奈维-斯托克斯知识点讲解
高等工程流体力学-纳维—斯托克斯方程的解
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
29
第六节 沿有吹吸作用的壁面上的流动
一、沿均匀抽吸的平面上的定常流动
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第六节 沿有吹吸作用的壁面上的流动
一、沿均匀抽吸的平面上的定常流动 如图3-16所示，流体以速度U平行流过一
无限长的多孔平壁面，由于流体黏性的作用， 在近壁面区域形成了较大速度梯度的薄层。
由实验数据拟合所得的经验公式如下
此式的C误D 差 在R24e± 110%6 R之e 间 0。.4,
0 Re 2 105
（3-34a）
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
21
第四节 低雷诺数流动
二、滑动轴承内的流动 （略）
（参见吴望一书§9.11）
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第五节 楔形区域的流动
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
3
第三节 平行非定常流动
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
4
第三节 平行非定常流动
得其运动方程为
vx 2vx
t
y 2
（3-20）
， 定解条件为 作无量纲变换
t 0, y 0 : vx 0
t 0, y 0 :
vx
U0
（3-21）
y : vx =0
y ， 2 t
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
2
第三节 平行非定常流动
一、突然加速平板引起的流动 设有一无限长、无限宽的平板，平板上
部充满黏性不可压缩流体。平板在某一时刻 突然由静止启动，并沿其自身平面加速至某 一固定速度U0，从而带动其周围原来静止的 流体流动。该问题为斯托克斯第一问题，由 斯托克斯解得，取直角坐标系，如图3-6所示。
纳维斯托克斯方程的解
纳维斯托克斯方程的解纳维斯托克斯方程是描述流体力学中非常重要的方程之一，它用来描述流体的运动和力学性质。
本文将探讨纳维斯托克斯方程的解，并深入讨论其在流体力学领域的应用。
纳维斯托克斯方程最早由法国物理学家克劳德·路易·马里·亨利·纳维-斯托克斯于19世纪中叶提出。
该方程可以被分为连续性方程和动量方程两个部分，分别用来描述质量守恒和运动状态。
下面我们将逐一讨论这两个方程。
连续性方程描述了流体在输运过程中质量的守恒。
它可以用数学形式表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是速度矢量。
这个方程表明，质量在时间和空间中的变化率等于质量流入和流出的速率之和。
这个方程的解可以提供关于流体密度和速度之间的关系。
动量方程是纳维斯托克斯方程的另一个重要部分，它描述了流体在运动过程中所受到的力和加速度之间的关系。
动量方程的数学表达式如下：ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + ∇·τ + ρg在这个方程中，p代表压力，τ代表应力张量，g代表重力加速度。
这个方程说明了，流体在受力作用下会发生加速度的变化。
动量方程的解可以提供关于流体速度和流体力学性质之间的关系。
纳维斯托克斯方程的解可以通过不同的方法获得，其中一种常用的方法是使用数值模拟。
数值模拟可以通过离散化流体域，将连续的方程转化为离散的代数方程组，然后利用数值计算方法求解。
这种方法能够提供流体在空间和时间上的具体分布情况。
除了数值模拟方法，还有一些解纳维斯托克斯方程的经典解析解。
这些解析解可以应用于一些特定的问题，例如理想流体、层流和定常流动等特殊情况。
纳维斯托克斯方程的解在流体力学领域有着广泛的应用。
例如，在气象学中，这些方程可以用来预测大气运动和天气变化。
在工程领域，纳维斯托克斯方程的解可以用于设计各种输送管道和流体机械。
此外，纳维斯托克斯方程的解还可以应用于生物医学领域，用于模拟人体内部的血液和气体运动。
【精编】第三章 纳维-斯托克斯方程组
本章讨论的精确解包括两大类。第一类是解析 解，即未知函数完全由自变量解析地描述，且 描述关系中不再包含导数或积分号。第二类是 相似解，它在二维（包括轴对称）问题时可以 化成一维问题，即可由常微分方程（组）的解 表示。在所得出的这些常微分方程（组）中， 有些至今未找到解析解，而只有数值解。由于 这些常微分方程（组）具有通用性，其数值解 也有通用性，故常列表给出。
越努力越幸运
1.二维泊肃叶流动
设上下直壁具有恒温Tw , 则应有如下边界条件(参看图3.1.1) y h. T Tw 对于平行流动, v 0, 则由式(2.3.4b)可知, 这时的耗散函数可 化为很简单的形式 u y 在恒温边界条件式(3.2.1)情况下, 若温度剖面也是完全发 展了的, 则应有 T 0 x
越努力越幸运
于是由不可压纳维 斯托克斯方程(2.2.8)关于y 和z向的分量可得P / y 0和P / z 0, 即压力 函数P只是坐标x和时间t的函数, P P (t , x).由平 行流定义式(3.1.1)可得, 动量方程(2.2.8)关于x向 的分量方程中平流项为零, 于是
越努力越幸运
最大速度 : 1 dP 2 2 1 dP 2 umax (r0 r ) r0 4 dx r 0 4 dx 因此 1 U 0 umax 2 壁面切应力 : 1 dP 4 U 0 du w r0 r0 dr r r0 2 dx 壁面摩擦阻力系数 : 16 Cf 1 U 02 Re 2 越努力越幸运
我们将下壁的绝热温度称为恢复温度并注意上壁处流体的滞止温度为2320386由此可定义温度恢复因子或简称复温因子比较容易看出对于加埃特流由总焓方程式可以看出在这里所讨论的流动条件下流线之间总温的差别取决于流线之间的热传导以及粘性应力对机械能的输运由于的散热作用超过粘性应力输运作功的作用因而底壁滞止温度低于顶壁滞止温度相反则散热作用小于粘性应力作功的作用底壁滞止温度将高于顶壁滞止温度这些讨论也适用于层流和湍流边界层但它们的温度恢复因子不同对于层流边界对于湍流至少对于气38153816praw以上讨论了底壁绝热的情况当底壁温度不等于绝热壁温度时将有通过底壁的热传导利用式和式可得表示热从壁传到流体可见这正是雷诺比拟概念的基础现定义斯坦顿数将它代入式这是由库埃特流动得出的对于更一般的流动假设引入雷诺比拟概念可得几何形状其中为沿流向的量纲一坐标它反映流动的发展过程对于中等压力梯度和常壁温的许多实际情况可有不同的关系对于难以解析分析的许多问题雷诺比拟带来很大的方便例如由式可见若已知则可算出算出壁面导热率383prstec的变化它们分别对应于不同的幂次律对于的气体由图可见粘性系数的不同算法会使高速下的有很大差别所以缺乏高温下准确的粘性系数的数据已忧为
对奈维-斯托克斯方程的分析
对奈维-斯托克斯方程的分析一、方程组的可解性以直角坐标系下的奈维—斯托克斯方程式）（）（zu y u x u x 3z u y u x u x p -X D Du y y x 2x 22x 22x 2x ∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=μμρθρ、 ）（）（z u y u x u y 3z u y u x u y p -Y D Du z y x 2y 22y 22y 2y∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=μμρθρ、 ）（）（zu y u x u z 3z u y u x u z p -Z D Du z y x 2z 22z 22z 2z ∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=μμρθρ、 为例讨论。
对于等温流动（μ=常数），方程中共有5个未知量，ρμμμ、、、、p z y x 。
而方程亦有5个，即连续性方程式0z y x z y x =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂θρρμρμρμ）（）（）（ 和运动方程）（）（zu y u x u x 3z u y u x u x p -X D Du y y x 2x 22x 22x 2x ∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=μμρθρ、 ）（）（z u y u x u y 3z u y u x u y p -Y D Du z y x 2y 22y 22y 2y∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=μμρθρ、 ）（）（zu y u x u z 3z u y u x u z p -Z D Du z y x 2z 22z 22z 2z ∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=μμρθρ 以及流体的状态方程0p f =），（ρ。
因此，原则上讲，奈维—斯托克斯方程是可以直接用数学方法求解的。
但事实上，到目前为止，还无法将奈维—斯托克斯方程的普遍解求出。
其原因是方程组的非线性以及边界条件的复杂性，只有针对某些特定的简单情况才可能求得其解析解。
奈维-斯托克斯知识点
Hefei University《化工传递过程基础》题目：奈维—斯托克斯方程系别：化学材料与工程系班级：12级化工（3）班姓名：唐楠楠学号：1203023002教师：胡坤宏日期：2014-03-26一、基本简介奈维-斯托克斯方程（英文名；Navier-Stokes equations），描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程，简称N-S方程。
是牛顿第二定律在粘性流体运动时的具体表达式。
等式左边是流体微元的加速度和质量之积，右端是作用于其上的合外力，也可将该方程看作是惯性力.重力.压力和粘性力这四种力的平衡。
1821年由C.-L.-M.-H.奈维和1845年由G.G.斯托克斯分别导出而得名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。
这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及重力之间的关系。
这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。
这样，奈维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。
他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。
它们可以用于模拟天气、洋流、管道中的水流、星系中恒星的运动、翼型周围的气流。
它们也可以用于飞行器和车辆的设计、血液循环的研究、电站的设计、污染效应的分析，等等。
Navier Stokes(奈维叶－斯托克斯)方程是流体力学中描述粘性牛顿流体的方程，是目前为止尚未被完全解决的方程，目前只有大约一百多个特解被解出来，是最复杂的方程之一。
二、N-S方程的意义当流体运动时，相邻两流体隔离体之间的相互作用，一方面体现为压力(一般说来，压力这个量依赖于密度和温度)；另一方面体现为粘性力（而粘性力和变形率有关）。
斯托克斯假设应力张量同变形率张量成正比。
在最一般的情形下，用直角坐标系x、y、z和时间t作自变量，这些方程把速度的三个分量u、υ、w 同密度ρ、压力p用下列三个微分方程联系起来：N-S方程相配的固体壁边界条件是紧靠固体壁的流体附着在固体壁上，并和固体壁同速运动，这叫做流体的附着条件.同欧拉方程相比，N-S方程多了同粘性有关的项（包含η和η的项），它们的项数多、阶次高；固体壁边界条件也多，附着条件比欧拉方程的绕流条件（即允许流体沿固体壁滑过去，也就是比允许沿固体壁切面方向，流体有不同于固体壁的分速度）增多了要求。
(完整版)纳维-斯托克斯存在性与光滑性
纳维-斯托克斯存在性与光滑性纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维－斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在2000年提出的7个千禧年大奖难题中的一个问题。
纳维－斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体）的运动。
纳维－斯托克斯方程的解可以用到许多实务应用的领域中。
不过对于纳维－斯托克斯方程解的理论研究仍然不足，尤其纳维－斯托克斯方程的解常会包括紊流。
虽然紊流在科学及工程中非常的重要，不过紊流仍是未解决的物理学问题之一。
许多纳维－斯托克斯方程解的基本性质都尚未被证明。
例如数学家就尚未证明在三维坐标，特定的初始条件下，纳维－斯托克斯方程是否有符合光滑性的解。
也尚未证明若这様的解存在时，其动能有其上下界，这就是“纳维-斯托克斯存在性与光滑性”问题。
由于了解纳维－斯托克斯方程被视为是了解难以捉摸的紊流现象的第一步，克雷数学研究所在2000年5月提供了美金一百万的奖金给第一个提供紊流现象相关资讯的人，而不是给第一个创建紊流理论的人。
基于上述的想法，克雷数学研究所设定了以下具体的数学问题：证明或反证以下的叙述：在三维的空间及时间下，给定一起始的速度场，存在一矢量的速度场及标量的压强场，为纳维－斯托克斯方程的解，其中速度场及压强场需满足光滑及全局定义的特性。
目录• 1 纳维－斯托克斯方程• 2 二种条件：无边界及周期性的空间• 3 在整个空间下问题的说明o 3.1 假设及无穷远处特性o 3.2 在整个空间中的千禧年大奖难题描述• 4 周期性问题的说明o 4.1 假设o 4.2 周期性的千禧年大奖难题描述• 5 部分结果• 6 脚注•7 参考资料•8 外部链接1纳维－斯托克斯方程以数学的观点来看，纳维－斯托克斯方程是一个针对任意维度矢量场的非线性偏微分方程。
在物理及工程的观点看，纳维－斯托克斯方程是一个用连续介质力学描述液体或非稀疏气体运动的方程组。
此方程是以牛顿第二运动定律为基础，考虑一黏滞性牛顿流体的所有受力，包括压强、黏滞力及外界的体积力。
N-S(纳维斯托克斯)方程推导过程
很多人一听到N-S 方程就有点头皮发麻，因为涉及到流体力学的知识比较多，如果没有一个完整有逻辑的思路，理解N-S 方程是有点困难。
其中涉及到欧拉法，场论，随体导数，流体力学连续性方程（即质量守恒方程），流体力学N-S 方程（即动量方程），动量方程在流体力学中有两种，一种是理想流体动量方程，一种是粘性流体动量方程，粘性流体的动量方程也叫纳维-斯托克斯方程，也简称N-S 方程。
我试图想把N-S 方程弄清楚点，所以写了一点东西，分享一下。
首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。
我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。
欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。
设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。
如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。
欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，其中x,y,z 是该空间的坐标，t 是此刻时间。
u,v,w 是这一空间点的三个方向速度。
p,ρ,T 是这一空间点的压力，密度和温度。
这样就有了每一个点的速度，压力，密度，温度，就可以描述运动流体的状态。
这里需要强调一点的是下面这六个式子，可以换一个角度把他们看成方程，对后面理解连续性方程和N-S 方程有帮助，比如u=x+2y+3z),,,();,,,();,,,();,,,();,,,();,,,(t z y x T T t z y x t z y x p p t z y x w w t z y x v v t z y x u u ======ρρ因为后面需要随体导数的概念，还需要把速度函数表示成矢量的形式。
前面u,v,w 是标量，是ν在(x,y,z,t)直角坐标系三个方向的速度。
),(t rνν=M 点（x,y,z,t ），速度为),(t M ν ，过了t ∆之后，在M '点，速度为),(t t M ∆+'ν。
流体力学第六章 边界层理论
流体力学第六章
流体力学第六章
Q
v
uv
u dy
udy U
y x 0 0 x
x 0
而
0
uK1
v y
dy
0
uK1
u x
dy
1 K
2
0
x
uK2dy
1 K
2
x
0
uK2dy
U K2
于是第二个积分
vuKudy
v
0
y K10 y
uK1
dyK1(x10u(dyU uK2)U dyK1UK2)
流体力学第六章
u
u x
v
u y
p x
2u y 2
已知普朗特方程组
p y
0
u x
v y
0
0
uk 1
udy x
0
ukv
udy y
p x
0
uk dy
0
uk
2u y2 dy
积分一
积分二
积分三
其中 (x)
(6 2 1)
流体力学第六章
b(x) a(x)
ddxx(x)dx
x 0
0
uk1
u y
2
dy
uk2dy Uk1
udy
k 1 x 0
k 1 x 0
p x
0
uk
dy
k
0
uk1
u y
2 dy
(6-2-3)
流体力学第六章
uk2dyUk1 udy
k1 x 0
k1x0
px0ukdyk0uk1uy2dy
(6-2-3)
上式为哥路别夫积分方程。
奈维-斯托克斯方程
一、牛顿型流体的运动方程X 分量：)(3)(Du 222222z u y u x u x z u y u x u x p X D z y x x x x x ∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=μμρθρY 分量：)(3)(Du 222222yz u y u x u y z u y u x u y p Y D z y x y y y ∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=μμρθρ Z 分量：)(3)(Du 222222z z u y u x u z z u y u x u z p Z D z y x z z z ∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=μμρθρ将以上3式写成向量形式，为)(31D 2u u u ∙∇∇+∇+∇-=μμρθρp D B f 上式称为牛顿型流体的运动方程，或奈维-斯托克斯方程。
该方程对稳态或非稳态流动、可压缩或不可压缩流体、理想或实际流体均适用。
但需指出，本构方程是针对牛顿型流体而言的，故该方程仅适用于牛顿型流体。
二、对奈维-斯托克斯方程的分析1、方程组的可解性对于等温流动（μ=常数），方程中共有5个未知量，即u x ，u y ，u z ，p ，ρ。
而方程也有5个，原则上讲，奈维-斯托克斯方程是可以直接用数学方法求解的。
但事实上，到目前为止，还无法讲奈维-斯托克斯方程普遍解求出。
其原因是方程的非线性以及边界条件的复杂性，只有针对某些特定的简单情况才可能求得其解析解。
2、初始条件与边界条件对于具体流动问题，在求解运动方程时需给定一定的初始条件及边界条件。
初始条件系指θ=0时，在所考虑的问题中给出下述条件：z)y (x ，，u u =，z)y (x ，，p p =边界条件的形式很多，下面仅列出3种最常见的边界条件。
（1）静止固面：在静止固面上，由于流体具有黏性，u =0（2）运动固面：在运动固面上，流体应满足u 流=u 固（3）自由表面：自由表面指一个流动的液体暴露于气体中的部分界面。
naiver-stokes方程
naiver-stokes方程
Navier-Stokes方程，又称为纳维-斯托克斯方程，是描述流体运动的基本方程之一，也是物理学中的重要方程之一。
它可以被应用于液体和气体的动力学计算，以及其他各种流体运动的描述。
这个方程组包括两个方程，分别是连续性方程和动量守恒方程。
连续性方程描述的是质量守恒，即在任何给定时间和空间内，质量都是不会消失或产生的，而是会被转移和转化。
动量守恒方程描述的是动量的守恒，即质量在运动中的速度和方向的变化。
Navier-Stokes方程被广泛用于描述各种流体运动，包括水流、气流、血液流动等。
它们的应用范围涵盖了从大气科学、海洋学、流体动力学、材料科学和生物学等领域。
在流体动力学领域，Navier-Stokes方程被广泛应用于模拟流体运动，例如，用于计算飞机、船只和汽车的气流运动、水流的运动和其他流体系统的运动。
在材料科学领域，这个方程组可以帮助研究材料的流变性质，以及研究流体的输运性质。
然而，Navier-Stokes方程也存在一些问题。
由于它的复杂性，很难准确地解决这个方程组，所以需要使用一些数值方法来近似解决问题。
这些数值方法需要计算机支持，因此需要计算机的高性能和算法的优化。
此外，Navier-Stokes方程也存在一些数学问题，如方程的解是否存在、是否唯一等等。
Navier-Stokes方程是流体动力学研究中的基本方程之一，可以用于描述各种流体运动，具有广泛的应用领域和重要的理论意义。
虽然存在一些问题，但是随着计算机技术和算法的发展，相信这个方程组会在未来的研究中得到更加深入和广泛的应用。
一个方程的故事——纳维-斯托克斯方程（Navier-StokesEquations）
一个方程的故事——纳维-斯托克斯方程（Navier-StokesEquations）流体力学（Fluid Mechanics）有着非常漫长的历史，最古老的涉及流体力学的人物可能就是古希腊的阿基米德了（Archimedes），大家都知道的阿基米德浮力定理，当时阿基米德在羊皮纸上用希腊语写了论浮力（On Floating Bodies）的文章并流传至今。
但是在很长时间里流体力学并不被当作一门独立的学科，直到1687年牛顿（Isaac Newton）在其划时代的巨著《自然哲学的数学原理》（Philosophiae Naturalis Principia Mathematica）之后流体力学才真正走上历史舞台。
在书中除了著名的牛顿三大定理以外，牛顿还提到流体力学相关的内容，他写到：对于平直的均匀流体，流体层与层之间的剪应力正比于垂直流体方向上的速度梯度。
阿基米德的手稿牛顿的《自然哲学的数学原理》除了阿基米德和牛顿以外，在流体力学的发展历程中，做出贡献的人物可以说是阵容豪华，比如非粘性流体（Inviscid flow）数学分析涉及的人物有欧拉（Leonhard Euler）, 达朗贝尔（Jean le Rond d'Alembert），拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）, 拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）, 泊松（Siméon Denis Poisson）；非粘性流体的数学分析涉及的人物有高斯（Guass），泊松，圣维南（Saint-Venant）等等，其它在流体力学中涉及湍流/紊流，粘性/非粘性的推动者有雷诺（Osborne Reynolds），泰勒（Geoffrey Ingram Taylor）等等。
而对这些理论归纳整理的两位科学家就是纳维尔（Claude-Louis Navier）和斯托克斯（George Gabriel Stokes），当今有名的纳维尔-斯托克斯方程组(Navier-Stokes Equations)就是以他们俩的名字命名的，也是今天要讲的主题。
纳维-斯托克斯方程
牛顿流体： zx
v x z
yx
v x y
xx
v x x
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⑶ 作用力的总和
z
x方向：PA x方向合压力为 x方向的总压力为
PB
PA
P x
dx
PA
P
A
PA PB x dx
y
P dx dy dz x
ax
2vx x 2
2vx y2
2vx z 2
P x
gx
ay
2vy x 2
2vy y2
2vy z 2
P y
gy
az
2vz x 2
2vz y2
2vz z 2
P z
gz
惯
压重
性 力
黏性力
力力
流体在运动中以作用力及动量形式表现能量平衡 关系是统一的
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
1.动量平衡的定义
流体在流动过程中遵守能量守恒定律，称为能量平衡
作用力形式 动量形式
根据牛顿第二定律：
F ma mdv d
F 0，静止，静力平衡 F 0，运动，动力平衡
作用力的合力 = 单位时间内动量的变化量
⒋ 动量平衡方程的推导
建立方法 元体分析法
建立依据 牛顿第二定律分析法
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
Y
气溶胶力学第二章(含原第三章)
（2－7）
引进流函数
1 vr 2 r sin 1 v r sin r
（2－8）
利用斯托克斯算符：
2 sin 1 D 2 2 ( ) r r sin
（2－9）
式（2-7）中的前两个方程可表为：
(1)
斯托克斯(Stokes)区 Re≤1 CS =24／Re (2.32)
代人式(2.30)，得著名的斯托克斯阻力公式
f 3d p
(2)艾伦(AlIen)区
(2.33)
l< Re≤500 =10.6／Re ½ (2.34) CS
(3)牛顿区
CS
500< Re <2×105 =0. 44 (2.35)
f n(n 1)r
n 2
所以
所以
n(n 1)r
n 2
2r
n 2
0
解该式得 n=-1 ,n=2
f Ar Br
2
1
带入式（2-13）得
2 B 2 F 2 F Ar r r
同理
A 4 1 D 2 F (r ) r Br Cr 10 2 r
图 2-2 物体上所受阻力
由（2-22）式
Px P(r , ) cos ds
s
0
3 v0 ( P cos ) cos sin 2a 2 d 2 a
2 0
3v0 a sin cos d 2av0
由式（2-23）
Fx r sin ds
（2-20） （2-21）
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导ppt课件
粘性流体动力学基础
本构方程及N-S方程
李连侠
水力学与山区河流开发保护国家重点实验室 2009年4月
1
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
内容提要
• 流体运动分析及理想流体基本方程 • 真实流体受力分析 • 利用张量理论推导本构方程和粘性流体力学基本方程
2
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
1
3
g
x
Dvy Dt
fy
1
p y
2 y
x2
2 y
y 2
2 y
z 2
1
3
r
g
y
r
Dvz Dt
fz
1
p z
2z
x2
2z
y2
2z
z 2
1
3
g
z
矢量形式：
r Dv
ur f
1
p
r
2
1(gr )
Dt
3
28
本构方程和NS方程
粘性流体动适力学用基于础 牛顿流体
不可压缩流体的N－S方程： const
dx
vx
vx
x
dx
dydz
x
y
微元体及其表面的质量通量
＝
微元体内的 质量变化率
9
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
1、x方向：dt时间内沿从六面体 x 处与 x+dx 处输入与输出的
质量差：
vx
dydzdt
vx
(vx
x
)
dx
dydzdt
(vx
x
)
dxdydzdt
不可压纳维-斯托克斯方程的解析解
不可压纳维-斯托克斯方程的解析解粘度为μ，密度为ρ的不可压缩牛顿流体，受静水压力p和加速度g的作用，其运动可以描述为满足纳维尔（叶）－斯托克斯（Navier-Stokes）方程的速度矢量场V：我们用复数形式来表示这一个方程，因为它以向量的形式表示了三个方程这些方程式是以克劳德-路易·纳维尔和乔治·斯托克斯爵士的名字命名的。
纳维尔-斯托克斯方程方程是一个微分方程，它对空间中每一点的无限小流体的速度V施加规则。
结果可以解释为浸没在流体中的测试粒子的运动或流体本身的运动。
假设V的x，y，z分量分别为u，v，w。
单位向量在x，y和z方向将被写成x，y和z。
如果你上过一些基础的物理或微积分课程，你可能会认识算子，并理解标量函数的拉普拉斯函数f和向量函数的散度F。
在纳维尔-斯托克斯方程中有两个向量微分算子，你们可能不熟悉。
第一个是矢量拉普拉斯运算符V，第二个是运算符(V)V。
幸运的是，我们很容易理解这些运算符的含义。
拉普拉斯向量对向量函数的每个标量分量应用拉普拉斯算子：流体的基本物理学变形是使一个物质体的所有组成粒子发生位移的过程。
这里，我们感兴趣的是连续变形。
在这种变形中，物质体不会被分离成不相交的部分。
在这种变形之前，粒子之间的距离是无穷小的，在变形之后，粒子之间的距离仍然是无穷小的。
物体的变形是由表面的应力引起的，表面应力有两种类型。
正应力的方向垂直于表面，剪应力的方向平行于表面。
应力等于力除以面积。
流体被定义为不能抵抗剪应力的物质体。
只要对某一流体体施加剪应力，该流体就会不断地变形。
这就引出了流体的流行定义，即流体总是以其容器的形状存在。
牛顿体是一种变形的变化率与应力成线性关系的流体。
在上面的例子中，“容器”只是一个平坦的表面，水体开始是一个立方体。
由于重力，在顶部和底部存在法向应力，还有来自台面的法向力和由重力引起的侧面剪应力。
流体无法抵抗剪应力，因此为了达到平衡，它将通过使其侧边尽可能小来消除剪应力。
NS方程讲解实用
黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokesequations）1.动量平衡的定义流体在流动过程中恪守能量守恒定律，称为能量平衡作使劲形式动量形式依照牛顿第二定律：F ，静止，静力平衡mdv 0FmaF ，运动，动力平衡d 0作使劲的协力=单位时间内动量的变化量牢固流动系统：[动量传入量][动量传出量]+[系统作使劲的总和]=0动量出入差量不牢固流动系统：[动量传入量][动量传出量]+[系统作使劲的总和]=[动量存储量] 动量出入差量⒉动量传达方式21黏性动量传输对流动量传输dv x vvdy 对流动量传输yx⒊作使劲的形式表面力压力作使劲体积力重力⒋动量平衡方程的推导成立方法元体分析法成立依照牛顿第二定律分析法Y⑴对流动量出入差量在直角坐标系中由于有三个方向的分速度，所以共有九个动量通量。
v x v x v x v y v x v zv y v x v y v y v y v zv z v x v z v y v z v z以v x为准：动量通量v x v x A 动量通量出入差量(v x v x)dx(v x v x)dxv x v x x xxx Bx方向的速度、x方向的动量通量对流动量出入差量为(vxvx)dxdydzx xx同理，以v x为准，y方向、z方向的对流动量出入差量：(v y v x)dxdydz (v z v x)dxdydzy zxy xz以v x为准，元体对流动量出入差量为(vx v x) (v y v x) (vz v x)dxdydz yx z同理，以v y、v z为准，元体对流动量出入差量为v x v y、v z⑵黏性动量出入差量黏性动量通量同样由九个重量组成以v x 为准，C 、D 面上的黏性动量通量为zx C zx D zx Czxdzzzx dz黏性动量通量出入差量zzx dxdydz黏性动量出入差量zyx dxdydzxx dxdydz同理，v x 在y 、x 方向的黏性动量出入差量分别为 yxxxyxzx dxdydzyzz以v x 为准，元体黏性动量出入差量为同理，以v y 、v z 为准的黏性动量出入差量为xy 、z牛顿流体：v x v xv xzxzyxxxyx⑶作使劲的总和zx 方向：P AP AP P B P APdxdxP A BxxP A P BxAPdxx 方向合压力为x 方向的总压力为Pd xdydzxyox同理，y 、z 方向的总压力为xy 、zg x dxdydzg y dxdydz g z dxdydz重力⑷动量存储量单位时间内元体动量的变化量⒌动量平衡方程式x方向y方向z方向(vx)dxdydz(vy)dxdydz(v z)dxdydz将以上式子代入下式，整理得：N-S方程[动量传入量][动量传出量]+[系统作使劲的总和]=[动量存储量]动量收支差简化：⑴const ，牛顿黏性定律⑵const ，连续性方程v xv x v xv yv xv zv x) (2v x 2v x 2v x)pg x( x y z x2 y2 z2 x积累动量出入差量黏性力惹起压力体积力v yv x v yv yv yv zv y(2v y 2v y 2v y)p(x y)x2 y2 z2g y z xv z v z v zv z v z(2v z 2v z 2v z p( v x v y )x2 y2 ) g zx y z z2 x ⒍动量平衡方程的讨论v x v x v x v x 2v x 2v x 2v x P v x v y v zx2 y2 z2 g xx y z x动量存储量对流动量黏性动量压重（1）方程的物理意义：运动的流体能量守恒的表现动量形式作使劲形式vv(,x,y,z)全微分dv v dvdx vdy vdzxyzdv v vv xv v y v v z dxy zv v v xv v a x v yv zyza x v x vxv xvxv yvxv zx y za x2v x2v x2v x Px 2y 2z 2g xx2v y2v y2v yPa y2y 2 z 2g yxya z2v z2v z2v zP x 2y 2z 2g zz惯 压 重 性 力力黏性力力流体在运动中以作使劲及动量形式表现能量平衡关系是一致的⑵适用条件黏性流体、不牢固流动、不可以压缩流体(元体范围内)、层流流动理想流体：没有黏性的流体简化：①0时，N-S方程简化为欧拉方程v0②牢固流动，③单位质量流体适用条件理想流体、牢固流动、不可以压缩流体(元体范围内)流动微分方程的应用求解步骤(1)依照问题特点对一般形式的运动方程进行(2)提出有关的初始条件和界线条件。
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Hefei University《化工传递过程基础》题目：奈维—斯托克斯方程系别：化学材料与工程系班级：12级化工（3）班姓名：唐楠楠学号：1203023002教师：胡坤宏日期：2014-03-26一、基本简介奈维-斯托克斯方程（英文名；Navier-Stokes equations），描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程，简称N-S方程。
是牛顿第二定律在粘性流体运动时的具体表达式。
等式左边是流体微元的加速度和质量之积，右端是作用于其上的合外力，也可将该方程看作是惯性力.重力.压力和粘性力这四种力的平衡。
1821年由C.-L.-M.-H.奈维和1845年由G.G.斯托克斯分别导出而得名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。
这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及重力之间的关系。
这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。
这样，奈维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。
他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。
它们可以用于模拟天气、洋流、管道中的水流、星系中恒星的运动、翼型周围的气流。
它们也可以用于飞行器和车辆的设计、血液循环的研究、电站的设计、污染效应的分析，等等。
Navier Stokes(奈维叶－斯托克斯)方程是流体力学中描述粘性牛顿流体的方程，是目前为止尚未被完全解决的方程，目前只有大约一百多个特解被解出来，是最复杂的方程之一。
二、N-S方程的意义当流体运动时，相邻两流体隔离体之间的相互作用，一方面体现为压力(一般说来，压力这个量依赖于密度和温度)；另一方面体现为粘性力（而粘性力和变形率有关）。
斯托克斯假设应力张量同变形率张量成正比。
在最一般的情形下，用直角坐标系x、y、z和时间t作自变量，这些方程把速度的三个分量u、υ、w 同密度ρ、压力p用下列三个微分方程联系起来：N-S方程相配的固体壁边界条件是紧靠固体壁的流体附着在固体壁上，并和固体壁同速运动，这叫做流体的附着条件.同欧拉方程相比，N-S方程多了同粘性有关的项（包含η和η的项），它们的项数多、阶次高；固体壁边界条件也多，附着条件比欧拉方程的绕流条件（即允许流体沿固体壁滑过去，也就是比允许沿固体壁切面方向，流体有不同于固体壁的分速度）增多了要求。
可见解 N-S方程比解欧拉方程难得多。
用位势流理论可以求解欧拉方程，但不用它解N-S方程，关键在于满足不了附着条件。
在很多情形下，流线型物体的边界层的厚度可以不计（或者是把它理解成固体壁的加厚），边界层以外的粘性力（粘度小、变形率也小）也可以不计(见雷诺数)，那就相当于在纳维-斯托克斯方程中置η=η'=0，使N-S 方程就变成了欧拉方程。
方程简化了，固体壁处的条件也就松了，即可将绕流条件代替附着条件。
纳维- 斯托克斯方程同欧拉方程的上述关系（包括边界条件），说明了在流体力学中不同形式的基本运动方程之间的逻辑上的和谐一致.从1845年纳维-斯托克斯方程建立起，准确满足这方程的有实际意义的解还不多。
在此基础上导出适用于可压缩流体的奈维-斯托克斯方程。
以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解。
奈维-斯托克斯方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。
它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，在求解思路或技术没有进一步发展和突破前只有在某些十分简单的流动问题上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解。
例如当雷诺数时，绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中粘性项可以忽略，奈维-斯托克斯方程简化为理想流动中的欧拉方程；而在边界层内，奈维-斯托克斯方程又可简化为边界层方程，等等。
在计算机问世和迅速发展以后，奈维-斯托克斯方程的数值求解才有了很大的发展。
三、对N-S 的基本假设在解释奈维-斯托克斯方程的具体细节之前，我们必须对流体作出几个必要的假设。
第一个假设就是流体要连续的，这强调它不包含形成内部的空隙，例如：溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。
而另一个必要的假设则是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强P 、速度v 、密度、温度Q 等等。
该方程从质量、动量和能量的守恒的基本原理导出。
对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。
该控制体积可以在空间中固定也可能随着流体运动。
四、用应力表示的运动方程X 方向上以应力表示的力-动量衡算方程zy x X D Du zx yx xx x ∂∂+∂∂+∂∂+=τττρθρ (1-1a) Y 方向上以应力表示的力-动量衡算方程zy x Y D Du zy yy xy y ∂∂+∂∂+∂∂+=τττρθρ (1-1b) Z 方向上以应力表示的力-动量衡算方程zy x Z D Du zz yz xz z ∂∂+∂∂+∂∂+=τττρθρ (1-1c) 上式称为以应力表示的粘性流体的运动方程，它是进一步推倒奈维-斯托克斯方程的基础，在式（1-1a ）~（1-1c ）中，共有9个表面应力。
其中3个是法向应力，即zz τττ、、yy xx ；6个是剪应力，即zy yz xz zx ττττττ、、、、、yx xy 。
这6个剪应力变量彼此并非相互独立的。
五、牛顿型流体的运动方程X 分量)(3)(222222zu y u x u x z u y u x u x p X D Du z y x x x x x ∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=μμρθρ （1-2a ） Y 分量)(3)(222222z u y u x u y z u y u x u y p Y D Du z y x y y y y∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=μμρθρ （1-2b ） Z 分量)(3)(222222zu y u x u z z u y u x u z p Z D Du z y x z z z z ∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=μμρθρ （1-2c ） 将以上三式写成向量形式，为)(312u u p f D Du B ∇∇+∇+∇-=μμρθρ （1-2d ）上式（1-2a ）~（1-2d ）称为牛顿型流体的运动方程，或奈维—斯托克斯方程。
该方程对稳态或非稳态流动、可压缩或不可压缩流体、理想或实际流体均适用。
但需指出，本构方程是针对牛顿型流体而言的，故该方程仅适用于牛顿型流体。
对于不可压缩流体，ρ=常数，此时无论是稳态流动还是非稳态流动，连续性方程为0=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u z y x (1-3) 将(1-3)带入奈维—斯托克斯方程有X 分量)(1222222zu y u x u x p X u z u u y u u x u u D Du x x x x x z x y x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=νρθθ (1-4a) Y 分量)(1222222z u y u x u y p Y u z u u y u u x u u D Du y y y yy z y y y x y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=νρθθ (1-4b) Z 分量)(1222222zu y u x u z p Z u z u u y u u x u u D Du z z z z z z z y z x z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=νρθθ (1-4c) 写成向量形式，为u p f D Du B 21∇+∇-=μρθ （1-5） 式中ρμν/=为流体的运动粘度，或称动量扩散系数。
六、奈维—斯托克斯方程的分析（一）方程组的可解性以直角坐标系下的奈维-斯托克斯方程式（1-2a ）~（1-2c ）为例讨论，对于等温流动（0=μ），方程中共有5个未知量，即ρ、、、、p u x z y u u 。
而方程亦有5个，三个方向的N-S 方程，连续性方程及（1-2a ）~（1-2c ），以及流体的状态方程0),(=p f ρ。
因此，方程是闭合的，只要满足边界条件和初始条件（初始条件仅仅对非稳态传递才需要给出）原则上讲，奈维-斯托克斯方程是可以用数学方法求解的。
但事实上，到目前为止，还无法将奈维-斯托克斯方程的普遍解求出。
其原因是方程组的非线性以及边界条件的复杂性，只有针对某些特定的简单情况才可能求得其解析解。
这也间接的证明了推导该方程时所作的假定是合理的。
（二）初始条件与边界条件对于具体的流体问题，在求解运动方程时给一定的初始及边界条件。
初始条件指0=θ时，在所考虑的问题中给出下述条件：),,(),,,(z y x p p z y x u u ==边界条件的形式很多，下面仅列出3种最常见的边界条件。
1、静止固面：在静止固面上，由于流体具有黏性，u=0。
2、运动固面：在运动固面上，流体应满足u 流=u 固。
3、自由表面：自由表面指一个流动的液体暴露于空气中的部分界面。
在自由表面上应满足0,=-=ij ii p ττ ),,,(z y x j i =上式表明，在自由表面上法向应力分量在数值上等于气体的压力，而剪应力分量等于零。
（三）关于重力项的处理多数实际问题中，其体积力为重力，即奈维-斯托克斯方程中的B f 为单位质量流体的重力g （重力加速度）。
对于不可压缩流体有xp X s ∂∂=ρ1 （1-6a ） yp Y s ∂∂=ρ1 （1-6b ） z p Z s ∂∂=ρ1 （1-6c ） 式中s p 为流体的静压力（static pressure ）。
将以上3式带入（1-4），可得)()(1222222zu y u x u x p p D Du x x x s x ∂∂+∂∂+∂∂+∂-∂-=νρθ （1-7a ） )()(1222222zu y u x u y p p D Du y y y s y ∂∂+∂∂+∂∂+∂-∂-=νρθ （1-7b ） )()(1222222zu y u x u z p p D Du z z z s z ∂∂+∂∂+∂∂+∂-∂-=νρθ （1-7c ） 令s d p p p -= （1-8）式中d p 为流体的动力压力（dynamic pressure ），简称动压力，它是流体流动所需的压力。
将（1-8）带入（1-7），可得)(1222222zu y u x u x p D Du x x x d x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=νρθ （1-8a ） )(1222222zu y u x u y p D Du y y y d y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=νρθ （1-8c ） )(1222222zu y u x u z p D Du z z z d z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=νρθ （1-8c ） 写成向量形式为u p D Du d 21∇+∇-=μρθ （1-9） 式中（1-8）（1-9）是以动压力梯度表示的运动方程,式中不出现重力项。