简单线性规划 课件(48张)

________ 值问题 ．
满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解 4． 可行解： ___________________________________ ．
由所有可行解组成的集合叫可行域 5．可行域：________________________________ ．
使目标函数取得最大或最小值的可行解 6． 最优解： ____________________________________
解简单线性规划问题的基本步骤： 1．画图．画出线性约束条件所表示的平面区域，即 可行域． 2．定线．令 z＝0，得一过原点的直线． 3．平移．在线性目标函数所表示的一组平行线中， 利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或 最小的直线．
类型 2 求非线性目标函数的最值 x－y－2≤0， [典例 2] 设实数 x， y 满足约束条件x＋2y－4≥0， 2y－3≤0， 求： (1)x2＋y2 的最小值； y (2)x的最大值．
解：如图，画出不等式组表示的平面区域 ABC.
(1)令 u＝x2＋y2， 其几何意义是可行域 ABC 内任一点 (x，y)与原点的距离的平方．过原点向直线 x＋2y－4＝0 x＋2y－4＝0， 作垂线 y＝2x，则垂足为 的解， y＝2x
归纳升华 非线性目标函数最值问题的求解方法 (1)解非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性 目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到 直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结 合知识解题，能起到事半功倍的效果．
(2)常见代数式的几何意义主要有： ① x2＋y2表示点(x，y)与原点(0，0)的距离； （x－a）2＋（y－b）2表示点(x，y)与点(a，b)的距 离．
作出可行域． 1 z 1 z 把目标函数化为 y＝－ x＋ ，显然只有 y＝－ x＋ 5 5 5 5 在 y 轴上的截距最大时 z 值最大，根据图形，目标函数在 y＝mx， 点 A 处取得最大值，由 x＋y＝1，
1 m 1 5m ， 得 A ， 代入目标函数， 即 ＋ ＝ 1＋m 1＋m 1＋m 1＋m
y－ b y ②x表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率； 表示 x－a 点(x，y)与点(a，b)连线的斜率，这些代数式的几何意义 能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．
[变式训练] (1)在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不 2x－y－2≥0， 等式组x＋2y－1≥0， 所表示的区域上一动点，则直线 3x＋y－8≤0， OM 斜率的最小值为( )
1 1 A．2 B．1 C．－ D．－ 3 2
2x＋y－5≥0， (2)已知3x－y－5≤0，求(x＋1)2＋(y＋1)2 的最大、 x－2y＋5≥0， 最小值． (1)解析：如图所示，
2x－y－2≥0， x＋2y－1≥0，所表示的 3x＋y－8≤0， 平面区域为图中的阴影部分． x＋2y－1＝0， 由 得 A(3，－1) 3x＋y－8＝0， 当 M 点与 A 重合时，OM 的斜率最小，
x＝1， x＝1， 由 得 y＝a（x－3）， y＝－2a， 所以 zmin＝2－2a＝1， 1 解得 a＝ ，故选 B. 2 答案：B
(2)解：由约束条件画出可行域，如图所示，点 C 的 坐标为(3，1)．因为目标函数仅在点 C(3，1)处取得最大 值，所以－a＜kCD，即－a＜－1，所以 a＞1.

1 2 1 ＝ . 2 2 1 答案： 2
5．若点(x，y)位于曲线 y＝|x－1|与 y＝2 所围成的封 闭区域，则 2x－y 的最小值为________． 解析：如图所示，阴影部分为封闭区域，作直线 2x － y ＝ 0 ，并向左上平移，过点 A 时， 2x － y 最小，由 y＝2， y＝|x－1|（x＜1）， 得 A(－1，2)．
所以当 x＝3，y＝4 时， dmax＝(3＋1)2＋(4＋1)2＝41， 当 x＝2，y＝1 时， dmin＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13， 即(x＋1)2＋(y＋1)2 的最大值为 41，最小值为 13.
类型 3 已知目标函数的最值求参数问题 y≥x， [典例 3] 设 m＞1，在约束条件y≤mx，下，目标 x＋y≤1 函数 z＝x＋5y 的最大值为 4，则 m 的值为________． 解析：
所以(2x－y)min＝2×(－1)－2＝－4. 答案：－4
类型 1 求线性目标函数的最值 [典例 1] 已知实数 x，y 满足不等式组：
2x－y＋2≥0， 2x＋3y－6≤0.
(1)求 w＝x＋2y 的最大值； (2)求 z＝x－y 的最小值．
解：作出不等式组表示的平面区域(即可行线)．
1 kOM＝－ . 3 答案：C
(2)解：作出可行域，如图所示，
设 d＝(x＋1)2＋(y＋1)2，则它表示可行域内的点与定 点 E(－1，－1)的距离的平方．由图可知，点 C 到定点 E 的距离最小，点 B 到定点 E 的距离最大． x－2y＋5＝0， 由 解得 B(3，4)， 3x－y－5＝0， 2x＋y－5＝0， 由 解得 C(2，1)， 3x－y－5＝0，
(2)将 z＝x－y 变形为 y＝x－z，得到斜率为 1，在 y 轴上截距为－z 的一簇随 z 变化的平行直线，作过原点的 直线 y＝x，由图 2 可知，当平移此直线过点(0，2)时，直 线在 y 轴上的截距－z 最大，最大值为 2.所以 z 最小，最 小值为－2.
所以 z＝x－y 的最小值为－2.也可把(0，2)代入求得 zmin＝0－2＝－2.
4 8 即5，5，
x＋2y－4＝0， 3 又由 得 C1，2， 2 y － 3 ＝ 0 ， 所以垂足在线段 AC 的延长线上， 故可行域内的点到 原点的距离的最小值为|OC|＝ 13 所以，x ＋y 的最小值为 . 4
2 2
32 1＋2 ＝
13 ， 2பைடு நூலகம்
y (2)令 v＝x，其几何意义是可行域 ABC 内任一点(x， y)与原点相连的直线 l 的斜率，即 v＝ .由图形可知， x－0 y－ 0
当直线 l 经过可行域内点 C 时，v 最大，
3 由(1)知 C1，2，
3 y 3 所以 vmax＝ ，所以 的最大值为 . x 2 2
_______________________ ． 叫线性规划问题的最优解
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)可行域是一个封闭的区域．( ) )
(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的．(
(3) 最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优 解．( ) )
(4)线性规划问题一定存在最优解．(
简单的线性规划
[学习目标] 1.了解线性规划的意义，了解线性约束 条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概 念． 2.掌握线性规划问题的图解法，会用图解法求线性 目标函数的最大值、最小值． 3.训练数形结合、化归等 数学思想，培养和发展数学应用意识．
[知识提炼· 梳理] 1．约性约束条件：
归纳升华 解线性规划问题的基本步骤： (1)画：画出线性约束条件所表示的可行域． (2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，用 平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小 的直线．
(3)求：通过解方程组求出最优解． (4)答：根据所求得的最优解得出答案．
[变式训练]
已知实数 x，y 满足约束条件
)
所对应的 z＝x－y 的函数值随之增大，当直线 l 经过 可行域的顶点 M 时，z＝x－y 取得最大值．顶点 M 是直 x＋y＝1， 线 x＋y＝1 与直线 y＝0 的交点，解方程组 得 y＝0， 顶点 M 的坐标为(1，0)，代入 z＝x－y，得 zmax＝1. 答案：B
3 ．若直线 y ＝ 2x 上存在点 (x ， y) 满足约束条件 x＋y－3≤0， x－2y－3≤0，则实数 m 的最大值为( x≥m， 3 A．－1 B．1 C. D．2 2 解析：如图： )
)
(2)已知变量 x，y
0≤x＋y≤4， 满足约束条件 若目 －2≤x－y≤2.
标函数 z＝ax＋y(其中 a＞0)仅在点(3，1)处取得最大值， 求 a 的取值范围．
解析：(1)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部 分所示)．易知直线 z＝2x＋y 过交点 A 时，z 取最小值，
4，解得 m＝3. 答案：3
归纳升华 根据目标函数的最值求参数的解题思路： 采用数形结 合，先画出可行域，根据目标函数表示的意义，画出目标 函数等于最值的直线，它与相应直线的交点就是最优解， 再将所求出的最优解代入含有参数的约束条件， 即可求出 参数的值或范围．
[ 变式训练 ] (1) 已知 a ＞ 0 ， x ， y 满足约束条件 x≥1， x＋y≤3， 若 z＝2x＋y 的最小值为 1，则 a＝( y≥a（x－3）. 1 1 A. B. C．1 D．2 4 2
x－y≤1， 2x＋y≤4，求目标函数 z＝x＋3y 的最大值． x≥1，
解：由约束条件作出可行域如图阴影部分所示：
1 z 由 z＝x＋3y，得 y＝－ x＋ ，平移直线 x＋3y＝0 可 3 3 1 z 知，当直线 y ＝－ x ＋ 经过 A 点时 z 取最大值．由 3 3 2x＋y＝4， 得 A(1，2)，所以 zmax＝1＋2×3＝7. x＝1，
由关于x，y的一次不等式形成的约束条件 ________________________________________ ．
2．线性目标函数：
由关于两个变量x，y一次式形成的函数． ______________________________________
3．线性规划问题：
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小 ___________________________________________
1 w 1 (1)将 w＝x＋2y 变形为 y＝－ x＋ ， 得到斜率为－ ， 2 2 2 w 在 y 轴上截距为 的一簇随 w 变化的平行直线， 作过原点 2 1 的直线 y＝－ x.由图 1 可知， 当平移此直线过点(0， 2)时， 2 w 直线在 y 轴上的截距 最大，最大值为 2，所以 w＝x＋2y 2 的最大值为 4.也可把(0，2)代入求得 wmax＝0＋2×2＝4.
(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可 行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
x≥0， 2．若y≥0， 则 z＝x－y 的最大值为( x＋y≤1， A．－1 B．1 C．2 D．－2
解析：根据题意作出不等式组所 表示的可行域如图阴影部分所示． 令 z＝0，作直线 l：y－x＝0. 当直线 l 向下平移时，
当 y＝2x 经过且只经过 x＋y－3＝0 和 x＝m 的交点 时，m 取到最大值，此时，即(m，2m)在直线 x＋y－3＝0 上，则 m＝1. 答案：B
y≤1， 4. 已知实数 x，y 满足x≤1， 则 z＝x2＋y2 的最 x＋y≥1， 小值为________．
解析：实数 x，y 满足的可行域如图中阴影部分所示， 则 z 的最小值为原点到直线 AB 的距离的平方，故 zmin＝
解析：(1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域， 不一定是封闭的．(2)错误．在线性约束条件下，最优解 可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解， 故该说法错误．(3)正确．满足线性约束条件的解称为可 行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或 最小值的可行解， 才是最优解， 所以最优解一定是可行解．