华师大版高等数学上册第二章导数与微分
高等数学第二章导数与微分

tan lim y lim f (x0 x) f (x0 )
其中 (
2
x x0
t 0
x
) 是切线M0T与x轴正向的夹角。
2 求变速直线运动的瞬时速度
用s表示质点运动的路程,以O为原点,沿质点运动的方向建
立数轴—s轴,如图2.1,显然路程s是时间t的函数,记作 s=f (t),
t∈[0,T],现求t0时刻的瞬时速度v0=v(t0).
dx
x
例5. 设
存在, 求极限 lim f (x0 h) f (x0 h).
h0
2h
是否可按下述方法作:
解: 令原式t x0hlim0h,则
f (x0 )
f (x00)hf)(x0f (xh0))
2(2hh)
原式
1 2
f (x0 )
1 2
f (x0 )
f (x0 )
内容小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.2
第二章
导数的运算法则
一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思路:
( 构造性定义 )
本节内容
(C ) 0
(sin x ) cos x 证明中利用了
( ln x ) 1
两个重要极限
例3. 求反三角函数及指数函数的导数.
解: 1) 设
cos y 0 , 则
则
y ( , ) ,
22
(sin y)
1 cos y
1 1 sin2 y
类似可求得
利用
arccos
x
高等数学 第二章 导数与微分

(2)算比值: y f (x x) f (x) .
x
x
(3)求极限: f (x) lim y lim f (x x) f (x) .
x x0
x0
x
四、函数可导性与连续性的关系
定理 如果函数 y f (x) 在点 x0 处可导,则函数 y f (x) 在点 x0 处一定连续. 如果函数 f (x) 在点 x0 处连续,则函数 f (x) 在点 x0 处不一定可导.
第二章
导数与微分
导学
我们在解决实际问题时,除了需要确定变量之间的函数关系外,有时 还需要研究函数相对于自变量变化的快慢程度,即函数的变化率,以及当 自变量发生微小变化时函数的近似改变量,这两个问题就是我们本章所要 讨论的主要内容——导数与微分.
第一节
导数的概念
一、导数的定义
设某物体在数轴上做变速直线运动,运动方程为 s s(t) ,现在求该物体在 t0 时刻的瞬时速度 v(t0 ) .
当
u
C (C
为常数)时,有
C v
Cv v2
.
二、反函数的求导法则
定理 2 如果函数 x f ( y) 在区间 I y 内单调、可导且 f ( y) 0 ,那么它的反函数 y f 1(x) 在
区间 Ix {x | x f ( y) ,y I y} 内也可导,且有
[ f 1(x)] 1 或 dy 1 .
当时间 t 由 t0 变到 t0 t 时,物体的路程 s(t) 由 s(t0 ) 变到 s(t0 t) ,
路程的增量 s 为 s s(t0 +t) s(t0 ) ,
物体在
t0
到 t0
t
这段时间内的平均速度为
v
s t
高等数学导数的计算教学ppt课件

25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
(一)隐函数的导数
显函数:因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数.例如:
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数:由含x,y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如:
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数:
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系.其中函数x(t),y(t)可导,且
x (t)0, ,则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数.
解:由于y=arcsinx,x(-1,1) 为x=siny,y (-/2, /2) 的反函数,且当y (-/2, /2)时,
(siny)=cosy>0. 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解:
y
arcsin
x
3
2x4
,求 y .
1
3
x
1 4
1 x2 2
高等数学第二章导数与微分第四节 隐函数求导与参数方程求导

已知其中一个变化率时求出另一个变化率
2020/2/13
17
例7 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直 上升,其速率为140米 / 秒.当气球高度为500米时,
观察员视线的仰角增加率是多少? 解 设气球上升t秒后, 其高度为h, 观察员视线
的仰角为 , 则 tan
h
500
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 (t) dx dt dx dt dx (t)
dt
dy
故 dy dx
dt dx
dt
2020/2/13
11
同 样 得 到 函 数
x y
(t)d2 dx
y
2
d dx
( dy dx
第四节 隐函数求导与参数方程求导
一 问题的提出 二 隐函数求导法 三 对数求导法 四 参数方程求导法则 五 相关变化率 六 小结与思考判断题
2020/2/13
1
一 问题的提出
定义 由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数.
y f ( x) 形式称为显函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
x y
v1t v2t
,
1 2
gt
2
,
求 抛射体在时刻t的运动方向和速度大小。
解:先求运动的方向
在 t时刻的运动方向,即 轨 道的 切线 方 向, 可 由切 线的 斜 率来 反映.
y
vy v
v0
vx
o
x
2020/2/13
13
设切线的倾角为,则
tan
《高等数学》 第二章 导数与微分3—4节 课堂笔记及练习题

高等数学 第二章 导数与微分3—4节 课堂笔记及练习题主 题:第二章 导数与微分3—4节学习时间:2015年11月2日—11月8日内 容:这周我们将学习第二章导数与微分(3—4节)。
其中一定要注意区别导数与微分的概念。
导数是函数的变化率,是增量比(平均变化率)的极限(在某点的变化率);函数的微分是增量的线性主部()0)(0≠'x f ,并有不同的几何解释。
本章的学习要求及需要掌握的重点内容如下:1、深刻理解微分的定义及几何意义,微分与导数的关系。
2、掌握基本初等函数的微分公式及微分的四则运算法则,会求微分。
3、了解微分在近似计算中的简单应用4、理解高阶导数的定义,掌握高阶导数的求导方法。
基本概念:微分知识点:高阶导数求导知识结构图第三节、函数的微分一、微分的定义引例 函数增量的计算及增量的构成一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由0x 变到x x ∆+0,问此薄片的面积改变了多少?(如下图)设此正方形的边长为x ,面积为A ,则A 是x 的函数:2)(x x A =。
金属薄片的面积改变量为202020)(2)()(x x x x x x A ∆+∆=-∆+=∆。
几何意义:x x ∆02表示两个长为0x 宽为x ∆的长方形面积;2)(x ∆表示边长为x ∆的正方形的面积。
数学意义:当0→∆x 时,2)(x ∆是比x ∆高阶的无穷小,即)()(2x x ∆=∆ο;x x ∆02是x ∆的线性函数,它的系数02x 是函数2)(x x A =在0x 处的导数。
当||x ∆很小时,x x A A ∆'≈∆)(0。
定义:设函数)(x f y =在x 处可导,则增量)()(x f x x f y -∆+≈∆的线性主部x x f ∆')(称为)(x f 在x 处的微分,记作dy 或)(x df ,即x x f dy ∆'=)(。
注1:规定x dx ∆=,所以)(x f y =的微分记作x x f dy ∆'=)(,所以)(x f dxdy '=,因此,导数也叫做微商。
数学分析教案(华东师大版)导数和微分

数学分析教案(华东师大版)导数和微分一、教学目标1. 理解导数的定义和几何意义;2. 掌握导数的计算法则;3. 学会应用导数解决实际问题,如求函数的极值、单调区间等;4. 理解微分的概念及其应用。
二、教学内容1. 导数的定义与几何意义引入极限的概念,说明导数是函数在某一点的切线斜率;解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率;借助几何图形,展示导数表示切线的斜率。
2. 导数的计算法则幂函数、指数函数、对数函数的导数;三角函数的导数;复合函数的导数(链式法则);反函数的导数;高阶导数。
3. 应用导数解决实际问题求函数的极值;判断函数的单调性;求解曲线的切线方程;应用导数解决物理、经济等领域的实际问题。
4. 微分的概念与计算引入微分的概念,说明微分表示函数在某一点的增量;掌握微分的计算法则,如乘法法则、幂函数的微分等;应用微分求解函数的增量。
三、教学方法1. 采用讲授法,系统地介绍导数和微分的概念、计算法则及应用;2. 借助图形和实例,直观地展示导数和微分的几何意义;3. 引导学生通过练习,巩固所学知识,提高解题能力;4. 鼓励学生提问、讨论,提高课堂互动性。
四、教学准备1. 教案、教材、课件等教学资源;2. 投影仪、黑板、粉笔等教学工具;3. 练习题及答案。
五、教学评价1. 课堂提问:检查学生对导数和微分概念、计算法则的理解;2. 课后作业:评估学生对课堂所学知识的掌握程度;3. 章节测试:检测学生对导数和微分知识的综合运用能力。
六、教学内容5. 利用导数研究函数的极值与单调性定义极值的概念,介绍第一类和第二类极值;利用导数判断函数的单调区间;求解函数的极值点和单调区间。
6. 洛必达法则与极限的计算引入洛必达法则,解释其在极限计算中的应用;演示洛必达法则的具体操作步骤;练习使用洛必达法则计算极限。
七、教学内容7. 高阶导数与隐函数求导定义高阶导数,介绍高阶导数的计算法则;引入隐函数的概念,讲解隐函数求导的方法;举例说明隐函数求导的应用。
高数课件第2章 导数与微分

h0
h
h0 h
即 (C) 0.
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
lim cos( x
h0
h) 2
sin h 2
h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
(sin x) cos x
x
x
4
4
2. 2
例3 求函数 y xn (n为正整数)的导数.
解 ( x n ) lim ( x h)n x n
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
更一般地 ( x ) x1 . ( R)
例如,
x) ( x0 )
x
f( x0 ) 存在,
若 lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
lim ( x0
x0
x) ( x0 )
x
f( x0 ) 存在,
且 f( x0 ) f( x0 ) a,
则 f ( x)在点x0 可导,
且 f ( x0 ) a.
三、由定义求导数
★ 如果 f ( x)在开区间a, b 内可导,且 f(a)及
f(b)都存在,就说 f ( x) 在闭区间a, b 上可导.
★
设函数
f
(x)
( x), ( x),
可导性.
x x0 , x x0
讨论在点 x0的
若 lim f ( x0 x) f ( x0 )
高等数学第二章导数与微分

x0
x
瞬时变化率
点导数是因变x0量 处在 的点 变化 ,它率 反映因 了变量随自变量 而的 变变 化化 的快 慢程.度
根据导数定义求导,可分为如下三个步骤:
( 1 ) 求y 增 f( x 量 x ) f( x );
曲线 y = f (x)在点x0处的切线斜率
tan lim y
x0 x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0)
f x0
左右导数
设函数 y = f (x)在点x0的某一个邻域内有定义.
假设极限l i m x 0
-
y x
存在,那么称 y = f (x)在点 x0 左可 导,
且称此极限值为函数 y = f (x) 在点 x0 的左导数,
解:由导数的几何意义, 得切线斜率为
k
y
x1 2
1 x
x 1 2
1 x2
x1 2
4.
切线方程为 y24x12, 即 4 xy 4 0 .
法线方程为
y
2
1 4
x
12,
即 2 x 8 y 1 5 0 .
2.1.4 函数的可导性与连续性的关系
〔1〕假设 f (x)在 x0点可导,那么它在 x0点必连续.
记作 f(x0 ). 同样可定义右导数: f(x0 ).
f (x)在x0可导的充要条件是: f (x)在 x0 既左可导
又右可导,且 f (x0)f (x0). 即 f(x0)存在 f (x 0 )f (x 0 )存 在 .
导函数的概念
假设函数 y = f (x)在开区间I内每一点都可导,那么称
f (x)在I 内可导. 此时对xI, 有导数 f ( x ) 与之
高等数学讲义第二章:导数与微分2-第四节初等函数的求导问题双曲函数与反双曲函数的导数

(3)(u)vu vu v,
(4)
( u ) v
uvuv
(v0).
v2
设 yf(u )而 , u(x)则复y合 f[(函 x)的 ] 数
导数为
ddxydduyddux或 y (x ) f( u )(x ).
利用上述公式及法那么,初等函数求导问题可完 全 解注决意.:初等函数的导数仍为初等函数.
二、双曲函数与反双曲函数的导数
(sh)xchx (ch)xshx
(th)x( shx ) ch2xsh2x, 即 (thx) 1
chx
ch2x
ch2x
ar s ln x h ( 1 x x 2 )
(ars)h(xx1x2) x1x2
1 (1 x ) 1 .
x1x2
1x2 1 x2
同理
(arc)hx 1 ; x21
(arth)x 1 . 1x2
(loagx)
1 x ln a
(lnx)
1 x
(arcsxi)n 1 1 x2
(actraxn ) 1 1 x2
(arccxo)s 1 1 x2
(accrox)t 1 1 x2
2.函数的和、差、积、商的求导法那么
设u u( x), v v( x)可导,那么 (1)(uv)uv, (2)(cu)cu (其c中 是常 ). 数
结论 任何初等函数的导数都可以按常数和根本 初等函数的求导公式和上述求导法那么求出.
等都是初等函数。
2 yxarcxsi4 n2 x
(C ) 0 (sinx) co xs
( x ) x1
(coxs) six n
(taxn)se2cx
(coxt) cs2x c
(sexc) se x tc a xn (csxc) cx s cc x ot
数学分析教案(华东师大版)导数和微分

数学分析教案(华东师大版):导数和微分第一章:导数概念1.1 引入导数的概念解释导数的定义:函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
强调导数的重要性:导数可以描述函数在某一点的局部性质,如增减性、凹凸性等。
1.2 导数的计算讲解导数的计算方法:常数函数的导数为0;幂函数的导数为其指数乘以底数的指数减1;指数函数的导数为底数;对数函数的导数为1除以函数的底数;三角函数的导数分别为各自的导数公式。
1.3 导数的应用解释导数的应用:求函数的极值:导数为0的点可能是极值点,通过二阶导数判断;求函数的单调区间:导数大于0表示函数递增,导数小于0表示函数递减;求曲线的切线方程:利用导数求出切点坐标和切线斜率,写出切线方程。
第二章:微分2.1 微分的概念解释微分的定义:微分是导数的一个局部线性逼近,表示函数在某一点的增量与自变量的增量之比。
强调微分的重要性:微分可以用来近似计算函数在某一点的增量,简化计算。
2.2 微分的计算讲解微分的计算方法:利用导数计算微分:微分等于函数在该点的导数乘以自变量的增量;微分的性质:微分是无穷小量,具有线性、齐次性和对称性。
2.3 微分的应用解释微分的应用:近似计算函数在某一点的增量:利用微分公式,将自变量的增量代入计算;求曲线的切线:利用微分求出切点坐标和切线斜率,写出切线方程;微分方程的求解:通过微分方程描述物理、化学等现象的规律,求解未知函数。
第三章:导数和微分的进一步应用3.1 洛必达法则介绍洛必达法则:当函数在某一点的导数为0时,可以通过求导数的极限来判断该点是否为极值点。
3.2 罗尔定理介绍罗尔定理:如果函数在某一区间内有两个不同的点处的导数相等,则在这两点之间存在一个点,使得函数在该点处的导数为0。
3.3 泰勒公式介绍泰勒公式:将函数在某一点附近展开为多项式,可以用来近似计算函数在该点附近的值。
第四章:高阶导数4.1 高阶导数的定义解释高阶导数的定义:函数的n阶导数是其导数的导数,即导数的导数直到第n 次。
《高等数学(上册)》 第二章

它们在数量关系上的共性,从而引入导数的概念.
2.1.2 导数的定义
1.函数在一点处的导数
定义 1 设函数 y f (x) 在 x0 的某个邻域内有定义,当自变量 x 在点 x0 取得
改 变 量 x ( x0 x 仍 在 该 邻 域 内 , 且 x 0 ) 时 , 相 应 有 函 数 的 改 变 量
形下,仍简称为导数,记为 y , f (x) , dy , df (x) ,即 dx dx
f (x) lim y lim f (x x) f (x) .
x x0
x0
x
如果函数 f (x) 在开区间 (a ,b) 内可导,且 f(a) , f(b) 都存在,我们称 f (x) 在闭区间[a ,b] 上可导.
极限位置 MT ,则称 MT 为曲线 C 在点 M (x0 ,y0 ) 处的切线.这个定义包含了中学
数学圆的切线定义.
2.1.1 导数产生的背景
下面我们求曲线 C : y f (x) 在点 M (x0 ,y0 ) 处切线的斜率 k .如果 y f (x) 的
图像是直线,那么只要在直线上取定两点,这两点的纵坐标之差 y 与横坐标之差 x 的比值 y 就是直线的斜率.但现在 y f (x) 的图像是曲线,遇到了直与曲的
微分学内容由导数、微分及其应用组成,导数与微分是它的两个根 本概念.
本章主要介绍导数和微分的概念及其计算方法.导数的应用将在下 一章中研究.
2.1.1 导数产生的背景
为了说明微分学的基本概念——导数,我们先讨论两个问题:速度问题 和切线问题.这两个问题在历史上都与导数概念的形成有密切的关系.
例 1 求变速直线运动物体的瞬时速度. 设 某 物 体 做 变 速 直 线 运 动 , 在 [t1 ,t2 ] 时 间 内 运 动 的 路 程 为 s(t) (t [t1 ,t2 ]) ,求物体在时间 t0 [t1 ,t2 ] 的瞬时速度 v v(t0 ) . 如果质点做匀速直线运动,那么按照公式
《高等数学》上册(课件全集)第2章导数及微分

导数的几何意义
总结词
详细描述
总结词
详细描述
导数的几何意义是切线斜率 。
对于可导函数,其在某一点 的导数即为该点处的切线斜 率。在几何上,导数表示曲 线在该点的切线的斜率。这 个斜率决定了切线的倾斜程 度,进而决定了函数在该点 的变化趋势。
导数决定切线的斜率和倾斜 程度。
对于可导函数,其在某一点 的导数决定了该点处切线的 斜率和倾斜程度。如果导数 大于0,切线斜率为正,表 示函数值随自变量增大而增 大;如果导数小于0,切线 斜率为负,表示函数值随自 变量增大而减小。因此,导 数是研究函数图像和性质的 重要工具。
导数的定义
总结词
导数定义是函数在某一点的切线斜率。
详细描述
导数可以理解为函数在某一点的切线斜率。对于可导函数,其在某一点的导数 即为该点处切线的斜率。这个斜率决定了函数在该点的变化趋势,是研究函数 行为的重要工具。
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点附近的变化率。
详细描述
导数表示函数在某一点附近的变化率,即函数值随自变量变化的速率。对于可导函数,其在某一点的 导数值越大,表示函数在该点附近的斜率越大,即函数值变化越快;导数值越小,表示函数值变化越 慢。
微分中值定理的应用非常广泛,是高等数学中重要的知识点之一。
05
导数与微分的应用
导数在几何中的Biblioteka 用切线斜率导数可以用来求曲线上某一点的切线斜率,从而了解曲线在该点 的变化趋势。
函数单调性
通过导数可以判断函数的单调性,进而研究函数的增减性。
极值问题
导数可以用来研究函数的极值问题,确定函数在哪些点取得极值 。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是速度和加速度。
第二章《高等数学(上册)》课件

f (x) 或 y 或 df (x) 或 dy
dx
dx
在不致发生混淆的情况下,导函数也简称导数.
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
(2)算比值 (3)取极限
y f (x x) f (x)
x
x
y lim y x0 x
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
2.左、右导数
既然导数是比值 y 当x 0 时的极限,那么下面两个极
限
x
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
例2 求抛物线y=x2在点(1,1)处的切线方程和法线方程. 解 因为 y (x2 ) 2x,由导数的几何意义可知,曲线y=x2
《高等数学》上册(课件全集)第2章 导数及微分

根据导数的几何意义,过曲线y=f(x)上点M0(x0,y0)的切线方程为
对应的法线方程为
当f′(x0)=0时,切线方程为y=y0,法线方程为x=x0.
2.2 初等函数的求导法则
1.导数的基本公式 前一节由导数的定义,求出了几个简单函数的导数,但对于较复杂的函数,用定 义求导往往比较困难.为此,本节介绍导数的基本公式、求导法则和求导方法,借助 这些基本公式、法则和方法就可以方便地求出初等函数的导数.所有基本初等函数的 导数基本公式如下:
为Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0).当Δ x→0时,若比值Δ yΔ x 的极限存在,则称函数y=f (x)在点
x0处可导,并称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数值,记作f′(x0),
即
也记作
如果极限
不存在,则称函数y=f(x)在点x0处不可导.
如果函数y=f(x)在区间(a,b)内任意点x处都可导,则称函数y=f(x) 在区间(a,b)内可导.
内所经过的路程为Δ s,
即
则在时间段Δ t内的平均速度
显然,时间段Δ t越小,质点运动速度变化越小,可近似看做匀速直线运动,平 均速度v就越接近于质点在t0时刻的瞬时速度v(t0),即当Δ t→0,平均速度v的极
限,便是质点在t0时刻的瞬时速度,即
2.导数的定义
定义 设函数y=f(x)在点x0的左右近旁有定义,自变量x在点x0处有改变量Δ x(Δ x≠0)(也叫自变量的增量)时,相应函数的改变量(也叫函数的增量)
如果函数z=f(x,y)在某个平面区域D内的每一点(x,y)处,对x的偏导数都存在, 那么,这个偏导数就是x,y的函数,称它为z=f(x,y)对自变量x的偏导函数,简称偏 导数,记作
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
二、导数的定义
【例6】
求函数y=logax(a>0,a≠1)的导数.
特殊地有(lnx)′=1/x.
二、导数的定义
【例7】
讨论函数
在点x=0处的可导性. 解 因为
所以,函数在点x=0处可导,且f′(0)=3.
二、导数的定义
注意
分段函数在分段点处的导数,必须用导数的定义来求.
二、导数的定义
3. 函数左、右导数的概念 定义3
四、复合函数的求导法则
【例8】
求函数y=(1-5x)10的导数. 解设y=u10,u=1-5x,则
【例9】
求函数y=cos(ln2x)的导数.
四、复合函数的求导法则
【例10】
求函数y=logxsin x(x>0,x≠1)的导数. 解 在函数表达式中,考虑到对数的底是变量,可用对数换 底公式,将其变形为y=ln sin x/ln x.这时
四、复合函数的求导法则
定理5
(复合函数求导法则)若函数u=φ(x) 在点x处可导,函数y=f(u)在点u=φ(x)处 可导,则复合函数y=f[φ(x)]在点x处可导,且
四、复合函数的求导法则
证明设自变量x在点x处取得增量Δx时,中间变量u取得 相应的增量Δu,从而函数y也取得相应的增量Δy,当Δu≠0 时,有
四、复合函数的求导法则
注意
(1)上式说明,求复合函数y=f[φ(x)]对x的导数时, 可先求出y=f(u)对u的导数和u=φ(x)对x的导数,然后 相乘即得.
(2)复合函数的求导法则可以推广到任意有限多 个中间变量的情形.以两个中间变量为例,设 y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x),则复合函数y=fφ[ψ(x)]的导 数为
【例11】
求函数y=f(tan x)+tan[f(x)]的导数,其中f(x)可导.
注意
此定理也可以推广到有限个函数乘积的情形,即 [u1(x)u2(x)…un(x)]′=u′1(x)u2(x)…un(x)+u1(x)u′2(x) …un(x)+…+u1(x)u2(x)…u′n(x).
一、和、差、积、商的求导法则
定理3
如果函数u=ux与v=vx在点x处可导, 那么它们的商(除分母为零的点外)在点x 处也可导,且
Δs=s(t0+Δt)-s(t0).
一、引例
当物体做匀速运动时,它的速度是恒定的,并且等于 Δs/Δt,即
它是物体在任意时刻t的速度. 当物体做变速运动时,Δs/Δt表示时刻从t0到t0+Δt这一段
时间内的平均速度v,即
而Δt越小,这个平均速度就越接近于t0时刻的速度,当Δt→0 时,平均速度的极限就是物体在时刻t0的瞬时速度v(t0),即
一、引例
2. 曲线切线的斜率
设曲线y=f(x)的图像如图2-2所示,点M(x0,y0) 为曲线上一定点,在曲线上另取一点 M1(x0+Δx,y0+Δy),点M1的位置取决于Δx,它是 曲线上一动点.下面来求点M(x0,y0)处的切线的斜 率.由图2-2易知割线MM1的斜率K为
一、引例
当点M1沿曲线趋向点M时,也就是当Δx→0时,割线 MM1的极限位置就是曲线在点M的切线MT.显然,这时割线 MM1的倾角φ趋向于切线MT的倾角α,则切线的斜率
定义4
二、导数的定义
显然,当且仅当函数在一点的左、右导数都存在且相等时,函数在 该点才是可导的.
二、导数的定义
注意
(1)函数f(x)在[a,b]上是可导的,是指f(x)在开区间 (a,b)内每一点可导,而且在左端点a处f′+(a)存在,在右端点 b处f′-(b)存在.
(2)如果f(x)是分段函数,当x0是分段函数的分界点时, 需要用定义计算出左导数 f′-(x0)和右导数f′+(x0).若f′-(x0) 与f′+(x0)都存在且相等时,则f(x)在点x0可导,且有f′(x0)=f′- (x0)=f′+(x0);若f′-(x0)≠f′+(x0)时,则f(x)在点x=x0处不可 导.
Δy=f(x+Δx)-f(x)≠0, 于是有
二、反函数的求导法则
【例5】
求指数函数y=ax(a6】
求函数y=arcsin x的导数
二、反函数的求导法则
【例7】
求函数y=arctan x的导数
三、常数和基本初等函数的导数公式
前面已经介绍了常数和基本初等函数求导数的方法.为 了便于记忆与应用,现将这些公式归纳如下:
二、导数的定义
1. 函数y=f(x)在点x0的导数的概念
定理1
设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义.给x0以增量 Δx,函数y相应地有增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),
二、导数的定义
如果limΔx→0Δy/Δx不存在,则称y=f(x)在点x0处不可 导.特别地,若limΔx→0Δy/Δx=∞,y=f(x)在点x0处不可导, 但有时为方便起见,常说导数为无穷大.
即 (cosx)′=-sinx.
这就是说余弦函数的导数是负的正弦函数. 用类似的方法,可求得正弦函数y=sinx的导数为(sinx)′=cosx.
二、导数的定义
【例5】
求函数f(x)=ax(a>0,a≠1)的导数
这就是指数函数的求导公式.特殊地,当a=e时,因 lne=1,故有
(ex)′=ex. 上式表明,以e为底的指数函数的导数就是它自己,这是以e 为底的指数函数的一个重要特性.
故(x2)′=2x.
二、导数的定义
【例3】
求函数f(x)=xn(n∈N )在x=a处的导数.
把以上结果中的a换成x得f′(x)=nxn-1,即 (xn)′=nxn-1.
更一般地,对于幂函数y=xμ(μ为任意实常数),有 (xμ)′=μxμ-1.
二、导数的定义
【例4】
求函数y=cosx的导数. 解(1)求增量;
二、导数的定义
【例1】
求函数y=C(C为常数)的导数. 解(1)求增量:Δy=C-C=0; (2)算比值:Δy/Δx=0; (3)取极限:y′=limΔx→0Δy/Δx=0, 故(C)′=0,这就是说常数的导数等于零.
二、导数的定义
【例2】
求函数y=x2的导数. 解(1)求增量:Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)2- x2=2xΔx+(Δx)2;
二、导数的定义
注意
一般的,某函数的导数还是一个函数,我们称之为 导函数;而函数在某一点的导数是一个数值,我们称之 为函数在这点的导数值.
二、导数的定义
由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数f′(x),可以分为以 下三个步骤: (1)求增量:Δy=f(x+Δx)-f(x);
下面,就根据这三个步骤来求一些比较简单的函数的导数.
[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x). 证明 令y=u(x)±v(x),当x有增量Δx时,u有增量Δu,v有 增量Δv,从而y有增量Δy,且有
一、和、差、积、商的求导法则
注意
此定理可以推广到有限个函数代数和的情形,即 [u1(x)±u2(x)±…±un(x)′]=u′1(x)±u′2(x)±…±u′n(x).
高等数学
(上册)
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念 第二节 函数的求导法则 第三节 高 阶 函 数 第四节 隐函数及参数方程所确定的函数的求导法 第五节 变化率问题举例
第一节
导数的概念
一、引例
1. 变速直线运动的瞬时速度
设有一做直线运动的物体,其位置函数s=s(t),当t=t0时, s0=s(t0).当由时刻t0变到t0+Δt时,物体在Δt这段时间内所走 过的路程(见图2-1)为
二、导数的定义
【例8】
函数f(x)=|x|在x=0处的导数(见图2-3)
所以f(x)=|x|在x=0处的导数不存在.
三、导数的几何意义
设曲线y=f(x)如图2-4所示, M0N=Δx,NM=Δy,tanβ=Δy/Δx,因此Δy/Δx就是割线 M0M的斜率.图2-4
三、导数的几何意义
当Δx→0时,点M沿曲线y=f(x)趋于点M0,割线M0M趋 于它的极限位置M0T,而直线M0T是曲线y=f(x)在点M0处的切 线.很明显,当Δx→0时,有β→α,于是有
四、函数的可导性与连续性的关系
【例10】
设函数 若要使f(x)为可导函数,应如何选择a,b?
四、函数的可导性与连续性的关系
解 当x>1和x<1时,f(x)显然是可导的,故要使f(x)为可 导函数,只要使其在点x=1处可导即可.为此,应首先选择a,b, 使其在点x=1处连续.
要使f(x)在点x=1处可导,必须使f′-(1)=f′+(1),即当a=2,b=0 即可.
一、和、差、积、商的求导法则
一、和、差、积、商的求导法则
【例1】
一、和、差、积、商的求导法则
【例2】
已知函数y=x2sin x,求y′|x=π 解 因为 y′=(x2)′sin x+x2sin x′=2xsin x+x2cos x, 所以y′|x=π=-π2.
一、和、差、积、商的求导法则
【例3】
(2)判断下列等式是否成立,请举例说明之. ① f′(x0)=[f(x0)]′,f′(0)=[f(0)]′; ② f′(x)=[f(x)]′,f′(y)=[f(y)]′.
第二节
函数的求导法则
一、和、差、积、商的求导法则
定理1
如果函数u=ux与v=vx在点x处可导,那么它们的和、 差在点x处也可导,且
求正切函数y=tan x的导数.
一、和、差、积、商的求导法则
【例4】
求正割函数y=sec x的导数