12-6.多元函数的连续性PPT
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高等数学函数连续性教学ppt
解 ff((xx))在在xx==2及x0及其其近近旁旁有点定是义否且有f(2定)=义3;？ 若有定义， f(x0)=？
lim f (lxim) fli(mx)(x ? 1) 3;
x2 x x0 x2
lim f ( x) f (2) 3.
x2
lim
x x0
f ( x) ？ f ( x0 )
lim
x0
y
lxim0
f
( x0
x)
f ( x0 )
0
则称函数 y=f (x)在点x0连续，也称点x0为函数 y=f(x)的连续点．
5
第一章 函数的极限与连续
说明：
第三节 函数的连续性
1. 函数 y=f (x)在点x0连续的几何意义表示函 数图形在x0不断开.
y
所以，函数f (x) = x+1在x=2处连续.
9
第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
例2 讨论函数
f
(
x)
sin
1 x
,
x 0,
在x = 0处的连续性． 0 , x 0
解 f (x)在x = 0及其近旁有定义且 f(0)=0;
lim f ( x) limsin 1 不存在,
第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
第二节 极限
第三节 函数的连续性
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
在讨论函数极限时, 我们说函数在一点的 函数值与极限值是两个不同的问题 .
高等数学-函数的连续性课件.ppt
(1)在x=1处有定义；
(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1)
导致函数图象断开的原因：
1、函数在 处没有定义
2、函数在 时极限不存在
函数值不等
3、函数在 处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
在
在
二、 函数的间断点
但是由于
x
y
O
1
右极限存在，
因为，如果修改定义 f (0) = 1，
在 x = 0 连续.
则函数
x
y
O
1
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点:
跳跃间断点: 左右极限不相等
第二类间断点
无穷间断点:
振荡间断点: 函数值在 的去心邻域
(左右极限至少有一个不存在)
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
一、 函数连续性的定义
1.变量的增量
设变量 从它的一个初值 变到终值 终值与初
值的差 就叫做变量u的增量 记作
即
注：
不表示某个变量 与u的乘积，而是一个
整体不可分割的记号.
设函数y = f (x)在点 的某一个邻域内是有定义的
当自变量 在这邻域内从 变到 时函数y相应
思考题
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
1. P49 题 5
2. 确定函数
分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。
(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1)
导致函数图象断开的原因：
1、函数在 处没有定义
2、函数在 时极限不存在
函数值不等
3、函数在 处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
在
在
二、 函数的间断点
但是由于
x
y
O
1
右极限存在，
因为，如果修改定义 f (0) = 1，
在 x = 0 连续.
则函数
x
y
O
1
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点:
跳跃间断点: 左右极限不相等
第二类间断点
无穷间断点:
振荡间断点: 函数值在 的去心邻域
(左右极限至少有一个不存在)
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
一、 函数连续性的定义
1.变量的增量
设变量 从它的一个初值 变到终值 终值与初
值的差 就叫做变量u的增量 记作
即
注：
不表示某个变量 与u的乘积，而是一个
整体不可分割的记号.
设函数y = f (x)在点 的某一个邻域内是有定义的
当自变量 在这邻域内从 变到 时函数y相应
思考题
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
1. P49 题 5
2. 确定函数
分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。
高数多元函数概念极限连续PPT课件
数z f ( x, y)当 x x0， y y0时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
第16页/共29页
说 明
（1）定义中 PP0 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限
lim f ( x, y);
注：n维空间中邻域、区域等概念
邻域： U(P0 , ) P | PP0 | , P Rn
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
第10页/共29页
二、多元函数的概念
1. 引例 • 圆柱体的体积
• 定量理想气体的压强
r h
• 三角形面积的海伦(秦九韶)公式
b
(p abc)
a
2
c
第11页/共29页
定义3
设n元函数 f (P)的定义域为点集
D,
P0是其聚点且
P0
D
，如果
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
则称n元函数 f (P )在点P0处连续.
设 P0是函数 f (P )的定义域的聚点，如果 f (P ) 在点 P0处不连续，则称 P0是函数 f (P )的间断点.
说
(1) 间断点的判别与一元函数类似。
{( x, y) | x2 y2 1}
边界上的点都是聚点也都属于集合．
第8页/共29页
5. n维空间
设n为取定的一个自然数，我们称 n元数组 ( x1, x2 ,, xn )的全体为 n维空间，而每个 n 元数组( x1 , x2 ,, xn )称为 n维空间中的一个 点，数 xi称为该点的第i 个坐标.
Ch7-1 多元函数的基本概念
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
第16页/共29页
说 明
（1）定义中 PP0 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限
lim f ( x, y);
注：n维空间中邻域、区域等概念
邻域： U(P0 , ) P | PP0 | , P Rn
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
第10页/共29页
二、多元函数的概念
1. 引例 • 圆柱体的体积
• 定量理想气体的压强
r h
• 三角形面积的海伦(秦九韶)公式
b
(p abc)
a
2
c
第11页/共29页
定义3
设n元函数 f (P)的定义域为点集
D,
P0是其聚点且
P0
D
，如果
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
则称n元函数 f (P )在点P0处连续.
设 P0是函数 f (P )的定义域的聚点，如果 f (P ) 在点 P0处不连续，则称 P0是函数 f (P )的间断点.
说
(1) 间断点的判别与一元函数类似。
{( x, y) | x2 y2 1}
边界上的点都是聚点也都属于集合．
第8页/共29页
5. n维空间
设n为取定的一个自然数，我们称 n元数组 ( x1, x2 ,, xn )的全体为 n维空间，而每个 n 元数组( x1 , x2 ,, xn )称为 n维空间中的一个 点，数 xi称为该点的第i 个坐标.
Ch7-1 多元函数的基本概念
多元函数的极限与连续课件
第8章 多元函数微分法及其应用
2
8.1 多元函数的极限与连续
8.1 多元函数的极限与连续
function of many variables
平面点集 多元函数的概念 多元函数的极限 多元函数的连续性 小结 思考题 作业
3
8.1 多元函数的极限与连续
一、平面点集
建立了坐标系的平面称为坐标面. 二元有序 实数组(x, y)的全体, 即
是区域吗? 是区域.
x y0 y x y0
•
E {( x, y) x 0, y 0}
不是区域. 因为不连通. 连结两点的任何折线都与 y轴相交, 相交点不属于E.
y
O•
x
O
x
10
8.1 多元函数的极限与连续
有界集 总可以被包围在一个以原点为中心、半径适当 大的圆内的区域, 称此区域为 有界集.否则称为 无界 集 (可伸展到无限远处的区域 ).
U (P0 , ) {( x, y) ( x x0 )2 ( y y0 )2 }
它是以P0为中心、以 为半径的开圆 (“开”意味着
不包括边界), 也称为点P0的邻域, y 几何表示
有时简记为 U (P0 ).
. P0
注 ① 将邻域去掉中心,
称之为 去心邻域. U (P0 , )
O
x
的几U全一何(②a体元表,点函也示)表称数可示之中将为:邻以与点域P点0P的为a0距邻概中离 域念心.小的: 于 某个的矩一形切内点(不x的算全周体界.)
(2) 外点 如果存在点P的某个邻域 U(P),
使U(P)∩E = ,则称P为E的 外点.(P2 )
E
• P2
(3) 边界点 如点P的任一邻域内既有属于E的点,
函数的连续性()PPT课件
y
-
o
x 10
1.第一类间断点 如果 f(x)在x 点 0处的左、右
存在 , 则称 x0为 点函f(x 数 )的第一类 . 间断
1)跳跃间断点 f(x 0 0 ) f(x 0 0 )
2)可去间断点 xl im x0f(x)A,但(1)Af(x0), 或(2)f(x)在点 x0处无定义 则称x点 0为函f数 m 2 )2 f(0),
x 0
x 0
右连续但不左连续 ,
故函 f(x)在 数x点 0处不 . 连续
-
7
4.连续函数与连续区间
f(x)在(a,b)内连续: x 0 (a ,b )f,(x )在 x 0 连续
f(x)在闭[a区 ,b]上 间连 : 续
(1)f(x)在 (a,b)连续
( 2 ) A f ( x 0 ) 或 A f ( x 0 )
-
2
设 xxx0, yf(x )f(x 0),
x x 0 就 x 是 0 , f(x ) f(x 0 ) 就 y 是 0 .
定义 2.9中xl ixm 0f(x)f(x0)可写成 limy0
x0
定2.9 义 可写 :设 成 函 yf(数 的 x)定D 义 x0, D 域 , 若 lx i0m y0,则f(x 称 )在 x0连. 续
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
-
11
例5 讨论函数
2 x, 0 x 1,
f (x)
1,
x1
1 x , x 1,
在 x 1的连续性
y y1x
2 y2 x
1
o1
x
lim f(x)2 f(1), x 0为函数的可去间.断点
多元函数的连续性
数，且 P0 是 f (P ) 的定义域的内点，则 f (P ) 在
点 P0
处连续，于是 lim P P0
f (P)
f (P0 ).
例７ 求 lim xy 1 1.
x0
xy
y0
解 原式 lim xy 1 1 lim
x0 xy( xy 1 1) x0
y0
y0
1 xy 1 1
1. 2
第三节
多元函数的连续性
连续的概念
定义3 设n 元函数 f ( P ) 的定义域为点集D, P0
是其聚点且
P0
D
，如果
lim
P P0
f (P)
f ( P0 )
则称n 元函数 f ( P ) 在点P0 处连续.
设P0 是函数 f (P ) 的定义域的聚点，如果 f (P )在点P0 处不连续，则称P0 是函数 f (P )的
lim
x0
x2
kx 2 k2
x2的不同而变化， 极限不存在．
故函数在(0,0)处不连续．
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D
上至少取得它的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如
果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上 取得介于这两值之间的任何值至少一次．
2
f ( x, y) f (0,0) 2
lim f ( x, y) f (0,0),
( x, y )(0,0)
故函数在(0,0)处连续.
例6 讨论函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y2
,
《函数连续性》课件
02
函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
总结词
极限存在准则
详细描述
如果函数在某点的左右极限存在且相等，则函 数在该点连续。
总结词
四则运算连续性
详细描述
函数的四则运算保持连续性，即两个连续函数进行 加、减、乘、除运算后仍为连续函数。
复合函数连续性
总结词
详细描述
复合函数在某点连续，当且仅当内外函数在该点都连续 。
《函数连续性》ppt课 件
contents
目录
• 函数连续性的定义 • 函数连续性的判定 • 函数连续性的应用 • 函数连续性的扩展
01
函数连续性的定义
函数连续性的数学定义
总结词
描述函数在某点或某范围内的极限状 态
详细描述
函数在某一点或某范围内的极限状态 ，如果函数在这一点或这个范围内的 极限值等于该点的函数值，则函数在 该点或该范围内连续。
详细描述
一致连续性是指在函数的整个定义域内，对 于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使 得当|x'-x''|<δ时，有|f(x')-f(x'')|<ε。也就是 说，无论x'和x''在定义域内取何值，只要它
们足够接近，函数值的变化就会足够小。
紧致性定理
总结词
紧致性定理是函数连续性的一种重要性质，它表明在闭 区间上的连续函数必定可以取到其最大值和最小值。
函数连续性的几何意义
总结词
表示函数图像在某点或某范围的连续变化
详细描述
函数连续性的几何意义可以理解为函数图像在某一点或某范围内没有间断、断裂或跳跃，图像平滑过 渡。
函数连续性的性质
函数的连续性(课件)复习课件.ppt
2)可去间断点
lim
xx0
f
(x)
A
,但(1)A
f
(x0
),
或(2)f (x)在点x0处无定义
则称点x0为函数f (x)的可去间断点.
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
.精品课件.
11
例5 讨论函数
f
(x)
2 1,
x,
0 x 1, x1
1 x, x 1,
y
M
y f (x)
C
a
o
x1 1 2 3 x2 b x
m
几何解释: 连续曲线弧 y f ( x)与水平
直线 y C至少有一个.精交品课点件. .
21
定义: 如果 x0使 f ( x0 ) 0, 则 x0称为函数 f ( x)的零点.
推论(零点存在定理) 设f (x)在[a,b]连续,f (a) f (b) 0,则x0 (a,b),使f (x0 ) 0
即方程 f ( x) 0在(a, b)内至少存在一个实根 .
几何解释:
y
连续曲线弧 y f ( x)的两个 ao
端点位于x轴的不同侧, 则曲
线弧与 x轴至少有一个交点.
.精品课件.
y f (x) 1 2 3 b x
22
注意(1) 若f(x)在[a,b]上单调,则只有唯一零点.
(2)若[a,b]改为(a,b)结论未必成立.
函数 f ( x)在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
(1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
高等数学微积分课件多元函数极限的连续性
x 2
Good job if you saw this as “limit does not exist” indicating a vertical asymptote at x = -2. This limit is indeterminate. With some algebraic manipulation, the zero factors could cancel and reveal a real number as a limit. In this case, factoring leads to……
The concept of limits in two dimensions can now be extended to functions of two variables. The function below uses all points on the xy-plane as its domain.
z f ( x, y) x 2 y 2 3
If the point (2,0) is the input, then 7 is the output generating the point (2,0,7). If the point (-1,3) is the input, then 13 is the output generating (-1,3,13). For the limit of this function to exist at (-1,3), values of z must get closer to 13 as points (x,y) on the xy-plane get closer and closer to (-1,3). Observe the values in the table to see if it looks like the limit will hold.
Good job if you saw this as “limit does not exist” indicating a vertical asymptote at x = -2. This limit is indeterminate. With some algebraic manipulation, the zero factors could cancel and reveal a real number as a limit. In this case, factoring leads to……
The concept of limits in two dimensions can now be extended to functions of two variables. The function below uses all points on the xy-plane as its domain.
z f ( x, y) x 2 y 2 3
If the point (2,0) is the input, then 7 is the output generating the point (2,0,7). If the point (-1,3) is the input, then 13 is the output generating (-1,3,13). For the limit of this function to exist at (-1,3), values of z must get closer to 13 as points (x,y) on the xy-plane get closer and closer to (-1,3). Observe the values in the table to see if it looks like the limit will hold.
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多元函数的连续性
二元函数的连续性
定义1()(,)D f P f x y =设二元函数的定义域为，
00000,)D ,)D P x y P x y ∈（是的聚点，且（
，如果0000,)(,)
lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=（00(,)(,)f x y P x y 则称函数在点处连续。
(,)D (,)D (,)D (,)C()
f x y f x y f x y f x y D ∈如果在的每一点处都连续，则称函数在上连续，或称是上的连续函数，记作
例1讨论函数222,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y
x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩
在(0,0)处的连续性．
解2
22x y x y +x 2
1≤,00−−→−→x 222
00
lim 0(0,0)x y x y f x y →→∴==+故函数在(0,0)处连续.
例2讨论函数
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xy y x f 在(0,0)的连续性．
解取kx
y =2222
0lim x k x kx kx
y x +==→21k k +=其值随k 的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理
有界闭区域D上的多元连续函数一定有最大值和最小值．
（2）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的一切值．
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
设n 元函数)(P f 的定义域为点集0,P D 是其聚点且D P ∈0，如果)()(lim 00P f P f P P =→则称n 元函数)(P f 在点0P 处连续. 设0P 是函数)(P f 的定义域的聚点，如果)(P f 在点0P 处不连续，则称0P 是函数)(P f 的间断点.
多元函数的连续性
定义1
小结
1.二元函数连续的定义,性质
2.n元函数连续的定义。