，C，O共线，，，，PC、平面PCO，平面PCO，平面PCO，，平面平面ABCD，交线为BD，平面PBD，平面ABCD，，，，O为BD中点，，三棱锥的体积为：．解析：设AB的中点为N，连结MN，DN，则，推导出，由，得，从而平面PBC，推导出，从而平面PBC，进而平面平面PBC，由此能证明平面PBC．设BD中点为O，连结AO，CO，推导出平面PCO，三棱锥的体积为：，由此能求出结果．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：由，解之得．当时，，当时，，．当时，，由得：，．估计销售利润不少于910万元的概率为．解析：根据频率之和为1，可解得，根据题意求出每一段的解析式，由算出符合不少于910万元的频率，再算出概率．本题考查频率，以及根据题意求解析式，属于基础题．20.答案：解：由题意可知，，，又，，，椭圆C的标准方程为：；设，，，，当直线MN的斜率不存在时，，，，又，，，；当直线MN的斜率存在时，设，联立方程，消去y得：，，，，，，，又原点到直线MN的距离，，综上所求，的面积为定值．解析：由题意可知，，再结合离心率可求出a的值，再利用求出b的值，即可得到椭圆C的标准方程；设，，由可得，当直线MN的斜率不存在时，易求，当直线MN的斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入，可得，利用弦长公式求出，又原点到直线MN的距离，所以，故的面积为定值．本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．21.答案：解：有两个零点关于x的方程有两个相异实根，由，知，有两个零点有两个相异实根，令，，由，可得，由，可得，在上单调递增，在上单调递减，，，当时，，当时，，当时，，有两个零点时，实数a的取值范围为由题意可得，，，，，，，．，要证，只要证，，设，只要证，即证，即证，设，，，在上单调递增，，，即，故．解析：有两个零点有两个相异实根，构造函数，利用导数求出函数的值域，即可确定a的范围；有两个零点、，可得，，要证，只要证，转化为，再构造函数，求出函数最值即可证明．本题考查导数和函数的单调性最值的关系，函数的零点不等式的证明，考查了转化与化归思想，属于难题．22.答案：解：设点M的极坐标为，所以根据题意，在中，有，所以点M的极坐标方程为：．设射线OA：，，圆C的极坐标方程为．由得到．由得：，所以．由于，所以，当，即，故．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：等价于或或，解得或或，综上，不等式的解集为；证明：，，，，，当且仅当，时取等号，，当且仅当时取等号，．解析：将所求不等式转化为不等式组求解即可；利用基本不等式可知，再利用绝对值不等式的性质即可得证．本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式绝对值不等式的运用，考查推理论证能力，属于基础题．。
四川省德阳市2020届高三(高中2017 级)“二诊”考试数学(理科)试卷(word版含答案)
四川省德阳市2020届高三（高中2017 级）“二诊”考试(理科)数学试卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数21z i =+，其中i 为虚数单位,则|z|= .5A.3B C.2 .2D 2.函数24y x =-的定义域为A ,集合2{|log (1)1}B x x =+>,则A∩B=.|12}A x x <≤.|22}B x x -≤≤ .|23}C x x -<< .|13}D x x <<3.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数x 值的个数为A.1B.2C.3D.44.函数cos ()ln()x x x x f x e e -=+在[- π,π]的图象大致为5.为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象，可将函数y=sin2x 的图象 A.向右平移3π B.向左平移3π C.向左平移6π D.向右平移6π6.二项式25)x -的展开式中,常数项为 A.-80B.80C. -160D.160 7.已知l 为抛物线24x y =的准线,抛物线上的点M 到l 的距离为d,点P 的坐标为(4,1),则 |MP|+ d 的最小值是.A B.4 C.2.1D +8.不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω,则 A.∀(x,y)∈Ω,x +2y> 3B.∃(x,y)∈Ω,x+2y > 5C.2(,),31y x y x +∀∈Ω>- 2. (,),51y D x y x +∃∈Ω>- 9.平行四边形ABCD 中,已知AB= 4,AD= 3,点E 、F 分别满足2,,AE ED DF FC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 且 6.AF BE ⋅=-u u u r u u u r 则向量AD u u u r 在AB u u u r 上的投影为A.2B.-2 3.2C 3.2D - 10.已知△ABC 的内角A, B ,C 的对边分别为a ,b c , 且A =60°，b=3，AD 为BC 边上的中线，若A D = 7,2则△ABC 的面积为AB 15.4CD 11.已知实数a>0,a≠1,函数2,1()4ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是A.1<a≤2B.a<5C.3<a<5D.2≤a≤512. △ABC是边长为E ，F 分别为AB ， AC 的中点，沿EF 把OAEF 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P-BCFE 的外接球的表面积最小时，四棱锥P- BCFE 的体积为A . 4.4B4C.4D 第II 卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分,第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题:共4小题， 每小题5分,共20分.将答案填在答题卡上.13.随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高ξ(单位:cm)服从正态分布2(172,)N σ，且P(172 < ξ≤180)=0.4,那么该市身高高于180cm 的高中男生人数大约为____14.春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北A.、B 两地参加疫情防控工作，每地一名医生,3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地,共有_____种选派方法.15.已知已知a 、b 为正实数，直线x +y+ 1 =0截圆22()()4x a y b -+-=所得的弦长为则1a ab+的最小值为____16.在△ABC 中,B 、C的坐标分别为(-,且满足sin sin ,B C A O -=为坐标原点,若点P 的坐标为(4,0),则AO AP ⋅u u u r u u u r 的取值范围为____三、解答题:解答)ni 写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本题满分12分)已知数列{}n a 满足:12311232222(1)22n n n a a a a n +⋅+⋅+⋅++⋅=-⋅+L 对一切*n N ∈成立.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求数列21{}n n a a +⋅的前n 项和.n S18. (本题满分12分)如图,四棱锥P- ABCD 的底面ABCD 中，△ABD 为等边三角形,△BCD 是等腰三角形,且顶角∠BCD= 120°,PC ⊥BD 平面PBD ⊥平面ABCD,M 为PA 中点.(1)求证:DM //平面PBC;(2)若PD ⊥PB,求二面角C-PA-B 的余弦值大小.19. （本题满分12分）贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标。
2020届四川省德阳市2017级高三“二诊”考试数学(文)试卷及解析
【答案】A
【解析】
根据函数定义域得集合 ,解对数不等式得到集合 ,然后直接利用交集运算求解.
【详解】解：由函数 得 ,解得 ,即 ；
又 ,解得 ,即 ,
则 .
故选：A.
3.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数 值的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
因为 ,故 平面 .
故 到平面 的距离 .
又底面 .
故选：D
14. 是边长为 的等边三角形, 、 分别在 、 上滑动, ,沿 把 折起,使点 翻折到点 的位置,连接 、 ,则四棱锥 的体积的最大值（ ）
为
A. B. C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
以四边形 为底面,易得当平面 与平面 垂直时四棱锥 的体积取最大值.再求得底面积与高即可.
【详解】以四边形 为底面,则当 与平面 距离最远时四棱锥 的体积取最大值.易得此时平面 与平面 垂直.
作 于 ,交 于 .
则易得 , .又因为 是边长为 的等边三角形,
在 中,
则 ,得 ,
.
故选：B.
12.已知实数 , ,函数 在 上单调递增,则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
根据题意,对于函数分2段分析：当 ,由指数函数的性质分析可得 ①,当 ,由导数与函数单调性的关系可得 ,在 上恒成立,变形可得 ②,再结合函数的单调性,分析可得 ③,联立三个式子,分析可得答案.
【详解】由题,取 中点 ,连接 ,因为 是边长为 的等边三角形,故 均为边长为 的等边三角形.连接 交 于 .
易得 为 中点,且 . .
又四棱锥 的外接球的表面积最小时球半径最小,且球心到 的距离相等.故球心在过 且与平面 垂直的直线上.故当球心为 时,球半径取得最小值 .
2020年四川省大数据精准教学高考数学第二次监测试卷(文科) (解析版)
2020年高考数学第二次监测试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）≤0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]2．若复数z满足z•（1+2i）＝|3+4i|，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．5+10i D．5﹣10i3．某人坚持跑步锻炼，根据他最近20周的跑步数据，制成如下条形图：根据条形图判断，下列结论正确的是（）A．周跑步里程逐渐增加B．这20周跑步里程平均数大于30kmC．这20周跑步里程中位数大于30kmD．前10周的周跑步里程的极差大于后10周的周跑步里程的极差4．若x，y满足，则z＝2x+y的最大值为（）A．6B．4C．3D．05．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin B＝2sin A，，则的值为（）A．B．C．2D．6．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．7．已知直线l经过圆＝4的圆心，l与圆C的一个交点为P，将直线l 绕点P按顺时针方向旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．18．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的半径是（）A．2B．C．4D．与点C的位置有关9．以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现．如图，D，E，F为正三角形ABC各边中点，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF（阴影部分），若在△ABC中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为（）A．B．C．D．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．12．已知直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，（其中O为坐标原点）．若，则直线OP的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，，若，则实数λ＝．14．若，则sin2α＝．15．所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫拟柱体，它在这两个平面内的面叫拟柱体的底面，两底面之间的距离叫拟柱体的高，可以证明：设拟柱体的上、下底面和中截面（与底面平行且与两底面等距离的平面截几何体所得的截面）的面积分别为S'，S，S0，高为h，则拟柱体的体积为V＝h（S+S'+S0）．若某拟柱体的三视图如图所示，则其体积为．16．若关于x的不等式lnx≤ax+1恒成立，则a的最小值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝22﹣2log2a n，求数列{b n}的前n项的和T n的最大值．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，三棱锥C﹣PDE的体积为，求线段BE的长．20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）设过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求证：直线AM，BN的交点在直线x＝4上．21．已知函数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）≤0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]【分析】求出集合A，B，由此能求出A∪B．解：由（x﹣1）（x﹣3）≤0得1≤x≤3，所以集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）≤0}＝{x|1≤x≤3}，又B＝{x|﹣1＜x＜2}，所以A∪B＝[1，3]∪（﹣1，2）＝（﹣1，3]．故选：D．2．若复数z满足z•（1+2i）＝|3+4i|，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．5+10i D．5﹣10i【分析】直接根据复数的四则运算化简即可求解．解：因为复数z满足z•（1+2i）＝|3+4i|，故．故选：B．3．某人坚持跑步锻炼，根据他最近20周的跑步数据，制成如下条形图：根据条形图判断，下列结论正确的是（）A．周跑步里程逐渐增加B．这20周跑步里程平均数大于30kmC．这20周跑步里程中位数大于30kmD．前10周的周跑步里程的极差大于后10周的周跑步里程的极差【分析】由图数形结合可逐项判断选项的正误，解：根据统计图表可知，A，由图周跑步里程有增有减，故周跑步里程逐渐增加，故A错误，B，由图周跑步里程有8周里程在30km及以上，且最高里程为35km，有12周在35km 以下且最低为15km，故估算这20周跑步里程平均数远小于30km，故B错误，C项这20周跑步里程从小到大排列中位数是第十周和十一周里程数的平均值小于30km，故C错误；D项由图前10周的周跑步里程的极差为第十周里程减第三周里程，大于后10周的周跑步里程的极差为第十五周里程减第十一周里程，故D正确．故选：D．4．若x，y满足，则z＝2x+y的最大值为（）A．6B．4C．3D．0【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，不等式组表示的可行域是以（0，0），A（2，0），B （0，2）为顶点的三角形及其内部，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当目标函数z＝2x+y过点B（2，0）时，直线在y轴上的截距最大，z最大，为2×2+0＝4，故选：B．5．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin B＝2sin A，，则的值为（）A．B．C．2D．【分析】根据正弦定理求得b＝2a，再根据余弦定理可得c＝a．解：由sin B＝2sin A，据正弦定理有b＝2a；又，据余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得c2＝3a2．故．故选：A．6．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】先根据函数奇偶性的概念可知f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；再对比选项C和D，比较f（x）与x的大小即可作出选择．解：因为f（﹣x）＝＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；当x＞0时，，排除选项C．故选：D．7．已知直线l经过圆＝4的圆心，l与圆C的一个交点为P，将直线l 绕点P按顺时针方向旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．1【分析】画出图形，通过直线与圆的位置关系，转化求解写出即可．解：由题意知，PC＝2．如图，设l'与圆交于P，Q两点，线段PQ的中点为H，则在Rt△PHC中，，故直线l'被圆C截得的弦长．故选：B．8．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的半径是（）A．2B．C．4D．与点C的位置有关【分析】由题意可得SO⊥平面ABC，可得球心O1在SO上，设球的半径为R，在Rt△O1AO中由勾股定理可得R的值．解：如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为O1，连接SO，则SO⊥平面ABC，且O1在线段SO上．易知SO＝3，．设球O1的半径为R，在Rt△O1AO中，由勾股定理得（3﹣R）2+（）2＝R2，解得R ＝2．故选：A．9．以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现．如图，D，E，F为正三角形ABC各边中点，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF（阴影部分），若在△ABC中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出勒洛三角形的面积，由测度比是面积比得答案．解：设三角形ABC边长为2，则正三角形DEF边长为1，以D为圆心的扇形面积是＝△DEF的面积是×1×1×＝，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即图中勒洛三角形面积为，△ABC面积为，所求概率．故选：C．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．【分析】作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，结合图象求出△MNP 为等腰直角三角形，即可求解结论．解：作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，不妨取如图的相邻三个最值点．设其中两个最大值点为M，N，最小值点为P．根据正弦函数图象的对称性，易知△MNP为等腰直角三角形，且斜边上的高PQ＝2A，所以斜边MN＝4A，则y＝A sinωx周期T＝4A．由，有，所以．故选：D．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：由题知f（x）的定义域为（﹣1，1），且，所以f（﹣x）＝ln＝﹣ln+x＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数且在（﹣1，1）上单调递减．由f（2a）+f（a﹣1）＞0，可知f（2a）＞﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），于是有，解得．故选：C．12．已知直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，（其中O为坐标原点）．若，则直线OP的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．【分析】利用已知条件画出图形，设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（x1+x2，y1+y2），通过，推出x1x2＝﹣16，求解直线OP的斜率为k的表达式，利用基本不等式转化求解即可．解：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（x1+x2，y1+y2），依题意，，即x1x2+y1y2＝0，即，即x1x2＝﹣16，从而直线OP的斜率为k，则＝，，当且仅当，即时等号成立，故．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，，若，则实数λ＝．【分析】根据即可得出4（1+λ）﹣2×3＝0，从而解出λ即可．解：∵，∴4（1+λ）﹣2×3＝0，解得．故答案为：．14．若，则sin2α＝．【分析】法一：由已知直接利用二倍角的余弦及诱导公式求解；法二：展开两角差的余弦，整理后两边平方即可求得sin2α．解：法一：由，得．法二：由，得，两边平方得，∴，即．故答案为：．15．所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫拟柱体，它在这两个平面内的面叫拟柱体的底面，两底面之间的距离叫拟柱体的高，可以证明：设拟柱体的上、下底面和中截面（与底面平行且与两底面等距离的平面截几何体所得的截面）的面积分别为S'，S，S0，高为h，则拟柱体的体积为V＝h（S+S'+S0）．若某拟柱体的三视图如图所示，则其体积为．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．解：由三视图可还原几何体直观图如图，易知S＝2×3，S'＝3×4，＝，h＝4，代入公式则拟柱体的体积为V＝h（S+S'+S0）＝．故答案为：16．若关于x的不等式lnx≤ax+1恒成立，则a的最小值是．【分析】法一：由于x＞0，则原不等式可化为，设，利用函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最值即可．法二：直线y＝ax+1过定点（0，1），当直线y＝ax+1与曲线y＝lnx相切时，直线斜率即为所求的最小值，利用函数的导数求解切线方程，转化求解a的最小值．解：法一：由于x＞0，则原不等式可化为，设，则，当x∈（0，e2）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（e2，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）在x＝e2处取得极大值，且为最大值．所以，则a的最小值为．法二：直线y＝ax+1过定点（0，1），由题，当直线y＝ax+1与曲线y＝lnx相切时，直线斜率即为所求的最小值，设切点（x0，lnx0），切线斜率为，则切线方程为，过点（0，1），则，解得，切线斜率为，所以a的最小值为．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝22﹣2log2a n，求数列{b n}的前n项的和T n的最大值．【分析】（1）直接利用数列的定义的应用求出数列的通项公式．（2）利用前n项和公式的应用求出结果．解：（1）对于数列{a n}，当n＝1时，由S n＝2a n﹣2得a1＝2．当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2两式相减得a n＝2a n﹣1．所以数列{a n}是首项为2，公比也为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式．（2）由（1）知：．所以＝﹣n2+21n＝当n＝10或11时，取最大值．．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．【分析】（1）根据表中数据求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程，利用回归方程计算x＝28时的值；（2）根据残差图中对应点分布情况判断该回归方程的拟合效果．解：（1）设月生长量y与月平均气温x之间的线性回归方程为，计算，所以，所以y关于x的线性回归方程为；当x＝28时，＝1.05×28﹣6.63＝22.77（cm），所以，在气温在28℃时，该植物月生长量的预报值为22.77cm．（2）根据残差图，残差对应的点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度窄，所以该回归方程的预报精度相应会较高，说明拟合效果较好．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD ＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，三棱锥C﹣PDE的体积为，求线段BE的长．【分析】（1）由已知可得，Rt△BAE∽Rt△CEB．设DE＝a，得DE∥BC且DE＝．在线段PB上取靠近点P的四等分点G，可得GF∥BC且GF＝．得到四边形DEGF 为平行四边形，得DF∥EG．再由直线与平面平行的判定可得DF∥平面PBE；（2）由∠BEC＝90°，得BE⊥EC．再由已知结合平面与平面垂直的性质可得EC⊥平面PBE．由（1）得，BC＝4DE，得S△BEC＝4S△DEC，求得V C﹣PBE＝1．再把三棱锥C﹣PBE的体积用含有a的代数式表示，则a值可求．【解答】（1）证明：由已知可得，Rt△BAE∽Rt△CEB．设DE＝a，依题意得BE＝2a，BC＝4a，DE∥BC且DE＝．如图，在线段PB上取靠近点P的四等分点G，连接FG，EG，∵，∴GF∥BC且GF＝．∴DE∥GF且DE＝GF．∴四边形DEGF为平行四边形，得DF∥EG．又DF⊄平面PBE，EG⊂平面PBE，∴DF∥平面PBE；（2）解：由∠BEC＝90°，得BE⊥EC．又∵平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE＝BE，∴EC⊥平面PBE．由（1）得，BC＝4DE，∴S△BEC＝4S△DEC，∴．则V C﹣PBE＝1．由，解得a＝1．∴BE＝2．20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）设过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求证：直线AM，BN的交点在直线x＝4上．【分析】（1）通过，化简求解点P的轨迹方程．（2）设直线MN的方程为：x＝my+1，联立直线与椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理则设直线AM的方程为，直线BN的方程为，求出交点坐标，推出交点Q在直线x＝4上．解：（1）由点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设P（x，y），则，得4y2＝4﹣x2，即．故轨迹C的方程为：．轨迹是椭圆，不包含椭圆与x轴的交点．（2）根据题意，可设直线MN的方程为：x＝my+1，由，消去x并整理得（m2+4）y2+2my﹣3＝0．其中，△＝4m2+12（m2+4）＝16m2+48＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．因直线l的倾斜角不为0，故x1，x2不等于±2（y1，y2不为0），从而可设直线AM的方程为①，直线BN的方程为②，所以，直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．而＝，因此，x0＝4，即点Q在直线x＝4上．21．已知函数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，结合题意求出a的值，从而求出函数的单调区间；（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而判断函数零点的个数，确定满足条件的a的范围即可．解：（1）由题，．…………………………（1分）则f'（﹣1）＝ea﹣1＝e﹣1，得a＝1，．……………………………………此时，由f'（x）＝0得x＝0．则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，且f'（0）＝0，所以f（x）为R上的增函数．………………………………（2）①当a＞0时，由f'（x）＝0得x＝0或x＝lna，若a＝1，由（1）知，f（x）为R上的增函数．由，f（﹣2）＝﹣e2+2＜0，所以f（x）只有一个零点，不符合题意．……………………………………若0＜a＜1，则x＜lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；lna＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．而f（x）极小＝f（0）＝a＞0，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．……………………若a＞1时，则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；0＜x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；x＞lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．得，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．……………………………………②当a＜0时，由f'（x）＝0得x＝0，由x≤0得f'（x）≤0，f（x）为减函数，由x＞0得f'（x）＞0，f（x）为增函数，则f（x）极小＝f（0）＝a＜0．又x→﹣∞时，f（x）＞0，x→+∞时，f（x）＞0，所以当a＜0时，f（x）始终有两个零点．综上所述，a的取值范围是（﹣∞，0）．………………………………（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）消去参数t，得曲线C1的直角坐标方程为，则曲线C1的极坐标方程为．消去参数θ，得曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，所以曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．（2）射线的极坐标方程为，．联立，得，所以；由，得ρB＝2cosα，则|OB|＝2cosα，因此＝．由，得．所以，当，即时，．故的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．【分析】（1）化分段函数，求出每段的值域即可求出函数f（x）的值域；（2）根据（1）求出M＝3，再根据基本不等式即可证明．解：（1）当x＜﹣3时，f（x）＝﹣x﹣3﹣2x＝﹣3x﹣3，此时f（x）∈（6，+∞）；当﹣3≤x≤0时，f（x）＝x+3﹣2x＝﹣x+3，此时f（x）∈[3，6]；．当x＞0时，f（x）＝x+3+2x＝3x+3，此时f（x）∈（3，+∞），综上，函数f（x）的值域为[3，+∞）．（2）由（1）知，函数f（x）的最小值为3，则M＝3，即a+b+c＝3．因为≥36．其中，当且仅当，b＝1，取“＝”．又因为a+b+c＝3，所以．。
四川省德阳市2020届高三(高中2017 级)“二诊”考试数学(理科)试卷(word版含答案)
四川省德阳市2020届高三（高中2017 级）“二诊”考试(理科)数学试卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数21z i =+，其中i 为虚数单位,则|z|= .5A.3B C.2 .2D 2.函数24y x =-的定义域为A ,集合2{|log (1)1}B x x =+>,则A∩B=.|12}A x x <≤.|22}B x x -≤≤ .|23}C x x -<< .|13}D x x <<3.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数x 值的个数为A.1B.2C.3D.44.函数cos ()ln()x x x x f x e e -=+在[- π,π]的图象大致为5.为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象，可将函数y=sin2x 的图象 A.向右平移3π B.向左平移3π C.向左平移6π D.向右平移6π6.二项式25)x -的展开式中,常数项为 A.-80B.80C. -160D.160 7.已知l 为抛物线24x y =的准线,抛物线上的点M 到l 的距离为d,点P 的坐标为(4,1),则 |MP|+ d 的最小值是.A B.4 C.2.1D +8.不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω,则 A.∀(x,y)∈Ω,x +2y> 3B.∃(x,y)∈Ω,x+2y > 5C.2(,),31y x y x +∀∈Ω>- 2. (,),51y D x y x +∃∈Ω>- 9.平行四边形ABCD 中,已知AB= 4,AD= 3,点E 、F 分别满足2,,AE ED DF FC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 且 6.AF BE ⋅=-u u u r u u u r 则向量AD u u u r 在AB u u u r 上的投影为A.2B.-2 3.2C 3.2D - 10.已知△ABC 的内角A, B ,C 的对边分别为a ,b c , 且A =60°，b=3，AD 为BC 边上的中线，若A D = 7,2则△ABC 的面积为AB 15.4CD 11.已知实数a>0,a≠1,函数2,1()4ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是A.1<a≤2B.a<5C.3<a<5D.2≤a≤512. △ABC是边长为E ，F 分别为AB ， AC 的中点，沿EF 把OAEF 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P-BCFE 的外接球的表面积最小时，四棱锥P- BCFE 的体积为A . 4.4B4C.4D 第II 卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分,第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题:共4小题， 每小题5分,共20分.将答案填在答题卡上.13.随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高ξ(单位:cm)服从正态分布2(172,)N σ，且P(172 < ξ≤180)=0.4,那么该市身高高于180cm 的高中男生人数大约为____14.春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北A.、B 两地参加疫情防控工作，每地一名医生,3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地,共有_____种选派方法.15.已知已知a 、b 为正实数，直线x +y+ 1 =0截圆22()()4x a y b -+-=所得的弦长为则1a ab+的最小值为____16.在△ABC 中,B 、C的坐标分别为(-,且满足sin sin ,B C A O -=为坐标原点,若点P 的坐标为(4,0),则AO AP ⋅u u u r u u u r 的取值范围为____三、解答题:解答)ni 写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本题满分12分)已知数列{}n a 满足:12311232222(1)22n n n a a a a n +⋅+⋅+⋅++⋅=-⋅+L 对一切*n N ∈成立.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求数列21{}n n a a +⋅的前n 项和.n S18. (本题满分12分)如图,四棱锥P- ABCD 的底面ABCD 中，△ABD 为等边三角形,△BCD 是等腰三角形,且顶角∠BCD= 120°,PC ⊥BD 平面PBD ⊥平面ABCD,M 为PA 中点.(1)求证:DM //平面PBC;(2)若PD ⊥PB,求二面角C-PA-B 的余弦值大小.19. （本题满分12分）贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标。
四川省德阳市2020届高三(高中2017级)“二诊”考试 数学(理)试题
( )5. 为了得到函数 y = sin 2x + π四川德阳市2020届高三“ 二诊 ” 考试数 学 试 卷( 理工农医类)说明 :1. 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷, 第Ⅰ卷 1—2 页, 第Ⅱ卷 3—4 页. 考生作答时, 须将答案答在答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效. 考试结束后, 将答题卡交回.2. 本试卷满分 150 分,120 分钟完卷.第Ⅰ卷( 选择题共 60 分)一、选择题:本大题共 12 个小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数 z =21 +i, 其中 i 为虚数单位 , 则 z=A.5B.3C.2D. 22. 函数 y =4 - x 2 的定义域为 A ,集合 B = {x log 2(x + 1) > 1} ,则 A ∩ B=A. {x 1 < x ≤ 2}B. {x - 2 ≤ x ≤2}C. {x - 2 < x < 3}D. {x 1 < x < 3}3. 执行如图所示的程序框图 , 若输出的结果为 3,则可输入的实数 x值的个数为 A.1 B. 2C.3D.44. 函数 f ( x ) = x cos x ln( e x+ e -x )在 [ - π , π ] 的图象大致为3 的图象 , 可将函数 y= sin2x 的图象π π π πA. 向右平移 3B. 向左平移 3C. 向左平移 6D. 向右平移6数学二诊 ( 理工农医类 ) 第1页( 共 4 页)⎧⎪⎪2x-1y≥0⎪2C.∀(x,y)∈Ω,yAF·BE=-6,则向量AD在AB上的投影为A.2B.-2C.2D.-32F4B..F,,,、,、,,4B.4C.66.二项式(2x-x2)5的展开式中,常数项为A.-80B.80C.-160D.1607.已知l为抛物线x2=4y的准线,抛物线上的点M到l的距离为d,点P的坐标为(4,1),则MP A.17+d的最小值是B.4C.2D.1+178.不等式组y≥x表示的平面区域为Ω,则⎨⎪⎩x+y-3≤0A.∀(x,y)∈Ω,x+2y>3B.∃(x,y)∈Ω,x+2y>5+2y+2>3 D.∃(x,y)∈Ω,>5x-1x-1→→→→9.平行四边形ABCD中,已知AB=4,AD=3,点E、分别满足AE=2ED,DF=FC,且→→→→310.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、c,且A=60°,b=3,为BC边上的中线,若b、ADAD=7,则△ABC的面积为2A.2531534C.154D.353411.已知实数a>0,a≠1,函数f(x)=值范围是A.1<a≤2B.a<5{a x,x<14在R上单调递增,则实数a的取x2++a ln x,x≥1xC.3<a<5D.2≤a≤512△ABC是边长为23的等边三角形E、分别为AB AC的中点沿EF把△AEF折起使点A 翻折到点P的位置连接PB PC当四棱锥P-BCFE的外接球的表面积最小时四棱锥P-BCFE的体积为A.53334 D.364第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分,第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡上.数学二诊(理工农医类)第2页(共4页)16.在△ABC 中 ,B 、C 的坐标分别为 ( - 2 2,0),(2 2,0), 且满足 sin B - sin C = 2 s in A ,O {} 的前 n 项和 S .a · a.13.随着国力的发展 , 人们的生活水平越来越好 , 我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高 .为了掌握学生的体质与健康现状 , 合理制定学校体育卫生工作发展规划 , 某市进行了一次全市高中男生身高统计调查 , 数据显示全市 30000 名高中男生的身高 ξ( 单位:cm) 服从正 态分布 N (172, σ2 ), 且 P (172 < ξ ≤ 180) = 0. 4,那么该市身高高于 180cm 的高中男生人数大 约为.14.春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发, 为了打赢疫情防控阻击战 , 我省某医院选派 2 名医生,6 名护士到湖北 A 、B 两地参加疫情防控工作 ,每地一名医生 ,3 名护士,其中甲乙 两名护士不到同一地 , 共有 种选派方法 .15.已知 a 、b 为正实数 , 直线 x + y + 1 = 0 截圆 ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = 4 所得的弦长为 2 2 , 则a + 1的最小值为 .ab2→ →为坐标原点 , 若点 P 的坐标为 ( 4, 0) , 则A O · AP 的取值范围为.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.( 本题满分 12 分)已知数列 {a n } 满足 :21· a 1 + 22· a 2 + 23· a 3 + … + 2n · a n = ( n - 1) · 2n +1 + 2 对一切 n ∈ N ∗ 成立(1) 求数列{ a } 的通项公式 ;n1(2) 求数列nnn +218.( 本题满分 12 分)如图 , 四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 中 ,△ A BD 为等边三 角形 ,△ B CD 是等腰三角形 , 且顶角 ∠BCD = 120 °,PC ⊥ BD , 平面 PBD ⊥ 平面 ABCD ,M 为 P A 中点 .(1) 求证 :DM ∥ 平面 PBC ;(2) 若 PD ⊥ PB ,求二面角 C - P A - B 的余弦值大小 .19.( 本题满分 12 分)贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标 . 党的十九届四中全会提出 “ 坚决打 赢脱贫攻坚战 , 建立解决相对贫困的长效机制 ” 对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署 , 即 2020 年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困 , 实现全面建成小康社会的奋斗目标 . 为了响应党的号召 , 某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作 . 对某种农产品加工生产销售进行指导 , 经调查知 , 在一个销售季度内 ,每售出一吨该产品获利 5 万元, 未售出的商品 , 每吨亏损 2 万元 . 经统计 A ,B 两市场以往 100 个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表:A 市场 :需求量 ( 吨) 90 100 110频数 20 50 30B 市场 :需求量 ( 吨) 90 100 11010 60 30 频数数学二诊 ( 理工农医类 )第3页( 共 4 页)a 2+b 2 = 1( a > b >0) 的离心率为 5 , 右焦点为抛物线 y 2 = 4x 的焦点 F.()OA (2) 直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ += 4, 连接 OA 并延长交 l 于 B , 求的最大值 .OB,把市场需求量的频率视为需求量的概率, 设该厂在下个销售周期内生产 n 吨该产品 , 在A 、B 两市场同时销售 ,以 X ( 单位 :吨 ) 表示下一个销售周期两市场的需求量 ,Y ( 单位 :万元 ) 表示下一个销售周期两市场的销售总利润 .(1) 求 X > 200 的概率;(2) 以销售利润的期望为决策依据 ,确定下个销售周期内生产量 n = 190 吨还是 n = 200吨? 并说明理由.20.( 本题满分 12 分)已知椭圆 C : x 2y 25(1) 求椭圆 C 的标准方程 ;(2) O 为坐标原点 , 过 O 作两条射线 , 分别交椭圆于 M 、N 两点 , 若 OM 、ON 斜率之积为 - 45求证 :△ M ON 的面积为定值 .21.( 本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) = e ax - x ( a ∈ R ,e 为自然对数的底数 ), g ( x ) = ln x + mx + 1. (1) 若 f ( x ) 有两个零点 , 求实数 a 的取值范围 ;(2) 当 a = 1 时 ,x [ f ( x ) + x ] ≥ g ( x ) 对任意的 x ∈(0, + ∞ ) 恒成立 ,求实数 m 的取值范围.请考生在 22、23 二题中任选一题作答. 注意:只能做所选定的题目. 如果多做,则按所做第一个题目计分 ,做答时 ,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 .22.[ 选修 4 - 4: 坐标系与参数方程 ]( 本题满分 10 分 )已知点 A 为圆 C :( x - 1) 2 +y 2 =1 上的动点 ,O 为坐标原点 , 过 P (0,4) 作直线 OA 的垂线 ( 当 A 、O 重合时 ,直线 OA 约定为 y 轴 ), 垂足为 M ,以 O 为极点 ,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .(1) 求点 M 的轨迹的极坐标方程 ;323.[ 选修 4 - 5: 不等式选讲 ]( 本题满分 10 分 )已知函数 f ( x ) = x + 1 .(1) 求不等式 f ( x ) ≤ 4 - 2x - 3 的解集 ;(2) 若正数 m 、n 满足 m + 2n = mn ,求证 :f ( m ) + f ( - 2n ) ≥ 8.数学二诊 ( 理工农医类 ) 第4页( 共 4 页)17 解:( 1) ∵21· a 1 + 22· a 2 + 23· a 3 + … + 2n · a = ( n - 1) · 2n +1 + 2①① - ② 得:2n · a = n · 2n∴ a =n() = n ( n+ 2) 2 n n + 2 ) (a +2 ) () ( )( 1 1 · - 1 + 1 - 1 + 1 - = 1 ⎡⎢ 1 + … + - 1 ⎤ n 2 ⎢⎣ 1 3 1 2 4 n + n 2 ⎥⎦)(- 1 1 + 1 n + - = . …………………………………………………德阳市高中 2017 级“ 二诊” 试题数学参考答案与评分标准( 理工农医类)一、选择题( 每小题 5 分, 共 60 分)题号答案1D 2A 3C 4A 5C 6A 7B 8D 9C 10B 11D 12D二、填空题( 每小题 5 分, 共 20 分)13. 3000 14. 24 15. 3 + 22 16. (12, + ∞ ) .三、解答题n∴ 当 n = 1 时, 21· a = 21∴ a = 1................................................................................ 2 分 1当 n ≥ 2 时, 21· a 1 + 22· a 2 + 23· a 3 + … + 2n - 1· a n - 1 = ( n - 2)· 2n + 2 nn②(2) 适合 a 1 = 1,故 a n = n ........................................................................................... 6 分1 1 1 1 1 = - ……………………………………8 分 a nn ∴ S ⎥ 3 51=2 2 1 n + 2n (3n + 5)4( n + 1)( n + 2)18. (1) 证明 :设 AB 中点为 N ,连接 MN 、DN∵△ ABD 为等边三角形∴ DN ⊥ AB∵ DC = CB ,∠DCB = 120°高2017级数学( 理工农医类) 答案第1页( 共 8 页)12 分∴CB=CD=,CO=3∴PO=1BD=1°∴∠CBD=30°∴∠ABC=60°+30°=90°即CB⊥AB∵DN⊥AB∴DN∥BC∵BC⊂平面PBC,DN⊄平面PBC∴DN∥平面PBC....................................................................................2分∵MN为△P AB的中位线∴MN∥PB∵PB⊂平面PBC,MN⊄平面PBC∴MN∥平面PBC....................................................................................4分∵MN、DN为平面DMN内二相交直线∴平面DMN∥平面PBC∵DM⊂平面DMN∴DM∥平面PBC...................................................................................6分(2)解:设BD中点为O,连接AO、CO∵△ABD为等边三角形,△BCD是等腰三角形,且顶角∠BCD=120°∴AO⊥BD,CO⊥BD∴A、C、O共线∵PC⊥BD,BD⊥CO,PC∩CO=C,PC,CO⊂平面PCO∴BD⊥平面PCO........................................................................................7分∵PO⊂平面PCO∴BD⊥PO∵平面PBD⊥平面ABCD,交线为BD,PO⊂平面PBD∴PO⊥平面ABCD......................................................................................8分设AB=2,则AO=3在△BCD中,由余弦定理,得:B D2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD又∵BC=CD∴22=2BC2-2BC2·cos1202333∵PD⊥PB,O为BD中点2高2017级数学(理工农医类)答案第2页(共8页)){→n · BA = 0 3 x- y= 0→ → n · P A = 0n n 7 …………………………………∵ 二面角 C - P A - B 为锐角∴ 二面角 C - P A - B 的余弦值大小为 21 . ……………………………n , A → > = 5 .建 立 直 角 坐 标 系 O - xyz ( 如 图 ), 则 (3C - 3 , 0, 0 , P ( 0, 0, 1) , A ( 3, 0, 0) ,B (0,1,0)................................9 分 → →∴BA = ( 3, - 1, 0) , P A = ( 3, 0, - 1) 设平面 PAB 的法向量为 →= ( x , y , z ) , 则{→⇒3 x- z= 0取 x = 1, 则 y = z = 3∴→= ( 1, 3, 3) ………………………………………………………… 10 分→平面 PAC 的法向量为 OB = ( 0, 1, 0)co→ → n · OB → → n · OB= 2111 分s712 分19.解 :(1) 设 “OB 市 场需求量为 90,100,110 吨 ” 分别记为事件 A 1 ,A 2 ,A 3 ,“ B 市 场需求量为90,100,110 吨 ” 分别记为事件 B ,B ,B ,则123P ( A 1 ) = 0. 2, P ( A 2 ) = 0. 5, P ( A 3 ) = 0. 3 P ( B 1 ) = 0. 1,P ( B 2 ) = 0. 6,P ( B 3 ) = 0. 3. …………………………………2 分P ( X > 200) = P ( A 2 B 3 + A 3 B 2 + A 3 B 3 )= P ( A 2 ) P ( B 3 ) + P ( A 3 ) P ( B 2 ) + P ( A 3 ) P ( B 3 )= 0. 5 × 0. 3 + 0. 3 × 0. 6 + 0. 3 × 0. 3 = 0. 42.................. 分(2) X 可取 180,190,200,210,220P ( X = 180) = P ( A 1 B 1 ) = 0. 2 × 0. 1 = 0. 02 .................................... 6 分P ( X = 190) = P ( A 2 B 1 + A 1B 2 ) = 0. 5 × 0. 1 + 0. 2 × 0. 6 = 0. 17 ……… 7 分当 n = 190时,E (Y ) = (180× 5 - 10 × 2) × 0. 02 + 190× 5 × (1 - 0. 02)= 948 6 (9)分当 n = 200 时,E ( Y ) = (180 × 5 - 20 × 2) × 0. 02 + (190 × 5 - 10 × 2) ×高2017级数学( 理工农医类) 答案第3页( 共 8 页)5 ∴4 = 1 ..........................................................3 分x 2y 2 ()()=-4∴k · k = 5 55 - t 2 解得:t 2 = ∴ - 4 · t 25, N t , - 25 -4△S MON = ⎪⎩ 5+ = 1 y 1 ky 20. 17 + 200 × 5 × (1 - 0. 02 - 0. 17) = 985. 3 …………………………11 分∵948 . 6 < 985. 3∴ n = 200 时,平均利润大, 所以下个销售周期内生产量 n = 200 吨.…12 分20. 解:(1) 抛物线 y 2 = 4x 的焦点为 F (1,0)∴ c= 1∵ e= 5∴ a = 5, b = 2c 5= a 5∴ 椭圆方程为x25 + y 2(2) 当 MN 与 x 轴垂直时 ,设直线 MN 的方程为 :x= t ( - 5 < t < 5 ,t ≠0)代入 5 + = 1 得: M t , 25 t 25 - t 2 5 - t 22- 2··12tt5 t 255 - t 24 =-5 5 2∴12t · 45 - t 2 5= 5........................................... 4 分当 MN 与 x 轴不垂直时 ,设 M ( x ,y ), N ( x ,y ), MN 的方程为 y = kx + m 1122⎧⎪y = kx + m ⎪由⎨x 2 y 2 ⇒(4 + 5k 2 ) x 2 + 10kmx + 5m 2 - 20 = 0 ……………5 分4由 △ > 0⇒5k 2 + 4 > m 2.......... ①x 1 + x 2 = - 10km, x 1· x 2 =4 + 5k 25m 2 - 20.......................................4 + 56 分∵k · k=- 4 ∴ ·2 =- 4 ∴ 5y y + 4x x = 0……7 分OMON5x 1 x 2 5 1 2 12即( 5k 2 + 4) x 1· x 2 + 5mk ( x 1 + x 2) + 5m 2 = 0高2017级数学( 理工农医类) 答案第4页 ( 共 8 页)( )()10km - ()2 ∴( 5k 2 + 4) · 5m 2 - 20+ 5mk · - + 5m 2 = 04 + 5k 24 + 5k 2整理得:2m 2 = 5k 2 + 4…………………………………………………9 分代入 ① 得:m ≠0MN= 1 + k 2 ( x 1 + x 2) 2 - 4x 1· x2= 1 + k 2·-4 + 5k 22 5m 2 - 204 + 5k 2= 4 5 1 + k 25k 2 + 4 - m 24 + 5……………………………… 10 分O 到 MN 的距离 d =△=S 1 MN d∴MON2 m k1 + k 2………………………………………… 11 分= =2 5 m2 5 m5k 2 + 4 - m 24 + 5k 22m 2 - m 2 2m 2= 5综上:S △MON = 5 为定值. ………………………………………………12 分21.解:(1) f ( x ) 有两个零点 ⇔ 关于 x 的方程 e ax = x 有两个相异实根由 e ax > 0,知 x > 0ln x ∴ f ( x ) 有两个零点 ⇔ a =有两个相异实根. …………………………1 分xln x 1 - ln x令 G ( x ) =,则 G′ ( x ) =xx 2由 G′ ( x ) > 0 得 :0 < x < e ,由 G′ ( x ) < 0 得 :x > e∴ G ( x ) 在(0, e ) 单调递增 ,在( e , + ∞ ) 单调递减∴G ( x ) max = G ( e ) = 1e .........................................................................................2 分又 ∵ G (1) = 0 ∴ 当 0 < x < 1 时,G ( x ) < 0,当 x > 1 时,G ( x ) > 0高2017级数学( 理工农医类) 答案第5页( 共 8 页)( 1 ) ...............4 分⇔ m ≤ e x - 对一切 x ∈ (0, + ∞ ) 恒成立 ................. 5 分- 又 h ( 1) = e > 0, h (1)= e- 1 < e 0 - 1 = 0 e eln x ∴ F ( x ) = F ( x ) = e x 0 - 1- ………………………………………8 分 ( )ln 1 e x ln x ∵ 函数 φ( x ) = xe x 在(0, + ∞ ) 单调递0 增 x 0 = e - ln x 0 - - x0 - 1 = 1 + 1 - = 1 ……………………… 11 分 x 0 x 0 x 0 x 0 0当 x → + ∞ 时,G ( x ) → 0 ........................................................... 3 分∴f ( x ) 有两个零点时 , 实数 a 的取值范围为 0,e(2) 当 a = 1 时 ,f ( x ) = e x - x∴ 原命题等价于 xe x ≥ln x + mx + 1 对一切 x ∈(0, + ∞ ) 恒成立ln x 1- x x令 F ( x ) = e x - ln x 1( x > 0)∴ m ≤ F ( x ) minxxF′( x ) = e x + ln x x 2 e x + ln x=x 2 x 2令 h ( x ) = x 2 e x + ln x ,x ∈ (0, + ∞ ), 则h ′ ( x ) = 2xe x + x2e x+ 1x> 0∴ h ( x ) 在(0, + ∞ ) 上单增1- 2 e ∴∃x ∈(1, 1), 使 h ( x ) = 0 即 x 2e x 0 +ln x 0 = 0 0 0 0① …………7 分当 x ∈(0, x 0) 时 ,h ( x ) < 0,当 x ∈( x 0 , + ∞ ) 时 ,h ( x ) > 0即 F ( x ) 在 (0, x 0 ) 递减 ,在 ( x 0 , + ∞ ) 递增0 min 0由 ① 知 x 2e x 0= - ln xx 0 x 0 ln x ∴ x e x 0 = -0 = 1 ln 1 = 1x0 0 0 x 01 ∴ x 0 = ln即 x 0 = - ln x 0 ………………………………………………… 10 分x 1 ∴ F ( x ) min∴ m ≤ 1∴ 实数 m 的取值范围为 ( - ∞ ,1].............................................12 分高2017级数学( 理工农医类) 答案第6页( 共 8 页)(){= 2cos θ( )θ = α()sin α +⎨ ⎩ (α + π ) 31 cos α· sin (((- π 4, π ) ∴-2ππ4π ( )OA ∴ 当 2α + = , 即 = 时,22. 解 :(1) 设 M 的极坐标为 ( ρ , θ ), 在 △ OPM 中 ,有 ρ = 4sin θ∴ 点 M 的轨迹的极坐标方程为 ρ = 4sin θ ..................................................... 4 分(2) 设射线 OA :θ = α , α ∈ - π , π , 圆 C 的极坐标方程为 ρ = 2cos θ由2 2得 OA = ρ = 2cos α ............................................................. 5 分 1 ⎧⎪ρsin θ + π = 4由⎪⎪θ = α 3得: OB = ρ2 = 43………………………6 分∴OAOB=2c o s α4si n= α +π )=2 1 cos α(sin αcos π 3+ cos αsin π )2 33=1 sin αcos α + 3 cos 24 4α=1 sin2α + 3 (cos2 α + 1) =8 8 1 sin 2α + π )+3…………………………………………8 分∵ α ∈< 2α +<3 82 23 3π π π32 +3 ...............................= 9 分32 12∴ 的最大值为………………………………………… 10 分OBx.OBmax8OA2 + 38<- 123 解:( 1) f ( x ) ≤ 4 -2x - 3 等价于或-高2017级数学( 理工农医类) 答案第7页( 共 8 页)⎧⎪ - 1≤ x ≤3⎪x > 3⎪ 2 2或⎨ ⎪⎩( x + 1) - ( 2x - 3) ≤ 4 ⎪⎩( x + 1) + ( 2x - 3) ≤ 4⎧⎪x < - 1 由 得 :⎨ 2 ⇒ x ∈ Ø⎪x 3 ⎧⎪ ⎪ 2 ⇒3 由 得 :⎨ < x ≤ 2{当且仅当 - 2n + 1 ≤ 0 即 n ≥ 时取等号 - 2n + 1 ≥ m + 2n⎧ ⎪⎨⎪≥ - ⎩由 得:⎨⎪ - 1≤ x ≤3 2 ⇒0≤ x ≤ 32⎪⎩x ≥ 0⎧⎪x > 3 2⎪⎩x ≤ 2∴ 原不等式的解集为 {x 0 ≤ x ≤ 2} .......................................... 5 分(2)∵ m > 0,n > 0,m + 2n = mn∴m + 2n = 1 ( m · 2n ) ≤ 1× ( m + 2n )2 22 4∴ m + 2n ≥ 8......................................................................... 7分 {m = 2n, 即 m = 4时取等号 当且仅当m + 2n = mn n= 2∴ f ( m ) + f ( - 2n ) = m + 1+ ≥8 ………9 分12∴ f ( m ) + f ( - 2n ) ≥ 8.…………………………………………………10 分高2017级数学( 理工农医类) 答案第8页 ( 共 8 页)。
四川省德阳市2020届高三(高中2017 级)“二诊”考试数学(文科)试卷(word版含答案)
四川省德阳市2020届高三（高中2017 级）“二诊”考试(文科)数学试卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数21z i =+，其中i 为虚数单位,则|z|= .5A.3B C.2 .2D 2.函数24y x =-的定义域为A ,集合2{|log (1)1}B x x =+>,则A∩B=.|12}A x x <≤.|22}B x x -≤≤ .|23}C x x -<< .|13}D x x <<3.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数x 值的个数为A.1B.2C.3D.44.函数cos ()ln()x x x x f x e e -=+在[- π,π]的图象大致为5.为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象，可将函数y=sin2x 的图象A.向右平移3π B.向左平移3π C.向左平移6π D.向右平移6π 6.已知113212112,(),log ,35a b c -=== A.b< a< cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a 7.已知l 为抛物线24x y =的准线,抛物线上的点M 到l 的距离为d,点P 的坐标为(4,1),则 |MP|+ d 的最小值是.A B.4 C.2.1D +8.不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω,则 A.∀(x,y)∈Ω,x +2y> 3B.∃(x,y)∈Ω,x+2y > 5C.2(,),31y x y x +∀∈Ω>- 2. (,),51y D x y x +∃∈Ω>- 9.平行四边形ABCD 中,已知AB= 4,AD= 3,点E 、F 分别满足2,,AE ED DF FC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 且 6.AF BE ⋅=-u u u r u u u r 则向量AD u u u r 在AB u u u r 上的投影为A.2B.-2 3.2C 3.2D - 10.已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b c , 且A =60°，b=3，AD 为BC 边上的中线，若A D = 7,2则△ABC 的面积为.4A.4B 15.4C.4D 11.已知实数a>0,a≠1,函数2,1()4ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是A.1<a≤2B.a<5C.3<a<5D.2≤a≤512.△ABC是边长为,E 、F 分别在线段AB 、AC 上滑动,EF // BC,沿EF 把△AEF 折起,使点A 翻折到点P 的位置,连接PB 、PC,则四棱锥P-BCFE 的体积的最大值AB C.3 D.2第II 卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分,第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题:共4小题， 每小题5分,共20分.将答案填在答题卡上.13.已知函数2()f x x ax =+的图象在点A(1,f(1))处的切线与直线l:x-3y+ 2=0垂直，则实数a 的值为___14.在一个袋子中装有分别标注1、2、3、4、5的5个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是____15.已知已知a 、b 为正实数，直线x +y+ 1 =0截圆22()()4x a y b -+-=所得的弦长为则ab 的最小值为____16.在△ABC 中,B 、C的坐标分别为(-,且满足sin sin sin ,2B C A O -=为坐标原点,若点P 的坐标为(4,0),则AO AP ⋅u u u r u u u r 的取值范围为____三、解答题:解答)ni 写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本题满分12分)已知数列{}n a 满足:12311232222(1)22n n n a a a a n +⋅+⋅+⋅++⋅=-⋅+L 对一切*n N ∈成立.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求数列21{}n n a a +⋅的前n 项和.n S18. (本题满分12分)如图,四棱锥P- ABCD 的底面ABCD 中，△ABD 为等边三角形,△BCD 是等腰三角形,且顶角∠BCD= 120°,PC ⊥BD,平面PBD ⊥平面ABCD,M 为PA 中点.(1)求证:DM //平面PBC;(2)若AB P =D ⊥PB,求三棱锥P - BDM 的体积.19. （本题满分12分）贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标。
【精准解析】四川省德阳市2020届高三“二诊”考试数学(文)试题
当
x
1,
f
(x)
x2
4 x
a ln
x
，由导数与函数单调性的关系可得
f
( x)
2x
4 x2
a x
0
，
在[1, ) 上恒成立，变形可得 a 2 ②，再结合函数的单调性，分析可得 a 1 4 ③，联立三
个式子，分析可得答案.
【详解】解：根据题意，函数
f
x
x
2
ax,x 1 4 a ln x, x
考点：程序框图．
4.函数
f
x
ln
x cos x ex ex
在 , 的图象大致为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，在 x 时函数范围的判断进行排除，即可得答案.
【 详 解 】 解 ： 由 已 知
f
x
x cos x
ln ex ex
ln
x cos x ex ex
D. 160
【解析】
【分析】
-3-
求出二项式
2 x
x2
5
的展开式的通式，再令
x
的次数为零，可得结果.
【
详
解
】
解
：
二
项
式
2 x
x2
5
展
开
式
的
通
式
为
Tr1
C5r
2 5r x
x2
r
1
r
C5r 25r
5r 2r
x2
，
令
5
2
r
2r
0
四川省德阳市2020届高三(高中2017级)“二诊”考试 数学(理)试题(word版)
数学二诊( 理工农医类)第1页( 共4 页)函数 f ( x ) = ln( ex e -x cos x + ) 在[ - π,π] 的图象大致为 为了得到函数 y = s i n (2x + π)的图象,可将函数 y = s i n 2x 的图象2. 3四川德阳市2020届高三“ 二诊” 考试数 学 试 卷( 理工农医类)说明:1. 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷,第Ⅰ卷 1—2 页,第Ⅱ卷 3—4 页. 考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效. 考试结束后,将答题卡交回. 本试卷满分 150 分,120 分钟完卷.第Ⅰ卷( 选择题 共 60 分)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 z = 1 2+ i,其中 i 为虚数单位,则 z =A. 5B. 3C. 2D. 2. 函数y = 4 -x 2 的定义域为A ,集合B = {x 则 A ∩ B = A. {x 1 < x ≤ 2} B. {x - 2 ≤ x ≤ 2} C. {x - 2 < x < 3} D. {x 1 < x < 3}log 2(x + 1) > 1} , 3. 执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 3,则可输入的实数 x 值的个数为 A. 1 B. x 2 C. 3 D. 44.5. π π π πA. 向右平移 3B. 向左平移3C. 向左平移6D. 向右平移 62数学二诊( 理工农医类)第2页( 共4 页)xM d x - 1x - 1 2 44, 、 , ,12 △ 2 3 , 、 、 , △ , 4444已知 为抛物线 4 的准线 , 点 2 6. 二项式(2- x2)5的展开式中,常数项为7. A. - l 80 x 2= B.y 80 , C. - 160 D. 160(4,1), 则 MP + d 的最小值是A.17⎧⎪2x B. 4 C. 2 D. 1 + 17- y ≥ 0 8. 不等式组⎪y ≥ 1x 表示的平面区域为 Ω,则⎨ ⎪ ⎪⎩x + y - 3 ≤ 0A. ∀( x ,y ) ∈ Ω,x + 2y > 3B. ∃( x ,y ) ∈ Ω,x + 2y > 5C. ∀( x ,y ) ∈ Ω,y + 2 > 3D. ∃( x ,y ) ∈ Ω,y + 2> 5 9. 平行四边形 A B CD 中,已知 A B = 4,A D = 3,点 E 、F 分别满足A →E = 2E →D ,D →F =F →C ,且 A →F ·B →E = - 6,则向量A →D 在A →B 上的投影为A. 2B. - 2C. 3D. - 310. 已知 △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、 2 c ,且 A = 60°,b = 3, 2为 BC 边上的中线,若AD = b 、 AD7 ,则 △ABC 的面积为A. 25 3 C.15{a x,x < 111. 已知实数 a > 0,a ≠ 1,函数 f ( x ) =x 2+ 4x+ a l n x ,x ≥ 1在 R 上单调递增,则实数 a 的取 值范围是A. 1 < a ≤ 2B. a < 5C. 3 < a < 5D. 2 ≤ a ≤ 5. ABC 是边长为 的等边三角形 E F 分别为 AB AC 的中点 沿 EF 把 AEF 折起 使点A 翻折到点 P 的位置 连接 PB PC 当四棱锥 P - BCFE 的外接球的表面积最小时 四棱锥P - BCFE 的体积为 A.5 3B.3 3 C.6 D.3 6第 Ⅱ 卷( 非选择题 共 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 ~ 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 将答案填在答题卡上. 抛物线上的点 到 的距离为 的坐标为 l P数学二诊( 理工农医类)第3页( 共4 页)ab13. 随着国力的发展,人们的生活水平越来越好,我国的人均身高较新中国成立初期有大 幅提高. 为了掌握学生的体质与健康现状,合理制定学校体育卫生工作发展规划,某市进行了一次全市高中男生身高统计调查,数据显示全市30000 名高中男生的身高 ξ( 单位:cm) 服从正态分布 N (172,σ2 ),且 P (172 < ξ ≤ 180) = 0. 4,那么该市身高高于 180cm 的高中男生人数大约为 .14. 春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发,为了打赢疫情防控阻击战,我省某医院 选派2 名医生,6 名护士到湖北A 、B 两地参加疫情防控工作,每地一名医生,3 名护士,其中甲乙两名护士不到同一地,共有种选派方法.15. 已知 a 、b 为正实数,直线 x + y + 1 = 0 截圆( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = 4 所得的弦长为 2 2 ,则a + 1的最小值为 . 16. 在△ABC 中,B 、C 的坐标分别为( - 2 2 ,0),(2 2 ,0),且满足sin B - sin C = 2sin A ,O→ → 2为坐标原点,若点 P 的坐标为(4,0),则A O ·A P 的取值范围为 .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. ( 本题满分 12 分)已知数列{ a n } 满足:21 ·a 1 + 22 ·a 2 + 23 ·a 3 + … + 2n ·a n = ( n - 1)·2n +1 +2 对一切n ∈ N ∗ 成立.(1) 求数列{ a n } 的通项公式;(2) 求数列{a1n ·a n + 2} 的前 n 项和 S n.18. ( 本题满分 12 分)如图,四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 中,△ABD 为等边三角形,△BCD 是等腰三角形,且顶角 ∠BCD = 120°,PC ⊥ BD , 平面 PBD ⊥ 平面 ABCD ,M 为 PA 中点.(1) 求证:DM ∥ 平面 PBC ;(2) 若 PD ⊥ PB ,求二面角 C - PA - B 的余弦值大小.19. ( 本题满分 12 分)贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标. 党的十九届四中全会提出“ 坚决打赢脱贫攻坚战,建立解决相对贫困的长效机制” 对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署,即 2020 年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困,实现全面建成小康社会的奋斗目标. 为了响应党的号召,某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作. 对某种农产品加工生产销售进行指导,经调查知,在一个销售季度内,每售出一吨该产品获利5 万元,未售出的商品,每吨亏损2 万元. 经统计 A ,B 两市场以往 100 个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表: A 市场:B 市场:需求量( 吨) 90 100 110频数205030需求量( 吨) 90 100 110频数106030x2535把市场需求量的频率视为需求量的概率,设该厂在下个销售周期内生产n 吨该产品,在A、B 两市场同时销售,以X(单位:吨) 表示下一个销售周期两市场的需求量,Y(单位:万元) 表示下一个销售周期两市场的销售总利润.(1)求X >200 的概率;(2)以销售利润的期望为决策依据,确定下个销售周期内生产量n = 190 吨还是n = 200 吨? 并说明理由.20.(本题满分12 分)已知椭圆C:a2+y2b2= 1( a > b > 0) 的离心率为5 ,右焦点为抛物线y2= 4x 的焦点F.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)O 为坐标原点,过O 作两条射线,分别交椭圆于M、N 两点,若OM、ON 斜率之积为-4求证:△MON 的面积为定值.21.(本题满分12 分)已知函数f( x) = e ax- x( a ∈ R,e 为自然对数的底数),g( x) = ln x + mx + 1.(1)若f(x) 有两个零点,求实数a 的取值范围;(2)当a = 1 时,x[f(x) + x] ≥g(x) 对任意的x ∈ (0, + ∞) 恒成立,求实数m 的取值范围.请考生在22、23 二题中任选一题作答. 注意:只能做所选定的题目. 如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.[选修4 - 4:坐标系与参数方程]( 本题满分10 分)已知点A 为圆C:( x - 1)2 + y2= 1 上的动点,O 为坐标原点,过P(0,4) 作直线OA 的垂线(当A、O 重合时,直线OA 约定为y 轴),垂足为M,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求点M 的轨迹的极坐标方程;(2)直线l 的极坐标方程为ρs i n(θ+π)=4,连接O A并延长交l 于B,求23.[选修4 - 5:不等式选讲]( 本题满分10 分)已知函数f(x) = x + 1 .(1)求不等式f( x) ≤4 - 2x - 3 的解集;(2)若正数m、n 满足m + 2n = mn,求证:f( m) + f( - 2n) ≥8.的最大值. OAOB,数学二诊( 理工农医类)第4页( 共4 页)高2017级数学( 理工农医类) 答案第1页( 共8 页)n (n · n n 2) 2 德阳市高中 2017 级“ 二诊” 试题数学参考答案与评分标准( 理工农医类)一、选择题( 每小题 5 分,共 60 分)二、填空题( 每小题 5 分,共 20 分)13. 3000 14. 24 15. 3 + 2 2 16. (12, + ∞ ) .三、解答题17. 解:(1) ∵ 21 ·a 1 + 22 ·a 2 + 23 ·a 3 + … + 2n ·a n = ( n - 1)·2n+ 1+ 2 ①∴ 当 n = 1 时,21 ·a 1 = 2∴ a 1 = 1 ................................................................................. 2 分 当 n ≥ 2 时,21·a 1 + 22·a 2 + 23·a 3 + … + 2n -1·a n -1 = ( n - 2)·2n + 2②① - ② 得:2n ·a n = n ·2n ∴ a n = n适合 a 1 = 1,故 a n = n ........................................................................................... 6 分 (2) a 1a +2= n ( 1+ = 1 ( 1n - n +1 2 )…………………………………… 8 分∴ S = 1 ⎡⎢ 1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) + (1 - 1 ) + … + (1 - +1 )⎤⎥2 ⎢⎣ 13 24 35 n 2 ⎥⎦ = 1 (1 +1 -n +1 - +1 )2 2 1 n 2= n (3n + 5). 4( n + 1)( n + 2)………………………………………………… 12 分18. (1) 证明:设 AB 中点为 N ,连接 MN 、DN∵ △ABD 为等边三角形 ∴ DN ⊥ AB∵ DC = CB ,∠DCB = 120°n高2017级数学( 理工农医类) 答案第2页( 共8 页)2∴ ∠CBD = 30°∴ ∠ABC = 60° + 30° = 90° 即 CB ⊥ AB ∵ DN ⊥ AB∴ DN ∥ BC∵ BC ⊂ 平面 PBC ,DN ⊄ 平面 PBC∴ DN ∥ 平面 PBC .................................................................................... 2 分 ∵ MN 为 △PAB 的中位线 ∴ MN ∥ PB∵ PB ⊂ 平面 PBC ,MN ⊄ 平面 PBC∴ MN ∥ 平面 PBC .................................................................................... 4 分 ∵ MN 、DN 为平面 DMN 内二相交直线 ∴ 平面 DMN ∥ 平面 PBC ∵ DM ⊂ 平面 DMN∴ DM ∥ 平面 PBC ................................................................................... 6 分(2) 解:设 BD 中点为 O ,连接 AO 、CO∵ △ABD 为等边三角形,△BCD 是等腰三角形,且顶角 ∠BCD = 120° ∴ AO ⊥ BD ,CO ⊥ BD∴ A 、C 、O 共线∵ PC ⊥ BD ,BD ⊥ CO ,PC ∩ CO = C ,PC ,CO ⊂ 平面 PCO∴ BD ⊥ 平面 PCO ........................................................................................ 7 分 ∵ PO ⊂ 平面 PCO∴ BD ⊥ PO∵ 平面 PBD ⊥ 平面 ABCD ,交线为 BD ,PO ⊂ 平面 PBD∴ PO ⊥ 平面 ABCD ...................................................................................... 8 分 设 AB = 2,则 AO = 3在 △B CD 中,由余弦定理,得:B D 2 = B C 2 + CD 2 - 2B C ·CD ·c o s ∠B CD 又 ∵ B C = CD∴ 22 = 2B C 2 - 2B C 2 ·c o s 120°∴ CB = CD,CO 33∵ PD ⊥ PB ,O 为 BD 中点 ∴ PO =1BD = 1高2017级数学( 理工农医类) 答案第3页( 共8 页)→n · O →B→n ·O →B 3→n ·B →A = 0⇒ 7建立直角坐标系 O - xyz ( 如图), 则 C (-3,0,0 ),P (0,0,1),A ( 3 ,0,0), B (0,1,0) ................................. 9 分 ∴ B →A = ( 3 , - 1,0),P →A = ( 3 ,0, - 1) 设平面 P AB 的法向量为→n = ( x ,y ,z ),则{→n ·P →A = 0{3 x - y = 03 x - z = 0 取 x = 1, 则 y = z = 3∴ →n = (1, 3 , 3 ) ………………………………………………………… 10 分 平面 P A C 的法向量为O →B = (0,1,0)c osn ,O →B > ==21 7………………………………… 11 分∵ 二面角 C - PA - B 为锐角 ∴ 二面角 C - PA - B 的余弦值大小为 21. ……………………………12 分 19. 解:(1) 设“ A 市场需求量为90,100,110 吨” 分别记为事件 A 1 ,A 2 ,A 3 ,“ B 市场需求量为 90,100,110 吨” 分别记为事件 B 1 ,B 2 ,B 3 ,则P ( A 1 ) = 0. 2,P ( A 2 ) = 0. 5,P ( A 3 ) = 0. 3P ( B 1 ) = 0. 1,P ( B 2 ) = 0. 6,P ( B 3 ) = 0. 3. P ( X > 200) = P ( A 2 B 3 + A 3 B 2 + A 3 B 3 )………………………………… 2 分 = P ( A 2 ) P ( B 3 ) + P ( A 3 ) P ( B 2 ) + P ( A 3 ) P ( B 3 )= 0. 5 × 0. 3 + 0. 3 × 0. 6 + 0. 3 × 0. 3 = 0. 42 ................... 5 分(2) X 可取 180,190,200,210,220P ( X = 180) = P ( A 1 B 1 ) = 0. 2 × 0. 1 = 0. 02 ..................................... 6 分 P ( X = 190) = P ( A 2 B 1 + A 1 B 2 ) = 0. 5 × 0. 1 + 0. 2 × 0. 6 = 0. 17 ……… 7 分 当 n = 190 时,E (Y ) = (180 × 5 - 10 × 2) × 0. 02 + 190 × 5 × (1 - 0. 02) = 948. 6…………………………………………………………………………… 9 分 当 n = 200 时,E ( Y ) = (180 × 5 - 20 × 2) × 0. 02 + (190 × 5 - 10 × 2) ×高2017级数学( 理工农医类) 答案第4页( 共8 页)= t ( - 5 5 - t 25 - 2 5 - t 2 5 555 4 + 5 2k 4 0. 17 + 200 × 5 × (1 - 0. 02 - 0. 17) = 985. 3 ∵ 948. 6 < 985. 3………………………… 11 分 ∴ n = 200 时,平均利润大,所以下个销售周期内生产量 n = 200 吨. 20. 解:(1) 抛物线 y 2 = 4x 的焦点为 F (1,0)∴ c = 1 … 12 分∵ e = 5ca 5∴ a = 5 ,b = 2 ∴ 椭圆方程为x2+ y 24= 1 ........................................................... 3 分(2) 当 MN 与 x 轴垂直时,设直线 MN 的方程为:x< t < 5 ,t ≠ 0)x 2 代入 5 + y 24= 1 得:M (t ,2 5 - t 2 ) ,N (t , - 2 )∴ k ·k = 5 - t 2 5 ·= - 4 ·5 - t 21 2t t 5 t 2∴ - 4 ·5 - t 2 = - 4解得:t 2 = 55 ∴ S △MON t2= 125 t ·42 = 5 ............................................ 4 分 当 MN 与 x 轴不垂直时,设 M ( x 1 ,y 1 ),N ( x 2 ,y 2 ),MN 的方程为 y = kx + m ⎧⎪y = kx + m⎪由⎨x 2 ⎪⎩ 5 y 2 = 1 ⇒(4 + 5k 2 ) x 2 + 10kmx + 5m 2 - 20 = 0 …………… 5 分由 △ > 0⇒5k 2 + 4 > m 2 .......... ① x 1 + x 2 = - 10km4 + 5k 2 ,x 1 ·x 2 =5m 2 - 20 ........................................ 6 分∵ k ·k= - 4∴ y 1 ·y 2 = - 4∴ 5y y + 4x x = 0 …… 7 分OMON5x 1 x 2 51 21 2即(5k 2 + 4) x 1 ·x 2 + 5mk ( x 1 + x 2 ) + 5m 2 = 05 - t 25 ∴ 2 +高2017级数学( 理工农医类) 答案第5页( 共8 页)5k 2 + 4 - m 2 2m 2 - m 2 ) 4 + 52k ∴=S △x∴ (5k 2+ 4)·5m 2- 20+ 5mk · ( - 10km )+ 5m 2 = 0 4 + 5k 2 整理得:2m 2 = 5k 2 + 4 代入 ① 得:m ≠ 04 + 5k 2………………………………………………… 9 分 M N = 1 + k 2 ( x 1 + x 2 ) 2- 4x 1 ·x 2= 1 + k 2= 4 5 1 + k25k 2 + 4 - m 2 ……………………………… 10 分O 到 MN 的距离 d =m1 + k 2………………………………………… 11 分1MON2MN d = 2 5 = 2 5 = 5m 4 + 5k 2 m 2m 2综上:S △MON = 5 为定值. ………………………………………………21. 解:(1) f ( x ) 有两个零点 ⇔ 关于 x 的方程 e ax = x 有两个相异实根由 e ax > 0,知 x > 012 分∴ f ( x ) 有两个零点 ⇔ a =ln x有两个相异实根. 令 G ( x ) = ln x ,则 G′( x ) = 1 - ln x………………………… 1 分 xx 2由 G′( x ) > 0 得:0 < x < e ,由 G′( x ) < 0 得:x > e ∴ G ( x ) 在(0,e ) 单调递增,在( e , + ∞ ) 单调递减 ∴ G ( x ) ma x = G ( e ) = 1e .........................................................................................2 分又 ∵ G (1) = 0∴ 当 0 < x < 1 时,G ( x ) < 0,当 x > 1 时,G ( x ) > 0高2017级数学( 理工农医类) 答案第6页( 共8 页)e 0x x 当 x → + ∞ 时,G ( x ) → 0 ............................................................ 3 分 ∴ f ( x ) 有两个零点时,实数 a 的取值范围为(0,1e ) ...............4 分 (2) 当 a = 1 时,f ( x ) = e x - x∴ 原命题等价于 xe x ≥ ln x + mx + 1 对一切 x ∈ (0, + ∞ ) 恒成立⇔m ≤ e x - ln x - 1对一切 x ∈ (0, + ∞ ) 恒成立 ................. 5 分令 F ( x ) = e x - ln x - 1( x > 0) ∴ m ≤ F ( x ) minxxF′( x ) = e x+ ln x = x 2 e x + ln x x 2 x 2令 h ( x ) = x 2 e x + ln x ,x ∈ (0, + ∞ ),则 h ′( x ) = 2x e x + x 2 e x +1x> 0 ∴ h ( x ) 在(0, + ∞ ) 上单增又 h (1) = e > 0,h ( 1)= e 1e - 2 - 1 < e 0 - 1 = 0∴ ∃x 0 ∈( 1e ,1 ) ,使 h ( x 0) = 0 即 x 2 ex 0+ l n x 0 = 0①当 x ∈ (0,x 0 ) 时,h ( x ) < 0,当 x ∈ ( x 0 , + ∞ ) 时,h ( x ) > 0即 F ( x ) 在(0,x 0 ) 递减,在( x 0 , + ∞ ) 递增………… 7 分∴ F ( x ) m in = F (x 0 ) = e x 0 - ln x 0 - 1 ……………………………………… 8 分 x 0 x 0 由 ① 知 x 2 e x 0 = - ln x∴ x e x 0 = -ln x 0= 1 ln 1= (l n 1 )e l n x10 0 0x 0 xx 0∵ 函数 φ( x ) = xe x 在(0, + ∞ ) 单调递增 ∴ x 0 = ln x 1即 x 0 = - ln x 0 ………………………………………………… 10 分∴ F ( x ) = e -l n x 0 - - x 0 - 1 = 1 + 1 - 1= 1 ……………………… 11 分min ∴ m ≤ 1x 0 x 0 x 0 x 0∴ 实数 m 的取值范围为( - ∞ ,1] .............................................. 12 分x高2017级数学( 理工农医类) 答案第7页 ( 共8 页)OA OB{4 -π3822. 解:(1) 设 M 的极坐标为( ρ,θ),在 △OPM 中,有 ρ = 4sin θ∴ 点 M 的轨迹的极坐标方程为 ρ = 4sin θ ..................................................... 4 分(2) 设射线 OA :θ = α,α ∈ (- π , π),圆 C 的极坐标方程为 ρ = 2cos θ2 由ρ = 2cos θ得 OA = ρ θ = α 1⎧⎪ρs i n (θ + π )= 42= 2cos α ............................................................. 5 分由⎪ 3 得: OB = ρ2 =……………………… 6 分 ⎪⎩θ = α ∴=2cos α s i n (α + 3 )4s i n (α + π= 1 c o s α·s i n (α +π )2= 1 c o s α (s i n αc o s π3 + cos αsin π )2 3 3= 1 sin αcos α2 α 4 4 = 1 sin2αα + 1)8 8= 1 s i n (2α + π)+………………………………………… 8 分4 3 8∵ α ∈ (- π , π ) ∴ -2π< 2α + π < 4π2 23 33∴ 当 2α + π = π ,即 α = π时,=9 分3212 OBmax8∴ 的最大值为2 + 3. . ………………………………………… 10 分23. 解:(1) f ( x ) ≤ 4 - 2x - 3 等价于 {x < - 1或OA OB) ⎨高2017级数学( 理工农医类) 答案第8页 ( 共8 页)⎨⎪ ⎪x 3 ⎪ 2⎪ 2 n = 22 ⎧⎪- 1 ≤ x ≤3 ⎧⎪- 1 ≤ x ≤ 3⎧⎪x > 3 ⎪ 2 或 ⎨ 2 ⎪⎩( x + 1) - (2x - 3) ≤ 4 ⎧⎪x < - 1 ⎪⎩( x + 1) + (2x - 3) ≤ 4 由 得:⎨ ⎩≥ - 2 ⇒x ∈ Ø由 得:⎨⎪⎩x ≥ 0 ⎧⎪x > 3 2 ⇒0 ≤ x ≤ 3 由 得:⎨2 ⇒3 < x ≤ 2 ⎪⎩x ≤ 2∴ 原不等式的解集为{x 0 ≤ x ≤ 2} .......................................... 5 分 (2) ∵ m > 0,n > 0,m + 2n = mn∴ m + 2n = 1 ( m ·2n ) ≤ 1×( m + 2n ) 22 2 4∴ m + 2n ≥ 8 .......................................................................... 7 分 m = 2n m + 2n = mn,即{m = 4时取等号∴ f ( m ) + f ( - 2n ) = m + 1 + - 2n + 1 ≥ m + 2n≥ 8 ……… 9 分当且仅当 - 2n + 1 ≤ 0 即 n ≥ 1时取等号∴ f ( m ) + f ( - 2n ) ≥ 8.…………………………………………………10 分⎪ 当且仅当{。
2020年四川德阳高三二模文科数学试卷-学生用卷
2020年四川德阳高三二模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第1题5分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B卷理科第1题2020年四川德阳高三二模理科第1题5分已知复数z=2，其中i为虚数单位，则|z|=（）．1+iA. √5B. √3C. 2D. √22、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第2题5分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B卷理科第2题2020年四川德阳高三二模理科第2题5分函数y=√4−x2的定义域为A，集合B={x|log2(x+1)>1}，则A∩B=（）．A. {x|1<x⩽2}B. {x|−2⩽x⩽2}C. {x|−2<x<3}D. {x|1<x<3}3、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第3题5分2020年四川德阳高三二模理科第3题5分执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为（）．A. 1B. 2C. 3D. 44、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第4题5分2020年四川德阳高三二模理科第4题5分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B卷理科第3题函数f(x)=xcosx在[−π,π]的图象大致为（）．ln(e x+e−x)A.B.C.D.5、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第5题5分2020年四川德阳高三二模理科第5题5分为了得到函数y =sin(2x +π3)的图象，可将函数y =sin2x 的图象（）．A. 向右平移π3B. 向左平移π3C. 向左平移π6D. 向右平移π66、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第6题5分已知a =2−12，b =(13)13，c =log 1215，则（ ）．A. b <a <cB. a <b <cC. c <b <aD. b <c <a7、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第7题5分2020年四川德阳高三二模理科第7题5分2020~2021学年四川绵阳江油市江油市第一中学高二上学期期中理科第8题5分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B 卷理科第6题已知l 为抛物线x 2=4y 的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为(4,1)，则|MP|+d 的最小值是（ ）．A. √17B. 4C. 2D. 1+√178、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第8题5分2020年四川德阳高三二模理科第8题5分不等式组{2x −y ⩾0y ⩾12x x +y −3⩽0表示的平面区域为Ω，则（ ）．A. ∀(x,y )∈Ω，x +2y >3B. ∃(x,y )∈Ω，x +2y >5C. ∀(x,y )∈Ω，y+2x−1>3 D. ∃(x,y )∈Ω，y+2x−1>59、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第9题5分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B 卷理科第8题2020年四川德阳高三二模理科第9题5分平行四边形 ABCD 中，已知AB =4，AD =3，点E 、F 分别满足AE →=2ED →，DF →=FC → 且AF →⋅BE →=−6，则向量AD →在AB →上的投影为（ ）．A. 2B. −2C. 32D. −3210、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第10题5分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B 卷理科第9题2020年四川德阳高三二模理科第10题5分已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A=60°，b=3，AD为BC边上的中线，若AD=72，则△ABC的面积为（）．A. 25√34B. 15√34C. 154D. 35√3411、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第11题5分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B卷理科第10题2020年四川德阳高三二模理科第11题5分已知实数a>0，a≠1，函数f(x)={a x,x<1x2+4x+alnx,x⩾1在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）．A. 1<a⩽2B. a<5C. 3<a<5D. 2⩽a⩽512、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第12题5分△ABC是边长为2√3的等边三角形，E、F分别在线段AB、AC上滑动，EF//BC，沿EF把△AEF 折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC，则四棱锥P−BCFE的体积的最大值为（）．A. 2√2 B. √3 C. 3 D. 2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第13题5分已知函数f(x)=x2+ax的图象在点A(1,f(1))处的切线与直线l:x−3y+2=0垂直，则实数a的值为．14、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第14题5分在一个袋子中装有分别标注1、2、3、4、5的5个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是．15、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第15题5分已知a、b为正实数，直线x+y+1=0截圆(x−a)2+(y−b)2=4所得的弦长为2√2，则ab的最大值为．16、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第16题5分2020年四川德阳高三二模理科第16题5分sinA，O为坐标在△ABC中，B、C的坐标分别为(−2√2,0)，(2√2,0)，且满足sinB−sinC=√22原点，若点P的坐标为(4,0)，则AO→⋅AP→的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第17题12分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B卷理科第15题2020年四川德阳高三二模理科第17题12分已知数列{a n}满足：21⋅a1+22⋅a2+23⋅a3+⋯+2n⋅a n=(n−1)⋅2n+1+2对一切n∈N∗成立．(1) 求数列{a n}的通项公式．}的前n项和S n．(2) 求数列{1a n⋅a n+218、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第18题12分如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD中，△ABD为等边三角形，△BCD是等腰三角形，且顶角∠BCD=120°，PC⊥BD，平面PBD⊥平面ABCD，M为PA中点．(1) 求证：DM//平面PBC．(2) 若AB=2√3，PD⊥PB，求三棱锥P−BDM的体积．19、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第19题12分贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标．党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标．为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作，对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示，设该厂在下个销售周期内生产210吨该产品，以x (单位：吨，180⩽x⩽230)表示下一个销售周期市场的需求量，Y（单位：万元）表示下一个销售周期市场的销售总利润，视x分布在各区间内的频率为相应的概率．(1) 求实数a的值．(2) 将Y表示成x的函数，并求出解析式．(3) 估计销售利润不少于910万元的概率．20、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第20题12分2020年四川德阳高三二模理科第20题12分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B卷理科第19题已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为√55，右焦点为抛物线y2=4x的焦点F．(1) 求椭圆C的标准方程．(2) O为坐标原点，过O作两条射线，分别交椭圆于M，N两点，若OM、ON斜率之积为−45，求证：△MON的面积为定值．21、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第21题12分已知函数f(x)=e ax−x（a∈R，e为自然对数的底数）．(1) 若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．(2) 若f(x)有两个零点x1、x2，且x1<x2，求证：x1⋅x2>e2．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第22题10分2020年四川德阳高三二模理科第22题10分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B卷理科第18题已知点A为圆C:(x−1)2+y2=1上的动点，O为坐标原点，过P(0,4)作直线OA的垂线(当A、O重合时，直线OA约定为y轴)，垂足为M，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1) 求点M的轨迹的极坐标方程．(2) 直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π3)=4，连接OA并延长交l于B，求|OA||OB|的最大值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第23题10分2020年四川德阳高三二模理科第23题10分已知函数f(x)=|x+1|．(1) 求不等式f(x)⩽4−|2x−3|的解集．(2) 若正数m，n满足m+2n=mn，求证：f(m)+f(−2n)⩾8．1 、【答案】 D;2 、【答案】 A;3 、【答案】 C;4 、【答案】 A;5 、【答案】 C;6 、【答案】 A;7 、【答案】 B;8 、【答案】 D;9 、【答案】 C;10 、【答案】 B;11 、【答案】 D;12 、【答案】 D;13 、【答案】−5;;14 、【答案】25;15 、【答案】1416 、【答案】(12,+∞);17 、【答案】 (1) a n=n．;(2) n(3n+5)．4(n+1)(n+2);18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 32．;19 、【答案】 (1) 0.035． ;(2) Y ={7x −420180⩽x <2101050210⩽x ⩽230． ;(3) 0.9．;20 、【答案】 (1) x 25+y 24=1．;(2) 证明见解析． ;21 、【答案】 (1) (0,1e )．;(2) 证明见解析． ;22 、【答案】 (1) ρ=4sinθ． ;(2) 2+√38．;23 、【答案】 (1) {x |0⩽x ⩽2} ;(2) 证明见解析． ;。
2020年四川省德阳市高考数学二诊试卷(文科) (含答案解析)
2020年四川省德阳市高考数学二诊试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知i 为虚数单位，则|1+i i|=( )A. √2B. 2C. √22D. 122. 设集合A ={1,2，3，4}，B ={x|0<x <3}，则A ∩B =( )A. {1,2，3}B. {2,3}C. {1,2}D. {2,3，4}3. 程序框图如图所示，若输出的结果为−9，则程序框图中判断框内的x 值可以是( )A. 3B. 5C. 7D. 94. 函数f(x)=e −x −e xx 2的图象大致为( )A.B.C.D.5. 要得到函数y =sin (2x +1)的图象，只要将函数y =sin2x 的图象( )A. 向左平移12个单位 B. 向右平移12个单位 C. 向左平移1个单位D. 向右平移1个单位6. 设，b =315，c =(15)0.4，则有( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. c <b <a7. 设定点M(3,103)与抛物线y 2=2x 上的点P 的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则d 1+d 2取最小值时，P 点的坐标为( )A. (0,0)B. (1,√2)C. (2,2)D. (18,−12)8. 若不等式组：{2x −y +2≥0y −2≤0y ≥k (x +1)表示的平面区域Ω的面积为3，则实数k 的值为 ( )A. 13B. 12C. 45D. 329. 在平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =4，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 8 B. 12 C. −12 D. −810. 在△ABC 中，tanC =4，CD 是AB 边上的高，若CD 2−BD ·AD =3，则△ABC 的面积为( )A. 4B. 6C. 8D. 1211. 已知函数f(x)={x 2,x <0−x 2+x,x ≥0，若f[f(a)]≥−2，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1]B. (−∞,√2]C. [−1,+∞)D. [−√2,+∞)12. 已知四棱锥S −ABCD 的所有顶点都在半径为2的球O 的球面上，四边形ABCD 是边长为2的正方形，SC 为球O 的直径，则此棱锥的体积为( )A. 4√23B. √36C. 8√23D. √22二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线f(x)=12x 2+xlnx 在点(1,f(1))处的切线与直线ax −y −1=0垂直，则a =________． 14. 袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，则取出的3个小球上的数字互不相同的概率为________． 15. 直线l ：x −√3y =0截圆C ：(x −2)2+y 2=4所得弦长为______ ．16. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =2√3，m⃗⃗⃗ =(−cos A2,sin A2)，n ⃗ =(cos A2,sin A2)，且m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =12，则b +c 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }中，a 1=32且a n =12(a n−1+n +1)(n ≥2,n ∈N ∗)．(Ⅰ)求a 2，a 3；并证明{a n −n}是等比数列； (Ⅱ)设 n =2n ⋅a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，棱PA⊥底面ABCD，且AB⊥BC，AD//BC，PA=AB=BC=2AD=2，E是PC的中点．(1)求证：ED//平面PAB；(2)求三棱锥A−PDE的体积．19.经销商销售某种产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润300元；未售出的产品，每1t亏损100元．根据以往的销售记录，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了120t该产品．用x(单位：t，100≤x≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，y(单位：元)表示下一个销售季度内经销该产品的利润．(1)将y表示为x的函数；(2)根据直方图估计利润y不少于32000元的概率．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右两焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，椭圆上两点A，B坐标分别为A(a,0)，B(0,b)，若△ABF2的面积为√32，∠BF2A=120°．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于M，N两点，证明：点O到直线MN的距离为定值．21.已知函数f(x)=xlnx．(1)求函数f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值；(2)若函数g(x)=(−x2+ax−3)⋅e x−2e x⋅f(x)在[1e,e]上有两个零点，求实数a的取值范围．22.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为(2,β)，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0,2π)．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)过极点O和点M的直线与曲线C相交所得弦长为√3，求β的值及此时直线OM将曲线C分成的两段弧长之比．23.已知函数f(x)=2m−|2x−1|，m∈R，且f(x+12)≥0的解集为{x|−1≤x≤1}．(1)求m的值；(2、)若a，b，c都为正数，且1a +12b+14c=m，证明：a+2b+4c≥9．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵1+ii =(1+i)⋅ii⋅i=1−i，∴|z|=√2，故选：A．利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，把复数化简到最简形式，利用复数的模的定义求出|z|．本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数的模的定义和求法．2.答案：C解析：解：∵集合A={1,2，3，4}，B={x|0<x<3}，∴A∩B={1,2}．故选：C．利用交集的定义能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.答案：C解析：解：模拟执行程序，可得S=0，n=1满足条件n<x，执行循环体，S=−1，n=3满足条件n<x，执行循环体，S=−4，n=5满足条件n<x，执行循环体，S=−9，n=7此时，应该不满足条件n<x，退出循环，输出S的值为−9．故5<x，且7≥x，则程序框图中判断框内的x值可以是7．故选：C．模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S ，n 的值，由题意可得5<x ，且7≥x ，从而可得判断框内的x 值．本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．4.答案：D解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的值的符号，属于基础题． 判断函数的奇偶性，利用函数值的符号判断 解：函数f(x)=e −x −e xx 2， 可得：f(−x)=e x −e −xx 2=−e −x −e xx 2=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，排除A ；∵f(1)=e −1−e 1<0，故排除B ，C故选：D ．5.答案：A解析：y =sin(2x +1)=sin[2(x +12)]，根据函数图象的“左加右减”原则，知应该将函数y =sin2x 的图象向左平移12个单位．6.答案：B解析：解：，b =315>30=1， 0<c =(15)0.4<(15)0=1， ∴a <c <b ． 故选：B ．利用指数函数和对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的性质的合理运用．7.答案：C解析：解：∵(3,√6)在抛物线y 2=2x 上且103>√6， ∴M(3,103)在抛物线y 2=2x 的外部，∵抛物线y 2=2x 的焦点F(12,0)，准线方程为x =−12，∴在抛物线y 2=2x 上任取点P 过p 作PN ⊥直线x =12则PN =d 2, ∴根据抛物线的定义可得d 2=PF ， ∴d 1+d 2=PM +PF ， ∵PM +PF ≥MF ，∴当P ，M ，F 三点共线时d 1+d 2取最小值， 此时MF 所在的直线方程为y −103=43(x −3)即4x −3y −2=0，令{4x −3y −2=0y 2=2x ，则{x =2y =2即当点的坐标为(2,2)时d 1+d 2取最小值， 故选C ．8.答案：B解析： 【试题解析】本题主要考查二元一次不等式组与平面区域，体现了数形结合的数学思想，属于一般题． 首先作出不等式组表示的平面区域，为三角形及其内部部分，其中y =k(x +1)是过定点(−1,0)的直线，然后求出三角形顶点坐标，利用k 表示区域面积，求出k ． 解：y =k(x +1)是过定点(−1,0)的直线， 由已知不等式组得到平面区域大致如图：由图得直线y =k(x +1)过第一象限，且在第一象限的部分在直线2x −y +2=0的右侧， 则0<k <2，由{2x −y +2=0y =2得到A(0,2)， 由{y =2y =k (x +1)得到D (2k −1,2)， 所以平面区域的面积为S =12|AD|·ℎA =12×(2k −1)×2=3， 解得k =12，满足0<k <2． 故选B ．9.答案：B解析：解：∵AB =2，AD =4，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16−4=12， 故选：B ．根据向量的几何意义和向量的数量积计算即可． 本题考查了向量的几何意义和向量的数量积属于基础题．10.答案：B解析：直接利用三角形的面积公式以及余弦定理，勾股定理化简求解即可． 本题主要考查三角形的面积公式以及余弦定理的运用，考查运算求解能力． 解：S =12BC ⋅ACsinC =14tanC ⋅2BC ⋅ACcosC=BC 2+AC 2−AB 2=AC 2+BC 2−(AD +BD)2=2(CD 2−BD ⋅AD)=6．故选：B ．11.答案：D解析：画出函数f(x)的图象，由f(f(a))≥−2，可得f(a)≤2，数形结合求得实数a 的取值范围．本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．解：∵函数f(x)={x 2,x <0−x 2+x,x ≥0，它的图象如图所示： 由f(f(a))≥−2，可得f(a)≤2．当a ≥0时，f(a)=−a 2+a =−(a −12)2+14≤2恒成立；当a <0时，f(a)=a 2≤2，解得−√2≤a <0，则实数a 的取值范围是a ≥−√2，故选：D ． 12.答案：C解析：本题考查了球的内接几何体的问题，充分利用球的知识得出直线，平面的位置关系，从而利用公式求解即可．根据题意得出空间几何体的直观图，利用圆的几何知识得出Rt △SBC ，Rt △SDC ，Rt △SAC ，利用边长根据勾股定理得出△ABS ，△ADS ，为直角三角形，可得SA ⊥平面ABC ，即可求棱锥的体积． 解：根据题意得出：AC=2√2，SC=4，AB=BC=DC=DA=2根据圆的几何知识得出Rt△SBC，Rt△SDC，Rt△SAC，∴可知SD=SB=2√3，SA=2√2，根据勾股定理得出△ABS，△ADS为直角三角形，∴SA⊥AC，SA⊥AB，∵AC∩AB=A，AC⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴SA⊥平面ABCD，∴棱锥的体积为13S ABCD·SA=13×2×2×2√2=8√23，故选C．13.答案：−12解析：本题考查函数的导数的几何意义，两直线的垂直关系的应用，是基本知识的考查．先求出f(x)在x=1处的导数值，由图象在点(1,f(1))处的切线与直线ax−y−1=0垂直即可得到答案．解：∵f(x)=12x2+xlnx，∴f′(x)=x+lnx+1，∴f′(1)=2．∴切线的斜率为2，∵切线与直线ax−y−1=0垂直，可得：a=−12；故答案为：−12．14.答案：23解析：本题考查古典概率的求解．解：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P(A)=C 53C 21C 21C 21C 103=23． 故答案为23．15.答案：2√3解析：解：圆C ：(x −2)2+y 2=4的圆心为(2,0)，半径为2，∴圆心到直线的距离为d =√1+3=1，∴直线l ：x −√3y =0截圆C ：(x −2)2+y 2=4所得弦长为l =2√4−1=2√3， 故答案为2√3．求出圆心与半径，利用弦心距与半径构成的直角三角形中求解弦长即可．本题主要考查了直线和圆的方程的应用，以及弦长问题，属于基础题． 16.答案：(2√3,4]解析：解：因为m⃗⃗⃗ =(−cos A 2,sin A 2)，n ⃗ =(cos A 2,sin A 2)，且m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =12， 所以−cos 2A 2+sin 2A 2=12，所以cosA =−12，又0<A <π，所以A =−2π3， 由正弦定理得：b sinB =c sinC =√3√32=4，即b =4sinB ，c =4sinC ，所以b +c =4(sinB +sinC)=8sin B+C 2cos B−C2=4cos B−C2，又−π6<B−C 2<π6，所以4cos B−C 2∈(2√3,4]． 故b +c 的取值范围为：(2√3,4]由平面向量数量积运算，得：−cos 2A 2+sin 2A 2=12，即A =−2π3， 由正弦定理得：b sinB =c sinC =√3√32=4，即b =4sinB ，c =4sinC ，由差化积公式得：b +c =4(sinB +sinC)=8sinB+C 2cos B−C 2=4cos B−C 2， 又−π6<B−C 2<π6，所以4cos B−C 2∈(2√3,4]，得解．本题考查了正弦定理及和差化积公式及平面向量数量积运算，属中档题．17.答案：解：(Ⅰ)由题意，可知：a 2=12(a 1+2+1)=12⋅(32+2+1)=94，a 3=12(a 2+3+1)=12⋅(94+3+1)=258．①当n =1时，a 1−1=32−1=12，②当n ≥2时，a n −n =12(a n−1+n +1)−n =12a n−1+12n +12−n =12a n−1−12n +12=12(a n−1−n +1)=12[a n−1−(n −1)]． ∴数列{a n −n}是以12为首项，12为公比的等比数列．(Ⅱ)由(Ⅰ)，可知：a n −n =(12)n ， ∴a n =n +(12)n .n ∈N ∗．∴b n =2n ⋅a n =2n ⋅[n +(12)n ]=n ⋅2n +2n ⋅12=n ⋅2n +1．∴S n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n=(1⋅21+1)+(2⋅22+1)+(3⋅23+1)+⋯(n ⋅2n +1)=1⋅21+2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n +n ，---③2S n =1⋅22+2⋅23+⋯+(n −1)⋅2n +n ⋅2n+1+2n ---④③−④，可得：−S n =1⋅21+1⋅22+1⋅23+⋯+1⋅2n −n ⋅2n+1+n −2n=2−2n+11−2−n⋅2n+1−n=(1−n)⋅2n+1−n−2，∴S n=(n−1)⋅2n+1+n+2．解析：本题第(Ⅰ)题主要考查根据递推公式逐步代值，以及根据递推公式求出通项公式；第(Ⅱ)题主要考查利用错位相减法来求数列的前n项和．本题属中档题．本题第(Ⅰ)题可根据递推式逐步代入算出a2和a3的值，再根据题意将a n的递推式代入a n−n进行计算化简最终会得到a n−n和a n−1−(n−1)的关系，最终得证数列{a n−n}是等比数列；第(Ⅱ)题先根据(Ⅰ)求得b n的通项公式，得到b n=n⋅2n+1，由bn通项公式的特点可根据错位相减法得到数列{b n}的前n项和S n．18.答案：证明：(1)取PB中点H，连接AH、EH，∵E，H分别为面PC，PB的中点，∴HE//BC，且HE=12BC，又∵AD//BC，且AD=12BC，∴AD//HE，且AD=HE，∴四边形AHED是平行四边形，∴AH//DE，又AH⊂平面PAB，又DE⊄平面PAB，∴DE//平面PAB.…(6分)解：(2)由(1)知，BC⊥PB，∴AD⊥PB，又PB⊥AH，且AH∩AD=A，∴PB⊥平面ADEH，∴PH是三棱锥P−ADE的高，又可知四边形ADEH为矩形，且AD=1，AH=√2，…(9分)∴三棱锥A−PDE的体积：V A−PDE=V P−ADE=13×S△ADE×AH=13×12×S矩形ADEH×AH=13×√22×√2=13.…(12分)解析：(1)取PB中点H，连接AH、EH，推导出四边形AHED是平行四边形，从而AH//DE，由此能证明DE//平面PAB．(2)由BC⊥PB，得AD⊥PB，从而PB⊥平面ADEH，PH是三棱锥P−ADE的高，三棱锥A−PDE的体积：V A−PDE=V P−ADE=13×S△ADE×AH=13×12×S矩形ADEH×AH，由此能求出结果．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：(Ⅰ)由题意得，当x ∈[100,120)时，T =300x −100(120−x)=400x −12000，当x ∈[120,150)时，T =300×120=36000，∴T ={400x −12000,x ∈[100,120)36000,x ∈[120,150]． (Ⅱ)由(Ⅰ)知，利润T 不少于32000元，当且仅当110≤x ≤150．由直方图知需求量X ∈[110,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值为1−0.01×10=0.9．解析：(Ⅰ)由题意先分段写出，当x ∈[100,120)时，当x ∈[120,150)时的利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．(Ⅱ)由(I)知，利润T 不少于36000元，当且仅当110≤x ≤150.再由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.1，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T 不少于36000元的概率的估计值． 本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义，是中档题．20.答案：解：(1)在RT △BOF 2中，∠BF 2O =60°，计算得：b =√3c ，a =2c由S △ABF2=12(a −c)b =√32， 计算得a =2，b =√3，c =1，所以椭圆标准方程为x 24+y 23=1，证明：(2)由题意，当直线MN 的斜率不存在，此时可设M(x 0,x 0)，N(x 0,−x 0).又MN 两点在椭圆C 上，所以x 024+x 023=1，x 02=127．所以点O 到直线MN 的距离d =√127=2√217． 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y =kx +m ．由{x 24+y 23=1y =kx +m消去y 得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0． 由已知△>0，设M(x 1,y 1)，M(x 2,y 2).所以x 1+x 2=−8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2．因为OM ⊥ON ，所以x 1x 2+y 1y 2=0．所以x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=0，即(k 2+1)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0．所以(k 2+1)4m 2−123+4k 2−km ×8km 3+4k 2+m 2=0．整理得7m 2=12(k 2+1)，满足△>0．所以点O 到直线MN 的距离d =√k 2+1=√127=2√217为定值．解析：(1)在RT △BOF 2中，∠BF 2O =60°，计算得：b =√3c ，a =2c ，由S △ABF2=12(a −c)b =√32，可计算得a =2，b =√3，c =1，从而可求椭圆标准方程．(2)分情况进行讨论：由题意，当直线MN 的斜率不存在，此时可设M(x 0,x 0)，N(x 0,−x 0)，再由A 、B 在椭圆上可求x 0，此时易求点O 到直线MN 的距离；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y =kx +m ，代入椭圆方程消掉y 得x 的二次方程，知△>0，由OM ⊥ON ，得x 1x 2+y 1y 2=0，即x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=0，整理后代入韦达定理即可得m ，k 关系式，由点到直线的距离公式可求得点O 到直线MN 的距离，综合两种情况可得结论，注意检验△>0．本题主要考查椭圆标准方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力． 21.答案：解：(1)f′(x)=lnx −1，令f′(x)=0，解得：x =1e ．当x ∈(0,1e )时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x ∈(1e ,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．因为t >0，t +2>2>1e ，①当0<t <1e 时，f(x)min =f(1e )=−1e ；②当t ≥1e 时，f(x)min =f(t)=tlnt ，所以f(x)min ={−1e ,0<t <1e tlnt,t ≥1e ； (2)若函数g(x)=(−x 2+ax −3)⋅e x −2e x ⋅f(x)在[1e ,e]上有两个零点，即a −(x +3x )=lnx 在[1e ,e]上有两个零点，令m(x)=a −(x +3x )≤a −2√3，(当且仅当x =√3时取“=”)，令n(x)=lnx ，则−1≤n(x)≤1，故只需−1≤a −2√3≤1，解得：2√3−1≤a≤2√3+1．解析：(1)本小题首先根据函数的导函数f′(x)，通过其分析函数f(x)的单调性，从而可得其在区间[t,t+2]，(t>0)上的单调性，然后可求其最小值；(2)问题转化为a−(x+3x )=lnx在[1e,e]上有两个零点，令m(x)=a−(x+3x)，令n(x)=lnx，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．22.答案：解：(1)曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0,2π)．转换为直角坐标方程为：x2+y2−2y=0．(2)过极点O和点M的直线与曲线C相交所得弦长为√3，即：ρ=√3，故：ρ=2sinβ，解得：β=π3或2π3因为曲线C的圆心的极坐标为(1,π2)，所以：∠MCO=2π3，所以：直线OM将曲线C分成的两段弧长之比2：1或1：2．同理：当β=2π3时，曲线C分成的两段弧长之比2：1或1：2．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．23.答案：解：(1)由f(x+12)≥0得2m−|2x|≥0得−m≤x≤m，因为f(x+12)≥0的解集为{x|−1≤x≤1}，所以m=1．(2)证明：由(1)得1a +12b+14c=1，所以a+2b+4c=(1a +12b+14c)(a+2b+4c)=1+1+1+(2ba+a2b)+(4ca+a4c)+(4c2b+2b4c)≥3+2+2+2=9．当且仅当a=2b=4c时取等号，所以a+2b+4c≥9成立．解析：本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式的运用，考查推理论证能力，属于基础题．(1)由f(x+12)≥0得−m≤x≤m，结合题意可得m=1；(2)由(1)得1a +12b+14c=1，再利用基本不等式直接求证即可．。