理论力学第二章 质点组力学(1)

解：
子弹射入物体经历的时间很短， 水平方向动量守恒。
y
v
m
T
M
mv m M V
m V v mM
O
V
M mg
x
2014/3/13
第二章 质点组
15
[例 ] 解： 选m和M为系统 水平方向动量守恒
mvx MV
0 mvx M V
mvx dt MVdt
t
m vx dt M Vdt
2014/3/13 第二章 质点组 2
任何一对质点间相互作用的力恒相等而且 方向相反。
f ij f
ji
0
质点组中所有内力的和为零。
F
i
f ij 0
i j 1 j i
n
n
2014/3/13
第二章 质点组
3
(2) 质心
质心是质点组中的一个特殊的点，定义为
r C OC
d n d ri ri m dt i 1 dt n e ri F i i 1
所以
及
dJ M dt
质点组动量矩定理
d J Mdt
2014/3/13 第二章 质点组 18
分量形式
n d n e e m y z z y z F z F , i i i i i i iz i iy dt i 1 i 1 n d n e e m z x x z z F x F , i i i i i i ix i iz dt i 1 i 1 n d n e e m x y y x x F y F . i i i i i i iy i ix dt i 1 i 1
vC 恒矢量
质点组的动量守恒定律
2014/3/13 第二章 质点组 11
若仅某方向的合外力为零
F ix 0
e i 1 n
则
dpx 0 dt
px 常数
即
或
vCx 常数
2014/3/13
第二章 质点组
12
例（P89）一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m， 炮身及炮车质量和等于M，炮车可以自由地在 铁轨上反冲。如炮身与地面成一角度a，炮弹 对炮身的相对速度为V，试求炮弹离炮身时对 地面的速度v及炮车反冲速度U。 解： 本题沿水平方向（设为x方向）无外力作用， 故水平方向动量守恒
而
d 2 ri d n d ri d n dp m m m v i i i i 2 dt dt i 1 dt dt i 1 dt i 1
n
n
式中 p mi vi 是质点组的动量。
i 1
所以
d p n e Fi dt i 1
质点组动量定理
还可以写成
2014/3/13 第二章 质点组 22
解： 对通过滑轮中心水平轴的动量矩
J mvr m ' v ' r
力矩
（ 1） （ 2）
M m ' gr mgr
由动量矩定理，得
d m ' m gr mv m ' v ' r dt
（ 3） （ 4）
23
即
mvx MU 0
又因为
V cos a U vx , V sin a v y
2014/3/13 第二章 质点组
（ 1）
（ 2）
13
由(1)、(2)可得
m U V cos a M m M vx V cos a M m v y V sin a
对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元
rc
r m rdm
i i 1 i
n
m
m
例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。 y
（x1，y1）
mx 1 mx 2 x1 x 2 xc 3m 3
x
第二章 质点组
o
2014/3/13
x2
my 1 y1 yc 3m 3
2014/3/13
n e d p F i dt i 1
第二章 质点组 8
分量式
dpx d n n e mi vix Fix dt dt i 1 i 1 dp y d n n e mi viy Fiy dt dt i 1 i 1
i 1
n
2014/3/13
第二章 质点组
20
（3）质点对质心的动量矩定理
z
ri
Pi
ri '
C
i e d 2 ri ' mi F i F i mi rC 2 dt
n
O
rC
y
x
n e d 2 ri ' n r i ' mi r i ' F i r i ' mi rC 2 dt i i i i i i
因为
r ' m r r m r
i i i i C C i i i
n
n
n
i
' rC mr C ' 0
d 2 ri ' d n d ri ' r i ' mi r i ' mi 2 dt dt i i dt i i
2014/3/13 第二章 质点组 21
mvc
n e d vc m Fi dt i 1
m v
i 1
n
i i
代入动量定理，得
或
2014/3/13
n e d 2 rc m 2 Fi dt i 1
第二章 质点组
质心运动定律
10
(3) 动量守恒律
若 则
F
i 1
n
e
i
0
dp 0 dt
p 恒矢量
或
dpz d n n e mi viz Fiz dt dt i 1 i 1
2014/3/13
第二章 质点组
9
(2) 质心运动定律
有质心的定义式
rC OC
m r
i 1 n
n
i i
m
i 1
i
可得
m r
i 1 i
n
i
mr C
两边对时间微商
5
[例] 求如图所示的半圆形环的质心位置。
解：
yc
dm l dl
y dl
l
m


0
R sin l Rd
m 2 l R 2 2r R
2014/3/13 第二章 质点组 6
§2.2 动量定理与动量守恒律
(1) 动量定律 n个质点组成的质点组，其第i个质点的运动 微分方程为
n n i e d 2 ri r i mi 2 r i F i r i F i dt i 1 i 1 i 1 n
诸内力成对出现
2014/3/13
r F
i i 1
n
i
i
0
17
第二章 质点组
而
d 2 ri d d ri ri 2 ri dt dt dt
e i d 2 ri mi 2 F i F i , i 1, 2,3, dt
, n
求和
n n e i d 2 ri mi 2 F i F i dt i 1 i 1 i 1 n
2014/3/13
第二章 质点组
7
内力的总和为零，所以有
n e d 2 ri mi 2 F i dt i 1 i 1 n






（2）动量矩守恒定律
若
M 0
则
2014/3/13
dJ 0 dt
即
J 恒矢量
质点组动量守恒定律
19
第二章 质点组
若 M 0 ，但 M x 0 即 则

n i 1
zi Fiz zi Fiy ＝0
e e

J x mi yi zi zi yi ＝常数
所以
dJ ' M' dt
质点组对质心的动量矩定理 [例] 具有水平轴的滑轮上悬有一根绳子，绳子的 两端距通过该轴水平面的距离为s与s’。两个 质量分别为m与m’的人抓着绳子的两端，他 们同时开始以匀加速度向上爬并同时到达滑 轮所在的水平面上。假定滑轮的质量可以忽 略，且所有的阻力也忽略不计，问需多久时 间，两人可以同时到达？ （P92）
0 0
t
ms MS
s RS
第二章 质点组
s vx dt , S Vdt
0 0
2014/3/13
t
t
m S R mM
16
§2.3 动量矩定理与动量矩守恒律
（1）对固定点O的动量矩定理 n个质点形成的质点组
i e d 2 ri mi 2 F i F i dt
2014/3/13
ma m ' a ' m ' m g
第二章 质点组
设t为共同到达所需的时间
2s 2s ' a 2 , a' 2 t t
（5）代入（4），得
（ 5）
2 ms m ' s ' t m ' m g
2014/3/13
第二章 质点组
24
作业
m r
i 1 n i
n
i
m
i 1
i
分量式
xC
m x
i 1 n
n
i i
m
i 1
yC
m y
i 1 n i
n
i
i
m
i 1
zC
m z
i 1 n
n
i i
i
m
i 1
i
求连续性物体的质心，上述求和要改为积分。
密度为常数的物体来讲，质心和几何中心重合。
2014/3/13 第二章 质点组 4
理论力学
教材：周衍柏《理论力学教程》 编
北京交通大学理学院 教师：王波波
2014/3/13
第二章 质点组
1
第二章 质点组力学
§2.1 质点组
(1) 质点组的内力和外力
质点组：许多（有限或无限）相互联系着的 质点所组成的系统。 内力：质点组中质点间相互作用的力。 外力：质点组以外的物体对质点组内任一质点 的作用力。
• P150 • 2.1, 2.3, 2.5,
2.7
2014/3/13
第二章 质点组
25
（ 3）
所以
v vx 2 v y 2 m 2M m 2 V 1 cos a m M
1 2
m Baidu Nhomakorabeaan 1 vx M
vy
tan a
故由于炮车反冲
2014/3/13
v V, a
第二章 质点组 14
[例] 冲击摆。