直线与平面所成的角

直线与平面所成的角

教学目的：

1、掌握斜线在平面上的射影的概念、斜线与平面所成角的概念

2、掌握公式cos θ=cos θ1•cos θ2，会用这个公式解决一些问题 教学重点： 斜线在平面上的射影的概念、斜线与平面所成角的概念 教学难点：公式cos θ=cos θ1•cos θ2的灵活运用 教学过程： 一、引入新课

发射炮弹时，当炮筒和地面所成的角为多少度时，才能准确地命中目标，也即射程最远？铅球运动员在投掷时，以多大的角度，投出的距离最远？这都与我们今天学习的直线和平面所成的角有关。

二、讲授新课

1、公式cos θ=cos θ1•cos θ2

已知AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于α， B 为垂足，则直线AB 是斜线OA 在α内的射影，设AC 是α

内的任一条直线，且BC ⊥AC 于C ，又设AO 与AB 成的角为θ2，AO 与AC 所成的角为θ，则cos θ=cos θ1•cos 证：不妨设AO 为单位长，则

2

121211cos cos cos ,cos cos ||||,

cos cos cos ||||,cos cos ||||θθθθθθθθθθ=∴======AO AC AB AC AO AB

2、最小角定理

平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中的最小角。

在公式cos θ=cos θ1•cos θ2中，由于0＜cos θ2＜1，所以cos θ＜cos θ1，从而θ1＜θ（y ＝cosx 在[0,π]上是减函数） 3、直线和平面所成的角

⑴定义：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。 规定：如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0°的角。

说明：斜线和平面所成的角的定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的锐角。

⑵斜线和平面所成角的范围是(0,π/2)；直线和平面所成角的范围是［0,π/2］；两条异面直线所成角的范围是(0,π/2］，三者不同，要注意区分。 ⑶求斜线和平面所成的角一般步骤是：

①作：作（或找）出斜线在平面上的射影，将空间角（斜线和平面所成的角）转化为平面角（两条相交直线所成的锐角），作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足（有时可以是两垂足）作直线，注：斜线上点的选取以及斜足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算。

②证：证明某平面角就是斜线与平面所成的角。

C

A 1G

F

E

A

B

C D

A 1

B 1

C 1

D 1

③算：通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算。

三、例题讲解

例1 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1C 1和CC 1上，且EC 1＝1/3，FC 1＝3/3，求异面直线A 1B 和EF 所成的角。 分析：由于A 1B 是平面BB 1C 1C 的斜线， 且BB 1是A 1B 在平面BC 1上的射影，而EF 在平面BC 1内，故求A 1B 与EF 所成角的余弦 值可以考虑公式cos θ=cos θ1•cos θ2求解。 解：在Rt ΔEFC 1中，EC 1＝1/3， FC 1＝3/3，∴tan ∠C 1FE=3/3,

∴∠C 1FE ＝30°，

又∵A 1B 在平面BC 1上的射影为BB 1，且A 1B 与BB 1所成的角为45°，设A 1B 与EF 所成的角为θ，则有cos θ＝cos45°cos30°＝4/6。

∴异面直线A 1B 和EF 所成的角为4

6arccos 。

例2 如图，已知AB 为平面α的一条斜线，B 为斜足，AO ⊥α，O 为垂足，BC 为α内的一条直线，∠ABC ＝60°，∠OBC ＝45°，求斜线AB 和平面α所成的角。

解：由斜线和平面所成的角的定义知，∠ABO 为AB 和α所成的角，

45,2

22

22

145

cos 60cos cos cos cos =∠∴=

÷

=

=∠∠=

∠ABO CBO

ABC ABO

巩固训练 P 45 练习 1－5

例3 （创48T7）在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、AB 的中点，求EF 与平面AA 1C 1C 所成角的大小。

分析：求斜线EF 与平面AA 1C 1C 所成角，关键是找到EF 在平面AA 1C 1C 上的射影。确定直线在平面上射影的方法是 找到该直线上的一点在平面内的射影（垂足），再将其 与斜足连结起来，即为射影。

解：设正方体的棱长为2，过F 作FG ⊥AC 于G ， ∵AA1⊥平面ABCD ，∴AA 1⊥FG ，∴FG ⊥平面AA 1C 1C ， 连结EG ，则∠FEG 为EF 与平面AA 1C 1C 所成的角。

连结BD 交AC 于O ，由F 是AB 的中点得FG ＝BO/2

＝2/2，∵E 、F 分别为AA 1、AB 的中点，∴EA ＝FA ＝

1，∴EF ＝2，在Rt ΔEFG 中，

30,2

122

2sin =∠∴=÷==∠FEG EF

FG FEG