分析位移共振和速度共振的条件
音叉的受迫振动与共振实验讲义
T2
4 2 (m0 m X ) k
(17)
其中 k 为振子的劲度系数，为常数，它与音叉的力学属性有关。m0 为不加质量块时 的音叉振子的等效质量，mX 为每个振动臂增加的物块质量。 由式（17）可见，音叉振动周期的平方与质量成正比。由此可由测量音叉的振动周 期来测量未知质量，并可制作测量质量和密度的传感器。
（6）
微分方程理论证明，在阻尼较小时，上述方程的解是：
2 x A0 e t cos( 0 2 t 0 ) A cos(t )
（7）
式中第一项为暂态项，在经过一定时间之后这一项将消失，第二项是稳定项．在振 子振动一段时间达到稳定后，其振动式即成为：
x A cos(t )
Q
2 1
0
f0 f 2
（13）
其中 f 0 为 0 对应的频率， f1 、 f 2 为 vmax 下降到最大值的 0.707 倍时对应的频率值。
3
图1 3.2、位移共振
速度共振曲线
图2
位移共振曲线
驱动力的频率ω为何值时才能使音叉臂的振幅 A 有最大值呢？对式（9）求导并令其 一阶导为零，即可求得 A 的极大值及对应的ω值为：
dx dt
（1）
式中γ是与阻力相关的比例系数，其值决定于运动物体的形状、大小和周围介质等 的性质。 物体的上述振动在有阻尼的情况下，振子的动力学方程为：
m
d 2x dx kx 2 dt dt
其中 m 为振子的等效质量， k 为与振子属性有关的劲度系数。 令 0
2
k ,2 ，代入上式可得： m m d 2x dx 2 2 0 x0 2 dt dt
实验时，将一组电磁线圈置于钢质音叉臂的上下方两侧，并靠近音叉臂。对驱动线圈 施加交变电流，产生交变磁场，使音叉臂磁化，产生交变的驱动力而使音叉振动。接收线 圈靠近被磁化的音叉臂放置，可感应出音叉臂的振动信号。由于感应电流 I dB / dt ,
振动速度加速度位移之间的相位关系
振动速度、加速度和位移是描述物体振动状态的重要物理量，它们之间的相位关系对于理解和分析振动运动至关重要。
下面通过分析振动速度、加速度和位移之间的相位关系，来探讨它们之间的关联。
1. 振动速度、加速度和位移的定义振动速度指的是物体在振动过程中的速度，通常用v来表示，单位是米每秒（m/s）。
加速度则是物体在振动过程中的加速度，通常用a 来表示，单位是米每秒平方（m/s^2）。
位移则是物体在振动过程中的位移量，通常用x来表示，单位是米（m）。
2. 三者之间的基本关系振动速度、加速度和位移之间的关系可以用微积分的概念进行描述。
假设物体在振动过程中的位移函数为x(t)，则物体的速度函数v(t)和加速度函数a(t)可以分别用位移函数对时间的导数和二阶导数来表示：v(t) = dx(t)/dta(t) = d^2x(t)/dt^2这里，t表示时间。
根据导数的定义，速度函数v(t)表示物体在任意时刻的瞬时速度，而加速度函数a(t)表示物体在任意时刻的瞬时加速度。
3. 位移、速度和加速度的相位关系在简谐振动中，位移、速度和加速度之间存在一定的相位关系。
根据简谐振动的定义，位移、速度和加速度都可以表示为关于时间的正弦或余弦函数。
假设物体的振动周期为T，振动频率为f=1/T，角频率为ω=2πf，则位移函数、速度函数和加速度函数可以分别表示为：x(t) = A*sin(ωt + φ)v(t) = A*ω*cos(ωt + φ)a(t) = -A*ω^2*sin(ωt + φ)这里，A表示振幅，φ表示初相位。
根据上述函数表达式，位移、速度和加速度之间存在以下相位关系：位移x(t)与速度v(t)之间的相位关系为：v(t) = ω*x(t + π/2)位移x(t)与加速度a(t)之间的相位关系为：a(t) = -ω^2*x(t)由上面的推导可知，振动速度与位移之间存在90°的相位差，而振动加速度与位移之间存在180°的相位差。
音叉的速度共振与位移共振曲线的测量和研究
第29卷第2期 2010年2月实验室研究与探索R ESEARCH AND EXPLORATI ON I N L ABORAT OR YVol .29No .2 Feb.2010 音叉的速度共振与位移共振曲线的测量和研究倪 敏, 薛珍美(上海师范大学数理学院,上海200234)摘 要:利用接收线圈和压电换能片2种传感器测得音叉受迫振动的速度、位移共振曲线,通过实验比较和理论分析,证明这2种传感器所测得的物理量并不相同,同时分析和验证了2种幅频曲线的区别。
对影响位移共振曲线测量结果的阻尼系数进行讨论和分析,得出:用接收线圈做传感器测得的音叉共振曲线为速度共振曲线,而用压电换能片做传感器测得的音叉共振曲线为位移共振曲线。
实验的研究有利于学生对受迫振动和共振概念的深入理解,也有利于对2种传感器的正确运用。
关键词:音叉;速度共振;位移共振;接收线圈;压电换能片中图分类号:O 4233 文献标识码:A 文章编号:1006-7167(2010)02-0024-03Survey a nd R e sea rch of Tuni ng Fo rk ’s Ve l o c ityR e sonance and D isp lacem ent R e sonance C urve sN IM in, XU E Z hen 2m ei(College of Mathe m atic s and Sc ience,Shangha i Nor m al U niversity,Shangha i 200234,China )Abstrac t:The rece iving l oop and peizoelectric transducer were used to m ea sur e the vel ocity and dis p lace m ent r e s onancecurves of a tuning f or k.It was de monstrated tha t the physical quantite smeasured by the t w o kinds of sens or are different thr ough experi m ental comparis on and theor e tical analysis .Also the difference bet ween the t wo a mplitude 2versus 2frequen 2cy cur ves wa s ana lyzed and demonstrated.A t the sa m e ti m e,the damping coeffic ient which af fects the m ea sure ment of the dis place m ent r e s onance curve was discussed and analyzed .It is conc luded that the tuning f or k ’s resonance curve m ea sur ed by the receiving loop is velocity r e s onance cur ve,while the one measured by piez oelectric transduce r is dis 2place ment resonance curve .The research on the experi m ent will deepen the students ’unde rstanding of certain concepts in for ced vibr ation and res onance,and will ensure a c orr ect use of the t wo kinds of sensor,and theref or e the experi m ent can be involved in the design physics experi m ent in universities .Key wor ds:tuning f ork;ve l oc ity r e s onance;displace m ent resonance;r ece iving coil;piez oe lec tric tr ansduce收稿日期66作者简介倪 敏(6),女,上海人,副教授,主要从事近代物理实验和普通物理实验教学。
位移共振与速度共振之别
所 以缸体 侧壁 所受 总力 的竖直 分力 Ｆ 侧 为
Ｆ侧 一 Ｆ总 ｓ ｉ ｎ ０一
（ ８ Ｆ ＋ × ２ ６ 。 × ３ ． ４ ） 一
８ Ｆ＋ １ ３ ６ —８ Ｆ４ － １ ３ ６（ 单位： Ｎ）
所以 Ｎ —Ｇ 缸一 Ｆ 侧一
５ ０× １ ０一 （ ８Ｆ ４ －１ ３６ ）一
分方程． 式 中叫 。 一 ／ 旦 Ｙ ｒ ／ 为无阻尼时弹簧振子的固有
角频 率 ， ＝ 为 阻尼 因数 ， ｈ一 ．
一 ｚ ， 即
— —
Ｙ ｒ ／
齐次 微分 方程 的 特征 方程 为
ｒ 。 ＋２ 口 ｒ＋ ； 一０ 其 两个 根为 ｒ 一 －ｐ± 。 一∞ ｉ
的运 动为 阻尼振 动．
略． 圆盘形 的振子 体积较 小 ， 受到 液体 的浮 力可忽 略
不计， 以竖直 向下 为正 方 向 ， 由牛 顿第二 定律 ， 有 一 一， ｃ ＋ Ｆ ｓ ｉ ｎ ￡ 一ｍａ 即
【 例 ｌ 】有 一个 竖 直 弹簧 振 子 ， 弹簧 的 劲度 系数 为 ， 振子 为 圆盘形 ， 质量 为 ， 其 表 面 与 弹簧 垂 直 ， 在 某种 液体 中上 下振 动 ， 在 运动速 度较 小 的情况 下 ，
２ ０ １ ４年 第 ３期
物 理 通 报
解 题 思 路 与技 巧
Ｉ
ｌ
觏
位 移 共 振 与速 度 共 振 之 别
郑 金
（ 凌 源市 职教 中 心 辽 宁 朝 阳 １ ２ ２ ５ ０ ０ ） （ 收稿 日期 ： ２ Ｏ ｌ ２— ０ ６ —０ ０ １ ）
ｌ ＿ ｉ
令旦 ＝∞ ： ， 一２ Ｊ ９ ， 得
１ ７１ 。
结构动力学问答题答案-武汉理工-研究生
结构动力学问答题答案-武汉理工-研究生《结构动力学》思考题第1章1、对于任一振动系统，可划分为由激励、系统和响应三部分组成。
试结合生活或工程分别举例说明：何为响应求解、环境识别和系统识别？响应求解：结构系统和荷载已知，求响应。
又称响应预估问题，是工程正问题的一种，通常在工程中是指结构系统已知，具体指结构的形状构件及离散元件等，环境识别：主要是荷载的识别，结构和响应已知，求荷载。
属于工程反问题的一种。
在工程中，如已知桥梁的结构和响应，根据这些来反推出桥梁所受到的荷载。
系统识别：荷载和响应已知，求结构的参数或数学模型。
又称为参数识别，是工程反问题的一种，在土木工程领域，房屋、桥梁和大坝等工程结构被视为“系统”，而“识别”意味着由振动实验数据求得结构的动力特性（如频率、阻尼比和振型）。
如模态分析和模态试验技术等基本成型并得到广泛应用。
2、如何从物理意义上理解线性振动系统 解的可叠加性。
求补充！！！！！3、正确理解等效刚度的概念，并求解单自由度系统的固有频率。
复杂系统中存在多个弹性元件时，用等效弹性元件来代替原来所有的弹性元件，等效原则是等效元件刚度等于组合元件刚度，则等效元件的刚度称为等效刚度。
4、正确理解固有频率f 和圆频率ω的物理意义。
固有频率f ：物体做自由振动时，振动的频率与初始条件无关，而仅与系统的本身的参数有关(如质量、形状、材质等)，它是自由振动周期的倒数，表示单位时间内振动的次数。
圆频率ω： ω=2π/T=2πf 。
即为单位时间内位移矢量在复平面内转动的弧度，又叫做角频率。
它只与系统本身的参数m ，k 有关，而与初始条件无关5、正确理解过阻尼、临界阻尼、欠阻尼的概念。
一个系统受初扰动后不再受外界激励，因为受到阻力造成能量损失而位移峰值渐减的振动称为阻尼振动。
系统的状态按照阻尼比ζ来划分。
把ζ=0的情况称为无阻尼，即周期运动;把0<ζ<1的情况称为欠阻尼，即系统所受的阻尼力较小，振幅在逐渐减小，最后才达到平衡位置;把ζ>1的情况称为过阻尼，如果阻尼再增大，系统需要较长的时间才能达到平衡;把ζ=1的情况称为临界阻尼，即阻尼的大小刚好使系统作非"周期"运动。
共振现象及其应用
一 共振的现象
显然，和尚的朋友深通物理知识，他不仅知道这是一种共振现象， 而且知道如何消除这种现象.他巧妙地在磬上锉了几下，这就改变了磬的 固有频率，使磬与钟的频率不再一样，也就引 不起共鸣了.
共振现象及其应用
一 共振的现象
荡秋千 秋千是个摆，有它的固有频率.轻推一下使秋千微微摆动起来以后， 只要按它的固有频率周期性地施加推力，每当它往前摆时轻轻推它一下， 尽管每次的推力都很小，经过一段时间，秋千也会荡得很高，即发生了共 振.
共振现象及其应用
三 共振的危害
1906年的一天，一队俄国骑兵齐步通过彼得堡封塔克河上的爱纪毕 特桥，突然大桥断裂.原来是士兵们整步走的频率与桥的频率一致，引 起了桥的共振.
共振现象及其应用
三 共振的危害
自从揭示了毁桥的原因后，各国军队规定，过桥时不用整齐的步 伐走，而用不整齐的碎步走，以避免共振的发生.
共振现象及其应用
三 共振的危害 机器损坏
机器在工作时由于零部件的运动 (如活塞轴的转动),也会产生周期性 的策动力，使机器 因共振而受到损坏.
共振现象及其应用
三 共振的危害
为了避免共振，设计时要注意机器的转速，使机器的 固有频率不与策动 力的频率接近.
共振现象及其应用
三 共振的危害
在厂房、桥梁等建筑物的设计 时，也要考虑到共振的因素而尽量 设法避免共振.
磬无故而鸣，使和尚大为惊奇，渐渐由惊而疑，由疑而怯 ，一听到磬发出声音，就坐卧不安，心惊肉跳，以为是妖孽作怪 ，结果忧虑成疾，病倒在床.
共振现象及其应用
一 共振的现象
一天，和尚向前来探望他的朋友诉说了内心的忧虑.正在说话 时，寺院里的钟声响了，说来奇怪，磬也发出了嗡嗡的响声.
阻尼振动与受迫振动教案
三、共振的危害与应用
1、共振的危害与防止
例1、（图片说明）１８世纪中叶，法国昂热市附近一座长102m的桥，因一队骑兵在桥上经过。他们在指挥官的口令下迈着整齐的步伐过桥，引起桥梁共振，桥梁突然断裂，造成２２６名官兵和行人丧生。此后，各国都规定大队人马过桥，要便步通过。
例3、（图片说明）微波炉：微波炉加热食品时,炉内有很强的交变电磁场,它使得食物分子中的带电微粒做受迫振动.由于分子间的相互作用,振动的能量最终成为食物分子热运动的动能,提高了食物的温度。
四、思考
对于一个振动系统，如果其位移做的是一个无阻尼简谐振动，则其速度的运动也是简谐振动。
在受迫振动中，位移也在做一个类似于简谐振动的周期性振动
3、知道共振的应用和防止的实例。
教学重点
1、什么是阻尼振动以及阻尼振动的特点。
2、什么是受迫振动，什么是共振及共振产生的条件。
教学难点
1、简谐振动、阻尼振动及受迫振动的区别。
2、共振发生的条件。
教学方法
1、多媒体课件与黑板板书相结合。
2、图片举例，了解共振的应用和防止；
3、实际演示，了解阻尼振动的特点及共振现象。
振动方程
振动特点
特征量
无阻尼简谐振动
等幅振动
机械能守恒
初始条件
系统自身性质
阻尼振动
减幅振动
能量不断衰减
初始条件
阻尼因子
系统自身性质
受迫振动
等幅振动，
需要外界不断补充能量
与策动力的幅值、
频率及阻尼因子有关
1、在张紧的水平绳上挂7个单摆，先让D摆振动起来，其余各摆也随之振动，已知A、D、G三摆的摆长相同，则下列判断正确的是
稳定受迫振动系统位移和速度共振的幅值计算与能量转换_王长荣
Vol. 18 No. 1 Feb. 2000
王长荣
( 湖北民族学院 电气工程与应用物理系, 湖北 恩施 445000)
摘要: 通过对稳定受迫振动系统位移和速度共振振幅 的定量分 析与计算, 并利 用功能关 系, 得到了 各
种情况下受迫振动的振幅均小于位移共振振幅以及受迫振动的振幅虽与强迫力频率有关但却 稳定的结论.
别为 t0 和 t, 则有
WF =
Qx xLeabharlann Hcosptdx=Q
t t
-
HApcosptsin( pt+
U) dt
0
0
= - pAH( - co2spUcos2pt + si2nUt+ s4inpUsin2pt)
t
;
t0
( 13)
Wf = Qxx0- CTdx= Qtt0- CP2A2sin2( pt+ U) dt
1 2
AH(
cosU-
P2 sinU)
( 21)
Wf1= -
1 4
CPA2
P
( 22)
由( 16) 式 A =
( X20-
h p2) 2+
4B2p2=
m2
mh ( X20- p2) 2+ C2p2
即有:
H= ACP[ 1+
m2(
X20- p2) C2P2
2
]
1 2
.
( 23)
将( 23) 式代入( 21) , 得到:
( 7)
( 5) ( 6) ( 7) 三式表明, 在系统本身性质 ( m, k) 不变及环境状态 B一定的情况下, 受迫振动的初相 U及振
幅 A 均与强迫力的频率 p 直接相关.
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23
当施加一射频脉冲信号时，氢 核能态发生变化，射频过后，氢核 返回初始能态，共振产生的电磁波 便发射出来。原子核振动的微小差 别可以被精确地检测到，经过进一 步的计算机处理，即可能获得反应 组织化学结构组成的三维图像，从 中我们可以获得包括组织中水分差 异以及水分子运动的信息。这样， 病理变化就能被记录下来。
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三 共振的危害
桥梁 倒塌
共振危害 案例
机器
损坏
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雪 崩
11
三 共振的危害
桥梁倒塌
200年前，拿破仑率领法军入侵西班牙. 有一天，法国一队威武的士兵迈着整齐的步 伐通过一座铁链悬桥.没想到，行到桥中间时， 突然惊天动地一声巨响，铁桥从中断裂，掉 落河中，士兵们也纷纷坠入急流.
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三 共振的危害
自从揭示了毁桥的原因后，各国 军队规定，过桥时不用整齐的步伐走， 而用不整齐的碎步走，以避免共振的 发生.
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三 共振的危害
change
美国Tacoma大桥 倒塌前
Tacoma大桥倒 塌时
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14
三 共振的危害
雪崩
在冰山雪峰间，动物的
吼叫声引起空气的振动,当频
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共振对我们的生活影响有好也有坏，我们 相信只要好好利用，它一定会成为生活密不 可分的一部分，促进社会生产以及经济发展， 为人们带来极大的便利！
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四 共振的利用
电磁共振
电磁共振在生活与生产中都有很
简谐运动的合成与分解
五、谐振分析和频谱 （自学）
在自然界和工程技术中，我们所遇到的振 动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处 理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列 不同频率的间谐振动组合而成，也就是把复 杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动， 这样分解在数学上的依据是傅立叶级数和傅 立叶积分的理论，因此这种方法称为傅立叶 分析。
如果分振动不止两个，而且它们的振动频率是基频 地整数倍（倍频）则它们的合振动仍然是周期运动， 其频 率等于倍频。按规律： x ( t ) A(cost cos 3t 3 1 1 cos5t cos 7t ) 5 7
如果增加合成的项数，就 可以得到方波形的振动：
既然一系列倍频简谐振动的合成是频率等于基频的周 期运动，那么，与之相反，任意周期性振动都可以分 解为一系列简谐振动，各个分振动的频率都是原振动 频率的整数倍，其中与原振动频率一致的分振动称为 基频振动，其它的分振动则依照各自的频率相对于基 频的倍数而相应的称为二次、三次、……谐频振动。 这种把一个复杂的周期振动分解为一系列简谐振动之 和的方法，称为谐振分析。
t0
t0 T
x( t ) cos ntdt
x ( t ) si ntdt
t0
2 2 an bn
n
an arctan bn
为了显示实际振动中所包含的各个简谐振动的振动情 况（振幅、相位），常用图线把它表示出来。若用横坐 标表示各谐频振动 的频率，纵坐标表示相应的振幅， 就得到谐频振动的振幅分布图，称为振动的频谱。不同 的周期运动，具有不同的频谱，周期运动的各谐振成分 的频率都是基频的整数倍， 所以它的频谱是分立谱。
2
A
若1= 2 ,则 不变； 若1 2 ,则 变；
机械振动知识
0 — 固有频率， — 阻尼因子
则运动方程写为
d2x dx 2 2 0 x 0 dt dt 2
第十章 机械振动
与微分方程对应的特征方程为
2 2 02 0
特征根为
2 02
1. 阻尼振动
若阻尼较小，即 2 < 02 则
j 02 2 j
1 2 1 2 2 kx kA cos ( t 0 ) 2 2
Ep
系统的动能和势能都随时间周期变化，当位移最大时，势 能达到最大，动能为零；过平衡位置时，动能最大，势能为 零。动能和势能的幅值相等。
第十章 机械振动
系统的总能量
1 2 1 E E K E p kA m 2 A 2 2 2
T
0
第十章 机械振动
§10-2 阻尼振动
在恢复力和阻力共同作用下的振动为阻尼振动，系统的 能逐渐衰减，振幅不断减小，最终停止。
当运动速度不太大时，阻力与速度成正比
f dx dt
—阻尼系数
运动方程
dx d2 x kx m 2 dt dt
k 令 0 , 2 m m
的相差为 2n。
相位概念的重要性还在于比较两个振动的步调： = 2n，两个振动完全同步调，称这两个振动同相； = 2n +1，两个振动完全反步调，称这两个振动反相。
第十章 机械振动
四. 简谐振动的旋转矢量表示
旋转矢量的一个空间特定位置，代表振动的一个特定状 态。例如：
过平衡点向负方向运动
第十章 机械振动
任一时刻， L 上的自感电动势和 C 上的电压分别为
L L
dI dt UC q C
受迫振动与研究（共振实验）
引 言在机械制造和建筑工程等领域中，受迫振动所导致的共振现象引起工程技术人员的极大关注。
它既有破坏作用，也有实用价值，很多电声器件都是运用共振原理设计制作的。
另外，在微观科学研究中，“共振”也是一种重要的研究手段，例如：利用核磁共振和顺磁共振研究物质结构等。
表征受迫振动性质是受迫振动的振幅—频率特性和相位—频率特性（简称幅频和相频特性）。
本实验采用波尔共振仪定量测定机械受迫振动的幅频特性和相频特性，并利用频闪方法来测定动态的物理量——相位差。
数据处理与误差分析方面的内容也比较丰富。
【实验目的】1. 研究波尔共振仪中弹性摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性。
2. 研究不同阻尼矩对受迫振动的影响，观察共振现象。
3. 学习用频闪法测定运动物体的某些量。
【实验原理】一、受迫振动物体在周期外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动，这种周期性的外力称为强迫力。
如果外力是按简谐振动规律变化，那么稳定状态时的受迫振动也是简谐振动，此时，振幅保持恒定，振幅的大小与强迫力的频率和原振动系统无阻尼时的固有振动频率以及阻尼系数有关。
在受迫振动状态下，系统除了受到强迫力的作用外，同时还受到回复力和阻尼力的作用。
所以在稳定状态时物体的位移、速度变化与强迫力变化不是同相位的，存在一个相位差。
当强迫力频率与系统的固有频率相同时产生共振，此时振幅最大，相位差为90°。
实验采用摆轮在弹性力矩作用下自由摆动，在电磁阻尼力矩作用下作受迫振动来研究受迫振动特性，可直观地显示机械振动中的一些物理现象。
当摆轮受到周期性强迫力矩t M M ωcos 0=作用，并有空气阻尼和电磁阻尼的媒质中运动时（阻尼力矩为tbd d θ-），其运动方程为 t M t b k tJ ωθθθcos d d d d 022+--= （1）式中，J 为摆轮的转动惯量，θk -为弹性力矩，0M 为强迫力矩的幅值，ω为策动力的圆频率。
令J k =20ω，J b =β2，J M m 0=，则上式变为t m t tωθωθβθcos d d 2d d 2022=+＋ （2） 当0cos =t m ω时，式（2）即为阻尼振动方程。
共振的实验方法简单
共振的实验方法简单共振是物理学中的一个重要现象，它在生活中随处可见。
无论是钟摆的摆动、琴弦的演奏，还是桥梁的震动，都与共振有关。
共振的实验方法可以帮助我们更好地理解这一现象。
在这里，我们将介绍一种简单的共振实验方法，以便能够更深入地了解共振的原理和特点。
在进行共振实验之前，我们需要准备一些实验材料和设备。
首先，我们需要一个弹性体，可以选择一个弹簧或者橡胶带等。
其次，我们需要一个悬挂装置，可以是一个吊钩或者一个固定支架。
最后，我们需要一种能够施加周期性外力的方法，可以使用手动摇动弹性体或者使用一个外力源等。
接下来，我们开始实验。
首先，我们将弹性体悬挂在支架上，并保证它处于静止状态。
然后，我们将施加一个周期性的外力，可以通过手动摇动弹性体或者使用外力源来实现。
我们需要逐渐改变外力的频率，并观察弹性体的反应。
在实验的过程中，我们会发现当外力的频率与弹性体的固有频率相同时，弹性体会出现明显的共振现象。
这时，弹性体会呈现出最大的振幅，并且能够持续振动。
而当外力的频率与弹性体的固有频率不一致时，弹性体的振幅会逐渐减小，并最终停止振动。
通过这个实验，我们可以得出一些重要的结论。
首先，共振是由外力与物体固有频率之间的共振频率匹配引起的。
只有当外力的频率与物体的固有频率相同时，才会出现共振现象。
其次，共振会使物体的振幅达到最大值，并且能够持续振动。
最后，共振的频率范围是有限的，一旦超出了这个范围，物体就无法共振。
总结起来，共振的实验方法简单易行，通过这个实验我们可以更好地理解共振的原理和特点。
通过观察和分析实验结果，我们可以更加深入地探究共振现象，并将其应用于实际生活中的各个领域。
共振的实验方法简单，但却给我们带来了丰富的物理知识和实践经验。
一、引言- 介绍共振的概念和重要性共振是物理学中一个重要的概念，它在许多自然现象和工程应用中起着至关重要的作用。
共振是指当一个物体受到外界激励时，其固有频率与激励频率相同或非常接近时，物体会发生强烈的振动现象。
波尔共振实验中值得探讨的两个问题
波尔共振实验中值得探讨的两个问题张改平;李智强;闫明宝【摘要】Beginning from experimental principle, it calculates the uncertainty of the phase difference, and compare with the theoretical value and the calculated value of the phase difference,and then obtain a result:the maximum difference between the two is 4.2°.Then,it analysis the change regulation of the phase-frequency characteristics of the force vibration,discuss the mistake of the phase-frequency curve of a part of paper,the last ,have a result:the phase difference between amplitude and driving force is gradually decrease with enlarge-ment of driving force frequency.%从实验原理出发，计算相位差的不确定度，并对由公式计算的φ理值与实际测得的φ测值进行比较，发现二者之差最大可达到4.2°。
分析了受迫振动相频特性曲线的变化规律，对部分论文中出现错误的相频特性曲线进行讨论，最后得出结论：随着驱动力频率的增大，振幅与驱动力之间的相位差应是逐渐减小的。
【期刊名称】《大学物理实验》【年(卷),期】2016(029)004【总页数】3页(P18-20)【关键词】共振;相位差;不确定度【作者】张改平;李智强;闫明宝【作者单位】空军工程大学，陕西西安 710051;空军工程大学，陕西西安710051;空军工程大学，陕西西安 710051【正文语种】中文【中图分类】O321波尔共振仪可实现自由振动、阻尼振动和受迫振动三种振动。
振动的合成与分解
合振动的轨迹为通过原点且 在第一、第三象限内的直线
A2 斜率 A1
y
x
质点离开平衡位置的位移
S x y
2 2
A1 A2 cos( t )
2 2
x2 y2 x y 2 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2 A2 x y 2 x ) 0 y (2) 2 1 ( A1 A1 A2
x2 A2 cos(2t 2 )
设 1 2 但： 1 2 1
为简单： 令A1 A2 A 先用函数曲线叠加：
1 2
分振动
x1 A cos( 1t ) x2 A cos( 2 t )
合振动
x x1 x2
y
x
y
x
= 0
= /4
P
·Q
.
= /2
= 3/4
=
= 5/4
= 3/2
= 7/4
0 时，逆时针方向转动。 0 时，顺时针方向转动。
四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成
两振动的频率成整数比 轨迹称为李萨如图形
合振动
r ( t ) x ( t )i y ( t ) j
合振动质点的轨迹方程
x2 y2 x y 2 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2
x2 y2 x y 2 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 讨论 A1 A2 A2 x y 2 x ) 0 y (1) 2 1 0 ( A1 A1 A2
振动测试技术作业
简支梁振动系统动态特性测试姓名：汪亚彬学号：0214134班级：土木工程（3）班课程：振动测试技术2015年7月21日一、振动测试概述1、振动的分类及描述答: 1、在振动理论中，把物体的振动按自由度分，可分为：单自由度振动、多自由度振动、无限自由度振动；2、按激励类型分，可分为：自由振动、受迫振动、自激振动、固有振动、参数振动；3、从振动特性看，可分为：线性振动和非线性振动；4、按信息与数据的形式分，可分为：确定性振动及随机振动两大类。
其中 确定性振动按响应持续时间，又可分为:瞬态振动、稳态振动；按响应的周期性可分为：周期振动及非周期振动两类；周期振动可用数学表达式 )((nT t y t y +=） 表示，它还可以进一步分为简谐振动及复杂周期振动两类；非周期振动又可分为准周期振动及瞬变振动两类。
一、确定性振动1、简谐振动简谐振动是一种最简单、最基本的振动形式，其时变函数为sin()(A t y =)2sin()00ϕπϕ+=+ft A wt式中：A ----振幅；w ----圆频率，单位：弧度/秒（rad/s ）；f ----频率，单位：赫兹（Hz ）；0ϕ----相对于时间原点的初相角，单位：弧度（rad ）;)(t y ----为t 时刻的瞬时幅值。
2、复杂周期振动复杂周期振动可用如下的周期性时变函数表示),()(nT t y t y ±= =n 1，2，3···，它由与基波成为整倍数的波形所组成。
或者，复杂周期振动是由静态分量0y 项与无穷多个振幅、初相角不相同、频率与基频称整数倍的间谐波分量叠加而成，当然其中有些项的幅值可以为零。
3、准周期振动如果若干个频率不成比例关系的简谐振动叠加在一起，合成后的振动不呈现周期性，称为准周期振动。
例如：)7s i n ()5s i n ()s i n ()(332211ϕϕϕ+++++=t y t y t y t y所表示的振动，表现在时程曲线不呈现周期性。
振动分析基础知识
旋转机械振动分析基础汽轮机、发电机、燃气轮机、压缩机、风机、泵等都属于旋转机械，是电力、石化和冶金等行业的关键设备。
这些设备出现故障后，大多会带来严重的经济损失.振动在设备故障中占了很大比重，是影响设备安全、稳定运行的重要因素。
振动又是设备的“体温计”，直接反映了设备健康状况,是设备安全评估的重要指标.一台机组正常运行时，其振动值和振动变化值都应该比较小。
一旦机组振动值变大，或振动变得不稳定，都说明设备出现了一定程度的故障.振动对机组安全、稳定运行的危害主要表现在: （1)振动过大将会导致轴承乌金疲劳损坏。
（2）过大振动将会造成通流部分磨损，严重时将会导致大轴弯曲。
统计数据表明，汽轮发电机组60％以上的大轴弯曲事故就是由于摩擦引起的。
(3）振动过大还将使部件承受大幅交变应力，容易造成转子、联结螺栓、管道、地基等的损坏。
正因为振动对设备安全运行相当重要，人们对振动问题都很重视。
目前大型机组上普遍安装了振动监测系统，并将振动信号投了保护。
振动超标时,保护动作,机组自动停机，从而保证设备的绝对安全。
一、振动分析基本概念振动是一个动态量。
图所示是一种简单的振动形式－简谐振动，即振动量按余弦（或正弦）函数规律周期性地变化，幅值反映了振动大小;频率反映了振动量动态变化的快慢程度；相位反映了信号在t=0时刻的初始状态。
可见，为了完全描述一个振动信号,必须同时知道幅值、频率和相位这三个参数，人们称之为振动分析的三要素。
振动是一个动态变化量。
为了突出反映交变量的影响，振动监测时常取波形中正、负峰值的差值作为振动幅值，又称为峰峰值。
简谐振动是一种简单的振动形式，实际机组上发生的振动比简谐振动要复杂得多.不管振动多么复杂，由信号分析理论可知,都可以将其分解为若干具有不同频率、幅值和相位的简谐分量的合成.旋转机械振动分析离不开转速，为了方便和直观起见，常以1x 表示与转动频率相等的频率，又称为工（基)频；以0。
5x、2x、3x 等表示与转动频率的0.5 倍、2 倍和3 倍等相等的频率，又称为半频、二倍频、三倍频。
关于中学物理教材对“共振条件”表述的思考
关于中学物理教材对“共振条件”表述的思考作者：王华张健李春密来源：《物理教学探讨》2015年第11期摘要：本文通过对比分析不同版本的中学物理教材对“共振条件”的表述，思考了这变化中的不变——物理的实质。
从运动方程入手，对位移共振、速度共振与能量共振进行研究，分析其实现条件，对比差异。
关键词：教材表述；共振条件；位移共振；速度共振；能量共振中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2015）11-0023-31 问题提出自由振动中存在着任何形式的阻尼，都会因能量耗散而最终停下来。
如果外界对系统施加持续性的周期性力或位移作为激励，不断对系统做功，使系统得到持续而又足以弥补阻尼损失的能量补充，系统的振动就可以维持下去。
这种周期形式的激励未必是简谐性激励，对于线性系统而言，可以通过傅里叶级数展开的方式将这种激励分解为多种简谐性激励的线性迭加，因此在中学物理教学中把简谐性激励下的受迫振动作为主要内容，通过耦合单摆实验来说明振动系统对于外界激励的响应，进而定性地分析共振条件。
人民教育出版社不同版次的物理教科书对于共振条件的表述有所差别。
1983年版《物理（甲种本）第一册》第296页指出：“当策动力的频率与物体的固有频率相等的时候，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振”；2003年版《全日制普通高级中学教科书（必修）物理第二册》第38页提出：“驱动力的频率接近物体的固有频率时，受迫振动的振幅增大，这种现象叫做共振”，这种表述回避了振幅“最大”的说法与“达到最大振幅的条件”；在现行的《普通高中课程标准实验教科书物理选修3-4》第19页指出：“驱动力频率f等于系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振”，而且在备注中说明“对于有阻尼的真实振动，当驱动力的频率略小于固有频率时，系统的振幅达到最大值，阻尼越大，这两个频率的差别越明显。
”这种表述相对严谨，但是似乎留给师生一个谜题“当策动力频率变化时，阻尼对于受迫振动的振幅有何影响？共振发生的条件是什么？”2 位移共振曲线与共振条件2.1 位移共振曲线设一质量为m的振子与轻质弹簧组成一个振动系统。
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分析位移共振和速度共振的条件
高中物理教材关于发生共振条件的论述，现行教材和以前的教材相比说法有所变化。
以前的教材讲：“当策动力（现行教材改为驱动力）的频率等于物体的固有频率时，物体做受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。
”，意思是说驱动力的频率等于物体的固有频率是发生共振的条件。
现行教材改为“当驱动力的频率接近物体的固有频率时，物体做受迫振动的振幅增大，这种现象称为共振。
”究竟怎样才算接近固有频率呢？看高中物理教材共振曲线（见图1），如图2中由12f f →或由43f f →所示的情况也算是接近固有频率吗？如果算，此时却未发生共振，又当如何理解？
再看各种复习参考资料，相关的习题都沿用“驱动力的频率等于固有频率时发生共振”的说法，似乎“驱动力的频率等于物体的固有频率是发生共振的条件”更为可信。
然而，根据又是什么呢？
要弄清这个问题，还要从受迫振动说起。
为了与高中物理教材吻合，我们只讨论在弱阻尼振动系统上加周期性外力发生的受迫振动。
以弹簧振子为例，质点受三种力：弹性力-kx ，阻尼力dx
dt
γ-，驱动力F ，设其按余弦（或正弦）规律变化且初相为零，则有
0cos F F t ω=
由牛顿第二定律，有
202cos d x dx m kx F t dt dt
γω=--+ 令
2000,2,F k f m m m
γ
ωβ=
== 得
20022cos d x dx x f t dt dt
βωω++= 1.1
A f f ′ O 受迫振动的振幅
图2 f 1 f 2 f 3 f 4 A f f ′
O 受迫
振
动的
振
幅
图1
这就是受迫振动的方程，为二阶常系数非齐次微分方程。
根据微分方程理论，上式的解为
0cos(')cos()t x Ae t A t βωαωϕ-=+++
1.2
A 和α是由初始条件决定的积分常数。
（1.2）式为两项之和，表明质点运动包含两个分运动，第一项为阻尼振动，随时间的推移而趋于消失，它反映受迫振动的暂态行为，与驱动力无关。
第二项表示与驱动力频率相同且振幅为A 0的周期性振动。
开始时，受迫振动的振幅较小，经过一定时间后，阻尼振动消失。
质点进行由（1.2）式第二项决定的与驱动力同频率的振动，称为受迫振动的稳定振动状态，可表示如下：
0cos()x A t ωϕ=+
（1.3）
稳定振动状态表面上像简谐运动，其实不然。
ω并非固有频率，而是驱动力的频率；振幅A 0和初相ϕ也并非决定于初始条件，而是依赖于振动系统本身的性质，阻尼的大小和驱动力的特征，将（1.3）式代入（1.1）式，得
20020
00(cos cos sin sin )2(sin cos cos sin )(cos cos sin sin )cos A t t A t t A t t f t
ωωϕωϕβωϕωϕωωϕωϕω---++-=
由等式性质，有
2
20000
22
00
0()cos 2sin ()sin 2cos 0
A A f A A ωωϕβωϕωωϕβωϕ--=-+=
可解出
022
2
2
()4f A ωωβω
=
-+ （1.4）
当驱动力频率取某值时，振幅获得最大值（振动系统做受迫振动时，其振幅大最大值的现象叫做位移共振——即高中物理教材中所说的共振）。
由上式，并用微分法关于极大值的判据，可求出共振时驱动力的圆频率为
2202r ωωβ=-
这一频率称为位移共振频率。
显然，位移共振频率一般不等于振动系统的固有频率。
物体做受迫振动达到稳定状态时，其速度做周期性变化，由（1.3）式可得
0sin()2
x dx v A t dt πωωϕ=
=++ 由此可知速度幅（即速度的最大值）
00v A ω=
由（1.4）式可知，由于A 0随驱动力的频率变化而变化，驱动力频率ω达到某一数值时可使振动的速度幅取最大值，这种现象称为速度共振。
将（1.4）式代入00v A ω=，并应用极值的微分判据可得速度共振的条件为
0ωω=
即驱动力的圆频率等于振动系统的固有圆频率。
综上所述，速度共振和位移共振的条件是不同的。
位移共振：当驱动力的角频率ω等于某个适当数值(称共振角频率)时，振幅出现极大值、振动很剧烈的现象，此时能量转化效率最高。
速度共振：当驱动力的角频率正好等于系统的固有角频率时，速度幅A ω达极大值的现象。
当阻尼无限小时，位移共振的圆频率2
2
02r ωωβ=-，无限接近于固有圆频率（此时振幅将趋于无穷大，产生极激烈的位移共振），与速度共振的条件相同，我们不必再区分两种共振。
再看高中物理教学过程中的共振实验和练习，都是在弱阻尼情况下发生的共振（即阻尼因数β→0，这一点从大量发行的教辅材料中就可发现）。
因此，为便于教学，亦便于学生理解，建议还是把共振条件表述为“驱动力的频率等于振动系统的固有频率”更为合适，不然学生在解题时将无所适从。
高中物理表述的共振条件，主要是针对位移共振而言，至于位移共振和速度共振的区分以及进一步学习和研究，留待升入大学解决更为合适。