第五讲 最大公约数与最小公倍数
第五讲 最大公约数和最小公倍数
第五讲最大公约数和最小公倍数一、求下列每组数的最大公约数和最小公倍数1、｛24，60，45｝2、｛90，74，30｝3、｛1500，30，150｝4、｛56，36，384｝5、｛180，840，150｝二、求出最大公约数1、｛2700，7560，3960｝2、｛440，126，825｝3、｛6519，8733｝4、｛36963，59570｝三、公约和公倍1、将一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板，剪成面积相等的小正方形而没有剩余，问至少可以剪出多少块？2、今有语文课本42本，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆，每堆中这三种课本的数量分别相等，那么最多可分多少堆？3、把192支铅笔，128支练习本，96册故事会最多可分成几份同样的奖品？每种奖品各是多少？4、幼儿园的老师给班里的孩子送来40个橘子，200快饼干，120块奶糖平均分发完毕后还剩4个橘子，20块饼干，12块奶糖，这班共有多少个小朋友？5、苹果362个，梨234个，等分给若干个小朋友，最后多了5个苹果和3个梨，每人分到的苹果和梨的总数不超过30个，那么小朋友有多少人？6、有一个自然数，去除200余5，去除300余1，去除400也余10，求之歌自然数最大是多少？7、有一块三角形土地，三边的长度分别是126米，168米，210米，现在这三条边上等距离栽菊花，并且每两棵花之间的距离尽量大，问一共要栽多少颗花？8、一排电线杆有25根，原来每两根之间的距离是30米，现在改为45米，如果起点的一根不动，可以有几根不需要移动？9、有三根钢管，分别长200厘米，240厘米，360厘米。
现在要把这三根钢管接成尽可能长而且相等的小段，一共可以截成多少段？10、一种长方形木块，长9厘米，宽6厘米，高7厘米。
用这样的长方形堆成一个正方形，至少需要多少块？11、有一个自然数被3除余2，被4除余3，被5除余4，这个自然数最小是多少？12、有一盒乒乓球每次8个8个数，10个10个数，12个12个数，最后总是剩下3个，这盒乒乓球至少有多少个？13、一班的五十几个同学参加体育活动，每6人一组则少3人，每9人一组则多3人。
最大公约数和最小公倍数24页PPT
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
最大公约和最小公倍数
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
5年级奥数讲义(最大公约数最小公倍数)
第五讲最大公因数与最小公倍数 （教师版）例1、437与323的最大公约数是多少？基本概念：1、公约数和最大公约数 几个数公有的约数．．．．．．．．，叫做这几个数的公约数．．．．．．．．．．；其中最大的一个．．．．．．．，叫做这几个数的最大公约数．．．．．．．．．．．．。
例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。
12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。
一般地我们用（a,b ）表示a,b 这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。
如果（a,b ）=1,则a,b 两个数是互质数。
2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，… 18的倍数有18，36，72，90，…12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和 18的最小公倍数。
一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b 的最小公倍数，如[12，18]=36。
3、最大公约数与最小公倍数的求法A ．最大公约数求两个数的最大公约数一般有以下几种方法 （1）分解质因数法 （2）短除法 （3）辗转相除法 （4）小数缩倍法 （5）公式法前两种方法在数学课本中已经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。
当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。
B ．最小公倍数求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法： （1）分解质因数法 （2）短除法 （3）大数翻倍法（4）a×b =（a,b ）×[a,b]上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。
例2、24871和3468的最小公倍数是多少？练习254216933的最简分数是多少？例3、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。
新北师大版五年级数学上册《最大公约数与最小公倍数的比较》课件
本节课我们主要来学习最大公约数和 最小公倍数的比较，同学们要理解并 掌握最大公因数和最小公倍数的概念， 知道求两个数的最大公约数和最小公 倍数的不同。
例题
求28和42的最大公约数和最小公倍数 2 28 42 7 14 21 23
28和42的最大公约数 2×7＝14
28和42的最小公倍数 2×7×2×3＝84
A. 2×3＝6
B. 3×5＝15
C. 2×3×3×5＝90
18和30的最小公倍数是（ B ） A：2×3＝6 B：2×3×3×5＝90 C：18×30＝540
练习
改错：找出下列各题错在哪里，并说明
如何改正。
2 60 90
3 30 45
5 10 15
2
3
60和90的最大公约数是2×3＝6
修改 2×3 × 5＝30
相同 点
不同 点
求两个数的 求两个数的
最大公约数 最小公倍数
用短除的形式分 解质因数，直到 两个商是互质数 为止。
同左
把所有的除数 把所有的除数和 乘起来。 商乘起来。
求两个数的最大公约数和最小 公倍数的区别
两个数的最大公约数是它们的公约数 中最大的，它必须包含两个数全部公有 的质因数。
所有除数正好是两个数全部公有的质 因数，所以，求最大公约数就要把所有 除数乘起来。
9和15 最大公约数是3，最小公倍数105 9和27 最大公约数是9，最小公倍数27
7和21 最大公约数是7，最小公倍数21
7和12 最大公约数是1，最小公倍数84
本节课我们主要学习了哪些内容？同桌之间 互相讨论一下!
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《最大公约数和最小公倍数的比较》课件
本课件将介绍最大公约数和最小公倍数的比较，包括概念、计算方法和应用 实例。最大公约数和最小公倍数是数学中重要的概念，并可以在解决实际问 题时发挥重要作用。
概念介绍
最大公约数
指两个或多个整数共有约数中，最大的一个。
最小公倍数
指若干整数公有倍数中，最小的一个数。
计算方法
1 最大公约数
2 最小公倍数
辗转相除法、质因数分解法、更相减损法
辗转相乘法、质因数分解法
比较
1 一般情况下
最大公约数和最小公倍数没有必然联系。
3 最大公约数和最小公倍数
在问题中均可作为计算中的重要角色。
2 有时最大公约数
可以帮助计算最小公倍数。
应用实例
1
分数的化简和通分
帮助我们进行分数的简化和寻找相同
可以帮助我们更好地题中
最大公约数和最小公倍 数可以发挥重要的作用， 从而帮助我们解决问题。
有理数的加减乘除
2
分母的通分方法。
在有理数的运算中，最大公约数和最
小公倍数的概念有重要应用。
3
最小公倍数和最大公约数在解
方程时的应用
筛选质数中使用的筛选法
4
可以帮助我们确定方程的整数解。
通过最大公约数和最小公倍数的相关 方法，可以筛选出质数。
总结
1 最大公约数和最小
公倍数是数学中重
要的概念。
2 不同的计算方法
最大公约数与最小公倍数
第五讲 最大公约数与最小公倍数【知识导引】一、约数的概念与最大公约数约数又叫因数（在正整数范围内)整数a 能被整数b 整除,a 叫做b 的倍数,b 就叫做a 的约数。
最大公约数:如果一个数既是数a 的约数,又是数b 的约数,称为[a,b]的约数。
几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数.1. 求最大公约数的方法①分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。
例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。
例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=;③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数;再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数;这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。
那么,最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的）.例如,求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=;301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15。
2。
最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数;②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n 。
3。
求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变;求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；ba即为所求。
二、倍数的概念与最小公倍数对于整数m ，能被n 整除（n/m ），那么m 就是n 的倍数。
最大公约数与最小公倍数
最大公约数与最小公倍数最大公约数和最小公倍数是数学中常见的概念，用于计算两个或多个数的公共因数和公共倍数。
本文将详细介绍最大公约数和最小公倍数的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）最大公约数指的是两个或多个数中能够同时整除的最大的正整数。
在计算最大公约数时，我们常用到欧几里得算法。
这个算法基于一个简单的原理：两个整数的最大公约数等于其中较小数和两数相除余数的最大公约数。
例如，如果要计算30和45的最大公约数，首先用较大的数除以较小的数：45 ÷ 30 = 1 余 15然后将较小的数（30）与余数（15）进行计算：30 ÷ 15 = 2 余 0余数为0时，计算结束。
此时，最大公约数为较小的数（15）。
当涉及到多个数的最大公约数计算时，可以逐一计算两个数的最大公约数，得到的结果再与下一个数计算最大公约数，以此类推直到最后一个数。
最大公约数在实际问题中常用于简化分数、约简比例以及计算整数倍等方面。
它也是许多算法和数学问题的重要组成部分。
二、最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）最小公倍数指的是两个或多个数中能够被它们同时整除的最小正整数。
计算最小公倍数时，我们可以使用最大公约数来简化计算。
最小公倍数可以通过以下公式计算得到：最小公倍数 = 两数的乘积 / 最大公约数例如，如果要计算12和15的最小公倍数，首先计算它们的最大公约数：12的因数为1、2、3、4、6、1215的因数为1、3、5、15可以看出，它们的最大公约数为3。
然后，将两个数的乘积除以最大公约数得到最小公倍数：（12 × 15）÷ 3 = 60因此，12和15的最小公倍数为60。
最小公倍数在实际问题中常用于解决时间、速度、周期等相关计算。
例如，计算两个车辆同时从起点出发，分别以不同速度绕圈行进，要求它们再次同时回到起点的最短时间，即可使用最小公倍数来得到答案。
数的最大公约数与最小公倍数知识点总结
数的最大公约数与最小公倍数知识点总结数的最大公约数与最小公倍数是数学中的常见概念，涉及到整数的性质和运算规则。
在解决实际问题和数学计算中，了解和掌握这些知识点对于提高计算效率和解题能力非常重要。
下面将对数的最大公约数与最小公倍数进行知识点的总结。
一、最大公约数最大公约数指的是两个或多个数中都能整除的最大的一个数。
最大公约数的计算可以通过以下几种方法进行：1. 列举法：分别列出两个或多个数的所有因数，找出它们的公共因数，并选择其中最大的一个作为最大公约数。
2. 素数分解法：将两个或多个数分别进行素因数分解，然后提取出共有的素因数并相乘，结果即为最大公约数。
3. 辗转相除法（欧几里得算法）：假设有两个数a和b，令r为a除以b所得的余数，如果r为0，则b即为最大公约数；如果r不为0，则将b赋值给a，将r赋值给b，然后继续进行除法运算，直到余数为0为止。
最大公约数在实际应用中有很多用途，比如简化分数、求解整数倍问题等。
二、最小公倍数最小公倍数指的是两个或多个数中能够被它们整除的最小的数。
最小公倍数的计算可以通过以下几种方法进行：1. 列举法：列出两个或多个数的所有倍数，找出它们的公共倍数，并选择其中最小的一个作为最小公倍数。
2. 素数分解法：将两个或多个数分别进行素因数分解，然后提取出所有的素因数并相乘，结果即为最小公倍数。
3. 最大公约数法：假设有两个数a和b，它们的最小公倍数可以通过最大公约数来求解，公式为：最小公倍数=两数乘积/最大公约数。
最小公倍数在实际应用中也有很多用途，比如解决同时到达问题、计算工作效率等。
三、最大公约数与最小公倍数的关系最大公约数与最小公倍数之间存在着以下关系：1. 两个数的乘积等于它们的最大公约数与最小公倍数的积，即a*b=最大公约数*最小公倍数。
2. 如果两个数互质（最大公约数为1），那么它们的最小公倍数就等于它们的乘积。
3. 最大公约数与最小公倍数之间并不总是存在倍数关系。
小学数学中的最小公倍数与最大公约数
小学数学中的最小公倍数与最大公约数最小公倍数（LCM）和最大公约数（GCD）是小学数学中的重要概念，它们在整数运算和分数化简等方面起着关键作用。
本文将介绍最小公倍数与最大公约数的定义、计算方法以及应用场景。
一、最小公倍数（LCM）最小公倍数是指两个或多个数中能被所有这些数整除的最小的正整数。
用符号LCM表示。
计算最小公倍数的方法有两种常见的途径：质因数分解法和公式法。
1. 质因数分解法通过对每个数的质因数分解，求得各个数中所有质因数的最高次幂，然后将这些最高次幂相乘，即可得到最小公倍数。
举例说明：求16和24的最小公倍数。
首先，对16和24进行质因数分解：16 = 2^424 = 2^3 × 3^1接下来，取所有质因数的最高次幂相乘：最小公倍数 = 2^4 × 3^1 = 48因此，16和24的最小公倍数为48。
2. 公式法对于两个数a和b，其最小公倍数可通过以下公式来计算：最小公倍数 = |a × b| / GCD(a, b)其中，GCD(a, b)表示a和b的最大公约数。
举例说明：求28和42的最小公倍数。
首先，计算28和42的最大公约数：28 = 2^2 × 7^142 = 2^1 × 3^1 × 7^1最大公约数为2^1 × 7^1 = 14。
然后，应用公式法计算最小公倍数：最小公倍数 = |28 × 42| / 14 = 84因此，28和42的最小公倍数为84。
最小公倍数的应用：最小公倍数常用于解决关于分数化简、有理数比较和约分等问题。
例如，在分数的加减乘除运算中，需要将分母化为相同的最小公倍数，以便进行运算。
此外，在化简分数时，最小公倍数可以帮助我们找到最简形式的分数。
二、最大公约数（GCD）最大公约数是指两个或多个数中能整除它们的最大的正整数。
用符号GCD表示。
计算最大公约数的方法有两种主要的途径：欧几里得算法和质因数分解法。
求两个数的最大公约数和最小公倍数课件
性质多样
最大公约数和最小公倍数还有许多其他有趣的 性质和定理。
最大公约数和最小公倍数的关系
最大公约数和最小公倍数的乘积
两数的最大公约数乘以最小公倍数等于这两个数 的乘积。
最大公约数和最小公倍数的关系
最大公约数是最小公倍数的因子，最小公倍数是最 大公约数的倍数。
结论和要点
• 最大公约数是两个或多个整数的公共因子中最大的一个。 • 最小公倍数是两个或多个整数的公共倍数中最小的一个。 • 可以用欧几里得算法、质因数分解法等方法求最大公约数。 • 可以用公式法、分解法等方法求最小公倍数。 • 最大公约数和最小公倍数有许多应用和有趣的性质。
花坛布置
最大公约数和最小公倍数可以帮 助布置花坛，让花朵的位置更加 均匀美观。
最大公约数和最小公倍数的性质
交换律
最大公约数和最小公倍数满足交换律，在计算 中可以任意改变数字的位置。
结合律
最大公约数和最小公倍数满足结合律，计算时 可以先计算一部分数字的最大公约数或最小公 倍数。
单位元
最大公约数和最小公倍数都有一个单位元，即1， 与任何数的最大公约数和最小公倍数都是1。
求两个数的最大公约数和 最小公倍数ppt课件
最大公约数和最小公倍数是数学中常见的概念。本课件将帮助您了解它们的 定义、计算方法、应用以及性质。
最大公约数和最小公倍数的定义
1 最大公约数
2 最小公倍数
是两个或多个整数的公共因子中最大的一个。
是两个或多个整数的公共倍数中最小的一个。
求最大公约数的方法
别取出各个质因数的最高次幂相乘。
3
公式法
最小公倍数等于两数的乘积除以最大公 约数。
相对质数法
首先计算出两个数的最大公约数，然后 将两个数相乘再除以最大公约数。
最大公约数与最小公倍数的计算
最大公约数与最小公倍数的计算最大公约数（GCD）与最小公倍数（LCM）是数学中常见的概念，用于计算两个或多个数的共同特征。
在数论和代数学中，这两个概念扮演着重要的角色。
本文将介绍最大公约数与最小公倍数的概念，以及它们的计算方法。
一、最大公约数最大公约数，英文缩写为GCD（Greatest Common Divisor），指的是一组数中最大的能够同时整除这些数的正整数。
它具有以下性质：1. 两个数的最大公约数不会超过它们中较小的数。
即GCD(a, b) ≤ min(a, b)。
2. 若一个数能够同时整除两个数，则它必然也能够整除它们的最大公约数。
即若a % c = 0 且 b % c = 0，则GCD(a, b) % c = 0。
最大公约数的计算方法有多种，常见的有欧几里得算法（Euclidean Algorithm）。
欧几里得算法的原理是不断使用取余运算，直到余数为0为止，此时除数即为最大公约数。
例如，计算 72 和 48 的最大公约数：1. 用 72 除以 48，得到商为 1，余数为 24。
2. 用 48 除以 24，得到商为 2，余数为 0。
3. 余数为 0，因此最大公约数为 24。
二、最小公倍数最小公倍数，英文缩写为LCM（Least Common Multiple），指的是一组数中能够同时被这些数整除的最小正整数。
它具有以下性质：1. 两个数的最小公倍数不会小于它们中较大的数。
即LCM(a, b) ≥ max(a, b)。
2. 若一个数能够被两个数同时整除，则它必然也是它们的最小公倍数的因子。
即若c % a = 0 且 c % b = 0，则c % LCM(a, b) = 0。
最小公倍数的计算方法也有多种，其中一种简便方法是利用最大公约数的性质：1. 先计算最大公约数GCD(a, b)。
2. 使用公式 LCM(a, b) = (a* b) / GCD(a, b)，计算最小公倍数。
例如，计算 72 和 48 的最小公倍数：1. 首先计算最大公约数 GCD(72, 48) = 24。
数论中的最大公约数与最小公倍数
数论中的最大公约数与最小公倍数数论是研究整数的性质和规律的数学分支，其中最大公约数和最小公倍数是数论中常见且重要的概念。
本文将介绍最大公约数和最小公倍数的定义、性质以及应用，以帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、最大公约数的定义与性质最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
对于整数a和b，记作GCD(a,b)，其中a≠0或b≠0。
最大公约数具有以下性质：1. 对称性：GCD(a,b)=GCD(b,a)。
2. 传递性：若a能整除b，b能整除c，则a也能整除c。
即，若a|b 且b|c，则a|c。
3. 相关性：若a|b，b|c，则GCD(a,c)=a或GCD(a,c)=b。
4. 数量性：GCD(a,b)≥1，当且仅当a和b有公共的质数因子。
最大公约数在数论、代数、密码学等领域都有重要的应用。
例如，它可以用来求解线性同余方程，并在密码学中用于数据加密和解密。
二、最小公倍数的定义与性质最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。
对于整数a和b，记作LCM(a,b)，其中a≠0且b≠0。
最小公倍数具有以下性质：1. 对称性：LCM(a,b)=LCM(b,a)。
2. 传递性：若a能整除b，b能整除c，则a也能整除c。
即，若a|b 且b|c，则a|c。
3. 相关性：若a|b，b|c，则LCM(a,c)=c或LCM(a,c)=b。
最小公倍数的计算也是很重要的，它常常用于分数的通分、有理数的化简等问题中。
同时，在应用数学、电路设计等领域，最小公倍数也有广泛的应用。
三、最大公约数与最小公倍数的关系最大公约数与最小公倍数之间有一个重要的性质，即对任意两个整数a和b，有以下等式成立：a ×b = GCD(a,b) × LCM(a,b)。
这个等式的推导可以用因数分解的方法来证明，它意味着最大公约数和最小公倍数之间的乘积等于这两个数的乘积。
小学奥数-最大公约数与最小公倍数PPT课件
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3.怎样求两个数的最大公约数
（1）列举法： （2）分解质因数法： （3）短除法：
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（1）列举法
例如，求18和30的最大公约数。
18的约数： 30的约数：
1 2 3 6 9 18 1 2 3 5 6 10 15 30
公约数：
1、2、3、6
最大公约数:6
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6
6
（除法求最大公约数
解
5 30 60 75 3 6 12 15
2 45
（30，60，75）＝5×3＝15
答：这个数最大是15。
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（2）整除中几个数共同的被除 数——最小公倍数
例2、一个数用3、4、5除都能整除， 这个数最小是多少？
分析：这个数能被3、4、5整除， 说明它是3、4、5的公倍数，
分析：要使生产均衡，各道工序生产 出的零件应当一样多，且正好是3、 10和5的公倍数。
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解：要使生产均衡，各道工序生产出的零件应当一样 多，并且是3、10和5的公倍数。
[3，10，5]
5 3 10 5 32 1
＝5×3×2×1＝ 30
各道工序均应加工30个零件。
30÷3＝10 30÷10＝3 30÷5＝6。
答：三道工序至少分别需要10个、 3个、6个工人。
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例5、一次会餐有三种饮料，餐后统 计，三种饮料共用了65瓶；已知，平 均每2人饮用一瓶A饮料，每3人饮用 一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料。 问参加会餐的人数是多少人？
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5、怎样求最小公倍数
1、列举法 2、分解因数法 3、短除法
人教版最大公约数最小公倍数PPT教学课件
（5）光照
（6）紫色石蕊试液
（7）镁粉
（8）H2O2
在线讨论：
4、[CuCl4]2－+4H2O [Cu(H2O)4]2++4Cl－
（绿色）
（蓝色）
在此平衡体系中，改变下列条件：①加入适量
NaCl ②加入适量AgNO3 溶液 ③加入适量水， 溶液颜色将如何改变？
5.由于用氯气对饮用水消毒，会使水中的有机物反 生氯化，生成的有机含氯化合物对人体有害。世界环 保联盟即将全面禁止这种消毒方法，建议采用广谱性 具有强氧化性的高效消毒剂二氧化氯（ClO2）。ClO2 极易爆炸，生产和使用时尽量用惰性气体稀释，避免 光照、震动或加热。
不同点
把所有的除数 乘起来．
把所有的除数和 商乘起来．
求两个数的最大公约数和最小 公倍数的区别
两个数的最大公约数是它们的公约数 中最大的，它必须包含两个数全部公有 的质因数．
所有除数正好是两个数全部公有的质 因数，所以，求最大公约数就要把所有 除数乘起来．
求两个数的最大公约数和最小公倍数的区别
最小公倍数既要包含两个数全部公 有的质因数，又要包含各自独有的 质因数．两个数的商分别是它们独 有的质因数．所以求两个数的最小 公倍数要把所有的除数和商乘来．
如何改正．
2 60 90
3 30 45
5 10 15
2
3
60和90的最大公约数是2×3＝6
修改 2×3 × 5＝30
60和90的最小公倍数是2×3 ×10 ×15 ＝900
修改 2×3 ×5 × 2×3 ＝180
练习
改错：找出下列各题错在哪里，并说明
如何改正 ． 7 7 1 2 1 12
7和12的最大公约数是7
小学数学五年级《最大公约数与最小公倍数》PPT课件
例1 求2249与1903的最小公倍数。
这个题用短除法很难找出他们的最小 公倍数，所以我们用辗转相除法， 2249 1903 5 346 346 0 1903 1 1730 173 2
2249和1903的最 小公倍数是173
练习1 求2124与2714的最大公约数和 最小公倍数。 2714 2124
3 1
590 354 236 236 0
2124 1 1770 354 1 236 118 2
2124和2714的最 小公倍数是118
练习2 求19351与3661的最大公约数。
19351 18305 3 1046 1046 0
3661 5 3138 523 2
19351和3661的最 小公倍数是523
但是，（5，45）=5，（15，35）=5 （10，40）=10，（20，30）=10， （25，25）=25，
所以这两个数可能是5和45，或 15和35，它们的差可能是40或20.
练习 两个自然Leabharlann 的和为49，它们的最大公 约数是7，问，这两个数的差是多少？
这两个数可能是21和28，也可能是14和35， 还可能是7和42，它们的差可能是7、21、35.
首先把小数化成整数，分别是357厘米， 105厘米
练习 将一块长75米，宽60米的长方形土地 划分成面积相等的小正方形土地，那么小正 方形土地最大面积是多少平方米？
例6 两个数的最大公约数是4，最小公倍数是 252，其中一个数是28，另一个数是多少？
练习 两个数的最大公约数是6，最小公倍数 是108，其中一个数是28，另一个数是多少？
例2 有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯， 每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟 既响铃又亮灯，问，下一次既响铃又亮灯 是几点？
最大公约数与最小公倍数
最大公约数与最小公倍数最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）和最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是初中数学中常见的概念。
它们在数论、代数学以及计算机科学等领域中都有重要的应用。
本文将详细介绍最大公约数与最小公倍数的定义、性质以及计算方法。
一、最大公约数的定义与性质最大公约数，顾名思义，是指两个或多个数中能够同时整除的最大正整数。
我们通常用gcd(a, b)或(a, b)表示a和b的最大公约数。
最大公约数具有以下性质：1. 对于任意非零整数a，gcd(a, a) = a；2. 如果a和b都能被c整除，则gcd(a, b)也能被c整除，即gcd(a, b)是a和b的公约数的最大值；3. 任意非零整数a和b的最大公约数gcd(a, b)可以用辗转相除法进行计算。
二、最小公倍数的定义与性质最小公倍数是指两个或多个数的公共倍数中的最小正整数。
我们通常用lcm(a, b)或[a, b]表示a和b的最小公倍数。
最小公倍数具有以下性质：1. 对于任意非零整数a，lcm(a, a) = a；2. 如果c能够整除a和b，则c也能够整除lcm(a, b)，即lcm(a, b)是a和b的公倍数的最小值；3. 任意非零整数a和b的最小公倍数lcm(a, b)可以用最大公约数求解公式lcm(a, b) = |a * b| / gcd(a, b)。
三、最大公约数的计算方法常用的计算最大公约数的方法有辗转相除法和质因数分解法。
1. 辗转相除法：辗转相除法是一种递归计算最大公约数的方法，其步骤如下：a. 令r为a除以b的余数，即r = a % b；b. 若r等于0，则b即为最大公约数，停止计算；c. 若r不等于0，则令a等于b，b等于r，然后回到步骤a。
2. 质因数分解法：质因数分解法是一种通过分解数的质因数来求解最大公约数的方法，其步骤如下：a. 将a和b分别分解为质因数的乘积，例如a = p₁^α₁ * p₂^α₂* ... * pₙ^αₙ，b = q₁^β₁ * q₂^β₂ * ... * qₙ^βₙ；b. a和b的最大公约数gcd(a, b)即为两者质因数的交集，即gcd(a,b) = p₁^min(α₁, β₁) * p₂^min(α₂, β₂) * ... * pₙ^min(αₙ, βₙ)。
最大公约数与最小公倍数
最大公约数与最小公倍数最大公约数和最小公倍数是数学中常见的概念，用于描述两个或多个数字之间的关系。
最大公约数指的是能够同时整除给定数字的最大整数，而最小公倍数则是指能够被给定数字同时整除的最小整数。
这两个概念在数论、代数以及实际生活中都有重要的应用。
本文将介绍最大公约数和最小公倍数的定义、计算方法和应用领域。
一、最大公约数的定义和计算方法最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）指的是能够同时整除两个或多个整数的最大正整数。
最大公约数的计算方法有多种，包括质因数分解法、辗转相除法和欧几里得算法等。
质因数分解法是一种常见且简便的计算最大公约数的方法。
首先，将给定的数分解质因数，然后找出它们的共同的质因数，并将这些质因数相乘即可得到最大公约数。
举例来说，假设要计算30和45的最大公约数。
首先，分别对30和45进行质因数分解，得到30=2×3×5，45=3×3×5。
可以看出，它们的最大公约数为3×5=15。
辗转相除法是一种常用的计算最大公约数的方法。
具体步骤如下：假设要计算整数a和b的最大公约数，先用a除以b得到商q和余数r，然后将b除以r得到商q'和余数r'。
重复这个过程，直到余数为0为止。
最后一次除法的余数就是a和b的最大公约数。
以计算48和18的最大公约数为例，按照辗转相除法的步骤进行计算。
首先将48除以18，商为2，余数为12。
然后将18除以12，商为1，余数为6。
继续将12除以6，商为2，余数为0。
最后一次除法的余数为0，因此48和18的最大公约数为6。
欧几里得算法是一种基于辗转相除法的更快速的计算最大公约数的方法。
该算法通过反复使用辗转相除法，每次将除数作为新的被除数，余数作为新的除数，直到余数为0。
最后一次除法的被除数即为最大公约数。
二、最小公倍数的定义和计算方法最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）指的是能够被两个或多个整数同时整除的最小正整数。
最大的公约数、最小公倍数比较课件
06
总结与回顾
最大公约数
最大公约数的定义
最大公约数是两个或多个整数共 有的最大的一个约数。
最大公约数的性质
最大公约数具有传递性，即如果 a和b的最大公约数是G，b和c的 最大公约数也是G，那么a和c的
最大公约数也是G。
最大公约数的求法
辗转相除法（欧几里得算法）是 求最大公约数的常用方法，其基 本思想是不断用较大数除以较小 数，直到余数为0，此时的除数
最大的公约数、最小公倍数 比较ppt课件
目录
• 最大公约数（GCD）介绍 • 最小公倍数（LCM）介绍 • GCD与LCM的比较 • GCD与LCM的实际应用 • 练习与问题解答 • 总结与回顾
01
最大公约数（GCD）介绍
最大公约数概念
最大公约数定义
两个或多个整数共有的最大的正 整数约数。
举例说明
题目3答案及解析
这两个数分别是15和18，因为已知最大公约数是6，最小 公倍数是90，根据公式aXb=两数乘积=最大公约数X最 小公倍数，所以这两个数分别是6X答案及解析
这两个数分别是49和70，因为已知两数乘积是1260，最 大公约数是14，根据公式aXb=两数乘积=最大公约数X 最小公倍数，所以这两个数分别是14X90/7=49和 14X90/9=70。
求18和24的最小公倍数 。
已知两个数的最大公约 数是6，最小公倍数是
90，求这两个数。
已知两个数的乘积是 1260，最大公约数是14
，求这两个数。
答案及解析
题目1答案及解析
最大公约数是6，因为18=2x3x3，24=2x2x2x3，所以最 大公约数是2x3=6。
题目2答案及解析
最小公倍数是72，因为18=2x3x3，24=2x2x2x3，所以 最小公倍数是2x2x2x3x3=72。
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第五讲 最大公约数与最小公倍数【知识导引】一、约数的概念与最大公约数约数又叫因数(在正整数范围内）整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数。
最大公约数:如果一个数既是数a 的约数，又是数b 的约数，称为[a,b]的约数。
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
1. 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。
例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。
那么，最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)。
例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15。
2. 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n 。
3. 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a即为所求。
二、倍数的概念与最小公倍数对于整数m ，能被n 整除（n/m ）,那么m 就是n 的倍数。
如15能够被3或5整除，我们就说15是3的倍数，也是5的倍数。
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
1. 求最小公倍数的方法①分解质因数法求最小公倍数例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=； ②短除法求最小公倍数 例如：2181239632 ，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=；③公式法：[,](,)a b a b a b ⨯= 2. 最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积。
③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数。
3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公约数b ；b a即为所求。
例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4== 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数。
例如：[]()1,414,4232,3⎡⎤==⎢⎥⎣⎦三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1. 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
如果m 为A 、B 的最大公约数，且A ma =，B mb =，那么a b 、互质，所以A 、B 的最小公倍数为mab ，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：①A B ma mb m mab ⨯=⨯=⨯，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；②最大公约数是A 、B 、A B +、A B -及最小公倍数的约数。
2. 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积，即(,)[,]a b a b a b ⨯=⨯。
3. 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为：①奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数，例如：567210⨯⨯=，210就是567的最小公倍数。
②偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍，例如：⨯⨯=，而6,7,8的最小公倍数为3362168÷=678336③几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大。
【例题解析】【A组——基础夯实】例1两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？解：由ab=[a，b]×（a，b）可得：另一个数为，252×4÷28=36答：另一个数是36。
例2 求437与323最大公约数是多少？解：运用辗转相除法：437÷323=1…114；323÷114=2…95；114÷95=1…19,95÷19=5，那么（437,323）=19答：437与323的最大公约数是19。
例3已知两个数的最大公约数是20，最小公倍数560，符合条件的两个数中差最小的两个数各是多少？解：由题意可得：560÷20=28=1×28=4×7，显然4与7之间差最小，20×7=140,20×4=80答：符合条件的两个数中差最小的数是80和140。
例4 有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？解：最多可以分成(336,252,210)42=（份）每份中有苹果336÷42=8（个）每份中有桔子252÷42=6（个）每份中有梨210÷42=5（个）答：最多可以分成42份，每份中有苹果8个，有桔子6个，有梨5个。
【B组——能力提升】例1已知两个自然数的差为2，它们的最小公倍数与最大公约数之间差为142，求这两个自然数。
解：由题意可得：两个自然数的差为2的自然数的最大公约数只有两种可能：一个为1，一个为2（1）当两个数互质时，1×（1+142）=1×143=11×13；（2）当两个自然数最大公约数为2时，2×（142+2）=2×144=16×18，所以这两个自然数是11和13或者16和18。
答：略。
例2 已知两个自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求这两个自然数。
[][]1212121212121212,,,,(,),,()60,,,(1)84,608460,84123461212346()60a b a b a mq b mq q q a b mq q a b mq mq m q q a b a b m mq q m q q m m m m q q ===+=+=+==+=⨯+=+=解：设这两个数为若（）=m,则互质，则 由 （）+ 由此可知，为和的公约数，而（）=12，所以只能取、、、、、， 当取、、、、时均不满足1212121212(1)841212601251762312224,12336m q q m m q q q q q q q q a b ⨯+==+=÷=+=∴====⨯==⨯=和，所以取，当时，；，。
所以当，， 2436答：这两个自然数分别是和。
例3 把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？解：要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数。
由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数，1米3分米5厘米＝135厘米，1米5厘米＝105厘米，正方形的边长为(135105)15=，，长方形纸块的面积为135********⨯= (平方厘米)，正方形纸块的面积为1515225⨯= (平方厘米)，共可裁成正方形纸块1417522563÷= （块）。
答：正方形的边长是15厘米，一共可以裁成63块。
例4 两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差。
解：设这两个自然数为：5a b 、5，其中a 与b 互质，则有5550a b +=，10a b +=，所以a=9，b=1或a=7，b=3，所以这两个两个自然数为5×9=45，5×1=5或5×7=35，5×3=15。
它们的差分别是：45－5＝40，35－15＝20答：所求这两个数的差是40或者20。
例 5 大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印，求圆形花圃的周长。
解：两人从起点出发到第一次脚印重合所走的路程是相同的，是两人步长的最小公倍数，为[]54,72216=厘米，在216厘米里，两人留下的脚印数分别是：216544÷= (个)，216723÷= (个),由于两人有1个脚印重合，所以实际上只有4316+-= (个)脚印。
60610÷=，即走完全程共重合10次，因此，花圃周长为：216102160⨯= (厘米)答：花圃周长是2160厘米。
【习题精选】【A组——基础夯实】1. ①用短除法求120、48和56的最小公倍数；②用分解质因数法求35、98、112的最大公约数和最小公倍数。
2. 已知a=44，b=12，c=82，求（a，b，c）和[a，b，c]。
3. 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是504，如果其中一个数是42，那么另一个数是。
4. 8路车每隔8分钟发一次车，12路每隔6分钟发一次车，在某一时刻这两路车同时从一个车站发车，至少再过________分钟这两路车才又同时发车。
5.甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是________。
6. 四个连续自然数的和等于54，那么这四个连续自然数的最小公倍数是。
7. 一个房间长450厘米，宽330厘米。
现计划用方砖铺地，需要用边长最大为________厘米的方砖块(整块)，才能正好把房间地面铺满。
8. 教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成________份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)。
在每份礼物中，苹果有________个，桔子有________个，鸭梨有________个。
9. 三个质数的和是62，这三个质数的积是________。
10.一包糖，平均分给2人，3人，4人，或5人，正好都余一块，这包糖至少有________块。