八年级数学上册122三角形全等判定件新版新人教版
人教初中数学八上 122 全等三角形的判定重难点
全等三角形的判定1. 三角形全等的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。
表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。
表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）。
（3）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。
表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。
表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。
表示方法：如图所示，在R t△ABC和R t△DEF中，∵AB＝DE，BC＝EF，∴R t△ABC ≌R t△DEF（HL）。
注意：①三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：有一组对应边相等。
②两边及其中一边的对角对应相等的情况，可以画图实验，如下图，在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AC ＝AD，∠B＝∠B，显然它们不全等。
③三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如两个大小一样的等边三角形。
2. 全等三角形的基本图形在平面几何中，有很多问题都可以借助于三角形全等来解决，比如线段的相等、角的相等、平行、垂直关系等。
在运用三角形全等这一工具时，主要是找两个三角形，并找出它们满足全等的条件来；解题时经常需要通过观察图形的运动状况，把两个全等三角形中的一个看成是另一个的平行移动、翻折、旋转等方法得到的，这需要对常见的全等三角形做到心中有数，如下图列举了几个常见的基本图形。
掌握这些全等形的对应边和对应角的位置关系，对我们在复杂的几何问题中迅速、准确地确定全等三角形是至关重要的。
八年级数学上册(人教版)配套教学教案122第4课时“斜边、直角边”.doc
全新修订版（教案）八年级数学上册老师的必备资料家长的帮教助手学生的课堂再现人教版（RJ）第4课时“斜边、直角边”1.理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”.（重点）2.经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题.（难点）证明：•: BE=CF, :. BE+ EF= CF+ EF, 即RF=CE VZJ=ZZ>=90o ,・・・△/!%与△血'都为直角三角形.在R仏ABF和RtA・・・RtZ\M〃/竺Rt△磁(HL).方法总结：利用“HL”判定三角形全等, 首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可.探究点二：“斜边、直角边”判定三角一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.（1）你能帮他想个办法吗？（2）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等, 于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点一：应用“斜边、直角边”判定三角形全等尸在线段％上，加与〃交于点0,且初=CD,滋 =/求证：RtAJ/^RtAZ?6E形全等的运用【类型_］利用“HL"判定线段相等角△力兀和△如％'的高，如果AD=AF, AC=/IE 求证：BC= BE.解析：根据“HL”证Rt△初C竺Rt△〃/疋,得CD=EF,再根据“HL”证Rt△/〃滋Rt HABF,得BD= BF,最后证明〃（7=宓证明:•:AD,处分别是两个钝角△肋C 和△力处的高，且血=〃尸，AC=AE, ARtAADC^^/\AFEW\^ .:・CD=EF. •: AD=AF,AB=AB, ARtA/I^Z^Rt AJ^OIL).:・BD=BE :・BD—CD=BF—EF.即BC= BE.方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.如图，ABLBC, ADA_DC, AB= AD,解析：由题意可得与△磁都为直角三角形，由BE=CF可得BF=CE,然后运用“HL”即可判定与R也DCE全DCE 中,BF= CE,AB= CD,如图，已知Z/l=Z〃=90°, E、如图，已知初，力尸分别是两个钝［类型二］利用“HL”判定角相等或线段平行求证：Z1 = Z2.方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论, 以免漏解.［类型四］综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等解析：要证角相等，可先证明全等.即证Rt△昇况芸Rt△弭〃C,进而得出角相等.证明:ADJDC, :.AB=AD = 90°，:・、ABC与勿为直角三角形.在AJ^^RtAJ^dlL),・・・ Z1 = Z2.方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决.【类型三］利用“HL”解决动点问题如图，有一直角三角形弭庞；乙C = 90° , /d=10cm,况=5cm, —条线段％= AB, P、0两点分别在/C上和过力点且垂直于/IC的射线力0上运动，问"点运动到AC 上什么位置时△肋C才能和全等？解析：本题要分情况讨论：(l)RtZU% 9Rt△仍4,此时AP=可据此求出尸点的位置.(2)RtZ\fll阻Rt△况儿此时AP= AC, P、C重合.解：根据三角形全等的判定方法HL可知:⑴当"运动到AP=BC时，・・・ZaZ&P = 90°.在RI/XA8C与Rt A QPA中，T \AP=BC,[吩仏•••R®臨Rt△洌HL),"= ^=5cm； (2)当“运动到与Q点重合时, AP= AC.在Rt △初C与Rt 中，•・・AP=AC,・・・Rt △QAP^ Rt △测(HL),・•・AP [PQ=AB,= SC=10cm,・••当弭/~ 5cm 或10cm 时，△才能和全等.如图，Q丄肋于〃点，BELAC于E点、,BE, CD交于0点、,且初平分ABAC.求证：OB=OC.解析：已知BEL AC,皿丄可推出ZADC =ZBDC=ZAEB= ZCEB=9Y ,由初平分ABAC可知Z1=Z2,然后根据AAS证得△ AOD^ 'AOE、根据ASA 证得△ B0咤△ COE, 即可证得OB= OC.证明：'：BE VAC. CD SB, :. AADC= ZBDC= ZAEB= ZCEB= 90 °. 9： AO平分ABAC, AZ1 = Z2.在〃和△川购中，A ADC-上AEB, •A Z1 = Z2,OA=OA,・•・△ AOD^△力处(AAS》・・•・OD= OE 在\ZBDC=ZCEB,△妙和中，V OD=OE, ・•・△、乙 BOD=乙 COE,磁竺△a(ASA). OB= OC.方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL” 外，还有：SSS、SAS、ASA、AAS.三、板书设计“斜边、直角边”1.斜边、直角边：斜边和一-条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简记为“斜边、直角边”或“HL”.2.方法归纳：(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL”,除此之外,还可以选用“SAS” “ASA” “AAS” 以及"SSS''・Rt,BC和中,AB=AD,AC=AQ・・・Rt M(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明.本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行.在探究直角三角形全等的判定方法一一“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流.在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形屮，利用三角形全等来进行证明.此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识.。
人教版八年级上册12.2《三角形全等的判定》(角边角)教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
a. “角边角”（ASA）判定全等三角形的条件：两个角和它们夹的边分别相等。
b.应用ASA判定方法判断两个三角形是否全等。
c.理解全等三角形的性质，如对应边、对应角相等，对应边上的中线、高、角平分线相等。
-引导学生观察并总结规律，强调“角边角”中的“边”是特定的一条边。
-通过具体例题，让学生在实际应用中加深对“边”的理解。
针对难点b，教师可采用以下方法：
-在复杂图形中，引导学生先识别出已知的信息，如角和边，再判断是否符合ASA条件。
-通过变式练习，让学生在不同情境下运用ASA判定方法，提高识别和运用能力。
人教版八年级上册12.2《三角形全等的判定》（角边角)教案
一、教学内容
人教版八年级上册12.2《三角形全等的判定》（角边角）教案：
1.知识目标：使学生掌握“角边角”（ASA）判定全等三角形的方法。
2.能力目标：培养学生运用ASA判定方法解决实际问题的能力。
3.教学内容：
a.复习全等三角形的定义及性质。
d.通过具体例题，让学生掌握ASA判定全等三角形的步骤和技巧。
举例：在讲解ASA判定方法时，教师可借助图形，如∆ABC和∆DEF，明确指出当∠A=∠D，∠B=∠E，且边AB=DE时，根据ASA判定方法，可得出∆ABC≌∆DEF。
2.教学难点
a.理解并掌握“角边角”中的“边”是指两个角夹的那条边，而非任意一条边。
b.学习“角边角”（ASA）判定全等三角形的方法。
c.通过例题，让学生掌握ASA判定方法的运用。
d.练习：完成教材P122页练习题12.2的第1、2、3题。
122全等三角形的判定(1--SSS、SAS)
12.2三角形全等的判定(1)（SSS 、SAS ）一、学习目标1、掌握三角形全等的“S ＡS ”条件，能运用“S ＡS ”证明简单的三角形全等问题 2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作归纳获得数学结论的过程． 3、积极投入，激情展示，做最佳自己。
二、重点难点教学重点：三角形全等的条件． 教学难点：寻求三角形全等的条件． 三、合作学习 1、复习引入（1）怎样的两个三角形是全等三角形？全等三角形的性质是什么？三角形全等的判定（一）的内容是什么？（2）上学时我们知道满足三个条件画两个三角形有4种情形，三个角对应相等；三条边对应相等；两角和一边对应相等；两边和一角对应相等；前两种情况已经研究了，今天我们来研究第三种两边和一角的情况，这种情况又要分两边和它们的夹角，两边及其一边的对角两种情况。
2、探究一：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形是否全等？(1)动手试一试（学生合作（二）精练、教师积极参与） 已知：△ABC求作：'''AB C ∆，使''A B A B =，''B C B C =，B B ∠='∠(2) 把△'''ABC剪下来放到△ABC 上，观察△'''ABC 与△ABC 是否能够完全重合？(3)归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定（二）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”） (4)用数学语言表述全等三角形判定（二）在△ABC 和'''A B C ∆中, ∵''A B A B B B C =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌3、探究二：两边及其一边的对角对应相等的两个三角形是否全等？通过画图或实验可以得出：不全等四、（一）精讲例1 如图，AC=BD ，∠1= ∠2,求证:BC=AD.C 'B 'A 'C B ACBADC BA21例2、如图，AC=BD,BC=AD,求证:∠C=∠D（二）精练(学生合作（二）精练，教师积极参与、指正)（二）精练1、如图，AC=BD,BC=AD,求证:∠A=∠B（二）精练2、如图，已知OA=OB,应填什么条件就得到△AOC≌△BOD(允许添加一个条件)五、小结SSS、SAS六、作业：如图，已知CA=CB,AD=BD,M、N分别是CA、CB的中点，求证：DM=DN学习反思：学生是学习的主体，教师是学生的引导者DCBADCBAOACDB。
`122 三角形全等的判定(第3课时)(人教版八年级上)
D O B
E
C
∴BD=CE
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ，BC=EF，
△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？ A C B D
E
F
有两角和其中一个角所对的边对应相等的两个
三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”）.
有几种填法?
B
1.如图，应填什么就有 △AOC≌ △BOD C ∠A=∠B（已知） AC=BD （已知） _______ ∠C=∠D（已知） ∴△AOC≌△BOD（ ASA ）
=∠C(即使两角和它们的夹边对应相等).
(3)把你画好的Δ A′B′C′放到刚才同桌的Δ ABC上重叠 （对应角对齐，对应边对齐）.你发现了什么？ (4)所画得三角形和同桌画的三角形都能相互（ 重合）.
三角形全等判定三
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 (可以简写成“角边角”或“ASA”）.
O D
A
B
如图，应填什么就有△AOC≌△BOD∠A源自∠B（已知）C O
）
CO=DO ________ （已知）
∠C=∠D （已知）
∴△AOC≌△BOD（ AAS
D
A
B
如图，应填什么就有△AOC≌△BOD ∠A=∠B（已知）
C O D
AO=BO （已知） _______
∠C=∠D （已知） ∴△AOC≌△BOD（ AAS ）
A
4 2
1
E
3
F
D
B
C
G
【解析】 （1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD.
2 1 在△ABE和△DAF中, AB DA 4 3
∴△ABE≌△DAF（ASA）.
数学人教版八年级上册全等三角形的判定边边边公理
A
解：要证明△ABC ≌△ FDE， 还应该有AB=DF这个条件
D
∵AD=FB ∴ AD+DB=FB+DB
即 AB=FD
E
C B
F
思考
已知AC=FE，BC=DE，点A、D、 B、 F在一条直线上，AD=FB. 要用“边边边”证明 △ABC ≌△ FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以 外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
A
E
B D FC
补充练习：
如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD 的中点，且DE=BF，说出下列判断成立的理由. ①△ADE≌△CBF ②∠A=∠C
解： ①∵E、F分别是AB，CD的中点（ 已知 ）
∴AE= 12AB CF= 12CD（ 线段中点的定义）
又∵AB=CD ∴AE=CF
∵AB=AC，BH=CH，AH=AH,
∴△ABH≌△ACH（SSS）；
A
在△ABD和△ACD中,
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD, ∴△ABD≌△ACD（SSS）；
在△DBH和△DCH中 ∵BD=CD，BH=CH，DH=DH, B
∴△DBH≌△DCH（SSS）.
D
H
C
练习2
（2）如图，D、F是线段BC上的两点， AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD ， 还需要条件 BF=DC 或 BD.=FC
证明：Q AD FB，
AD DB FB DB，
即AB FD.
在ABC和 FDB 中，
AB＝FD（已证），
BC＝DB（已知），
AC＝FB （已知），
ABC≌ FDB（SSS）.
A D
E
2023-2024人教版八年级数学上册122三角形全等的判定第4课时用“HL”判定直角三角形全等
∴△ABC 和△APQ 全等有2种情况：① Rt△ABC≌Rt△QPA；②Rt△ABC≌Rt△PQA
第4课时 用“HL”判定直角三角形全等
①当 P 运动到 AP＝BC 时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中，
PQ＝AB， AP＝BC， ∴ Rt△ABC≌Rt△QPA (HL). ∴ AP＝BC＝5 cm；
人教版
八年级上
01
03
02
04
第4课时 用“HL”判定直角三角形全等
学习目标
1. 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
2. 灵活运用直角三角形全等定理进行证明.
难点
重点
第4课时 用“HL”判定直角三角形全等
新课引入
思考 对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足
几个条件，这两个直角三角形就全等了?
证明：∵CE = BF. ∴CE – EF = BF - EF，即 CF = BE. ∵AE⊥BC，DF⊥BC ∴∠AEB =∠DFC = 90°. 在 Rt△ABE 和 Rt△DCF 中，
AB = DC， CF = BE， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF (HL). ∴AE = DF.
第4课时 用“HL”判定直角三角形全等
第4课时 用“HL”判定直角三角形全等
②当 P 运动到与 C 点重合时，AP＝AC. 在 Rt△ABC 与 Rt△PQA 中，
AB＝PQ， AC＝PA， ∴ Rt△ABC≌Rt△PQA (HL). ∴ AP＝AC＝10 cm. 综上， 当 AP＝5 cm 或 10 cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等.
下面，让我们来研究一下这个问题.
秋八年级数学上册122三角形全等的判定第1课时用sss证三角形全等练习新版新人教版
第1课时用“SSS”证三角形全等基础题知识点1 用“SSS”判定两个三角形全等1．如图所示，如果AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，则下列结论正确的是（）A．△ABC≌△A′B′C′B．△ABC≌△C′A′B′C．△ABC≌△B′C′A′D．这两个三角形不全等2．如图所示，AD＝BC，AC＝BD，用三角形全等的判定“SSS”可证明________≌________或________≌________．3．如图，下列三角形中，与△ABC全等的是________．4．如图所示，已知点A，D，B，F在一条直线上，AC＝FE，BC＝DE，AD＝FB，求证：△ABC≌△FDE.5．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，求证：△ABD≌△ACD.知识点2 三角形全等的判定与性质的综合6．如图所示，在△ABC和△DBC中，已知AB＝DB，AC＝DC，则下列结论中错误的是（） A．△ABC≌△DBC B．∠A＝∠DC．BC是∠ACD的平分线 D．∠A＝∠BCD7．如图，AB＝AB，BC＝BC，AC＝AC，且∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C＝（）1111111 A．110°B．40°C．30° D．20°8．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，连接AC，求证：∠ACD＝∠CAB.13 尺规作图知识点 OA平行的直线．边上的一点．用尺规作图画出经过点C与9．已知∠AOB，点C是OB中档题个条件4和△FED全等时，下面的＝，BCED，要利用“SSS”来判定△ABC10．如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD ）BE，可利用的是（ FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝中：①AE ＝．①或② A ．②或③ B ．①或③ C ．①或④ D等x1，若这两个三角形全等，则2，2x－，5，7，△DEF的三边长分别为33x－，11．已知△ABC的三边长分别为3 ）于（74B． A. 3 D．不能确定 C．3）60°，下列结论错误的是（ 2＝110°，∠BAE＝，．如图，12AB＝AC，AD＝AEBE＝CD，∠ACE ≌△．△ABD≌△ACD B A．△ABE 70° D．∠1＝30．∠ACE＝° C长为半径作弧，ABC为圆心，以BC)如图，以△ABC的顶点A为圆心，以长为半径作弧；再以顶点．13(长春中考．________65°，则∠ADC的大小为若∠B＝；连接两弧交于点DAD，CD.EC.EB，＝DCDBACAB14．如图，＝，＝图中有几对全等三角形？请一一写出来．(1)2中的一对全等三角形加以证明．选择(1)(2)11滑动时，雨伞开闭，问雨沿ADAC，当O＝OF，A＝AB，AFAB15．雨伞的截面如图所示，伞骨＝AC，支撑杆OE33 与∠CAD有何关系？说明理由．伞开闭过程中，∠BAD，求证：∠3＝∠1＋∠2.BD＝CEAC，AD＝AE，＝16．如图，已知AB综合题AC.＝，DB)如图，已知AB＝DC17．(佛山中考)(注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据(1)求证：∠B＝∠C；(1)的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？(2)在参考答案③△ABD△BAC 3.．1A 2.△ADC△BCD，AD＝FB证明：∵4.FD. ＝DB，即AB＋＝＋∴ADDBFB 中，在△ABC与△FDE3AC＝FE，???AB＝FD，??BC＝DE，∴△ABC≌△FDE(SSS)．5.证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.在△ABD和△ACD中，AB＝AC，???AD＝AD（公共边），??BD＝CD，∴△ABD≌△ACD(SSS)．6.D7.C8．证明：在△ADC与△CBA中，AB＝CD，???AD＝CB，??AC＝CA，∴△ADC≌△CBA(SSS)．∴∠ACD＝∠CAB.9.作图略．提示：以点C为顶点，作一个角等于∠AOB.° C 12.C 13.6510.A 11.DCE. DBE≌△ABE≌△ACE，△14.(1)△ABD≌△ACD，△以△ABD≌△ACD为例．(2) 中，证明：在△ABD与△ACD，ACAB＝???，DCDB＝??，ADAD＝≌△ACD(SSS)．∴△ABD ∠BAD＝∠CAD.15.11 AC＝，AB，AF＝理由：∵AB＝AC，AE33AF.AE＝∴ AOF中，在△AOE和，＝AOAO???，AFAE＝??，OFOE＝ AOF(SSS)AOE≌△．∴△∴∠EAO＝∠FAO，即∠BAD＝∠CAD.，AB＝AC???，AEAD＝证明：在△ABD16.和△ACE中，??，BD＝CE ACE(SSS)．∴△ABD≌△＝∠2.∴∠BAD＝∠1，∠ABD ∵∠3＝∠BAD＋∠ABD，＝∠1＋∠2.∴∠3417.(1)证明：连接AD，在△BAD和△CDA中，AB＝DC（已知），???DB＝AC（已知），??AD＝DA（公共边），∴△BAD≌△CDA(SSS)．∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)．(2)作辅助线的意图是构造全等的三角形．520XX—019学年度第一学期生物教研组工作计划指导思想以新一轮课程改革为抓手，更新教育理念，积极推进教学改革。
12.2 第4课时 直角三角形全等的判定(“HL”)练习题 人教版八年级数学上册
第4课时直角三角形全等的判定(“HL”)知识点 1 用“HL”判定直角三角形全等1.如图1,可直接用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是 ()图1A.AC=DF,BC=EFB.∠A=∠D,AB=DEC.AC=DF,AB=DED.∠B=∠E,BC=EF2.如图2所示,P是∠BAC内一点,且点P到AB,AC的距离PE,PF相等,则直接得到Rt△PEA≌Rt△PFA的依据是 ()图2A.AASB.ASAC.HLD.SSS3.如图3,若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则需要添加的一个条件是.图34.如图4,BD,CE均是△ABC的高,且BE=CD.求证:△BEC≌△CDB.图4 知识点 2 直角三角形全等的灵活运用5.如图5,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,那么下列各组条件中,不能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是 ()图5A.AB=A'B'=5,BC=B'C'=3B.AB=B'C'=5,∠A=∠B'=40°C.AC=A'C'=5,BC=B'C'=3D.AC=A'C'=5,∠A=∠A'=40°6.如图6,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,垂足分别为D,E.若BD=4 cm,CE=3 cm,则DE= cm.图67.如图7,点E,F在BC上,AE⊥BC,DF⊥BC,AC=DB,BE=CF.求证:AC∥DB.图7 8.如图8所示,为了固定电线杆AD,将两根长均为10 m的钢丝一端同系在电线杆上的点A处,另一端固定在地面上的两个锚上,那么两个锚(B,C)离电线杆底部(D)的距离相等吗?为什么?图8【能力提升】9.如图9所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则图中全等三角形共有 ()图9A.2对B.3对C.4对D.5对10.如图10,D为Rt△ABC中斜边BC上的一点,且BD=AB,过点D作BC的垂线,交AC于点E.若AE=12 cm,则DE的长为 cm.图1011.如图11,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从点A同时出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当点P运动到AP= 时,△ABC与△APQ全等.图1112.如图12,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC上一点,点E在BC的延长线上,且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系,并证明.图1213.如图13①,AB=4 cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3 cm.点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动,它们运动的时间为t(s).(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等?判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,请分别说明理由.(2)如图②,将图①中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为x cm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x,t 的值;若不存在,请说明理由.图13第4课时 直角三角形全等的判定(“HL ”)1.C [解析] “HL ”是斜边、直角边分别相等,则必须有AB=DE ,故排除A,D 两个选项,而选项B 中另一个条件为∠A=∠D ,不是直角边对应相等,故排除选项B .故选C .2.C3.答案不唯一,如AC=AD 或BC=BD4.证明:∵BD ,CE 均是△ABC 的高,∴∠BEC=∠CDB=90°.在Rt △BEC 和Rt △CDB 中,{BC =CB,BE =CD,∴Rt △BEC ≌Rt △CDB (HL).5.B [解析] 在Rt △ABC 和Rt △A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,选项A 符合直角三角形全等的判定方法“HL ”;选项B 不符合三角形全等的判定方法;选项C 符合三角形全等的判定方法“SAS ”;选项D 符合三角形全等的判定方法“ASA ”.6.7 [解析] ∵∠BAC=90°,∠ADB=∠AEC=90°,∴∠BAD+∠EAC=90°,∠BAD+∠DBA=90°. ∴∠EAC=∠DBA.又∵AB=AC ,∴△ABD ≌△CAE (AAS). ∴AD=CE ,BD=AE. ∴DE=AD+AE=CE+BD=7 cm .故答案为7. 7.证明:∵BE=CF ,∴BE+EF=CF+EF ,即BF=CE.∵AE ⊥BC ,DF ⊥BC , ∴∠AEC=∠DFB=90°.在Rt △AEC 和Rt △DFB 中,{AC =DB,CE =BF,∴Rt △AEC ≌Rt △DFB (HL). ∴∠ACE=∠DBF.∴AC ∥DB.8.解:相等.理由如下:∵AD ⊥BC ,∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt △ADB 和Rt △ADC 中,{AB =AC,AD =AD,∴Rt △ADB ≌Rt △ADC (HL). ∴BD=CD ,即两个锚(B ,C )离电线杆底部(D )的距离相等. 9.B [解析] ∵AB=AC ,BD=CD ,AD=AD ,∴△ABD ≌△ACD (SSS).∴∠B=∠C.又∵∠DEB=∠DFC=90°,BD=CD ,∴△BED ≌△CFD (AAS).∴DE=DF.在Rt △AED 和Rt △AFD 中,∵AD=AD ,DE=DF ,∴Rt △AED ≌Rt △AFD (HL).故图中共有3对全等三角形. 10. 12 [解析] 如图,连接BE. 在Rt △DBE 和Rt △ABE 中,{DB =AB(已知),BE =BE(公共边),∴Rt △DBE ≌Rt △ABE (HL).∴AE=DE.又AE=12 cm,∴DE=12 cm .11.5或10 [解析] ∵AX ⊥AC ,∴∠PAQ=90°.∴∠C=∠PAQ=90°.分两种情况:①当AP=BC=5时, 在Rt △ABC 和Rt △QPA 中,{AB =QP,BC =PA,∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL);②当AP=CA=10时, 在Rt △ABC 和Rt △PQA 中,{AB =PQ,CA =AP,∴Rt △ABC ≌Rt △PQA (HL).综上所述,当点P 运动到AP=5或10时,△ABC 与△APQ 全等. 故答案为5或10. 12.解:BF ⊥AE. 证明:∵∠ACB=90°,∴∠ACE=∠BCD=90°.在Rt △BDC 和Rt △AEC 中,{CB =CA,BD =AE,∴Rt △BDC ≌Rt △AEC (HL). ∴∠CBD=∠CAE. ∵∠CAE+∠E=90°, ∴∠CBD+∠E=90°. ∴∠BFE=90°,即BF ⊥AE.13.解:(1)当t=1时,△ACP ≌△BPQ ,此时PC ⊥PQ. 理由:当t=1时,AP=BQ=1 cm,∴BP=AC=3 cm .在△ACP 和△BPQ 中,{AP =BQ,∠A =∠B =90°,AC =BP,∴△ACP ≌△BPQ (SAS). ∴∠ACP=∠BPQ.∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°. ∴∠CPQ=90°,即PC ⊥PQ.(2)存在.由题意得AP=t cm,BP=(4-t )cm,AC=3 cm,BQ=xt cm .分两种情况讨论: ①若△ACP ≌△BPQ , 则AC=BP ,AP=BQ ,即{3=4−t,t =xt,解得{t =1,x =1; ②若△ACP ≌△BQP , 则AC=BQ ,AP=BP , 即{3=xt,t =4−t,解得{t =2,x =32. 综上所述,当x=1,t=1或x=32,t=2时,△ACP 与△BPQ 全等.。
人教八上122三角形全等的判定课件人教版初中数学八年级上册
C
为什么？
E
D
素养目标
3. 了解“SSA”不能作为两个三角形全等
的条件．
2. 会用“SAS”判定定理证明两个三角形
全等并能应用其解决实际问题．
1. 探索并正确理解三角形全等的判定定
理“SAS”.
探究新知
知识点 1
三角形全等的判定——“边角边”定理
1.回顾三角形全等的判定方法 1
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或
BC=ED（已证），
∴△ABC≌△AED（SSS）.
=×
×
=
课堂检测
能 力 提 升 题
2. 已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB
（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，
OB于点C、D；
（2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径
作弧，交O′A′于点C′；
个三角形中.
第二课时
“边角边”定理
导入新知
问题:如图有一池塘。要测池塘两端A、B的距离，可无法
直接到达，因此这两点的距离无法直接量出。你能想出办法
来吗？
A
B
导入新知
在平地上取一个可直接到达A和B的点C，
连接AC并延长至D使CD=CA
B
A
连接BC并延长至E使CE=CB
连结ED，
那么量出DE的长，就是A、B的距离.
△ABD≌△ACD(SSS)
A
△ABH≌△ACH(SSS)
D
B
△BDH≌△CDH(SSS)
H
C
课堂小结
内容
有三边对应相等的两个三角形
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(1)全等三角形
相
≌△BOD,
则∠A=∠B,∠C=
,
AC=
,
=OB,=OD. 牛牛文档分 享一、探究三角形全等的条件
(1)只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时,画出的三角 形一定全等吗?
(2)如果给出两个条件呢?给出两个条件画三角形时,有几种可 能的情况,每种情况,C,F在一条直线上,AB=DE,
BE=CF,请添加一个条件: AC=DF ,使
△AABCD 中,AB=AD,C图所示,在△ABC中,AB=AC,BE=CE,则由“SSS”
可以判定 ( C )
A.△ABD≌△ACD B.△BDE≌△CDE C.△ABE≌△ACE D.以上都不对
解析：AE为公共边,AB=AC,BE=CE,则 △ABE≌△判定两个三角形全等
先任意画一个△ABC,再画一个△A'B'C',使得A'B'=AB, B'C'=BC,A'C'=AC,把画出的△A'B'C'剪下来,放在△ABC上, 看它们能完全重合吗?(即全等吗?)
(1)画B'C'=BC;
(2)分别以点B',C'为圆心,线段 AB,AC的长为半径画弧,两弧相交 于点A';
(3)连接A'B',应相等形钢架
中,AB=AC,AD是连接点A与BC 中点D的支架.求证 △ABD≌△ACD.
解析：要证
△ABD≌△ACD,只需说明
这两个三角形的三条边对
证应明相:等∵D. 是BC的中点,
题目中的隐含条件是AD 是公共边.
∴BD=CD.
证明三角形全等的书写格
式可分为三部分:第一部分是
∴△ABD≌△ACD(SSS).
全等条件的证明;第二部分是 罗列两个三角形全等的条件;
第三部分是下三角形全等的结享牛牛文论档.这分 里要求注明判定方法.
如果给出三个条件画三角形时,你能 说出有几种情况吗?
三条边,两条边一5 cm,7 cm长的 三根细木棒拼一个三角形,与其他同学拼 成的三角形比较,它们一定全等吗?你又发 现了什么?
这些三角形都是全等的. 牛牛文档分 享①三角形一个内角是30°,一条边是3 cm; ②三角形两个内角分别是30°和50°; ③三角形的两条边分别是4 cm和6 cm.
(1)只给定一条边时.
只给定一个角时.
(2)给出的两个条件可能 是:一边一内角、两内角、两边. 牛牛文档分 享 牛牛文档分 享
2．如图所示,点B,C,D,E在一条直线上,且BC=DE,
AC=FD,AE=FB,则BD= EC ,△ACE≌
,
理由是 SSS .
△FDB
解析:∵BC=BD+CD,DE=EC+CD, BC=DE,∴BD=EC.又∵AC=FD, AE=FB,∴△ACE≌△FDB(SSS).
解析：连接AC,由于AB=AD, CB=CD,AC=AC,利用“SSS”可证得 △ABC≌△ADC,于是∠B=∠D. 牛牛文档分 享布 必做题置
教材第37页练习第1,2题.
作
业 选做题
教材第
如图所示,已知:∠AOB,求作:∠A'O'B',使 ∠A'O'(1)作射线O'A';
(2)以O为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C, 交OB于点D ; (3)以O‘ 为圆心,以OC的长为半径画弧,交O'A'于点C';
(4)以点C‘ 为圆心,以CD的长为半径画弧,交前弧于 点D'; (5)过D‘作射线O’B‘ ，则∠A'O'B'就是所求作的角.
作一个形的三边对应相等,那么
这两个三角形全等,称为“边边边”定理,利 用两三角形全等可进行一些相关计算和证 明.