12-6.多元函数的连续性PPT

多元函数的连续性

二元函数的连续性

定义1()(,)D f P f x y =设二元函数的定义域为，

00000,)D ,)D P x y P x y ∈（是的聚点，且（

，如果0000,)(,)

lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=（00(,)(,)f x y P x y 则称函数在点处连续。

(,)D (,)D (,)D (,)C()

f x y f x y f x y f x y D ∈如果在的每一点处都连续，则称函数在上连续，或称是上的连续函数，记作

例1讨论函数222,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y

x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩

在(0,0)处的连续性．

解2

22x y x y +x 2

1≤,00−−→−→x 222

00

lim 0(0,0)x y x y f x y →→∴==+故函数在(0,0)处连续.

例2讨论函数

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xy y x f 在(0,0)的连续性．

解取kx

y =2222

0lim x k x kx kx

y x +==→21k k +=其值随k 的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．

闭区域上连续函数的性质

（1）最大值和最小值定理

有界闭区域D上的多元连续函数一定有最大值和最小值．

（2）介值定理

在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的一切值．

多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．

定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．

设n 元函数)(P f 的定义域为点集0,P D 是其聚点且D P ∈0，如果)()(lim 00P f P f P P =→则称n 元函数)(P f 在点0P 处连续. 设0P 是函数)(P f 的定义域的聚点，如果)(P f 在点0P 处不连续，则称0P 是函数)(P f 的间断点.

多元函数的连续性

定义1

小结

1.二元函数连续的定义,性质

2.n元函数连续的定义