分析位移共振和速度共振的条件

分析位移共振和速度共振的条件

高中物理教材关于发生共振条件的论述，现行教材和以前的教材相比说法有所变化。以前的教材讲：“当策动力（现行教材改为驱动力）的频率等于物体的固有频率时，物体做受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。”，意思是说驱动力的频率等于物体的固有频率是发生共振的条件。现行教材改为“当驱动力的频率接近物体的固有频率时，物体做受迫振动的振幅增大，这种现象称为共振。”究竟怎样才算接近固有频率呢？看高中物理教材共振曲线（见图1），如图2中由12f f →或由43f f →所示的情况也算是接近固有频率吗？如果算，此时却未发生共振，又当如何理解？

再看各种复习参考资料，相关的习题都沿用“驱动力的频率等于固有频率时发生共振”的说法，似乎“驱动力的频率等于物体的固有频率是发生共振的条件”更为可信。然而，根据又是什么呢？

要弄清这个问题，还要从受迫振动说起。为了与高中物理教材吻合，我们只讨论在弱阻尼振动系统上加周期性外力发生的受迫振动。

以弹簧振子为例，质点受三种力：弹性力-kx ，阻尼力dx

dt

γ-，驱动力F ，设其按余弦（或正弦）规律变化且初相为零，则有

0cos F F t ω=

由牛顿第二定律，有

202cos d x dx m kx F t dt dt

γω=--+ 令

2000,2,F k f m m m

γ

ωβ=

== 得

20022cos d x dx x f t dt dt

βωω++= 1.1

A f f ′ O 受迫振动的振幅

图2 f 1 f 2 f 3 f 4 A f f ′

O 受迫

振

动的

振

幅

图1

这就是受迫振动的方程，为二阶常系数非齐次微分方程。根据微分方程理论，上式的解为

0cos(')cos()t x Ae t A t βωαωϕ-=+++

1.2

A 和α是由初始条件决定的积分常数。（1.2）式为两项之和，表明质点运动包含两个分运动，第一项为阻尼振动，随时间的推移而趋于消失，它反映受迫振动的暂态行为，与驱动力无关。第二项表示与驱动力频率相同且振幅为A 0的周期性振动。开始时，受迫振动的振幅较小，经过一定时间后，阻尼振动消失。质点进行由（1.2）式第二项决定的与驱动力同频率的振动，称为受迫振动的稳定振动状态，可表示如下：

0cos()x A t ωϕ=+

（1.3）

稳定振动状态表面上像简谐运动，其实不然。ω并非固有频率，而是驱动力的频率；振幅A 0和初相ϕ也并非决定于初始条件，而是依赖于振动系统本身的性质，阻尼的大小和驱动力的特征，将（1.3）式代入（1.1）式，得

20020

00(cos cos sin sin )2(sin cos cos sin )(cos cos sin sin )cos A t t A t t A t t f t

ωωϕωϕβωϕωϕωωϕωϕω---++-=

由等式性质，有

2

20000

22

00

0()cos 2sin ()sin 2cos 0

A A f A A ωωϕβωϕωωϕβωϕ--=-+=

可解出

022

2

2

()4f A ωωβω

=

-+ （1.4）

当驱动力频率取某值时，振幅获得最大值（振动系统做受迫振动时，其振幅大最大值的现象叫做位移共振——即高中物理教材中所说的共振）。由上式，并用微分法关于极大值的判据，可求出共振时驱动力的圆频率为

2202r ωωβ=-

这一频率称为位移共振频率。显然，位移共振频率一般不等于振动系统的固有频率。

物体做受迫振动达到稳定状态时，其速度做周期性变化，由（1.3）式可得

0sin()2

x dx v A t dt πωωϕ=

=++ 由此可知速度幅（即速度的最大值）

00v A ω=

由（1.4）式可知，由于A 0随驱动力的频率变化而变化，驱动力频率ω达到某一数值时可使振动的速度幅取最大值，这种现象称为速度共振。将（1.4）式代入00v A ω=，并应用极值的微分判据可得速度共振的条件为

0ωω=

即驱动力的圆频率等于振动系统的固有圆频率。

综上所述，速度共振和位移共振的条件是不同的。位移共振：当驱动力的角频率ω等于某个适当数值(称共振角频率)时，振幅出现极大值、振动很剧烈的现象，此时能量转化效率最高。速度共振：当驱动力的角频率正好等于系统的固有角频率时，速度幅A ω达极大值的现象。

当阻尼无限小时，位移共振的圆频率2

2

02r ωωβ=-，无限接近于固有圆频率（此时振幅将趋于无穷大，产生极激烈的位移共振），与速度共振的条件相同，我们不必再区分两种共振。再看高中物理教学过程中的共振实验和练习，都是在弱阻尼情况下发生的共振（即阻尼因数β→0，这一点从大量发行的教辅材料中就可发现）。因此，为便于教学，亦便于学生理解，建议还是把共振条件表述为“驱动力的频率等于振动系统的固有频率”更为合适，不然学生在解题时将无所适从。高中物理表述的共振条件，主要是针对位移共振而言，至于位移共振和速度共振的区分以及进一步学习和研究，留待升入大学解决更为合适。