理论力学第二章 质点组力学(1)
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第二章1-2质点组力学
例1、当质量为m的人在质量为M的车上行走时,如车与 地的摩擦可以忽略,已知人对地速度为v1,或已知人对车 的速度为v’, 试计算车对地的速度v2.设开始时人和车相 对地是静止的. 解: 由于重力和地面支持力抵 消,各种阻力忽略,故系统动量 守恒,如已知人对地速度为v1, 而开始时人和车相对地是静止
碰撞打击等动量守恒定律是物理学中最重要最普遍的定律之一它不仅适合宏观物体同样也适合微观领域例1当质量为m的人在质量为m的车上行走时如车与地的摩擦可以忽略已知人对地速度为v或已知人对车的速度为v试计算车对地的速度v
第二章
质点组力学
§2.1 质点组 导读
• 质点组
• 系统内力
• 系统外力 • 质心
1．质点组的内力和外力 设 有n个质点构成一个系统 第i个质点：
解： v= 2.5103 m/s vr= 103 m/s
设：头部仓速率为v1，容器仓速率为v2
(m1 m2 ) v m1v1 m2 v2 m1 ( v2 vr ) m2 v2
m1vr v2 v 2.17 103 m s 1 m1 m2 3 1 v1 v2 vr 3.17 10 m s
12 rC 6.8 10 mi
例2 求半径为 R 的匀质半薄球壳的质心. 解 在半球壳上取一圆环, 其质量
y
dm ds
Rsin θ
Rdθ
R
2 πR sin d
2
由于球壳关于 y 轴 对称，故 xC = zC = 0
z
2 πR 2
θ
O
dθ
Rcosθ
x
1 yC ydm m'
3 动量守恒定律 系统所受合外力为零时, 系统的总动量保持不变
理论力学第二章
内、外力之分是相对的。 三、质点系动力学研究方法
方法1 对质点系内每个质点建立运动微分方程，用计算机数值求解；
方法2 从整体上研究质点系存在哪些普遍规律（动量、角动量等）。
i1
M
质心系总动量的另一表达式
p miri MvC
二、质点系的动量定理
d n
dp
dti1
pi
dt
=0
dp
F (e)
dt
质点组总动量的变化与内力无关，内力只能改变组内各 质点的运动情况而不能改变整体的动量 。
三、质心运动定理 质心的加速度
ac
rc
n miri
i1
M
n miai
积分后即可计算出时间为 t 2mL F
因此当轻杆转过θ角度时杆的角速度为
2F mL
课本p92例题
例题、半径为r,质量为M的水平匀质圆盘可绕通过其圆心的铅
直轴转动。一个质量为m的甲虫，以相对圆盘速度为 v at
（ a 为常数）的规律沿圆盘的边缘爬行。开始时，两者都静止，
假设桌面光滑，试求甲虫爬行后，圆盘的角速度。
d
i
(1 2m ir 'i2)i
F ied r i'
i
F i(i)d r i'
rc
midri '
rc
i
d
miri ' 0
i
小结：
对固定点
dp
F (e)
dt
dJ
M(e)
dt
对质心
Mrc
F(e)
理论力学第二章质点组力学
(质心的运动就等于所有外力和 质量都集中在质心时质点的运动).
*质点组中质点运动定律 d ri ( e ) (i ) mi 2 F i F i dt ( e) (i ) d 2 rci mi 2 Fi Fi (mi r c) dt
2
roi f i 0
i
roi
:质点i相对于参考点o的位矢
③在质点组中,内力所作元功之和一般不能互相抵消 (刚体例外).
*表明在计算质点组的运动、动量和动量矩时不必考虑内力 的作用. 但在计算质点组的动能时,还应考虑内力所作之元功.
证明: (1)质点组中所有内力之和(矢量和)等于零。
(在质心系)
例 自然长度为 l ,劲度系数为 k 的弹簧，两端连结质量为m的质点，静置在 光滑水平面上。在t=0时,质点2获一向右速度 v0 ,讨论其后运动。
解 这是两质点的质点组。选择静系为ox.
1 x 质心在静系的位置为 c 2 ( x1 x 2 ) 1 x ( 0 ) ( x10 x 20 ) 且设t=0时x10 =a,x20=b c 2
0
ri fi 0
i
(3)在质点组动能定理中，内力所作元功之和一般不能互相抵 消的证明:
则
i i dw i f 12 dr d r2 1 f 21 i = f 21 d r2 r1 i = f 21 dr i =- f 12 dr
对任何一对质点间的相互作用力,由牛顿第三定律知:
fij f ji fij f ji 0
fij
n (i ) F i
f ij 0
理论力学填空与单选题集
第一章 质点力学填空1. 已知某质点沿x 轴的运动学方程为) cos()(t A t x ω=，其中ω ,A 为常数, 则其沿x 轴的速度分量为v x (t ) =__________, 加速度分量a x (t ) =______________.2. 质量为m 的质点受力F的作用沿x 轴的负方向运动，若已知力沿x 正向的分量为)(x F , 则质点的沿x 轴的运动微分方程为_____________.3. 质量为m 的质点在空中下落时，受到空气阻力的大小正比于其速率的平方，比例系数为k. 现采用竖直向上为正方向的一维x 坐标系描述该质点的运动，则其下落的运动微分方程为_________.4. 杆AB 的两端分别被限制在水平和竖直的导槽Ox 和Oy 上滑动（如图）。
M 为杆上一点，且已知AM=a, BM=b. 设θ=∠OBA 。
则在图示坐标系下，M 点的轨道方程为_________________.5. 质点在平面内运动，采用平面极坐标),(θr 描述，则其速度的径向分量表示为=r v _______，横向分量表示为=θv _________.6. 质点在平面内运动，采用平面极坐标),(θr 描述，则其加速度的径向分量表示为=r a _________，横向分量表示为=θa __________.7. 质点在平面内运动，采用平面极坐标描述，已知其运动学方程为Bt e r At==θ,，其中A , B 为常数, 则其速度的大小v =_________., 加速度的大小a =____________.8. 质点在空间运动，其速率保持为常数v . 在轨道上某处曲率半径为ρ，则在该处质点的切向加速度分量=τa _______, 法向加速度分量=n a ___________.9. 已知河流速率为1v ，且沿河宽不变. 一小船以相对于水的速率2v 始终朝着岸上A 点行驶. 如图所示，采用平面极坐标描述，则小船的绝对速度的径向分量为__________，横向分量为__________.10. 某船向东航行，速率为15km/h. 另一船以同样的速度向北航行. 两船的相对速率是__________km/h.11. 光滑楔子以匀加速度0a沿水平面向右运动，同时质量为m 的质点在其斜面上运动，则该质点所受惯性力可表示为___________.12. 力的作用线如果恒通过空间某一定点，则此力称为 有心力 , 该定点称为 力心 13. 质点在有心力场中的势能为r k r V /)(=，k 为常数. 则质点所受有心力=)(r F ______.14. 质点受到引力2)(r kr F =作用，k 是常数. 取无穷远处为势能零点，则势能=)(r V __________. 单选1. 在极坐标系下，下列哪一式表示的是质点的运动学方程( )A. )(θθf d dr= B. )(θr r = C. ⎩⎨⎧==)()(t t r r θθ D. 0),(=θr f 2. 采用极坐标系),(θr 描述质点的运动，其加速度的横向分量表达式为( )A. r a r =B. 2θ r r a r -= C. θθr a = D. θθθ r r a 2+= 3. 采用极坐标系),(θr 描述质点的运动，其加速度的径向分量表达式为( )A. r a r =B. 2θ r r a r -= C. θ r a r = D. θθ r r a r2+=4. 以下关于自然坐标系的说法错误的是( ) A. 自然坐标系的坐标变量称为弧坐标B. 自然坐标系只能描述质点运动轨道上的点C. 內禀方程是只能在自然坐标系下成立的方程D. 弧坐标随时间变化，只会增大，不会减小5. 对于一个相对于惯性参考系作匀速直线运动的参考系，它的内部所发生的一切力学过程，都不受参考系本身匀速直线运动的影响. 这一原理称为( )A. 爱因斯坦相对性原理B. 伽利略相对性原理C. 牛顿相对性原理D.惯性定律6. 若某场力F 是保守力，则F必定满足( )A. 0=∇FB. 0=⨯∇FC. 0=⋅∇FD. 02=∇F7. 下列哪一条，不是场力F为保守力的判据( )A. 该场力沿任何闭合路径做功为零B. 该场力沿任何路径所做功的大小，只取决于路径的初末位置.C. 该场力构成的力场的梯度F∇为零.D. 存在某标量函数)(r V , 满足F r V=∇)(.8. 质点在有心力作用下运动，下列哪一条描述是错误的( ) A. 质点的机械能必定守恒.B. 质点对力心的动量矩必定守恒.C. 质点做的必定是平面运动.D. 质点的运动轨道必是圆锥曲线.9. 下列哪一条不是质点在有心力作用下运动的基本性质( )A. 机械能守恒.B. 动量矩守恒.C. 动量守恒.D. 做平面运动10. 行星绕太阳做椭圆运动，太阳视为静止不动，无穷远处为势能零点，下列说法错误的是( )A. 行星的机械能0<E ，且守恒B. 太阳位于椭圆的一个焦点上C. 在远日点行星的速度达到最大D. 行星对太阳中心的动量矩是守恒的.11. 质量为m 的质点在空中下落时，受到空气阻力的大小正比于其速率的平方，比例系数为k . 现采用竖直向上为正方向的一维x 坐标系描述该质点的运动，则其下落的运动微分方程为( )A. mg x k x m +=2B. mg x k xm -=2C. mg x k x m --=2D. mg x k xm +-=212. 某质点在平面极坐标系下的运动方程为cte r =，bt =θ，其中b, c 均为常数. 则其加速度的横向分量为( )A ．r b c )(22- B. r b c )(22+ C. bcr 2 D. br13. 下列关于惯性系的说法错误的是( )A. 牛顿定律能成立的参考系是惯性参考系B. 相对于惯性系做匀速直线运动的参考系都是惯性系C. 惯性系的定义隐含在牛顿第一定律中D. 惯性系中的物体还受到惯性力 *******************************第二章 质点组力学填空1. 含N 个质点的质点组，质点i 的质量记为i m ，位矢记为i r，N i ,...,2,1=. 则质心的位矢=C r_________2. 两质点的质量分别为1m 和2m ，速度分别是1v 和2v，则由此两质点构成的质点组的质心的速度为=C v________.3. 两质点的质量分别为1m 和2m ，构成质点组，相对于质心的速度分别为1v ' 和2v ', 则='+'2211v m v m________. 4. 含N 个质点的质点组，质点i 的质量记为i m ，位矢记为i r ，速度记为i v，N i ,...,2,1=,则该质点组对参考点的总动量矩=J_________.5. 柯尼希定理说的是：质点组的动能等于_______的动能与________的动能之和.6. 质量分别为M 和m 的两质点构成两体系统，此系统的折合质量=μ .7. 质点组中质点i 与质点j 之间的内力记为ij f , 相对位矢记为ij r，则=⨯ij ij r f _______.8. 两体碰撞，若动能守恒，则这种碰撞称为_______碰撞.9. 均匀扇形薄片，半径为a ，所对圆心角为θ2，则其质心C 到圆心O 的距离为______.单选1. 关于质点组的内力，所述正确的是( ) A. 质点组的内力做功之和必为零 B. 质点组的内力之和为零C. 质点组的内力对质点组的动能没有影响D. 质点组的内力对质点组的势能没有影响2. 下列关于质点组质心的说法错误的是( )A. 质心即质量中心，它是质点组内确实存在的一个的质点.B. 质心的动量等于整个质点组的动量C. 质心相当于是在质点组外力之和的作用下运动D. 根据质心的运动定理，质心相当于一个集中了质点组总质量的质点3. 对质点组的总动量描述错误的是 ( ) A 是所有质点的动量的矢量和 B. 等于质点组质心的动量C. 对时间的变化率等于质点组所受外力之和D. 质点组的内力对总动量也有影响.4. 如果一个质点组不受任何外力，则下列描述错误的是( ) A. 质点组的质心做惯性运动 B. 质点组动量守恒 C. 质点组的角动量守恒 D. 质点组机械能守恒5. 在质心系中观察质点组的运动，则下列说法错误的是( )A. 质点组的总动量为零B. 惯性力对质点组的动量矩定理有影响C. 惯性力对质心的总力矩无贡献D. 惯性力对质点组的动能定理无影响6. 若质点组所受外力矢量和为零，则下列说法错误的是( ) A. 质心做惯性运动 B. 质点组动量守恒C. 质点组动量矩守恒D. 质点组动量是个常矢量*************************************************第三章 刚体力学填空1. 刚体以角速度ω 绕某定点O 转动，其上某质点P 相对于O 的位矢为r，则该质点P 的线速度为=v________.2. 若某空间矢量G 大小不变，而方向以角速度ω绕空间某定点O 转动，则=dtG d__________.3. 作用在刚体上的任意力系总可简化为通过某定点P 的一个单力F 及一力偶矩为M的力偶. 此定点P 叫做__________,4. 把作用在刚体上A 点的力F平移到其作用线外另一点B , 则与原作用效果相比，会多出一个附加力偶，设r是A 相对于B 的位矢，则此力偶的力偶矩=M_________. 5. 一轮的半径为r ，以匀速0v 沿一直线做纯滚动，则轮缘上最高点的速率为_________. 单选1. 下列关于描述刚体运动所需的独立坐标变量数目，叙述错误的是 ( ) A. 一般运动需要六个独立坐标变量 B. 平动只需要一个独立坐标变量 C. 定点转动需要三个独立坐标变量 D. 定轴转动只需要一个独立坐标变量2. 若某空间矢量G 大小不变，而方向以角速度ω绕空间某定点O 转动，则dtG d等于( )A. G ⋅ωB. ω ⋅GC. G⨯ω D. ω ⨯G3. 下列对力偶描述错误的是( )A. 力偶是一对大小相等、方向相反、但作用线不同的力构成的B. 构成力偶的两力的矢量和为零C. 力偶矩的大小依赖于矩心的选择D. 力偶矩的方向总是垂直于力偶面4. 在主轴坐标系下研究刚体的动力学，下列哪一条叙述是错误的( ) A. 对坐标轴的转动惯量均为常数 B. 对坐标轴的惯量积均为零 C. 惯量系数均为常数.D. 惯量张量被简化为单位矩阵5. 某时刻平面平行运动的平板上，如果有一质点的速度为零，则该点是( ) A. 基点 B. 简化中心 C. 质心 D. 瞬心***********************************第四章 转动参考系填空1. 科里奥利加速度是由______运动与________运动相互影响所产生的.2. 一平板绕通过定点O 且垂直于板面的轴线以角速度ω转动，某一时刻一个小虫爬到板上P 点，相对于板面的速度为v ' . 已知P 点相对于O 的位矢为r，则小虫的绝对速度为________.3. 当质点在非惯性系中处于平衡时，主动力、约束反力和由牵连运动而引起的惯性力的矢量和为零，我们通常把这种平衡叫做___________.4. 北半球一条河流自南向北流，根据科里奥利力判断， 岸的冲刷程度较大.5. 一平板绕垂直于板面的轴以角速度ω 转动，一个质量为m 的小物体以相对速度v '在板面上移动，则该物体所受科里奥利力为 .6. 在南半球地面附近自南向北的气流，受科里奥利力影响，有朝_____的偏转. 单选1. 一个平板绕通过板上O 点、且垂直于自身板面的固定轴以角速度ω转动，一只蚂蚁在平板面上爬动，它相对于平板的速度为v ' ，相对于O 点的位矢为r，则蚂蚁的绝对速度为( )A. ω ⨯+'=r v vB. r v v ⨯+'=ωC. ω ⨯=r vD. r v v⨯-'=ω2. 转动参考系以角速度ω转动，一小物体相对转动参考系的速度为v '，则该物体的科氏加速度为( )A. v '⨯ ω2B. ω ⨯'v 2C. v '⋅ ω2D. ω⋅'v 23. 转动参考系以角速度ω转动，一质量为m 小物体相对转动参考系的速度为v '，则该物体所受的科氏力为( )A. v m '⨯ ω2B. ω ⨯'v m 2C. v m '⨯- ω2D. ω ⨯'-v m 24. 一个平板绕通过板上O 点、且垂直于自身板面的固定轴以角速度ω转动，一个蚂蚁在 平板面上爬动，则蚂蚁的绝对速度为r ωv v ⨯+'=，对此问题描述错误的是( ) A. r 是蚂蚁相对于转动定点O 的位矢, 绝对速度dt d /r v =B. 牵连点是平板上被蚂蚁占据的点, r 是牵连点相对于转动定点O 的位矢 C v '是相对速度，r ω⨯是牵连速度D. dt d /v '是相对加速度，dt d /)(r ω⨯是牵连加速度.5. 一质点在转动参考系中处于相对平衡状态，则以下判断错误的是( ) A. 该质点的相对速度为零 B. 该质点不受科里奥利力 C. 该质点的相对加速度为零D. 该质点的绝对加速度这时等于科里奥利加速度6. 北半球原本由北向南的贸易风，由于受到科氏力的作用，产生了偏移而变成了 ( ) A. 东风； B. 东北风； C. 西北风； D. 西南风。
理论力学质点力学课件
五、理论力学的适用范围 1.物体运动的速度远少于光速 2.宏观物体（天体---原子） 作用量=能量x时间>>h=6.602X10^(-34)（JS）
8
参考书
❖ 郭士堃：《理论力学》上、下册 ❖ H.戈德斯坦（美）：经典力学 ❖ 费恩曼 （Feynman)：《物理学讲义.第一卷） ❖ 汪家訸：分析力学 ❖ 理论力学习题集
18
加速a 度 表 x 示i ： y j z k a x i a y j a z k
加速度分量为：
a x x a y y
a z z
加速率表示：
a ax2 a2y az2
19
20
21
y
径向单位矢量：i
横向单位矢量：j （指向极角的 增加方向） rri
v dr drir irdiO
求 v,a, 。
35
例 求平抛物体任一时刻t的轨道曲率半径。
解：如图,平抛物体的运动方程为：
x v0t
y 1 gt2 2
O
v0
则，速率 v x 2y 2v0 2g2t2
•( x, y)
x
切向加速度
dv
g2t
a
dt
v02 g2t2
y
加速度大小 a x2y2 g
由法向加速度
an a2a2 v2
v2an
自然坐标系
s f (t)
从运动方程中消去时间 t，就得到轨迹方程
f(x,y,z)=0。
14
(Displacement, velocity and acceleration)
z
位移 (displacement)：
B
r
r r C
O rA
理论力学基础知识
《理论力学教程》基础知识第一章 质点力学1. 在求解平面曲线运动问题时，可采用平面极坐标系，常将速度矢量分解为径向速度和横向速度，其表达式分别为：rv r =；θθ r v =；将加速度矢量分解为径向加速度和横向加速度，其表达式分别为2θ r r a r -=； θθθ r r a 2+=。
第2题图2. 求解线约束问题，通常用内禀方程，它的优点是运动规律和约束反作用力可以分开解算，这套方程可表示为，切向：τF dtdv m =；法向：n n R F v m +=ρ2；副法向：b b R F +=0。
3. 试写出直角坐标系表示的质点运动微分方程式x F x m =、y F y m = 、z F z m = 。
4. 质点在有心力作用下，只能在垂直于动量矩J 的平面内运动，它的两个动力学特征是：（1）对力心的动量矩守恒；（2）机械能守恒。
5. 牛顿运动定律能成立的参考系，叫做惯性系；牛顿运动定律不能成立的参考系，叫做非惯性系，为了使得牛顿运动定律在此参考系中仍然成立，则需加上适当的惯性力。
6. 在平面自然坐标系中，切向加速度的表达式为dtdv a =τ，它是由于速度大小改变产生的；法向加速度的表达式为ρ2v a n =，它是由于速度方向改变产生的。
7. 质心运动定理反映了质点组运动的总趋势，而质心加速度完全取决于作用在质点组上的外力，而内力不能使质心产生加速度。
第8题图8. 一质量为m 的小环穿在光滑抛物线状的钢丝上并由A 点向顶点O 运动，其建立起的运动微分方程为：θsin mg dt dv m =；θρcos 2mg R v m -=。
注：此题答案不唯一。
第9题图9．一物体作斜抛运动，受空气阻力为v mk R -=，若采用直角坐标系建立其在任意时刻的运动微分方程为：x x mkv dtdv m -=；y y mkv mg dt dv m --=；若采用自然坐标系建立其在任意时刻的运动微分方程为：θsin mg mkv dtdv m--=； θρc o s 2mg v m =。
理论物理习题集（ＰＤＦ）
理论力学习题集第一章：质点力学1.1 将质量为m 的物体铅直抛上于有阻力的媒质中，设阻力与速度平方成正比，即，如掷上时的初速度为，试证此物体又落至投掷地时的速度为： 22xg mk R &±=0v )1(20221v k v v +=1.2 一质量为m 的质点，受一与距离成反比的吸力作用在一条直线上运动，比例系数为k。
如此质点从距原点O 为a 的地方由静止开始运动，求其到达0点所需的时间。
答：km a2π1.3 一质量为m 的质点，受引力作用在一直线上运动，当a x ≥时引力值为，当22/x a m μa x ≤时引力值为a x m /μ，式中x 是相对于线上某一固定（取为原点）的距离。
如质点在离原点2a 处从静止出发，证明到达原点时的速度为a μ2；并证明到达原点的时间为： 2/1))(431(μπa +1.4 如质点受有心力作用而作圆θcos 2a Y =的运动时，则2285r h ma F −=，试证明之。
1.5 质点所受的有心力如为)(322rvr m F +−=μ，式中v 及μ都是常数，且，则其轨道方程可写成2h v <θk e ar cos 1+=，试证明之。
式中22222222,a h v =−2,μμh Ak e h k h k ==（A 为积分常数）1.6 如行星突然在其轨道上某处停止运动（假定轨道为圆形），则将被吸引而至太阳，所需时间为原有周期的8/2倍，试证明之。
1.7质点在有心力作用下运动。
此力的大小为质点到力心距离r 的函数，而质点的速度则与此距离成反比，即r a v /=，求点的轨迹。
答：θhh a r r 220ln −±=（对数螺旋） 1.8如向互相垂直的均匀电磁场E r ，H r中发射一电子，设电子的初速度与v rE r 及H r 垂直，试求电子的运动规律。
已知电子此时所受的力为H v c e E e r rr ×+)/(，式中e 为电子所带的电荷，c 为光速，为任一瞬时电子运动的速度。
理论力学课件 第二章质点组力学讲解
心重合。
重心：质点系所受重力的合力的作用点。
（3）对于只有两个质点所组成的质点组 而言，其质心位置在质点1与质点2这两点连 线上，质心与质点1、2的距离反比于质点1、 2的质量。
例1 一凹底的圆锥体，由高为h、底面半径为 R的匀质正圆锥体自底面挖去高为d（d<h）的 共轴圆锥而成。求此凹底圆锥体的质心位置。
v
2 y
V
1 m(2M m) cos2
(M m)2
tan vy (1 m ) tan
vx
M
故由于炮车反冲 v V 而 。
例3 一个重量为P的人,手拿一个重为Q的物
体到最,以高与时水，平将线物成体α以角相的对速于度他v自0向己前的跳速。度当他u跳
水平向后抛出。问由于物体的后抛使人的跳远 的距离增加了多少？
m m
4 V v 4
zc
h
s
(3h d ) 4
§2.2 动量定理与动量守恒律
一、动量定理
假设由n个质点所组成的质点组，其中某一
个O的质位点矢的为质r量i ，为作m用i，其对上某的惯诸性力参的考合系力坐为标原点
Fi Fi(i) Fi(e)
质点pi的运mi 动dd2t微r2i 分F方i(i) 程Fi(e)
本章重点研究内容
〈一〉质心及质心运动定理 〈二〉动量定理及其守恒律 〈三〉动量矩定理及其守恒律 〈四〉动能定理、机械能守恒律 〈五〉两体问题、变质量问题
§2.1 质点组的基本概念
一、质点组的内力和外力 质点组：由许多（有限或无限）相互联系
着的质点所组成的系统。
内 力：质点组内质点间的相互作用力。
外 力：质点组外的物体对质点组内质点
力学讲义-2质点动力学
K dr
≠
0
势能：保守力所作的功等于势能函数的减少（即势能增量的负值），即
重力势能为
A = −ΔEP
Ep = mgh （以 h = 0 处为势能零点）
弹性势能为
EP
=
1 2
kx2
万有引力势能为
（ k 为劲度系数，以弹簧原长处为势能零点）
EP
=
−G
m′m r
（以 r = ∞ 处为势能零点）
机械能守恒定律：若作用于系统的外力和非保守内力都不对系统作功或作功之和为
以摩擦力作功为变力作功，而从开始到链条离开
桌面，可由功能原理求得离开桌面的动能，从而求得速率。
解
（1） 建立坐标如图 2-3(b)所示，设任意时刻，链条下垂长度为 x，则摩擦力大小为
f = μ m (l − x)g l
摩擦力的方向与位移方向相反，故整个过程中摩擦力作功为
（1）
6
∫ ∫ Af
=
l f cos180o dx =
⋅
l 2
Ek
=
1 mυ 2 2
Ek0 = 0
将（3）、（4）、（5）、（6）、（7）代入（2）得
− μmg (l − a)2 = −mg l + 1 mυ 2 + mg a 2
2l
22
2l
解得
（4） （5） （6） （7）
υ = [l 2 − a 2 − μ (l − a)2 ]g L
（8）
【方法要略】 此题的关键是正确写出变力作功的表达式，求得摩擦力作的功；然后应
【知识扩展】 由上式结论知，当 t → ∞ ，υ → 0 ，其原因为，摩擦力与正压力 N 成正
比，而 N 与速度平方成正比，随着 t 增大，速度越来越小，但正压力也变小，随之摩擦力变
理论力学第2章质点组力学ppt课件
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25
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26
和
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27
举例
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28
§2.4 动能定理与机械能守恒定 律
1 质点组的动能定理
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30
刚体情形
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31
2 机械能守恒定律
▪ 对质点组来讲，内力所作的功之和一般并不 为零，所以，若只有外力是保守力而内力并 不是保守力，质点组的机械能并不守恒；
54
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举例
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56
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58
2 火箭原理
时间关系不讲， 若有兴趣请自己看书
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59
作业8讲解
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60
第15讲到此结束
最
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10
§2.2 动量定理与动量守恒定律
1 质点组动量定理
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12
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13
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14
2 质心运动定理
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15
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16
3 动量守恒定律
（3）由于 pmvC
，所以质心作惯性运动。
（4）如果合外力在某轴投影为零，则动量投影为常量。
i 1
i 1
i 1
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35
小结
▪ 质点组的三个动力学基本定理在分量形式下 一共有七个方程，和它们相关的守恒律成立 时也是这样。
▪ 但由于质点组的独立变量通常都大于七，所 以这些方程并不能用来确定质点组中每一质 点的运动，而只能由它们得出运动总的趋向 和某些特征，特别是与质心有关的总的特征。
理论力学第二章-PPT精品
• §2.1 有心力和有心运动
– 如果运动质点受到的力及其作用先总是通过 惯性系中的某一固定点，这样的力(场)叫做 有心力（场），力所指向或背向的固定点叫 做力心，指向力心的有心力叫做引力，背向 力心的是斥力。
– 有心力的量值，一般只是力心与质点间距离 r 的函数，在有心力作用下质点的运动叫做 有心运动。
有心力是保守力，质点在运动过程中，其总的机械
能守恒
ETV12m(rm)2krm 2
rm2h
p rm1e
m2h pk2
r p
1ecos
E2m k42(h e21)
2m2h e1k4 E
质点的总 机械能与 轨道偏心 率的关系
e<1, 则 E<0, 则轨道为椭圆 e=1, 则 E=0, 则轨道为抛物线 e>1, 则 E>0, 则轨道为双曲线
进行变换 u 1 r
将
r h du
d hu 2
代入 r r 2 F(r)
m
r
h
d 2u
d 2
h 2u 2
d 2u
d 2
mh2u2(d2uu)F(u)
d2
有心运动的轨道微分方程 --- Binet （比内)公式
p
mh2
p
u2
mh2
p
1 r2
§2.2 距离平方反比引力下的质点运动
•
距离平方反比引力形式
k2 GMm
F
k2 r2
er
er
作变量代换 u 1 r
F(r)F(u)k2u2
d2u u k2
理论力学(周衍柏)第二章质点组力学.
⑵ 机械能守恒定律
如果作用在质点组上的所有外力不做功及内力都是保守力 （或其中只有保守力作功）时，才机械能守恒。
T V E
⑶柯尼希定理
质点组动能 ' 1 T= mi rc ri 2 i 1
n n 2 n 2
n ' 1 1 mi rc mi ri rc mi ri 2 i 1 2 i 1 i 1 n ' 1 1 m rc mi ri rc mi ri 2 2 i 1 i 1 n 2 2 '
(i ) (e) 1 2 d ( mi ri ) dTi Fi dri Fi dri 2 其中, ri 是质点的速度, dri 则是它的位移。
对i求和
n
n n 1 2 ( i ) (e) d ( mi ri ) Fi dri Fi dri i 1 2 i 1 i 1
t2
t1 t2
M ox dt M oy dt M oz dt
t1 t2
t1
⑵动量矩守恒定律
① 如果作用在质点组上的诸外力在某一固定点的合力矩为零,即
② 如果 ，但对通过原点的某一标轴(设为x轴)上 的合力矩为零,则该方向动量矩守恒。
M ox 0 yi Fiz e zi Fiy e 0,
(e) xi Fiz (e) yi Fix
(e) iy
dJ y dJ x dJ 即 M ox , M oy , z M oz dt dt dt
质点组的动量矩的积分形式 t2
t1
J 2 J1 Mdt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
质点组力学解析.pptx
2、 部分守恒
条件
n i 1
F (e) ix
0
dpx dt
0
n
或 px mivix mvcx 常数 i 1
因而，在这一情形下，虽然质点组的动量并不是一个恒矢量，但它在 这一轴（现在 x 轴）上的投影却保持为常数，或者说，质点组质心的 速度，在这一轴上的投影为一常数，亦即我们得到了一个第一积分， 在解算具体问题时，常常要用到这个关系。
zi Fiy(e) )
d
dt
n
mi (zi xi
i 1
xi zi )
n
(zi Fix(e)
i 1
xi Fiz(e) )
d
dt
n
mi (xi yi
i 1
yi xi )
n
(xi Fiy(e) yi Fix(e) )
i 1
（2.3.6）
第20页/共69页
（2）动量矩守恒律
1、全部守恒 如果所有作用在质点组上的外力对某一固定点 O 的合力矩为零，即
第9页/共69页
式中
d 2rc dt 2
是质心的加速度。方程（2.2.9）表明，质点组质心的运动，
就好像一个质点的运动一样，此质点的质量等于整个质点组的质量，作用 在此质点上的力，等于作用在质点组上所有诸外力的矢量和，这就是质心 运动定理。
第10页/共69页
（3）动量守恒律
1、 全部守恒：条件
以
F (i) i
表之；另一为外力，以
F (e) i
表之。由牛顿运动第二定律，得质
点 pi 的运动微分方程为
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mi
d 2ri dt 2
F (e) i
F (i) i
理论力学第二章 质点组力学习题(带答案解析)
《理论力学》第二章质点组力学一、单选题（共14题）1、对功的概念有以下儿种说法:()①保守力作正功时,系统内相应的势能增加②质点运动经一闭合路径,保守力对质点作的功为零.③作用力和反作用力大小相等、方向相反,两者所作功的代数和必为零.A、①、②是正确的B、②、③是正确的C、只有②是正确的D、只有③是正确的正确答案：C解析：①错(保守力作正功时,系统相应的势能减少)。
③错.(作用力和反作用力虽然大小相等、方向相反,但两者所作功的代数和不一定为零;而等于力与两者相对位移的乘积。
)2、一小球在竖直平面内作匀速圆周运动,则小球在运动过程中:()A、机械能不守恒、动量不守恒、角动量守恒;B、机械能守恒、动量不守恒、角动量守恒;C、机械能守恒、动量守恒、角动量不守恒;D、机械能守恒、动量守恒、角动量守恒。
正确答案：A解析：小球在竖直平面内作匀速圆周运动,其动能不变,势能改变,所以机械能不守恒。
小球在运动过程中,速度方向在改变,所以动量不守恒。
由于小球作匀速圆周运动,它所受的合力指向圆心,力矩为零,所以角动量守恒。
3、甲、乙、丙三物体的质量之比是1:2:3,若它们的动能相等,并且作用于每一物体上的制动力都相同,则它们制动距离之比是:()A、1:2:3B、1:4:9C、1:1:1D、3:2:1正确答案：C解析：由动能定理可知三个制动力对物体所作的功相等;在这三个相同的制动力作用下,物体的制动距离是相同的.4、如图的系统,物体A,B置于光滑的桌面上,物体A和C,B和D之间摩擦因数均不为零,首先用外力沿水平方向相向推压A和B,使弹簧压缩,后拆除外力,则A和B弹开过程中,对A、B、C、D和弹簧组成的系统()A、动量守恒,机械能守恒;B、动量不守恒,机械能守恒;C、动量不守恒,机械能不守恒;D、动量守恒,机械能不一定守恒.正确答案：D解析：桌面光滑,A、B、C、D和弹簧组成的系统不受外力,动量守恒;在A和B弹开过程中,物体A和C,B和D之间摩擦因数均不为零,一定存在摩擦力,如果A、C或B、D之间没发生相对位移,摩擦力不做功,则机械能守恒,若发生了相对位移,摩擦力做负功,机械能不守恒。
2023大学_理论力学教程第三版(周衍柏著)课后答案下载
2023理论力学教程第三版(周衍柏著)课后答案下载理论力学教程第三版内容简介绪论第一章质点力学1.1 运动的描述方法1.2 速度、加速度的分量表示式1.3 平动参考系1.4 质点运动定律1.5 质点运动微分方程1.6 非惯性系动力学(一)1.7 功与能1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒定律1.9 有心力小结补充例题思考题习题第二章质点组力学2.1 质点组2.2 动量定理与动量守恒定律2.3 动量矩定理与动量矩守恒定律 2.4 动能定理与机械能守恒定律 2.5 两体问题2.6 质心坐标系与实验室坐标系 2.7 变质量物体的运动2.8 位力定理小结补充例题思考题习题第三章刚体力学3.1 刚体运动的分析3.2 角速度矢量3.3 欧拉角3.4 刚体运动方程与平衡方程3.5 转动惯量3.6 刚体的平动与绕固定轴的.转动 3.7 刚体的平面平行运动3.8 刚体绕固定点的转动__3.9 重刚体绕固定点转动的解__3.10 拉莫尔进动小结补充例题思考题习题第四章转动参考系4.1 平面转动参考系4.2 空间转动参考系4.3 非惯性系动力学(二)__4.5 傅科摆小结补充例题思考题习题第五章分析力学5.1 约束与广义坐标5.2 虚功原理5.3 拉格朗日方程5.4 小振动5.5 哈密顿正则方程5.6 泊松括号与泊松定理5.7 哈密顿原理5.8 正则变换__5.9 哈密顿-雅可比理论__5.10 相积分与角变数__5.11 刘维尔定理小结补充例题思考题习题附录主要参考书目理论力学教程第三版目录本书是在第二版的基础上修订而成的，适用于高等学校物理类专业的理论力学课程。
本书与第二版相比内容保持不变，仅将科学名词、物理量符号等按照国家标准和规范作了更新。
本书内容包括质点力学、质点组力学、刚体力学、转动参考系及分析力学等，每章附有小结、补充例题、思考题及习题。
理论力学_第二章质点组力学
n dpz d n e mi viz Fiz dt dt i 1 i 1
mi ri mrc
d ( m i ri ) p mi vi mi ri
i i
i
）
dt
i
d ( m rc ) mrc m v c dt
i 1
n
m
i
质心的位矢 rc 是质点组中各质点的位置 ri 以其质量 mi 为权
重的平均矢量。它可以代表质点组的整体位置。
质心位矢的分量形式为：
xc
m x
i 1 n i
n
i
m
i 1
yc
m y
i 1 n i
n
i
i
m
i 1
zc
m z
i 1 n
n
i i
i
m
i 1
点，这些点对某一指定的参照点 O 的位矢是 r , r2 ，„， rn ，则质心 C 对此 1
同一点的位矢 rc 满足以下关系：
y
yC
r3
m2
O
m3
r2
zC
z
rc
C
r1
m1
xC x
rc OC
mi ri
i 1 n
n
m
i 1
mi ri
虽然
3、对质心的动量矩定理
C系：随着C相对于S系平动 ri rc ri S系 y C系 y
ri
Pi
由n 个质点 组成的 质点
组中，任一质点Pi 在C系的
ri
d ri ( e ) ( i ) ) mi 2 Fi Fi ( mi rc dt 用ri 左矢乘方程两边，并对i 求和，得 2 n n n d ri (e) (i ) n mi (ri dt2 ) (riFi ) (riFi ) rc mi ri i 1 i 1 i 1 i 1
力学第二章质点运动学（ＰＤＦ）
2.1一、质点把所研究的物体视为无形状大小但有一定质量的点。
•能否看成质点依研究问题而定。
例：地球绕太阳公转:地球→质点地球半径＜＜日地距离6.4×103 km 1.5×108 km地球自转:地球≠质点•复杂物体可看成质点的组合。
二、位置矢量与运动方程1、位置矢量k z j y i x r v v v v ++=定义：从坐标原点O 指向质点位置P 的有向线段位置矢量的直角坐标分量：===++=r z r y r x z y x r γβαcos ,cos ,cos 222方向：大小：γβαP (x,y,z )r v z y xo2、运动方程k t z j t y i t x r vv v v )()()(++=矢量形式参数形式===)()()(t z z t y y t x x 3、轨道方程(轨迹)== → ===0),,(0),,()()()(z y x G z y x F t z z t y y t x x t 消去•要尽可能选择适当的参照物和坐标系，以使运动方程形式最简，从而减少计算量。
三、位移和路程O P P ’r ∆v )(t r v )(t t r ∆+v s ∆•••1、位移'()()r PP r t t r t ∆==+∆−v v v 2、路程'()()s PP s t t s t ∆==+∆−注意(1) 位移是矢量（有大小，有方向）位移不同于路程(2) 位移与参照系位置的变化无关r s ∆≠∆v 与Δr 的区别r v ∆分清O r v ∆r v∆O r∆••O PP ’r ∆v )(t r v )(t t r ∆+v s∆•••思考：什么情况下位移的大小等于路程？[例题]一质点在xOy平面内依照x= t 2 的规律沿曲线y = x3/ 320运动，求质点从第2 秒末到第4秒末的位移(式中t的单位为s；x，y的单位为cm)。
[解] ()()r r t t r t ∆=+∆−v v v 1212.6i j=+v v(cm)2121()()x x i y yj=−+−v v [()()][()()]x t t i y t t j x t i y t j =+∆++∆−+v v v v[()()][()()]x t t x t i y t t y t j=+∆−++∆−v v 66222121()()320320t t t t i j=−+−v v 662242(42)()320320i j =−+−vv 17.4 cm r ∆==v 与水平轴夹角Δarctan 46.4Δyx ϕ=o＝2.2一、速度O P P ’r∆v )(t r v )(t t r ∆+vs∆•••反映质点运动的快慢和方向的物理量1、速度的概念平均速度：平均速率:v v v v v r t r t t r t t==+−∆∆∆∆()()tt s t t s t s v ∆∆∆∆)()(−+==瞬时速度:瞬时速率:O P P ’r∆v)(t r v)(t t r ∆+vs∆•••vv v v =≠vv ,瞬时速度沿轨道切线方向2、速度的直角坐标分量()()()()::cos ,cos ,cos x y z y x z r r t x t i y t j z t kdr dx dy dz v i j k v i v j v k dt dt dt dt v v v v v v v αβγ==++==++=++ = ===v v v v vv v v v v v v v 大小方向101552r i tj t k=−++v v v v [例题]某质点的运动学方程为求：t = 0和1s 时质点的速度矢量。
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任何一对质点间相互作用的力恒相等而且 方向相反。
f ij f
ji
0
质点组中所有内力的和为零。
F
i
f ij 0
i j 1 j i
n
n
2014/3/13
第二章 质点组
3
(2) 质心
质心是质点组中的一个特殊的点，定义为
r C OC
（2）动量矩守恒定律
若
M 0
则
2014/3/13
dJ 0 dt
即
J 恒矢量
质点组动量守恒定律
19
第二章 质点组
若 M 0 ，但 M x 0 即 则
n i 1
zi Fiz zi Fiy ＝0
e e
J x mi yi zi zi yi ＝常数
理论力学
教材：周衍柏《理论力学教程》 编
北京交通大学理学院 教师：王波波
2014/3/13
第二章 质点组
1
第二章 质点组力学
§2.1 质点组
(1) 质点组的内力和外力
质点组：许多（有限或无限）相互联系着的 质点所组成的系统。 内力：质点组中质点间相互作用的力。 外力：质点组以外的物体对质点组内任一质点 的作用力。
mvc
n e d vc m Fi dt i 1
m v
i 1
n
i i
代入动量定理，得
或
2014/3/13
n e d 2 rc m 2 Fi dt i 1
第二章 质点组
质心运动定律
10
(3) 动量守恒律
若 则
F
i 1
n
e
i
0
dp 0 dt
p 恒矢量
或
2014/3/13 第二章 质点组 22
解： 对通过滑轮中心水平轴的动量矩
J mvr m ' v ' r
力矩
（ 1） （ 2）
M m ' gr mgr
由动量矩定理，得
d m ' m gr mv m ' v ' r dt
（ 3） （ 4）
23
即
n n i e d 2 ri r i mi 2 r i F i r i F i dt i 1 i 1 i 1 n
诸内力成对出现
2014/3/13
r F
i i 1
n
i
i
0
17
第二章 质点组
Байду номын сангаас
而
d 2 ri d d ri ri 2 ri dt dt dt
解：
子弹射入物体经历的时间很短， 水平方向动量守恒。
y
v
m
T
M
mv m M V
m V v mM
O
V
M mg
x
2014/3/13
第二章 质点组
15
[例 ] 解： 选m和M为系统 水平方向动量守恒
mvx MV
0 mvx M V
mvx dt MVdt
t
m vx dt M Vdt
因为
r ' m r r m r
i i i i C C i i i
n
n
n
i
' rC mr C ' 0
d 2 ri ' d n d ri ' r i ' mi r i ' mi 2 dt dt i i dt i i
2014/3/13 第二章 质点组 21
dpz d n n e mi viz Fiz dt dt i 1 i 1
2014/3/13
第二章 质点组
9
(2) 质心运动定律
有质心的定义式
rC OC
m r
i 1 n
n
i i
m
i 1
i
可得
m r
i 1 i
n
i
mr C
两边对时间微商
所以
dJ ' M' dt
质点组对质心的动量矩定理 [例] 具有水平轴的滑轮上悬有一根绳子，绳子的 两端距通过该轴水平面的距离为s与s’。两个 质量分别为m与m’的人抓着绳子的两端，他 们同时开始以匀加速度向上爬并同时到达滑 轮所在的水平面上。假定滑轮的质量可以忽 略，且所有的阻力也忽略不计，问需多久时 间，两人可以同时到达？ （P92）
• P150 • 2.1, 2.3, 2.5,
2.7
2014/3/13
第二章 质点组
25
对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元
rc
r m rdm
i i 1 i
n
m
m
例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。 y
（x1，y1）
mx 1 mx 2 x1 x 2 xc 3m 3
x
第二章 质点组
o
2014/3/13
x2
my 1 y1 yc 3m 3
mvx MU 0
又因为
V cos a U vx , V sin a v y
2014/3/13 第二章 质点组
（ 1）
（ 2）
13
由(1)、(2)可得
m U V cos a M m M vx V cos a M m v y V sin a
5
[例] 求如图所示的半圆形环的质心位置。
解：
yc
dm l dl
y dl
l
m
0
R sin l Rd
m 2 l R 2 2r R
2014/3/13 第二章 质点组 6
§2.2 动量定理与动量守恒律
(1) 动量定律 n个质点组成的质点组，其第i个质点的运动 微分方程为
vC 恒矢量
质点组的动量守恒定律
2014/3/13 第二章 质点组 11
若仅某方向的合外力为零
F ix 0
e i 1 n
则
dpx 0 dt
px 常数
即
或
vCx 常数
2014/3/13
第二章 质点组
12
例（P89）一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m， 炮身及炮车质量和等于M，炮车可以自由地在 铁轨上反冲。如炮身与地面成一角度a，炮弹 对炮身的相对速度为V，试求炮弹离炮身时对 地面的速度v及炮车反冲速度U。 解： 本题沿水平方向（设为x方向）无外力作用， 故水平方向动量守恒
2014/3/13
ma m ' a ' m ' m g
第二章 质点组
设t为共同到达所需的时间
2s 2s ' a 2 , a' 2 t t
（5）代入（4），得
（ 5）
2 ms m ' s ' t m ' m g
2014/3/13
第二章 质点组
24
作业
m r
i 1 n i
n
i
m
i 1
i
分量式
xC
m x
i 1 n
n
i i
m
i 1
yC
m y
i 1 n i
n
i
i
m
i 1
zC
m z
i 1 n
n
i i
i
m
i 1
i
求连续性物体的质心，上述求和要改为积分。
密度为常数的物体来讲，质心和几何中心重合。
2014/3/13 第二章 质点组 4
i 1
n
2014/3/13
第二章 质点组
20
（3）质点对质心的动量矩定理
z
ri
Pi
ri '
C
i e d 2 ri ' mi F i F i mi rC 2 dt
n
O
rC
y
x
n e d 2 ri ' n r i ' mi r i ' F i r i ' mi rC 2 dt i i i i i i
（ 3）
所以
v vx 2 v y 2 m 2M m 2 V 1 cos a m M
1 2
m tan 1 vx M
vy
tan a
故由于炮车反冲
2014/3/13
v V, a
第二章 质点组 14
[例] 冲击摆。
而
d 2 ri d n d ri d n dp m m m v i i i i 2 dt dt i 1 dt dt i 1 dt i 1
n
n
式中 p mi vi 是质点组的动量。
i 1
所以
d p n e Fi dt i 1
质点组动量定理
还可以写成
0 0
t
ms MS
s RS
第二章 质点组
s vx dt , S Vdt
0 0
2014/3/13
t
t
m S R mM
16
§2.3 动量矩定理与动量矩守恒律
（1）对固定点O的动量矩定理 n个质点形成的质点组
i e d 2 ri mi 2 F i F i dt
2014/3/13