15.6期末复习(第14章勾股定理)

图14－6
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解：由折叠知：DA＝DB，△ACD 为直角三角形． 在 Rt△ACD 中，AC2＋CD2＝AD2①， 设 CD＝x cm，则 AD＝BD＝(8－x)cm， 代入①式得 62＋x2＝(8－x)2， 化简得 36＝64－16x， 7 所以 x＝ ＝1.75(cm)， 4 即 CD 的长为 1.75 cm.
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例4 如图14－3所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿 长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图14－3所示)，问怎 样走路线最短？最短路线长为多少？
图14－3
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解析] 蚂蚁由 A 点沿长方体的表面爬行到 C1 点，有三种方 式：①沿 ABB1A1 和 A1 B1C1D1 面；②沿 ABB1A1 和 BC C1 B1 面； ③沿 AA1 D1D 和 A1B1C1 D1 面，把三种方式分别展成平面图形如 下：
方法技巧 勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题 ；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边 ，这时往往要列出方程求解．
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1．已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上， (2)(4) 可以判定三角形是直角三角形的有________．
图14－7
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例5 如图14－5，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船 靠岸，开始时绳子BC的长为10米，此人以每秒0.5米的速度收 绳．问：8秒后船向岸边移动了多少米？(结果精确到0.1米)
[解析] 根据题意找出图中的直角 三角形，算出BC的长，再用勾股 定理求AB和移动的距离．
图14－5
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易错警示 在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时， 先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为 简便． 在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边， 如在本例中不要受勾股数6、8、10的干扰．
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考点二
勾股定理的逆定理
已知在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC 是否为直角三角形．
图14－2
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[解析] 根据图和勾股定理知，第 1 个等腰三角形的斜边长是 2； 2 个等腰三角形的斜边长是 2＝( 2)2； 3 个等腰三角形的 第 第 斜边长是 8＝( 2)3； 4 个等腰三角形的斜边长是 4＝( 2)4； 5 第 第 个等腰三角形的斜边长是 32＝( 2)5；„；第 n 个等腰三角形的斜 边长是( 2)n. 方法技巧 解这类结论探究问题，需要多算一些值，然后从这些具体的值 中找出有规律性的东西，把规律总结出后，再用此规律检验一下， 看看是否具有一般性．
2．如图14－8所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是 方格纸中的两个格点(即正方形的顶点)，在这个6×6的方格纸中， 找出格点C，使△ABC的面积为1个平方单位的直角三角形的点C个数 6 是________．
图14－8
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[解析] 如图14－9，当∠A为直角时，满足面积为1的点是 C1、C2；当∠B为直角时，满足面积为1的点是C3、C4；当∠C 为直角时，满足面积为1的点是C5、C6.所以满足条件的点共 有6个．
图 14－4
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解：①在 Rt△ABC1 中， AC2＝AB2＋ BC2＝42＋ 32＝52， 1 1 ∴AC1＝ 25. ②在 Rt△ACC1 中， AC2＝ AC2＋ CC2＝62＋12＝37， 1 1 ∴AC1＝ 37. ③在 Rt△AB1C1 中， AC2＝ AB2＋ B1C2＝52＋22＝29， 1 1 1 ∴AC1＝ 29. ∵25＜29＜37， ∴沿图①的方式爬行路线最短，最短路线长是 5.
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解：由于 a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，c2＝(n2＋1)2＝ n4＋2n2＋1，从而 a2＋b2＝c2，故可以判定△ABC 是直角三角形．
考点三
勾股定理在数学中的应用
已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为 直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边 ，画第三个等腰Rt△ADE，„，依此类推，第n个等腰直角三角形 n 的斜边长的平方是________． ( 2)
图14－9
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如图14－10，以三角形三边为直径向外作三个半圆，若较小 的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，则这个三角形是 (B ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
图14－10
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如图14－11，有一个高为4，底面直径为6的圆锥，现有一只蚂 蚁在圆锥的顶部A，它想吃到圆锥底部B的食物，蚂蚁需要爬行 的最短路线长是多少？
[注意] 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分 清直角边和斜边．
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2．勾股定理的验证 据说验证勾股定理的方法有五百多种，其中很多是用平面图形 的面积来进行验证的，比如我国古代的数学家赵爽就用了下面的 方法： 如图 14－1，以 a、b 为直角边(b>a)、以 c 为斜边作四个 1 全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等的正方形 ABCD， 它是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 2 .而四边形
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考点五 方程思想在勾股定理中的应用 例6 如图14－6，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm ，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，求CD 的长．
[解析] 欲求的线段CD在Rt△ACD中，但此三 角形只知一边，可设法找出另两边的关系， 然后用勾股定理求解．
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解： 因为此人以每秒 0.5 米的速度收绳， 于是可知 8 秒后绳子 BC 的长度变为 10－0.5×8＝6(米)， 所以 8 秒后船离岸边的距离为 62－52＝ 11(米)． 又 AB＝ BC2－AC2＝ 102－52＝ 75(米)， 故 8 秒后船向岸边移动了 75－ 11≈5.3(米)．
第15章勾股定理复习
知识归纳
1．勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方 . 即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b， 斜边为c ，那么一定有 . a2＋b2＝c2
勾股定理表达式的常见变形：a2 ＝c2－b2, b2 ＝c2－a2 ，c＝ a2＋b2，a＝ c2－b2，b＝ c2－a2. 勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是 a、b(且 a＞b)，那么，当第三边 c 是斜边时，c＝ ；当 a 是斜 2 2 a ＋b 2 2 边时，第三边 c＝ a －b .
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考点攻略
考点一 勾股定理 例1 在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的 对边分别是a、b、c，且a＝6，b＝8，求BD的长． [解析] 这是在三角形中已知两边长求高的问题，可用勾股定 理先求出第三边再求解．
解：∵∠B＝90° ，∴b 是斜边， c＝ b2－a2＝ 82－62＝ 28. 1 1 又∵S△ABC＝ b· BD＝ ac， 2 2 ac 6× 28 3 28 ∴BD＝ ＝ ＝ . b 8 4 则在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得
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方法技巧
用勾股定理解决立体图形的问题，常以长方体、正方体、 圆柱、圆锥为背景，做题思路是“展曲为平” ——把立体图形 转化为平面图形，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题， 再运用“平面上的两点之间线段最短”求解． 要注意的是需要认真审题，确定出最短路线，有时容易忽视多 种展开情况．
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5．勾股定理的应用 应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题： (1)已知 直角 三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、 面积的问题； (2)说明线段的平方关系问题； (3)在 数轴 上作表示 2、 3、 5等数的点的问题；
(4)解决实际问题．一些实际问题，如解决圆柱侧面两点间距离 问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑问题等，常直接或间接运用 勾股定理及其逆定理． 6．勾股定理中的思想 (1)分类的思想，斜边不确定时，要分类讨论； (2)数形结合的思想，通过边的数量判断三角形的形状，反之也可 以； (3)方程的思想，建立方程，求边； (4)转化思想，把实际问题转化为勾股定理的问题来解决．
解：过 A 点作底面的垂线 OA， 垂足为 O，连结 OB. 6 由题意知 AO＝4，BO＝ ＝3， 2 ∴AB＝ 42＋32＝5， ∴蚂蚁需要爬行的最短路线长是 5.
图14－11
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现有一张矩形纸片ABCD(如图14－12)，其中AB＝4 cm，BC＝ 6 cm, 点E是BC的中点，将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形 AECD内，记为点B′，求线段B′C的长．
c
2
，
(1)确定最大边； (2)算出最大边的平方与另两边的 平方和 ； (3)比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则 说明这个三角形是 直角 三角形． 到目前为止判定直角三角形的方法有： (1)说明三角形中有一个角是 直角 ； (2)说明三角形中有两边互相 垂直 ； (3)用勾股定理的逆定理． [注意] 运用勾股定理的逆定理时，要防止出现一开始就 写出 a2＋b2＝c2 之类的错误．
2 2
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如图14－14所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一 个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高 4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？
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4．勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个 正整 数，称为勾股 数，即满足 a2＋b2＝c2 的三个 正整 数a、b、c，称为勾股 数． [注意] 勾股数都是正整数． 5．勾股定理的应用 应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题： (1)已知直角 三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、 面积的问题； (2)说明线段的平方关系问题；