简单线性规划 课件(48张)
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简单线性规划最终版课件
【解题回顾】要能从实际问题中, 建构有关线 性规划问题的数学模型.关键求出 约束条件和目标函数.
32
解: 设投资方对甲、乙两个项目各投资x、y万元
依题意线性约束条件为： x y 10 目标函数为：Z x 0.5 y
3 x y 18
x
0
y 0
作出可行域
可知直线Z=x+0.5y通过点A时利润最大
而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关.
19
把问题1的有关数据列表表示如下:
资源
A种配件 B种配件 所需时间 利润(万元)
甲产品 乙产品 资源限额 (1件) (1件)
4
0
16
0
4
12
1
2
8
2
3
设甲,乙两种产品分别生产x,y件,
20
y
4 3
4
0
8x
21
y
4 3
o
22
M
4
8
y
4 3
0
M（4, 2）
由
x y 3x
10 y 18
x y
4 6
A4,6
Zmax 4 6 0.5 7（万元） 答:
33
练习题
1、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售 收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需 要在A.B两种设备上加工，在每台A.B上加工1件 甲所需工时分别为1h、2h，加工1件乙所需工时 分别为2h,1h.A.B两种设备每月有效使用台时数 分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最 大解？: 设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每
规格类型 钢板类型
第一种钢板
A规格
2
B规格
32
解: 设投资方对甲、乙两个项目各投资x、y万元
依题意线性约束条件为： x y 10 目标函数为：Z x 0.5 y
3 x y 18
x
0
y 0
作出可行域
可知直线Z=x+0.5y通过点A时利润最大
而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关.
19
把问题1的有关数据列表表示如下:
资源
A种配件 B种配件 所需时间 利润(万元)
甲产品 乙产品 资源限额 (1件) (1件)
4
0
16
0
4
12
1
2
8
2
3
设甲,乙两种产品分别生产x,y件,
20
y
4 3
4
0
8x
21
y
4 3
o
22
M
4
8
y
4 3
0
M（4, 2）
由
x y 3x
10 y 18
x y
4 6
A4,6
Zmax 4 6 0.5 7（万元） 答:
33
练习题
1、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售 收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需 要在A.B两种设备上加工，在每台A.B上加工1件 甲所需工时分别为1h、2h，加工1件乙所需工时 分别为2h,1h.A.B两种设备每月有效使用台时数 分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最 大解？: 设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每
规格类型 钢板类型
第一种钢板
A规格
2
B规格
简单线性规划 课件(48张)
x－2y＋5≥0， 最小值．
(1)解析：如图所示，
编辑版pppt
32
2x－y－2≥0， x＋2y－1≥0，所表示的 3x＋y－8≤0，
平面区域为图中的阴影部分．
x＋2y－1＝0，
由
得 A(3，－1)
3x＋y－8＝0，
当 M 点与 A 重合时，OM 的斜率最小，
编辑版pppt
33
kOM＝－13. 答案：C
编辑版pppt
46
4．求最优解．通过解方程组求出最优解． 5．求最值．求出线性目标函数的最小值或最大值．
知，当直线 y＝－13x＋3z经过 A 点时 z 取最大值．由
2x＋y＝4，
得 A(1，2)，所以 zmax＝1＋2×3＝7. Nhomakorabeax＝1，
编辑版pppt
23
类型 2 求非线性目标函数的最值 x－y－2≤0，
[典例 2] 设实数 x，y 满足约束条件x＋2y－4≥0， 2y－3≤0，
求： (1)x2＋y2 的最小值； (2)xy的最大值．
由
解得 C(2，1)，
3x－y－5＝0，
编辑版pppt
36
所以当 x＝3，y＝4 时， dmax＝(3＋1)2＋(4＋1)2＝41， 当 x＝2，y＝1 时， dmin＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13， 即(x＋1)2＋(y＋1)2 的最大值为 41，最小值为 13.
编辑版pppt
37
类型 3 已知目标函数的最值求参数问题 y≥x，
当直线 l 经过可行域内点 C 时，v 最大， 由(1)知 C1，32， 所以 vmax＝32，所以xy的最大值为32.
编辑版pppt
27
归纳升华 非线性目标函数最值问题的求解方法
(1)解析：如图所示，
编辑版pppt
32
2x－y－2≥0， x＋2y－1≥0，所表示的 3x＋y－8≤0，
平面区域为图中的阴影部分．
x＋2y－1＝0，
由
得 A(3，－1)
3x＋y－8＝0，
当 M 点与 A 重合时，OM 的斜率最小，
编辑版pppt
33
kOM＝－13. 答案：C
编辑版pppt
46
4．求最优解．通过解方程组求出最优解． 5．求最值．求出线性目标函数的最小值或最大值．
知，当直线 y＝－13x＋3z经过 A 点时 z 取最大值．由
2x＋y＝4，
得 A(1，2)，所以 zmax＝1＋2×3＝7. Nhomakorabeax＝1，
编辑版pppt
23
类型 2 求非线性目标函数的最值 x－y－2≤0，
[典例 2] 设实数 x，y 满足约束条件x＋2y－4≥0， 2y－3≤0，
求： (1)x2＋y2 的最小值； (2)xy的最大值．
由
解得 C(2，1)，
3x－y－5＝0，
编辑版pppt
36
所以当 x＝3，y＝4 时， dmax＝(3＋1)2＋(4＋1)2＝41， 当 x＝2，y＝1 时， dmin＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13， 即(x＋1)2＋(y＋1)2 的最大值为 41，最小值为 13.
编辑版pppt
37
类型 3 已知目标函数的最值求参数问题 y≥x，
当直线 l 经过可行域内点 C 时，v 最大， 由(1)知 C1，32， 所以 vmax＝32，所以xy的最大值为32.
编辑版pppt
27
归纳升华 非线性目标函数最值问题的求解方法
数学：3.5.2《简单线性规划》课件(新人教B版必修5)
x - y 0 Zmin=2x+y=2x(-1)+(-1)=-3 (1)已知 x y - 1 0 y 1 0
求z=2x+y的最大值和最小值。
x+2y4, （2）在约束条件 x–y 1, 下 x+20 求目标函数z=3x–y的最小值和最大值 zmin=3(–2)–3= –9.
m ax
m in
11
求：
因此当x＝9，y＝8时，zmin＝－3×9＋2×8＝－11. 5 5 当x＝－2，y＝2时，zmax＝－3×(－2)＋2×2＝11.
例2.某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1 kg要用煤9 t，电力4 KW，劳动力(按工作日计算)3个；制造乙产品1 kg 要用煤4 t，电力5 KW，劳动力10个．又知制成甲产品1 kg 可获利7万元，制成乙产品1 kg可获利12万元，现在此工厂只 有煤360 t，电力200 KW，劳动力300个，在这种条件下应生 产甲、乙两种产品各多少千克获得最大经济效益？ 解：设此工厂应分别生产甲、乙产品x kg、y kg，利润z万元，则依 题意可得约束条件：
y
x=1
C
x-4y=-3
A
B
3x+5y=25
o
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件
求ｚ的最大值和最小值。
x-4y≤-3 3x+5y≤25 ， x≥1
y x=1
C x-4y=-3
Ａ
B
3x+5y=25
o
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 求ｚ的最大值和最小值。
x-4y≤-3 3x+5y≤25， x≥1
x－y－2＝0， 3 2 2 71 3 (2)求z＝x ∴t＝ 远．联立 ， ＋y 的最值．∴t＝，2 得C 24， 2 2y－3＝0，
《简单线性规划》PPT课件
y x
的
x、y
满足约束条件
x
y
1
y 1
x y5
2、 图中阴影部分的点满足不等式组 2 x y 6
在这些点中，使目标函数
k
=
6x
+
8y
x
0,
y
0
取得最大值的点的坐标是__(_0__,_5__)__
2、某木器厂生产圆桌和衣柜两种木料，第一 种有 72 米 3，第二种有 56 米 3，假设生产 每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌和 一个衣柜分别所需要木料如表所示，每生产一 张圆桌可获利润6元，生产一个衣柜可获利润 10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣 柜各生产多少，才使获得的利润最多？
y值 y=x
1
1
o
x
－1
x + y －1 = 0
y x
x
y
1
y 1
x 3 0
2x-y+1=0 y
1
1/2
1
o
x
x+y-1=0
y
2x-3y+2=0
2/3
-1 -1o/2
3
x
例3、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮 甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨； 生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸 盐15吨.现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨.如果在此基 础上进行生产，设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，请列出满足生产条件的数学关系式，并 画出相应的平面区域.
解：x和y所满足的数学关系式为：
y
4 x y 10
4x+y=10
18 x 15 y 66
线性规划PPT优秀课件
y
1
x+y-1>0
1
O
x+y-1<0 x+y-1=0
x
复习二元一次不等式表示平面区域的范例 例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。 y
6
注意：把直
线画成虚线以 表示区域不包 括边界
O
2x+y-6=0
3
x
复习二元一次不等式表示平面区域的范例 y
5Hale Waihona Puke 例2 画出不等式组 x+y=0
x y 5 0 x y 0 x 3
探索结论
复习判断二元一次不等式表示哪一 侧平面区域的方法
由于对在直线ax+by+c=0同 一侧所有点(x，y)，把它的坐标 (x，y)代入ax+by+c，所得的实 数的符号都相同，故只需在这条 直线的某一侧取一特殊点(x0，y0) 以ax0+by0+c的正负的情况便可 判断ax+by+c>0表示这一直线 哪一侧的平面区域，特殊地，当 c≠0时常把原点作为此特殊点
可行域
(5,2)
(1,1)
线性规划
例1 解下列线性规划问题： 求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下 列条件： 2x+y=0 y
解线性规划问题的一般步骤：
2x+y=-3 y x 1 1 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； C( , ) 2 2 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点； x y 1 O y 1 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数 B(2,-1) 2x+y=3
x-y=7 C(3,6) y=6
3.4.2《简单线性规划》课件(北师大版必修5)
所以 zmin＝4＋3＝7.
x＋3y≥12 线性约束条件x＋y≤10 3x＋y≥12 最小值．
下， z＝2x－y 的最大值和 求
• 先画出可行域，利用直线z＝2x－y的平移来
寻求最优解，最先或最后通过的可行域顶点 坐标即为最优解，它可以使目标函数取得最 大值或最小值．
[解题过程] 如图作出线性约 x＋3y≥12 束条件 x＋y≤10 3x＋y≥12
2 3 ＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，求a＋b的最小值．
解析： 不等式组表示的平面区域如图 所示阴影部分． 作直线l：ax＋by＝0(a＞0，b＞0)向 上平移直线l，目标函数z＝ax＋by(a＞0， b＞0)的值随之增大．由图可知当直线l过 直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点A(4,6)时，目标函 数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值为12，
1 1－－2
7 2 7 kQA＝ ＝ ＝ . 1－－1 2 4
3 7 故z＝2k∈4，2.
1 3－－2
y－b [题后感悟] 若目标函数为形如z＝ ，可考虑(a，b) x－a 与(x，y)两点连线的斜率． 若目标函数为形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考虑(x，y)与 (a，b)两点距离的平方．
x－y－2＝0， 2y－3＝0，
得C
7 3 ， 2 2
7 3 ，所以当x＝ 2 ，y＝ 2
7 3 29 2 ＋ 2＝ . 时，目标函数z取最大值，zmax＝ 2 2 2
3 13 综上，当x＝1，y＝2时，z的最小值为 4 . 7 3 29 当x＝2，y＝2时，z的最大值为 2 .
• [题后感悟] 这是一道线性规划的逆向思维
问题．解答此类问题必须明确线性目标函 数的最值一般在可行域的顶点或边界取得， 运用数形结合的思想方法求解．边界直线 斜率与目标函数斜率间的关系往往是解题 的关键．
北师大版高中数学必修5课件3.4简单线性规划课件(数学北师大版必修5)
平面内的一个点的坐标唯一确定。
2 z y x 3 3 与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1） 可以看到，直线 ，而且当截 z 2 z y x 3 3 与不等式组（1） 距 3 最大时，z 取得最大值。因此，问题可以转化为当直线 z 确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点 P，使直线经过点 P 时截距 3 最大。
又由
75 19 知 x 可取1, 2,3 ，
y 2 ， ∴ x y 1 ；
当 x 1 时，代入原不等式组得 当 x 2 时，得 当 x 3 时，
y 0 或 1 ， ∴ x y 2 或1 ；
， ∴
y 1
x y 2
，
x 2 x 3 y 1 ． y 0 x y 故 的最大整数解为 或
，求使
x y
取最大值的整数
x, y
．
解： 不等式组的解集为三直线 1 ：
l
2 x y 3 0 l2 2 x 3 y 6 0 l3 3x 5 y 15 0 ， ： ， ：
l2 与 3 交点分别为 所围成的三角形内部 （不含边界） ， 设 1 与 l2 ， 1 与 3 ，
z 2 3 3 8 30 所以 z min 2 (3) 3 (4) 18 ， max
（2）作直线 减 小， 即
l0 : 4x 3 y 0
/ z ，把直线向下平移时，所对应的 4 x 3 y 的函数值随之
z 4 x 3 y 24 的 函 数 值 随 之 减 小 ， 当 直 线 经 过 可 行 域 顶 点 C 时 ，
2 z 2 z y x z 2x 3 y 3 3 ，这是斜率为 3 ，在 y 轴上的截距为 3 的直线。当 z 把 变形为
2 z y x 3 3 与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1） 可以看到，直线 ，而且当截 z 2 z y x 3 3 与不等式组（1） 距 3 最大时，z 取得最大值。因此，问题可以转化为当直线 z 确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点 P，使直线经过点 P 时截距 3 最大。
又由
75 19 知 x 可取1, 2,3 ，
y 2 ， ∴ x y 1 ；
当 x 1 时，代入原不等式组得 当 x 2 时，得 当 x 3 时，
y 0 或 1 ， ∴ x y 2 或1 ；
， ∴
y 1
x y 2
，
x 2 x 3 y 1 ． y 0 x y 故 的最大整数解为 或
，求使
x y
取最大值的整数
x, y
．
解： 不等式组的解集为三直线 1 ：
l
2 x y 3 0 l2 2 x 3 y 6 0 l3 3x 5 y 15 0 ， ： ， ：
l2 与 3 交点分别为 所围成的三角形内部 （不含边界） ， 设 1 与 l2 ， 1 与 3 ，
z 2 3 3 8 30 所以 z min 2 (3) 3 (4) 18 ， max
（2）作直线 减 小， 即
l0 : 4x 3 y 0
/ z ，把直线向下平移时，所对应的 4 x 3 y 的函数值随之
z 4 x 3 y 24 的 函 数 值 随 之 减 小 ， 当 直 线 经 过 可 行 域 顶 点 C 时 ，
2 z 2 z y x z 2x 3 y 3 3 ，这是斜率为 3 ，在 y 轴上的截距为 3 的直线。当 z 把 变形为
省级优课数学《简单线性规划》上课课件
练习2：在约束条件
x y 3 x y 1 x 0 y 0
可行域如图所示
y
B
下，则目标函数z ＝ x - 2y（ C ）
A (1,2)
A 有最小值-3，最大值3； B 有最小值-3，没有最大值； C 有最大值-3，没有最小值； D 以上说法都不对。
0
x-y= -1
x
x+y=3
请同学们相互讨论交流： 1．本节课你学习到了哪些知识？ 2．本节课渗透了些什么数学思想方法？
甲
80
1
3
乙
40
1
1
(1)设电视台每周应播映连续剧甲x次，连续剧乙y次， 列出变量x，y满足的不等式组;
(2)如果你是电视台的制片人，电视台每周应播映两套
连续剧各多少次，才能使得收视观众最多？
y
解:(2)设收视观众为z百万人，8
则：z 3x y
7
6
2x y 8
5
满足
x x
y 0
6
4 3
y 0
C
x+2=0
简单线性规划问题的方法步骤：
方法：图解法（数形结合法）
步骤：
（1）作 ——作出可行域和直线 l0 ：ax+by=0 ；
（2）找 ——平行移动直线l0 ，在可行域内确定
最优解的位置；
（3）求 ——解有关方程组求出最优解，将最优 解代入目标函数求最值；
练习1：在约束条件
x 2y 4 x y 1 x 2 0
练习1：在约束条件
x 2y 4 x y 1 x 2 0
可行域如图所示
y
（-2，3）A
-2x+y=0 x-y=1
下，求目标函数z ＝ -2x＋y 的最大值和最小值。
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所以(2x－y)min＝2×(－1)－2＝－4. 答案：－4
类型 1 求线性目标函数的最值 [典例 1] 已知实数 x，y 满足不等式组：
2x－y＋2≥0， 2x＋3y－6≤0.
(1)求 w＝x＋2y 的最大值； (2)求 z＝x－y 的最小值．
解：作出不等式组表示的平面区域(即可行线)．
作出可行域． 1 z 1 z 把目标函数化为 y＝－ x＋ ，显然只有 y＝－ x＋ 5 5 5 5 在 y 轴上的截距最大时 z 值最大，根据图形，目标函数在 y＝mx， 点 A 处取得最大值，由 x＋y＝1，
1 m 1 5m ， 得 A ， 代入目标函数， 即 ＋ ＝ 1＋m 1＋m 1＋m 1＋m
________ 值问题 ．
满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解 4． 可行解： ___________________________________ ．
由所有可行解组成的集合叫可行域 5．可行域：________________________________ ．
使目标函数取得最大或最小值的可行解 6． 最优解： ____________________________________
1 2 1 ＝ . 2 2 1 答案： 2
5．若点(x，y)位于曲线 y＝|x－1|与 y＝2 所围成的封 闭区域，则 2x－y 的最小值为________． 解析：如图所示，阴影部分为封闭区域，作直线 2x － y ＝ 0 ，并向左上平移，过点 A 时， 2x － y 最小，由 y＝2， y＝|x－1|（x＜1）， 得 A(－1，2)．
当 y＝2x 经过且只经过 x＋y－3＝0 和 x＝m 的交点 时，m 取到最大值，此时，即(m，2m)在直线 x＋y－3＝0 上，则 m＝1. 答案：B
y≤1， 4. 已知实数 x，y 满足x≤1， 则 z＝x2＋y2 的最 x＋y≥1， 小值为________．
解析：实数 x，y 满足的可行域如图中阴影部分所示， 则 z 的最小值为原点到直线 AB 的距离的平方，故 zmin＝
1 1 A．2 B．1 C．－ D．－ 3 2
2x＋y－5≥0， (2)已知3x－y－5≤0，求(x＋1)2＋(y＋1)2 的最大、 x－2y＋5≥0， 最小值． (1)解析：如图所示，
2x－y－2≥0， x＋2y－1≥0，所表示的 3x＋y－8≤0， 平面区域为图中的阴影部分． x＋2y－1＝0， 由 得 A(3，－1) 3x＋y－8＝0， 当 M 点与 A 重合时，OM 的斜率最小，
所以当 x＝3，y＝4 时， dmax＝(3＋1)2＋(4＋1)2＝41， 当 x＝2，y＝1 时， dmin＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13， 即(x＋1)2＋(y＋1)2 的最大值为 41，最小值为 13.
类型 3 已知目标函数的最值求参数问题 y≥x， [典例 3] 设 m＞1，在约束条件y≤mx，下，目标 x＋y≤1 函数 z＝x＋5y 的最大值为 4，则 m 的值为________． 解析：
1 kOM＝－ . 3 答案：C
(2)解：作出可行域，如图所示，
设 d＝(x＋1)2＋(y＋1)2，则它表示可行域内的点与定 点 E(－1，－1)的距离的平方．由图可知，点 C 到定点 E 的距离最小，点 B 到定点 E 的距离最大． x－2y＋5＝0， 由 解得 B(3，4)， 3x－y－5＝0， 2x＋y－5＝0， 由 解得 C(2，1)， 3x－y－5＝0，
解析：(1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域， 不一定是封闭的．(2)错误．在线性约束条件下，最优解 可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解， 故该说法错误．(3)正确．满足线性约束条件的解称为可 行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或 最小值的可行解， 才是最优解， 所以最优解一定是可行解．
4 8 即5，5，
x＋2y－4＝0， 3 又由 得 C1，2， 2 y － 3 ＝ 0 ， 所以垂足在线段 AC 的延长线上， 故可行域内的点到 原点的距离的最小值为|OC|＝ 13 所以，x ＋y 的最小值为 . 4
2 2
32 1＋2 ＝
类型 2 求非线性目标函数的最值 x－y－2≤0， [典例 2] 设实数 x， y 满足约束条件x＋2y－4≥0， 2y－3≤0， 求： (1)x2＋y2 的最小值； y (2)x的最大值．
解：如图，画出不等式组表示的平面区域 ABC.
(1)令 u＝x2＋y2， 其几何意义是可行域 ABC 内任一点 (x，y)与原点的距离的平方．过原点向直线 x＋2y－4＝0 x＋2y－4＝0， 作垂线 y＝2x，则垂足为 的解， y＝2x
归纳升华 非线性目标函数最值问题的求解方法 (1)解非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性 目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到 直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结 合知识解题，能起到事半功倍的效果．
(2)常见代数式的几何意义主要有： ① x2＋y2表示点(x，y)与原点(0，0)的距离； （x－a）2＋（y－b）2表示点(x，y)与点(a，b)的距 离．
简单的线性规划
[学习目标] 1.了解线性规划的意义，了解线性约束 条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概 念． 2.掌握线性规划问题的图解法，会用图解法求线性 目标函数的最大值、最小值． 3.训练数形结合、化归等 数学思想，培养和发展数学应用意识．
[知识提炼· 梳理] 1．约性约束条件：
)
(2)已知变量 x，y
0≤x＋y≤4， 满足约束条件 若目 －2≤x－y≤2.
标函数 z＝ax＋y(其中 a＞0)仅在点(3，1)处取得最大值， 求 a 的取值范围．
解析：(1)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部 分所示)．易知直线 z＝2x＋y 过交点 A 时，z 取最小值，
y－ b y ②x表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率； 表示 x－a 点(x，y)与点(a，b)连线的斜率，这些代数式的几何意义 能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．
[变式训练] (1)在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不 2x－y－2≥0， 等式组x＋2y－1≥0， 所表示的区域上一动点，则直线 3x＋y－8≤0， OM 斜率的最小值为( )
Байду номын сангаас
)
所对应的 z＝x－y 的函数值随之增大，当直线 l 经过 可行域的顶点 M 时，z＝x－y 取得最大值．顶点 M 是直 x＋y＝1， 线 x＋y＝1 与直线 y＝0 的交点，解方程组 得 y＝0， 顶点 M 的坐标为(1，0)，代入 z＝x－y，得 zmax＝1. 答案：B
3 ．若直线 y ＝ 2x 上存在点 (x ， y) 满足约束条件 x＋y－3≤0， x－2y－3≤0，则实数 m 的最大值为( x≥m， 3 A．－1 B．1 C. D．2 2 解析：如图： )
13 ， 2
y (2)令 v＝x，其几何意义是可行域 ABC 内任一点(x， y)与原点相连的直线 l 的斜率，即 v＝ .由图形可知， x－0 y－ 0
当直线 l 经过可行域内点 C 时，v 最大，
3 由(1)知 C1，2，
3 y 3 所以 vmax＝ ，所以 的最大值为 . x 2 2
解简单线性规划问题的基本步骤： 1．画图．画出线性约束条件所表示的平面区域，即 可行域． 2．定线．令 z＝0，得一过原点的直线． 3．平移．在线性目标函数所表示的一组平行线中， 利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或 最小的直线．
归纳升华 解线性规划问题的基本步骤： (1)画：画出线性约束条件所表示的可行域． (2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，用 平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小 的直线．
(3)求：通过解方程组求出最优解． (4)答：根据所求得的最优解得出答案．
[变式训练]
已知实数 x，y 满足约束条件
_______________________ ． 叫线性规划问题的最优解
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)可行域是一个封闭的区域．( ) )
(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的．(
(3) 最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优 解．( ) )
(4)线性规划问题一定存在最优解．(
(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可 行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
x≥0， 2．若y≥0， 则 z＝x－y 的最大值为( x＋y≤1， A．－1 B．1 C．2 D．－2
解析：根据题意作出不等式组所 表示的可行域如图阴影部分所示． 令 z＝0，作直线 l：y－x＝0. 当直线 l 向下平移时，
4，解得 m＝3. 答案：3
归纳升华 根据目标函数的最值求参数的解题思路： 采用数形结 合，先画出可行域，根据目标函数表示的意义，画出目标 函数等于最值的直线，它与相应直线的交点就是最优解， 再将所求出的最优解代入含有参数的约束条件， 即可求出 参数的值或范围．
[ 变式训练 ] (1) 已知 a ＞ 0 ， x ， y 满足约束条件 x≥1， x＋y≤3， 若 z＝2x＋y 的最小值为 1，则 a＝( y≥a（x－3）. 1 1 A. B. C．1 D．2 4 2
由关于x，y的一次不等式形成的约束条件 ________________________________________ ．
2．线性目标函数：
由关于两个变量x，y一次式形成的函数． ______________________________________
3．线性规划问题：
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小 ___________________________________________