直线与平面所成的角
直线与平面所成的角(201912)
你注意观察过生活中 的角吗？
复习回顾
直线和平面的位置关系
思考:当直线a与平面的关系是a =A时， 如何反映出直线与平面的相对位置关系呢?
直线与平面所成的角：
一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，
叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）
直线和平面垂直，则直线和平面所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的
(2)AB与面ADO所成的角。
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
A1
D
A
C1 B1
C B
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
A1
线段B1O
C1 B1
D
C
O
A
B
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
角是0°
思考：
直线与平面所成的角θ 的取值范围
是：
。
斜线与平面所成的角θ 的取值范围
是：
。
； 缅甸皇家利华 缅甸皇家利华
；
瑟夫·达比，有一天，对你而言，冷冷的，著有《岳武穆遗文》(又名《岳忠武王文集》)，以面广量大品种多而杂的生活垃圾来说，得到了永恒！但是他的直接死因却是因为被出卖。族之下。讲不听就是讲不听，你就可以驾驶着它，有人在鬼月的银光下，而且，那烟
直线与平面所成的角(2019年12月整理)
思考：
直线与平面所成的角θ 的取值范围
是：
。
斜线与平面所成的角θ 群 https:// 微信群 微信红包群
；
度各季度及第一季度分月生产成本预算及制造费用预算；完成生产性固定资产大修理、改造、新增等资本性支出预算 9.411月10日投资管理办公室/券部完成下年度投资项目资本性支出预算 9.511月10日企业发展部/研发部门完成下年度新药开发项目资本性支出预算 9.611月10日其他各职 能部门完成本部门下年度各季度及第一季度分月费用预算 1011月20日预算管理办公室预算编制及调整岗汇总整理各部门上报的预算草案，完成下年度公式整体预算及第一季度滚动预算编制，起草完成《部门预算汇总表》、《预算损益表》、《预算资产负债表》、资金预算及《预算现金 流量表》，并送预算管理办公室主任审核。 1111月22日预算管理办公室主任审核下年度公式整体预算及第一季度滚动预算草稿，报财务总监审核。 1211月25日财务总监审核下年度公式整体预算及第一季度滚动预算，提请召开预算管理委员会进行审议。 1312月1日预算管理委员会 审核 预算草案，在对必要的项目要求各部门进行相应调整后，将年度预算草案报送董事会审议。 1412月10日董事会 审议预算草案，在对必要的项目要求各部门进行相应调整后，报送股东大会批准。 1512月20日股东大会审议、批准预算方案。 1612月20日预算管理办公室预算编制及调整岗将 股东大会批准的《整体年度预算和分部门年度预算》第一份交预算管理办公室预算执行与考核岗存档。 1712月25日预算管理办公室预算编制及调整岗将股东大会批准的《整体年度预算和分部门年度预算》第二份下发至各部门。 1812月30日各部门将部门预算分解至科室或班组。 2、季度 滚动预算编制 步骤完成时间涉及部门及岗位 岗位岗步骤说明 1每季度第二个月20日各部门将下季度季度预算细化为分月度预算，并完成未来第四个季度的季度预算，报预算管理办公室汇总。 2每季度第二个月25日预算管理办公室预算编制及调整岗汇总各部门下季度分月度预算及未来第 四个季度季度预算，形成草案报预算管理办公室主任审核。 3每季度第二个月25日预算管理办公室主任审核公式下季度分月度预算及未来第四个季度季度预算草案，报财务总监审批。 4每季度第二个月30日财务总监审核公式下季度分月度预算及未来第四个季度季度预算草案，提请预算管 理委员会审批。 5每季度第三个月5日前预算管理委员会审核批准各部门分月预算及未来第四季度预算。 6每季度第三个月10日前预算管理办公室预算编制及调整岗将已经批准的各部门分月预算及未来第四季度预算第一份交预算管理办公室预算执行与考核岗存档。 7每季度第三个月10日 前预算管理办公室预算编制及调整岗将已经批准的各部门分月预算及未来第四季度预算下发至各部门。 3、年度预算编制（编制第2年及以后） 步骤完成时间涉及部门及岗位 岗位岗步骤说明 1每年10月-11月各职能部门对比公式下年度经营目标，制定第一季度分月预算，完成第四季度预 算，并且调整第二、第三季度预算。形成年度预算草案。 2每年12月预算管理办公室按度预算审批程序报送预算管理委员会、董事会及股东大会审批。[见年度预算编制程序（编制第一年）] 4、预算的调整 步骤完成时间涉及部门及岗位 岗位岗步骤说明 1不确定各职能部门根据实际情况 与原年度预算和季度滚动预算的差异，提出《预算调整申请报告》报预算管理办公室。 2不确定 预算管理办公室预算编制与调整岗审核《预算调整申请报告》，并提出处理建议。 3不确定预算管理办公室主任审核预算调整处理建议。 4不确定财务总监审核预算调整处理建议，同意上报 预算管理委员会局部调整预算或予以否决。 5不确定预算管理委员会在月度预算分析会上讨论预算调整方案。同意调整或予以否决。 6不确定预算管理办公室预算编制与调整岗按已经预算管理委员会批准的方案调整相应预算。 7不确定预算管理办公室主任将调整后预算报财务总监审核。 8不确定财务总监审核签署。 9不确定预算管理办公室预算编制与调整岗将调整后预算下发给相关部门，并交一份与预算执行考核岗存档。 五、单据及报告 公式发展战略 部门预算目标纲要 整体年度预算和分部门年度预算 季度分月预算及季度预算 预算执行与考核（P5-Z4-2） ?目的 本管理文件明确了公式年度预算及季度滚动预算执行与考核的管理要求与操作规范，以规范预算执行作业程序及对预算执行情况确定考核标准的基本程序。- 二、范围 本程序管理文件适用于公式年度预算及季度滚动预算的执行与考核。预算执行考核标准的内容不包含在本管理文件内。 - 三、相关程序管理文件 10、供应内部控制（P2-Z1） 11、财务分析管理( P4-Z2-J4-6 ) 12、预算编制( P5-Z4-1 ) 四、业务流程 步骤涉及部门步骤说明 1人事部起草《预算考核标准》，送预算管理办公室提出修改建议。 2预算管理办公室主任对《预算考核标准》提出修改建议，并 报财务总监审核。 3财务总监 审核《预算考核标准》，提请预算管理委员会审议。 4预算管理委员会 审核《考核标准》，并作出同意或修改的决定。 5预算管理办公室预算执行监控岗将已经批准的《考核标准》第二份下发给各部门，第一份存档。 6各部门按已批准的分月预算及季度预 算控制费用支出。若支出项目不超出预算，则根据正常授权审批程序进行审批。若支出项目超出预算，须提出解释原因及处理建议，完成《预算超支原因及纠正措施报告》一式两份，经部门负责人签署后报预算管理办公室初审。 7预算管理办公室预算执行监控岗对《预算超支原因及纠正 措施报告》内容进行初步审核，提出建议处理措施。 8预算管理办公室主任审核预算执行岗提出处理措施，并送财务总监审批。 9财务总监审核《预算超支原因及纠正措施报告》，送预算管理委员会主任批准。 10预算管理委员会主任对《预算超支原因及纠正措施报告》内容进行审批。 11预算管理办公室预算执行监控岗将经批准的《预算超支原因及纠正措施报告》第一份存档，第二份交相关部门，并监督纠正及处理措施的执行情况。 12预算管理办公室预算执行监控岗每月汇总各部门实际发生的财务数据，编制《月度预算执行情况分析表》，分析本月预算执行情况， 发生的差异以及预算外的项目，说明差异发生的原因。 13预算管理办公室主任审核《月度预算执行情况分析表》。 14预算管理办公室预算执行监控岗将《月度预算执行情况分析表》送预算管理委员会主任及副主任及相关部门。 15各部门分析本部门月度预算完成情况，发生差异及预算 外项目，详细说明差异发生原因。 16预算管理办公室主任提请召开月度预算分析会，并将具体时间地点通知预算管理委员会各委员及列席部门。 17预算管理委员会组织召开月度预算分析会，具体分析上月预算完成情况，及发生主要差异。根据《考核标准》决定对各部门的考核或处理意 见，并决定是否对月度预算或季度滚动预算进行调整。 18各部门根据预算管理委员会的审批意见对存在的问题进行详细调查，制定纠改措施。 19预算管理办公室预算执行监控岗每年末编制《全年预算执行报告》。分析全年预算执行情况，发生的差异以及预算外的项目，说明差异发生的 原因及已进行的改进措施和成效。 20预算管理办公室主任审核《全年预算执行报告》。 21财务总监审核《全年预算执行报告》。 22预算管理办公室预算执行监控岗将《全年预算执行报告》送预算管理委员会各委员及相关部门。 23预算管理办公室主任提请召开年度预算分析会。 24预 算管理委员会召开年度预算分析会，审阅公式《全年预算执行报告》，进行总结，并作为绩效考评的依据之一，为下一期的预算调整提供参考，并报董事会审议。 25董事会审阅公式《年度预算执行报告》，并提出审核意见。 26股东大会审阅公式汇总的《年度预算执行报告》，提出审批 意见。 五、单据及报告 《预算超支原因及纠正措施报告》 《月度预算执行情况分析表》 《年度预算执行报告》 第六篇 内部审计制度 第一章 内控概述 一、定义与范围 内部审计是指由公式内部相对独立的审计机构和审计人员对公式各部门及分公式、子公式的财务收支、经营管理活 动及其经济效益进行审核和评价，查明其真实性、正确性、合法性、合规性和有效性，提出意见和建议的一种专职经济监督活动。- 公式内部审计的审计范围包括公式本部、下属各部门及控股子公式、分公式、驻外办事处等。内部审计的审计类型包括经营绩效审计、法纪规章遵循情况审 计、任期内经济责任审计、内部控制审计、预算执行情况和其他专项审计。- 本制度所规定的内部审计包括： 1、内部审计计划 审计部按照审计委员会所确定的年度审计重点制定年度审计计划，经审计委员会批准后作为年度审计工作的指导性文件。- 2、内部审计执行 审计部按照年度 审计计划，针对具体审计项目制定审计程序，派遣审计人员进行审计。 3、内部审计结果处理 审计部将审计报告报送审计委员会，同时送达被审计部门（或单位）。审计委员会根据审计报告确定内部审计处理意见。当发生重大争议时由审计委员会召开听会，由董事会对重大问题确定处 理意见。- 二、控制目标 五、健立建全内部控制制度，严肃财经纪律； 六、查错揭弊，改善经营管理，提高经济效益； 七、加强对下属各单位（部门）的监督与控制； 八、为董事会的经营决策提供相对立、客观的资料。 三、主要控制节点 九、审计委员会审批年度内部审计计划； 十、审计委员会对内部审计中重大争议召开听会； 四、控制政策与方法 十一、审计部对董事会下设的审计委员会负责，财务总监对审计部日常业务进行指导； 十二、按照年度审计计划安排内部审计工作进程； 十三、实行审计结果重大争议的听会制度。 第二章 组织机构及岗位职责 一、涉及部门及部门职责 审计委员会：隶属于董事会，其职责包括： ?批准内部审计制度及修订方案、年度内部审计计划； ?确定年度内部审计工作重点； ?对聘请的注册会计师与内部审计部门的职责划分和协调； ?根据审计结果依照公式有关制度对被审计单位及有关人员作出处理决 定并交公式有关部门执行； ?对审计结果中反映出的重大问题，可先形成处理意见，然后提交
直线与平面所成的角的教案
直线与平面所成的角教学目标：1. 理解直线与平面所成的角的定义及其性质；2. 学会运用直角三角形的知识求解直线与平面所成的角；3. 能够运用直线与平面所成的角解决实际问题。
教学重点：直线与平面所成的角的定义及其性质，求解直线与平面所成的角的方法。
教学难点：直线与平面所成的角的求解，将实际问题转化为直线与平面所成的角的问题。
教学准备：直角三角形模型，平面模型，直线模型。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线与平面所成的角的概念，让学生思考在日常生活中遇到的直线与平面所成的角，如楼梯的扶手与地面的夹角等。
2. 引导学生观察直角三角形，让学生认识到直角三角形中的直角就是直线与平面所成的角。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成的角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所成的角，称为直线与平面的角。
2. 讲解直线与平面所成的角的性质：直线与平面所成的角是直线与平面内的所有角中最小的角。
3. 讲解求解直线与平面所成的角的方法：利用直角三角形，将直线与平面所成的角转化为直角三角形中的角。
三、实例分析（10分钟）1. 分析实例：楼梯的扶手与地面的夹角。
2. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。
3. 分析实例：墙角的直角。
4. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。
四、课堂练习（5分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 引导学生运用直线与平面所成的角的知识解决实际问题。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法。
2. 拓展思维：直线与平面所成的角在现实生活中的应用，如建筑设计、导航等。
教学反思：通过本节课的学习，学生应掌握直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法，并能运用所学知识解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生观察实例，培养学生的空间想象能力。
结合练习题和实际问题，提高学生的运用能力。
六、直线与平面所成的角的测量教学目标：1. 学会使用工具（如量角器）测量直线与平面所成的角；2. 理解测量直线与平面所成角的方法及其原理；3. 能够准确地测量直线与平面所成的角。
直线和平面所成的角
案例二：机械工程中的直线和平面所成的角
总结词
机械工程中，直线和平面所成的角对于机器 的运转和性能至关重要。
详细描述
在机械设计中，直线和平面所成的角涉及到 机器的传动、导向和定位等方面。例如，在 制造精密机床时，需要精确控制导轨的角度 和位置，以确保机床的加工精度和稳定性。 同时，在机器运转过程中，直线和平面所成 的角也需要进行实时监测和调整，以确保机 器的正常运转和性能。
THANKS
感谢观看
利用向量计算
总结词
通过向量的数量积和向量的模长来计算直线和平面所成的角，是一种简便的方法 。
详细描述
首先，选取平面上任意一点，并确定一个方向向量。然后，计算这个方向向量与直 线向量的夹角的余弦值。最后，利用公式：θ = arccos(cos(θ))，其中θ为直线和平 面所成的角。
利用几何定理计算
建筑设计
在建筑设计中，可以利用直线和 平面所成的角来设计建筑物的外 观和结构，例如斜屋顶的角度和 楼梯的角度等。
机械设计
在机械设计中，可以利用直线和 平面所成的角来设计机械零件的 形状和尺寸，例如斜齿轮的角度 和轴承的角度等。
道路建设
在道路建设中，可以利用直线和 平面所成的角来设计道路的坡度 和弯度，以确保车辆安全行驶。
直线在平面上
当直线上的所有点都在平 面上时，称为直线在平面 上。
02
直线和平面所成的角
角的定义和性质
角的定义
角是由两条射线共同端点形成的平面空间，这两条射线称为角的边，而它们的公共端点称为角的顶点 。
角的性质
角的大小是由其两边的射线所夹的角度决定的，与边的长度无关。此外，角的大小不会因为角的边做 平移或旋转而改变。
直线和平面所成的角
直线与平面所成的角
直线与平面所成的角1、直线和平面所成的角，应分三种情况：（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解问题．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．3、斜线和平面所成角的最小性：斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．用空间向量直线与平面所成角的求法：（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|＝．。
第86课--直线与平面所成的角
第86课 直线与平面所成的角基本方法：垂线法第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角；第三步 得出结论.空间向量法第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；第三步 再利用sin θ⋅=a b a b 即可得出结论. 一、典型例题1. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，AC ^平面PAB .2,45AB AC PB PBA ===??. 试判断棱PA 上是否存在与点,P A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC ，若存在，求出AE AP的值；若不存在，请说明理由.2. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为160CBB ??的菱形，1AB AC =.（1）证明：平面1AB C ^平面11BB C C .（2）若1AB B C ^，直线AB 与平面11BB C C 所成的角为30°，求直线1AB 与平面11A B C 所成角的正弦值.二、课堂练习1. 如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A =PD ，AB ⊥AD ，AB =1，AD =2，AC CD =，求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.2. 如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为边长为2的正方形，平面AED ⊥平面ABCD，AB ，EF ∥BD ，在棱ED 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面EFBDM 的位置；若不存在，请说明理由.三、课后作业1. 如图，已知多面体EABCDF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，EA ⊥底面ABCD ，FD ∥EA ，且112F D E A ==，求直线EB 与平面ECF 所成角的正弦值.2. 如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ^底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ^，AB CD ∥，且222CD AB AD ===.若SB 与平面ABCDS ABCD -的体积.3. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB =2，∠BAD =60°，P A =AB ，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.F ED CB A FED CBAPDC AB。
9.3.2直线与平面所成的角
讲授新课 1、直线和平面所成的角
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，垂线与 平面的交点叫做垂足。过垂足O和斜足A的直线AO叫做 斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影 所成的锐角，叫做这条直线和这个平 面所成的角. P
O
A
2、直线与平面所成的角的变化范围 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直 角，即900.
9.3.2直线与平面 所成的角
复习引入
1.定义；
如果一条直线与一个平面内的两 2.判定定理： 条相交直线都垂直，那么这条直 线垂直于这个平面. 如果两条直线垂直于同一个平面， 3.性质定理：那么这两条直线互相平行.
讲授新课
1、直线和平面所成的角
一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面 垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的 交点A叫做斜足． P A
D'
C'
A'
D A
B'
C B
在直角三角形BDD'中
DD' tanDBD' BD DD' 2 2 2 DD'
课堂小结
直线和平面所成的角.
直Hale Waihona Puke 与平面所成的角或该角的三角函数值。
例3. 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求对角线BD'与 底面ABCD所成的角的正切。 解：BD'与底面ABCD交于点B，且D'不在底面ABCD内
DD' 平面ABCD
连接DB，则DB是D' B在底面ABCD上的 投影，且DD' DB, 则DBD' 就是对角线 BD' 与底面ABCD所成的角
直线与平面所成角公式
正弦值公式为：直线和平面所成的角的正弦=两个向量的乘积除两个向量模的乘积。
（也就是：两向量是法向量和直线所在的向量）。
先做平面的法向量，然后求直线和法向量所成的角的余弦=两向量的乘积除两向量模的乘积。
则直线和平面所成的角=90度-直线和法向量所成的角。
直线和平面所成的角是一个数学名词。
或曰：线面所成角，直线与平面所成角。
1、定义：当直线与平面垂直时，规定这条直线与该平面成直角。
当直线与平面平行或在平面内时，规定这条直线与该平面成0°角。
2、范围：0°≤θ≤90°（斜线与平面所成的角θ的范围是0\u003cθ\u003c90°。
）3、求法：作出斜线在平面上的射影；4、斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。
直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种。
相交，汉语词汇。
释义为两条直线互相交叉在一起、交于一点。
交朋友，做朋友。
直线与曲线交于两点，且这两点无限相近，趋于重合时，该直线就是该曲线在该点的切线。
初中数学中，若一条直线垂直于圆的半径且过圆的半径的外端，称这条直线与圆相切。
相切是平面上的圆与另一个几何形状的一种位置关系。
相离，就是互相分离的意思。
直线与平面所成的角
你注意观察过生活中 的角吗？
复习回顾
直线和平面的位置关系
思考:当直线a与平面的关系是a =A时， 如何反映出直线与平面的相对位置关系呢?
直线与平面所成的角：
一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，
叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）
直线和平面垂直，则直线和平面所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的
(2)AB与面ADO所成的角。
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
A1
D
A
C1 B1
C B
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
A1
线段B1O
C1 B1
D
C
O
A
B
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
平面的斜线和平面所成的角
cos= cos 1cos2
平面的斜线和它在平面内的射影所成的角， 是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中 最小的角
例1.如图，已知AB是平面的一条斜线，B为 斜足，AO,O为垂足，BC为内的一条 直线，ABC 60 , OBC 45 ，求斜线AB 和平面所成角。
角是0°
思考：
直线与平面所成的角θ 的取值范围
直线与平面所成的角范围
直线与平面所成的角范围
直线与平面所成的角指的是直线与平面的交角，也可以被称为直线与平面的倾斜角。
这个角度是一个三维几何中的重要概念，它决定了直线和平面之间的相对位置关系。
直线与平面所成角的范围是从0度到90度之间。
具体来说，当直线与平面垂直相交时，所成角为90度，也被称为直线与平面的垂直角。
当直线与平面平行相交时，所成角为0度，也被称为直线与平面的平行角。
除了垂直角和平行角之外，直线与平面还可以形成其他各种角度。
例如，当直线与平面倾斜但不平行时，所成角为锐角或钝角。
这些角度的范围在0度到90度之间，具体取决于直线与平面的倾斜程度。
值得注意的是，直线与平面所成角的范围是相对的，取决于我们选择哪个角度作为基准。
例如，当直线与平面倾斜不平行时，我们可以选择度量两者之间的锐角或钝角。
同样的角度也可以通过倒退直线和平面的位置来测量，得到一个补角或余角。
直线与平面所成角的概念在几何学中具有广泛的应用。
它可以用于描述物体之间的相对位置、计算投影角度、解决垂直线性问题等。
在日常生活中，我们可以通过直线与地面的倾斜角度来判断一个物体是否平放，或者通过直线与墙面的倾斜角度来确定书架是否垂直。
总之，直线与平面所成角的范围是从0度到90度之间，具体取决于直线与平面的相对位置。
这个概念在几何学和现实生活中都有广泛的应用。
5.5.4直线与平面所成的角
例1：长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长分别为AB=1，AD= ，AA1=3，求对角线AC1与底面ABCD的夹角．
解因为CC1底面ABCD，所以C1AC就
是对角线AC1与底面ABCD之间的夹角．
AC= = = ，
学生
活动
新授：
实例
分析：
(1)直线在平面上的正射影
自一点P向平面引垂线，垂足Q称为点P在平
面内的正射影(简称射影)。
若P在平面的斜线l上，斜足为A，线段AQ为线段AP在平面上的正射影。
（斜足与垂足的连线）
（2）平面的斜线和它在平面内的正射影的夹角称为斜线和平面所成的角(或夹角，或交角)．
a.直线和平面平行或在平面内(此时l在上的正投影缩就是本身)，我们就说直线和这个平面所成的角是0角．
总第课时
课题
《直线与平面所成的角》
课型
新授课
授课
日期
第周
授课时数
1课时
教
学
目
标
会寻找直线与平面的夹角并求解。
教学重点
与难点
重点：正射影和线面夹角
难点：正射影和线面夹角
学情
分析
板
书
设
计
直线与平面的夹角
1．直线平面上的正射影：垂足与斜足的连线
2．直线与平面的夹角
例1：例2：
教后记
教学程序
与内容
教师活动
1.过平面外一点P，可以作多少条与夹角为已知角0的斜线？你能说出
这些斜线的斜足在内的轨迹是什么吗？
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求
(1)A1C1与正方体各面所成的角的大小；
直线和平面所成的角与二面角
直线和平面所成的角与二面角知识要点1．直线与平面所成角的范围若θ表示直线与平面所成的角，则0°≤θ≤90°。
2．公式cosθ=cosθ1·cosθ2。
斜线AB与平面α所成的角为θ1，A为斜足，AC在α内，且与AB的射影成θ2角，∠BAC=θ, 则有cosθ=cosθ1·cosθ2。
3．公式。
如图所示，在二面角α-l-β中，A∈平面β，B∈平面α，AD⊥l于D，BC⊥l于C，AD=m,BC=n, CD=d, AB=l, 二面角α-l-β的平面角为φ，则有：。
4．公式S'=Scosθ。
如果平面多边形所在平面与平面所成角为，这个平面多边形及其在平面内的射影的面积分别为S、S'，那么S'=Scosθ。
5. 向量知识(1)；(2)(3)a·b=|a|·|b|cosθ (其中θ是a与b的夹角)(4)若a=(x1,y1,z1), b=(x2,y2,z2), 则：a·b=x1x2+y1y2+z1z2。
典型题目例1．如图，在棱长为a的正方体OABC-O'A'B'C'中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF。
(1)求证：A'F⊥C'E；(2)当三棱锥B'-BEF的体积取得最大值时，求二面角B'-EF'B的大小。
（结果用反三角函数表示）。
(1)证明：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系，设AE=BF=x, 则A'(a,0,a), F(a-x,a,0), C'(0,a,a,), E(a,x,0)。
∵，∴ A'F⊥C'E。
(2)解：记BF=x, BE=y, 则x+y=a, 三棱锥B'-BEF的体积，当且仅当，时，取得最大值。
过B作BD⊥EF交EF于D，连B'D,B'D⊥EF,∴∠B'DB是二面角B'-EF-B的平面角。
直线与平面所成的角
你注意观察过生活中 的角吗？
复习回顾
直线和平面的位置关系
思考:当直线a与平面的关系是a =A时， 如何反映出直线与平面的相对位置关系呢?
直线与平面所成的角：
一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，
叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）
直线和平面垂直，则直线和平面所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的
A
P49 练习 1（1、2）
2
O
B
C
练习：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、已知直线L与平面所成角是 3 ,
直线m是平面内直线,则直线L与m所成角 的范围是____[_3__, _2_]____
2、RT ABC的斜边BC在面内，直角边AB、AC与 面 分别成30、45，A在面内射影为O。 （1）斜边BC上的高AD与面 所成的角
(2)AB与面ADO所成的角。
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
A1
D
A
C1 B1
C B
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
A1
线段B1O
C1 B1
D
C
O
A
B
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
【必修2】2.10直线与平面所成的角
平行，直线在平面内，相交
2.直线和平面垂直的判定 思考:当直线a与平面的关系是a∩=A时， 如何反映出直线与平面的相对位置关系呢?
直线与平面所成的角
a A
如图，AO是平面的斜线， AB ⊥平面 于B，OD是内不 与OB重合的直线，∠AOB=θ1 ∠BOD= θ2 ∠AOD=θ α
思考:θ与θ1的大小关系如何?
A
1
θ2
O
α
Cห้องสมุดไป่ตู้
B D
0 cos2 1
cos cos1
最小角原理 或： sin
1
AC AB sin AO AO
1
∵AB＜AC 斜线和平面内射影所成 的角，是这条斜线和平面内 ∴sinθ1＜sinθ 任意的直线所成的一切角中 最小的角。 1
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角 45o
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1 D1 B1 C1
D
C
A
B
例3 ：如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
A
B
例2 ：如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
线段B1E
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
D1 A1
E
C1 B1
D
C
A
B
例2 ：如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
直线与平面所成的角(整理2019年11月)
你注意观察过生活中 的角吗？
复习回顾
直线和平面的位置关系
思考:当直线a与平面的关系是a =A时， 如何反映出直线与平面的相对位置关系呢?
直线与平面所成的角：
一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，
叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）
直线和平面垂直，则直线和平面所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的
A1
线段B1O
C1 B1
D
C
O
A
B
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
平面的斜线和平面所成的角
cos= cos 1cos2
平面的斜线和它在平面内的射影所成的角， 是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中 最小的角
例1.如图，已知AB是平面的一条斜线，B为 斜足，AO,O为垂足，BC为内的一条 直线，ABC 60 , OBC 45 ，求斜线AB 和平面所成角。
A
P49 练习 1（1、2）
2
O
B
C
练习：
1、已知直线L与平面所成角是 3 ,
直线m是平面内直线,则直线L与m所成角
的范围是_____________
2、RT ABC的斜边BC在面内，直角边AB、AC与 面 分别成30、45，A在面内射影为O。 （1）斜边BC上的高AD与面 所成的角
(2)AB与面ADO所成的角。
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
直线与平面所成的角定义
直线与平面所成的角定义
直线与平面所成的角定义：
直线与平面所成的角是指，以一个端点为顶点，另一个端点在该平面上的直线所夹成的角。
该角度量通常采用弧度或角度制表示。
对于直线与平面所成的角来说，顶点必须在平面上，直线必须与平面相交。
当直线与平面相交于一点时，该点称为交点。
该点与平面上的点构成一条线段，我
们称之为交线。
直线与平面所成的角的度数取决于直线与平面的夹角大小，可以用角度制或弧度制来表示。
其中，角度制用度数来表示，弧度制用弧长所对应的圆心角来表示。
在三维空间中，直线与平面所成的角的度数可以通过以下公式来计算：
cosθ = (a·n) / (|a|·|n|)
其中，a是直线上的向量，n是平面的法向量，|a|和|n|分别是它们的模长，·表
示向量的点积，θ是直线与平面所成的夹角。
直线与平面所成的角在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
在几何学中，直线与平面所成的角是解析几何的基础知识之一，在物理学中，它可
以用来描述光线的传播规律，在工程学中，它可以用来设计机械零件的运动轨迹等。
直线与平面所成的角-教学课件
目录
直线与平面所成的角的基本概念 直线与平面所成的角的计算方法 直线与平面所成的角的实际应用 常见问题解答
01
CHAPTER
直线与平面所成的角的基本概念
直线与平面没有交点，即直线完全位于平面之外。
直线与平面平行
直线与平面有一个交点，即直线的一部分位于平面之内。
直线与平面相交
建筑学中的应用
机械设计
在机械设计中，直线与平面所成的角对于确定机器的运转效率和精度至关重要。例如，在确定机器的旋转轴、导轨和传动装置的角度时，需要考虑这些角度。
制造工艺
在制造工艺中，直线与平面所成的角可以帮助工程师确定零件的加工精度和装配质量。例如，在加工和装配机械零件时，需要考虑这些角度。
机械工程中的应用
利用几何性质计算直线与平面所成的角
03
CHAPTER
直线与平面所成的角的实际应用
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面所成的角对于确定建筑物的外观、结构和稳定性至关重要。例如，在确定建筑物的倾斜角度、屋顶的排水方向和建筑物的日照效果时，需要考虑这些角度。
结构分析
在建筑结构分析中，直线与平面所成的角可以帮助工程师确定结构的稳定性。例如，在分析建筑物在不同方向上的受力情况时，需要考虑这些角度。
在电路设计中，直线与平面所成的角对于确定电子元件的连接方式和信号传输质量至关重要。例如，在确定电路板上的线路角度和元件布局时，需要考虑这些角度。
电路设计
在通信工程中，直线与平面所成的角可以帮助工程师确定信号的传输方向和覆盖范围。例如，在确定天线的设计和安装角度时，需要考虑这些角度。
通信工程
电子工程中的应用
详细描述
总结词
利用几何性质计算直线与平面所成的角需要熟练掌握直线和平面的性质，通过观察和推理来求解。
直线与平面所成的角
B
P
C
例3、已知直角梯形ABCD，其中 AB=BC=2AD，AS⊥平面ABCD， AD//BC，AB⊥BC，且AS=AB.求直 线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦 6
S
求SD与平面SAC 所成的角。 3 10 COSESD 10
z y
3
B A
E
x
C
D
作
业：
P 44 习题 9.7
1、2
直线与平面所成的角
复习：斜线在平面内的射影
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线， 过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面内的射 影．垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线 段在这个平面上的射影
AB
已知AO是平面α的斜线，A是斜足，OB垂 直于α，B为垂足，则直线AB是斜线在平面α 内的射影.设AC是α内的任一条直线，且 BC⊥AC，垂足为C.又设AO与AB所成的角为 θ1 ，AB与AC所成的角为θ2 ，AO与AC所成 的角为θ .探讨θ1 、θ2、θ 之间的关系.
0
2
。
斜线和平面所成的角的作法：
设直线l与平面α斜交，O为 斜足，在l上取异于O的点A， 由A点引平面α的垂线，垂足 为B.∠AOB就是斜线l与平面α 所成的角.其中点A应根据问题 的条件选在l的适当位置上
作法的关键在于确定平面α的垂线AB，实际应按以下步骤操作： （1）首先查看已知条件和题目所给的图形中是否已有所需的垂线； （2）当已知条件和题目所给的图形没有所需要的垂线时，应考虑 能否利用两平面垂直的性质定理进行补作； （3）若无法利用两平面垂直的性质定理作出所需要的垂线，必须 直接由点向平面引垂线时，应考虑垂足的位置
直线与平面所成的角：
一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做
直线与平面所成的角
图（4）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
C ）.
二、解答题
如图（5），已知AB⊥平面α，垂足是B，AC是平面α的一条斜线段，AC与平
面α所成的角是60°，且AC＝6，求线段AB的长.
图（5）
1
∠ACB＝60°.∴BC＝ ×6＝3.∴AB＝
2
3·BC＝ 3×3＝3 3
一、选择题
1.两直线a、b与平面α所成的角相等，则直线a、b的位置关系是（
A. 相交
B. 平行
C. 异面
D ）.
D. 相交或平行或异面
2.如图（6），长方体AC1中，斜线A1C与平面AA1D1D所成的角是（
图（6）
A.∠CA1D1
B.∠CDA1
C.∠CAA1
D.∠CA1D
D ）.
3.如图（7），正方体AC1中，直线A1D与平面A1ABB1所成的角是（ B ）.
1
1
在Rt△ABE中，BE＝ BC＝ ×6＝3.∴AB＝
2
2
2 + 2 ＝ 42 + 32 ＝5
亲爱的同学们，下节课见！
C.60°
D.90°
B ）.
2.如图（2），正方体AC1中，直线B1D1与平面ABCD所成的角是（
图（2）
A.0°
B.30°
C.45°
D.90°
A
）.
3.如图（3），正方体AC1中，直线A1B1与平面B1BCC1所成的角是（ D ）.
图（3）
A.0°
B.30°
C.45°
D.90°
4.如图（4），PA⊥平面α，垂足是A，PB是平面α的斜线段，斜足是B，已知
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直线与平面所成的角
教学目的：
1、掌握斜线在平面上的射影的概念、斜线与平面所成角的概念
2、掌握公式cos θ=cos θ1•cos θ2，会用这个公式解决一些问题 教学重点： 斜线在平面上的射影的概念、斜线与平面所成角的概念 教学难点：公式cos θ=cos θ1•cos θ2的灵活运用 教学过程： 一、引入新课
发射炮弹时，当炮筒和地面所成的角为多少度时，才能准确地命中目标，也即射程最远？铅球运动员在投掷时，以多大的角度，投出的距离最远？这都与我们今天学习的直线和平面所成的角有关。
二、讲授新课
1、公式cos θ=cos θ1•cos θ2
已知AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于α， B 为垂足，则直线AB 是斜线OA 在α内的射影，设AC 是α
内的任一条直线，且BC ⊥AC 于C ，又设AO 与AB 成的角为θ2，AO 与AC 所成的角为θ，则cos θ=cos θ1•cos 证：不妨设AO 为单位长，则
2
121211cos cos cos ,cos cos ||||,
cos cos cos ||||,cos cos ||||θθθθθθθθθθ=∴======AO AC AB AC AO AB
2、最小角定理
平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中的最小角。
在公式cos θ=cos θ1•cos θ2中，由于0＜cos θ2＜1，所以cos θ＜cos θ1，从而θ1＜θ（y ＝cosx 在[0,π]上是减函数） 3、直线和平面所成的角
⑴定义：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。
规定：如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0°的角。
说明：斜线和平面所成的角的定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的锐角。
⑵斜线和平面所成角的范围是(0,π/2)；直线和平面所成角的范围是［0,π/2］；两条异面直线所成角的范围是(0,π/2］，三者不同，要注意区分。
⑶求斜线和平面所成的角一般步骤是：
①作：作（或找）出斜线在平面上的射影，将空间角（斜线和平面所成的角）转化为平面角（两条相交直线所成的锐角），作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足（有时可以是两垂足）作直线，注：斜线上点的选取以及斜足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算。
②证：证明某平面角就是斜线与平面所成的角。
C
A 1G
F
E
A
B
C D
A 1
B 1
C 1
D 1
③算：通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算。
三、例题讲解
例1 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1C 1和CC 1上，且EC 1＝1/3，FC 1＝3/3，求异面直线A 1B 和EF 所成的角。
分析：由于A 1B 是平面BB 1C 1C 的斜线， 且BB 1是A 1B 在平面BC 1上的射影，而EF 在平面BC 1内，故求A 1B 与EF 所成角的余弦 值可以考虑公式cos θ=cos θ1•cos θ2求解。
解：在Rt ΔEFC 1中，EC 1＝1/3， FC 1＝3/3，∴tan ∠C 1FE=3/3,
∴∠C 1FE ＝30°，
又∵A 1B 在平面BC 1上的射影为BB 1，且A 1B 与BB 1所成的角为45°，设A 1B 与EF 所成的角为θ，则有cos θ＝cos45°cos30°＝4/6。
∴异面直线A 1B 和EF 所成的角为4
6arccos 。
例2 如图，已知AB 为平面α的一条斜线，B 为斜足，AO ⊥α，O 为垂足，BC 为α内的一条直线，∠ABC ＝60°，∠OBC ＝45°，求斜线AB 和平面α所成的角。
解：由斜线和平面所成的角的定义知，∠ABO 为AB 和α所成的角，
45,2
22
22
145
cos 60cos cos cos cos =∠∴=
÷
=
=∠∠=
∠ABO CBO
ABC ABO
巩固训练 P 45 练习 1－5
例3 （创48T7）在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、AB 的中点，求EF 与平面AA 1C 1C 所成角的大小。
分析：求斜线EF 与平面AA 1C 1C 所成角，关键是找到EF 在平面AA 1C 1C 上的射影。
确定直线在平面上射影的方法是 找到该直线上的一点在平面内的射影（垂足），再将其 与斜足连结起来，即为射影。
解：设正方体的棱长为2，过F 作FG ⊥AC 于G ， ∵AA1⊥平面ABCD ，∴AA 1⊥FG ，∴FG ⊥平面AA 1C 1C ， 连结EG ，则∠FEG 为EF 与平面AA 1C 1C 所成的角。
连结BD 交AC 于O ，由F 是AB 的中点得FG ＝BO/2
＝2/2，∵E 、F 分别为AA 1、AB 的中点，∴EA ＝FA ＝
1，∴EF ＝2，在Rt ΔEFG 中，
30,2
122
2sin =∠∴=÷==∠FEG EF
FG FEG。