淮阴工学院复变函数考试提纲
【绝对有用】复变函数与积分变换复习提纲
cn 是 c
cn 为边界的区域全含于 D 内，则
c
f z dz f z dz,
k 1 ck
n
其中 c 与 ck 均取正向；
1
②
f z dz 0 ，其中 由 c 及 c
(k 1, 2,
n) 所组成的复合闭路。
4
3．闭路变形原理 ：
一个在区域 D 内的解析函数 f z 沿闭曲线 c 的积分，不因 c 在 D 内作连续
y 之间的关系如下： x y 当 x 0, arg z arctan ； x
y 0, arg z arctan 当 x 0, y 0, arg z arctan
y x ； y x
4）三角表示： z z cos i sin ，其中 arg z ；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示： z z e ，其中 arg z 。
6 ．高阶导数公式：解析函数 f z 的导数仍为解析函数，它的 n 阶导数为
f z 2 i n dz f z0 n 1 c (z z ) n! 0
(n 1, 2 )
其中 c 为 f z 的解析区域 D 内围绕 z 0 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于 D 。 7．重要结论：
bz
。
eiz eiz eiz eiz sin z cos z , cos z , t gz , ctgz 2i 2 cos z sin z
sin z, cos z 在 z 平面内解析，且 sin z cos z, cos z sin z
5
复变函数复习提纲
复变函数复习提纲一.填空题1) 复数1+i 的指数形式是ei42π，复数1-i 的指数形式是ei 42π-2)=-38⎪⎭⎫ ⎝⎛+++32sin 32cos 2ππππk k ()2,1,0=k3) cos （i π）=2e eππ+- sin （i π）=2e eππ--4) Lni=i k i k i πππ⎪⎭⎫⎝⎛+=+24122 ),1,0( ±=k 5)21i+ 的主值为()2ln sin 2ln cos 2ln i e +，21i - 的主值为()2ln sin 2ln cos 2ln i e - 6) 设a 为围线C 内部的一点，则=-⎰Caz dzi π2 7) 幂级数∑∞=12n n nz 的收敛半径为 18) 函数ez的泰勒展式为 +++++!!212n z zzn)(+∞<z9) 如果函数()z f w =在区域D 内 可微 则称()z f 为区域D 内的解析函数 10) 柯西积分定理:设()z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析,C 为D 内任一条围线,则()0=⎰Cdz z f11）函数cosz 的泰勒展式为()()∑-∞=02!21n nnn z ()+∞<z12）柯西积分公式:设区域D 的边界是围线（或复围线）C ，()z f 在D 内解析,在C D D +=上 连续，则有 ()()⎰-=ζζζπd zf i z f 21 ()D z ∈二. 证明函数()z z f =在z 平面上任何点都不解析. 证明: ()yx z z f 22+==∴()yx y x u 22,+=()0,=y x v 当()()0,0,≠y x 时yx yx yyu xxu2222,+=∂∂+=∂∂yvx v ∂∂==∂∂0 ∴xvy u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,不能同时成立 ∴ 函数在平面上的任何点都不解析三. 求cosz-1的全部零点，并指出它们的级.解：cosz-1在z 平面上解析.由cosz-1=0得2=+-eeiziz即()1,012==-e e iziz故 πk z 2= () ,1,0±=k 这就是cosz-1在z 平面上的全部零点，全为二级.四. 将函数()()()211--=z z z f 分别在(1)圆z <1;(2)圆环1<z <2内展开成罗朗级数.解: 函数()()()211--=z z z f =1121---z z (1) 在圆z <1内.因,21<<z 即12<z ∴()z n n n z z z f ∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=01211212111(2)在圆环1<z <2内.因12,11<<z z ∴()()()211--=z z z f=zz z 111121121----=∑∑∞=-∞=--11011212n n n n nzz z=∑∑∞=∞=+--1112n nn n nzz五.设()()1225--=z zz z f 分别计算(1) ()z f s z 0Re = (2) ()z f s z 1Re =解:不难知道z=0及 z=1分别为函数()()1225--=z zz z f 的一级和二级极点∴()z f s z 0Re ==()221250-=--=z z z∴ ()z f s z 1Re ==22'22511====⎪⎭⎫ ⎝⎛-zz z z z六． 利用残数定理求积分dz zz z⎰=13cos解: 函数()zzz f 3cos =只以z=0为三级极点()z f s z 0Re ==[]21"!21cos 0-==z z ∴dz zz z⎰=13cos =i i ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛-212七．求出将单位圆1<z 保形变换成单位圆1<w 的线性变换,并使a z =()0,1≠<a a 变到0=w .解:根据线性变换保对称点的性质,点a 关于单位圆周1=z 的对称点aa1*=,应该变成0=w 关于单位圆周1=w 的对称点∞=w ,因此所求变换具有形式az az kw 1--= 即 az a z w k --=11 其中a k k=1是常数.选择k 1,使得z=1变成单位圆周1=w 上的点,于是1111=--a ak 即11=k因此可令e k i β=1(β是常数),最后得到所求的变换为()11<--=a azaz w ei β的留数。
《复变函数》复习资料
《复变函数》 复习资料1一、判断题1. 把角形域映射为角形域用指数函数映射（ ）2.3.4.5.6.7. 分式线性映射在复平面上具有共形性、保圆性、保对称性。
（ ）8.9.10.二、解答题1.设)1()(2z z e z f z +=，求()f z 在1||0<<z 的洛朗展式（只写出含1z 到2z 各项）.2.利用留数定理计算复积分I =21az z e dz =⎰+1()()n n z dzz a z b =--⎰ (01,01a b <<<<且,a b n ≠为自然数).3.利用留数定理计算实积分θθθπd ⎰-20cos 452cos 4.三、解答与证明题1.如果在1z <内，函数()f z 解析，且1()1f z z≤-，求()(0)n f 的最优估计值. 2．（1）函数211x +当x 为实数时，都有确定的值且在全实轴上有任意阶导数，但它的泰勒展开式： -+-=+422111x x x却只当1<x 时成立，试说明其原因； （2）利用惟一性定理证明：210(1)sin ,(21)!n n n z z n ++∞=-=+∑1z <. 3.设)(z ϕ在:1C z =内解析且连续到C,在C 上()1z ϕ<试证 在C内部2()3z z z ϕ=+只有一个根0z .4. 设D 为单连通区域，()f z 在D 内解析，C 在D 内一条周线，0D 为C 的内部.若对于任意的0z D ∈都有1()Re 12C f d i z ξξπξ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭⎰，则在D 内恒有()f z 1ic =+，其中c 为实常数.答案一、1-5 FFTTF 6-10 TFFTF二、解答题1、设)1()(2z z e z f z+=，求()f z 在1||0<<z 的洛朗展式（只写出含1z 到2z 各项） 解：)1()(2z z e z f z+=211z e z z=+ =21(1)2!3!z z z ++++（2421(1)n n z z z -+-+-+）=215126z z z +--+（1||0<<z ）.2、利用留数定理计算复积分I =21az z e dz =⎰+1()()n n z dzz a z b =--⎰ (01,01a b <<<<且,a b n ≠为自然数)解：因为 ||1a <，||1b <且a b ≠ 所以1||1()()n n z dzI z a z a ==--⎰=2i π[Re ()z a s f z =+Re ()z bs f z =] =12121(1)...(22)112(1)()0(1)!()()n n n n n n i n b a a b π---⎡⎤---+=⎢⎥---⎣⎦设2I =21az z e dz =⎰，因为在单位圆周1z =内2az e 只有一个本质奇点0z =，在该点的去心领域内有洛朗展式：2az e =22412!a az z+++所以2Re 0az z s e ==，故20I =，因此原积分值为零。
复变函数考试大纲
《复变函数》课程考试大纲（Complex Variables Functions）课程编号：03110094课程类型：专业核心课所属教研室：数学与应用数学教研室总学时：45学分数： 3考核对象：09级数学与应用数学专业本科生执笔者：编写日期：一、课程性质与考试目的：《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业核心课，又是《数学分析》的后继化、完备化课程。
从数学理论角度看，它是数学的重要分支之一，内容丰富而完美。
在实用上，对力学、电学及理论物理等学科有着重要的应用。
复变函数方法是工程、科技的常用方法之一。
通过本课程的学习，一方面可以加深对《数学分析》中基础理论的理解，另一方面可以进一步锻炼学习者的能力，为他们下一步的学习奠定基础。
本课程主要研究解析函数，包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的幂级数表示法、解析函数的洛朗展式与孤立奇点、留数理论及其应用、共形映射这七部分必讲内容，这七部分内容涵盖了复变函数中三大理论（积分理论、级数理论、几何理论）的所有内容。
通过考试，不仅要考查学生对于该课程的基本概念、基本性质、基本理论理解、掌握得是否准确、全面，而且要考查学生分析问题和解决问题的能力是否得到提高，运用这些知识处理具体问题的综合、创造、归纳、概括等的能力是否得到发展，从而检查平时教学是否达到了教学要求，完成了教学大纲所提出的目标和任务。
二、考试内容及要求：第一章复数与复变函数【本章重点】复变函数的概念、极限与连续性1、考试内容：复数的概念，复变函数的极限和连续的概念；复数的乘幂与方根，复数方程；平面曲线(特别是简单闭曲线，光滑曲线或按段光滑曲线)与平面区域(包括单连通域与多连通域)。
2、考核要求：（1）．了解：区域的概念，复变函数的极限和连续的概念，扩充复平面；（2）．理解：复变函数概念；（3）．掌握：复数的概念、表示方法及其运算；复数运算的几何意义与复数方程表示的几何图形；复数的乘幂与方根；平面曲线(特别是简单闭曲线，光滑曲线或按段光滑曲线)与平面区域(包括单连通域与多连通域)。
复变函数复习提纲
复变函数复习提纲一、复数及复平面上的运算1.复数的定义和基本性质2.复数的表示形式：直角坐标形式和极坐标形式3.复数的加法和减法4.复数的乘法和除法5.复数的共轭、模和幅角二、复变函数的定义1.复变函数的定义和常见符号表示2.复变函数的实部和虚部3.复变函数的可导性和全纯性4.复变函数的解析函数和全纯函数5.复变函数与实变函数的区别三、复变函数的基本运算1.复变函数的和、差、积、商的性质2.复变函数的乘方和开方3.复变函数的复合函数和反函数4.复变函数的三角、指数和对数函数5.基本初等函数的推广四、复变函数的级数展开1.复变函数的幂级数展开2.零点的意义和展开中的唯一性3.幂级数的敛散性和收敛半径4.幂级数的和函数和导函数5.复变函数的泰勒级数展开和洛朗级数展开五、复变函数的积分1.复变函数的定积分和不定积分2.瑕积分和主值积分的定义3.复变函数的原函数和柯西-黎曼积分定理4.瑕积分和主值积分的计算方法5.狄利克雷定理和焦函数的应用六、解析函数的应用1.几何转化和连续映射2.物理应用：流体流动和电场问题3.工程应用：电阻网络和热传导问题4.统计应用：随机过程和随机变量5.数学应用：多复变数函数和复变函数的边界性质七、复变函数的解析延拓1.裂点和分岔点的概念和性质2.加点后的解析延拓和解析延拓的唯一性3.互补法和不动点法的应用4.点列内闭包性质和整函数性质的判别5.亚纯函数和亚纯函数的零点性质八、复变函数的几何应用1.复变函数的映射和对应关系2.线性变换和保持角度的特殊变换3.保形映射和自共轭函数的性质4.圆盘映射和单位圆盘函数5.黎曼映射和分式线性变换的应用九、复变函数的调和函数1.调和方程和调和函数的概念2.调和函数的基本性质和解析条件3.核函数和调和函数的唯一性4.调和函数的积分表示和傅里叶展开5.调和函数的应用：电势和温度分布以上是复变函数的复习提纲，包括了复数及复平面上的运算、复变函数的定义、复变函数的基本运算、复变函数的级数展开、复变函数的积分、解析函数的应用、复变函数的解析延拓、复变函数的几何应用和复变函数的调和函数等内容。
复变函数与积分变换复习提纲
复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：两个复数不能比较大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下：当0,x >arg arctan yz x =；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二)复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z eθθ==,则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nnin z z n i n z eθθθ=+=。
2）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ （有n 个相异的值）（三）复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射.2．复初等函数1）指数函数：()cos sin zxe ey i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。
复变函数复习提纲
复变函数复习题一、填空题 1、设点z i =--1212,则其辐角主值arg z (-π<arg z ≤π)为_______.2、s in z 在z =0的幂级数展式为_______.3、多项式p(z )=z 8-5z 5-2z +1在单位圆内有_______个零点.4、设f(z)是区域D 内的单值函数，如果_______，则称f(z)在D 内是单叶的.5、方程αz +αz =c (α为非零复常数，c 是实常数)所表示的z 的轨迹为_______. 6设w =z 3，(z ∈G :-π<arg z <π)为一单值分支，若w(i)=-i,则w(-i)=_______. 1i 3＝_______.2、0z ＝0是函数51cos )(zz z f -=的3、i y xy yi x x z f 322333)(--+=,则()f z '＝4、=]0,sin 1[Re zz s .5、函数sin w z =在4z π=处的转动角为____6、幂级数∑∞=0)(cos n n z in 的收敛半径为R =____________1、复数-2是复数________的一个平方根。
2、设y 是实数，则sin(iy)的模为________。
3、设a>0，则Lna=________。
4、记号R es z =af(z)表示________。
5、设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),如果________，则称f(z)满足柯西—黎曼条件6、方程z=t+it (t 是实参数)给出的曲线为________。
二、计算题1、xxx dx 22214()()+++∞⎰2、.设z =132-i ,求｜z ｜及Arg z .3、计算积分||z dz c⎰，其中C 是上半单位圆周，起点为-1，终点为1.4、求函数f (z )=14-e 2zz在z =0，∞的残数. 5、求())2)(1(--=z z zz f 在圆环域21<<z 和+∞<-<21z 内的洛朗展开式6、.设⎰-++=C d zz f ξξξξ173)(2，其中C 为圆周3||=z 的正向，求(1)f i '+7、计算积分dx x x x ⎰∞+∞-++54cos 22.8、y e v px sin =为调和函数，求p 的值，并求出解析函数iv u z f +=)( 9、求复数z=1-i 1+i的实部、虚部、模和辐角。
淮阴工学院课程考核大纲.doc
淮阴工学院课程考核大纲课程名称：高等数学适用对象：转专业学生教研室：高等数学教研室拟订人： xxx拟订日期： 2011年6月修订日期： 2013年7月审核人： xxx《高等数学》课程考核大纲一、命题依据及原则1.命题依据：根据我校本科工科高等数学教学大纲，按照重基础的原则，着重考核学生对基本概念的理解、基本运算的掌握程度以及对于所学知识的运用能力等；参考教材为《高等数学》（同济大学本科少学时第三版）。
2.命题原则：⑴本课程的考核命题在教学大纲规定的教学目的、教学要求和教学内容的范围之内；⑵考核命题突出课程的基本知识和重点内容；⑶兼顾各个能力层次，在试卷中，各层次题目所占分数比例为：识记约25% 、理解约40% 、应用35% ；⑷合理安排题目难易程度。
题目的难易程度分为：易、较易、较难、难四个等级。
在试卷中各个等级所占分数比例为：易约40%、较易约30%、较难约20%，难约10%。
命题时兼顾试题的能力层次和难易程度，在每份试卷中保持合理的结构。
二、考核要求《高等数学》是高等学校的工科类各学科的一门重要的基础课，要求学生在学完本课程以后，能够牢固掌握本课程的基本知识和基本方法、技能，并具有应用所学知识解决后继课程中的相关实际问题的能力。
本课程的考核着重基本知识和应用能力两方面。
三、考试形式及试卷结构1.试卷总分：100分；2.考核时限：120分钟；3.考核方式：闭卷；4.学生携带文具要求：不得使用红笔，其它无特殊要求；5.试卷题型比例：填充题30%、计算及应用题70%；6.试卷内容比例：基础题70%；提高题20%；较难题10%。
四、课程考试内容和要求1．函数、极限、连续1．1 会求函数的定义域；1．2 会求反函数、掌握函数的复合与分解；1．3 会建立简单实际问题中的函数关系1．4 会运用数列与函数极限的运算法则计算极限；1．5 会运用极限存在准则及等价无穷小计算函数的极限；1．6 会寻求简单函数的间断点并判定间断点的类型；1．7 会运用有界闭区间上的连续函数的性质证明相关的等式。
《复变函数》考试大纲
《复变函数》考试大纲课程名称：复变函数一、考试的总体要求本门课程主要要求：掌握该课程的基本概念及其性质，掌握复变函数的微积分理论、级数理论、留数、共形映射等方面的基础知识和基本方法，要求能用这些理论和方法解决有关问题的能力。
二、考试的内容及比例1、复数与复变函数（5%～10％）：(1) 掌握复数、复平面上的点集、复数的四则运算、乘方与开方、复数的三角表示。
(2) 掌握复变函数、极限、连续性。
(3) 了解约当曲线定理、复球面与无穷远点。
2、解析函数（10%～20％）：(1) 掌握解析函数的概念与柯西-黎曼条件、求导法则、可微的必要条件和充分条件、奇点。
(2) 多值解析函数的支点、割线、解析分支。
(3) 掌握初等解析函数（正整数次幂函数、指数函数、三角函数、双曲函数）。
(4) 了解初等多值函数（根式函数、对数函数）、初等多值函数（反三角函数、一般指数函数、一般幂函数）。
3、复变函数的积分（15%～25％）：(1) 掌握复积分的概念及基本性质。
(2) 掌握柯西积分定理（单连通与复连通域）、定积分与原函数。
(3) 掌握柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、刘维尔定理、莫勒拉定理。
(4) 理解调和函数与共轭调和函数的概念。
4、解析函数的幂级数表示法（10～15％）：(1) 了解复级数的基本性质、收敛与一致收敛性。
(2) 掌握幂级数、收敛半径、和函数性质、解析函数的泰勒展式、初等函数的泰勒展开。
(3) 掌握解析函数零点的孤立性及唯一性定理、最大模原理。
5、解析函数的罗朗展式与孤立奇点（10%～15％）：(1) 掌握解析函数的罗朗展式、解析函数的孤立奇点。
(2) 掌握解析函数在无穷远点的性质。
(3) 了解整函数与亚纯函数的概念及性质。
6、留数理论及基应用（10%～15％）：(1) 掌握留数的概念和求法、利用留数计算周线积分。
(2) 会利用留数定理计算一些实积分（前三种类型）。
(3) 掌握幅角原理、儒歇定理及应用。
复变函数论复习提纲
复变函数论复习提纲复变函数论一、复数与复变函数一、要求（一）明确复数、区域、复平面、扩充复平面，逐段光滑曲线等概念。
（二）明确复变函数概念和几何意义，掌握一些简单函数的变换性质。
（三）掌握复变函数的极限和连续性的概念和基本性质。
（四）熟练掌握复数的有关计算，会作点集的图形。
二、考试内容（一）复数概念、复数的表示法及其代数运算、复数的模与幅角、共轭复数及其简单运算。
（二）平面点集基本概念，曲线（连续曲线、约当曲线、逐段光滑曲线）、区域（单连通区域、复连通区域）、复平面。
（三）复变函数的概念及其几何意义，复变函数的极限与连续性。
（四）无穷远点，扩充复平面。
二、解析函数一、要求（一）掌握导数、解析函数的概念。
（二）掌握C——R条件，并能熟练地判断复变函数的可导性和解析性。
（三）掌握复基本初等函数的定义和基本性质。
（四）掌握正整幂函数、根式函数、指数函数、对数函数的变换性质，了解根式函数单值解析分支的取法。
二、考试内容（一）导数、解析函数、C——R条件。
（二）初等函数：正整幂函数与根式函数，指数函数与对数函数，三解函数与反三角函数，双曲函数，一般幂函数和一般指数函数。
三、复变函数的积分一、要求（一）明确复积分的概念及其基本性质。
（二）会证柯西积分定理和柯西积分公式；理解解析函数的无限可微性和莫勒拉定理。
（三）熟练地掌握复积分的计算方法。
（四）理解刘维尔定理，会证代数基本定理。
（五）掌握解析函数与调和函数的关系。
二、考试内容（一）复积分的概念、基本性质及其计算方法。
（二）柯西积分定理（在f'（z）连续的条件下，用格林公式证明）。
不定积分，复连通区域上的柯西积分定理。
（三）柯西积分公式，解析函数的无限可微性。
（四）柯西不等式、刘维尔定理、代数基本定理。
（五）莫勒拉定理。
（六）解析函数与调和函数的关系。
四、解析函数的幂级数表示法一、要求（一）明确收敛、绝对收敛、一致收敛、内闭一致收敛、幂级数、收敛半径、收敛圆、泰勒级数等概念。
复变函数复习考试提纲
• 复数的三角（指数）表示以及复数的几何意义
z = x + iy = r (cos θ + i sin θ) = reiθ θ = Argz = arg z + 2kπ, k = 0, ±1, ±2, . . .
y
y
z
r
.θ O
xx
• 复数辐角主值的取值范围：−π < θ0 ≤ π. 辐角主值的计算方法（采用在复平面作图的 办法确定辐角的取值）。
复变函数复习考试提纲
I 知识要点
第一章 复数及平面区域
• 必备知识：复数的定义，实部、虚部。共轭复数，复平面，复数对应的向量及其模，复 数的四则运算。
• 欧拉公式 由此可得 以及
eiθ = cos θ + i sin θ
cos θ
=
eiθ
+ e−iθ ,
sin θ = eiθ − e−iθ
2
2i
ei2kπ ≡ 1, k ∈ Z
• 留数基本定理 设 D 是由复围线 L 围成的区域，函数 f (z) 在 D¯ 上连续，f (z) 在 D
内除去有限个孤立奇点 z1, z2, . . . , zn 外处处解析，则
∮
∑n
f (z)dz = 2πi Res(f, zk)
L
k=1
如果积分路径内各孤立奇点的留数都能求出，则立即可求出 f (z) 的路径积分。
2
2i
第四章 复变函数的积分
• 由于复数是二元变量，关于复变函数的积分就成为平面曲线的曲线积分。
∫
∫
∫
∫
f (z)dz = [u(x, y) + iv(x, y)] d (x + iy) = [udx − vdy] + i [vdx + udy]
复变函数复习提纲
( z − z0 ) n f ( z ) = c− m ( z − z0 ) n − m + c− m+1 ( z − z0 ) n − m+1 + ⋅⋅⋅ + c−1 ( z − z0 ) n −1 + c0 ( z − z0 ) n + c1 ( z − z0 )n +1 + ⋅⋅⋅
d n −1 1 2 ⎡ ( z − z0 ) n f ( z ) ⎤ ⎦ = (n − 1)!c−1 + n !c0 ( z − z0 ) + (n + 1)n(n − 1) ⋅⋅⋅ 3 ⋅ c1 ( z − z0 ) + ⋅⋅⋅ dz n −1 ⎣
(2) 1 < z < 2 (3) 2 < z < +∞
(1) z < 1
10.将 f ( z ) =
1 在点 z = 1 和 z = 2 的去心邻域内展成洛朗级数。 ( z − 1)( z − 2)
第五章 备注：以下几个简单的结论在判断函数零点的级数和极点的级数时应该很有用。 请牢记。 (1) 设 f ( z ) = g ( z )ϕ ( z ) ， g ( z ), ϕ ( z ) 在 z0 解析且 ϕ ( z0 ) ≠ 0 。则 z0 为 f ( z ) 的 m 级零 点当且仅当 z0 为 g ( z ) 的 m 级零点。 这个结论说明函数之积的零点，只要看会使之为零的那一部分即可。 证明： 充分性 若 z0 为 g ( z ) 的 m 级零点，则 g ( z0 ) = g ′( z0 ) = ⋅⋅⋅ = g ( m −1) ( z0 ) = 0 ， g ( m ) ( z0 ) ≠ 0 。 当n < m ，
复变函数课程考核大纲
复变函数课程考核大纲一、适应对象修读完复变函数课程规定内容的数学与应用数学专业的本科学生。
二、考核目的考核学生对复变函数的基本概念、基本计算、基本理论的掌握情况，考核学生运用复变函数理论和方法处理实际问题的能力。
三、考核形式与方法考核形式分为平时考查与期末考试，平时考查主要针对学生完成作业与考勤，作业评阅分A、B、C三等，考勤主要针对无故旷课；期末考试为闭卷，考试时间为100分钟。
四、课程考核成绩构成期评成绩=平时考查成绩（30%）+ 期末闭卷考试（70%）。
平时考查成绩采用扣分制，考勤与作业各占平时成绩的60%和40%；满勤及每次作业在B 等以上可评定为满分100分；缺勤1课时扣3分，缺勤累计最多扣60分，缺交作业一次扣5分，缺交作业累计最多扣40分。
五、考核内容与要求第一章复数与复变函数考核内容1.1复数复数域,复数的乘幂与方根.1.2复平面上的点集区域,集与集之间的距离，区域的连通性,约当曲线.1.3复变函数复变函数的定义,复变函数的极限、连续性.1.4复球面与无穷远点考核要求掌握复数的几何表示及运算性质，了解复平面上的简单拓扑。
掌握复变函数的概念及有关性质，了解复球面与无穷远点概念。
第二章解析函数考核内容2.1解析函数的概念与柯西-黎曼方程复变函数的导数与微分,解析函数的概念，函数解析的充要条件: 柯西-黎曼条件.2.2初等解析函数指数函数，三角函数，双曲函数。
2.3初等多值函数根式函数，对数函数，一般幂函数，一般指数函数。
考核要求重点掌握解析函数的概念及柯西-黎曼条件；熟悉一些初等复变函数的基本特征。
第三章复变函数的积分考核内容3.1复积分的概念及其简单性质复变函数积分的定义，复积分的变量代换公式，积分估值。
3.2柯西积分定理柯西积分定理及其推论，不定积分，柯西积分定理的推广，复围线。
3.3柯西积分公式及其推论柯西积分公式，柯西积分的定义，解析函数的无穷可微性，柯西不等式，Liouville定理，Morera 定理。
复变函数积分变换复习提纲
复变函数积分变换复习提纲
一、积分变换的定义
1.复变函数积分变换的概念
2.不同积分变换的定义与区别（如拉普拉斯变换、傅立叶变换等）
二、积分变换的性质
1.线性性质：积分变换的线性性质以及相关的证明方法
2.逆变换：如何通过逆变换将变换后的函数还原为原函数
3.平移性质：积分变换中的平移性质以及具体计算方法
三、积分变换的计算方法
1.常用积分变换的计算：如拉普拉斯变换的计算步骤和方法
2.特殊函数的积分变换：如指数函数、正弦、余弦函数等
3.部分分数展开法：利用部分分数展开将复杂的函数进行积分变换
四、积分变换的性质应用
1.微分方程的解析解求解：利用积分变换可以将微分方程转化为代数方程进行求解
2.求极限：通过积分变换可以简化复杂函数的极限计算
3.求解积分：利用积分变换可以求解一些特定的积分问题
五、积分变换的应用举例
1.电路分析中的应用
2.信号与系统中的应用
3.滤波器设计中的应用
六、积分变换的常见问题与解决方法
1.变换域的收敛性与逆变换的存在性问题
2.利用积分变换求解非初值问题时需要注意的问题
3.实际问题的离散化处理：如何将连续问题转化为离散问题进行求解
七、积分变换的进一步研究与拓展
1.多变量复函数的积分变换
2.复杂函数的积分变换
3.积分变换在物理学、工程学等领域的应用
以上为复变函数积分变换的复习提纲，可以根据实际情况进行修改和补充。
希望对你的复习有所帮助！。
复变函数复习提纲
Chaper1 复变函数基本要求：1. 复数的基本概念： (一般表示，三角表示，指数表示，实部，虚部，模)2. 复数的四则运算，幂与方根的计算。
3. 几种常用初等函数的表达式(指数函数，对数函数，乘幂 函数与幂函数，三角函数与双曲函数)4. 解析函数：定义和解析的充要条件。
5. 掌握解析函数与调和函数的关系(已知解析函数的实部会求虚部，已知虚部会求实部，并解出解析函数()f z ω=)。
一、基本概念1、 复数的三种形式：i x iy z e ϕρϕρϕρ+⎧⎪=⎨⎪⎩代数式cos +i sin 三角式指数式()()()()2cos sin 1Re cos Im sin ,Arg(z)arg arctan [0]=Arg(z)=arg +2,0,1,2,i e i i i x z y z z y z x z k k ϕϕϕρϕρϕρϕπϕπ=+=−======⎛⎞=∈⎜⎟⎝⎠=±±"欧拉公式：为虚数单位，实部：虚部：模：辐角：记作辐角主值：，2一般：*i z x iy e ϕρ−=−=复共轭:2、 复数运算()()()()()()()()12121122121212112212121221121212121212211111222222222222121122i i i i i i z z x x i y y x iy x iy x x y y i x y x y z z e e e x x y y i x y x y x iy x iy x iy x iy x iy x iy x y z z e e e ϕϕϕϕϕϕϕϕρρρρρρρρ+±=±+±⎧+⋅+=−++⎪⋅=⎨⋅=⎪⎩⎧+++=⋅⎪+++⎪=⎨⎪=⎪⎩－加减：乘：－＝－除：−−()cos sin n n in n z e n i ϕn ρρϕ==+乘方：ϕ()()11122122cos sin 0,1,,1k i i k n nn nnz ee k k i k n nϕπϕπρρϕπϕπρ++⎡⎤==⎣⎦⎡++⎤⎛⎞⎛⎞=+=⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦"开方：n −y二、复变函数1、 单值函数 指数函数：zx iyx i e ee e +⋅==三角函数：sin cos 22i z i z i z i ze e e e z z i ⋅−⋅⋅−⋅−+==， 双曲函数：sinh cosh 22z z z e e e e z z −−−+==，z2、 多值函数 对数函数：()()()(2ln lnln ln 20,1,2,i k i z e e i k k ϕπϕρρρϕπ+⎡⎤===++=±±⎣⎦")根式函数：()111220,1,,1k i i k n nn nz ee k n ϕπϕπρρ++⎡⎤===⎣⎦"− 如：()1112244440,1,2,3k i i k z ee k ϕπϕπρρ++⎡⎤===⎣⎦()220,1k ik ϕπ+====幂函数：ln zz eαα=三、导数、解析函数1、()u v f z C R ⎧⎨−⎩、可微可导的充要条件是：满足条件2、：C R −条件 直角坐标系下：vy vx ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=−⎪∂∂⎩u x u y ， 极坐标系下：11u v u v ρρϕρϕρ∂∂⎧=⋅⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪⋅=−⎪∂∂⎩3、()D u v f z C R ⎧⎨−⎩、可微在区域上解析的充要条件是：满足条件4、 解析函数()=f z u iv ω+=的性质：（1）()()12,,u x y C v x y C ==和为相互正交的曲线族（2）均为D 上的调和函数（具有二阶连续偏导，且满足拉氏方程,u v 220,0u v ∇=∇=）。
《复变函数》复习大纲及例题
dz
2 i 2!
sin
z
2 z1
i
sin1
法2（留数定理）
z
1是函数
f
z
sin z
z 13
的三级极点，则
Re s
f
z ,1
1 lim 2! z1
z
13
sin z
z 13
2
1 2
，由留数定理得
C
sin z
z 13
dz
2 i
Re s
f
z ,1
i sin1
.
9. 复合闭路定理联合柯西积分公式（或留数定理、规则）
0
x2 2
ix
3 0
9 2
3i
.
11. 原函数与不定积分
例 11-1 计算积分： 3i e2zdz . i
解： 3i e2zdz 1 3i e2zd 2z 1 e2z 3i 0
i
2 i
2
i
1
例 11-2 计算积分： z sin zdz . 0
解：
1 z sin zdz
0
1 0
zd
cos
z
z
cos
z
1 0
1 0
cos
zdz
sin
1
cos1
.
12. 函数可导、解析的充要条件
例 12-1 函数 f x x2 iy 何处可导，何处解析.
解：由题得 u x, y x2,v x, y y ，则 u 2x, v 1, u 0, v 0 ，
x
y
y x
故当且仅当 2x 1 时柯西黎曼方程 u v , u v ，解得 x 1 ，
i
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复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：，是实数, ..注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：；2）幅角：在时，矢量与轴正向的夹角，记为（多值函数）；主值是位于中的幅角。
3）与之间的关系如下：当；当；4）三角表示：，其中；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：，其中。
(二) 复数的运算1.加减法：若，则2.乘除法：1）若，则；。
2）若, 则；3.乘幂与方根1）若，则。
2）若，则（有个相异的值）（三）复变函数1．复变函数：，在几何上可以看作把平面上的一个点集变到平面上的一个点集的映射.2．复初等函数1）指数函数：，在平面处处可导，处处解析；且。
注：是以为周期的周期函数。
（注意与实函数不同）3） 对数函数： （多值函数）；主值：。
（单值函数）的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析，且；注：负复数也有对数存在。
（与实函数不同）3）乘幂与幂函数：；注：在除去原点及负实轴的平面内处处解析，且。
4）三角函数：在平面内解析，且注：有界性不再成立；（与实函数不同）4） 双曲函数 ；奇函数，是偶函数。
在平面内解析，且。
例题:1． 复数的辐角为 [ ]A． B． C． D．2．函数把Z平面上的单位圆周|z|=1变成W平面上的[ ]A.不过原点的直线B.双曲线C.椭圆D.单位圆周3．下列方程不表示圆周的是[ ]A． (0≤t<2π) B． (r>0, 0≤t<2π) C． (0≤t<2π) D．4. 当时，的值等于[ ].A. B. C. 1 D. -15．已知，则=[ ]A． B． C． D．6．函数在点处连续的充要条件是[ ].A．在处连续 B. 在处连续C. 和在处连续 D．+在处连续7．复数的指数形式为___________。
8．设z=，则argz＝_________________。
（四）解析函数的概念1．复变函数的导数1）点可导：=；2）区域可导： 在区域内点点可导。
2．解析函数的概念1）点解析： 在及其的邻域内可导，称在点解析；2）区域解析： 在区域内每一点解析，称在区域内解析；3）若在点不解析，称为的奇点；3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1．函数可导的充要条件：在可导和在可微，且在 处满足条件：此时， 有。
2．函数解析的充要条件：在区域内解析和在在内可微，且满足条件：；此时。
注意： 若在区域具有一阶连续偏导数，则在区域内是可微的。
因此在使用充要条件证明时，只要能说明具有一阶连续偏导且满足条件时，函数一定是可导或解析的。
3．函数可导与解析的判别方法1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1）2）利用充要条件 （函数以形式给出，如P43,例2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。
（函数是以的形式给出，如第二章习题3）例题:7．函数在点可导是在点解析的[ ].A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件；C．充分必要条件 D. 以上答案全不对. 8．复数的实部= [ ]A． B． C． D．9．下列函数中，不解析的函数是[ ]A． B．C． D．10．在复平面上，下列关于正弦函数的命题中，错误的是[ ] A．是周期函数 B．是解析函数C． D．11．为[ ]A．无定义的 B．0C．πi D．(2k+1)πi (k为整数)12. 设在全平面解析,求的值.（六）复变函数积分的概念与性质1． 复变函数积分的概念：，是光滑曲线。
注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。
2． 复变函数积分的性质1） （与的方向相反）；2） 是常数；3） 若曲线由与连接而成，则。
3．复变函数积分的一般计算法1）化为线积分：, ；（常用于理论证明）2）参数方法：设曲线： ，其中对应曲线的起点，对应曲线的终点，则 。
重要结论：。
（是包含的任意正向简单闭曲线）例题:设z=x+iy，L为从原点到1+i的直线段.求； (答案: 1)（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1．柯西—古萨基本定理：设在单连域内解析，为内任一闭曲线，则2．复合闭路定理： 设在多连域内解析，为内任意一条简单闭曲线，是内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以为边界的区域全含于内，则① 其中与均取正向；② ，其中由及所组成的复合闭路。
3．闭路变形原理 ： 一个在区域内的解析函数沿闭曲线的积分，不因在内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中不经过使不解析的奇点。
4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设在单连域内解析，为在内的一个原函数，则说明：解析函数沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。
5。
柯西积分公式：设在区域内解析，为内任一正向简单闭曲线，的内部完全属于，为内任意一点，则6．高阶导数公式：解析函数的导数仍为解析函数，它的阶导数为其中为的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于。
例题:12．设为正向曲线，则＝[ ]A． B．C．0 D．113．设为正向曲线，则＝[ ]A． B．C．0 D．114．设C为正向圆周，n为自然数，则积分等于[ ]A． 1 B．2πi C．0 D．15．设C为自点至点的直线段，则。
16．若C为正向圆周|z-3|=2，则= 。
17. ，其中曲线； (答案:)18. ，其中曲线；(答案:0)19.8．复变函数积分的计算方法1）若在区域内处处不解析，用一般积分法2）设在区域内解析，是内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，是内的一条非闭曲线，对应曲线的起点和终点，则有3）设在区域内不解析曲线内仅有一个奇点：（在内解析）曲线内有多于一个奇点：（内只有一个奇点）或：（留数基本定理）若被积函数不能表示成，则须改用第五章留数定理来计算。
（九）复数项级数1．复数列的极限1）复数列（）收敛于复数的充要条件为（同时成立）2）复数列收敛实数列同时收敛。
2．复数项级数1）复数项级数收敛的充要条件是级数与同时收敛；2）级数收敛的必要条件是。
注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。
（十）幂级数的敛散性1．幂级数的概念：表达式或为幂级数。
2．幂级数的敛散性1）幂级数的收敛定理—阿贝尔定理(Abel)：如果幂级数在处收敛，那么对满足的一切，该级数绝对收敛；如果在处发散，那么对满足的一切，级数必发散。
2）幂级数的收敛域—圆域幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。
3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。
比值法 如果，则收敛半径；根值法 ，则收敛半径；如果，则；说明在整个复平面上处处收敛；如果，则；说明仅在或点收敛；注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。
（如）3．幂级数的性质1）代数性质：设的收敛半径分别为与，记，则当时，有（线性运算）（乘积运算）2）复合性质：设当时，，当时，解析且，则当时，。
3） 分析运算性质：设幂级数的收敛半径为，则其和函数是收敛圆内的解析函数；在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；（十一）幂函数的泰勒展开1. 泰勒展开：设函数在圆域内解析，则在此圆域内可以展开成幂级数；并且此展开式是唯一的。
注：若在解析，则在的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径；其中为从到的距最近一个奇点之间的距离。
2．常用函数在的泰勒展开式1）2）3）4）3．解析函数展开成泰勒级数的方法1）直接法：直接求出，于是。
2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。
例题:1.若级数在点收敛，则它必在[ ].A．点收敛 B．点发散C. 点收敛D. 点发散.2. 级数的收敛半径 .3. 设，则幂级数的收敛半径为___________。
4. 将在复平面内展开成的幂级数 .5. 把函数展开成的幂级数.( )（十二）幂函数的洛朗展开1. 洛朗级数的概念：，含正幂项和负幂项。
2．洛朗展开定理：设函数在圆环域内处处解析，为圆环域内绕的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有 ，且展开式唯一,。
3．解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。
例题:6. 将分别在下面的圆环域内展开为洛朗级数：(1)：; (2)：7. 试求函数在区域（a）； （b）；的罗朗级数展开式。
（十三）孤立奇点的概念与分类1。
孤立奇点的定义 ：在点不解析,但在的内解析。
2。
孤立奇点的类型：1）可去奇点：展开式中不含的负幂项；2）极点：展开式中含有限项的负幂项；其中在解析，且；3）本性奇点：展开式中含无穷多项的负幂项；（十四）孤立奇点的判别方法1．可去奇点：常数；2．极点：3．本性奇点：不存在且不为。
4．零点与极点的关系1）零点的概念：不恒为零的解析函数，如果能表示成，其中在解析，为正整数，称为的级零点；2）零点级数判别的充要条件是的级零点3）零点与极点的关系：是的级零点是的级极点；4）重要结论若分别是与的级与级零点，则是的级零点；当时，是的级零点；当时，是的级极点；当时，是的可去奇点；当时，是的级零点，当时，是的级零点，其中例题:1. 判定下列孤立奇点的类型z=0是的可去奇点,是的2级极点; z=0是的2级极点,是的1级极点（十五）留数的概念1．留数的定义：设为的孤立奇点，在的去心邻域内解析，为该域内包含的任一正向简单闭曲线，则称积分为在的留数（或残留），记作2．留数的计算方法若是的孤立奇点，则，其中为在的去心邻域内洛朗展开式中的系数。
1）可去奇点处的留数：若是的可去奇点，则2）级极点处的留数法则I 若是的级极点，则特别地，若是的一级极点，则注：如果极点的实际级数比低，上述规则仍然有效。
法则II 设，在解析，，则法则III 在处的留数,例题1. .2. 求在有限奇点处的留数（十六）留数基本定理设在区域内除有限个孤立奇点外处处解析，为内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数在内各孤立奇点处留数的局部问题。
3. 计算积分，其中，方向为逆时针方向. ()4. 计算积分，其中:,方向均为逆时针方向.积分变换复习提纲一、傅里叶变换的概念傅里叶正弦变换,傅里叶正弦逆变换应用: 利用Fourier变换求解微分方程,积分方程.例题:利用Fourier变换求积分方程的解,其中四、拉普拉斯变换的概念五、几个常用函数的拉普拉斯变换；六、拉普拉斯变换的性质微分性（时域）：微分性（频域）：，积分性（时域）：积分性（频域）：（收敛）位移性（时域）：位移性（频域）：（,）相似性：七、卷积及卷积定理Fourier卷积;Laplace卷积应用: 利用Laplace变换求解微分方程,积分方程重修班课时安排:1. 第1,2章2. 第3章3. 第4,5章4. 积分变换部分5. 复习课与答疑。