概率统计(精)
概率统计公式大全(复习重点)
概率统计公式大全(复习重点)概率统计公式大全（复习重点）在学习概率统计的过程中，熟练掌握相关的公式是非常关键的。
本文将为大家详细介绍一些常用的概率统计公式，并对其进行简要的说明和应用举例，以便复习和巩固知识。
一、基本概率公式1. 事件的概率计算公式P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率；n(A)表示事件A中有利的结果数；n(S)表示样本空间S中的全部结果数。
例如：从一副扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红心牌的概率。
解：样本空间S中共有52张牌，红心牌有13张，所以 P(红心牌) = 13 / 52 = 1 / 4。
2. 条件概率计算公式P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
例如：某班级男女生分别有30人和40人，从中随机选择一名学生，求选到女生并且是优等生的概率。
解：女生优等生有20人，所以 P(女生且是优等生) = 20 / （30+ 40）= 1 / 7。
二、常用离散型随机变量的数学期望与方差1. 随机变量的数学期望计算公式E(X) = ∑[x * P(X=x)]其中，E(X)表示随机变量X的数学期望；x表示随机变量X的取值；P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
例如：随机变量X的可能取值为1、2、3，对应的概率分别是1/4、1/2、1/4，求X的数学期望。
解：E(X) = 1 * (1/4) + 2 * (1/2) + 3 * (1/4) = 5/2 = 2.5。
2. 随机变量的方差计算公式Var(X) = E((X - E(X))²)其中，Var(X)表示随机变量X的方差；E(X)表示随机变量X的数学期望。
例如：随机变量X的可能取值为1、2、3，对应的概率分别是1/4、1/2、1/4，求X的方差。
解：E(X) = 1 * (1/4) + 2 * (1/2) + 3 * (1/4) = 5/2 = 2.5。
概率统计 第一章 概率论的基础知识
7 (1) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 10 3 (2) P( A B) 1 P( A B) 10 2 (3) P( A B) P( A) P( AB) 5
条件概率
已知事件A发生的条件下，事件B发生 的概率称为A条件下B的条件概率，记 作P(B|A)
27! 3! 9! 9! 9! 50 P( A) N (S ) 203
7 10 10 3 C 27 C 20 C10 18 P( B) N (S ) 203
4、 随机取数问题
例4：从1，2，3，4，5诸数中，任取3个排成自左向右的次序， 求： （1）
A1 “所得三位数是偶数”的概率？ （2） A2 “所得三位数不小于200”的概率？
注
任何事件均对应着样本空间的某个子集.
称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素
例1
定义
E4: 掷一颗骰子，考察可能出现的点数。 S4={1,2,3,4,5,6}; A=“掷出偶数点” B=“掷出大于4的点 ” ={2，4，6} ={5，6} C=“掷出奇数点”={1，3，5}
样本空间的子集称为随机事件。
n n1 nm 2 ! nm 1 !n n1 nm 1 !
n! n1!....nm !
种取法.
1、抽球问题
例1:设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中 任抽2个球，求取到一红一白的概率。
解:设事件A为取到一红一白
N (S ) C
2 5
N ( A) C C
一般地，设A、B是S中的两个事件，则
P( AB) P( B | A) P( A)
称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率
高中数学概率统计(含详细答案)
1．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. (1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ (3)已知y ≥245,z ≥245,求初三年级中女生比男生多的概率. 解：（1）0.192000x= ∴ 380x =（2）初三年级人数为y ＋z ＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500， 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：48500122000⨯= 名 （3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y ，z ）； 由（2）知 500y z += ，且 ,y z N ∈, 基本事件空间包含的基本事件有：（245，255）、（246，254）、（247，253）、……（255，245）共11个事件A 包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个∴ 5()11P A =2.为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查．6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10．把这6名学生的得分看成一个总体． （Ⅰ）求该总体的平均数；（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． 解：（Ⅰ）总体平均数为1(5678910)7.56+++++=． （Ⅱ）设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”． 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(56)，，(57)，，(58)，，(59)，，(510)，，(67)，，(68)，，(69)，，(610)，，(78)，，(79)，，(710)，，(89)，，(810)，，(910)，．共15个基本结果．事件A 包括的基本结果有：(59)，，(510)，，(68)，，(69)，，(610)，，(78)，，(79)，．共有7个基本结果． 所以所求的概率为7()15P A =．3.现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． （Ⅰ）求1A 被选中的概率；（Ⅱ）求1B 和1C 不全被选中的概率．解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，，132()A B C ，，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，， 231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，， 322331332()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“1A 恰被选中”这一事件，则M ={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131132()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}事件M 由6个基本事件组成， 因而61()183P M ==． （Ⅱ）用N 表示“11B C ，不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“11B C ，全被选中”这一事件，由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}，事件N 有3个基本事件组成， 所以31()186P N ==，由对立事件的概率公式得15()1()166P N P N =-=-=．4.某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题.（I ）求全班人数及分数在[)90,80之间的频数；（II ）估计该班的平均分数，并计算频率分布直方图中[)90,80间的矩形的高； （III ）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率.解：（I ）由茎叶图知，分数在[)60,50之间的频数为2，频率为,08.010008.0=⨯ 全班人数为.2508.02= …………3分所以分数在[)90,80之间的频数为42107225=---- …………5分（II ）分数在[)60,50之间的总分为56+58=114；分数在[)70,60之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456；（III ）将[)90,80之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，6，在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为： （1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6） （2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，4），（3，5），（3，6） （4，5），（4，6） （5，6）共15个， …………12分 其中，至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个， …………14分故至少有一份分数在[90，1000]之间的频率是6.0159= …………15分5.袋子中装有编号为b a ,的2个黑球和编号为e d c ,,的3个红球，从中任意摸出2个球。
ChapterOne随机事件及其概率(RandomEventsandProbability)(精)
§1.4 条件概率 (Conditional Probability)
一、 条件概率(Conditional probability) Definition 1.5 设 A, B 是 两 个 事 件 ， 且 P( A) 0 ， 称 A 发生的条件下事件 B 发生的
P( B | A) = P( AB) P( A) 为在事件
8 Y 12 ；若以 ( X , Y ) 表示平面上的点的坐标，则所有基本事件可以 用这平面上的边长为 4 的一个正方形： 8 X 12 ，8 Y 12 内所有
点表示出来。二人能会面的充要条件是 X Y 1 2 （图中阴影部分） ；所 以所求的概率为：
1 1 2 16 2[ （4 ） ] 阴影部分的面积 15 2 2 P 正方形ABCD的面积 16 64 .
（6）对任意两个事件 A, B ，有
P( A B) P( A) P( B) P( AB) .
这条性质可以推广到多个事件。设 A1 , A2 ,, An 是任意 n 个事件，则有
P( A1 A2 An ) P( Ai )
i 1 n 1i j n
4 C 出现的方式有 6 种，剩下的两种只能在 1，2，3，4，
2 8 6，7，8，9 中任取，共有 种取法。故
4 2 C6 8 P(C ) 96
二、 几何概型 (Geometric probability) 如果一个试验具有以下两个特点： （1） 样本空间 S 是一个大小可以计量的几何 区域（如线段、平面、立体） 。 （2） 向区域内任意投一点，落在区域内任意 点处都是“等可能的” 。 那么，事件 A 的概率由下式计算：
§1.2 概率的统计定义
(The Statistic Definition of Probability)
概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 A B 则称事件 B 包含事件 A ，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生A B {x x A或x B} 称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅当 A ，B 中至少有一个发生时，事件 A B 发生A B {x x A且x B} 称为事件 A 与事件 B 的积事件，指当A，B 同时发生时，事件A B 发生A—B {x x A且x B} 称为事件A 与事件 B 的差事件，指当且仅当 A 发生、B 不发生时，事件 A — B 发生A B ，则称事件 A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件 A 与事件 B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的A B S A B ，则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为且对立事件2．运算规则交换律 A B B A A B B A结合律(A B) C A (B C) ( A B)C A(B C)分配律 A （B C）(A B) ( A C)A (B C)(A B)( A C)—徳摩根律 A B A B A B A B§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件 A 发生的次数n称为事件AA 发生的频数，比值n nA 称为事件 A 发生的频率概率：设E是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率1．概率P( A)满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件 A 0 P( A) 1（2）规范性：对于必然事件S P (S) 11（3）可列可加性：设A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，有nn nP A k ) P( A) ( （n可kk 1 k 1以取）2．概率的一些重要性质：（i ）P( ) 0（ii ）若A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，则有n Pn n( （n可以取）A k ) P( A )kk 1 k 1（iii ）设A，B 是两个事件若 A B ，则P(B A) P( B) P( A) ，P( B) P(A) （iv）对于任意事件A，P(A) 1（v）P( A) 1 P(A) （逆事件的概率）（vi）对于任意事件A，B 有P(A B) P( A) P( B) P( A B)§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含k 个基本事件，即{e i } {e } {e }A ，里1 i i k] 2，k是，中某个不同的数，则有i1 i 2, ，i k 1,2 nP( A)j k1P { eij}knA包含的基本事件数S中基本事件的总数§5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且P( A) 0 ，称P( A B)P(B | A) 为事件 A 发生的条P(A)件下事件 B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件。
2023考研概率统计全考点精讲-第二讲 随机变量及其分布
第二讲 随机变量及其分布【考试要求】1.理解随机变量的概念，理解分布函数(){}()F x P X x x =≤−∞<<+∞的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率.2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布(,)B n p 、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布()P λ及其应用.3.（数一了解，数三掌握）泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布(,)U a b 、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为λ的指数分布()λE 的概率密度为()e ,00,0x x f x x λλ−⎧>=⎨≤⎩.5.会求随机变量函数的分布.考点：随机变量与分布函数1.随机变量：设试验E 的样本空间为Ω，如果对于每一个样本点Ω∈ω，都有一个实数)(ωX 与之对应，则称定义在Ω上的单值实值函数)(ωX 为随机变量，简记为X . 通常用,,X Y Z 等表示随机变量.【注】随机变量的等式和不等式可表示随机事件. 2.分布函数（1）定义：设X 是一个随机变量，x 是任意实数，称(){}()F x P X x x =≤−∞<<+∞为X 的分布函数.（2）基本性质①单调不减，即若12x x <，则12()()F x F x ≤；②lim ()0x F x →−∞=，lim ()1x F x →+∞=； ③()F x 是右连续，即(0)()F x F x +=.【注】这三条性质是一个函数作为某随机变量的分布函数的充分必要条件. （3）其他性质（用分布函数()F x 求概率）①)()(}{a F b F b X a P −=≤<； ②)0(}{−=<a F a X P ；③)0()(}{−−==a F a F a X P ；④)0()0(}{−−−=<≤a F b F b X a P ； ⑤)()0(}{a F b F b X a P −−=<<； ⑥{}()(0)P a X b F b F a ≤≤=−−. 【注】分布函数在处连续.【例1】 下述函数中，可以作为某个随机变量的分布函数的是（ ） （A ） ()211F x x =+ （B ）()x x F sin = （C ） ()11arctan π2F x x =+ （D ） ()1e ,020,0xx F x x −⎧−>⎪=⎨⎪≤⎩【例2】 设随机变量X 的分布函数为()00πsin 02π12,x F x A x,x ,x ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，则A _____=，6P X ______π⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭.【例3】 已知随机变量X 的分布函数为()0,11,18,111,1x x F x ax b x x <−⎧⎪⎪=−⎪=⎨⎪+−<<⎪≥⎪⎩，且()F x a {}0P X a ⇔=={}114P X ==，则_____,_____a b ==. 【例4】 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥−<≤<=−1,110,210,0)(x e x x x F x，则{}1P X ==（ ）（A ）0 （B ）21（C ）121−−e （D ）11e −−考点：离散型随机变量及其分布1.离散型随机变量定义：若随机变量X 所有可能取值是有限或可列无限个，则称X 为离散型随机变量.2.分布律（1）定义：设离散型随机变量X 的所有可能取值为()12i x i ,,=，且X 取ix 的概率为i p ，则称{}()12i i P X x p i ,,===为离散型随机变量X 的分布律.X（2）基本性质：①0,1,2,i p i ≥=；②11ii p∞==∑.【注】这两条性质也是一个数列可以作为某随机变量分布律的充分必要条件. 3.离散型随机变量的分布函数若离散型随机变量X 的分布律为{}()12i i P X x p i ,,===，则X 的分布函数为(){}{}()i i i i x xx xF x P X x P X x p x ≤≤=≤===−∞<<+∞∑∑.若123x x x <<<，则()111212230,,,x x p x x x F x p p x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨+≤<⎪⎪⎩. 【注】若已知X 的分布函数()F x （阶梯函数），则X 的分布律为{}()()0i i i P X x F x F x ==−−，12i ,,=.【例1】 （1）做n 次伯努利实验，已知每次成功的概率均为()10<<p p ，令X 表示n 次试验中成功的次数，求X 的分布律.（2）做伯努利试验，已知每次成功的概率均为()10<<p p ，令X 表示直到第一次成功为止所进行的实验次数，求X 的分布律.【例2】 设袋中有5个球，其中3个新球，2个旧球，从中任取3个球，用X 表示3个球中新球个数，求X 的分布律与分布函数.考点：连续型随机变量及其分布1.连续型随机变量及其概率密度（1）定义：设随机变量X 的分布函数为()F x ，若存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有()()xF x f t dt −∞=⎰，则称X 为连续型随机变量，()f x 称为X 的概率密度函数，简称概率密度（简写为.f .d .p ）.【注】①只有存在概率密度的随机变量才能称为连续型随机变量，分布函数连续的随机变量不一定是连续型随机变量.②存在既非连续型又非离散型的随机变量.③(),()()0()F x x F x f x x F x '⎧=⎨⎩为的可导点，为的不可导点. （2）概率密度的基本性质：①()0f x ≥；②()1f x dx +∞−∞=⎰.【注】这两条性质是一个函数可以作为概率密度函数的充分必要条件.（3）连续型随机变量的其他性质： ①)(x F 处处连续.②对()+∞∞−∈∀,a ，有{}.0==a X P ③若()f x 在x 处连续，则有()()F x f x '=. ④对于任意的实数()1212x ,x x x ≤，有{}()()211221()x x P x X x F x F x f x dx <≤=−=⎰.【例1】 设随机变量X 的概率密度为()x f ，则下列函数中必为某随机变量的概率密度的是（ ）（A ）()x f 2 （B ）()x f 2 （C ）()x f −1 （D ）()x f −1【例2】 设随机变量X 的概率密度为()cos ,||20,||2A x x f x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，求（1）常数A ； （2）X 的分布函数为()x F . 【例3】 设随机变量X 的概率密度为()1||,||10,x x f x else −<⎧=⎨⎩，则______412=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<−X P .考点：常见分布1.常见的离散型随机变量 （1） 0-1分布若随机变量X 的分布律为{}()()110101kk P X k p p ,k ,p −==−=<<，则称X 服从0-1分布，记为),1(~p B X .（2） 二项分布若随机变量的分布律为{}C (1),0,1,2,k k n kn P X k p p k n −==−=，其中01p <<，则称X 服从二项分布，记为~(,)X B n p .（3） 几何分布若随机变量X 的分布律为{}1(1)k P X k p p −==−⋅，1,2,3k =，其中01p <<，则称X 服从参数为p 的几何分布，记为()~X G p .（4） 超几何分布（从未考过）若随机变量X 的分布律为{}C C C k n kM N MnNP X k −−==，其中N k ∈，且{}{}n M k N n M ,min ,0max ≤≤−+，则称X 服从超几何分布.【注】：此公式的数学模型为：设N 件产品中含M 件次品，现从中任取n 件产品，则所取的n 件产品恰有k 件次品的概率.（5） 泊松分布 ①定义若随机变量X 的分布律为{}e !kP X k k λλ−==，0,1,2,k =，其中0λ>，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为~()X P λ.X②泊松定理（数一了解；数三掌握）设0λ>是一个常数，n 是任意正整数，若lim n n np λ→∞=，则对于任意的非负整数k ，有()e lim 1.!nk n kkknn n C p p k λλ−−→∞−=【例1】 设随机变量X 服从参数为()2,p 的二项分布，随机变量Y 服从参数为()3,p 的二项分布，若{}519P X ≥=，则{}1_______P Y ≥=. 【例2】 设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为1e，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率为___________. 2.常见的连续型随机变量 （1） 均匀分布若X 的概率密度为1,()0,a xb f x b a⎧<<⎪=−⎨⎪⎩其它，则称X 在()a,b 上服从均匀分布，记为()~,X U a b ，其分布函数为0,(),1,x a x aF x a x b b a x b<⎧⎪−⎪=≤<⎨−⎪⎪≥⎩. （2） 指数分布若X 的概率密度为e ,0()0,0x x f x x λλ−⎧>=⎨≤⎩，其中0λ>，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为()XE λ，其分布函数为1e ,0()0,0x x F x x λ−⎧−≥=⎨<⎩.（3） 正态分布若随机变量X的概率密度为22()2()()x f x x μσ−−=−∞<<+∞，其中0σ>,μ与σ均为常数，则称X 服从参数为,μσ的正态分布，记为2~(,)X N μσ，其分布函数为22()2()d ()t xF x t x μσ−−=−∞<<+∞⎰.特别地，当0,1μσ==，即~(0,1)X N ，称X 服从标准正态分布，其概率密度为22(),x x x ϕ−=−∞<<+∞，分布函数22()d t xx t −Φ=⎰，x −∞<<+∞.【注】（1）指数分布的无记忆性：若()~X E λ，则对任意的0,0s t >>，有{}{}|.P X s t X s P X t >+>=>【例3】 设随机变量()6,1~U X ，则方程012=++Xy y 有实根的概率为____.【例4】 设随机变量()~2,5X U ，现对X 进行三次独立重复观测，求至少有两次观测值大于3的概率.【例5】 设随机变量Y 服从参数为12λ=的指数分布，求关于未知量x 的方程2230x Yx Y ++−=没有实根的概率.【例6】 设随机变量的概率密度函数为()221e ()x x f x k x −+−=−∞<<+∞X则常数=_______k .【例7】 设随机变量()22,X N σ且{}240.3P X <<=，则{}0_______P X <=.【例8】 设随机变量()2,X N μσ，则概率{}P X μσ−<的值随着σ的增大而（ ）（A ）增大 （B ）减小 （C ）保持不变 （D ）无法确定考点：随机变量函数的分布1.离散型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，其概率分布为{},1,2,i i P X x p i ===，函数()g x 连续，则随机变量()Y g X =的分布律为{}(),1,2,i k k i g x y P Y y p k ====∑.做法：找到Y 全部可能的取值，算出相应值的概率.【例1】 设随机变量X 在()1,2−上服从均匀分布，1,01,0X Y X −<⎧=⎨≥⎩，求Y 的分布律.【例2】（课后作业）设随机变量X 的概率分布为，求常数和的概率分布. 2.连续型随机变量函数的分布情形一：Y 为离散型. 做法：找到Y 全部可能的取值，算出相应值的概率. 情形二：Y 为连续型.（1）分布函数法（代数法和几何法）先求出()Y g X =的分布函数()Y F y ，即()(){}()()Y g x y F y P g X y f x dx ≤=≤=⎰，再对()YF y 求导得到Y 的概率密度()Y f y .（2）公式法 若()y g x =在X 的取值区间内有连续导数()g x '，且()0g x '>或者()0g x '<，则()Y g X =是连续型随机变量，且其概率密度为{}(1,2,)3k c P X k k ===c sin()2Y X π=()()()',0,X Y f h y h y y f y αβ⎧<<⎡⎤⎪⎣⎦=⎨⎪⎩其他其中(),αβ为()y g x =的值域，()h y 是()g x 的反函数.情形三：Y 既非连续型又非离散型 做法：分布函数法求其分布函数.【例3】 设随机变量X 服从()0,2上的均匀分布，则随机变量2Y X =在()0,4内的概率密度()Y f y _______=.【例4】 设随机变量X 的概率密度为()22,00,x x f x ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，求sin Y X =的概率密度()Y f y .。
《概率统计》PPT课件
后抽比先抽的确实吃亏吗？
“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都 一样大.”
到底谁说的对呢？让我们用概率 论的知识来计算一下,每个人抽到“ 入场券”的概率到底有多大?
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”
我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i＝1,2,3,4,5. 则 A 表示“第 i个人未抽到入场券” i 显然，P(A1)=1/5，P( A1)＝4/5
P(A2)=0.4×0.5×(1－0.7)+0.5×0.7×(1－0.4)+ 0.4×0.7×(1－0.5)=0.41, P(A3)=0.4×0.5×0.7=0.14 P(B|A0)=0, P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1, 根据全概率公式有
P( B) P( B | Ai )P( Ai ) 0.458
P(Ai|B)，表示症状B由Ai引起的概率 若P(Ai|B), i=1,2,…,n中,最大的一个是P(A1|B),
我们便认为A1是生病的主要原因,下面的关键是:
计算 P(Ai|B), i=1,2,…,n
P( Ai B) P( B | Ai ) P( Ai ) P( Ai | B) n Bayes公式 P( B) P( B | Ai ) P( Ai )
也就是说，
第1个人抽到入场券的概率是1/5.
由于 由乘法公式
A2 A1 A2
因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.
P ( A2 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 )
也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未 抽到， 计算得：
P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
高中数学经典概率与统计(解析版)
概率与统计统计与概率是高考文科中的一个重要的一环高考对概率与统计内容的考查一般以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于古典概率,近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,该题出现在解答题第二或第三题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题.虽为中档题，但是实际生活背景在加强，阅读量大，所以快速阅读考题并准确理解题意是很重要的.对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合. 为了准确地把握2020年高考概率统计命题思想与趋势，在最后的复习中做到有的放矢，提高复习效率，纵观近五年的全国文科I卷，我们看到近几年每年一考,多出现在19题，分值12分；从难度上看：以中档题为主，重基础，考查的重点为统计图表的绘制与分析、数字特征的计算与分析、概率计算、线性回归分析，独立性检验等知识点，一般都会以实际问题为载体，代替传统建模题目.本专题我们把这些热点问题逐一说明，并提出备考指南，希望同学们在复习时抓住重点、事半功倍.【热点预测以及解题技巧】1 .抽样方法是统计学的基础，在复习时要抓住各种抽样方法的概念以及它们之间的区别与联系.茎叶图也成为高考的热点内容，应重点掌握.明确变量间的相关关系，体会最小二乘法和线性回归方法是解决两个变量线性相关的基本方法，就能适应高考的要求.2.求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因.（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.3.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：45分钟）一、单选题1．（2020·上海闵行区·高三二模）某县共有300个村，现采用系统抽样方法，抽取15个村作为样本，调查农民的生活和生产状况，将300个村编上1到300的号码，求得间隔数3002015k==，即每20个村抽取一个村，在1到20中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从41到60这20个数中应取的号码数是（ ） A ．45B ．46C ．47D ．48 【答案】C【分析】根据系统抽样的定义和性质即可得到结论.【详解】解：根据题意，样本间隔数3002015k ==，在1到20中抽到的是7， 则41到60为第3组，此时对应的数为7+2×20＝47.故选：C.【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，样本间距是解决本题的关键，比较基础.2．（2020·上海松江区·高三其他模拟）已知6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋯+，在0,a 1,a 2,a ,⋅⋅⋅6a 这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为( )A ．12B ．37C ．47D ．821【答案】B【分析】根据6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋯+，将0,a 1,a 2,a ,⋅⋅⋅6a 计算出来，分清几个奇数，几个偶数， 得到从中任取两数的种数；所取的两数之和为偶数的种数，代入古典概型的概率公式求解.【详解】因为6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋯+，0,a 1,a 2,a ,⋅⋅⋅6a 这7个数分别为：061,C =166,C =2615,C =3620,C =4615,C =566,C =661,C =. 4个奇数，3个偶数；从中任取两数共有：2721C =种；所取的两数之和为偶数的有：22439C C +=；∴所取的两数之和为偶数的概率为：93217=. 故选：B.【点睛】本题主要考查二项式系数和古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．（2019·上海杨浦区·高三一模）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（ ）A ．310B ．35C ．25D ．23【答案】B【分析】直接利用概率公式计算得到答案.【详解】11322563105C C P C ⨯=== ，故选：B 【点睛】本题考查了概率的计算，属于简单题.4．（2019·上海黄浦区·高三二模）在某段时间内，甲地不下雨的概率为1P （101P <<），乙地不下雨的概率为2P （201P <<），若在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为（ ） A ．12PPB ．121PP -C ．12(1)P P -D ．12(1)(1)P P -- 【答案】D【分析】根据相互独立事件的概率，可直接写出结果.【详解】因为甲地不下雨的概率为1P ，乙地不下雨的概率为2P ，且在这段时间内两地下雨相互独立， 所以这段时间内两地都下雨的概率为()()1211P P P =--.故选D【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率，熟记概念即可，属于基础题型.二、填空题5．（2020·上海奉贤区·高三一模）某工厂生产A 、B 两种型号的不同产品，产品数量之比为2:3.用分层抽样的方法抽出一个样本容量为n 的样本，则其中A 种型号的产品有14件.现从样本中抽出两件产品，此时含有A 型号产品的概率为__________. 【答案】1117【分析】先由分层抽样抽样比求B 种型号抽取件数，以及n ，再根据古典概型公式求概率. 【详解】设B 种型号抽取m 件，所以1423m =，解得：21m =，142135n =+=， 从样本中抽取2件，含有A 型号产品的概率2111414212351117C C C P C +==.故答案为：11176．（2019·上海市建平中学高三月考）一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为 _____ ． 【答案】40【解析】设B 层中的个体数为n ，则211828nn C =⇒=，则总体中的个体数为8540.⨯=7．（2020·上海黄浦区·高三二模）某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选________户．【答案】56【分析】由分层抽样的计算方法有，中等收入家庭的户数占总户数的比例再乘以要抽取的户数，即可得到答案.【详解】该社区共有14028080500++=户.利用分层抽样的方法, 中等收入家庭应选28010056500⨯=户，故答案为：56 【点睛】本题考查分层抽样，注意抽取比例是解决问题的关键，属于基础题.8．（2020·上海高三其他模拟）某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，高三年级有学生340人，现采用分层抽样的方法从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为________.【答案】17【分析】由于分层抽样是按比例抽取，若设高三年级的学生抽取了x 人，则有40034020x=，求出x 的值即可【详解】解：设高三年级的学生抽取了x 人，则由题意得 40034020x=，解得17x =，故答案为：17 【点睛】此题考查分层抽样，属于基础题.9．（2016·上海杨浦区·复旦附中高三月考）如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为________.【答案】9【分析】根据频率分布直方图计算出日销售量不少于150个的频率，然后乘以30即可.【详解】根据频率分布直方图可知，一个月内日销售量不少于150个的频率为()0.0040.002500.3+⨯=， 因此，这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为300.39⨯=.故答案为9.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，解题时要明确频数、频率和样本容量三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.10．（2020·上海高三专题练习）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为__________．【答案】5.【解析】设数列的首项为1a ，则12015210102020a+=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5．【考点定位】等差中项．11．（2020·上海浦东新区·高三一模）在7(2)x +的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为_________．（用数字作答）【答案】12【分析】根据二项展开式的通项，确定有理项所对应的r 的值，从而确定其概率. 【详解】7(2)x +展开式的通项为()77217722rr rr rr r T C x C x --+==，07,r r N ≤≤∈， 当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数，故有0,2,4,6r =满足题意，故所求概率4182P ==.【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．12．（2020·上海松江区·高三一模）从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到的概率___.【答案】115【分析】基本事件总数801200n C =，学生甲被抽到包含的基本事件个数79112001m C C =，由此能求出学生甲被抽到的概率．【详解】解：从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，基本事件总数801200n C =， 学生甲被抽到包含的基本事件个数79112001m C C =，∴学生甲被抽到的概率79111991801200115C C m P n C ===． 故答案为：115． 【点睛】方法点睛：求概率常用的方法是：先定性（六种概率：古典概型的概率、几何概型的概率、独立事件的概率、互斥事件的概率、条件概率和独立重复试验的概率）,再定量.13．（2019·上海市建平中学高三月考）已知方程221x y a b+=表示的曲线为C ，任取a 、{}1,2,3,4,5b ∈，则曲线C 表示焦距等于2的椭圆的概率等于________. 【答案】825【分析】计算出基本事件的总数，并列举出事件“曲线C 表示焦距等于2的椭圆”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】所有可能的(),a b 的组数为：5525⨯=，又因为焦距22c =，所以1c =，所以1a b -=±， 则满足条件的有：()1,2、()2,3、()3,4、()4,5、()5,4、()4,3、()3,2、()2,1，共8组， 所以概率为：825P =.故答案为：825. 【点睛】方法点睛：计算古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）数状图法；（3）列表法；（4）排列、组合数的应用.14．（2020·上海徐汇区·高三一模）小王同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书，从中任取2本，则这2本书属于不同学科的概率为______________（结果用分数表示）． 【答案】1115【分析】利用古典概型公式计算概率.【详解】共43310++=本不同的数，任取2本包含21045C =种方法，若从中任取两本，这2本书属于不同学科的情况有11111143433333C C C C C C ⋅+⋅+⋅=，所以这2本书属于不同学科的概率33114515P ==. 故答案为：111515．（2020·上海高三一模）近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工A 、B 两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况.发现样本中A ，B 两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了A 、B 两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下：依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率为______.【答案】310【分析】根据题意，计算出两种支付方式都使用过的人数，即可得到该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率．【详解】解：依题意，使用过A 种支付方式的人数为：18292370++=，使用过B 种支付方式的人数为：10242155++=，又两种支付方式都没用过的有5人，所以两种支付方式都用过的有()()7055100530+--=，所以该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率30310010p ==． 故答案为：310． 【点睛】本题考查了古典概型的概率，主要考查计算能力，属于基础题．16．（2020·上海大学附属中学高三三模）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为0.4和0.3，则一小时内没有一台机床需要维护的概率为________【答案】0.42【分析】根据甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为0.4和0.3，利用独立事件和对立事件的概率求法求解.【详解】因为甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为0.4和0.3，所以一小时内没有一台机床需要维护的概率为()()10.410.30.42-⨯-=,故答案为：0.42【点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，属于基础题.17．（2020·上海长宁区·高三三模）2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为________ 【答案】14【分析】甲同学从物理、历史二选一，其中选历史的概率为12，从化学、生物、政治、地理四选二，有6种选法，其中选化学的有3种，从而可得四选二，选化学的概率为12，然后由分步原理可得同时选择历史和化学的概率.【详解】解：由甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，所以甲同学从物理、历史二选一选历史的概率为12，甲同学从化学、生物、政治、地理四选二有：化学与生物，化学与政治，化学与地理，生物与政治，生物与地理，政治与地理共6种不同的选法，其中选化学的有3种，所以四选二中有化学的概率为12， 所以由分步原理可知甲同学同时选择历史和化学的概率为111=224⨯， 故答案为：14 【点睛】此题考查古典概型概率以及独立事件概率乘法公式的求法，考查理解运算能力，属于基础题. 18．（2019·上海市七宝中学高三三模）一名信息员维护甲乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________【答案】0.88【分析】根据相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式直接求解即可．【详解】＂至少有一个公司不需要维护＂的对立事件是＂两公司都需要维护＂，所以至少有一个公司不需要维护的概率为10.30.40.88p =-⨯=，故答案为0.88．【点睛】本题主要考查概率的求法以及相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式的应用． 19．（2019·上海金山区·高三二模）若生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01、0.02，每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是________（结果用小数表示）【答案】0.9702【分析】利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出经过两道工序后得到的零件不是废品的概率．【详解】生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别0.01、0.02， 每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率：p ＝（1﹣0.01）（1﹣0.02）＝0.9702．故答案为0.9702．【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、解答题20．（2019·上海普陀区·）某城市自2014年至2019年每年年初统计得到的人口数量如表所示.（1）设第n 年的人口数量为n a （2014年为第1年），根据表中的数据，描述该城市人口数量和2014年至2018年每年该城市人口的增长数量的变化趋势；（2）研究统计人员用函数0.6544450()2000 4.48781x P x e -=++拟合该城市的人口数量，其中x 的单位是年.假设2014年初对应0x =，()P x 的单位是万.设()P x 的反函数为()T x ，求(2440)T 的值（精确到0.1），并解释其实际意义.【分析】（1）根据表中的数据可得从2014年到2019年人口增加的数量，逐年增多，从2017年后，增加的人数逐年减少，但人口总数是逐年增加的；（2）根据函数的表达式，以及反函数的定义，代值计算即可.【详解】（1）201520142135208253f f -=-=，201620152203213568f f -=-=，201720162276220373f f -=-=，201820172339227663f f -=-=，201920182385233946f f -=-=，由上述计算可知，该地区2014年至2019年每年人口增长数量呈先增后减的变化趋势，每一年任可总数呈逐渐递增的趋势；（2）因为0.65444.48781x e -+为单调递减函数，则()P x 为单调递增函数，则0(2440)T x =0()2440P x ⇒=， 代入000.6544450()200024404.48781x P x e -=+=+，解得08.1x =，即(2440)8.1T =， 其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效依据，到2022年人口接近2440万.【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有利用表格判断其变化趋势，利用题中所给的函数解析式，计算相关的量，反函数的定义，属于中档题目.。
概率统计习题集（含答案）
第一章 随机事件及其概率一、选择题：1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ）A ．AB AC + B ．()A B C + C ．ABCD ．A B C ++2．设B A ⊂ 则 （ ）A ．()P AB =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=-C ． P(B|A) = P(B)D ．(|)()P AB P A =3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一定独立A ．()()()P AB P A P B = B ．P （A|B ）=0C ．P （A|B ）= P （B ）D ．P （A|B ）= ()P A4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ）A ．a-bB ．c-bC ．a(1-b)D ．b-a5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 互不独立D ．A 与B 互不相容6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ⊃，则一定成立的关系式是（ ）A ．P （A|B ）=1 B ．P(B|A)=1C ．(|A)1p B =D ．(A|)1p B =7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ）A ．()AB B A -= B ．()A B B A -⊃C ．()A B B A -⊂D ．()A B B A -=8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0C ．A 与B 互不相容D ．A+B 是必然事件9．设事件A 与B 独立，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=0D ．P （A+B ）=110．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （A|B ）=P （A ）D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ）11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则 （ ）A ．A 与B 互斥 B ．AB 是不可能事件C ．P （A ）=0或P （B ）=0D ．AB 未必是不可能事件12．若事件A 、B 满足A B ⊂，则 （ ）A ．A 与B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生C ．B 发生时则A 必发生D ．A 不发生则B 总不发生13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于 （ ）A ． ()()PB P AB - B ．()()()P A P B P AB -+C ．()()P A P AB -D ．()()()P A P B P AB --14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC 表示 （ ）A ．A 、B 、C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个C ．A 、B 、C 至多发生两个D ．A 、B 、C 至多发生一个15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 相互对立D ．A 与B 互不独立16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，P （C ）=0.4，则PA B C -= （）（ ）. A ．0.5 B ．0.1 C ．0.44 D ．0.317掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为 （ ）A ．1/2B ．1/3C ．1/4D ．3/418．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为 （ ）A ．121p p --B ．121p p -C ．12121p p p p --+D ．122p p --19．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（ ）。
概率统计原理
概率统计原理
概率统计原理是一种利用概率和统计方法来分析和解释现实世界中随机现象的科学原理。
在统计学中，概率统计原理主要涉及到随机变量、概率分布、参数估计和假设检验等内容。
随机变量是概率统计原理的基本概念之一。
它表示随机试验的结果，可以是离散的，也可以是连续的。
概率分布用于描述随机变量取各个值的可能性大小，常见的概率分布包括离散分布（如二项分布、泊松分布）和连续分布（如正态分布、指数分布）等。
参数估计是概率统计原理的关键内容之一。
它用于根据样本数据来估计总体的参数，即通过已知的样本数据推断总体的特征。
参数估计可以分为点估计和区间估计两种。
点估计旨在找到一个最好地表示真实参数值的估计值，而区间估计则给出了一个总体参数的范围。
假设检验是概率统计原理的另一个重要概念。
它用于对统计推断进行验证。
假设检验包括设立原假设和备择假设，通过计算样本数据的统计量与理论分布的重合程度来判断原假设是否成立。
常见的假设检验方法有Z检验、t检验、卡方检验等。
概率统计原理在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在医学研究中，可以使用概率统计原理来分析新药的疗效；在市场调研中，可以利用概率统计原理来估计产品的市场占有率；在金融风险管理中，可以运用概率统计原理来评估投资的风险等。
总之，概率统计原理是一种基于概率和统计方法的科学原理，可以帮助我们分析和解释现实世界中的随机现象。
通过随机变量、概率分布、参数估计和假设检验等内容，我们能够得出对总体的推断和决策。
高中数学概率统计
高中数学概率统计
概率统计是数学中的一个重要分支，它研究随机现象和事件发
生的可能性。
在高中阶段，学生需要通过研究概率统计来理解和应
用概率的基本概念和计算方法。
概率是指某个事件发生的可能性大小。
在数学中，概率可以通
过计算来得出。
常见的计算方法包括频率概率和几何概率。
学生需
要学会根据给定的条件计算概率，包括单个事件和多个事件的概率
计算。
在概率统计中，还有一些重要的概念需要学生掌握。
例如，样
本空间是指随机事件所有可能结果的集合；事件是样本空间的子集，表示满足特定条件的结果集合；试验是指对随机现象进行观察和记
录的过程。
高中数学概率统计还涉及到一些常见的概率分布，如二项分布、均匀分布和正态分布。
学生需要理解这些分布的特点和应用场景，
以及如何计算和图示化概率分布。
通过研究高中数学概率统计，学生可以提高他们的数据分析和问题解决能力。
他们能够在实际生活中应用概率统计的知识，例如在投资、保险和赌博等方面做出理性的决策。
总之，高中数学概率统计是一门重要的数学课程，它帮助学生理解和应用概率的基本概念和计算方法，提高他们的数学思维和问题解决能力。
高三数学概率与统计知识精讲苏教版
高三数学概率与统计苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：概率与统计［学习过程］一、高考要求：了解：抽样方法；总体分布的估计；变量的相关性；统计案例。
理解：总体特征数的估计；了解：随机事件与概率；几何概型；互斥事件及其发生的概率；理解：古典概型。
二、本章知识结构：三、基础知识（一）统计1. 抽样方法有简单随机抽样；系统抽样；分层抽样。
2. 简单随机抽样抽签法；随机数表法。
3. 用抽签法从个体个数为Ｎ的总体中抽取一个容量为ｋ的样本的步骤为：（1）将总体中的所有个体编号（号码可以从1到Ｎ）；（2）将1到Ｎ这Ｎ个号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条等制作）；（3）将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；（4）从箱中每次抽出1个号签，并记录其编号，连续抽取ｋ次；（5）从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出.4. 用随机数表法抽取样本的步骤是：（1）对总体中的个体进行编号（每个号码位数一致）；（2）在随机数表中任选一个数作为开始；（3）从选定的数开始按一定的方向读下去，得到的数码若不在编号中，则跳过；若在编号中，则取出；如果得到的号码前面已经取出，也跳过；如此继续下去，直到取满为止；（4）根据选定的号码抽取样本.5. 将总体平均分成几个部分，然后按照预先定出的规则，从每个部分中抽取一个个体，得到所需的样本，这样的抽样方法称为系统抽样（ｓｙｓｔｅｍAｔｉｃｓAｍｐｌｉｎｇ）. 系统抽样，又叫等距抽样。
6. 系统抽样的步骤为：（1）采用随机的方式将总体中的个体编号；系统抽样也可称为“等距抽样”.（2）将整个的编号按一定的间隔（设为ｋ）分段，当Ｎｎ（Ｎ为总体中的个体数，ｎ为样本容量）是整数时，ｋ＝Ｎｎ；当Ｎｎ不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数Ｎ′能被ｎ整除，这时ｋ＝Ｎ′ｎ，并将剩下的总体重新编号；（3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号ｌ；（4）将编号为ｌ，ｌ＋ｋ，ｌ＋2ｋ，…，ｌ＋（ｎ－1）ｋ的个体抽出.7. 当总体由差异明显的几个部分组成时，常常将总体中的个体按不同的特点分成比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比例实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样；其中所分成的各个部分称为“层”.8. 分层抽样的步骤是：（1）将总体按一定标准分层；若按比例计算所得的个体数不是整数，可作适当的近似处理.（2）计算各层的个体数与总体的个体数的比；（3）按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；（4）在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）.9. 三种抽样的关10. 反映总体频率分布的表格称为频率分布表。
概率统计
2
22
P[X≤4]= Φ(4−3)= Φ(0.5)
2
P[|X|>2]=1-P[|X≤2|]=1-P[-2≤X≤2]
=1-[Φ(2−3)- Φ(−2−3)]=1+Φ(2)
2
2
(2)C=3
(3) P[|X-α| > α]=0.1 1- P[|X-α| ≤ α]=0.1
1-P[α ≤ X ≤ 2α]=0.1 P[0≤X≤ 2α]=0.9
P46.2.下列随机实验各包含几个基本事件？
(1)将有记号 a、b 的两只球随机放入编号为 I、II、
III 的三个盒子里(每个盒子可容纳两个球)
9
(2)观察 3 粒不同种子的发芽情况
8
(3)从 5 人中任选 2 名参加某项活动
10
(4)某人参加一次考试，观察其得分情况
101
(5)将 a、b、c3 球装入 3 个盒子中去，使每个盒子
=∫0−1
������������������
������(−
t)
������
=-1
������
������
∫0−1
������������
������������
=-������ ������ |0−1
=-(������−1 − 1)
=1-������−1
(2)P[X>C]= 1
2
1-P[X≤C]= 1
2
P[X≤C]= 1
2
∫0C
������������
−������������������������=1
2
-������−������������
|0������
=1
2
2023考研概率统计全考点精讲-第八讲 假设检验(仅数一)
第八讲 假设检验（仅数一）【考试要求】1.（仅数一）理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤.了解假设检验可能产生的两类错误.2.（仅数一）掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验.考点：假设检验1.假设检验关于总体分布中未知参数取值所提出的假设称为原假设，记为0H ；对立于原假设的假设称为备择假设，记为1H .假设检验就是根据样本，按照某种检验法则，决定在0H 与1H 之中接受其一. 对总体分布中未知参数提出的假设进行检验的问题，叫做参数假设检验. 【注】理论依据：小概率事件原理. 2.两类错误在0H 为真的情况下，而作出拒绝0H 的选择，称此类错误为第一类错误（弃真错误）.在0H 为假（本来就不成立）的情况下，而作出接受0H 的选择，称此类错误为第二类错误（取伪错误）.把犯第一类错误和第二类错误的概率分别记为α和β，则00{|}P H H α=拒绝为真，00{|}P H H β=接受不真.3.显著性检验在给定样本容量的情况下，我们总是控制第一类错误的概率，使它不大于α，而不考虑犯第二类错误的概率，这种检验称为显著性检验. 数α称为显著性水平.由样本对原假设进行判断总是通过一个统计量完成的，称该统计量为检验统计量.当检验统计量在某个区域W 上取值时，我们拒绝原假设0H ，称区域W 为拒绝域，拒绝域的边界点称为临界点.4. 双边检验与单边检验设总体X 的分布中有某一未知参数θ.形如00:H θθ=，10:H θθ≠的假设检验称为双边检验；形如00:H θθ≤（或者0θθ=），10:H θθ>的假设检验称为右边检验； 形如00:H θθ≥（或者0θθ=），10:H θθ<的假设检验称为左边检验，右边检验和左边检验统称为单边检验.5. 假设检验的一般步骤（1）根据实际问题的要求，提出原假设0H 和备择假设1H . （2）给出显著性水平α以及样本容量n . （3）确定检验统计量K 及拒绝域的形式；（4）按犯第一类错误的概率等于α求出拒绝域W ；（5）根据样本值计算K 的观察值k ，当k W ∈时，拒绝原假设0H ；否则，接受0H .6. 正态总体均值、方差的假设检验（1）单个正态总体的假设检验法（2）两个正态总体的假设检验法【例1】 某厂生产某种产品，正常生产时，该产品的某项指标服从正态分布2(5038)N ,.，在生产过程中为检验机器生产是否正常，随机抽取50件产品，其平均指标为26.51=x （设生产过程中方差不改变），在显著性水平为05.0=α下，检验生产过程是否正常.【例2】（1998-1）（课后作业）设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分. 问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？给出检验过程.附表：t 分布表 ()(){}p P t n t n p ≤=，。
概率与统计解答题精选精练16题含答案
1.端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． （Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．2.为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10．把这6名学生的得分看成一个总体． （Ⅰ）求该总体的平均数；（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．3.已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所 需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）.4.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (I)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率； (II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.5.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望. 6.已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性，则在另外2只中任取l 只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．7.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品作为样本，测得它们的重量（单位：克），将重量按如下区间分组：(490,495]，(495,500]，(500,505]，(505,510]，(510,515]，得到样本的频率分布直方图（如图所示）．若规定重量超过495克但不超过510克的产品为合格产品，且视频率91011 2 5 7 8 97 7 83 4为概率，回答下列问题：(Ⅰ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为合格产品的数量，求X 的分布列和数学期望()E X ； (Ⅱ）若从流水线上任取3件产品，求恰有2件合格产品的概率． 8.某省2015年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身(170.5,16)N ．现从某校高三年级男生中随机抽取50名测高服从正态分布测学生身高全部介于157.5cm 和187.5cm 之间，将测量结量身高，测量发现被6组：第一组[)157.5,162.5，第二组[)162.5,167.5 ，⋅⋅⋅，果按如下方式分成[)182.5,187.5，下图是按上述分组方法得到的频率分布直第6组方图．（Ⅰ）试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况； 身高在177.5cm 以上（177.5cm ）的人数； （Ⅱ）求这50名男生身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人中任（Ⅲ）在这50名男生意抽取2人，该2人中身高排名（以高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若2~(,)N ξμσ，()0.6826P μσξμσ-<≤+=，(22)0.9544P μσξμσ-<≤+=，(33)0.9974P μσξμσ-<≤+=．要求越来越高．3D 打印通常是采用数字技术材料打印机来9未来制造业对零件的精度实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来造企业向A 高校3D 打印实验团队租用一台3D 打印设备，会有广阔的发展空间．某制用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如如图3所示(单位：m μ) ． (Ⅰ) 计算平均值μ与标准差σ；(Ⅱ) 假设这台3D 打印设备打印出品的零件内径Z 服从正态分布()2,Nμσ，该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位:m μ)：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：()220.9544P Z μσμσ-<<+=，()330.9974P Z μσμσ-<<+=，30.95440.87=，40.99740.99=，20.04560.002=．10.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品．以X （单位：t ，100150X ≤≤）表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． （Ⅰ）将T 表示为X 的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个需求量，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若[)100,110X ∈，则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[)100,110的概率），求T 的数学期望．11.某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI ）的监测数据，结果统计如下：（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？ （Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y （单位：元）与空气质量指数x 的关系式为0, 0100,400, 100300,2000,300.x y x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（此公式也可写成22112212211234()n n n n n n n n n χ++++-=）第11题【解析】（Ⅰ）根据题设中的数据得到如下2×2列联表：将2×2列联表中的数据代入公式、计算，得22100(227638) 4.57585153070K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为4.575 3.841>4， 所以有95％的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”． （Ⅱ）任选一天，设该天的经济损失为X 元，则201(0)(0100)1005PX P x ==≤≤==，6513(400)(100300)10020P X P x ==<≤==， 153(2000)(300)10020P X P x ==>==，所以1133(X)04000200056052020E =⨯+⨯+⨯=． 故该企业一个月的经济损失的数学期望为30(X)16800E =元．12.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）(Ⅰ)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？(Ⅱ)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．(Ⅲ)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为X ， 求X 的分布列及数学期望E （X ）． 附表及公式第12题【解析】(Ⅰ)由表中数据得2K 的观测值()225022128850 5.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关． (Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x y 、分钟， 则基本事件满足的区域为5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩(如图所示)，设事件A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为x y >，∴由几何概型11112()228P A ⨯⨯==⨯ 即乙比甲先解答完的概率为18． (Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有1126=12C C ⋅种；两人都被抽到有221C =种，X ∴可能取值为0,1,2，15(0)28P X ==， 123(1)287P X ===， 1(2)28P X ==， X 的分布列为：151211()0+1+22828282E X ∴=⨯⨯⨯=．13.某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕．基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a 万元．已知下周一和下周有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36． (Ⅰ)若不额外聘请工人，写出基地收益X 的分布列及基地的预期收益； (Ⅱ)该基地是否应该外聘工人，请说明理由．14.某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量yx11O的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为变量．（Ⅰ）求Z 的分布列和均值；（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率． 15.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i w =，w =1881ii w=∑（Ⅰ）根据散点图判断，y=a +bx 与y =c +宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z =0.2y -x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： (ⅰ)年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()=()niii nii u u v v u u β==---∑∑，=v u αβ-16某市一高中经过层层上报，被国家教育部认定为2015年全国青少年足球特色学校．该校成立了特色足球队，队员来自高中三个年级，人数为50人．视力对踢足球有一定的影响，因而对这50人的视力作一调查．测量这50人的视力（非矫正视力）后发现他们的视力全部介于4.75和5.35之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[4.75，4.85），第二组[4.85，4.95），…，第6组[5.25，5.35]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．又知：该校所在的省中，全省喜爱足球的高中生视力统计调查数据显示：全省100000名喜爱足球的高中生的视力服从正态分布N （5.01，0.0064）．（1）试评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中的平均视力状况； （2）求这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人数；（3）在这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人中任意抽取2人，该2人中视力排名（从高到低）在全省喜爱足球的高中生中前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望． 参考数据：若ξ～N （μ，σ2），则P （μ-σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P （μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P （μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974参考答案第1题【标准答案】(Ⅰ)设A 表示事件“三种粽子各取到l 个”，则由古典概型的概率计算公式有1112353101()4C C C C P A ==． （Ⅱ）X 的所有可能值为0,1,2，则383107(0)15C P X C ===，12283107(1)15C C P X C ===，21283101(2)15C C P X C ===， 所以X 的分布列为故()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=个． 第2题【解析】（Ⅰ）总体平均数为1(5678910)7.56x =+++++=．（Ⅱ）设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5” ． 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(56)，,(57)，,(58)，,(59)，,(510)，；(67)，,(68)，,(69)，,(610)，；(78)，,(79)，,(710)，；(89)，,(810)，；(910)，.共15个基本结果．事件A 包括的基本结果有:(59)，,(510)，,(68)，,(69)，,(610)，,(78)，,(79)，共有7个基本结果．所以所求的概率为7()15P A =． 第3题【答案】（Ⅰ）310；（Ⅱ）350. 故X 的分布列为1200300400350101010EX =⨯+⨯+⨯=. 【考点定位】1.概率；2.随机变量的分布列与期望.【名师点睛】高考中常常通过实际背景考查互斥事件、对立事件、相互独立事件、独立重复试验的概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，同时也考查二项分布、超几何分布等特殊的概率模型.解读此类问题时要注意分清类型，运用相应的知识进行解答.本题易犯的错误是事件之间的关系混乱，没有理解题中给定的实际意义. 第4题【答案】(I)635;(II) 随机变量X 的分布列为【解析】(I)由已知，有 所以事件A 发生的概率为635. (II)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4 所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望()31512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【考点定位】古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.【名师点睛】本题主要考查古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.把实际生活中的乒乓球比赛与数学中的古典概型相结合，体现了数学的实际应用价值与研究价值，也体现了数学中概率、期望对实际生活中的一些指导作用. 第5题【答案】（1）107；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知1A与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知1(3,)5XB ，分别求得00331464(0)()()55125P X C ===，11231448(1)()()55125P X C ===，22131412(2)()()55125P X C ===，3303141(3)()()55125P X C ===，即可知X 的概率分布及其期望.试题解析：（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，∵142()105P A ==，251()102P A ==，∴11212211()()()()525P B P A A P A P A ===⨯=， 21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯=，故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=；（2）顾【考点定位】1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.第6题答案【解析】（Ⅰ）设1ξ、2ξ已分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P 表示对应的概率，则方案甲中1ξ的分布列为方案乙中2的分布列为(Ⅱ)3212()1023 2.4555E ξ=⨯+⨯+⨯==． 第7题【解析】（Ⅰ）由样本的频率分布直方图得，合格产品的频率为0.0450.0750.0550.8⨯+⨯+⨯=．所以抽取的40件产品中，合格产品的数量为400.832⨯=． 则X 可能的取值为0，1，2，所以()2824070195C P X C ===；()11832240641195C C P X C ===；()2322401242195C PX C ===， 因此X 的分布列为故X 数学期望()0121951951951955E X =⨯+⨯+⨯==． (Ⅱ）因为从流水线上任取1件产品合格的概率为40.85=， 所以从流水线上任取3件产品，恰有2件合格产品的概率为223144855125P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．第8题【解析】（Ⅰ）由直方图，经过计算我校高三年级男生平均身高为1600.11650.21700.31750.21800.11850.1171x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，高于全省的平均值170.5cm ．（Ⅱ）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，人数为0.25010⨯=， 即这50名男生身高在177.5cm 以上(含177.5cm )的人数为10人．（Ⅲ） 4 997.0)435.170435.170(=⨯+≤<⨯-ξP ，0013.029974.01)5.182(=-=≥∴ξP ，0.0013100000130⨯=． 所以，全省前130名的身高在182.5cm 以上，这50人中182.5cm 以上的有5人．随机变量ξ可取0,1,2，于是924510)0(21025====C C P ξ，954525)1(2101515====C C C P ξ，924510)2(21025====C C P ξ， 1922951920=⨯+⨯+⨯=∴ξE ．第9题：解 (Ⅰ)97979810210510710810911311410510μ+++++++++==m μ，()()()()2222222222288730234893610σ-+-+-+-++++++==，所以6σ=m μ．(Ⅱ)结论：需要进一步调试．解法一：理由如下：如果机器正常工作，则Z 服从正态分布()2105,6N ，()()33871230.9974P Z P Z μσμσ-<<+=<<=，零件内径在()87,123之外的概率只有0.0026，而()8687,123∉，根据3σ原则，知机器异常，需要进一步调试． 解法二：理由如下：如果机器正常工作，则Z 服从正态分布()2105,6N ，()()33871230.9974P Z P Z μσμσ-<<+=<<=．正常情况下5个零件中恰有一件内径在()87,123外的概率为：1450.00260.997450.00260.990.001287P C =⨯⨯=⨯⨯=，为小概率事件，而()8687,123∉，小概率事件发生，说明机器异常，需要进一步调试． 解法三：理由如下：如果机器正常工作，则Z 服从正态分布()2105,6N ，()()22931170.9544P Z P Z μσμσ-<<+=<<=．正常情况下5件零件中恰有2件内径在()93,117外的概率为：22350.004560.9544100.0020.870.0174P C =⨯⨯=⨯⨯=，此为小概率事件，而()8693,117∉，()11893,117∉，小概率事件发生，说明机器异常，需要进一步调试．所以()450000.1530000.2610000,3650000.459400E T =⨯+⨯+⨯+⨯=． 第11题【解析】（Ⅰ）根据题设中的数据得到如下2×2列联表：将2×2列联表中的数据代入公式、计算，得22100(227638) 4.57585153070K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为4.575 3.841>4， 所以有95％的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”． （Ⅱ）任选一天，设该天的经济损失为X 元，则201(0)(0100)1005P X P x ==≤≤==，6513(400)(100300)10020P X P x ==<≤==， 153(2000)(300)10020P X P x ==>==，所以1133(X)04000200056052020E =⨯+⨯+⨯=． 故该企业一个月的经济损失的数学期望为30(X)16800E =元． 第12题【解析】(Ⅰ)由表中数据得2K 的观测值()225022128850 5.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x y、分钟，则基本事件满足的区域为5768xy≤≤⎧⎨≤≤⎩(如图所示)，设事件A为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为x y>，∴由几何概型11112()228P A⨯⨯==⨯即乙比甲先解答完的概率为18．(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C=种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C=种；恰有一人被抽到有1126=12C C⋅种；两人都被抽到有221C=种，X∴可能取值为0,1,2，15(0)28P X==，123(1)287P X===，1(2)28P X==，X的分布列为：151211()0+1+22828282E X∴=⨯⨯⨯=．第13题【解析】(Ⅰ)设下周一有雨的概率为P，由题意，20.36,0.6P P==，基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5，则(20)0.36,(15)0.24,(10)0.24,(7.5)0.16, P X P X P X P X========所以基地收益X的分布列为：基地的预期收益()200.36150.24100.247.50.1614.4E X=⨯+⨯+⨯+⨯=，所以，基地的预期收益为14.4万元．(Ⅱ)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益()200.6100.416E Y a a=⨯+⨯-=-（万元），()() 1.6E Y E X a-=-，综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；yx11O成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以．第14题=+y关于年宣传费用x的回归方程类型；第15题【答案】（Ⅰ）y cy=+46.24（Ⅱ）100.6【解析】试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令w=先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程；（Ⅲ）(ⅰ)利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.=+适合作为年销售y关于年宣传费用x的试题解析：（Ⅰ）由散点图可以判断，y c回归方程类型. ……2分故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分【考点定位】非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识【名师点睛】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误. 第16题。
《概率》统计与概率PPT(频率与概率)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
概率的应用——数学建模
典例为了估计水库中鱼的尾数,可以使用以下的方法:先从水库
中捕出2 000尾鱼,给每尾鱼做上记号,不影响其存活,然后放回水库.
经过适当的时间,让其和水库中的其他鱼充分混合,再从水库中捕
出500尾,查看其中有记号的鱼,有40尾,试根据上述数据,估计水库
定义
表示法
一般地，对于事件 A 与事件
包含
关系
B，如果事件 A 发生，则事件
一定发生
B⊇A
________
B__________，称事件 B 包含
(或
事件 A(或事件 A 包含于事件
A⊆B
_______)
B)
图示
定义
表示法
给定事件 A，B，由所
有 A 中的样本点与 B
并事件
中的样本点组成的事
和
件称为 A 与 B 的_____
合格产品
D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
答案:D
解析:合格率是99.99%,是指该工厂生产的每件产品合格的可能
性大小,即合格的概率.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
概率与频率的关系及求法
例2下面是某批乒乓球质量检查结果表:
抽取球数
优等品数
优等品出
现的频率
50
45
100
92
200
概率为78%”,这是指(
)
A.明天该地区有78%的地区降水,其他22%的地区不降水
B.明天该地区降水的可能性大小为78%
2023考研概率统计全考点精讲-第三讲 多维随机变量及其分布
第三讲 多维随机变量及其分布【考试要求】1.理解多维随机变量的概念（仅数一），理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布（数一理解；数三掌握），理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率.2.理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的独立性与不相关性的关系.3.掌握二维均匀分布，（数一了解；数三掌握）二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义.4.会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.考点：多维随机变量及其分布1.二维随机变量设，是定义在样本空间上的两个随机变量，称向量为二维随机变量.2.联合分布函数的定义设是二维随机变量，对于任意的实数，二元函数称为二维随机变量的分布函数，或称为随机变量和的联合分布函数.【注】如果将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数在处的函数值就是随机点落在如图所示的，以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内（含右边界和上边界）的概率.()X X ω=()Y Y ω=Ω),(Y X ()X ,Y x,y ()(){}{}(,),F x y P X x Y y P X x Y y =≤≤∆≤≤()X ,Y X Y ()X ,Y (,)F x y ()x,y ()X ,Y ()x,y3. 联合分布函数的性质（1）分别对于变量和是单调不减的.（2）,,,,.（3）分别关于和右连续，即，.（4）随机点落在矩形域上的概率为.【例1】 设二维随机变量()Y X ,的分布函数为(),F x y ，边缘分布函数为()X F x ，()Y F y ，则{},P X x Y y >>等于（ ）（A ）()1,F x y − （B ）()()1X Y F x F y −− （C ）()()(),1X Y F x y F x F y −−+ （D ）()()(),1X Y F x y F x F y ++−),(y x F x y 1),(0≤≤y x F (,)0F y −∞=(,)0F x −∞=(,)0F −∞−∞=(,)1F +∞+∞=),(y x F x y (0,)(,)F x y F x y +=(,0)(,)F x y F x y +=(){}1212,|,x y xx x y y y <≤<≤{}121222211211,(,)(,)(,)(,)0P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=−−+≥考点：二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布1. 二维离散型随机变量若二维随机变量全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称是二维离散型随机变量.2. 联合分布律（1）定义 设二维离散型随机变量所有可能取的值为，称 为二维离散型随机变量的分布律或随机变量和的联合分布律.也可以用表格来表示和的联合分布律，如下表所示：（2）性质①； ②.【例1】 袋中有6个球，其中1个红球，2个白球，3个黑球，有放回地从袋中取两次，每次取一球，设分别表示两次取球的红球、黑球的个数，求的分布律.【例2】 已知的分布律为),(Y X ),(Y X ),(Y X (),,,1,2,ijx y i j ={,},,1,2,i j ij P X x Y y p i j ====),(Y X X Y X Y 0ij p ≥111iji j p∞∞===∑∑Y X ,),(Y X ),(Y X的分布函数为，则，. 3. 边缘分布律若二维离散型随机变量的概率分布为，则分别称， ，为关于和关于的边缘分布律.【例3】 袋中有6个球，其中1个红球，2个白球，3个黑球，有放回地从袋中取两次，每次取一球，设分别表示两次取球的红球、黑球的个数. 求的边缘分布律.【例4】 设随机变量101~(1,2)111424i X i −⎛⎫ ⎪=⎪⎝⎭，且12(0)1P X X +==，则12()P X X ==（ ）（A ）0 （B ）14 （C ）12（D ）1 4. 条件分布律设二维离散型随机变量的分布律为，(),X Y (),F x y 1,1____2F ⎛⎫= ⎪⎝⎭10,_____2P X Y ⎧⎫≥>=⎨⎬⎩⎭),(Y X (){,},1,2,i j ij P X x Y y p i j ===={}{,}i i ij i jP X x P X x Y p p •===<+∞==∑1,2,i={}{,}j j ij j iP Y y P X Y y p p •==<+∞===∑1,2,j=),(Y X X Y Y X ,),(Y X ),(Y X {,}i j ij P X x Y y p ===(),1,2,i j =对于固定的，若，则称为在的条件下随机变量的条件分布律.同理，对于固定的，若，则称为在的条件下随机变量的条件分布律.j()1,2,j ={}0j P Y y =>{}{}{}12•========i j ij i j jj P X x ,Y y p P X x Y y ,i ,,p P Y y j Y y =X i ()1,2,i ={}0i P X x =>{}{}{}12•========i j ij j i i i P X x ,Y y p P Y y X x ,j ,,P X x p i X x =Y考点：二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度1. 二维连续型随机变量设二维随机变量),(Y X 的分布函数为(,)F x y ，若存在非负可积函数()f x,y ，使得对于任意,x y ，有(,)(,)d d xyF x y f u v u v −∞−∞=⎰⎰，则称()X ,Y 为二维连续型随机变量，称函数()f x,y 为二维随机变量()X ,Y 的概率密度或随机变量X 和Y 的联合概率密度.2. 联合概率密度的性质 （1）. （2）.（3）若在点处连续，则. （4）设是平面上的区域，点落在内的概率为.【例1】 设的概率密度为，求：（1）常数的值；（2）. 3. 边缘概率密度若二维连续型随机变量的概率密度为，则分别称，为关于和关于的边缘概率密度.4. 条件概率密度设二维连续型随机变量的概率密度为，关于的边缘概()0f x,y ≥()(,),1f x y dxdy F +∞+∞−∞−∞=+∞+∞=⎰⎰(,)f x y ()x,y 2(,)(,)F x y f x y x y∂=∂∂G xoy ()X ,Y G {}(,)(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰()X ,Y (),01,0,Cx x y f x y <<<⎧=⎨⎩其他C 1,12P X Y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭),(Y X (),f x y ()(),X f x f x y dy +∞−∞=⎰()(),Y f y f x y dx +∞−∞=⎰),(Y X X Y ),(Y X (),f x y ),(Y X Y率密度为. 若对于固定的，，则称为在的条件下的条件概率密度，记为.类似地，若对于固定的，，则称为在条件下的条件概率密度.【例2】 设的概率密度函数为，求：（1）；（2），.【例3】 设随机变量，当给定时，随机变量的条件概率密度为， （1）求和的联合概率密度； （2）求边缘概率密度.()Y f y y ()0Y f y >()(),Y f x y f y Y y =X ()()()X|Y Y f x,y f x |y f y =x ()0X f x >()()()Y|X X f x,y f y |x f x =x X =Y ),(Y X (),0,0,y e x yf x y −⎧<<=⎨⎩其他()(),X Y f x f y ()Y|X f y |x ()X|Y f x|y ()~0,1X U X x =Y ()100Y|Xx,y f y |x x ,⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他X Y (),f x y ()Y f y考点：随机变量的独立性1.定义 设及，分别是二维随机变量的分布函数及边缘分布函数. 若对于任意实数，有，则称随机变量和相互独立.当是离散型随机变量时，和相互独立的充要条件是.当是连续型随机变量时，和相互独立的充要条件是.【注】证明两个随机变量不独立的方法：若存在00,y x ，使得{}{}{}0000,y Y P x X P y Y x X P ≤≤≠≤≤，则与不相互独立.2.性质 若和相互独立，是连续函数，则相互独立.【例1】 设随机变量与独立同分布，且，则下列等式成立的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【例2】 设的密度函数为，问和是否独立？(,)F x y ()X F x ()Y F y ),(Y X ,x y (,)()()X Y F x y F x F y =X Y ),(Y X X Y ()12ij i j p p p i,j ,••=⋅=),(Y X X Y ()()()()X Y f x,y f x f y x R,y R =∈∈X Y X Y ()(),g t h t ()(),g X h Y X Y {}{}2111===−=X P X P {}41==Y X P {}21==Y X P {}410==+Y X P {}411==XY P ),(Y X (),0,0,y e x yf x y −⎧<<=⎨⎩其他X Y考点：常见二维随机变量的分布1.二维均匀分布 若二维随机变量具有概率密度，其中为平面上的有界区域，的面积为，则称在上服从均匀分布.2.二维正态分布（1）定义 若二维随机变量的概率密度（数一了解；数三掌握）为，其中均为常数，且，则称服从二维正态分布，记为.（2）性质 若()()221212X ,Y ~N ,;,;μμσσρ，则 ①()211X ~N ,μσ，()222Y ~N ,μσ；②和相互独立的充分必要条件是；③仍服从正态分布；④令⎩⎨⎧+=+=Y b X a V Yb X a U 2211，当02211≠b a b a 时，()V U ,服从二维正态分布.【注】若()211X ~N ,μσ，()222Y ~N ,μσ且独立，则服从二维正态分布，且仍服从正态分布.【例1】 设二维随机变量服从区域上的均匀分布，求.),(Y X ()()1,,,0,x y Gf x y A ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他G G A ),(Y X G ),(Y X ()()()()()()22112222211221221x x y y f x,y μμμμρσσσσρ⎧⎫⎡⎤−−−−⎪⎪=−−+⎢⎥⎨⎬−⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭,x y R ∈1212,,,,μμσσρ120011,,σσρ>>−<<),(Y X ()()221212X ,Y ~N ,;,;μμσσρX Y 0ρ=()220aX bY a b ++≠,X Y (),X Y ()220aX bY a b ++≠),(Y X {}01,D x y x =<<<()x y f X Y ||【例2】 设二维随机变量，则. 【例3】（课后作业）设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布()0;1,1;0,1N ，则{0}____.P XY Y −<=()()00110X ,Y ~N ,;,;0_____X P Y ⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭考点：二维随机变量函数的分布1.Y X ,均为离散型随机变量情形一：二维离散型→一维离散型 即：()=,Z g X Y . 做法：找出Z 全部可能的取值，求出相应的概率.情形二：二维离散型→二维离散型 即：()()12=,,,U g X Y V g X Y =，(),U V 为二维离散型随机变量. 做法：找出U 和V 的全部可能取值，画出表格，求出相应的概率.【例1】 设二维随机变量的分布律为求的分布.【例2】 设,ξη是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为1(),(1,2,3)3P i i ξ===，又设max{,}X ξη=，min{,}Y ξη=.求(,)X Y 的联合分布律.2.X 和Y ，一个离散型随机变量，一个连续型随机变量做法：有限可加性或全概率公式【例3】 设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从标准正态分布，且Y 的分布律为1(0)(1)2P Y P Y ====. 求的概率密度. 3.Y X ,均为连续型随机变量设二维连续型随机变量的概率密度为.（1）若()=,Z g X Y 为离散型随机变量，求Z 的分布律. 做法：找出Z 全部可能的取值，求出相应的概率.),(Y X Z X Y =+Z X Y =+),(Y X (,)f x y（2）若为连续型随机变量，则随机变量的分布函数为，. 进而的概率密度为.（3）四类重要的二维随机变量函数的分布（均是“推广的卷积公式”的特例） ①=Z X Y +的分布（和的分布）设二维连续型随机变量(),X Y 的概率密度为(),f x y ，则=Z X Y +的概率密度为：()()(),,Z f z f x z x dx f z y y dy +∞+∞−∞−∞=−=−⎰⎰. 若和相互独立，则有卷积公式：()()()()()Z X Y X Y f z f x f z x dx f z y f y dy +∞+∞−∞−∞=−=−⎰⎰.②=Z X Y −的分布（差的分布）设二维连续型随机变量(),X Y 的概率密度为(),f x y ，则=Z X Y −的概率密度为：()()(),,Z f z f x x z dx f y z y dy +∞+∞−∞−∞=−=+⎰⎰若和相互独立，则有：()()()()()Z X Y X Y f z f x f x z dx f y z f y dy +∞+∞−∞−∞=−=+⎰⎰.③=Z XY 的分布（积的分布）设二维连续型随机变量(),X Y 的概率密度为(),f x y ，则=Z XY 的概率密度为：()11,,||||Z z z f z f x dx f y dy x x y y +∞+∞−∞−∞⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰. 若和相互独立，则有：()()()11||||Z X Y X Y z z f z f x f dx f f y dy x x y y +∞+∞−∞−∞⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰.④=XZ Y的分布（商的分布） 设二维连续型随机变量(),X Y 的概率密度为(),f x y ，则=XZ Y的概率密度为： ()()||,Z f z y f yz y dy +∞−∞=⎰.若和相互独立，则有：()()()||Z X Y f z y f yz f y dy +∞−∞=⎰.【注】推广的卷积公式：设随机变量()Y X ,的概率密度为()y x f ,，()Y X g Z ,=.(,)Z g X Y =(,)Z g X Y =()()(),,Z g x y zF z f x y dxdy ≤=⎰⎰z R ∈Z ()()Z Z f z F z '=X Y X Y X Y X Y【例4】 设二维随机变量服从上的均匀分布，令，求的概率密度.【例5】 设二维随机变量的概率密度为，求的概率密度. 4.最值的分布设相互独立，它们的分布函数分别是(),1,2,,i X F x i n =，则及的分布函数分别为： ，.特别地，当相互独立且具有相同分布函数时，有，.【例6】 设随机变量,X Y 独立同分布，且X 的分布函数为()F x ，则(),X Y {}10,10≤≤≤≤=y x D ||Y X Z −=Z (),X Y ()2,01,01,0,x y x y f x y −−<<<<⎧=⎨⎩其他Z X Y =+12,,,n X X X {}12max ,,,n M X X X ={}12min ,,,n N X X X =()12max ()()()n X X X F z F z F z F z =()12min 11()1()1()n X X X F z F z F z F z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=−−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦12,,,n X X X ()F x ()[]max ()nF z F z =()[]min 11()nF z F z =−−max{,}Z X Y =的分布函数为（ ）（A ）2()F x （B ）()()F x F y （C ）21[1()]F x −− （D ）[1()][1()]F x F y −−.【例7】 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从参数为1的指数分布，),min(Y X V =. 求V 的概率密度()v f V .。
概率论与数理统计知识点总结(详细)
《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
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组内 799.26 1515 53.284 =6*DEVSQ(G1:G3)
总计 1265.1 1717
=DEVSQ(A1:F3)
习题P.228№2
采桑 不采桑
患者人数 18
12
健康人数 4
78
合计
22
90
比例 0.19643 0.80357
合计 30 82 112
比例 0.267857 0.732143
2
n * (ad bc)2
~ 2 (1)
(a b) * (c d) * (a c) * (b d)
χ2=42.28,α=0.05时查表χα2 (1)=3.841 [=CHIINV(0.05,1)],χα2<χ2,∴拒绝原假 设，认为皮炎与工种有关。
方差分析
单因素的方差分析 (P.228 No.1) 用计算器解；Excel用“数据分 析”； 128.1 134.1 133.1 138.9 140.8 127.4 133.733
150.3 147.9 136.8 126 150.7 155.8 144.583 140.6 143.1 144.5 143.7 148.5 146.4 144.467
交互
73.5
6
12.25 7.112903 0.000192 2.508187
内部
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.33333
24 1.722222
总计
144.75
35
一元线性回归
是否有因果关系？ 选定控制变量； 步骤：数据列表，画散点
(布)图,看趋势,划直线； 最小二乘法与正规方程。
散 布 图 点线距离“大小”
500 450 400 350 300
n
n
n xiyi xi yi
(xi x)(yi y)
bˆ
i 1 n
i1 i1 n
i1 n
n xi2 ( xi )2
(xi x)2
i1
i 1
i 1
一元线性回归
在: n
n
n
n xiyi xi yi
n
(xi x)(yi y)
u≤u0.95,∴接受原假设，认为占有率p不大
于 [=B1I/N6O。MDI小ST样(6本,27i,610 /P6(,XTRUEi))]0i.680 5C>i207.50625277i
习题选解
P.207习题六：17.解:这是对两总体的独立性检验， 设皮炎与工种无关，列2x2的联列表：
36 56
0.643
n
n
aˆ
i1
xi
bˆ
i1
yi
168 (0.643) *184 71.578
n
4
回归分析计算法
㈠用Excel：列表，画散点图，选中图，图 表→添加趋势线，在“类型”页上选“线 性”，在“选项”页中选“显示公式”，点 “确定”按钮。
lxy lxx
练习题
*某校为了分析数学成绩x与物理
成绩y之间的关系，随机抽取
10名学生的成绩(xi,yi),
i=1,2,…,10,算得：n Xi 758
i 1
n
n
n
yi 774,
xi yi 59686 ,
x
2 i
58732
i 1
i 1
i 1
求x=90时，y的线性回归估计值。
犯第Ⅱ类错误的概率____。
① 变小 ② 变大 ③ 不变 ④ 不确定。
*假设检验时，若增大样本容量， 则犯两类错误的概率____。
① 都增大 ② 都减小 ③ 都不变 ④ 一个增大，一个减小。
练习题
*某电子元件的耐用时数服从均值为 1000小时的正态分布,现随机抽取10件 新工艺条件下生产的产品作耐用性能 测试,测得其平均耐用时数为1077小时, 修正样本标准差s=51.97小时,能否认为 新工艺条件下生产的产品之耐用性能 明显不同于老产品(α=0.05).
练习题
•设购买某种名牌摩托车的人的年 龄X~N(35,52).最近随机抽查了该车 的购买者400人,平均年龄为30岁,在 显著水平α=0.01下,检验H0:μ=35,对 H1:μ<35 (Z0.99=2.32,Z0.995=2.58)
这是方差已知，对均值 的单侧假设检验，
Z 30 35 5
受原假设，认为方差无显著差异。
习题选解
P.206习题六：14.解:单侧原假设H0:占有率 p≤1/6。27家中用H牌的有X家,X~B(27,1/6)
U
X*
X np npq
~
N(0,1)
u 6 27 / 6 36 27 0.7746
27 1 5
27 *5
α=0.05时查6 表6u0.95=1.645[=NORMSINV(0.95)]，
练习题
n
n
n
bˆ
n xiyi xi yi
i1
i1 i1
n
n
n
x2 ( i
xi )2
10*59686 758*774 10*58732 7582
i1
i1
10168 0.797, 12756
n
n
aˆ
yi bˆ xi
i1
i1
774 0.797*758 16.987
用Excel可以得结果如下:显著不同。
19
21
20
19
21
19
20
22
21
23
24
26
23
25
27
方差分析：单因素方差分析
SUMMARY
组
计数 求和 平均 方差
行1
5
100
20
1
行2
5
105
21
2.5
行3
5
125
25
2.5
方差分析
差异源 SS
df
MS
F P-value
组间
70
2
35 17.5 0.000277
n
10
yˆ aˆ bˆx 16.987 0.797*90 88.717
练习题
*随机抽访一家联谊社的会员，得 知四对夫妻的年龄(xi,yi)为 (47,41),(48,41),(46,42),(43,44),
求y对x的线性回归方程。 [2000年上卷之28.但原题中:求x对
y的线性回归方程（xy)。]
T
xy
(n1 1)S12 (n 2 1)S22 n1 n 2 2
1 1
n1
n2
t
465.13 422.16
5.736
155 54.82 73 49.22 1 1
156 74 2
156 74
α=0.01时查表t0.005(228)=2.598 [=TINV(0.01,228)]，t0.005(228)<|t| ∴拒绝原假设，认为正常男女的红细
3
3
9
54
55
156
18 18.33333 17.33333
3 6.333333 4.25
A4
计数
3
3
3
9
求和
60
48
51
159
平均
20
16
17 17.66667
方差
4
1
0
4.5
A2
计数
3
3
3
9
求和
51
45
63
159
平均
17
15
21 17.66667
方差
0
0
3 7.75
方差分析
总计
计数
12
12
12
求和
假设检验的分类及步骤
对参数还是对分布类型或独立性？
单正态总体还是双正态总体？对均值 还是方差？对均值时方差已知吗？
步骤：提出待检假设H0，在H0为真 的前提下找一个统计量U、T、χ2、F， 确定接受域与拒绝域。
依据——小概率原理：在一次实验中 小概率的事件几乎不可能发生。
假设检验
练习题
No. 丈夫年龄x 妻子年龄y x*y x*x y*y
1
47
41
1927 2209 1681
2
48
41
1968 2304 1681
3
46
42
1932 2116 1764
4
43
44
1892 1849 1936
∑ 184
168 7719 8478 7062
bˆ
4*7719 168*184 4 * 8478 1842
测 得 的 温 度 总 体 X 服 从 正 态 分 布 N(μ ,σ 2), 已 知
t0.975(6)=2.447, t0.95(6)=1.943)
答:用T检验H0:μ=112.6,x=112.8,s2=1.29,
T 112.8 112.6 1.29
7
=0.4659<2.447=t0.975(7-1), (双侧)无系统偏差。
胞数有显著差异。
习题选解
P.206习题六：11.解:双正态总体,检验对总
体方差比的假设：H0:σ12=σ22,用枢轴量
F S12 S22