华师大版高等数学上册第二章导数与微分

四、函数的可导性与连续性的关系
这说明函数y=f(x)在点x处连续．所以，有如下结论.
四、函数的可导性与连续性的关系
定理
如果函数y=f(x)在点x处可导，那么函数y=f(x)在 该点必连续．反之，一个函数在某点连续，却不一定 在该点可导．
也就是说函数在某点连续是在该点可导的必要条 件而非充分条件．例如，函数f(x)=|x|在(－∞,+∞)上连 续，但在x=0处的导数不存在.曲线f(x)=|x|在原点处没 有切线．
【例11】
求函数y=f(tan x)+tan［f(x)］的导数，其中f(x)可导.
高等数学
（上册）
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念 第二节 函数的求导法则 第三节 高 阶 函 数 第四节 隐函数及参数方程所确定的函数的求导法 第五节 变化率问题举例
第一节
导数的概念
一、引例
1. 变速直线运动的瞬时速度
设有一做直线运动的物体，其位置函数s=s(t)，当t=t0时， s0=s(t0)．当由时刻t0变到t0+Δt时，物体在Δt这段时间内所走 过的路程（见图2-1）为
即 (cosx)′=－sinx.
这就是说余弦函数的导数是负的正弦函数． 用类似的方法，可求得正弦函数y=sinx的导数为(sinx)′=cosx．
二、导数的定义
【例5】
求函数f(x)=ax(a>0,a≠1)的导数
这就是指数函数的求导公式．特殊地，当a=e时，因 lne=1，故有
(ex)′=ex． 上式表明，以e为底的指数函数的导数就是它自己，这是以e 为底的指数函数的一个重要特性．
定义4
二、导数的定义
显然，当且仅当函数在一点的左、右导数都存在且相等时，函数在 该点才是可导的．
二、导数的定义
注意
（1）函数f(x)在［a,b］上是可导的，是指f(x)在开区间 (a,b)内每一点可导，而且在左端点a处f′+(a)存在，在右端点 b处f′－(b)存在．
（2）如果f(x)是分段函数，当x0是分段函数的分界点时， 需要用定义计算出左导数 f′－(x0)和右导数f′+(x0)．若f′－(x0) 与f′+(x0)都存在且相等时，则f(x)在点x0可导，且有f′(x0)=f′－ (x0)=f′+(x0)；若f′－(x0)≠f′+(x0)时，则f(x)在点x=x0处不可 导．
一、和、差、积、商的求导法则
一、和、差、积、商的求导法则
【例1】
一、和、差、积、商的求导法则
【例2】
已知函数y=x2sin x，求y′|x=π 解 因为 y′=（x2）′sin x+x2sin x′=2xsin x+x2cos x， 所以y′|x=π=－π2.
一、和、差、积、商的求导法则
【例3】
一、引例
2. 曲线切线的斜率
设曲线y=f(x)的图像如图2-2所示，点M(x0,y0) 为曲线上一定点，在曲线上另取一点 M1(x0+Δx,y0+Δy)，点M1的位置取决于Δx，它是 曲线上一动点.下面来求点M(x0,y0)处的切线的斜 率．由图2-2易知割线MM1的斜率K为
一、引例
当点M1沿曲线趋向点M时，也就是当Δx→0时，割线 MM1的极限位置就是曲线在点M的切线MT．显然，这时割线 MM1的倾角φ趋向于切线MT的倾角α，则切线的斜率
二、导数的定义
【例6】
求函数y=logax(a>0,a≠1)的导数．
特殊地有(lnx)′=1/x．
二、导数的定义
【例7】
讨论函数
在点x=0处的可导性． 解 因为
所以，函数在点x=0处可导，且f′(0)=3．
二、导数的定义
注意
分段函数在分段点处的导数，必须用导数的定义来求．
二、导数的定义
3. 函数左、右导数的概念 定义3
有时为了方便讨论，导数定义也可以写成如下不同的形式， 常见的有
由导数定义可见，导数从数量方面刻画了变化率问题的实 质：Δy/Δx表示自变量从x0变化到x0+Δx函数的平均变化率； f′(x0)表示函数在点x0的瞬时变化率．
二、导数的定义
2Leabharlann Baidu 函数y=f(x)在(a,b)上的导数的概念 定义2
若函数y=f(x)在(a,b)内每一点都可导，则称 y=f(x)在(a,b)内可导．也就是说对于该区间内 每一点x都有一个导数值f′(x)与之对应，故f′(x) 是该区间上的一个函数，叫作f(x)在该区间上的 导函数，简称导数，记为f′(x)，dy/dx或者y′， 有时也记为df/dx．显然，f(x)在x0处的导数f′(x0) 等于导函数f′(x)在点x0处的函数值
注意
此定理也可以推广到有限个函数乘积的情形，即 [u1(x)u2(x)…un(x)]′=u′1(x)u2(x)…un(x)+u1(x)u′2(x) …un(x)+…+u1(x)u2(x)…u′n(x).
一、和、差、积、商的求导法则
定理3
如果函数u=ux与v=vx在点x处可导， 那么它们的商（除分母为零的点外）在点x 处也可导，且
Δy=f(x+Δx)－f(x)≠0, 于是有
二、反函数的求导法则
【例5】
求指数函数y=ax(a>0,a≠1)的导数.
二、反函数的求导法则
【例6】
求函数y=arcsin x的导数
二、反函数的求导法则
【例7】
求函数y=arctan x的导数
三、常数和基本初等函数的导数公式
前面已经介绍了常数和基本初等函数求导数的方法.为 了便于记忆与应用，现将这些公式归纳如下：
［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x). 证明 令y=u(x)±v(x)，当x有增量Δx时，u有增量Δu，v有 增量Δv，从而y有增量Δy，且有
一、和、差、积、商的求导法则
注意
此定理可以推广到有限个函数代数和的情形，即 [u1(x)±u2(x)±…±un(x)′]=u′1(x)±u′2(x)±…±u′n(x).
二、导数的定义
【例8】
函数f(x)=|x|在x=0处的导数（见图2-3）
所以f(x)=|x|在x=0处的导数不存在．
三、导数的几何意义
设曲线y=f(x)如图2-4所示， M0N=Δx,NM=Δy,tanβ=Δy/Δx，因此Δy/Δx就是割线 M0M的斜率．图2-4
三、导数的几何意义
当Δx→0时，点M沿曲线y=f(x)趋于点M0，割线M0M趋 于它的极限位置M0T，而直线M0T是曲线y=f(x)在点M0处的切 线．很明显，当Δx→0时，有β→α，于是有
因此，函数y=f(x)在点x0处的导数值f′(x0)是曲线y=f(x)在点 (x0,f(x0))处切线的斜率，即k=tanα=f′(x0)．
三、导数的几何意义
【例9】
求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程． 解由导数的几何意义知，y=x2的曲线在点(1,1)处的切线斜 率为y′x=1 =2×1=2，所以，曲线y=x2在点(1,1)处的切线 方程为y－1=2(x－1)，即2x－y－1=0．
四、复合函数的求导法则
注意
（1）上式说明,求复合函数y=f[φ(x)]对x的导数时， 可先求出y=f(u)对u的导数和u=φ(x)对x的导数，然后 相乘即得.
（2）复合函数的求导法则可以推广到任意有限多 个中间变量的情形.以两个中间变量为例，设 y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x),则复合函数y=fφ［ψ(x)］的导 数为
(2)判断下列等式是否成立，请举例说明之． ① f′(x0)=［f(x0)］′,f′(0)=［f(0)］′； ② f′(x)=［f(x)］′,f′(y)=［f(y)］′．
第二节
函数的求导法则
一、和、差、积、商的求导法则
定理1
如果函数u=ux与v=vx在点x处可导，那么它们的和、 差在点x处也可导，且
二、导数的定义
1. 函数y=f(x)在点x0的导数的概念
定理1
设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义．给x0以增量 Δx，函数y相应地有增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)，
二、导数的定义
如果limΔx→0Δy/Δx不存在，则称y=f(x)在点x0处不可 导．特别地，若limΔx→0Δy/Δx=∞，y=f(x)在点x0处不可导， 但有时为方便起见，常说导数为无穷大．
四、函数的可导性与连续性的关系
【例10】
设函数 若要使f(x)为可导函数，应如何选择a,b？
四、函数的可导性与连续性的关系
解 当x>1和x<1时，f(x)显然是可导的，故要使f(x)为可 导函数，只要使其在点x=1处可导即可．为此，应首先选择a,b， 使其在点x=1处连续．
要使f(x)在点x=1处可导，必须使f′－(1)=f′+(1)，即当a=2,b=0 即可．
二、导数的定义
【例1】
求函数y=C（C为常数）的导数． 解（1）求增量：Δy=C－C=0； （2）算比值：Δy/Δx=0； （3）取极限：y′=limΔx→0Δy/Δx=0, 故(C)′=0，这就是说常数的导数等于零．
二、导数的定义
【例2】
求函数y=x2的导数． 解（1）求增量：Δy=f(x+Δx)－f(x)=(x+Δx)2－ x2=2xΔx+(Δx)2；
四、复合函数的求导法则
【例8】
求函数y=(1－5x)10的导数. 解设y=u10,u=1－5x,则
【例9】
求函数y=cos(ln2x)的导数.
四、复合函数的求导法则
【例10】
求函数y=logxsin x(x>0,x≠1)的导数. 解 在函数表达式中,考虑到对数的底是变量,可用对数换 底公式,将其变形为y=ln sin x/ln x.这时
四、函数的可导性与连续性的关系
【例11】
四、函数的可导性与连续性的关系
注意
讨论函数在一点是否连续，是否可导，先讨论其是 否可导.若函数在该点可导，则在该点必连续；若在该 点不可导，则还需考察其在该点是否连续．
四、函数的可导性与连续性的关系
思考
(1)若函数f(x)在点x0可导，是否f(x)在点x0的某邻域内的每一 点都可导？请举例说明．
求正切函数y=tan x的导数.
一、和、差、积、商的求导法则
【例4】
求正割函数y=sec x的导数
注意
二、反函数的求导法则
定理4
若函数x=φ（y）在区间Iy内单调、可导,且φ′（y）≠0, 则它的反函数y=f（x）在区间Ix={x|x=φ(y),y∈Iy}内也可导, 且有
二、反函数的求导法则
证明由于函数x=φ(y)在区间Iy内单调、可导,由第一章内容可 知，x=φ(y)的反函数y=f(x)存在，且在Ix内单调、连续. 任取x∈Ix，给x以增量Δx(Δx≠0,x+Δx∈Ix)，由y=f(x)的单调性知
一、和、差、积、商的求导法则
定理2
如果函数u=ux与v=vx在点x处可导，那么它们的积在点x处也 可导，且［u(x)·v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x). 证明 令y=u(x)v(x)，因为
Δu=u(x+Δx)－u(x),Δv=v(x+Δx)－v(x),
一、和、差、积、商的求导法则
Δs=s(t0+Δt)－s(t0)．
一、引例
当物体做匀速运动时，它的速度是恒定的，并且等于 Δs/Δt，即
它是物体在任意时刻t的速度． 当物体做变速运动时，Δs/Δt表示时刻从t0到t0+Δt这一段
时间内的平均速度v，即
而Δt越小，这个平均速度就越接近于t0时刻的速度，当Δt→0 时，平均速度的极限就是物体在时刻t0的瞬时速度v(t0)，即
故(x2)′=2x.
二、导数的定义
【例3】
求函数f(x)=xn(n∈N )在x=a处的导数.
把以上结果中的a换成x得f′(x)=nxn－1，即 (xn)′=nxn－1.
更一般地，对于幂函数y=xμ（μ为任意实常数），有 (xμ)′=μxμ－1．
二、导数的定义
【例4】
求函数y=cosx的导数． 解(1)求增量；
二、导数的定义
注意
一般的，某函数的导数还是一个函数，我们称之为 导函数；而函数在某一点的导数是一个数值，我们称之 为函数在这点的导数值．
二、导数的定义
由导数的定义可知，求函数y=f(x)的导数f′(x)，可以分为以 下三个步骤： （1）求增量：Δy=f(x+Δx)－f(x)；
下面，就根据这三个步骤来求一些比较简单的函数的导数．
四、复合函数的求导法则
定理5
（复合函数求导法则）若函数u=φ（x） 在点x处可导,函数y=f（u）在点u=φ（x）处 可导,则复合函数y=f[φ(x)]在点x处可导,且
四、复合函数的求导法则
证明设自变量x在点x处取得增量Δx时，中间变量u取得 相应的增量Δu，从而函数y也取得相应的增量Δy，当Δu≠0 时，有