数值分析-教学大纲

《数值分析》教学大纲

课程名称：数值分析

课程编号：0811010001

课程学时：54学时

课程学分：3

适用专业：控制理论与控制工程、计算机软件与理论

课程性质：专业基础课

先修课程：《高等数学》、《线性代数》

大纲执笔人：

编写时间：2009年8月

一、课程性质、地位和作用

《数值分析》是计算机软件与理论、控制理论与控制工程专业的一门重要专业方向课，属必修课。其任务在于研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论，是程序设计和对数值结果进行分析的依据。本课程理论严谨，实用性强。为学生毕业后从事科学计算等相关行业的工作提供一定的基础。

二、课程教学对象、目的和要求

本课程适用于计算机软件与理论、控制理论与控制工程等相关硕士研究生专业。

课程教学目的和要求：

1、从内容上，以现代化的计算机和数学软件为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。要求学生牢固掌握数学分析、高等代数等基础数学中常用的、行之有效的数值计算方法。

2、从能力方面，要求学生掌握从实际问题出发，建立数学模型，将数学模型问题转换成数值问题，进而研究求解数值问题的数值方法，并设计出相应的数值算法。

3、从教学方法上，注重理论联系实际，做到重概念，重方法，重应用，重能力的培养。

三、课程内容及学时分配

总学时：54学时

（一）误差：3学时

1.1 误差的来源与分类

1.2 误差与有效数字

1.3 函数的误差估计

1.4 近似数的四则运算及数值计算中需注意的几个问题

要求学生了解数值计算方法的对象和特点。理解绝对误差、相对误差和有效数字的概念及其对数值计算的影响。掌握绝对误差、相对误差和有效数字的计算方法。

（二）非线性方程求根（3学时）

2.1 二分法（分半法）

2.2 迭代法

2.3 牛顿法

2.4 牛顿法的改进

2.5 迭代法的收敛阶

2.6 劈因子法

要求学生了解二分法的基本思想，会用二分法求根，并估计误差。理解迭代法的基本思想、能熟练地建立迭代公式，并判断其收敛性。熟练掌握Newton 迭代法的原理及计算。

（三）线性代数方程组的直接法（6学时）

3.1 高斯消元法

3.2 三角分解法

要求学生了解Gauss消去法原理。掌握道立特（Doolittle）分解法和科路特（Cholesky）分解法求解方程组。

（四）解线性方程组的迭代法（6学时）

4.1 向量和矩阵的范数

4.2 线性方程组的误差分析

4.3 雅可比（Jacobi）方法和高斯赛德尔（Gauss-Seidel）方法

4.4 迭代法的收敛性

4.5 构弛法

4.6 斜量法

理解迭代法的基本思想，掌握Jacobi迭代和G-S迭代的计算公式。熟练掌握常用的判别Jacobi迭代法和G-S迭代法收敛的各种判别条件。

（五）矩阵的特征值与特征向量的计算（6学时）

5.1 幂法与反幂法

5.2 雅可比方法

理解幂法与反幂法的基本思想，掌握幂法计算主特征根及主特征向量。理解雅可比方法的基本思想。

（六）插值法（12学时）

6.1插值的基本概念

6.2拉格朗日（Lagrange）插值

6.3牛顿（Newton）插值

6.4埃尔米特（Hermite）插值

6.5三次样条插值

6.6 离散富氏变换及其快速算法

要求学生理解各种插值的概念和基本思想、代数插值的提法及几何解释，了解插值多项式的存在性、唯一性。熟练掌握Lagrange插值多项式的构造及余项，掌握插值基函数及其特点。熟练掌握差商定义及其性质，能用差商表确定Newt on插值多项式。会求Hermite插值、三次样条插值函数和快速富里叶变换。

（七）曲线拟合与函数逼近（6学时）

7.1 曲线拟合的最小二乘法

7.2 用正交函数作最小二乘拟合

7.3 函数的最佳逼近

理解最佳平方逼近的基本原理，掌握最佳平方逼近函数的构造方法。熟练掌握最小二乘原理和曲线拟合的方法。

（八）数值积分（6学时）

8.1 牛顿—柯特斯公式

8.2 复合积分公式

8.3 龙贝格积分

8.4 高斯型积分

8.5 数值微分

要求学生熟练掌握代数精度的基本概念并熟练运用。理解插值求积概念，掌握导出数值积分公式的基本方法。熟练掌握复合梯形和复合Simposn公式及其余项。理解变步长法则，会用Romberg算法进行数值求积。了解Gauss求积公式原理。掌握数值微分公式。

（九）常微分方程数值解（3学时）

9.1欧拉方法

9.2龙格—库塔法

9.3线性多步法

9.4 微分方程与高级方程

9.5边值问题的数值解

熟练掌握改进的尤拉方法和常用的四阶龙格─库塔公式的使用,了解两种方法各自的特点,学会针对具体问题来选择合适的算法。

（十）偏微分方程数值解（3学时）

10.1 波动方程

10.2 一维热传导方程

10.3 调和方程（拉普拉斯方程）

了解差分法求偏微分方程数值解的基本思想和方法。

四、作业（习题）要求

要求每章节结束后布置相应的作业和上机实践。

五、考核

本课程采用闭卷考试，内容包括教学大纲所列全部内容，以大纲所列重点为主。

六、教材与主要参考书

（一）推荐使用教材：