6.1排列组合(完整)

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6.1排列组合(完整)

4、（徐州二模）从6人中选4人组成4×100m接力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少种选法？
分析：（一）直接法
A A
A A
3 5
1 4
（二）间接法
2 4 2 4
=48
5、（南通一模）一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字（如 735，414等），那么这样的三位数有 285 个． 2 2 2 2
6.1 排列组合
一、回顾
(一)、知识结构
排列基本原理
排列数公式
组合数公式
组合
应用问题
组合数性质
(二)、重点难点 1. 两个基本原理 2. 排列、组合的意义 3. 排列数、组合数计算公式 4. 组合数的两个性质 5. 排列组合应用题
1. 两个基本原理
①分类记数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法 …… 在第n类办法中有mn种不同的方法, 那么完成这件事共有 N= m1+ m2 +…..+ mn种不同的方法.
引申：分成三组，一组5人，另两组各两人；
C C N C 378 2 A2
5 9 2 4 2 2
点评：局部均分无序问题易出错.
例3 5人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 4 A4 此位置把圆形展成直线其余4人共有____ 种排法即（5-1)！
二、例题选讲：例1 学生要从六门课中选学两门：
（1）有两门课时间冲突，不能同时学，有几种选法？（2）有两门特别的课，至少选学其中的一门，有几种选法？

(完整版)排列组合练习试题和答案解析

4.有编号为1、2、3的3个盒子和10个相同的小球，现把10个小球全部装入3个盒子中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有
A.9种B.12种C.15种D.18种
5.将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒至少1球的方法有多少种？
6.某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有1人参加的选法有多少种？
A.1:14 B.1:28 C.1:140 D.1:336
十、插空
1.要排一个有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法？
2、4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（）
A.2880 B.1152 C.48 D.144
3.要排一个有5个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单，如果舞蹈节目不相邻，则有多少种不同排法？
(2)奇约数中步不含有2的因数,因此75600的每个奇约数都可以写成的形式,同上奇约数的个数为4×3×2=24个.
3. 2名医生和4名护士被分配到两所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同分配方法有多少种？
4．有四位同学参加三项不同的比赛，
（1）每位同学必须参加一项竞赛，有多少种不同的结果？
十一、隔板法
1.不定方程的正整数解的组数是，非负整数解的组数是。
2.某运输公司有7个车队，每个车队的车多于4辆，现从这7个车队中抽出10辆车，且每个车队至少抽一辆组成运输队，则不同的抽法有
A.84种B.120种C.63种D.301种
3.要从7所学校选出10人参加素质教育研讨班，每所学校至少参加1人，则这10个名额共有种分配方法。
（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？

(完整word版)排列组合公式(全)(word文档良心出品)

排列组合公式排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。

排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。

排列的个数用P(n,r)表示。

当r=n时称为全排列。

一般不说可重即无重。

可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。

组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。

组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合有记号C(n,r),C(n,r)。

一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。

二、两个基本计数原理及应用(1)加法原理和分类计数法1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)(2)乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！集合B为数字不重复的六位数的集合。

把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。

显然各子集没有共同元素。

每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则S（A）=S（B）*3！S（B）=9！/3！这就是我们用以前的方法求出的P（9，6）例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。

排列组合基本公式大全

排列组合基本公式大全排列和组合是数学中常用的概念，用于计算在特定条件下的可能性和选择数。

掌握排列组合的基本公式是解决许多与计数有关的问题的关键。

下面将提供一些常见的排列组合基本公式，以帮助读者更好地理解和应用它们。

一、排列排列是指从一组元素中选取若干个进行有序排列。

常见的排列基本公式有：1. 全排列公式：对于n个元素的全排列，共有n!种不同的排列方式，其中n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 3 × 2 × 1。

例如，对于3个元素的全排列，共有3! = 3 × 2 × 1 = 6种不同的排列方式。

2. 部分排列公式：对于n个元素中选取m个进行有序排列，共有A(n, m)种排列方式，其中A(n, m)表示从n个元素中选取m个元素进行有序排列的总数，计算公式如下： A(n, m) = n! / (n-m)!例如，从5个元素中选取3个进行有序排列，共有A(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60种不同的排列方式。

二、组合组合是指从一组元素中选取若干个进行无序组合。

常见的组合基本公式有：1. 无重复元素组合公式：对于n个不重复元素中选取m个进行无序组合，共有C(n, m)种组合方式，其中C(n, m)表示从n个元素中选取m个元素进行无序组合的总数，计算公式如下：C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)例如，从8个不重复元素中选取4个进行无序组合，共有C(8, 4) = 8! / (4! ×(8-4)!) = 70种不同的组合方式。

2. 有重复元素组合公式：当元素中存在重复元素时，选取m个进行无序组合的总数可以通过排列数除以重复元素的排列数得到。

计算公式如下：有重复元素组合总数 = 无重复元素组合总数 / 重复元素的排列数例如，从6个元素中选取3个进行无序组合，其中2个元素重复，共有C(6,3) / 2! = (6! / (3! × (6-3)!)) / 2! = 10种不同的组合方式。

排列组合的公式总结

排列组合的公式总结排列组合是数学中一个有趣但有时也让人头疼的部分。

在咱们从小学到高中的数学学习旅程中，它可是个重要的角色。

先来说说排列的公式。

排列呢，就是从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 A(n,m) 。

它的公式是 A(n,m) = n! / (n - m)! 。

这里的“!”表示阶乘，比如说 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。

给大家举个例子吧，咱们学校组织演讲比赛，从 10 个同学中选 3个同学先后上台演讲，那一共有多少种不同的安排顺序呢？这就是一个排列问题。

按照公式，A(10,3) = 10! / (10 - 3)! = 10 × 9 × 8 = 720 种。

也就是说，有 720 种不同的上台顺序。

再说说组合的公式。

组合是从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作 C(n,m) ，公式是 C(n,m) = n! / [m! × (n - m)!] 。

比如说，咱们班要选5 个人参加数学竞赛，不考虑他们的参赛顺序，那一共有多少种选法？这就是组合问题。

C(20,5) = 20! / [5! × (20 - 5)!] ，算出来就是 15504 种选法。

排列和组合的区别，简单来说，排列讲究顺序，组合不讲究顺序。

就像分糖果，给小明、小红、小刚分 3 颗不同的糖果，如果考虑谁先拿谁后拿，那就是排列；要是不考虑谁先谁后，只看最后谁拿到了哪颗糖，那就是组合。

在实际做题的时候，大家可得擦亮眼睛，分清楚到底是排列还是组合。

我记得有一次考试，有一道题是从 8 个不同的水果里选 3 个装在一个果篮里，很多同学没搞清楚这是组合问题，用了排列的公式，结果就做错啦。

还有啊，做排列组合的题，有时候要分类讨论，有时候要用间接法。

比如说，计算从 1 到 20 这 20 个自然数中，能被 2 或 3 整除的数的个数。

小学六年级数学第讲：排列组合(教师版)

第十九讲排列组合一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素P．的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做mn根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成：步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法；步骤2：从剩下的(1n-)种方法；n-)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．二、排列数一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）．表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）　．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．三、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法．根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =⨯．因此，组合数12)112321mm n n m m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯（）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．四、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n nC =，01n C =．五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．六、使用插板法一般有如下三种类型：⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a -- 个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。

python 排列组合的算法

主题：Python中常用的排列组合算法内容：1. 简介：Python是一种功能强大且易于学习的编程语言，其内置的库和模块使得许多复杂的算法变得易于实现。

在本文中，我们将讨论Python 中常用的排列组合算法，这些算法对于解决许多实际的问题都非常有用。

2. 排列算法：2.1 字符串的全排列：Python中可以使用`itertools`库中的`permutations`函数来获取一个字符串的所有排列。

2.2 数组的全排列：利用递归和交换元素的方式可以实现数组的全排列算法，该算法可以用来解决诸如旅行商问题等实际问题。

3. 组合算法：3.1 组合的生成：使用`itertools`库中的binations`函数可以获取一个序列的所有组合。

3.2 组合的求解：通过递归和回溯的方式可以实现组合的求解，这种方法在解决组合优化问题时非常有用。

4. 应用实例：4.1 排列和组合在密码学中的应用：排列和组合算法可以用来生成各种密码的可能组合，这对于破解密码以及设计安全的密码系统都非常重要。

4.2 排列和组合在商品排列组合的应用：在电商领域，排列和组合算法可以用来对商品进行排序和组合，以实现更好的推荐系统。

5. 总结：Python中的排列组合算法在解决实际问题中具有重要的作用，通过充分利用Python的内置库和函数，我们可以快速高效地实现各种排列组合算法。

这些算法不仅可以用来解决计算问题，还可以应用于密码学、商业推荐等实际场景中。

通过以上内容，我们可以了解Python中常用的排列组合算法以及它们在实际应用中的重要性，相信这些知识对于读者来说将是非常有价值的。

6. 代码示例：6.1 字符串的全排列示例：```pythonimport itertoolss = "abc"perm = itertools.permutations(s)for p in perm:print(''.join(p))```6.2 数组的全排列示例：```pythondef permute(nums):def backtrack(start):if start == len(nums):result.append(nums[:])returnfor i in range(start, len(nums)):nums[i], nums[start] = nums[start], nums[i] backtrack(start + 1)nums[i], nums[start] = nums[start], nums[i]result = []backtrack(0)return resultnums = [1, 2, 3]print(permute(nums))```6.3 组合的生成示例：```pythonimport itertoolss = "abcd"b = itertoolsbinations(s, 2)for c inb:print(''.join(c))```6.4 组合的求解示例：```pythondefbine(n, k):def backtrack(start, path): if len(path) == k:result.append(path[:]) returnfor i in range(start, n + 1): path.append(i)backtrack(i + 1, path) path.pop()result = []backtrack(1, [])return resultn = 4k = 2printbine(n, k))```7. 进阶应用：7.1 排列组合在数据挖掘中的应用：在数据挖掘领域，排列组合算法常常用于特征选择和模式发现，通过对特征的各种排列组合进行分析可以发现隐藏在数据中的规律和趋势。

第六章排列与组合

推广：将n封信都装错信封的方法数是多少？（思考）
S n ( 1) n ( 1)
n n 1
n ( n 1)( 1)
n! ( 1)
n 1
n2
n ( n 1) 4 3

n! 2!

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n! 3!

n! 4!

( n 1) !
( 1)
| Ai | m i 则 A A1 A 2 A n ,
Ai A j (1 i , j n , i j ),
所以
| A | | A1 A 2 A n | | A1 | | A 2 | | A n |
（1）共有多少种就坐方式？（2）若限定 a ，相邻，共有几种就坐 b 方式？（3）若限定 a，不相邻，共有几种就 b 坐方式？例2 平面内共有6个点，且每3点都不在一条直线上，以这6点为顶点．（1）可以连接多少条含4条线段的封闭折线？（2）可以连接多少条含4条线段的不封闭折线？
第六章排列与组合
§6.1 加法原理和乘法原理
一、加法原理
如果完成事件A，必须且只须完成有关事件
A1 , A 2 , , A n 中的一个就算完成；设完成事件 A1 , A 2 , , A n 的方法数分别是 m 1 , m 2 , , m n , 且
其中任何两种方法都不同，那么完成事件A的方法数为
0
)
例1 设 m, n N *，求和:
m(m 1) (m 1)(m 2) (m n 1)(m n)
分析:
2Cm 1 2Cm 2 2Cm n

排列组合ppt课件

排列的分类与计算方法
01
02
03
排列的定义
排列是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
排列的分类
根据取出的元素是否重复，排列可分为重复排列和不重复排列。
排列的计算方法
排列的计算公式为 nPr=n!/(n-r)!，其中n为总元素个数，r为要取出的元素个数。
组合的分类与计算方法
后再合并答案。
利用对称性
在某些问题中，可以利用对称性来简化计算，例如在计算圆周率时可以利用对称性来减少计算量
。
学会推理和猜测
在某些问题中，需要学会推理和猜测，尝试不同的方法和思路，
以寻找正确的答案。
解题注意事项与易错点
注意细节
在解题过程中要注意细节，例如元素的重复、遗漏等问题，避免出现错误。
组合的定义
组合是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行组合，不考虑排序。
组合的分类
根据取出的元素是否重复，组合可分为重复组合和不重复组合。
组合的计算方法
组合的计算公式为 nCr=n!/(r!(n-r)!)，其中n 为总元素个数，r为要取出的元素个数。
排列组合的复杂应用
排列与组合的应用
另一个应用是解决组合问题，例如，在从n个不同元素中选出m个元素的所有组合的问题中，可以使用排列组合的方法来解决。
排列组合在物理中的应用
排列组合在物理中也有着广泛的应用，其中最常见的是在量子力学和统计物理中。例如，在量子力学中，波函数的对称性和反对称性可以通过排列组合来描述。
在统计物理中，分子和原子的分布和运动可以通过排列组合来描述。例如，在理想气体中，分子的分布和运动可以通过组合数学的方法来描述。

排列组合公式总结大全(3篇)

第1篇在数学中，排列组合是研究有限集合中元素的不同排列和组合方式的一种数学分支。

它广泛应用于统计学、概率论、计算机科学、组合数学等领域。

以下是对排列组合中常用公式的总结，以供参考。

一、排列1. 排列的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2. 排列数公式：A(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。

3. 排列的运算性质：（1）交换律：A(n, m) = A(n-m, n-m)（2）结合律：A(n, m) × A(m, k) = A(n, k)（3）逆运算：A(n, m) × A(m, n-m) = n!二、组合1. 组合的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，不考虑它们的顺序，这样的取法称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

2. 组合数公式：C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]3. 组合的运算性质：（1）交换律：C(n, m) = C(n-m, n-m)（2）结合律：C(n, m) × C(m, k) = C(n, k)（3）逆运算：C(n, m) × C(m, n-m) = C(n, n)三、排列与组合的关系1. 排列与组合的关系：A(n, m) = C(n, m) × m!2. 排列与组合的区别：（1）排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序。

（2）排列的运算性质与组合的运算性质不同。

四、排列组合的应用1. 排列组合在概率论中的应用：计算随机事件发生的概率。

2. 排列组合在计算机科学中的应用：设计算法、密码学、数据结构等。

3. 排列组合在统计学中的应用：抽样调查、数据分析等。

6.1排列组合(完整)

各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务,
不同的选法共有多少种? .
2520
21
4、（徐州二模）从6人中选4人组成4×100m接
力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多
少种选法？
分析：（一）直接法（二）间接法
A41 A42 A53 A42
=48
5、（南通一模）一个三位数，其十位上的数字
6.1 排列组合
.
1
一、回顾
(一)、知识结构
排列基本原理
组合
排列数公式应用问
组合数公式题
组合数性质
.
2
(二)、重点难点
1. 两个基本原理 2. 排列、组合的意义 3. 排列数、组合数计算公式 4. 组合数的两个性质 5. 排列组合应用题
.
3
1. 两个基本原理
①分类记数原理（加法原理）：
Cm n
C . m1 n
.
10
5. 排列组合应用题
（1）正确判断是排列问题，还是组合问题，还是排列与组合的综合问题。
（2）解决比较复杂的排列组合问题时，往往需要既分类又分步。正确分类，不重不漏；正确分步，连续完整。
（3）掌握基本方法，并能灵活选择使用。
.
11
二、例题选讲：例1 学生要从六门课中选学两门：
解法一：(分类法) A88 A71 A71 A77 287280
解法二：(排除法) A99 2A88 A77 287280
.
13
⑵甲乙必须排在一起，丙丁不能排在一起；
A66 A22 A72 60480
点评：小团体排列问题中，先整体后局部，再结合不相邻问题的插空处理.

排列组合的ppt课件免费

题目2：从7个不同元素中取出4个元素的组合数，其中某特定元素可以不被取出。
答案1：$A_{7}^{4} A_{6}^{3} = 7 times 6 times 5 times 4 - 6 times 5 times 4 = 336$
答案2：$C_{7}^{4} C_{6}^{3} = frac{7 times 6 times 5 times 4}{4 times 3 times 2 times 1} - frac{6 times 5 times 4}{3 times 2 times 1} = 28$
排列组合问题的变种与拓展
排列组合问题的变种
如“带限制的不同元素的排列组合” 、“重复元素的排列组合”等，需要进一步拓展学生的思路。
拓展方法
通过变种问题的解析，引导学生深入思考排列组合问题，并掌握其变化规律，为解决更复杂的问题打下基础。
04
CATALOGUE
排列组合的数学原理
排列组合的数学原理简介
数学教育的核心
排列组合是数学教育中的重要内容，对于培养学生的数学素养和解决问题的能力具有重要意义。
解决排列组合问题的方法与技能
乘法原理
加法原理
乘法原理是解决排列组合问题的基础，通过将各个独立事件的产生概率相乘，可以计算出复合事件的产生概率。
加法原理用于计算具有互斥性的事件的概率，通过将各个互斥事件的产生概率相加，可以得到总的产生概率。
解析方法
通过实例演示和讲授，帮助学生理解排列组合的基本概念和计算方法，同时引导学生思考如何解决实际问题。
实际问题的排列组合解决方案
实际问题的排列组合
如“安排会议”、“排定演出节目单”、“安排生产计划” 等，需要结合具体情境进行分析。

初中数学排列组合习题课教案指导

初中数学排列组合习题课教案指导第一章：排列组合基本概念1.1 排列与组合的定义引导学生回顾排列与组合的定义，理解排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的顺序，而组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的非顺序组合。

通过举例让学生区分排列和组合的概念。

1.2 排列数公式介绍排列数公式：A(n,m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)××2×1。

让学生通过计算一些简单的排列数来理解排列数公式的含义。

第二章：组合数公式2.1 组合数公式介绍组合数公式：C(n,m) = n! / (m!×(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)××2×1。

让学生通过计算一些简单的组合数来理解组合数公式的含义。

2.2 组合数的性质引导学生探究组合数的性质，如C(n,m) = C(n,n-m)、C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)等。

通过举例让学生理解组合数的性质。

第三章：排列组合的应用3.1 排列组合在实际问题中的应用通过举例让学生了解排列组合在实际问题中的应用，如排列组合问题、概率问题等。

引导学生运用排列组合知识解决实际问题。

3.2 排列组合的综合练习提供一些综合性的排列组合练习题，让学生独立解答。

对学生的解答进行指导和讲解，帮助其理解和掌握排列组合的知识。

第四章：排列组合的拓展4.1 排列组合的拓展知识引导学生了解排列组合的一些拓展知识，如多重排列、排列组合的极限等。

通过举例让学生了解这些拓展知识的应用。

4.2 排列组合的综合练习提供一些综合性的排列组合练习题，让学生独立解答。

对学生的解答进行指导和讲解，帮助其理解和掌握排列组合的知识。

第五章：总结与复习5.1 排列组合的总结对排列组合的知识进行总结，包括排列与组合的定义、排列数公式、组合数公式、排列组合的性质和应用等。

排列组合公式课件

斯特林数、贝尔数等特殊计数方法介绍
1 2 3
第一类斯特林数表示将n个不同元素分成k个圆排列的方案数，记作$s(n,k)$。
第二类斯特林数表示将n个不同元素分成k个集合的方案数，记作 $S(n,k)$。
贝尔数表示将n个元素分成任意个集合的方案数，记作 $B_n$。
排列组合在计算机科学中应用举例
组合性质
C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n。
组合公式推导过程
推导思路
通过排列数公式A(n,m)与组合数公式C(n,m)之间的关系，推导出组合公式C(n,m)=A(n,m)/m!。
推导过程
首先明确排列数公式A(n,m)的定义及性质，然后利用排列数与组合数之间的关系，推导出组合公式，并解释公式中各符号的含义。
典型例题分析与解答
例题选择
选择具有代表性和针对性的例题，如基础题型、易错题型等；
解题步骤
详细阐述解题思路和步骤，包括问题建模、公式应用、计算过程等；
答案解析
给出最终答案，并对解题过程进行解析和评价。
PART 03
组合公式详解
组合定义及性质
组合定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同取法，记作C(n,m)。
分组竞赛
将学生分成若干小组，每组选一名代表上台解题，看哪一组解得又快又准，增强学生的团队协作和竞争意识。
PART 05
知识拓展与延伸
阶乘、双阶乘等相关概念引入
阶乘
n!=n×(n-1)×...×2×1，0!=1。
双阶乘
n!!，当n为奇数时，n!!=n×(n-2)×...×3×1；当n为偶数时，n!!=n×(n-2)×...×4×2。

组合数学(第6章6.1)

2 (1)k m k+…+ k 3 (1)mm
应用
例. 从0到99999中有多少含有数字2, 5和8的整数。解：设A1，A2 和A3分别是不包含数字2, 5和8的集合，需要计算 | A1 A2 A3 | 0到99999的整数个数：0=105 1=|A1|=|A2|=|A3|=95 2=|A1A2|=85 3=|A1A2 A3|=75 因此，答案为：105395+385-75
因此：对于sS
—
—
S
A1A1A2 A2
一般情形：容斥原理计数

定理6.1.1 集合S不具有性质P1,P2,…,Pm的物体的个数：
+…+(1)m|A1A2…Am|
| A1 A2 Am |＝|S||Ai|+|Ai Aj||Ai Aj Ak |
其中，第一个求和对集合{1,2,…,m}的所有的1-组合进行, 第二个求和对集合{1,2,…,m}的所有的2பைடு நூலகம்组合进行,依此类推.
|A1A2A3|=1000/120=8 由容斥原理， | A1 A2 A3 | =1000(200+166+125)+(33+25+41)8 =600
例2
字母M,A,T,H,I,S,F,U,N存在多少排列使得单词MATH, IS和FUN都不出现？解：9个字母组成所有排列集合为S。 A1是MATH出现的排列集合； A2是IS出现的排列集合； A3是FUN出现的排列集合。运用容斥原理。
这样S的每个元素在两边具有相同的计数。证明了定理。
推论6.1.2 具有性质P1,P2,…,Pm的物体的个数：
| A1 A2 Am |＝|Ai||Ai Aj|+|Ai Aj Ak |

12个基本排列组合公式

12个基本排列组合公式排列组合是数学中一个挺有意思的部分，咱们今天就来聊聊 12 个基本的排列组合公式。

先来说说排列公式，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 A(n, m) ，公式就是 A(n, m) = n! / (n - m)! 。

比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排，那排法就有 A(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 60 种。

再看组合公式，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作C(n, m) ，公式是 C(n, m) = n! / [m! (n - m)!] 。

就像从 10 个同学里选 4 个参加活动，选法就有 C(10, 4) = 10! / [4! (10 - 4)!] = 210 种。

我记得之前在课堂上，给学生们讲排列组合的时候，发生了一件特别有趣的事儿。

当时我出了一道题：在一个班级里有 8 个男生和 6 个女生，要选 3 个同学去参加比赛，其中至少有一个女生，有多少种选法？同学们开始埋头苦算，有的皱着眉头，有的咬着笔杆。

这时候，有个平时很调皮的男生突然举手说：“老师，这题太难啦，能不能少选几个同学啊？”大家都被他逗笑了。

我笑着说：“别着急，咱们一步步来分析。

”首先，我们可以算出总的选法有 C(14, 3) 种。

然后，算出全是男生的选法有 C(8, 3) 种。

那么至少有一个女生的选法就是总的选法减去全是男生的选法，即 C(14, 3) - C(8, 3) 。

经过一番计算和讲解，同学们终于恍然大悟。

咱们继续说排列组合公式。

还有一些特殊的情况，比如可重复排列，从 n 个不同元素中可重复地选取 m 个元素的排列数，公式是 n^m 。

还有环形排列，n 个不同元素的环形排列数是 (n - 1)! 。

在实际生活中，排列组合的应用可多啦。

比如说抽奖，从一堆号码里抽出中奖号码，这就是组合；而把获奖的人排个名次，这就是排列。

再比如安排座位，教室里有 30 个座位，让 25 个同学去坐，这也是一种排列组合的问题。

markdown 排列组合数学公式语法

排列组合数学公式1. 介绍1.1 排列组合数学公式在数学中扮演了重要的角色，它们被广泛应用于概率论、组合数学、统计学等领域。

排列组合数学公式用于计算一系列对象的排列和组合方式，它们可以帮助我们解决许多实际问题，如随机事件的概率计算、组合物品的排列方式等。

1.2 本文旨在介绍排列组合数学公式的基本概念和常见公式，帮助读者更深入地理解和运用排列组合数学公式。

2. 排列的定义和公式2.1 排列是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排列的方式。

排列的总数可以用公式表示为：A(n,m) = n!/(n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×…×2×1。

3. 组合的定义和公式3.1 组合是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，不考虑元素的顺序。

组合的总数可以用公式表示为：C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)4. 递推公式4.1 排列和组合数学公式还可以通过递推公式来表示。

排列的递推公式为：A(n,m) = A(n-1,m) + A(n-1,m-1)组合的递推公式为：C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1,m-1)5. 应用举例5.1 掷色子问题假设有一枚六面色子，请计算三次投掷后出现不同点数的排列组合方式。

解：共有6^3=216种不同的排列方式。

5.2 田径比赛男子田径比赛有8名选手参加，奖牌分别颁发给前三名，计算获得奖牌的组合方式。

解：共有C(8,3)=56种不同的组合方式。

6. 总结6.1 排列组合数学公式是数学中重要的基础知识之一，它们在各个领域都有广泛的应用。

掌握排列组合数学公式不仅有助于解决实际问题，还能够培养逻辑思维能力和数学推理能力。

希望本文介绍的排列组合数学公式能够帮助读者更好地理解和运用这一知识点。

7. 进阶应用7.1 组合优化问题在实际生活中，组合数学的知识经常被用于解决优化问题。

在货物配送中，如何选择最佳的路线以最小化送货成本是一个典型的组合优化问题。

高中一年级数学上册排列组合课件

举例说明
以3个元素中2个相邻为例，可以将这两个元素捆绑在一起作为一个元素，再与第三个元素进行排列，总的排列方式为2的2次方种。
难点三：分组排列问题
总结词
掌握分组排列的原理和方法是解决这类问题的关键。
详细描述
分组排列是指将元素分成若干组进行排列的方式，解决这类问题需要明确每组元素的内部排列以及不同组之间的排列。
从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个元素中取出m个元素的排列数。
排列的计算公式
A(n,m) = n! / (n-m)!
组合的定义
组合的定义
从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个元素中取出m个元素的组合数。
组合的计算公式
C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]
排列与组合的差异
排列需要考虑取出元素的顺序，而组合则不考虑取出元素的顺序。
排列过程中，相邻元素之间有 “先后顺序”，而组合过程中，相邻元素之间没有“先后顺序”。
在使用排列数公式和组合数公式时，排列数公式中需要除以 (n-m)!，而组合数公式中不需要除以(n-m)!。
解析：本题考查的是排列组合中的分组分配问题。先分组，再排列。分组的方法为 C(6，3)种，再对两组进行排列，即A(3，3) 种。
答案：C(6，3)×A(3 ，3)=120种。
练习题三：拓展题
01
02
总结词：考查排列组合与计数原理的综合应用
详细描述

计数排列组合教案

计数排列组合教案第一章：排列组合基础1.1 排列组合概念介绍排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的排列方式的集合。

组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不考虑取出元素的顺序的所有可能的组合方式的集合。

1.2 排列数与组合数的计算公式排列数公式：$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$组合数公式：$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$第二章：排列组合的应用2.1 排列组合在日常生活中的应用例子：party邀请，座位安排，比赛分组等。

2.2 排列组合在数学问题中的应用例子：排列组合问题，图论问题，计数问题等。

第三章：排列组合的扩展3.1 错排问题定义：将n个不同元素排列成一个序列，使得没有任何一个元素出现在它的原始位置上。

错排公式：$D_n = (n-1) \times (D_{n-1} + D_{n-2})$3.2 圆排列问题定义：n个不同元素围成一个圆进行排列。

圆排列公式：$C_n^k = \frac{1}{k} \times C_{n-1}^{k-1}$第四章：排列组合与其他数学领域的联系4.1 排列组合与图论介绍图论中与排列组合相关的问题，如哈密顿路径问题，欧拉路径问题等。

4.2 排列组合与概率论介绍排列组合在概率论中的应用，如古典概型，条件概率等。

第五章：排列组合的练习题及解答5.1 排列组合基础练习题涉及排列组合的计算，如计算排列数，组合数等。

5.2 排列组合应用练习题涉及排列组合在日常生活和数学问题中的应用。

5.3 排列组合扩展练习题涉及错排问题，圆排列问题等。

5.4 排列组合练习题解答提供练习题的详细解答，帮助学生巩固知识点。

第六章：排列组合的综合应用题6.1 排列组合在日常生活中的综合应用例子：活动策划，比赛安排，密码组合等。

6.2 排列组合在数学问题中的综合应用例子：图论问题，计数问题，代数问题等。

第七章：排列组合与数论7.1 排列组合与同余介绍排列组合在同余理论中的应用，如费马小定理等。

排列组合：多面手问题,组数字问题

6.1排列组合多面手问题1．3名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、航模课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有()A．3B．12C．34D．432．从1,3,5,7,9中任取3个数字，从2,4,6,8中任取两个数字，一共可以组成没有重复数字的五位偶数的个数为()A．2880 B．7200C．1440 D．603．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变．则不同调整方法的种数是()A．C28A23B．C28A66C．C28A26D．C28A254．从集合M＝{0,1,2}到集合N＝{1,2,3,4}的不同映射的个数是()A．81个B．64个C．24个D．12个5．若(x2－1x3)n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是()A．5 B．4C．6 D．76．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝() A．－4 B．－3C．－2 D．－17．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()A．9 B．10C．18 D．208．若对于任意的实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3.则a2的值为()A．3 B．6C．9 D．129．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为()A．160 B．240C．360 D．80010．下图是著名的杨辉三角，则表中所有各数的和是()A．225 B．256C．127 D．12811．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A．33 B．34C．35 D．3612．设(1＋x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a0，a1，a2，…，a8中奇数的个数为()A．2 B．3C．4 D．513．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有________种．A．2 10 B．240C．214 D．13014．已知(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，若a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m＝________.A．1或－3 B．3C．4 D．515．从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n＝________.A.8 B．3C．4 D．5答案DACBA DCBBC AABAA。

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